OTIMIZAODEPROCESSOS Escola Politcnica da UFBAUFBA MEHN Prof. Dr. Ricardo de Arajo Kalid kalid@ufba.br Departamento de Engenharia Qumica da UFBA Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 2CURRCULODOINSTRUTOR REAS DE ATUAO E LINHAS DE PESQUISA Modelagem e simulao em regime estacionrio e transiente de processos Identificao de processos Controle de processos Otimizao de processos Sntese de redes de transferncia de calor e massa OUTROS Professor do Mestrado em Engenharia Qumica da UFBA e do Mestrado em Produo Limpa Professor (anos 92 e 93) do Curso de Especializao em Instrumentao e Controle (CEINST) promovido pelo Departamento de Engenharia Mecnica da UFBA ProfessordeCursosdeEducaoContinuada(ControleAvanado,ControlePreditivoMultivarivel, IdentificaodeProcessos,OtimizaodeProcessosQumicos,ControledeColunasdeDestilao) para DOW, PETROBRAS, GRIFFIN, EDN, CIQUINE, OXITENO, COPENE. Professor(98)doCursodeEspecializaoemAutomaodeSistemasIndustriais(CEASI)promovido pelo Depto de Engenharia Eltrica da UFBA ProfessoreCoordenador(99)doCursodeEspecializaoemControleeAutomaodeProcessos Industriais (CECAPI) promovido pelos Depto de Engenharia Qumica e Eltrica da UFBA ProfessoreCoordenador(2000a2002)doCursodeEspecializaoemInstrumentao,Automao, ControleeOtimizaodeProcessosContnuos(CICOP1e2turmas)promovidopeloDeptode Engenharia Qumica e UFBA e AINST. Coordenador do II e do III Seminrio Nacional de Controle e Automao (II SNCA-2001 e III SNCA-2003) PROJETOS COOPERATIVOS E/OU CONSULTORIAS PARA INDSTRIAS MONSANTO-GRIFFIN-POLITENO: sntese de redes de transferncia de calor e massa DETEN: simulao do reator radial para desidrogenao de parafinas EDN: participou da equipe de desenvolvimento do plano diretor de automao BRASKEM-UNIB:identificaodeprocessos,sintoniadecontroladoresindustriais,simulao,controlee otimizao do conversor de acetileno da ETENO II (em andamento) PDAI-BA-ProgramadeDesenvolvimentodaAutomaoIndustrial,participantes: UFBA,UNIFACS, CEFET-BA,CETIND-SENAI,FIEB,SEPLANTEC,PETROBRAS,NITROCARBONO,DETEN, OXITENO, OPP, POLIBRASIL, POLITENO, BRASKEM-UNIB GRIFFIN: Sistema de controle de pH. Modelagem e Otimizao do Reator de DCA BRASKEM-UNIB-POLITENO-UFBA: Diagnstico de Malhas de Controle Preditivo Multivarivel (MPC) BRASKEM-UNIB -UFBA: projeto de produo + limpa para minimizao/reuso de guas industriais INDICADORES DE PRODUO CIENTFICA Trabalhos apresentados em congressos ou seminrios:12 Trabalhos publicados em peridicos:2 Dissertao de mestrado (1) etese de doutorado (1) defendidas e aprovadas: 2 Participao de bancas de mestrado (5) e de doutorado (1):6 Orientao de Iniciao Cientfica e Tecnolgica17 (concludas) e 3 em andamento Orientao de Dissertaes de Mestrado:8 (em andamento), 3 concludas Ricardo de Arajo Kalid, D. Sc.04/09/64 kalid@ufba.br (0xx71) 203.9811 / 9984.3316 Prof. Depto Engenharia Qumica da UFBA Graduao em Engenharia Qumica UFBA (88) Mestrado em Engenharia Qumica - UFBA (91) Doutorado em Engenharia Qumica USP (99) Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 3Trabalhos em desenvolvimento em parceria com indstrias: NTemaEquipeInstituioStatus Ascnio Pepe Marcelo Coutinho POLICARBONATOS Marcelo Embiruu 18 Maximizao do desempenho de malhas de controle PID da POLICARBONATOS Ricardo Kalid UFBA Em desenvolvimento Jean Carlos Sebastio POLITENO Joo Colonese Nelson Siem Velarde GRIFFIN Silvia Arajo Breno Silva MONSANTO Ivan Moraes Jos Luis CARABA METAIS Asher Kiperstok Jos Geraldo Pacheco Emerson Sales Ednildo Torres 17 Reuso/reciclo e conservao de gua e energia: redes de transferncia de calor e massa Ricardo Kalid UFBA Em desenvolvimento Moiss Augusto Joo Severiano BRASKEM-UNIB Asher Kiperstok Jos Geraldo Pacheco Emerson Sales 16 Minimizao/reuso de guas industriais BRASKEM-GUA Ricardo Kalid UFBA Em desenvolvimento Nadja Fontes Csar Moares Mauricio Moreno Mrcia Cunha BRASKEM-UNIB Lcio Estrella Ricardo Muller Jean Carlos POLITENO Marcelo Embiruu Ricardo Kalid Mauricio Moreno Fbio Carrilho 15 Diagnstico de malhas de controle preditivo multivariavel MPC Ricardo Kalid UFBA Em desenvolvimento Mauricio MorenoBRASKEM-UNIB Fbio Carrilho14 "Plantwide control" de um trem de separao de xilenos (3 colunas de destilao em srie/paralelo) da BRASKEM Ricardo Kalid UFBA Em desenvolvimento Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 4Trabalhos concludos em parceria com indstrias: NTemaEquipeInstituioStatus Lucy Helena de Jesus Daniel Cortes MONSANTO 13Otimizao da fonte de fsforo da MONSANTO Jos Geraldo PachecoUFBA Concludo Wagner MnacoCIQUINE Viviane Scaranto12 Otimizao de colunas de destilao da CIQUINE Ricardo Kalid UFBA Concludo Klauss Villalva Serra Almir Viana Cotias GRIFFIN 11 Projeto e sintonia do controlador de topo da coluna de destilao de 3,4 DCA da GRIFFIN Ricardo KalidUFBA Concludo Nelson Siem VelardeGRIFFIN 10 Projeto e sintonia do sistema de controle de pH dos efluentes da GRIFFIN Ricardo KalidUFBA Concludo Cathia R. Apenburg Williane Carneiro BRASKEM-UNIB 09 Simulao e controle de colunas dedestilao de sulfolane da BRASKEM Ricardo KalidUFBA Concludo BRASKEM-UNIBPETROBRAS DETENPOLITENO SENAI-CETINDOXITENO NITROCARBONOPOLIBRASIL CEFET-BABRASKEM-OPP Paulo GuimaresUNIFACS Adhemar de Barros Herman Lepikson 08 Plataforma de Automao Industrial do Estado da BAHIA Ricardo Kalid UFBA Concludo Mark Langerhost BRASKEM-UNIB Lueci V. do Vale07 Simulao e controle de colunas dedestilao de BTX da BRASKEM Ricardo Kalid UFBA Concludo Mauricio Moreno Paulo Freitas BRASKEM-UNIB Fabrcio Brito 06 Modelagem, simulao, controle e otimizao de conversores de acetileno da BRASKEM Ricardo Kalid UFBA Concludo Kleber Leite Mrcio Barreto Charles Diament BRASKEM-OPP 05 Otimizao da operao do reator de polimerizao em baixa carga Ricardo KalidUFBA Concludo EDN Herman Lepikson Cayubi Alves da Costa Francisco Teixeira 04Plano diretor de automao da ESTIRENO Ricardo Kalid UFBA Concludo Murilo F. de AmorimBRASKEM-UNIB Eliane Santanta03 Estimativa do tempo de campanha de fornos de pirlise da BRASKEM Ricardo Kalid UFBA Concludo Luiz Alberto Falcon BRASKEM-UNIB Tatiana Freitas02 Modelagem por redes neurais hbridas e otimizao de reatores de CPD Ricardo Kalid UFBA Concludo Gian Carlo GangemiDETEN 01 Modelagem, simulao do reator de desidrogenao de n-parafinas da DETEN Ricardo KalidUFBA Concludo Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 5INSTRUTOR:RICARDO KALID-kalid@ufba.br Cursos e apostilas sobre MODELAGEM DE PROCESSOS 1.Operaes Unitrias em Regime Transiente Balanos de Massa, Energia e Momentum Aplicados a Processos Qumicos. 2.Identificao de Processos Qumicos. SIMULAO DE PROCESSOS 3.Mtodos Numricos e Simulao de Processos. 4.Programao em MATLAB com Aplicao em Reatores Qumicos. CONTROLE DE PROCESSOS 5.Sistemas de Controle dos Principais Equipamentos da Indstria de Processos Qumicos e Petroqumicos. 6.Controle de Processos Qumicos. 7.Definio da Estrutura do Sistema de Controle Multimalha de Processos Multivariveis. 8.Controle Avanado de Processos Estratgias Clssicas de Controle. 9.Controle de Coluna de Destilao. 10. Controle Preditivo Multivarivel: DMC - Controle por Matriz Dinmica. 11. Sintonia tima de Controladores Industriais OTIMIZAO DE PROCESSOS 12. Otimizao de Processos Qumicos sem restries 13. Otimizao de Processos Qumicos com restries 14. Otimizao de Processos Qumicos a batelada Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 6 OTIMIZAO DE PROCESSOS ndice Lista de Abreviaturas............................................................................................6 Nomenclatura ........................................................................................................7 Principais Referncias Bibliogrficas .................................................................7 1.Introduo e Definies............................................................................12 1.1.Objetivos deste Curso.......................................................................12 1.2.Programa do Curso...........................................................................13 1.3.Referncias Bibliogrficas Principais ................................................14 1.4.Por que Otimizar? .............................................................................14 1.5.Exemplos de Aplicao de Otimizao.............................................15 1.6.Formulao de um Problema de Otimizao....................................15 1.6.1.A Funo Objetivo (FO) ...............................................................16 1.6.2.As Restries ...............................................................................18 1.6.3.A Regio Vivel ............................................................................19 1.6.4.As Variveis de Deciso (VD) ......................................................20 1.7.Procedimento Geral para Solucionar um Problema de Otimizao ..20 1.7.1.Mapeamento da Funo Objetivo ................................................21 1.7.2.Obstculos Otimizao .............................................................25 1.8.Exerccios .........................................................................................27 2.Conceitos Matemticos ............................................................................28 2.1.Definies .........................................................................................28 2.2.Operaes Bsicas com Matrizes e Vetores ....................................29 2.3.IndependnciaLinear,MatrizSingulareRankouPostodeuma Matriz32 2.4.Operadores Linha ou Coluna............................................................33 2.5.Soluo de Sistema de Equaes Lineares......................................33 2.6.Graus de Liberdade ..........................................................................34 2.7.Autovalores e Autovetores ................................................................35 Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 72.8.Estudo de Funo.............................................................................35 2.9.Continuidade de Funes .................................................................37 2.10.Funes Unimodais e Multinodais ....................................................38 2.11.Funes Cncavas e Convexas........................................................38 2.12.Regio Convexa................................................................................41 2.13.CondiesNecessriaseCondiesSuficientesparaum Extremo de uma Funo Irrestrita .....................................................................44 2.14.InterpretaodaFunoObjetivoemTermosdeuma Aproximao Quadrtica ...................................................................................47 2.15.Exerccios .........................................................................................51 3.Formulao Matemtica de um Problema de Otimizao .....................54 3.1.A Funo Objetivo (FO) ....................................................................55 3.1.1.Tolerncia ou Critrio de Parada..................................................56 3.1.2.Objetivos Econmicos..................................................................57 3.1.3.Objetivos Operacionais ................................................................65 3.1.4.CombinaodeObjetivosOperacionaiscomObjetivos Econmicos.................................................................................................69 3.2.As Funes de Restrio (FR) ..........................................................70 3.3.Otimizao On-Line ..........................................................................71 3.4.Exerccios .........................................................................................73 4.Otimizao Unidimensional Sem Restries (OUSR) ............................80 4.1.Mtodos Indiretos (MI) para OUSR...................................................81 4.1.1.Mtodo de Newton .......................................................................82 4.1.2.Mtodo de Quasi-Newton.............................................................84 4.1.3.Mtodo da Secante ......................................................................85 4.2.Mtodos Diretos (MD) para OUSR....................................................86 4.2.1.Mtodos por Diminuio da Regio de Busca..............................86 4.2.2.Mtodos por Aproximao Polinomial - Interpolao Quadrtica.88 4.2.3.Mtodos por aproximao polinomial - Interpolao cbica.........89 4.3.Avaliao dos Mtodos Unidimencionais de Otimizao..................90 4.4.Exerccios .........................................................................................92 5.Otimizao Multidimensional Sem Restries (OMSR) .........................93 5.1.Mtodos Indiretos (MI) para OMSR ..................................................94 5.1.1.Mtodo do Gradiente ou Mtodo do Gradiente Descendente......95 Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 85.1.2.Mtodo do Gradiente Conjugado .................................................97 5.1.3.Mtodo de Newton .......................................................................98 5.1.4.Mtodo de Levenberg-Marquardt .................................................99 5.1.5.Mtodo da Secante ou Quasi-Newton........................................100 5.2.Mtodos Diretos (MD) para OMSR.................................................103 5.2.1.Busca Randmica ......................................................................103 5.2.2.Grade de Busca .........................................................................104 5.2.3.Busca Unidimensional ................................................................104 5.2.4.Mtodo Simplex ou do Poliedro Flexvel ....................................105 5.3.Avaliao dos MD's e MI's para Problemas de OMSR ...................106 5.4.Exerccios .......................................................................................107 6.Ajuste de Modelos Matemticos............................................................109 6.1.AjustedeModelosLinearesnosParmetrosComUmaVarivel Independente...................................................................................................110 6.1.1.Escolha da Forma do Modelo Linear..........................................111 6.1.2.Ajuste do Modelo Linear Univarivel ..........................................112 6.2.Ajuste de Modelos Lineares de Vrias Variveis ............................114 6.3.Ajuste de Modelos Matemticos No-Lineares...............................117 6.3.1.AjustedeModelosporMtodosDiretos-MtododoPoliedro Flexvel119 6.3.2.Ajuste de Modelos por Mtodos Indiretos ..................................119 6.4.Observaes e "Macetes" ...............................................................120 6.4.1.Procedimento Geral para Ajuste de Modelos.............................122 6.5.Exerccios .......................................................................................123 7.Programao Linear (PL)........................................................................128 7.1.Convertendo Problemas para a Forma Padro da PL ....................131 7.2.A Dualidade em Programao Linear. ............................................132 7.3.Anlise de Sensibilidade em PL......................................................133 7.4.Programao Linear Sucessiva (PLS) ............................................134 7.5.Exerccios .......................................................................................135 Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 98.Multiplicadores de Lagrange..................................................................136 8.1.Anlise de Sensibilidade por Multiplicadores de Lagrange .............140 8.2.Condies de Kuhn-Tucker - CKT ..................................................141 8.3.Vantagens e Desvantagens dos Multiplicadores de Lagrange........142 8.4.Exerccios .......................................................................................142 9.Funo Penalidade..................................................................................145 9.1.Exerccios .......................................................................................149 10.Programao Quadrtica - PQ...............................................................150 10.1.Programao Quadrtica Sucessiva - PQS....................................152 10.2.Exerccios .......................................................................................154 11.Gradiente Reduzido Generalizado -GRG...............................................155 11.1.Relao entre o GRG e os Multiplicadores de Lagrange................157 11.2.Algoritmo do Gradiente Reduzido Generalizado.............................158 11.2.1.Listagem do Programa GRG para o Exemplo 11.1....................164 11.3.Exerccios .......................................................................................174 12.Programao Inteira e Mista - PIM.........................................................175 12.1.Branch and Bound Technique.........................................................175 12.2.Exerccios .......................................................................................178 13.Controle timo - CO ...............................................................................179 13.1.Algoritmos para o Problema de Controle timo..............................180 Apndice I:Controle timo de um Reator a Batelada Apndice II: Reprodues de pginas do livro Process Analysis by Statistical Methods. Himmelblau, D. M. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 10Lista de Abreviaturas CKT- Condies de Kuhn-Tucker CO- Controle timo FO-Funo Objetivo FR-Funes de Restries MD-Mtodo Direto de otimizao MI-Mtodo Indireto de otimizao MV-Varivel Manipulada OMCR-Otimizao Multidimensional Com Restries OMSR-Otimizao Multidimensional Sem Restries OUCR-Otimizao Unidimensional Com Restries OUSR-Otimizao Unidimensional Sem Restries PCO- Problema de Controle timo PL- Programao Linear PNL- Programao No-Linear PPL- Problema de Programao Linear PPNL - Problema de Programao No-Linear PPQ- Problema de Programao Quadrtica PQ- Programao Quadrtica PV-VariveldeProcesso(podeservariveiscontroladase/ou medidas) s.a.- sujeito a SEANL- Sistema de Equaes Algbricas No-Lineares SP-SetPoint VA-Varivel Auxiliar (qualquer varivel ou constante que no VDep) VD-Varivel de Deciso ou de Projeto ou Independente VDep- Varivel Dependente VI- Varivel Independente Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 11Nomenclatura Yi -valor da mdia dos experimentos replicados para um certo xi x -valor mdio da varivel independente i-valor calculado da VI para um certo xi bj-parmetrojde um modelo n-nmero total de experimentos realizados pi-nmero de medidas replicadas para um certo xi x-varivel determinstica, independente e experimental Y-varivel estocstica, dependente e experimental Y-varivel estocstica, dependente e experimental Principais Referncias Bibliogrficas Asprincipaisrefernciasutilizadasparaconfeccionarestaapstilae prepararasaulassolistadasaseguir.Outrasreferncias,quetratamde assuntos especficos, so citadas ao longo do texto: R1. Himmelblau, D. M. and Edgar, T. F.; Optimization of Chemical Process. McGraw-Hill, 1989. Livro essencial para quem quer iniciar e/ou aprofundar seusestudossobreotimizaodeprocessosqumicos.Boapartedo contedo deste curso e a maioria dos exerccios discutidos/propostos foram retirados deste livro. R2. Himmelblau,D.M.;ProcessAnalysisbyStatisticalMethods.JonhWiley& Sons, 1970. Livro que traz os algoritmos de vrios mtodos de otimizao e aplicaessesmtodosprincipalmenteaoajustedemodelosmatemticosa dados experimentais. Livro texto para o Captulo 6 desta apostila. R3. Beveridge,G.S.andSchehter,R.S.;OptimizationTheoryandPractice. McGraw-Hill,1970.Trazumadiscussomaisprofundaarespeitodos fundamentosmatemticosemqueosmtodosdeotimizaoso baseados. R4. Reklaitis,G.V.;Ravindran,A.;Ragsdell,K.M.;EngineeringOptimization: MethodsandApplications.JonhWiley&Sons,1983.Livroimportantee complementar ao de Himmelblau e Edgar (R1). Livro texto para os Captulo 8 e 9 desta apostila. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 121. Introduo e Definies Nanaturezasomenteosmaiseficientessobrevivem.Aseleonatural elimina as espcies ou os indivduos menos capacitados, ao mesmo tempo que facilita as coisas para os mais bem dotados, ou seja, existe algum mecanismo que procura maximizar o uso dos recursos ou minimizar o efeito da ineficincia dos processos. O que a natureza sabe fazer com extrema maestria ns devemos imitar, se quisermos suplantar nossos adversrios e assim sermos os ganhadores. Oproblemaquesejaqualforovencedor,amenatureza sempreganha junto, enquanto ns temos que ser mais eficientes que nossos concorrentes. E como a probabilidade de tomar uma deciso errada muito maior que escolher aopocerta,temosquenoscercardeinformaeseprocedimentos confiveis. As informaes que devemos coletar so, por exemplo: o(s) objetivo(s) que queremos atingir, as condies do mercado fornedor e consumidor, as condies do mercado financeiro, as condies dos recursos naturais e humandos disponveis, as limitaes de natureza fsica e/ou social e/ou psicolgicas existentes. Os procedimentos que podemos empregar so: a experincia acumulada, o uso de ferramentas matemticas adequadas, a escolha de estratgias de atuao oportunas. Seutilizarmos asinformaes e procedimentos apropriados temos boas chances de sermos os vitoriosos. somente esse o nosso problema. Nestecursoiremosestudarquaissoasinformaeseprocedimentos adequadosaresolverososproblemasdeotimizaotpicosemengenharia qumica. 1.1.Objetivos deste Curso Ao final do segundo mdulo deste curso seremos capazes de: O1. Entenderosprincpiosdefuncionamentodospricipaisalgoritmosde otimizao. O2. Aplicar corretamente os algoritmos de otimizao. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 13O3. Desenvolverummodelomatematico deotimizao e resolv-loatravsda utilizao de pacotes computacionais.1.2.Programa do Curso Paraalcanarmososobjetivospropostosocursoterasseguintes caractersticas: Carga horria total: 60 horas Programa do curso:P1. Introduo e Definies: Viso geral do problema de otimizao. P2. Conceitos Matemticos: Ferramentas necessrias.P3. Formulao Matemtica de um Problema de Otimizao: Construo da Funo Objetivo e de Suas Restries. P4. OtimizaoUnidimensionalSemRestries:Aspectosmatemticos especficos. P5. OtimizaoMultidimensionalSemRestries:Aspectosmatemticos especficos. P6. Aplicaes de Otimizao Sem Restries em Processos Qumicos. P7. Otimizao Multivarivel Com Restries. P8. AplicaesdeOtimizaoMultivarivelComRestriesemProcessos Qumicos. P9. Experincias em Otimizao de Processos Qumicos do LACOI: a) Reconciliao de dados em estado estacionrio b) Minimizao de uso de gua e/ou consumo de energia em processos c) Otimizao de processos industriais: Case MONSANTO Case CIQUINE Case BRASKEM-UNIB Case BRASKEM-OPP Metodologia de ensino:M1.Utilizaremos de data-show e da lousa para desenvolver os tpicos. M2.Exercciosresolvidosparaexemplificarosconhecimentostericos abordados.M3.Aulas de exerccios para as equipes (2 alunos por equipe).M4.Lista de exerccios propostos.M5.Distribuio de apstila com o contedo do que foi apresentado.M6.Sempre que necessria haver interrupo da aula para esclarecimento de dvidas. M7.Estudo de cases industriais que sejam de intresse dos alunos Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 141.3.Referncias Bibliogrficas Principais Aspricncipaisrefernciasutilizadasparaconfeccionarestaapstilae prepararasaulassolistadasaseguir.Outrasreferncias,quetratamde assuntos especficos so citadas ao longo do texto: R1. Himmelblau, D. M. and Edgar, T. F., Optimization of Chemical Process, McGraw-Hill, 1989. Livro essencial para quem quer iniciar e/ou aprofundar seusestudossobreotimizaodeprocessosqumicos.Boapartedo contedo deste curso e a maioria dos exerccios discutidos/propostos foram retirados deste livro. R2. Himmelblau,D.M.,ProcessAnalysisbyStatisticalMethods,JonhWiley& Sons, 1970. Livro que traz os algoritmos de vrios mtodos de otimizao e aplicaessesmtodosprincipalmenteaoajustedemodelosmatemticosa dados experimentais. R3. Beveridge,G.S.andSchehter,R.S.,OptimizationTheoryandPractice, McGraw-Hill,1970.Trazumadiscussomaisprofundaarespeitodos fundamentosmatemticosemqueosmtodosdeotimizaoso baseados. Alm dessas referncias outras so listadas no final desta apstila. 1.4.Por que Otimizar? Aotimizaopodepromovermelhoriaseconmicas[otimizaoeconmica (OE)]e/outcnicas/operacionais[otimizaooperacional(OO)].Aotimizao de um determinado processo ou sistema pode ter como benefcio um (ou mais de um) dos itens a seguir: OE.minimizar o investimento para uma determinada capacidade operacional a ser instalada, OE.maximizar o lucro total,OE.maximizar o lucro por unidade de produo,OE.minimizar os custos operacionais,OE.minimizar os custos de manuteno,OO. maximizaraproduoparaumadeterminadacapacidadeoperacional instalada, OO. minimizar o consumo de matria-prima e/o energia,OO. minimizar a produo de insumos indesejveis,OO. minimizar o tempo de batelada,OO. minimizar a diferena entre o valor desejado e o valor alcanado,Observequealgunsdessesobjetivossoconflitantesentresi,portanto devemos estabelecer o objetivo a ser alcanado com bastante cuidado. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 15Pormdevemossemprenoslembrarqueaotimizaotemumcustoe, portanto, devemos otimizar a otimizao. Emcertoscasosousodemtodosmatemticosdeotimizaonotraz benefcios, por exemplo: quandoumasoluorazovelpodeserobtidabaseadaemexperincias passadas, quando existe uma prtica padro em uso, quandootemponecessrioparaavaliaroproblemanocontribuiparao contexto do projeto global, quandoasinformaesnecessriasspodemserobtidascomgrande custo. 1.5.Exemplos de Aplicao de Otimizao Aotimizaopodeseraplicadadeinmerasmaneirasemprocessose plantasqumicas.Tpicosprojetosondeaotimizaotemsidoempregada incluem: 1. Determinao do melhor local para construo de uma planta. 2. Escalonamentodetanquesparaarmazenagemdematria-primaede produtos. 3. Dimensionamento e layout de pipelines. 4. Projeto de plantas e/ou de equipamentos. 5. Escalonamento de reposio e manuteno de equipamentos. 6. Operao de equipamentos e/ou plantas. 7. Ajuste de modelos a dados experimentais de uma planta. 8. Minimizao de inventrio. 9. Alocao de recursos ou servios entre diferentes processos. 10.Planejamento e escalonamento de instalao de plantas. 1.6.Formulao de um Problema de Otimizao Podemos definir# a otimizao de sistemas das seguintes maneiras: D1. Campo da matemtica dedicado ao desenvolvimento de mtodos eficientes dedeterminaodemximosemnimosdefunesdeumaoumais variveis. #As trs definies foram transcritas da apstila sobre "Otimizao de Processos" de autoria de Fernando Pellegrini Pessoa e Marcelo Castier, ambos professores do DEQ-UFRJ Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 16D2. Acinciaquedeterminaasmelhoressoluesparacertosproblemas fsicos; problemas que so descritos por modelos matemticos.D3. Buscadamelhorsoluo(soluotima)dentreasdiversassolues possveisdeumproblema,segundoumcritrioestabelecido previamente. Emboranemtodososproblemasdeotimizaopossamserdescritospor equaesmatemticas(porexemplo,maximizaraspropriedades organolpticasdeumalimento),apenasosquepodemserotratadosneste curso. A formulao de um problema prtico de otimizao contm duas partes: 1.Ao menos uma funo objetivo a ser alcanada. 2.As restries que devem ser atendidas. Devemosencontrarumasoluo(poispodemexistirmais)que minimiza/maximinizaafunoobjetivoequesimultaneamenteatendas restries, ou seja a soluo encontrada deve pertecer regio vivel. Paraqueascondiestimassejamalcanadasosistemadeveter liberdadeparamanipularasvariveisdedeciso,tambmdenominadas variveisdeprojetoouaindavariveisindependentes,isto,algumas condies operacionais so modificadas de forma que o ponto timo vivel seja alcanado. 1.6.1.A Funo Objetivo (FO) Afunoobjetivooucritriodedesempenhoestabeleceoalvoaser alcanado.umafunomatemticacujomximooumnimosedeseja determinar. As FO's podem ser desenvolvidas a partir de trs tipos de critrios: C1. Critrioestritamenteeconmico:maximizarolucroanual,minimizaro custo anual, diminuir o tempo de retorno do investimento, etc. C2. Critrioestritamentetcnico/operacional:minimizaroconsumode energia ou de matria-prima, maximizar a produo, etc.C3. Critrio tcnico-econmico: minimizar a diferena entre o valor desejado eovalor medido numa planta, ao mesmo tempo em que minimiza o custo operacional.O estabelecimento correto da funo objetivo fundamental para o sucesso daotimizao.Suadeterminaoumatarefacomplexaquerequergrande conhecimento do processo/sistema a ser otimizado. A funo objetivo pode ser classificada quanto : Continuidade: contnua,porexemploatemperaturatimaparaumareao reversvel Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 17descontnua discreta, por exemplo o dimetro timo de uma tubulao Modalidade: unimodal (o extremo local tambm o global), figura 1-a. x = -100:100; a = 4; b = 2; c = 5; y1= -a*x.^2 + b*x + c; plot(x,y1) -100 -50 0 50 100-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5x 104 Figura 1-A: Funo Unimodal Funo objetivo (FO): max yy a x b x c112= + + . . Equao 1.6-A max(y1) ans = 5 Obs: expressesnestafonte(CourierNew10,verde,emnegrito) so comandos do MATLAB. expressesnestafonte(CourierNew10,azul)soasrespostas geradas pelo MATLAB. asexpressesnestafonte(TimesNewRoman12,preto)sotextosem WORD. Comandohelpnome-da-funopermiteconsultaromanualdereferncia on-line do MATLAB. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 18Comando help optim permite consular o manual de referncia do toolbox de otimizao on-line do MATLAB. multimodal (existem vrios extremos locais e um deles o global) y2 = -a*x.^2 + b*x + c + 1000*sin(x); plot(x,y2,'-r',x,y1,':b') -100 -50 0 50 100-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5x 104 Figura 1-B: Funo Unimodal e Multimodal Funo objetivo (FO):maximizar y2 max(y2) ans = 902.2974 Convexidade: convexa,afunoobjetivoumafunoconvexa(temumnico mnimo) cncava,afunoobjetivoumafunocncava(temumnico mximo) 1.6.2.As Restries So os limites impostos ao sistema pelas condies fsicas, por exemplo: capacidade mxima de processamento de um equipamento, temperatura e presso absolutas s podem assumir valores positivos, Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 19os balanos de massa e energia de um processos devem ser obedecidos, capacidade de absoro do mercado, preo mximo de venda ou de compra, etc. As restries podem ser de igualdade ou de desigualdade. Omodelomatemtico(emregimeestacionriooutransiente)deum processo uma restrio de igualdade. 1.6.3.A Regio Vivel Regiodoespaodefinidapelasvariveisdedeciso,delimitadapelas restries, em cujo interior ou na fronteira se localiza o mximo ou o mnimo da funo objetivo. Tambm denominada de regio de busca. O conjunto das restries determinam uma regio onde o ponto timo deve estarcontido.Portantoaregioviveldeveserumespaononulo.Por exemplo: regio vivel nula: x > 50 e x < 10 regio vivel:x > 10 e x < 50 Exemplo; Funo objetivo: max yy a x b x cx112= + + . . Equao 1.6-B Sujeito a:10 < x < 20 x = 10:20; y1= -a*x.^2 + b*x + c; plot(x,y1) -800-600-400-200 Figura 1-C: Funo Objetivo com Restrio max(y1) Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 20ans = -375 Oestabelecimentodaregioviveltorna-semaiscomplicadocomo aumentodonmerodevariveisecomacomplexidadedasexpressesque definem as restries do sistema. Emboraosalgoritmosnumricostenhamcapacidadededetectarquando umaregiovivelnoexiste(regiovivelnula),elesnopodemdetectar quandoaregiodebuscaestdefinidademaneiraerrada.Portanto,mxima atenodeveserdispensadaaoestabelecimentodasrestries,ouseja,da regio vivel. 1.6.4.As Variveis de Deciso (VD) Asvariveisdedecisooudeprojeto ou independentes correspondem, em nmero,aoexcessodeincgnitasemrelaoaonmerodeequaes,ou seja, sua quantidade igual ao nmero de graus de liberdade do sistema. Se existe apenas uma nica soluo para o problema, nenhuma otimizao necessriaepossvel.Portanto,parahavercondiesdeotimizarum processo o mesmo dever ter graus de liberdade maior que zero. AsVDcaracterizamospossveisprojetosoucondiesoperacionaisdo sistema e devem ter uma certa influncia sobre a funo objetivo. Seumafunoobjetivopoucosensvelaumavariveldedeciso conveniente simplificar o problema assumindo um valor fixo para essa varivel. Poroutrolado,seocritriodedesempenhoextremamentesensvelauma determinadavariveldeprojeto,talvezsejadifcilreproduzirnaprticaas condies timas calculadas. 1.7.Procedimento Geral para Solucionar um Problema de Otimizao Noexisteumprocedimentooumtodoquepossaseraplicado eficientemente para todo tipo de problema. A escolha do mtodo depende: da caracterstica da funo objetivo (linear ou no-linear; contnua, discreta ou mista) da natureza das restries (linear ou no-linear; contnua, discreta ou mista) do nmero de variveis de deciso. Podemos estabelecer 6 passos principais a serem seguindos na soluo de problemas de otimizao: P1. Analiseoprocessoeestabeleaasvariveisdedeciso(VD)eas auxiliares (VAs). P2. Estabelea a funo objetivo (FO) em funo das variveis identificadas no item P1 e de coeficientes conhecidos. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 21P3. Estabelea as restries:balanos de massa e energia funes das VDs e VAs, relaes constitutivas e/ou empricas, limites operacionais mximos e mnimos, faixadevalidadesdasvariveis,porexemplo,temperaturase presses absolutas devem ser positivas, fraes molares entre 0 e 1, etc., limitesexternos,porexemplo,capacidademximadeconsumodo mercado. P4. Se o problema demasiadamente grande:subdivida em partes e/ou simplifique a funo objetivo e/ou o modelo do processo. P5. Sepossvelfaaomapeamentodafunoobjetivo,isto,verifique graficamente como a FO varia com a mudana das variveis de deciso.P6. Apliqueasapropriadastcnicasmatemticasdeotimizaoparao problema.P7. Apliqueaanlise de sensibilidade da FO, isto , examine a sensilidade do pontodemnimo/mximoeovalordaFOsmudanasnoscoeficientes das funes e a alteraes nas variveis deciso.OspassosP1,P2,P3eP4constituemarepresentaomatemticado problema,exigindoqueaequiperesponsvelpelaotimizaodosistema tenha: (a)muito conhecimento a respeito do processo,(b) muita ateno e habilidades especficas em modelagem de processos.Deve-se escolher um modelo o mais simples possvel (menor quantidade de variveis,equaesconstitutivasenxutas)querepresentaadequadamenteo sistema. Executando a etapa P5 temos condies de saber sua ordem de grandeza e deverificarcomoelavariacomdeterminadaVD.OmapeamentodaFOnem sempre simples de realizar embora seja sempre desejvel. Aaplicaodosalgoritmosdeotimizao(passoP6)umaetapasimples, desdequesetenhamoprogramasdecomputadorjdesenvolvidose testados.Pormsefornecessrioimplementaroudesenvolverumnovo algoritmo ser necessrio um grande esforo (tempo e recursos humanos). Na etapa P7, validao dos resultados obtidos, essencial a participao de engenherios e de tcnicos que conhecem (bem) o sistema/processo otimizado. 1.7.1.Mapeamento da Funo Objetivo Antesdeexecutaralgumalgoritmodeotimizao,interessantequeseja realizado o mapeamento da FO. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 22Veja o exemplo a seguir de uma funo Z de duas incgnitas (X,Y): x = -8:.5:8 ; y = x ; [X,Y] = meshgrid(x,y) ; R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps ; Z = sin(R)./R ; UtilizamosasfunesdetraamentodegrficosdoMATLABparamapear dediversasmaneirasafunoZ=seno(R)/R.Construimososgrficos bidimensional(figura1-d),tridimensional(figura1-e),dascurvasdenvel (figura1-f),combinaodogrficotridimensionalcomodascurvasdenvel (figura 1-g), curvas de nvel pseudo-coloridas (figura 1-h). Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 23whitebg plot(x,Z)-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.4-0.200.20.40.60.81 Figura 1-D: Grfico bidimensional mesh(x,y,Z) -10-50510-10-50510-0.500.5 Figura 1-E: Grfico tridimensional c = contour(x,y,Z) ;clabel(c); -4-202468 -0.2 -0.2 0 0 0 0 0.2 0.4 0.60.8 Figura 1-F: Curvas de nvel meshc(x,y,Z) 10 510-0.500.5 Figura 1-G:Tridimensional com curvas de nvel Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 24pcolor(x,y,Z) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8-6-4-202468 Figura 1-H: Curvas de nvel pseudo coloridas Se a FO tem mais de duas VDs podemos: (a)plotarvriosgrficosdaFOcomrelaoadiferentesparesdasvariveis de deciso, Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 25(b)plotarumgrficobidimensionalnoqualaordenadaovalordaFOena abscissaosconjuntosdevaloresdasvariveisdeprojeto,Figura1-I.Por exemplo [nl,nc] = size(Z) ; VetorZ = [ ] ; for i = 1 : nlfor j = 1 : ncVetorZ = [ VetorZ ; Z(i,j) ] ; endendwhitebgplot(VetorZ,'r') 0 200 400 600 800 1000 12000.40.200.20.40.60.81 Figura 1-I: Grfico dos valores alinhados de uma funo bidimensional QuandoexistemmuitasVDsonmerodeclculose/oudegrficospara mapearaFOficaproibitivo,porexemplo,para5variveisdedecisocom20 pontosparacada,onmerodevezesqueaFOseravaliada205= 3.200.000. 1.7.2.Obstculos Otimizao Seafunoobjetivo(FO)easfunesderestries(FR)forem"bem comportadas" a otimizao no apresenta grandes problemas. Particularmente seaFOeasrestriesforemtodaslinearesestdisponvelumpoderoso mtodo(ProgramaoLinear)queresolveesteproblemademaneira satisfatria. Entretanto muitos problemas de otimizao so no-lineares. Muitosdosproblemasprticosdeotimizaoemengenhariaqumica apresentam alguns das dificuldades abaixo: P1. Nodisponibilidadededadosoudeummodelomatemticoconfiveldo sistema. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 26P2. DescontinuidadesdaFOoudasFRs.Porexemplo,opreodeum compressoroutrocadordecalornovariacontinuamentecomouma funo das dimenses, presso, temperatura, etc. pois o incremento de um parmetronoafetaocustoemumacertafaixadevariao,pormpara uma outra faixa ocorre um salto no valor do equipamento.P3. No-lineraridade da FO ou FR.P4. AFOeaFRsodefinidasatravsexpressesquecontmcomplicadas interaesentreasvariveisdedeciso.Ainteraoimpedeaexistncia de um nico ponto timo.P5. AFOouaFRtemcomportamentoachatadoouexponencialemalgumas faixas de variao das variveis de deciso. Isto significa que o problema poucoouextremamentesensvel,respectivamente,amudanasdessas variveis.P6. AFOapresentamuitosextremoslocaispertodaregioquecontmo extremo global.Quando no possvel a aplicao dos mtodos de otimizao podemos: (a)fazerumestudodecaso,isto,escolhercriteriosamenteumnmero limitado de opes e analisar qual a melhor alternativa; (b)fazerumestudodesensibilidade,semelhanteaoestudodecaso,apenas mais sistematizado e com um nmero maior de casos a analisar. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 271.8.Exerccios E1.1. CrieumanovafunodeduasVDsacrescentandofunoZdotem 1.7.1(pgina21)umruidorandmico(afunonoMATLABrand). Construagrficosbidimensionais,tridimensionaisedecontorno.Analise os resultados obtidos assumindo que a nova funo Z uma FO. E1.2. Desenvolvaumafunoobjetivoparaotimizarseusrendimentos.No esqueadeestabelecerasrestriesimpostaspelosistema(patro, esposa(o), filhos, etc). E1.3. Dadaafuno ( )22 2 1215 . 1 2 3 x x x x x f + + = construa seu grficos e ache o ponto de mnimo. E1.4. Dada a funo ( ) ( ) | |22 121 23110 exp x x x x x x f =, graficamente obtenha o ponto de mximo. Estude a sensibilidade. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 282. Conceitos Matemticos AbuscadopontotimodeumaFObaseadaemconceitosmatemticos bemconhecidoseextensamenteestudados.Nestecaptulodescreveremose aplicaremosalgunsdessesconceitos,pormnoseremosmatematicamente formais.Vamosprocurarcompreender"intuitivamente"osconceitos matemticosnecessriosaoentendimentoeutilizaodosalgoritmos numricos.Contudosequisermosimplementaralgumalgoritmoteremosque "entrarnomundodoformalismomatemtico"eestudarcommaior profundidadelgebralinear,clculodiferencial,estatstica(paraproblemasde reconcialiao de dados e de estimativa de parmetros) e clculo numrico. A complementao dos tpicos aqui apresentados pode ser encontrada nos livros de clculo, clculo numrico e/ou lgebra linear. 2.1.Definies Umamatriz umconjuntodenmeros,smbolos oufunes dispostos em linhasecolunas.CadaelementodeumamatrizAdenominadoaij,ondeo subscrito i corresponde linha e o subscrito j coluna corresponde. (((((

=nm n nmmm x na a aa a aa a aALM O M MLL2 12 22 211 12 11 Equao 2-A Se o nmero de linhas (n) for igual ao nmero de colunas (m) ento a matriz denominadadematrizquadrada.Umamatrizquadradaparticularmente importante a matriz identidade I. Esta matriz tem todos os elementos iguais a zero, exceto os da diagonal principal (aii = 1, i = 1, ..., n), que so todos iguais a 1 (um). (((((((

=1 0 0 00 10 00 0 1 00 0 0 1LO M MM O OLLn x nIEquao 2-B Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 29Vetoressoumtipoespecialdematrizetemapenasumalinhaouuma coluna. (((((

=nnxxxxxM211 Equao 2-C Atranspostadeumamatriz(AT)amatrizresultantedatrocadaslinhas pelascolunasdamatrizoriginal,entooelementoaijtransforma-seno elemento aji . A transposta de um vetor linha um vetor coluna e vice-versa. | |nTx x x xxnL2 11=Equao 2-D 2.2.Operaes Bsicas com Matrizes e Vetores Igualdade:A = Bse e somente se aij= bij , para todo i e j Adio:A + B = C se e somente secij= aij + bij , para todo i e j A e B devem ter as mesmas dimenses Multiplicao:An x m x Bm x r = Cn x r OnmerodecolunasdamatrizAdeveserigualaonmerodelinhasda matrizB.CadaelementodamatrizCobtidopelosomatriodoprodutodos elementosdai-simalinhadamatrizAvezesoscorrespondenteselementos da j-sima coluna da matriz B : ==mkkj ik ijb a c1 Equao 2-E Em geral a multiplicao de matrizes no comutativa, isto : A B B A Equao 2-F Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 30Multiplicao de uma matriz por um escalar: Cada elemento da matriz multiplicada pelo nmero escalar: ij ijb a s B A s = = .Equao 2-G Transposta de um produto de matrizes: ( )T T TA B B A =Equao 2-H Produto interno entre dois vetores: Seja x e y dois vetores de dimenso n, ento == =nii iTy x y x y x1,Equao 2-I ==niiTx x x12 um escalar Equao 2-J Se o resultado do produto interno entre dois vetores igual a zero, ento esses vetoressoortogonais,emvetoresbioutridimensionaisistosignificaqueos mesmos so perpendiculares entre si. Inversa de uma matriz: Noexisteaversomatricialdadivisoescalar.Pordefinioainversade uma matriz, necessariamente quadrada, a matriz tal que I A A A A = = 1 1 Equao 2-K onde I a matriz identidade Umusofreqentedainversadeumamatrizparaexpressarumconjuntode variveisemtermosdeumoutroconjunto,umaoperaoimportanteem problemas de otimizao com restries. Por exemplo: x z A x A z = =1 Equao 2-L Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 31 Determinante de uma matriz: Afunodeterminante,ousimplismenteodeterminantedeumamatriz (necessariamentequadrada),denotadopordet[A]ou|A|.umnmero escalarindispensvelnainvestigaodesistemasdeequaeslineares.No iremos apresentar a definio do determinante, mas apenas como calcul-lo: para uma matriz de dimenso 1, |A1x1| = a11 para uma matriz de dimenso 2, |A2x2| = a11.a22 - a12.a21 para uma matriz de dimenso 3,|A3x3| = a11.(a22.a33 - a23.a32) - a12.(a21.a33 - a23.a31) + a13.(a21.a32 - a22.a31) para uma matriz de dimenso n, utilize o comando do MATLAB:det(A) Derivada de uma funo escalar de um campo vetorial: Seja uma funo escalar de um vetor denvariveisf(x) , define-se vetor gradiente ou simplismente gradiente de f(x) ao operador ( )( )( )( )|||||.|

\|= = nxx fxx fxx fx fM1 Equao 2-M Define-seamatrizHessianaousimplesmenteHessiana(o)def(x),H(x), matriz das derivadas segunda ordem de def(x) : ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(((((((((

= =222212222221 22122 1221222n n nnnxx fx xx fx xx fx xx fxx fx xx fx xx fx xx fxx fxx fx H LM O M MLL Equao 2-N Seja ovetorb ,n x 1 , de coeficientes constantes ento ( ) ( )bxx fxx f bbxx bT TT((

= = Equao 2-O Seja os vetores xez , n x 1 ,e a matrizA ,n x n , a partir da definio dada pela equao 2-m demonstra-se que: Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 32( )z Axz A xT= Equao 2-P e ( )x A x Axx A xTT+ = Equao 2-Q SeA simtrica vale a seguinte expresso ( )x Axx A xT2 = Equao 2-R e a partir da equao 2-n, seAalm de simtrica for real, ento ( )Axx A xT222= Equao 2-S 2.3. Independncia Linear, Matriz Singular e Rank ou Posto de uma Matriz Matriz cujo determinante igual a zero denominada de matriz singular. Istoacontece quando todos os elementos de uma ou mais linhas (ou colunas) so nulosouquandoumaoumaislinhas(oucolunas)damatriztemuma dependncialinearcomoutra(s)linha(s)[oucoluna(s)],isto,podemos escrever uma linha (ou coluna) como uma funo linear de uma ou mais linhas (ou colunas) da matriz. Portantoseodeterminantedeumamatrizzero,estamatrizsingulare suas linhas ou colunas so linearmente dependentes. Para matrizes quadradas linhas dependentes implicam em colunas dependentes. Por definio as colunas da matriz A, aj, so linearmente independentes se d aj jjn==10se e somente sedj = 0qualquer que seja oj Equao 2-T Adependncialinearocorrequandoparaalgumvalornonulodedja equao 2-t satisfeita. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 33Orankoupostodeumamatrizdefinidocomoonmerodecolunas linearmenteindependentes( rosistematemgl = n - rgrausdeliberdadeeparasolucion-lo tem-se que atribuir valores a gl variveis. Sen = rosistemanotemgrausdeliberdade;parasistemaslinearesdegl = 0seomesmotiversoluo,elanica;parasistemasdeequaes nolinearesdegl = 0nadasepodeafirmar,porexemplo,aequaoseno(x) = 0tem infinitas solues, enquanto uma equao do segundo grau tem at duas solues. Sen < rosistematemgl < 0;seosistemalineareleestsobre-determinadoedeve-seeliminaralgumasequaesparapoderser solucionado;seosistemanolinearas(n - r)equaesamaispodem ser utilizadas para encontrar possveis conjuntos viveis. Dadiscussoacimaverifica-sequeossistemasno-linearessomais complexos e conseqentemente de soluo mais difcil. Paraotimizarumsistemalinearomesmodevetergrausdeliberdade (gl > 0).Aotimizaosedatravsdaescolhacriteriosa,eporintermdiode umalgoritmonumrico,dovalordeglvariveisquemaximizem/minimizem uma funo objetivo. Paraotimizarumsistemano-lineardesejvelqueomesmotenhagraus de liberdade (gl > 0), pois se gl = 0a pesquisa do ponto timo ser apenas nas soluesdosistemadeequaes,enquantoqueparagl > 0oalgoritmode procura tem mais liberdade de agir. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 352.7.Autovalores e Autovetores Uma matrizA n x ntemnautovalores. Define-se um vetor no-nulo n x 1 , v, de autovetor, o qual esta associado com o autovalorda seguinte forma v v A =Equao 2-Z Paracadaautovalorcorrespondeumautovetor.Osautovalorese autovetores fornecem informaes a respeito da natureza das funes em uma otimizao. Setodososautovaloresde umamatrizA so positivos (maiores que zero), entoApositivadefinidaeteminversa.Setodososautovaloresdeuma matriz A so negativos (menores que zero), ento A negativa definida. Rearranjando a equao 2-z obtemos ( ) 0 = v I AEquao 2-AA cujasvariveisdesconhecidassoosautovaloreseosautovetoresv. Devido o lado direito da equao 2-aa ser zero, duas solues so possveis: a soluo trivial:v = 0 ou existe mais de uma soluo, ento det[A - I] = 0. 2.8.Estudo de Funo Sejaumafunodeumanicavarivel,f(x),acondionecessria,mas no suficiente, para que um ponto x*, que no esteja na fronteira do domnio da funo, ou simplesmente ponto interno, seja ponto de mximo ou de mnimo que a derivada da funo neste ponto seja nula. Sejaopontox*opontocrticooupontoestacionrioistof'(x*) = 0.Este ponto pode ser um ponto de mximo, de mnimo ou de inflexo, veja a figura 2-a. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 360 100 200 300 400 500 600 70005001000150020002500 Figura 2-A: Funo monovarivel Acondiosuficienteparaquex*sejaummnimolocalquef'(x*) = 0ef''(x*) > 0,ouseja,sef'(x*) = 0ef''(x*) > 0entox*pontodemnimo. Pormexistempontosdemnimoquenoatendemaessacondio,daa condio suficiente. Por exemplo em f(x).= x4/3 ,x* = 0 o ponto de mnimo, emboraf''(x*)no seja definido neste ponto. Acondiosuficienteparaquex*sejaummximolocalquef'(x*) = 0ef''(x*) < 0,ouseja,sef'(x*) = 0ef''(x*) < 0entox*pontodemnimo. Pormexistempontosdemnimoquenoatendemaessacondio,daa condio suficiente. A condio necessria para que o ponto x* de uma funo multivarivel seja estacionrioquetodasasderivadasparciaisdafunoemrelaossuas variveis sejam nulas naquele ponto, isto ,f'(x*) = 0 Acondiosuficienteparaqueo ponto x*de uma funo multivarivel seja mnimolocalqueamatrizdasderivadasparciaisdesegundaordemda funoemrelaoatodasassuasvariveissejapositivadefinidanaquele ponto, isto ,H(x*) > 0. Acondiosuficienteparaqueo ponto x*de uma funo multivarivel seja mximolocalqueamatrizdasderivadasparciaisdesegundaordemda funoemrelaoatodasassuasvariveissejanegativadefinidanaquele ponto, isto ,H(x*) < 0. Naseo2.11serapresentadooconceitodematrizpositiva(negativa) definida. Por ora basta entender que existe um paralelo entre esse conceito e o dederivadapositiva(negativa)desegundaordemdeumafuno monovarivel. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 372.9.Continuidade de Funes Emproblemasdeotimizaomelhorqueasfunesesuasderivadas sejam contnuas. Na figura 2-b vemos um grfico de uma funo descontnua, enquanto que na figura 2-c temos uma funo contnua, mas com derivada de 1a ordem descontnua. 0 5 10 15 20 25 30 35-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81x 104 Figura 2-B: Funo descontnua 0 5 10 15 20 25 30010002000300040005000600070008000900010000 Figura 2-C: Funo contnua com derivada descontnua Uma funo monovarivel continua no ponto xo se: a) f(xo) existe b)) ( lim x fox x existe c)) ( ) ( limox xx f x fo= Uma funo de duas variveis contnua no ponto (xo,yo) se: a) f(xo,yo) existe b) ( ) ( )) , ( lim, ,y x fo oy x y x existe c) ( ) ( )( ) ( )o oy x y xy x f y x fo o, , lim, ,= Quantomaisafastadaestiveradescontinuidadedopontodemximo (mnimo) da funo, mais facilmente este ponto encontrado. Seumafunono continuamente diferencivel, veja figura 2-c, mtodos deotimizaoqueutilizamderivadasnopodemserempregados,poisa derivada no definida nos pontos de descontinuidade de f(x). Umexemplodedescontinuidadeacontecenoprojetodetubulaes.Existe um nmero finito de dimetros de tudo disponveis para compra, veja figura 2-d,portantoaescolhadodimetrorecairentreumadessasopes.Para resolver esse problema existem duas alternativas: Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 38a) considerarfunesderestriesdiscretaserealizarumaotimizao discreta, neste caso os algotimos numricos so mais complexos; b) considerar variaes contnuas para o dimetro da tubulao e aproximar o resultadoparaabitolamaisprxima(pontosub-timo),parafinsde engenharia este procedimento satisfatrio. 0 2 4 6 8 1024681012141618Di metros de tubos comerci almente di sponvei sCusto Figura 2-D: Custo de instalao de tubulao em funo do dimetro 2.10.Funes Unimodais e Multinodais Na formulao de uma funo objetivo melhor, se possvel, escolher uma unimodal(quetenhaumnicopontodemximooudemnimo)queuma multinodal. Numafunounimodaloextremolocaloextremoglobal;enquantoque numafunomultinodalexistemvriosextremoslocais,umdosquaiso extremo global. Os mtodos numricos apenas detectam extremos locais. 2.11.Funes Cncavas e Convexas Funes convexas e cncavas so unimodais. A determinao da convexidade ou concavidade ajuda a estabelecer se um extremo tambm o extremo global. Umafunodenominadacncava(tempontodemximo,figura2-e)em uma certa regio R, se para todos os pares (xa,xb), pertencentes regio R, ( ) | | ( ) ( ) ( )b a b ax f x f x x f + + 1 1Equao 2-BB onde0 < < 1.Afunoestritamentecncavaseapenasarelaode desigualdade (>) atendida. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 39Uma funo denominada convexa (apresenta ponto de mnimo, figura 2-f) senaequao2-bbosinalde>forsubstituidopor 0para todox 0. Se todos os autovalores de H forem positivos (>0) ento H positiva definida. Se todos os autovalores de H forem no-negativos (>0) ento H positiva semi-definida. 2. Para f(x) ser estritamente cncava H deve ser negativa definida. Para f(x) ser cncava H deve ser negativa semi-definida. H negativa definida se e somente sexTHx < 0para todox 0. H negativa semi-definida se e somente sexTHx < 0para todox 0. Se todos os autovalores de H forem negativos ( 0,ento umaregioconvexafechada.Por outroladosearegiode buscarestritaporinequaesdaformagi(x) < 0econvexas,entouma regio convexa aberta. Encontramos muitas variaes quanto ao tipo e nmero de extremos de uma FO e das suas FR's. No caso geral, necessrio encontrar todos os extremos locais e compar-los para determinar o extremo global. Este procedimento nem sempre exigido quando certas combinaes de FO's e FR's esto presentes. Considereumafunoobjetivocncavarestritaporumaregioconvexa. ComoaFOcncavaelaadmitemximolocalquetambmseromximo global, pois se a regio convexa, na figura 2-i(a) e (b) observa-se que apenas umpontodemximoencontrado.Este,portantoomximolocaleglobal. Observequese aregionofor convexa existem vrios mximos locais, veja figura 2-i(c), e a comparao entre os mesmos necessria. Similarmente para umafunoconvexanumaregioconvexa,existirapenasumpontode mnimo. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 43 Figura 2-I: Relaes entre FO's e regies viveis Por outro lado pode existir mais de um ponto de mnimo numa FO cncava numaregioconvexaconformemostradonafigura2-i(b),oumaisdeum ponto de mximo numa FO convexa de uma regio convexa. Funeslinearessoaomesmotempocncavaseconvexas,portanto, quando a regio de busca convexa, admite apenas um mximo e um mnimo local. AssimseaFO'sesuasFR'ssobemcomportadasaprocuradoponto timo facilitada. Se uma FO bem comportada para a maximizao no implica que ser na minimizaoevice-versa.Assimaminimizaodefunescncavasea maximizao de funes convexas envolve mais de um ponto timo. Senafigura2-i(c )apesquisadopontotimocomearpeloladoesquerdo da regio vivel o ponto alcanado ser o mximo local (no global), por outro ladoseabuscaforiniciadapeloladodireitoseratingidoomximoglobal. Portanto,paraumaregiono-convexatemosquecomparartodosospontos extremosentresiparadeterminaroextremoglobal.Umaalternativapara resolveresteproblemacompletararegiono-convexa(reaamarelada figura 2-j) de forma a torn-la convexa (rea amarela mais azul da figura 2-j) e encontraroextremo,queseroglobalseestamosminimizandoumafuno convexa numa regio convexa, ou se maximizando uma funo convava numa regio convexa.. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 44 Figura 2-J: Regio no-convexa transformada em convexa 2.13. Condies Necessrias e Condies Suficientes para um Extremo de uma Funo Irrestrita Amaneiramaisfcildeestabelecerascondiesnecessriaseas condies suficientes para que um pontoxseja mnimo ou mximo atravs da expanso em srie de Taylor da funof(x)em torno do presumvel ponto extremo x* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x O x x f x x x f x f x fT T + + + = 32. .21.Equao 2-FF ondex = x - x*.Assumindoquetodosostermosdaequao2-ffexisteme os termos de ordem igual ou superior a 3 so desprezveis, pode-se concluir a respeito dos pontos estacionrios por intermdio das derivadas def(x) . Pordefinio,ummnimolocalnopontox*talquenenhumoutroponto nas vizinhanas de x* gera valores de f(x) menores que f(x*), ou ( ) ( ) 0 x f x fEquao 2-GG x*mnimoglobalseaequao2-ggatendidaparatodoxpertencente regio vivel. Analogamente, x* mximo local se ( ) ( ) 0 x f x fEquao 2-HH Examinandoosegundotermodoladodireitodaequao2-ff:Tf(x)x, chega-seconclusoqueTf(x*) = 0,poiscomoxassumevalores negativosepositivos,paraqueacondiodemnimo(equao2-gg)oude Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 45mximo(equao2-hh)sejasempresatisfeita,pormenorquequesejax,Tf(x*)devesersemprenulo,senoessacondioseriaviolada,pois,para valoresmuitopequenosdex,ostermosdasderivadasdeordemigualou superior a 2 so desprezveis em relao ao elemento das derivadas de 1a. Portanto para x* ser ponto estacionrio o gradiente de f(x) deve ser nulo em x* ,Tf(x*) = 0 . Essa condio apenas necessria pois o ponto x* pode ser ponto de sela ou ponto de inflexo. Seacondionecessria(Tf(x*) = 0)atendida,ento2f(x*)deveser maior que zero para quex* seja ponto mnimo, pois a equao 2-gg deve ser satisfeita mesmo para valores muito pequenos de x , e nesse caso os termos de ordem igual ou superior a 3 da equao 2-ff so desprezveis em relao ao termodaderivada2a.Raciocnioanlogocomaequao2-hhpodeserfeito para interpretar se um ponto estacionrio mximo. Logo para x* ser ponto de mnimo,Tf(x*) = 0e2f(x*) > 0 . Essa condio apenassuficientepoispodeserquea2aderivadanoexistanopontox*, apesardesteserpontodemnimo.Similarmenteraciocina-separaopontode mximo. Sef(x*) = 0e2f(x*) = 0entox* ponto de sela. Resumindoascondiesnecessrias(CN1eCN2abaixo)eascondies suficientes (CS3 e CS4) que garantem quex* um extremo so as seguintes: CN1. f(x)seja uma vez diferencivel no pontox* .CN2. f(x*) = 0 , isto ,x*seja um ponto estacionrio.CS1. f(x)seja duas vezes diferencivel no pontox* .CS2. 2f(x*) = H(x*)seja positiva definida para que um mnimo exista emx* , e seja negativa definida para que um mximo exista emx* .Na tabela 2-a v-se um resumo das condies discutidas nesta seo. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 46Tabela 2-A f(x*)H(x*) = 2f(x*)xT.2f(x*).xPrximo de x*f(x) -f(x) Pode-se afimar que 0no ponto estacionrio = 0positiva definida > 0> 0existe mnimo = 0positiva semi-definida > 0possivelmente > 0 possivelmente existe mnimo = 0negativa definida < 0< 0existe mximo = 0negativa semi-definida < 0possivelmente < 0 possivelmente existe mximo = 0indefinidaambos > 0 e > 0, dependendo de x > 0, < 0 ou nenhum dos dois nada se pode afirmar Observaes: f(x) que o gradiente da funo f(x). H(x) = 2f(x)denominadadematrizHessianadef(x),ousimplesmente Hessiano(a) de f(x). Alguns autores denominam o determinante de 2f(x) de Hessiano de f(x), ou seja,H(x) = det[2f(x)],pormestanoanomeclaturaadotadaneste trabalho. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 472.14. Interpretao da Funo Objetivo em Termos de uma Aproximao Quadrtica Se uma funo de duas variveis ou pode ser aproximada por uma funo quadrtica do tipo ( )2 1 1222 2221 11 2 2 1 1 0x x b x b x b x b x b b x f + + + + + =Equao 2-II entoosautovaloresdamatrizHessianadef(x)podemserutilizadospara interpretar a natureza def(x)nos pontos estacionriosx* . A tabela 2-b lista as concluses que podem ser alcanadas examinando os autovalores de H(x*), e asilustram as diferentes superfcies correspondentes a cada tipo de funo quadrtica. Tabela 2-B: Interpretao geomtrica de uma funo quadrtica Caso Relao entre os autovalores Sinal 1 Sinal2 Tipo decontornoInterpretaogeomtrica Ponto estacionrio Problema de otimizao Fig. 11 = 2--CrculoMonte circularMximo bem-comportado e raro na prtica 2.11 21 = 2++CrculoVale circularMnimo bem-comportado e raro na prtica 2.11 31 > 2--ElipseMonte elpticoMximo bem-comportado e mais freqente 2.12 41 > 2++ElipseVale elpticoMnimo bem-comportado e mais freqente 2.12 5|1| = |2|+-HiprboleSela simtricaPonto de seladegenerado2.13 6|1| = |2|-+HiprboleSela simtricaPonto de seladegenerado2.13 71 > 2+-HiprboleSela alongadaPonto de seladegenerado2.13 82 = 0-Reta Condilheira estacionria Infinitosdegenerado2.15 92 = 0+Reta Vale estacionrio Infinitosdegenerado2.15 102 = 0-Parbola Cordilheira crescente No degenerado2.16 112 = 0+Parbola Cordilheira decrescente No degenerado2.16 Uma funo objetivo dita bem-comportada quando seus contornos formam uma regio convexa. Comomostradonatabela2-bosautovaloresdamatrizHessianadef(x) indicam a forma da superfcie formada por f(x). Por sua vez os autovetores de H(x) correspondem s direes dos principais eixos dos contornos de f(x). Esta informao pode ser utilizada para definir direes de pesquisa mais eficientes. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 48 Figura 2-K: Geometria de FO de 2a ordem de duas VDs: contornos circulares Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 49 Figura 2-L: Geometria de FO de 2a ordem de duas VDs: contornos elpticos Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 50 Figura 2-M: Geometria de FO de 2a ordem de duas VDs: ponto de sela Figura 2-N: Geometria de FO de 2a ordem de duas VDs: vale Figura 2-O: Geometria de FO de 2a ordem de duas VDs: cordilheira decrescente Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 512.15.Exerccios E2.1. Utilizando a definio de inversa de uma matriz, expresse o vetor x em funo do vetor z. z1 = x1 + x2 z2 = 2x1 + x2 E2.2. Utilizando a tcnica da matriz aumentada (operadores-linha) calcule a inversa de A: ((

=1 24 1ACompare a matriz A-1 com a inversa calculada pelo comando inv(A) do MATLAB. E2.3. Calcule a soluo dos seguintes sistemas de equaes lineares:A x = b (a) ((

=((

=01;2 11 2b A(b) ((

=((

=56;1 12 2b A(c ) ((

=((

=36;1 12 2b AE2.4. Utilizando a equaodet[A - I] = 0calcule os autovetores e autovalores damatriz ((

=1 22 1A .Compareosresultadoscomosobtidospelo comando [v,d] = eig(A)E2.5. Determineospontosestacionriosdafunof xx x x( ) =+ + +12 14 3 2e classifique-os.E2.6. Verifique a regio na qual f(x) e f'(x) so contnuas: a)( )xx f1=b)( ) ( ) x x f ln =E2.7. Estude a variao da funof(x) = 2x2 - x3 , isto , estabelea as regies deconcavidadese/ouconvexidades,calculeospontosestacionriose obtenha o valor de de f(x) nesses pontos. Trace grficos de f(x). Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 52E2.8. Determine a convexidade/concavidade das funes abaixo: a) f(x) = 2x12 - 3x1x2 + 2x22 b) f(x) = x12 + x1x2 + 2x2 + 4 c) f(x) = 2x1 + 3x2 + 6 d) f(x) = 2x12 + 2x1x2 + 1,5x22 + 7x1 + 8x2 + 24 E2.9. Determinearegioviveleverifique,atravsdaHessianaede grficos, se a mesma convexa ou no: a) -x12 + x2 > 1 ;x1 - x2 > -2b) -x12 + x2 > 1 ;x1 - x2 < -2 c) x1 < 6 ; x2 < 6 ; x1 > 0 ; x2 > 0 ; x1 + x2 < 6 E2.10.Classifiqueospontosestacionrioseverifiqueseascondies necessrias e as suficientes so atendidas:a) f(x) = x4/3 b) f(x) = 4x3 c) f(x) = x13+ x22 - 3x1 + 8x2 + 2 d) f(x) = 4 + 4,5x1 - 4x2 + x12 + 2x22 - 2x1x2 + x14 - 2 x12x2 E2.11.HappeleJordan(ChemicalProcessEconomics,MarcelDekker,New York,1975,p.178)desenvolveramumafunoobjetivo(custo)para uma coluna de destilao:f(n,P,R)=14720(100 - P) + 6560R - 30,2PR + 6560 - 30,2P + 19,5n(5000R - 23PR +5000 - 23P)0,5 + 23,2(5000R - 23PR + 5000 - 23P)0,62 ondenonmerodeestgiostericos,RarazoderefluxoePo percentualderecuperaodacorrentedofundo.Qualopontotimo? NestepontoaFOconvexa?Existealgumaregionoconvexanas vizinhanas do ponto timo?E2.12.Umareaohomogneaconverte2compostosorgnicos(AeB)num produtoPpelo aquecimento do meio reacional. Os reagentes podem ser injetadosnoreator,enquantoquevaporpassaporumaserpentinapara aquecer o meio reacional. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 53OprodutoPpodeservendidoa50$/kg-mol.Para1kg-molde alimentao,ocustodaalimentao(em$/kg-mol)umafunoda frao molar de A (xA) e dado porf(xA) = 2 + 10xA + 20xA2 . O custo do vapor(emdolares)umafunodeS(kgdevapor/kg-molde alimentao)eg(S) = 1 + 0,003S + 2x10-6S2.OrendimentoaP dado poryP(xA,S) = 0,1 + 0,3xA + 0,001S + 0,0001xAS , onde as unidades deyPsokg-mol de P/kg-mol da alimentao. Pede-se a)Obtenhaafunolucratividade(basede1kg-moldealimentao)em funode xA e S b)Maximize a FO sujeita s seguintes restries:0 < xA < 1e S > 0 c) Demonstre matematicamente sef uma funo cncava ou convexa? d) A regio vivel convexa? Por que? Ref.: TodososexercciosforamextradosouadaptadosdeEdgar,T.F.& Himmelblau, D. M. "Optimization of Chemical Processes". Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 543. Formulao Matemtica de um Problema de Otimizao Podemos sub-dividir o problema de otimizao em trs etapas: E1. Expresso em linguagem matemtica do problema. Identificaodasvariveisdedeciso(VDs)edasauxiliares(VAs, todas as demais variveis e constantes) Identificao do objetivo (FO) Identificao das restries (FRs) E2. Resoluo das equaes e obteno do(s) ponto(s) timo(s). E3. Interpretao dos resultados. Dessastrsetapas,semdvidanenhuma,aprimeira,ouseja,aformulao matemticadoproblemaamaisdifcilecrtica.Difcilpoisrequerum profundoconhecimentodosistemaaserotimizadoeolevantamentode informaesnemsempredisponveisouquantificveisdemaneiraprecisa. Crtica porque as demais etapas dependem dela. Odesenvolvimentodafunoobjetivoedesuasrestriesrequerque sejamarbitradashiptesessimplificadoras,quepreservemasprincipais caracterstivas do sistema e que possibilitem a resoluo do problema. Ou seja, deve-seestabelecerummodelomatemticosimultaneamentesimplesefiel aosfenmenosdosistema.Noexisteumprocedimentopadronizadopara desenvolverummodelomatemticodeumsistema.Naverdadeestatarefa umaartequedeveseraprendidaapartirdarealizaodevriosexercciose exemplos. A resoluo do problema de otimizao se resume a aplicao de algoritmos numricosadequadosacadaclassedeproblemas.Estatarefano complicada,emboraodesenvolvimentoeimplementaodenovosalgoritmos oseja.Pormjestocomercialmentedisponveistimos"pacotes computacionais": PCO1. IMSL (International Mathematical and Statistical Library), PCO2. NAG (Numerical Algorithms Group),PCO3. HARWELL,PCO4. NUMERICAL RECIPES in C, FORTRAN, PASCAL,PCO5. TOOLBOX DE OTIMIZAO DO MATLAB.Nestecursoficaremosmaisinteressadosemaplicarcorretamenteos algoritmos implementados no MATLAB. Ainterpretaodosresultadosobtidosoutraetapaquerequermuita atenoeconhecimentoarespeitodosistema.Porexemplo,quandoexistea Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 55multiplicidadedepontosextremosaescolhadomelhorpoderecairsobreum extremolocaldiferentedoglobal,masqueapresentecaractersticasmais apropriadas para o sistema. ComofoiditonoCaptulo1,aexpressomatemticadeumproblemade otimizao tem duas partes: P1. afunoobjetivo(FO),ouseja,ocritriodedesempenhoaseratingido, cuja especificao obrigatria; P2. asrestriesoufunesderestrio(FR),queestoquasesempre presentes.Demaneirageralasrestriespodemserescritassobaformade equaes(algbricasoudiferenciais)e/ouinequaes(algbricasou diferenciais). Genericamenteoproblemadeotimizaopode serformuladoda seguinte forma ( )( ) 0 e/ou0a sujeito) ( min=x hx gx fx Equao 3-A Para resolver os problemas linearres ou no-lineares de otimizao com ou sem restries existem inmeros mtodos numricos. Nos captulos 4, 5, e 6 descreveremosalgunsdosalgoritmosmaisutilizadosnosproblemasde engenharia qumica. Nas sees 3.1, 3.2 e 3.3 estudaremos como definir a FO e suas FR's. 3.1.A Funo Objetivo (FO) Devemossercapazesdetraduzirexpressesverbaisdotipomaximizao dolucroouminimizaodoscustosemtermosmatemticos.Devemos expressaraFOemtermosdeunidadesmonetriasouemunidades quantificveis,eomitirexpressesfilosficasdotipo"construirummundo melhor"ou"desenvolverumasociedademaishumana".Tambmno trataremos de problemas que envolvem mltiplas funes objetivos. NadefiniodaFOpodemosconsiderarapenasobjetivoseconmicos (maximizaralucratividade,porexemplo)ouapenasobjetivosoperacionais (diminuiradiferenaentreovalordesejadoeovalormedidonaoperaode um equipamento) ou combinar os dois tipos de objetivos numa nica FO. Todososprocedimentosnumricosdeotimizaorequeremqueseja definidoumcritriodeparadaoutolerncia,poisasoluoexatanunca encontrada, mas apenas uma aproximao da mesma. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 563.1.1.Tolerncia ou Critrio de Parada Comodissemosanteriormente,opontotimoobtidoestnumavizinhana do timo verdadeiro. Esta vizinhana pode ser to pequena quanto a preciso dasinformaesutilizadas,massempresernecessrioarbitrartal aproximao, isto , a tolerncia. Umdosseguintescritriospodemserutilizadosparainterromperos processos iterativos de procura do ponto timo: Erro absoluto na FO: ( ) ( )11 < + k kx f x fEquao 3-B Erro relativo na FO: ( ) ( )( )21 -min(1) . Note que seforsuficientementegrandeIpodesubjugaraH(x)enestecasoo algoritmo se aproxima do gradiente descendente. OmtododeLevenberg-Marquardtparaminimizarumafunopodeser implementado segundo o algoritmo abaixo: P1. Defina uma estimativa inicialxoe uma tolerncia . P2. Parak = 0faa0 = 103 .P3. Calculef(xk) .P4. Verifique se a tolerncia foi atingida, se no continue.P5. Calcule | | ( )k k kx f I H s + =1.P6. Computexk+1 = xk + k.sk . k calculada pela equao 5-f.P7. Sef(xk+1) < f(xk)v ao passo P8, se no v ao passo P9.P8. k+1 = 0,25k , e k = k +1 . Volte ao passo P3.P9. k = 2k . Volte ao passo P3.Portanto o mtodo de Levenberg-Marquardt no incio se comporta como um gradientedescendente(grande),masamedidaqueseaproximadoponto timotendea secomportarcomoomtododeNewtonouo de quasi-Newton ( pequeno). 5.1.5.Mtodo da Secante ou Quasi-Newton Poranalogiacomomtododasecanteparafunesdeumavarivel,os procedimentosdescritosnestaseominimizamf(x)utilizandoapenasos valores def(x)e def(x) ; a Hessiana def(x) aproximada por combinao desses valores, ( )$Hx. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 101Esses mtodos tambm so afetados pela estimativa inicial de xo. Osalgoritmosdosmtodosquasi-Newtonpodemserresumidodaseguinte maneira: Passo0 (zero) P1. Defina uma estimativa inicialxoe uma tolerncia . P2. Selecione a direo inicial de buscaso . Usualmenteso = -f(xo) .P3. Calcule ( )$ $H Hx00 ,freqentemente $H I0= se ( )$Hx0noforpositiva-definida Passok P1. Calcule o escalark , por exemplo pela equao 5-f, ou faa = 1 .P2. Calcule xk+1que minimizaf(x) :kkk k ks H x x11+|.|

\|+ = .P3. Calculef(xk+1)ef(xk+1) .P4. Calcule xk = xk+1 - xke gk = f(xk+1) - f(xk) .P5. Calcule|.|

\| + =+ k k kH H H 1 ou 1 1 11 +((

|.|

\| +((

=((

k k kH H Hescolhendo uma das equaes entre equao 5-p e equao 5-t. P6. Calcule a nova direo de busca por | | ( )1111+++ =kkkx f H s atravs da inverso de matriz ou ( )1 11+ ++ =k kkx f s H pela soluo do sistema linear,. Passok + 1 P1. Verifique se a tolernciafoi atingida P2. Seocritrio deconvergncia foisatisfeito, pare. Se no, retorne ao passo k.AlgumasequaesquerealizamaaproximaodamatrixHessianaoude sua inversa so mostradas a seguir: Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 102Broyden: kTkkkTkkk kkkkg g H xg H x g H xH((

|.|

\| ((

|.|

\| ((

|.|

\| = |.|

\| 11 11 Equao 5-P Davidson-Fletcher-Powell (DFP): ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )kk TkTk Tk kkkTkTk kkg H gH g g Hg xx xH ((

= 11 11 Equao 5-Q ou sua equivalente ( )( ) ( )( )( ) ( ) | |( ) ( ) | |kTk kTkTk k kTkkkkTkTkkk kTk kkkkx g x gg g x x H gx gx H g g g x H gH |.|

\| |.|

\| + |.|

\| = |.|

\| Equao 5-R Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS): ( )( ) ( )( )( ) | |( ) | |kTk kTkTk k k kkkkTkTkkk kTk kkkkx g x gx x g g H xx gg H x x x g H xH ((

|.|

\| ((

|.|

\| + ((

|.|

\| = |.|

\| 11 11 Equao 5-S ou sua equivalente ( )( )( ) ( )( )( )kk Tkk Tk kkkTkTk kkx H xH x x Hx gg gH = Equao 5-T Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 103Algumas desvantagens desses mtodo so D1. ( )$ $H Hk kou1podedeixardeserpositiva-definida,nestecasodevemos utilizar um dos mtodos descritos na seo 5.1.4. D2. Acorreo ( ) ( ) $ $H Hk kou1podetornar-seilimitadadevidoaoserros de arredondamento.D3. Se ( )( )x H f xk kkk= $1poracasotemamesmadireodaiterao anterior ento ( )$ $H Hk k + +1 11ou torna-se singular ou indeterminada.5.2.Mtodos Diretos (MD) para OMSR Mtodosdiretosnoutilizamasderivadasparadeterminaradireoda busca.svezesosMD'ssomaisefetivosqueosMI's,pormessesltimos temumataxamaiordeconvergncia.OsMD'sapresentamavantagemde serem fceis de entender e implementar. Os MD's mais utilizados em problemas de engenharia qumica so: MD1. Busca randmica. MD2. Grade de busca. MD3. Busca unidirecional. MD4. Mtodo simplex ou do poliedro flexvel. 5.2.1.Busca Randmica O algoritmo deste procedimento o seguinte P1. Fazerk = 0 P2. Randmicamente escolher um vetorxk P3. Avaliarf(xk)P4. Verificar se a tolerncia foi atingida, se no retornar ao passo P2.Algunsmtodosescolhemadireodebuscarandomicamenteeminimizam nessadireoafuno f(x).Obviamente,asoluotimaspodeserobtida com 100% de probabilidade quandok , mas se a FO for muito suave esse mtodo razovel. Umaalternativainteressanteutilizaresseprocedimentocomopontode partidaparaoutroalgoritmo:realiza-seumasriedebuscasrandmicas escolhendo a que representar menor valor paraf(x) . Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 104Tambmpodemosutilizarabuscarandmicaparacertificarqueoponto timoapenasumextremolocal.Nestecasodamosumaperturbadana soluotimaeseapsvriasperturbaesverificamosquevoltamosao mesmopontotimo,temosumaboaprobabilidadedetermosencontradoo mximo global duma certa regio. Por exemplo, na Figura 1-2, do captulo 1, a FO tem inmeros vales e montes prximo ao ponto timo. Se, ao encontrar um pontocandidatoaotimo,operturbarmosporpequenosincrementos randmicose,aocontinuarcomabusca,verificamosquefomosparaoutro pontoestacionriotemosacertezaqueexistemmultiplicidadedepontos estacionrios e a procura do ponto timo deve ser melhor investigada. 5.2.2.Grade de Busca Esse algoritmo simplesmente faz o mapeamento da FO ao longo de pontos afastadosumdooutrosegundoumageometriapreviamentedeterminada, figura5-f.Escolhemosopontoqueminimiza(maximiza)f(x),nesteponto repete-se a grade e assim sucessivamente, at encontrar o ponto timo. Figura 5-F: Vrias tipos de grades de busca O mtodo da grade de busca requer um elevado esforo computacional para problemas multivarivel. 5.2.3.Busca Unidimensional O algoritmo desse mtodo pode ser assim resumido: P1. Fazerk = 0e estimar um vetorx0 .P2. Escolher uma componentejdo vetor xk .P3. Utilizandoummtododeotimizaounidimensional,encontraroponto timo na direoj .P4. Escolher outra direoje retornar ao passo P3 at ter percorrido todas n direes possveis.P5. Verificar se a tolerncia foi atingida, se no retornar ao passo P2.EssemtodosmaiseficientequantomaisquadrticaforaFO,isto, quanto mais alinhado estiverem os eixos das curvas de nvel com os eixos das variveis de deciso. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 105x1 = -2:0.1:2; x2 = -2:0.1:2; [X1,X2] = meshgrid(x1,x2) ; fx1 = X1.^2 + 10*X2.^2; v1 = [0.1,0.5,1,1.5,2,3,4,6]; c = contour(x1,x2,fx1,v1);clabel(c); -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2-1.5-1-0.500.511.52 0.10.5 1 1.52 3 4 6 6 Figura 5-G: Curvas de nvel com os eixos alinhados x1 = -2:0.1:2; x2 = -2:0.1:2; [X1,X2] = meshgrid(x1,x2) ; fx2 = X1.^2 + X2.^2 + X1.*X2; v2 = [0.1,0.5,1,1.5,2,3,4,6]; c = contour(x1,x2,fx,v2);clabel(c); -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2-1.5-1-0.500.511.52 0.1 0.5 1 1.52 3 44 4 4 6 6 Figura5-H: Curvas de nvelcom os eixos desalinhados 5.2.4.Mtodo Simplex ou do Poliedro Flexvel Essemtodoutilizaumafigurageomtricaregular(umsimplex)para selecionaroponto,umdosvrticesdosimplex,queminimizaf(x).Emduas dimenses o simplex um tringulo, em trs dimenses, um tetraedro, e assim sucessivamente. Para entender o mtodo vamos assumir uma funo de duas variveis e que o tringulo seja equiltero. Na primeira iterao para minimizarf(x) ,f(x) avaliada em trs pontos, os vrticesdeumtringulo,figura5-i(a).Adireodebuscaorientadaapartir do ponto de maior valor de f(x) passando pelo centride do simplex, assim uma vezdeterminadaadireoecomootringuloequilteroestdeterminado umnovoponto,figura5-i(a).AFOavaliadanestenovopontoeumanova direo de busca determinada. O procedimento repetido, sempre rejeitando umvrtice,figura5-i(b).Tambmdevemserdesconsideradosvrticesj visitados.Quandonenhumnovovrticeencontradodevemosdiminuiro tamanhodaarestadotringuloecontinuarcomabuscadopontotimoat atingr o critrio de parada. NeldereMead(1965)descrevemumaversodomtodomaiseficientee maiscomplexa,quepermiteestabelecerfigurasgeomtricasqueexpandeme contraremsuasarestascontinuamenteduranteabuscadopontotimo Nelder, J. A., e R. Mead, "A Simplex Method for Function Minimization", The Computer Journal, 7: 308 (1965) Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 106(poliedroflexvel).Detalhesdestemtodoeumcdigocomputacionalso encontrados em Himmelblau (1970)@ e (1972)# Figura 5-I: Representao do mtodo Simplex 5.3.Avaliao dos MD's e MI's para Problemas de OMSR Os MD's foram os primeiros mtodos propostos para resolver problemas de OMSResoutilizadosnaindstriaqumicadevidoaofatodeseremsimples de entender e implementar, entretanto so menos eficientes e robustos que os modernos MI's. Porm para problemas com duas variveis de deciso os MD's so freqentemente satisfatrios. OsMI's,poroutrolado,necessitamdeconhecerasderivadasdaFO.Se utilizarmosasderivadasanalticastemosmenoresforocomputacionalao custodeummaioresforocerebral.Seutilizarmosasderivadasaproximadas por diferenas finitas estamos mais sujeitos a erros de truncamento. Na tabela 5-a vemos a comparao entre MIs e MDs. Tabela 5-A: Comparao entre MI's e MD's Mtodos numricos de otimizao Mtodo Indireto (MI)Mtodo Direto (MD) Utilizam f(x) e f (x) a cada iterao Utilizam f(x) a cada iterao Menor nmero de iteraesMaior nmero de iteraes Maior tempo por iteraoMenor tempo por iterao @ Himmelblau, D. M., Process Analysis by Statistical Methods, John Wiley & Sons, New York, 1970. # Himmelblau, D. M., Applied Nonlinear Programming, McGraw-Hill, New York, 1972. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 107Fornecem apenas uma soluo aproximada do ponto timo Para que os mtodos estudados sejam eficientes necessrio que: a funo seja unimodal, seja conhecida a regio de busca que contenha o extremo da funo, nos mtodos indiretos (MI) seja dada uma boa estimativa inicial. Elembremossemprequeojulgamentodoengenheiroessencialna aceitao ou no das solues encontradas pelos pacotes computacionais. 5.4.Exerccios E5.1. NasfunesapresentadasnosexercciosE2.8.,E2.10.(c)eE2.10.(d) encontre os pontos estacionrios e classifique-os. E5.2. Utilizandoasfunesfminu('f',x)efmins('f',x)dotoolboxde otimizao do MATLAB resolva os exerccios E2.11 e E2.12. Compare as respostas obtidas e o desempenho dos mtodos numricos empregados.E5.3. Atravsdaanlisedimensional,oproblemadetransfernciadecalor pode ser expresso por: Re Nu =ondeNu=nmero de Nusselt Re=nmero de Reynolds e =constantes Defina uma FO e Obtenha a melhor estimativa deebaseada nos seguintes dados experimentais: Tabela 5-B: Dados experimentais para o exerccio E5.3. Re 100100200 200 300 300 400 400 500 500 Nu31363340404243453649 Ref.: Himmelblau, D. M., Process Analysis by Statistical Methods, John Wiley & Sons, New York, 1970. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 108E5.4. Ajuste a equao de estado de Berthelot (para 1 mol): PRgTV baTV=2 para o SO2 a partir dos seguintes dados: Tabela 5-C: Dados para o exerccio E5.4. V (cm3/g) P (atm) massa de gs(g) T (C) 67,810 5,6510,294850 50,882 7,338 45,280 8,118 72,946 5,7670,294875 49,603 8,237 23,33115,710 80,170 5,6990,2948100 45,664 9,676 25,28416,345 15,28524,401 84,581 5,8120,2948125 42,67511,120 23,48019,017 14,73527,921 23,91320,3141,9533150 18,24125,695 7,293751,022 4,657763,730 20,68526,6171,9533200 10,59547,498 5,848174,190 Ref.: Himmelblau, D. M., Process Analysis by Statistical Methods, John Wiley & Sons, New York, 1970. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 1096. Ajuste de Modelos Matemticos Neste captulo estudaremos o ajuste de modelos matemticos lineares com umavarivelindependente(seo6.1),comvriasvariveisindependentes (seo6.2)eoajustedemodelosmatemticosno-lineares(seo6.3)a dados experimentais. Veremos tambm algumas observaes e "dicas" (seo 6.4) quepodemacelerar a convergncia dos mtodos numricos utilizados no ajustedemodelosmatemticos.Porfim,masnoporltimo,resolveremos alguns exerccios (seo 6.5) que ajudaro a fixar os conceitos discutidos neste captulo. Comojdissemosanteriormente,otratamentorigorosoecorretodeajuste demodelosempregaconceitoseprocedimentosestatsticos,pormneste cursofaremosumestudomais"pragmtico"esuperficialdesteproblema. Abordaremosoajustedemodelosdopontodevistadeumproblemade otimizao.Entretanto,algunsconceitosestatsticosseronecessriose citados/definidos nos momentos oportunos. Devemosterclaroosignificadodevariveldeterminsticaedevarivel estocstica: Varivel determinstica - assume um nico valor com probabilidade de 100% de ocorrer; Varivelestocstica-podeassumirumvalorcomumacertaprobabilidade (menor que 100% de ocorrer). Simplificadamente,podemosdefinirqueumavarivelestocsticatemuma partedeterminsticaeumaparterandmicaoualeatria,quedenominamos desvio padro, ou seja Varivel estocstica = parte (varivel) determinstica desvio padro ASVARIVEISESTOCSTICASSEROREPRESENTADASEMLETRASMAISCULAS, com a exceo do desvio padro que ser representado pela letra grega sigma (), enquanto que as determinsticas em letras minsculas. Nafigura6-aobservamosalgumasrepresentaesesquemticasde modelosmatemticos.Odiagramadeblocosletra(c)oadequado formulao matemtica de uma varivel estocstica adotada neste curso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t y t t x f t Y + = + =Equao 6-A Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 110 Figura 6-A: Diagramas de blocos de modelo determinstico (a) e estocsticos (b,c,d) Sosinnimosdevarivelestocstica:varivelaleatriae/ouvarivel randmica ("randon or stochastic variable"). A bibliografia recomendada para este captulo : Himmelblau,DavidM.ProcessAnalysisbyStatisticalMethods.John Wiley & Sons, Inc. 1970 6.1.Ajuste de Modelos Lineares nos Parmetros Com Uma Varivel Independente Vamosassumirqueapenasavariveldependente(VDep)estocsticae queavarivelindependente(VI)determinstica,isto,VDepest associadoumcertodesviopadro,enquantoqueovalorassumidopelaVI conhecido e sem erros (desvios) de medio ou de qualquer outra natureza. Nestetextovamosnosreferiramodeloslinearesapenasnosparmetros, sendo que a varivel independente pode ou no ser linear, por exemplo: a) Modelo linear nos parmetros e na VI: ( ) ( ) t x b b t Y .1 0 + =Equao 6-B b) Modelo linear nos parmetros e no-linear na VI: ( ) ( ) t x b b t Y .1 0 + =Equao 6-C Modelo Determinsticox(t)y(t)(a) Modelo Determinsticox(t) (c) y(t)(t)Y(t)6Modelo DeterminsticoX(t) Y(t)(d)(b)Modelo Estocstico x(t) Y(t) Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 111c) Modelo no-linear nos parmetros e na VI: ( ) ( ) ( )0 1 0. . exp b t x b b t Y + =Equao 6-D Neste captulo estudaremos modelos conforme a equao 6-b ou a equao 6-c. Para reconhecer se um modelo linear em relao a um dado parmetro bastaderivarparcialmenteomodeloemrelaoaoparmetro,seoresultado no depender do parmetro ento o modelo linear em relao ao mesmo. 6.1.1.Escolha da Forma do Modelo Linear Na maioria das vezes a relao entre as VI's e VDep's no-linear, nesses casos, para aplicar a regresso linear, devemos estabelecer uma relao linear entre essas variveis, aplicando transformaes s mesmas. Alguns exemplos de transformaes podem ser observadas na tabela 6-a. Tabela 6-A: Transformaes para forma linear de funes de uma varivel Equao na Forma Coordenadas na Forma Linear Equao na Forma No-LinearEixo XEixo YLinear x b by.11 0 + =x yy1#=x b b y .1 0#+ =xb b y1.1 0 + =xx1#= y #1 0.x b b y + =x b byx.1 0 + =x yxy =# x b b y .1 0#+ =2 01. b x b yb+ = ( ) x x log#= ( )2#log b y y = ( )#1 0#. log x b b y + = SeumarelaolinearentreaVIeaVDepestabelecida,atravsdeuma transformao,osparmetrosdomodelono-linearpodemserestimadospor regressolinear.Noentanto,otratamentodoserrosdemediodaVDep torna-se mais complexo, pois a transformao linear no pode ser aplicada ao tratamento do erro. Por exemplo, seja a relao no-linear: + = + =1.0bx b y YEquao 6-E Linearizando a equao 6-e, no obteremos o resultado abaixo: Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 112( ) ( ) ( ) + + = x b b Y log . log log1 0 Equao 6-F Outrofatorelevante,quantoformadomodeloaserajustado,a independnciaentreosparmetrosdomesmo.Isto,quantomais independenteosparmetrosentresi,maisfcileconfiveloajuste.Para modelos lineares de 1a ordem uma forma de estabelecer a independncia entre os parmetros escrever o modelo da seguinte maneira: ( ) x x b b Y + = .1 0 Equao 6-G ondex a mdia dos valores dex . 6.1.2.Ajuste do Modelo Linear Univarivel Aobtenodasmelhoresestimativas dosparmetrosdeummodelo um problema de otimizao. Portanto necessrio estabelecer: a) a funo objetivo (FO) a ser alcanada; b) a(s) funo(es) de restrio(es) (FR), estas no sero consideradas neste captulo; c) o critrio de parada, quando for utilizado um mtodo numrico. Afunoobjetivo(FO)podeser,porexemplo,aminimizaodasomados quadradosdoserros,entrevalormedidoevalorcalculadopelomodelodaVI; ouamaximizaoda funodeverossimilhana;ou minimizaodasomado mdulo dos erros. Aestimativaatravsdafunodemximaverossimilhanarequero conhecimentodeconceitosestatsticosquefogemaoescopodestecursoe, por isso, no ser aqui estudada. Autilizaodafunomdulosemprelevaaumtratamentomatemtico complexo e no necessariamente mais adequado. Portantoousodosmnimosquadradosconvenienteaosnossos propsitos.Almdissoconduzaproblemasdeotimizaocomsoluo analtica. Seja a FO a seguir: Melhores estimativas, pois nunca obteremos o valor real do parmetro, apenas uma estimativa tima, segundo um certo critrio, do mesmo. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 113( ) | |= ==nii i ip Yf12.min Equao 6-H onde ( ) x x b bi i + = .1 0Equao 6-I n-nmero total de experimentos realizados i-valor calculado da VDep para um certo xi pi-nmero de medidas replicadas para um certo xi Yi -valor da mdia dos experimentos replicados para um certo xi x -valor mdio da varivel independente Substituindo a equao 6-i na equao 6-h, obtemos ( ) ( ) | |)` = ==nii i ip x x b b Yb b b bf121 01 0 1 0. .,min,minEquao 6-J Comoqueremosminimizaremrelaoaosparmetrosdevemosderivara funoem relao aos mesmos e igualar a zero: ( ) ( ) | |( ) | | { } 0 . . 2. .11 00121 00= =)` ===nii i inii i ip x x b b Ybp x x b b Yb Equao 6-K ( ) ( ) | |( ) | |( ) { } 0 . . . 2. .11 01121 01= =)` ===nii i i inii i ip x x x x b b Ybp x x b b Yb Equao 6-L Abrindo essas equaes, obtemos | | | | ( ) | | = = = + =nii iniiniii p x x b p b p Y11101. . . .Equao 6-M Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 114( ) | | ( ) | | ( ) | | = = = + = nii inii inii ii p x x b p x x b p x x Y121101. . . . . .Equao 6-N mas ( ) | | | | | | | || || || | 0 ... . . .1111 1 1 1= = = ==== = = =niiniinii inii iniinii inii ippp xp x p x p x p x xEquao 6-O ento, resolvendo parab0eb1 , obtemos: | || |Ypp Ybniiniii= ===110. Equao 6-P ( ) | |( ) | |===nii inii iip x xp x x Yb1211.. . Equao 6-Q A equao 6-p e a equao 6-q do as estimativas dos parmetrosb0eb1 . 6.2.Ajuste de Modelos Lineares de Vrias Variveis Nestaseoestamosinteressadosnomesmoproblemadaseoanterior, apenasacomplexidadematemticaaumenta,poisagoraexistemvrias variveis independentes. Novamenteafuno objetivo aminimizaoda somadosquadradosdos erros: ( ) | | | | = == ==nii inii i iqp e p Yb b bf12121 0. ., ,min K Equao 6-R Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 115onde ( ) ( ) ( ) qq i q i i ix x b x x b x x b b + + + + =,22 , 211 , 1 0. . . L Equao 6-S n-nmero total de experimentos realizados i-valor calculado da VDep para um certo ponto (xi,1, xi,2, ...,xi,q) pi-nmero de medidas replicadas para um certo ponto (xi,1, xi,2, ...,xi,q) Yi -valordamdiadosexperimentosreplicadosparaumcertoponto(xi,1, xi,2, ...,xi,q) xk -valor mdio da varivel independentexk xi,k-varivelindependente,ondeondiceiindicaalinhadamatrizx,ou seja o ndice do conjunto de dados (1 < i < n); o ndicekindica a coluna da matrizx , ou seja o ndice da varivel independente (sendo que parak = 0, xi,0 = 1) ou dos coeficientes (0 < k < q). Comoqueremosminimizaremrelaoaosparmetrosdevemosderivara funoMem relao aos mesmos e igualar a zero: ( ) ( ) ( ) | | { } 0 . . . . 2122 211 1 00= ==niiqiq q i i ip x x b x x b x x b b YbL Equao 6-T ( ) ( ) ( ) | |( ) { } 0 . . . . . 211122 211 1 01= ==nii iqiq q i i ip x x x x b x x b x x b b YbL Equao 6-U ( ) ( ) ( ) | |( ) { } 0 . . . . . 2122 211 1 0= ==niiqiqqiq q i i iqp x x x x b x x b x x b b YbL Equao 6-V Reescrevendo essas equaes de forma apropriada: | || |Ypp Ybniiniii= ===110. Equao 6-W pois Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 116( ) | | 0 .1= =niikikp x xEquao 6-X ( )( ) | | ( )( ) | |( )( ) | | ( ) | | = == = =)` ++)` +)` nii iinii iqiq qnii i inii i ip x x Y p x x x x bp x x x x b p x x x x b11111111122 211111 1.. . L Equao 6-Y ( )( ) | | ( )( ) | |( )( ) | | ( ) | | = == = =)` ++)` +)` nii iinii iqiq qnii i inii i ip x x Y p x x x x bp x x x x b p x x x x b12212 212222 212211 1.. . L Equao 6-Z ( )( ) | | ( )( ) | |( )( ) | | ( ) | | = == = =)` ++)` +)` niiqiqinii q iqqiq qniiqiq iniiqiq ip x x Y p x x x x bp x x x x b p x x x x b1 1122 2111 1.. . L Equao 6-AA A equao 6-y e a equao 6-aa constituem um sistema linear de equaes. Definindo os seguintes vetores e matrizes: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )((((((

((((((

((((((

=(((((

=((((((

=((((((

=((((((

=+ + qqnq n nqqqqnn nnq nqnq n nqqqqqqnnbbbx x x x x xx x x x x xx x x x x xYYYeppppx x x x x xx x x x x xx x x x x xxbbbbYYYYMLM O M M MLLMLM O M MLLLM O M M MLLMM10221122221211212111212112211222212112121111 110121111,0 00 00 0111, , Equao 6-BB obtemos Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 117| |( ) ( ) ( ) ( ) b x Y p b x Y Y p Ye p e p e Y e b xT TTnii i. . . . . .. . . , , .12 = == = = == Equao 6-CC Derivandoem relao ao vetorbe igualando a zero: ( )( )( ) | |( ) 0 . . . . 2 ..2 . 2. . 0= = = = =((((((

= b x Y p x e pb b x Ye pbebe p ebbbTTTTqMEquao 6-DD Resolvendo a equao 6-dd em relao ao vetorb : ( ) ( ) ( ) 0 . . , . . . . . . . . . .1 1 = = = = x p x c G c Y p x x p x b b x p x Y p xT T T T T Equao 6-EE Amatrizppodeserinterpretadacomoumaponderaodaprecisoe/ou importnciadasmediesexperimentaisdaVDep.Destaforma,se conhecermos as varincias das medidas experimentais da VDep (i2) podemos escrever: pn=

((((((((10 00100 0112222LLM M O ML Equao 6-FF 6.3.Ajuste de Modelos Matemticos No-Lineares Nasseesanterioresdestecaptulo,aprendemoscomoajustarmodelos linearesnosparmetrosadadosexperimentais.Noentanto,talprocedimento nemsemprepossveloulevaaresultadosadequados.Porexemplo,no Exerccio E6.4, para aplicar a regresso linear tivemos que "forar a barra" e a respostaobtidafoiinadequada.Nessescasostemosqueexecutaruma regresso no-linear. Ricardo Kalid - Otimizao de Processos kalid@ufba.br 118Por regresso no-linear entende-se um problema de otimizao cuja funo objetivoaminimizaodosresduos(somadosquadradosdoserros)entre os valores medidos e os calculados da VDep. O modelos ajustad