IV-Fractais

ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke

Springer(1997)

Geometria Fractal

Geometria euclideana descreve órbitas regulares (periódicas e quase-periódicas) Geometria fractal descreve órbitas caóticas

Características dos fractais: • Estrutura complexa em várias escalas • Repetição da estrutura em escalas diferentes • Dimensão fractal (não inteira)

1- Conjuntos de Cantor

Conjunto de Cantor

Extremos de cada intervalo pertencem ao conjunto de Cantor K. Outros pontos também, como ¼.

( ) 03/2lim :nulo éK de ocompriment O

KK lim no restam que pontos dos conjunto o éK Cantor de conjunto O

(2/3) éK intervalo do ocompriment O

(1/3) ocompriment de intervalos 2:K

(1/3) ocompriment de intervalos 2:K

(1/3) ocompriment de intervalos 2:K

1/3 ocompriment de intervalos 2:K

n

n

nn

nn

nnn

333

222

1

→

→

∞→

∞→

Conjunto de Cantor

Para os números entre 0 e 1, na base 3r = a1 3−1 + a2 3−2 + a3 3−3 + ..... + an 3−n + .....ak = 0 ou 1 ou 2 ak : dígito ternário de rr = 0. a1 a1 a1...an

(Ponto fora de K ) 1/3 ⇒ r = 0. 1 0 0 ...a1 = [1/3 × 3] = 1 a2 = [0 x 3] = 0 a3 = [0 x 3] = 0

(Ponto fora de K ) 1/2 ⇒ r = 0.1111 ... = 0. 1_

a1 = [1/2 × 3] = [1,5] = 1 a2 = [0.5 × 3] = 1 a3 = [0.5 × 3] = [1.5] = 1

Pontos em K1 = [0, 1 / 3]∪ [2 / 3, 1]possuem a1 = 0 ou 2

Pontos em K2 = [0, 1 / 9]∪ [2 / 9, 3 / 9]∪ [6 / 9, 7 / 9] ∪ [8 / 9, 1]

possuem a1 = 0 ou 2 e a2 = 0 ou 2

Teorema: O conjunto de Cantor, K , consiste dosnúmeros em [0, 1] que podem ser representados,na base 3, apenas pelos dígitos 0 e 2.

Exemplo: r = 0.02 ∈ Kr = 0x3-1 + 2x3−2 + 0x3-3 + 2x3-4 ..... =29

(1+ 3−2 + 3−4 + ....) = 29

11−1/ 9

= 1/ 4

( Soma = a / (1 − q) )

contável. conjunto um é contáveis conjuntos dois de Uniãocontável. conjunto um é contável conjunto um de oSubconjunt

contável. não : incontável Conjuntocontável. nteinfinitame conjuntoou finito conjunto : contável Conjunto

naturais. números os com ênciacorrespondem colocadosser podem elementos seus :contável nteinfinitame Conjunto

Conjunto dos racionais 0 < m/n < 1 (m, n inteiros) é contável

O conjunto de pontos da figura é contável (ele está ordenado). O conjunto dos racionais é um subconjunto do conjunto da figura → esse conjunto é ordenado.

Conjunto dos números do conjunto de Cantor K, com um número finito numa base 3, é contável.

Números correspondentes à extrema direita dos intervalos retirados.

2/3 2/9 8/9

Lista de números no conjunto de cantor K Esse conjunto é incontável

2ou 0aij =

incontável conjunto um é ,K Portanto,lado. ao lista na está nãor

)a de (contrário 2ou 0b

)a de (contrário 2ou 0b)a de (contrário 2ou 0b

...b...bb0.b r ,K r Número

nnn

222

111

j321

∞

=

=

=

=∈

2- Fractais em Sistemas Determinísticos

Mapa do Padeiro

branca) região a e. i. meio, do terçoo subtraido (Cantor de conjunto :Atrator

! bastante afastam se iteração a após,2/1y e 1/2 y próximos, pontos Dois o.descontínu Mapa

11/2para1) -y 2,32

3x(

2/1y0 para)y 2,3x (

y) (x, B

21 ><

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤<+

≤≤=

y

AlligoodChaos

Atrator fractal: conjunto de Cantor (n → ∞)

Contração em x Expanção em y

AlligoodChaos

Atrator Fractal

Atrator para n → ∞

AlligoodChaos

Atrator Fractal

Atrator para n → ∞

AlligoodChaos

Fractal no Mapa da Tenda

),1(T pois-x lim

)9/8,9/7( ) 2/9 1/9, (x

),1(T pois-x lim ) 2/3 1/3, (x

-x lim),1( ) 0 , - (x1/2 x para )x -1(3

1/2 x para x 3T

32

3

3

∞∈

∞→

⇒∈

∞∈

∞→⇒∈

∞→⇒∞∞∈⎩⎨⎧

>

≤

∪

∪

AlligoodChaos

x)y, 0.3 x- (1.4 y) (x, fHénon de Mapa

2 +=

Atrator Fractal

AlligoodChaos

fractal é bacias entre Fronteira

1)}(0.3,0.3),(1,{periódica órbita e :Atratores

x)y, 0.3 x- (1.39 y) (x, fHénon de Mapa

2

∞

−=

AlligoodChaos

Conjunto de Cantor Fractal

4-DimensãoFractal

5-CálculodaDimensãodeContagemdeCaixas

Objetivo: Introduzir algorítmo para quantificar a dimensão de um atrator caótico

)1/ ( C ) ( N

:dfor dimensão a Se

)1/ ( C ) ( Ncom cobertoser pode Retângulo

1/ C ) ( N1/ caixa da largura da depende N, caixas, de Número

intervalo) do depende C constante ( largura de caixas ) 1/ ( Cpor coberto 1] [0, Intervalo

1/n largura de caixasn 8por coberto 8] [0, Intervalo1/n largura de caixasn por coberto 1] [0, Intervalo

d

2

εε

εε

εε

ε

εε

=

=

=

caixas) 1/ ( C Narbitrário lado de Quadrado

caixas 49 4 ) 1/71 ( 4 N e 1/7 1/n 7 n

1/n lados de caixas )1/ ( 4 Npor coberto 2 lados de quadrado

:Exemplo

2

2

2

ε

ε

εε

=

×====⇒=

==

)1/ (ln ) ( Nln lim ) caixa de ( Dimensão

:Definição

! inteiroser não pode d)1/ ( C ) ( N

lados de caixas Npor cobertofor ele se d é conjunto um de dimensãoA

0

d

εε

εε

ε

ε →=

=

AlligoodChaos

) x ,y 0.3 x- 1.4 ( )y , x ( fHénon deAtrator

2 +=

Atrator ocupa 76 das 256 caixas.

AlligoodChaos

Caixas de tamanhos diferentes

AlligoodChaos

Cálculo da Dimensão de Caixa para o Atrator de Hénon

d = 1.27

Dimensão de Correlação ( útil para dados experimentais )

Órbita S = { v0 , v1,...vN} do mapa f em Rn.Pr oporção de pares de pontos da órbita cujas distâncias são maiores que r > 0

C ( r ) = limN → ∞

{ pares { vi , v j } : vi , v j ∈ SN , vi −v j < r

{ pares { vi , v j } : vi , v j ∈ SN }

0 ≤ C ≤ 1 para 0 < r < ∞

Se C( r ) ≈ rd , d é a dimensão de correlação da órbita

Definição:

d ≡ dim cor = limr → ∞

logC (r )log( r )

AlligoodChaos

Cálculo da Dimensão para o Atrator de Hénon Com a Dimensão de Correlação

d = 1.23

1 )(K dim 0

...631.03ln2ln

3ln n 2ln n lim

3ln 2ln lim )K ( dim

1/3 largura de intervalos2KCantor de conjunto do Dimensão

n n

n

n

nn

<<

====∞→∞→