1 prof. dr. ricardo de araújo kalid [email protected] - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 avaliaÇÃo da...
TRANSCRIPT
![Page 1: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Prof. Dr. Ricardo de Araújo [email protected] - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316
AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO
![Page 2: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/2.jpg)
2
INCERTEZA DE MEDIÇÃOPrograma da disciplina
1. Introdução e bibliografia2. Histórico e SI – Sistema Internacional de Unidades3. “Navegar é preciso, viver não é preciso”
ou conceitos sobre incerteza de medição4. “Não é que eu procure falar difícil,
é que as coisas têm nome”: VIM5. Um pouco de estatística6. Balanço de incerteza7. Roteiro para avaliação da incerteza de medição8. Exemplos de avaliação da incerteza de medição9. “Existem mentiras, diabólicas mentiras e estatísticas.
A escolha é nossa.” ou mais um pouco de estatística 10.Outros métodos para a avaliação da incerteza11. Temas de pesquisa em incerteza de medição12.Resumo: avaliação da incerteza de medição13.Roteiro para elaboração e entrega do trabalho.
![Page 3: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Mark Twain atribuiu a Benjamin Disraeli a seguinte frase:
“Existem mentiras, diabólicas mentiras e
estatísticas. A escolha é nossa.”
![Page 4: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Média, Variância e Desvio padrão
• μx é a média (“mean”) ou valor esperado de x é, por definição:
: 1
onde é a PDF da variável aleatória
x x E x x p x dx
p x x
• Se g(x) é uma função real, G = g(x) é uma nova variável aleatória cujo valor médio (“average”) ou valor esperado é, por definição:
2g g x E g x g x p x dx
• σx
2 , variância (“variance”) de x é média da função (x- μx)2:
2 2 22 : 3x x x xV x x E x x p x dx
• σ , desvio padrão (“standard deviation”) de x é raiz
quadrada positiva da variância: 2: 4x x V x
![Page 5: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/5.jpg)
Média e Desvio Padrão de uma PDF uniforme
5
2 2 21 11 : : 0
2 2 2 4.
aa
xa a
x a ade x E x x p x dx x dxa a a
32 2 22
33 3 22
1 13 : : 02. 2. 3
2 .6 6. 3 3
aa
x x xa a
x x
xde E x V x x p x dx x dxa a
a a a a aa a
a- a+
1/(2a)
![Page 6: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Função densidade de probabilidade (distribuição)
uniforme
p = 57,735%
![Page 7: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/7.jpg)
7
DISTRIBUIÇÃO TRIANGULAR
![Page 8: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/8.jpg)
Função triangular
8
11 2
1 1 21 2
2
33 4
2 3 43 4
/ 2 2 1/ / 2 1
10,0
1/ 1/,1/
1/,1/0,0
o
o
o
o
Área da PDF:
1 ponto:2 ponto:
1 ponto:2 ponto:
TA base altura a a
cc c aa a bp x c c xa c c b ab a c
a b
ca c c bb ap x c c x
c c aa
4
1
1/a b
aca b
Variávelaleatória-a a
Probabilidade de ocorrência
1/a
b
p1(x)p2(x)
![Page 9: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/9.jpg)
PDF triangular
9
1 2
1
2
1 : :
0 0
0 ,1 1/ ,
1 1/ ,
0 ,
a a
xa a
a b a
xa a b
de x E x x p x dx x p x dx x p x dx x p x dx
E x x p x dx x p x dx x p x dx
x aap x x a x b
a b a bp x
ap x x b x aa b a b
x a
Variávelaleatória-a a
Probabilidade de ocorrência1/a
b
p1(x)p2(x)
![Page 10: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/10.jpg)
Média de uma PDF triangular
10
2 32 3 2 2 3 3
2 3 2 2 3 32
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 3 4
32 32
2 3 2 3
2 3
2
2 3
13
1 /
b bb b b
a a a a a
x
x
x x b a b ax c c x dx c xdx c x d
b a b a a b a b
b a
x c c c c
c c c c
aa b a
bb
a
3 3
3 3
2 2
2
32
32
2
3
3
21 1/
1 1 12
2
/ 1
3
3
/
3/
1
x
x
aa b a b
a aa b a b a b a b
a b a a ba b a ba b
a b
b
a b
b a a a b
b a
a bb a
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2
3
2 23 3 3 2
2 2 2 2 2
2 2
2
31/
3
2 / / / /3
2 2 / 2 2 2 233 3
2
3 3
x
x
a
a b a b
b b a b a b b a a a b b a a b a ba b a b
b ab b a a b ba b b bb b b ba b a b a b
a
b a
b
![Page 11: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/11.jpg)
Média de uma PDF triangular
11
Variávelaleatória-a a
Probabilidade de ocorrência1/a
b
p1(x)p2(x)
• Nesse caso se observarmos que b é o ponto central e que as intersecções são –a e +a implica que o valor de b é 0 (zero)
• Observando a forma geométrica da PDF, a média é igual b = 0 (zero)
/ 2 2 1/ / 2 1Área da PDF: TA base altura a a
![Page 12: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/12.jpg)
Desvio padrão de uma PDF triangular
12
2 2 22
2 221 2
2 22
22
3 : :
1 1/ 1 1/3 3
0 :
1
Neste problema
a
x x x xa
b a
x x xa b
b a
xa b
x
de V x E x x p x dx x p x dx
x p x dx x p x dx
b a b ax x dx x x dxa b a b a b a bb
xa
0 0 2 3 2 32
2 2 2 20 0
0 0 3 4 3 43 4 3 4 3 4 22
2 2 2 2 20 0
1 1 1
2 23 4 3 4 3 4 3 4 3 4 6
a a
a a
a a
xa a
x x x xx dx x x dx dx dxa a a a a a a
a a a ax x x x a a aa a a a a a a a a a
Variávelaleatória-a a
Probabilidade de ocorrência1/a
b
p1(x)p2(x)
![Page 13: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/13.jpg)
Média e desvio padrão de uma PDF
triangular
13
Variávelaleatória-a a
Probabilidade de ocorrência1/a
b
p1(x)p2(x)
22
6
6
0
variância de uma PDF tria
méd
des
ia de uma PDF triangular
vio padrão de uma PDF tr
ngular:
iangula
r:
:
x
x
x
a
a
![Page 14: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Função densidade de probabilidade (distribuição)
triangular
p =
64,983%
![Page 15: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/15.jpg)
Exercício:
15
exp
exp
;
; ?x
p x
x p x dx
x
x dxx
exp
exp
' '
' 1
exp exp
e
''
xp
Integral indefinida por partes:
Integral definida por partes: b b
b
aa a
b
a
x
xx x
u x dv x u x v x u x dv x
u x v x dx u x v x u x v x dx
u x u x v x xu x xv x v x
u x v x
x dxx
2 2
2 2
exp exp exp1 1exp
1 1 1 1exp exp exp exp exp
1 1 1 1exp exp exp exp
b bbb
aaa a
x
x
x dx x
x dx x x
x x xx
x x x x x
0 0 E AGORA?x
![Page 16: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/16.jpg)
Exercício:
• A função exponencial é sempre crescente• Vamos testar para ver se é uma PDF
16
exp
exp
;
; ?x
p x
x p x dx
x
x dxx
;
: ; 1
: 0 1
;
exp
expexp
exp exp
exp não é uma PDF !
x
xx
p x
PDF p x dx dx
p x x
![Page 17: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/17.jpg)
Exercício:
• Todo esse tempo e trabalho jogado fora!
• Antes de fazer mecanicamente, PENSE!17
exp
exp
;
; ?x
p x
x p x dx
x
x dxx
;
: ; 1
: 0 1
;
exp
expexp
exp exp
exp não é uma PDF !
x
xx
p x
PDF p x dx dx
p x x
![Page 18: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/18.jpg)
Exercício:
• A função exponencial é sempre crescente• Vamos testar para ver se é uma PDF
18
exp
exp
;
; ?x
p x
x p x dx
x
x dxx
exp
expexp
exp exp
;
: ; 1
: 0 1
p x
PDF p x dx dx
x
xx
![Page 19: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/19.jpg)
Média e desvio padrão de uma PDF exponencial
19
exp , 0; ; 0
0 , 0x x
p xx
0
2 2 22
0
1 : : exp
3 : : exp
1 1
de
de
e
x
x x
x
x
x
x
x E x x p x dx x x dx
V x E x x p x dx x x dx
![Page 20: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/20.jpg)
Média de PDF exponencial
20
0
1 :
exp , 0; ; 0
0
e p:
0 ,
xde x x E x x p x
x xp x
x
xx x dxd
expexp
' '
' 1
exp' ' expexp
Integral indefinida por partes:
Integral definida por partes: b b
b
aa a
u x dv x u x v x u x dv x
u x v x dx u x v x u x v x dx
u xu x x u x v x x
v x u x v xv xx
xx xx
0
exp exp exp exp exp
expexp ex 1ep xp
b b bb b
a aa a a
bbb
aa
x
a
x dx x dx x dxx x x x x
xx dx x x dx xx x
![Page 21: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/21.jpg)
Desvio padrão de PDF exponencial
21
2
0
2 22
exp , 0; ; 0
0 , 0
exp3 : :de x x x xE x x p x dx x dx
x xp x
x
x
2 2
2 2
' '
' 2exp2exp
exp' exp ' 2 exp
exp exp
Integral definida por partes: b b
b
aa a
x
x x
x
b
x xa
u x v x dx u x v x u x v x dx
u x xu x x u x v x x x
xv x xv x x u x v x x x
x x dx x
2 2
2 2
2 exp
exp exp 2 exp 2 exp
exp 22exp exp exp exp
bb
xa
a
b b bb
x x xa
a a a
bb b b xx x aa
a a
x x x dx
x x dx x x x x dx x dx
xx x dx x x x x
2
0
2 2
20
0 0
2
0
2 2e
exp2exp exp
exp2 2exp
exp
exp 0 exp
p
0
xx
x x
b
xx
a
x
x
x
xxx x x x xxdx
2 22 22
0 0
2 2exp exp 0
exp 00exp 0
1 1; expx x x x x
x x
x p x dx x x dx
![Page 22: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/22.jpg)
Distribuição Gaussiana (Normal)
2
2 2
12
2
1 1, : ; , exp22
1 1exp 68,27%22
x x
x x
xX x x X x x
xx
X x x x x x x x
x
xN p x
P X x x dx
p = 68,27%
22
![Page 23: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/23.jpg)
Interpretação do desvio padrão
PDF Área correspondente a
Uniforme ou retangular 57,74 %
Triangular 64,98 %
Normal ou gaussiana 68,27 %
23
1x x
![Page 24: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/24.jpg)
24
NÍVEL DE CONFIANÇA
![Page 25: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/25.jpg)
Nível de Confiança e Nível de Significância
• NC: nível de confiança = probabilidade de acerto• NC: área sobre a curva da PDF• NS = 100 - NC : nível de significância
25
![Page 26: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/26.jpg)
Problema unicaudal X bicaudal
• Problema unicaudal: Nx( X < x | μx , σxx )
• Problema bicaudal: Nx( xi < X < xs | μx , σxx )
26
22 2
22
1 1, , exp22
xx
X x x X x xxx
F x N X x d
2 2 2
22
22
, , ,
1 1, exp22
s
i
X s x x X i x x X i s x x
xx
X i s x xxx x
F x F x N x X x
N x X x d
![Page 27: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/27.jpg)
PDF normalProblema unicaudal Problema bicaudal
27
![Page 28: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/28.jpg)
Código MATLAB para gráfico da lâmina anterior
28
clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ; GL = 1e3 ;NC = 95 ; % Nível de confiança = área em baixo da PDF% tipo_de_problema = 'unicaudal' ;tipo_de_problema = 'bicaudal' ;NS = 100 - NC ; % Nível de significânciaif strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') x.Normal = norminv(NC/100,media,desvio_padrao) ; x.Normal = [ -10 x.Normal ] ;else x.Normal = norminv([(NS/2)/100 (NC+NS/2)/100],media,desvio_padrao) ;endabscissa = -10:0.1:+10 ; p.Normal = pdf('Normal',abscissa,media,desvio_padrao) ;plot(abscissa,p.Normal,'b','LineWidth',2) ; hold onabscissa = min(x.Normal):0.1:max(x.Normal) ; p.Normal = pdf('Normal',abscissa,media,desvio_padrao) ;stem([ min(x.Normal) abscissa max(x.Normal) ] , [ 0 p.Normal 0 ] , '.' )xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','PDF']) ; title(['\fontsize{16}','PDF normal'])texto_1 = [ 'Problema ' tipo_de_problema ] ;texto_2 = [ 'Nível de confiança: ' num2str(NC) ' %'] ;texto_3 = [ 'Valor superior de x: ' num2str(max(x.Normal)) ] ;if strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') texto_4 = [ 'Valor inferior de x: -infinito' ] ;else texto_4 = [ 'Valor inferior de x: ' num2str(min(x.Normal)) ] ;endtext(-8,0.30,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_1],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.27,['\fontsize{16}','\color{black}',texto_2],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[1 1 0])text(-8,0.24,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto_3],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])text(-8,0.21,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto_4],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])
![Page 29: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/29.jpg)
CDF - Cumulative distribuition fuction
• Função de distribuição acumulada• Função de densidade de probabilidade
29
x xX
X X X
F xF x P X x p x dx dx
x
:e : X
X XX X
F xPDF f x p xP
xF x X x
• Ex.: para NX(µx,σxx) :
22 2
22
2
2 2
1 1, , exp22
1 1, , exp22
xx
X x x X x xxx
xx
X x x X x xxx
F x N X x d
F x N X x d
![Page 30: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/30.jpg)
CDF - Cumulative distribuition fuction
30
x xX
X X X
F xF x P X x p x dx dx
x
![Page 31: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/31.jpg)
Código MATLAB para gráfico da lâmina anterior
clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ;x = -1e1:0.1:+1e1 ; CDF_G = cdf('Normal',x,media,desvio_padrao) ;plot(x,CDF_G,'r','LineWidth',2)axis([-11 +11 -0.1 +1.1] )legend(['\fontsize{16}','Normal(0;1)'])xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','CDF']) ; title(['\fontsize{16}','Função de distribuição acumulada']) ; gridtexto.G = [ 'Valor acumulado para N = ',num2str(CDF_G(end)) ] ;text(-8,0.70,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto.G ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor' ,... [.9 .9 .9])
31
![Page 32: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/32.jpg)
iCDF: Inverse of the cumulative distribution function or
inverse distribuition function orpercent point function (PPF)
• Função de distribuição acumulada:– Para uma certa PDF, dado um x obtém-se a
probabilidade p = PX ( X < x ) = FX ( x )
• Função inversa de distribuição acumulada– Para uma PDF, dada uma probabilidade PX obtém-
se o valor x tal que a probabilidade seja p
32
x xX
X X X
F xF x P X x p x dx dx
x
1Xx F p x F x p
![Page 33: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/33.jpg)
PDF normal inversa• Função normal inversa de distribuição acumulada
33
2
1 2 2
,
, ,
x x
X x x X x x
X N
x F p x F x p
![Page 34: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/34.jpg)
34
OUTRAS PDFs
• Trapezoidal: variância =– PDF triangular: β = 0 – PDF uniforme: β = 1
• Gama• Beta• t-Student.
2 ²(1 β),β6x
ax a
![Page 35: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/35.jpg)
Distribuição Gamma (, )
1,
0 , 0
xf x x e
x
e 0
35
![Page 36: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/36.jpg)
Distribuição Beta
11, 1
;0 1 0 ; 0
f x x x
x
36
![Page 37: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/37.jpg)
PDF t de Student
37
MATLAB: p = tpdf ( x , v )p = tpdf ( 0, 1:6 )
p = 0.3183 0.3536 0.3676 0.3750 0.3796 0.3827
12 2
11 12
12
v
v
p x vv v x
v
![Page 38: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/38.jpg)
Valores para a distribuição t de Student
39
Unicaudal 75% 80% 85% 90% 95% 97,5% 99% 99,5% 99,75% 99,9% 99,95%Bicaudal 50% 60% 70% 80% 90% 95% 98% 99% 99,5% 99,8% 99,9%GL = 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3 636,6GL = 2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33 31,60GL = 3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21 12,92GL = 4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610GL = 5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869GL = 6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959GL = 7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408GL = 8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041GL = 9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781GL = 10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587GL = 15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073GL = 20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850GL = 25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725GL = 30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646GL = 40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551GL = 50 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496GL = 60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460GL = 80 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 2,887 3,195 3,416GL = 100 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 2,871 3,174 3,390GL = ∞ 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291
![Page 39: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/39.jpg)
CDF - Cumulative distribuition fuction
• Função de distribuição acumulada• Função de densidade de probabilidade
40
x xX
X X X
F xF x P X x p x dx dx
x
:e : X
X XX X
F xPDF f x p xP
xF x X x
12 2
12 2
1 12 2 1
1 22
vx x
X X v
v vtF x v T X x v dt dt
v vvv tvv
• Ex.: para t-Student para v > 1 :
![Page 40: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/40.jpg)
CDF - Cumulative distribuition fuction
41
x xX
X X X
F xF x P X x p x dx dx
x
![Page 41: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/41.jpg)
Código MATLAB para gráfico da lâmina anterior
clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ;x = -1e1:0.1:+1e1 ; CDF_G = cdf('Normal',x,media,desvio_padrao) ;GL = 5 ; CDF_t5 = tcdf(x,GL) ;GL = 1 ; CDF_t1 = tcdf(x,GL) ;plot(x,CDF_G,'r',x,CDF_t5,'g',x,CDF_t1,'b','LineWidth',2)legend(['\fontsize{16}','Normal(0;1)' ], ['\fontsize{16}','t com GL = 5'],['\fontsize{16}','t com GL = 1'])xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','CDF']) ; title(['\fontsize{16}','Função de distribuição acumulada']) ; gridtexto.G = [ 'Valor acumulado para N = ',num2str(CDF_G(end)) ] ;texto.t5 = ['Valor acumulado para t5 = ',num2str(CDF_t5(end))] ;texto.t1 = ['Valor acumulado para t1 = ',num2str(CDF_t1(end))] ;text(-8,0.70,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto.G ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor' ,... [.9 .9 .9]) text(-8,0.60,['\fontsize{16}','\color{green}',texto.t5 ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',... [.0 .0 .0])text(-8,0.50,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto.t1 ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',... [.9 .9 .9])
42
![Page 42: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/42.jpg)
PDF t de StudentProblema unicaudal Problema bicaudal
43
![Page 43: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/43.jpg)
Código MATLAB para gráfico da lâmina anterior
44
clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ; GL = 3 ; NC = 95 ; % Nível de confiança = área em baixo da PDFtipo_de_problema = 'unicaudal' ;% tipo_de_problema = 'bicaudal' ;NS = 100 - NC ; % Nível de significânciaif strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') x.Normal = norminv(NC/100,media,desvio_padrao) ; x.Normal = [ -10 x.Normal ] ; x.t = tinv(NC/100,GL) ; x.t = [ -10 x.t ] ;else x.Normal = norminv([(NS/2)/100 (NC+NS/2)/100],media,desvio_padrao) ; x.t = tinv([(NS/2)/100 (NC+NS/2)/100],GL) ; endabscissa = -10:0.1:+10 ; p.Normal = pdf('Normal',abscissa,media,desvio_padrao) ;plot(abscissa,p.Normal,'r','LineWidth',2) ; hold onp.t = pdf('t',abscissa,GL) ; plot(abscissa,p.t,'b','LineWidth',2)abscissa = min(x.t):0.1:max(x.t) ; p.t = pdf('t',abscissa,GL) ; stem([ min(x.t) abscissa max(x.t) ] , [ 0 p.t 0 ] , '.' )xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','PDF']) ; title(['\fontsize{16}','PDF t de Student'])texto_N = 'PDF normal' ; texto_t = [ 'PDF t com ' num2str(GL) ' graus de liberdade'] ; texto_1 = [ 'Problema ' tipo_de_problema ] ; texto_2 = [ 'Nível de confiança: ' num2str(NC) ' %'] ; texto_3 = [ 'Valor superior de x: ' num2str(max(x.t)) ] ;if strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') ; texto_4 = [ 'Valor inferior de x: -infinito' ] ; else texto_4 = [ 'Valor inferior de x: ' num2str(min(x.t)) ] ; endtext(-8,0.36,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto_N],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.33,['\fontsize{16}','\color{black}',texto_2],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[1 1 0])text(-8,0.30,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_t],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.27,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_1],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.24,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_3],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])text(-8,0.21,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_4],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])
![Page 44: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/44.jpg)
45
PDF normal ou gaussiana univariada
• Figura 1(a) : A PDF normal de média populacional t = 100oC e desvio padrão populacional = 1,5oC.0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
95 100 105t /oC
p( t
) / o C
p = 68,27%
t – t – t
![Page 45: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/45.jpg)
Normal multivariada
46
1 1 1 2 11
2 2 1 2 2 2
1 2
2
1/ 2/ 2 1
1
2
, ,
1; , 2 exp2
: número de variáveis
m
m
m m m m m
n t
x x x x x xx
x x x x x x x
m x x x x x x x
N N
p
xx
x
m
x x x x
x x x x x x
x x
x μ σ μ Σ
x μ Σ Σ x - μ Σ x - μ
x μ Σ
2
aleatórias: vetor das variáveis aleatórias
: vetor das médias das variáveis aleatórias
: matriz de covariância das variáveis
: determinante da matriza de convariância das variáveis
x
x xx x
x
xμ
σ σ ΣΣ
![Page 46: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/46.jpg)
Normal multivariada• Sem correlação
47
• Com correlação0,25 0,000,00 1,00
xΣ0, 25 0,400, 40 1,00
xΣ
![Page 47: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/47.jpg)
Normal multivariadaclc ; clear all ; close allmu = [0 0];Sigma = [ 0.25 0.40 ; 0.40 1.00 ];% Sigma = [ 0.25 0.00 ; 0.00 1.00 ];% Sigma = [ 0.50 0.00 ; 0.00 0.50 ];x1 = -3:.1:3; x2 = -3:.1:3;[X1,X2] = meshgrid(x1,x2);F = mvnpdf([X1(:) X2(:)],mu,Sigma);F = reshape(F,length(x2),length(x1));surf(x1,x2,F);caxis([min(F(:))-.5*range(F(:)),max(F(:))]);axis([-3 3 -3 3 0 .4])xlabel(['\fontsize{16}','x_1'])ylabel(['\fontsize{16}','x_2'])zlabel(['\fontsize{16}','PDF'])title(['\fontsize{16}','PDF normal bivariada'])figurecontour(x1,x2,F);xlabel(['\fontsize{16}','x_1'])ylabel(['\fontsize{16}','x_2'])title(['\fontsize{16}','Curvas de nível de uma BDF normal bivariada'])grid
48
![Page 48: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/48.jpg)
Matriz de covariância e matriz de correlação
• Covariância:matriz_covariancia = cov(matriz.dados) ;
• Correlação (linear) de Pearson:[ rho , pval ] = corr(matriz.dados,'type','Pearson','rows','all','tail','ne') ; % Padrão (default)
• Correlação (monotônica) de Spearman[ rho , pval ] = corr(matriz.dados,'type','Spearman','rows','all','tail','ne') ;
• Correlação de Kendall[ rho , pval ] = corr(matriz.dados,'type','Kendall','rows','all','tail','ne') ;
49
![Page 49: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/49.jpg)
PDF multivariada• X é uma variável aleatória contínua e
x é um valor de X• Y é uma variável aleatória contínua e
y é um valor de Y• pXY(x,y) é a função de densidade de probabilidade
conjunta de X e Y• FXY(x,y) é a função de distribuição acumulada
conjunta de X e Y
50
2
, ,
,, ,
XY XY
XYXY XY
F x y P X x Y y
F x yf x y p x y
x y
![Page 50: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/50.jpg)
CDF conjuntaFunção de distribuição acumulada conjunta
Cumulative Distribuition Function
51
XY
![Page 51: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/51.jpg)
PDFJoint Probability Density Function
Função de densidade de probabilidade conjunta
52
Y X
![Page 52: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/52.jpg)
PDF conjunta = PDF condicional X PDF marginal
PDF condicional• PDF multivariada que atende a
uma condição• Para PDF bivariada: quando
condiciono a PDF multivariada a um valor da outra variável, obtenho uma PDF univariada
PDF marginal• PDF univariada• Integro em todas as variáveis,
menos a de interesse
53
/ /, X y Y xY XXY f y f xx f ff y
e,
,
X XY
Y XY
f x f x y dy
f y f x y dx
/ /e, ,XY XY
X y Y xY X
f x y f x yf x f y
f y f x
Y X XY
![Page 53: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/53.jpg)
PDFs marginais
54Y X
![Page 54: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/54.jpg)
PDFs condicionais
55Y X
fXY(x,y)
fXY ( x | y = -1 )
![Page 55: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/55.jpg)
Alguns resultados
56
4.
Seja com cons nte
1
ta
g xE g x E a x a x p x dx a x p x dx a E x a
g x a x a
2 22
2 22 2
2 22 2 2 2 4.2 .
g g x g x
g x x
g x x
E g x g x p x dx
a x a p x dx a x p x dx
a x p x dx a E x a V x
2g g x E g x g x p x dx
2 2 22 3x x x xV x x E x x p x dx
![Page 56: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/56.jpg)
Mais resultados
57
Seja com cons
4.
tante
3
g
g x
E g x E a x a x p x dx
a p x dx x p x dx
g x a x a
a E x a
2 22
2 22
2 22 4.4
g g x g x
g x x
g x x
E g x g x p x dx
a x a p x dx a x a p x dx
x p x dx E x V x
2g g x E g x g x p x dx
2 2 22 3x x x xV x x E x x p x dx
![Page 57: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/57.jpg)
58
Outras definições: mn - momento de ordem n
• A média é o momento de 1ª ordem:
5nnm x
11 6xm x
• A variância é o momento de 2ª ordem centrado na média:
2 22 8xx
• O momento de 2ª ordem de x é:
2 2 22 7x xm x
![Page 58: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/58.jpg)
59
Demonstração:
c. q. d.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 10E x E x E x x x
2 2 2 2 2 15x xE x Então
2 2 2 2 2 22 9x xm x E x
2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 11E x E x x x E x x E x
22 22 12E x E x E x E
2 2 22 13E x x p x dx p x dx
2 2 2 2 22 2 14E x x p x dx p x dx
![Page 59: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/59.jpg)
60
Demonstração:
c. q. d.
2 2216 : :x xx
2 2 2 2217 : 2x x p x dx x x p x dx
2 2218 : 2 .x p x dx x p x dx p x dx
2 2 2 2219 : 2 2x xp x dx p x dx x
2 2 215 : x 2 2 2 2221 : x De
2 2 2 2 2220 : 2x x
![Page 60: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/60.jpg)
Regras para nomenclatura
61
Parâmetro População Amostra
Média μx x
Desvio padrão σx Sx
Variância σx² Sx² = Sxx
Covariância σxy Sxy
![Page 61: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/61.jpg)
62
A média aritmética é um estimador não tendencioso da
média da populaçãoDemonstração: 22x
1 23
n
ii
xx
n
111 24
nnn
i iiiiii
x p x dxE xxE x E
n n n
1 25
n
i ii
x p x dxE x
n
1 26
n
xi x
xnE x
n n
• Então a esperança ou valor esperado de x é a média da população
c. q. d.
![Page 62: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/62.jpg)
Hipóteses para
H1) A amostra seja representativa
H2) n relativamente grande.
63
xE x
![Page 63: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/63.jpg)
66
Desvio padrão da média é o desvio padrão da população
divido por raiz de nDemonstração: 27 : x
x n
228 : x x V x 2 2 229 : 2x x xV x x x x
2 2 2 2 2 230 : 2 2 2x x x x x x xV x x x x x x
2 231 : xV x x
12 12 2
1 1 1 1
1 132 : . ,
nn
ji n n n nji
i j i ji j i j
xxx x x x x x x
n n n n
![Page 64: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/64.jpg)
67
Desvio padrão da média é o desvio padrão da população
divido por raiz de n (continuação)Demonstração: 27 : x
x n
12 12 2
1 1 1 1
1 132 : . ,
nn
ji n n n nji
i j i ji j i j
xxx x x x x x x
n n n n
• Existem n pares com i = j e n(n-1) pares independentes com i ≠ j então:
222.:34 xiii xxx
235 : . .i j i j x x xx x x x
• Se i = j então e de {9} :
• Hipótese: Se com i ≠ j então as variáveis são independentes (não auto-correlacionadas):
2
2 2 2 2 22
136 : . . 1 . . xx x xx x x n n n
n n
![Page 65: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/65.jpg)
68
Desvio padrão da média é o desvio padrão da população
divido por raiz de n (continuação)Demonstração: 27 : x
x n
2
2 236 : xxx
n
Substituindo
2 231 : xV x x
e {37} este em {28} :
Hipótese para {27} ser válida: independência entre os xi e xj
obtém-se 2 2
2 237 : x xx xV x
n n
nnxx
x
2
:27
c. q. d.
em
![Page 66: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/66.jpg)
Hipóteses para
H1) A amostra seja representativaH2) n relativamente grandeH3) as observações sejam independentes.
69
xx n
![Page 67: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/67.jpg)
Variância de variáveis contínuas, discretas e de amostras
• Variância de uma variável contínua:
70
• Variância de uma variável discreta:
• ”A variância experimental das observações, que estima a variância σ2 da distribuição de probabilidade de q, é dada por:” (GUM, 4.2.2)
2
2 1
n
ii
x
x x
n
2
2 1
1
n
kk
q
q qS
n
22x xx p x dx
![Page 68: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/68.jpg)
71
A estatística δ2 é um estimador da variância da população (σ2)?
Demonstração: 2
2 2138 : :
n
ii
x
x x
n
n
x
n
xx
n
x
n
x
n
xx
n
x
n
xxxx
n
xxn
i
n
ii
n
ii
n
i
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
1
2
11
2
1
2
11
2
1
22
1
2
2 .2..2..2
:39
21
2
221
22
1
2
2 .2...2:40 xn
xxx
n
x
nxnxx
n
xn
ii
n
ii
n
ii
22 2 2 2
212 2 2 2 21 1 141 :
nn n n
ii i x xii i i x
x
xx xx x x
n n n n n
2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2142 : x x x x x x x
x x x x x x
n n nn n n n n n
?
![Page 69: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/69.jpg)
72
A estatística δ2 é um estimador da variância da população (σ2)? - continuação
Demonstração: 2
2 2138 : :
n
ii
x
x x
n
2 2142 : xn
n
• De {42} conclui-se que a estatística δ2 NÃO É UM ESTIMADOR da variância da população (σ2), ou seja, δ2 é um ESTIMADOR TENDENCIOSO ou VICIADO de σ2
• Ainda de {42} conclui-se que multiplicando a estatística (δ2) por n/(n-1) obtém-se um estimador não tendencioso da variância da população (σ2).
?
![Page 70: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/70.jpg)
Estimador não tendencioso da variância
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 21 1
2
2 2 2 21
143 :1
1 1
:1
1
x x
x
n n
i ii i
x
n
ii
x x x x
n nn n
n nn n
x x x xn
n n n
x xS S
n
![Page 71: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/71.jpg)
74
Avaliação da variância experimentalsegundo o 4.2.2 do GUM
Demonstração: 2
2 2144 :1
n
ii
x x
x xS
n
• De {43} e {45} conclui-se que S2 é um estimador NÃO TENDENCIOSO ou NÃO VICIADO da variância da população (σ2)
2 2
2 2 21 145 :1 1 1
n n
i ii i
x x
x x x xn nS
n n n n
De {43} e {44} :
• {44} é válida para n grande (n>23) segundo a inferência bayesiana.
![Page 72: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/72.jpg)
75
Desvio padrão experimental da média (4.2.3 do GUM)
• Mostrou-se que nnxx
x
2
:33
21
2
2
1:45 x
n
ii
x n
xxS
• Substituindo {45} em {33} e extraindo a raiz quadrada obtém-se o desvio padrão experimental da média que é um estimador não tendencioso do desvio padrão da média de uma população a partir de uma amostra:
2
1
146 :
n
ii
xx x
x x
S nSn n
c. q. d.
![Page 73: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/73.jpg)
Hipóteses para
H1) A amostra seja representativaH2) n relativamente grandeH3) as observações sejam independentesH4) Sx→σx .
76
2
1
1
n
ii
xx x
x x
S nSn n
![Page 74: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/74.jpg)
Avaliação do Tipo A da incerteza de medição
• Se o Valor da Medição (VM) for dado pela média aritmética das n observações do mensurando e n>23 :
77
13A x
nu sn
• Se o Valor da Medição (VM) for dado pela média aritmética das observações do mensurando n<23 :
2
1 /1
n
ix i
A x
x xs
u s nnn
![Page 75: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/75.jpg)
Avaliação do Tipo A da incerteza de medição
• Se o Valor da Medição (VM) for dado por um ponto qualquer das n observações do mensurando e n>23 :
78
13A x
nu sn
• Se o Valor da Medição (VM) for dado por um ponto qualquer das observações do mensurando n<23 :
2
1
1
n
ii
A x
x xu s
n
![Page 76: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/76.jpg)
Efeito da correção de Bayes
Fonte: LIRA, I., KYRIAZIS, G., 1999, “Bayesian inference from measurement information”, Metrologia, v. 36, n. 3, pp. 163–169. 79
13A x
nu sn
N Correção de Bayes N Correção de Bayes1 5.4985 (extrapolado) 16 1.07422 3.6097 (extrapolado) 17 1.06903 2.4090 (extrapolado) 18 1.06464 1.7321 19 1.06075 1.4142 20 1.05726 1.2910 21 1.05417 1.2247 22 1.05138 1.1832 23 1.04889 1.1547 24 1.0465
10 1.1339 25 1.044511 1.1180 26 1.042612 1.1055 27 1.040813 1.0954 28 1.039214 1.0871 29 1.037715 1.0801 30 1.0364
![Page 77: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/77.jpg)
Hipóteses para
H1) A amostra seja representativaH2) n relativamente grande (n>23)H3) as observações sejam independentesH4) Sx→σx
H5) A avaliação do Tipo A da incerteza é apropriadamente quantificada pelo desvio padrão experimental da média.
80
2
1
1
n
ii
xA x x
x x
S nu Sn n
![Page 78: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/78.jpg)
Hipóteses para
H1) A amostra seja representativaH2) n razoavelmente grande (n>4)H3) as observações sejam independentesH4) Sx→σx
H5) A avaliação do Tipo A da incerteza é apropriadamente quantificada pelo desvio padrão experimental da média.
81
2
1
1 1 1 13 3 3
n
ii
xA x x
x x
Sn n n nu Sn n nn n
![Page 79: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/79.jpg)
GUM e suas variações
82
Item Valor do mensurando
Desvio padrão da grandeza de entrada
Desvio padrão da média da entrada
Estatística da população
Estatística da amostra
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 1
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 2
GUM LPU com Correção de Bayes
LPU em torno de um ponto específico
![Page 80: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/80.jpg)
GUM e suas variações
83
Item Valor do mensurando
Desvio padrão da grandeza de entrada
Desvio padrão da média da entrada
Estatística da população
μx – média da população
σy– desvio padrão da população
– desvio padrão da média
Estatística da amostra
Média .aritmética
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 1
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 2
GUM LPU com Correção de Bayes
LPU em torno de um ponto específico
x
1
n
ii
xx
n 2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1 /1
n
ix i
x
x xS
S nnn
1 2, , ,m my f x x x
1 21
, , ,i i i
n
mi
f x x xy
n 2
1 /1
n
ix i
A x
x xS
u S nnn
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1 /1
n
ix i
A x
x xS
u S nnn
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
my y ou 1 1
3 3x
A xSn
n nnu nS
![Page 81: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/81.jpg)
GUM e suas variações
84
Item Valor do mensurando
Desvio padrão da grandeza de entrada
Desvio padrão da média da entrada
Estatística da população
μx – média da população
σy– desvio padrão da população
– desvio padrão da média
Estatística da amostra
Média .aritmética
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 1
Incerteza pelo GUM LPU
alternativa 2
GUM LPU com Correção de Bayes
LPU em torno de um ponto específico
Um ponto específico.
Exemplo: moda.
x
1
n
ii
xx
n 2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1 /1
n
ix i
x
x xS
S nnn
2
1 /1
n
ix i
A x
x xS
u S nnn
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1 /1
n
ix i
A x
x xS
u S nnn
2
1
1
n
ii
x
x xS
n
2
1
1M
n
x
M
x
ii
xS
n
xS
ou ?
my y ou 1 13 3
xA x
Snn nn
u nS
1 13 3 MA x xu S Sn n
n n
o u
1 2, , ,m my f x x x
1 21
, , ,i i i
n
mi
f x x xy
n
![Page 82: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/82.jpg)
94
PROPAGAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO
![Page 83: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/83.jpg)
95
Propagação da incerteza de medição
• Considere w = w(x,y,z)• x, y e z são medidas n vezes• As variâncias e médias de x, y e z são conhecidas• Com os n valores das grandezas de entrada,
calcula-se os n valores da grandeza de saída, wi = w(xi,yi,zi)
• Então a média da grandeza de saída pode ser estimada:
n
,z,y,xw
n
ww
n
iiii
n
ii
11 :{47}
![Page 84: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/84.jpg)
96
Propagação da incerteza de medição
(continuação)• Expandindo wi = w(xi,yi,zi) em série de potências, ou
série de Taylor, em torno dos valores das médias:
zzyyzw
yw
zzxxzw
xwyyxx
yw
xw
zzzwyy
ywxx
xw
zzzwyy
ywxx
xwzyxww
iizyxzyx
iizyxzyx
iizyxzyx
i
zyx
i
zyx
i
zyx
izyx
izyx
izyx
i
..!2
2
..!2
2..!2
2
.!2
1.!2
1.!2
1
...,,
,,,,
,,,,,,,,
2
,,2
22
,,2
22
,,2
2
,,,,,,
:{48}
![Page 85: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/85.jpg)
97
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares
• Se a primeira derivada é aproximadamente uma constante, então a segunda deriva é aproximadamente zero
• A primeira derivada será constante se a função for linear ou afim
• Então de {48}:
zz.zwyy.
ywxx.
xwz,y,xww i
z,y,xi
z,y,xi
z,y,xi
:{49}
n
zz.zwyy.
ywxx.
xwz,y,xw
n
ww
n
ii
z,y,xi
z,y,xi
z,y,x
n
ii
11 :{50}
z,y,xw
n
zz.zwyy.
ywxx.
xwz,y,xw.n
w
n
ii
z,y,x
n
ii
z,y,x
n
ii
z,y,x
111
:{51}
0 0 0
![Page 86: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/86.jpg)
98
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
• De {49}:
2
2 :{53}
zz.zwyy.
ywxx.
xwww i
z,y,xi
z,y,xi
z,y,xi
zz.zwyy.
ywxx.
xwz,y,xww i
z,y,xi
z,y,xi
z,y,xi
:{52}
zzyy
zw
yw
zzxxzw
xwyyxx
yw
xw
zzzwyy
ywxx
xwww
iizyxzyx
iizyxzyx
iizyxzyx
izyx
izyx
izyx
i
..2
..2..2
...
,,,,
,,,,,,,,
2
2
,,
2
2
,,
2
2
,,
2 :{54}
• De {49} e {51} e elevando ao quadrado:
![Page 87: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/87.jpg)
99
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
n
iizyxzyx
iizyxzyx
iizyxzyx
izyx
izyx
izyx
n
i
zzyyzw
yw
zzxxzw
xwyyxx
yw
xw
zzzwyy
ywxx
xw
ww1i1i
:{55}
..2
..2..2
...
,,,,
,,,,,,,,
2
2
,,
2
2
,,
2
2
,,
2
• Aplicando o somatório em n a equação {54}:
• Dividindo por (n-1) :.
22 22 2 2
, , , ,, ,2
i 1
, , , , , ,, ,
. . .1 1 1
{56}: 2. . 2. .1 1
i i i
x y z x y zx y zn
ii i i
x y z x y z x y zx y z
x x y y z zw w wx n y n z n
w w x x y y xw w w wn x y n x z
i 1
, ,, ,
1
2. .1
ni
i i
x y zx y z
x z zn
y y z zw wy z n
![Page 88: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/88.jpg)
100
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
• Da definição de variância:
22 2
, , , ,, ,2
i 1
, , , , , ,, ,
, ,
. . .
{57}: 2. .cov , 2. .cov ,1
2.
x y z x y zx y zn
i
x y z x y z x y zx y z
x y z
w w wV x V y V zx y z
w ww w w wV w x y x z
n x y x z
wy
, ,
.cov ,x y z
w y zz
• Da definição de incerteza:
2
i 1
1 w
n
i
w c
w wu V w u
n
![Page 89: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/89.jpg)
101
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
• Da definição de variância:
22 2
, , , ,, ,
, , , , , ,, ,
, ,, ,
. . .
{58}: 2. .cov , 2. .cov ,
2.
w
x y z x y zx y z
cx y z x y z x y zx y z
x yx y z
w w wV x V y V zx y z
w w w wu x y x zx y x z
w wy z
.cov ,z
y z
{58} é a incerteza padrão de w no caso em que as três (3) grandezas de entrada (x,y,z) atendem as hipóteses abaixo :Hipótese 1: A média das grandezas de entrada é representativaHipótese 2: Primeira derivada é aproximadamente constanteHipótese 3:Hipótese 4: Independência entre os elementos de uma mesma variável (estado estacionário, variáveis não auto-correlacionadas).
{51}: , ,w w x y z
![Page 90: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/90.jpg)
102
Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)
• Se as variáveis x, y e z são estatisticamente não correlacionadas
• Repetindo {57}:
22 2
2
i 1 i 1 , , , ,, ,
{59}: . . .n n
ix y z x y zx y z
w w ww w V x V y V zx y z
• ou
22 2
, , , ,, ,2
i 1
, , , , , ,, ,
, ,
. . .
{57}: 2. .cov , 2. .cov ,1
2.
x y z x y zx y zn
i
x y z x y z x y zx y z
x y z
w w wV x V y V zx y z
w ww w w wV w x y x z
n x y x z
wy
, ,
.cov ,x y z
w y zz
22 2
2
i 1 i 1 , , , ,, ,
{60}: . . .n n
i xx yy zzx y z x y zx y z
w w ww w S S Sx y z
![Page 91: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/91.jpg)
103
Propagação da incerteza de medição de funções de variáveis
não correlacionadas• Reescrevendo {60}:
22 2
2 2 2 2
, , , ,, ,
{61}: w x y zx y z x y zx y z
w w wS S S Sx y z
• Portanto o desvio padrão (incerteza) de w é:
22 2 2 2 2 2
1
{62}: .x y z
NE
w w x w y w z i ii
S c S c S c S c u
• {62} é a incerteza padrão de w no caso em que as NE
grandezas de entrada atendem as hipóteses abaixo:Hipótese 1: A média das grandezas de entrada é representativaHipótese 2: Primeira derivada é aproximadamente constanteHipótese 3:Hipótese 4: Independência entre os elementos de uma mesma variávelHipótese 5: Grandezas de entrada não correlacionadas.
{51}: , ,w w x y z
![Page 92: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/92.jpg)
104
Hipóteses para a avaliação da incerteza padrão combinada
(uc)1. Comportamento do mensurando
fracamente não-linear2. Erro sistemático e sua incerteza conhecidos3. A média aritmética corrigida é o RB do
mensurando4. Independência entre os
elementos de uma amostra (estado estacionário, não auto-correlacionadas)
5. As grandezas de entrada (não) correlacionadas.
![Page 93: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/93.jpg)
1. Assuma o modelo preliminar para a variável X = x2. Acrescente a x contribuições (uma para cada
incerteza tipo B) com média 0 (zero) e desvio padrão uBi: X = x + B1 + B2 + ... + BNB com Bi ~ (0,σi
2)=(0, uBi 2)
3. Por ser um modelo linear, com soma de parcelas com coeficientes iguais a 1, não há correlação entre as variáveis x, B1, B2, ... e BNB
4. De {58}: .
Porque a incerteza combinada de uma grandeza de entrada é dada pelo
produto interno do vetor formado pelas incertezas tipo A e tipo B?
105
2 2
1
63X i
NB
c A Bi
u u u
:
...1
22
1
22 dqcuuuuuNB
iBA
NB
iBxc iiX
![Page 94: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/94.jpg)
106
Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite
• A variância de um mensurando (y) com NE=m grandezas de entrada (xi) não correlacionadas é dada por:
2 2 2 2 2 2 21 1 1 263 : . . .m mu w c u x c u x c u x
• A variância da variância do mensurando (w) é:
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 264 : . . . .m mu u w u c u x c u x c u x
![Page 95: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/95.jpg)
107
Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.)
2 2 4 2 2 4 2 21 1 2 2
4 2 2
66 : . .
.m m
u u w c u u x c u u x
c u u x
• Admitindo que as incertezas não são correlacionadas e operando o lado direito de {64}:
• Admitindo que as grandezas de entrada (xi) tem PDF aproximadamente Gaussiana:
442 2 2.2.67 : ii
ii i
u xu u x
2 2 2 2 2 2 2 21 165 : . .m mu u w u c u x u c u x
![Page 96: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/96.jpg)
108
Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.)
24 42 2 4 41 2
1 21 2
44
2. 2.68 : .
2. mm
m
u x u xu u w c c
u xc
• Substituindo {67} em {66} :
• Admitindo que a grandezas de saída (wi) tem PDF aproximadamente Gaussiana, de {67}:
442 2 2.2.
69 : .w
w eff
u wu u w
![Page 97: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/97.jpg)
109
Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.)
24 4 44 41 21 2
1 2
44
2. 2. 2.70 : .
2.eff
mm
m
u w u x u xc c
u xc
• Substituindo {69} em {68} :
• Ou melhor
4
4 4
1
71 :.
ceff n
i i
i i
uv
c uv
c. q. d.
![Page 98: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/98.jpg)
110
Avaliação da Incerteza Expandida
Hipóteses adicionais:1. Grandezas de entrada independentes2. Incertezas independentes3. Grandezas de entrada tem PDF t-Student4. Grandeza de saída tem PDF t-StudentConhecida a PA (Probabilidade de Abrangência)É possível avaliar os graus de liberdade efetivos
(veff) pela equação W-S (Welch-Satterthwaite).
![Page 99: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/99.jpg)
111
FATOR DE ABRANGÊNCIA: t = k• Se a PDF do mensurando for t-Student, conhecido o
Probabilidade de Abrangência:
• No excel: k = t = invt( 1-PA ; veff)
• MATLAB: k = t = -tinv( (1-PA)/2 , veff)• Lembrando das hipóteses para validade da
fórmula de W-S (Welch-Satterthwaite):1.Grandezas de entrada não correlacionadas2. Incertezas não correlacionadas3.Grandezas de entrada tem PDF t-Student4.Grandeza de saída tem PDF t-Student.
![Page 100: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/100.jpg)
k (fator de abrangência) para vários GL (graus de liberdade) e PA (probabilidade de abrangência)
GL | PA 50,00% 68,27% 90,00% 95,00% 95,45% 99,00% 99,80%1 1,00 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 318,312 0,82 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 22,333 0,76 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 10,214 0,74 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 7,175 0,73 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,896 0,72 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 5,217 0,71 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,798 0,71 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,509 0,70 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,30
10 0,70 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 4,1420 0,69 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,5530 0,68 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,3940 0,68 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,3150 0,68 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,2660 0,68 1,01 1,67 2,00 2,04 2,66 3,2380 0,68 1,01 1,66 1,99 2,03 2,64 3,20
120 0,68 1,00 1,66 1,98 2,02 2,62 3,16150 0,68 1,00 1,66 1,98 2,02 2,61 3,15250 0,68 1,00 1,65 1,97 2,01 2,60 3,12500 0,67 1,00 1,65 1,96 2,01 2,59 3,11
1000 0,67 1,00 1,65 1,96 2,00 2,58 3,10
![Page 101: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/101.jpg)
113
Incerteza na Reconciliação de Dados e Covariância
• Covariância (“covariance”) dos vetores x e y é:
: ,
, ,
T
T T
p d d
Cov E
xy x y
xy y y y y
σ x - μ y - μ x y x y
σ x y x - μ y - μ x - μ y - μ
• Se VM é vetor das vazões medidas e VR é o vetor das vazões reconciliadas de um balanço hídrico, as matrizes variâncias covariâncias dessas variáveis são U2
M e U2R e as relações
entre elas são:
2 2
12 2
T T
TT T T
R M M R M M M
RM M M
M
V S V U S U S
VS I - U A AU A AV
![Page 102: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/102.jpg)
114
Demonstração:
• O problema de reconciliação de dados de um balanço hídrico é dado por:
2min
sujeito a:
T
RM R M M RV
R
V - V U V - V
AV = 0
TR M MV S V
• A solução analítica desse problema quadrático pode ser obtida aplicando o método dos Multiplicadores de Lagrange:
2
,
12 2
min
derivando a lagrangeana (matriz L) em relação a e a ,igualando a zero e resolvendo o SEAL, obtemos:
T T T
T TL
R
R
M R
M M
M M R RV λ
R
M M MV I - U A
V - V U V - V λ AV
AU A A V S
V
V
λ
c. q. d.
![Page 103: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/103.jpg)
115
Demonstração: • Por definição:
2
2
:
:
T
T
E E E
E E E
M M M M M
R R R R R
U V V V V
U V V V V
2 2TR M M MU S U S
12 2T T T R M M M M MV I - U A AU A A V S V
• Então:
2
2
2
TTT T T T
TTT T T
TT T T T
TTT T
T
TTT T
E E E
EE
E
EE
E
E
E E
E
M M M M M M M M
R
M M M M M M
R M M M M M M M M
M M M M M M M MR
M M M M M M M M
M M
S V S V S
U S V S V S V S V
S V V S S V V SU
S V V S S V V S
V S VU
S V S V S V S V
• Mas:
![Page 104: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/104.jpg)
116
Demonstração: 2 2TR M M MU S U S
• Lembrando que a matriz de sensibilidade é constante:
2
2
2
2
2
TTT T
TT
TT
TT
T
T T
TT
T
EE
E
EE
E E E
E
E E
E E
M M M M M
M M M MR M
R M M M
M
M
M M MR
M M M M M M M M
R M M
M
M
M
M M
M
M
S V V S S V V SU
S V V S S V V S
U S
V V V VU S S
V V V V
U S U
V V V S
S
V
c. q. d.
![Page 105: 1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022062411/570638501a28abb8238f8217/html5/thumbnails/105.jpg)
Avaliação da incerteza• De acordo com o VIM a incerteza é
avaliada, NÃO é calculada, nem determinada, muito menos estimada.
• O que se estima é a grandeza de medição.• A incerteza é avaliada.
117