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Introdução à Álgebra Geométrica (2013.1)

Prof. Leandro A. F. Fernandes laffernandes@ic.uff.br

Descrição e Objetivos

Problemas geométricos em Computação, em especial em Computação Visual (computação gráfica, visão computacional e processamento de imagens), são tipicamente modelados e resolvidos pelo uso de Álgebra Linear. Neste contexto, vetores são utilizados para representar tanto direções quanto pontos no espaço, enquanto que matrizes são utilizadas na modelagem de transformações. A abordagem por meio de Álgebra Linear convencional, entretanto, apresenta algumas limitações bem conhecidas para a realização de cálculos geométricos. Como consequência, muitas vezes é preciso agregar diferentes formalismos (e.g., álgebra de matrizes, quaternions, e coordenadas de Plücker) a fim de se obter soluções completas. Infelizmente, tais formalismos não são completamente compatíveis entre si, sendo preciso nos acostumar a migrar de um formalismo para outro, preenchendo as lacunas conceituais entre eles.

Álgebra Geométrica (Álgebra de Clifford na Física), por outro lado, fornece um ferramental matemático que naturalmente generaliza e integra diversos formalismos, tais como números complexos, quaternions e coordenadas de Plücker, em uma linguagem de alto nível para a especificação de operações geométricas. Por conta de sua estrutura consistente, equações em Álgebra Geométrica são, muitas vezes, universais e de aplicação geral, no sentido em que uma mesma solução é estendida para espaços de dimensionalidade mais alta e para todo tipo de elementos geométricos, sem a necessidade de lidar com casos especiais.

Nesta cadeira, Álgebra Geométrica será apresentada como uma ferramenta matemática poderosa para a descrição e solução de problemas geométricos em Computação. O objetivo é preparar os alunos de Graduação e Pós-Graduação do IC-UFF a compreender um formalismo matemático que, nos últimos anos, tem conquistado cada vez mais espaço na comunidade científica internacional. Ao agregar este conhecimento ao currículo dos alunos, espera-se estimular o desenvolvimento de trabalhos inovadores de pesquisa em Computação Visual, mas também em outras áreas como Inteligência Artificial e Mineração de Dados.

Abordagem

Aulas expositivas acompanhadas de trabalhos práticos relacionados aos conteúdos apresentados em sala e de um projeto final.

Avaliação

Os critérios de avaliação são definidos na primeira semana de aula dependendo do tamanho da turma. Os métodos de avaliação aplicados incluem lista de exercícios, trabalhos práticos e projeto final.

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Bibliografia Básica

L. Dorst, D. Fontijine, and S. Mann, Geometric algebra for computer science: an object oriented approach to geometry. Morgan Kaufmann Publishers, 2007.

C. Perwass, Geometric algebra with applications in engineering. Springer Publishing Company, 2009.

G. Sommer, Geometric computing with Clifford algebras. Springer Publishing Company, 2001.

Bibliografia Complementar

L. Dorst, S. Mann, “Geometric algebra: a computational framework for geometrical applications, Part 1,” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 3, pp. 24-31, 2002.

L. A. F. Fernandes, M. M. Oliveira, “Geometric algebra: a powerful tool for solving geometric problems in visual computing,” Tutorials of Sibgrapi 2009 (XXII Brazilian Symposium on Computer Graphics and Image Processing), Rio de Janeiro, Brazil, 2009.

D. Hildenbrand, D. Fontijne, C. Perwass, L. Dorst, “Geometric algebra and its application to computer graphics,” Tutorial 3 of Eurographics 2004, Grenoble, France, 2004.

S. Mann, L. Dorst, “Geometric algebra: a computational framework for geometrical applications, Part 2,” IEEE Computer Graphics and Applications, vol. 22, no. 4, pp. 58-67, 2002.

Algumas Publicações Comentadas em Aula

T. A. Bouma, L. Dorst, H. G. J. Pijls. “Geometric algebra for subspace operations”. Acta Appl. Math., 73(3), pp.285-300, 2002.

W. K. Clifford. “Applications of Grassmann's extensive algebra”. Am. J. Math., The Johns Hopkins University Press, 1(4), pp.350-358, 1878.

R. N. Goldman. “Illicit expressions in vector algebra”. ACM Trans. Graph., 4(3), pp.223-243, 1985.

H. G. Grassmann. “Verwendung der Ausdehnungslehre fur die allgemeine Theorie der Polaren und den Zusammenhang algebraischer Gebilde”. J. Reine Angew. Math. (Crelle's J.), Walter de Gruyter Und Co., 84, pp.273-283, 1877.

W. R. Hamilton. “On a new species of imaginary quantities connected with the theory of quaternions”. Proc. of the Royal Irish Acad., 2, pp.424-434, 1844.

C. B. U. Perwass. “Analysis of local image structure using intersections of conics”. Instituts für Informatik und Praktische Mathematik der Universität Kiel, Germany,Tech. Rep. Nr. 0403, 2004.