Introdução ao Cálculo Vetorial

Segmento Orientado É o segmento de reta com um

sentido de orientação. Por exemplo AB

onde:

A : origem e

B : extremidade.

Pode-se ter ainda o segmento

BA onde:

B : origem e

A : extremidade.

Módulo de um segmento

orientado é a quantidade de unidades de

comprimento que ele tem.

Por exemplo, considere a Figura

abaixo onde cada quadrado tem uma

unidade de comprimento qualquer.

Calcule os módulos dos segmentos

orientados.

Eixo Orientado É uma reta em que orientamos um

sentido.

Ponto O é a origem, OX e OX’ são os

semi-eixos.

Direção e Sentido Esses conceitos são muito

importantes. A seguir exemplifica-se

esses conceitos.

Considere no mapa do Brasil os

pontos correspondentes às cidades de Juiz

de Fora e Rio de janeiro. Chama-se de

direção à reta determinada por estes dois

pontos. Nessa mesma direção pode-se

caminhar de dois sentidos. O primeiro é o

sentido Juiz de Fora para o Rio e, o

segundo, Rio para Juiz de Fora.

Por exemplo Considere o eixo x’x

e os segmentos orientados AB

,

CD ,

EF ,

GH e

IJ

AB

tem mesma direção e mesmo sentido

do eixo x’x.

CD

tem direção perpendicular ao eixo

x’x e, sentido de cima para baixo.

Continue em relação aos outros

segmentos.

Soma de Vetores ( Resultante )

Forma Geométrica

A soma de vários vetores resulta

um outro vetor. Existem várias maneiras

de se chegar ao vetor resultante.

Primeiramente vamos utilizar a forma

geométrica.

Representação do vetor resultante pela

forma geométrica.

Para somarmos dois vetores, isto é,

calcular o vetor resultante, temos que

colocar os vetores na forma consecutiva

procedendo da seguinte forma:

1. Estipular um ponto qualquer como

origem.

2. Somar à origem o primeiro vetor,

determinando a extremidade do

primeiro

3. Considerar a extremidade do

primeiro como a origem do

segundo e somar o segundo vetor.

4. O vetor soma, neste caso, terá

origem do primeiro e, extremidade

do segundo.

OBSERVAÇÃO 1

Este procedimento pode ser feito

para vários vetores.

OBSERVAÇÃO 2

O módulo do vetor soma AC é

menor ou igual à soma dos módulos.

Pode-se observar na figura

anterior que :

BCABAC

OBSERVAÇÃO 3

No caso dos vetores terem mesma

direção e mesmo sentido o módulo do

vetor soma é igual à soma dos módulos.

Pode-se observar na figura anterior

que :

cbaS

Atividades

1. Calcular o vetor soma pelo método

geométrico considerando os vetores.

Calcule também o módulo do vetor

soma.

a) S = a + b + c

b) S = a + b + c + d

Produto de um número positivo

por um Vetor

O produto de um número k (k > 0)

por um vetor a

, é um outro vetor b

, de

mesma direção, mesmo sentido e módulo

igual a k vezes o módulo do vetor a

.

Por exemplo :

Logo, se akb

. , 0k , então, pode-

se afirmar que :

O vetor b

tem mesma direção e

mesmo sentido do vetor a

.

O módulo do vetor b

é igual a k

vezes o módulo do vetor a

.

OBSERVAÇÃO 4

O quociente de um vetor por um

número é o produto do inverso do número

pelo vetor.

Por exemplo:

4

a

é o mesmo que a

4

1

OBSERVAÇÃO 5

Se dividirmos um vetor pelo seu

módulo obteremos um outro vetor de

tamanho 1 (unidade) de mesma direção e

mesmo sentido, denominado de vetor

unitário ( versor ) .

Por exemplo:

Se o módulo de um vetor a

é igual a 4

unidade, então o vetor unitário do vetor

a

, vamos chamar de u

, pode ser obtido

da seguinte forma: 4

au

Atividades

2. Calcular o vetor soma S = 2

1a + 3b ,

pelo método geométrico considerando

os vetores. Calcule também o módulo

do vetor soma.

Simétrico de um Vetor.

Na representação dos números

Reais, os números 3 e –3, podem ser

representados no eixo real da seguinte

forma:

Pode-se observar, na figura anterior,

que os números 3 e –3, tem mesmo

módulo ( distância à origem) mesma

direção e marcados no eixo dos reais em

sentidos contrários. Nós dizemos que 3 e

–3 são simétricos.

Por definição o simétrico do vetor v ,

é o vetor – v , obtido quando

multiplicarmos o vetor um por –1. Nesse

caso o vetor simétrico tem mesmo

módulo, mesma direção e sentido

contrário ao vetor v .

A grande aplicação de vetor

simétrico na Física é o vetor Equilibrante.

O vetor Equilibrante E é o vetor

simétrico do vetor Resultante R .

a

au

Produto de um número negativo

por um Vetor O produto de um número k ( k < 0 )

por um vetor a

, é um outro vetor b

, de

mesma direção, sentido contrário e

módulo igual ao módulo de k vezes o

módulo do vetor a

.

Por exemplo :

Logo, se akb

. , 0k , então, pode-

se afirmar que :

O vetor b

tem mesma direção e

sentido contrário do vetor a

.

O módulo do vetor b

é igual a k

( módulo de k ) vezes o módulo do

vetor a

.

Diferença de dois Vetores.

O vetor diferença dos vetores a

e

b

, nesta ordem, é o vetor D , calculado

somando o vetor a

com o simétrico do

vetor b

.

Calcular o vetor diferença pelo método

geométrico considerando os vetores.

D = a -b ou D = a + (-b )

Atividades

3. Calcular o módulo do vetor resultante

da operação.

a) X = a - b + c

b) X = a - b - 3 c + d

O Vetor no Plano

Expressão Cartesiana de um Vetor

Seja i o vetor unitário do eixo x,

isto é, i é um vetor de módulo igual a 1,

direção e sentido do eixo.

Um vetor de mesma direção do

eixo sempre pode ser expresso em função

do unitário do eixo. Por exemplo,

considere a figura abaixo onde cba e ,

são três vetores de módulos iguais a 2, 3 e

4 respectivamente.

Escrevendo os vetores cba

e , em

função do unitário do eixo, temos :

i4ci3bi2a

e ; ;

Pode-se observar que o o valor

algébrico do vetor c

é -4, pois o vetor

tem mesma direção e sentido contrário do

eixo.

ATIVIDADES

1. Exprimir os vetores cba e , em

função do unitário i , vetor unitário

do eixo x.

Considere os módulos dos vetores iguais

a 1, 2 e 3 respectivamente.

2. Calcule o vetor resultante da questão

anterior. Observe que o vetor

resultante é o vetor soma

cbaS . Desenhe em escala o

vetor resultante.

Expressão Cartesiana de um Vetor no

Plano

Sejam i o vetor unitário do eixo

x e j o vetor unitário do eixo y e, os

pontos A de coordenadas A(xA,yA) e B de

coordenadas B (xB,yB).

Da Figura anterior :

Onde :

( x B – x A ) : componente horizontal

( y B – y A ) : componente vertical

Outra Notação : )( ABAB yy, xxAB

Módulo do Vetor

Módulo de um vetor é o tamanho

do vetor. Na figura anterior, no triângulo

retângulo ABP temos:

AB2 = AP2 + PB2

AB2 = ( x B – x A )2 + ( y B – y A ) 2

ATIVIDADES

3. Determine os vetores e seus módulos

conhecendo a origem e a extremidade.

Calcule também a distância entre

estes pontos.

a) Origem A( 2,3 ) extremidade B(5, 4)

b) Origem C( 0,3 ) extremidade D(4, 0)

jyyixxPBAPAB ABAB

)()(

22 )()( ABAB yyxxAB

OBSERVAÇÃO

A distância entre dois pontos é o

módulo do vetor definido por estes pontos.

4. Exprimir os vetores ba

e em função

dos unitários dos eixos.

5. Calcule o vetor resultante baS

no caso anterior. Faça pelo método

gráfico e algebricamente.

Vetor Posição

O vetor posição do ponto P ( x, y ) é o

vetor que tem como origem a origem dos

eixos e extremidade o ponto considerado.

Da figura anterior pode-se concluir que :

jyixAP PP

ATIVIDADE

6. Determine os vetores posições

determinados pelos pontos, e o

módulo destes vetores.

a) A( 2,3 )

b) B( 0,3 )

c) C(-3,-4)

Coeficiente Angular da Direção

Determinada por dois pontos

( Declividade)

Por definição o coeficiente

angular da direção de um vetor em

relação ao eixo x é a tangente do ângulo

que o vetor faz com o eixo x marcado no

sentido trigonométrico.

Seja a é o coeficiente angular, então:

Condições de Paralelismo de Dois

Vetores

A condição para que os vetores a x i y j 1 1 e

b x i y j 2 2 sejam paralelos,

é que suas componentes sejam

proporcionais, então:

AB

AB

xx

yy tga

a / / b se

x

x

y

y1

2

1

2

Demonstração:

Se os dois vetores são paralelos,

então fazem o mesmo ângulo com o eixo

x, logo, terão o mesmo coeficiente

angular, então:

2

2

1

1

x

y

x

y trocando os meios =>

2

1

2

1

y

y

x

x

OBSERVAÇÃO

Vetores paralelos são também

chamados de vetores linearmente

dependentes, ou vetores colineares, ou

vetores de mesma direção, ou vetores de

mesmo coeficiente angular, ou ainda

vetores de mesma declividade.

ATIVIDADES

7. Calcule m para que os vetores

j2i6b e ji3a

m sejam

paralelos.

8. Calcule o valor de m para que a

direção determinada pelos pontos

A( -1, 4 ) e B( 2m - 1, 2 ) faça 30o

com o eixo x.

Tarefas

SÉRIE A

1. Determine os vetores e seus módulos

conhecendo a origem e a extremidade.

Calcule também a distância entre

estes pontos.

a) Origem A(-1,-3) extremidade B(5,-4)

b) Origem C(-1, 5) extremidade D( 3,2 )

2. Exprimir os vetores ba

e em função

dos unitários dos eixos. Calcular o

vetor e o módulo da resultante.

3. Determine os vetores posições

determinados pelos pontos, e o

módulo destes vetores.

a) A( -1,4 )

b) B( -3,-3 )

c) C( 3,4)

4. Calcule os coeficientes angulares das

direções determinadas pelos pontos : a) A ( 2, 1 ) e B ( 3, 4 ) b) C (-3, 4 ) e D( 5, 1) c) E( 0, -1 ) e F( 5, 9 )

5. Determine o valor de m para que :

a) a direção determinada pelos pontos A ( 1, 1 ) e B ( 3, m ) faça 60

o com o eixo

x. b) a direção determinada pelos pontos C( -1,

0 ) e D ( 3, m ) faça 45o com o eixo

x. GABARITO.

1. a) ji6

, 37 , 37

a) j3i4

, 5, 5

2. j2i5a

; j4i2b

;

j6i7R

; u85R

3. u17j4iOA ,

;

u23j3i3OB ,

;

u5j4i3OC ,

4. a) 3 b) -3/8 c) 2

5. a) m = 2 3 + 1 b) m = 4

Decomposição de um vetor

Considere um vetor

jyixAB

11

e a inclinação do

vetor oo 1800 e o90 .

Pode-se observar que:

PBAPAB Da trigonometria, temos:

Seja um triângulo retângulo de

hipotenusa a e catetos b e c.

m

PB

hipotenusa

oposto catetosen => sen.mPB

m

PA

hipotenusa

adjacente catetocos => cos.mPA

Logo:

imAP cos.

e jmPB

sen.

,

Então:

jmimAB

sen. cos.

Atividades

9. Exprimir os vetores ba

e em função

dos unitários dos eixos, sendo

3 e 4 ba

10. Calcule o vetor resultante baS

no caso anterior. Faça pelo método

gráfico e algebricamente.

PRODUTO ESCALAR

Definição Por definição o produto escalar de

2 vetores é um número igual ao produto

dos módulos desses vetores pelo cosseno

do ângulo entre os vetores.

Onde : oo 1800

A grande aplicação do Produto Escalar na

Física está na Grandeza Escalar

Trabalho.

A Figura que se segue mostra um

móvel de massa m, inicialmente em

repouso, apoiado sobre uma superfície

horizontal. Uma Força F

, aplicada sobre

ele, provoca um deslocamento d

,

segundo a direção Ox.

Ao fazer-se a decomposição da força F

segundo a horizontal e vertical, pode-se

observar que o deslocamento d

foi

produzido pela componente xF

pois a

componente yF

é perpendicular à direção

determinada pelo deslocamento.

Chama-se Trabalho de uma força F

ao produto escalar da Força F

pelo

deslocamento d.

dF

.

Mas a única componente que produz o

deslocamento, é o componente xF

,

então: dFx

.

a b. = a . b. cos

Se a b. > 0 < 90º a b. = 0 = 90º

(vetores perpendiculares) a b. < 0 90º < 180º

Aplicando a definição do produto escalar,

têm-se:

o

xxdFdF 0cos...

Considerando a situação estudada, a força

aplicada é decomposta em:

cos.FFx e 10 ocos

Então :

Compare a formula da física com a

definição do produto escalar!

Atividades

1. Calcule o produto escalar de dois

vetores de módulos iguais a 6

sabendo-se que o ângulo entre os

vetores é 120º

2. Considerando i e

j como vetores

unitários dos eixos, calcule:

a) i .

i

b) i .

j

c) j .

i

d) j .

j

Expressão Cartesiana do Produto Escalar

Se a x i y j e b x i y j 1 1 2 2 então:

Demonstração:

:então i jji e jjii mas

jjyyijxyjiyxiixxba

jyixjyixba

01

21212121

2211

....

.........

)).((.

2121 yyxx ba ...

Condição de Perpendicularismo

Sejam os vetores a x i y j e b x i y j 1 1 2 2 se

a b

então a b. =0 (cos 90º = 0) logo:

Atividade

3. Calcular m para que os vetores

j2ima

e b 3i - 4j sejam:

a) paralelos

b) perpendiculares

TAREFAS

1. Calcule o produto escalar de dois vetores de

módulos 4 e 5 que formam um ângulo de 60º.

2. Calcule o produto escalar dos vetores

j5i4ej2i3

2121 yyxx ba ...

02121 yyxx ..

cos..dF

3. Os vetores bea

têm módulos iguais a 3 e 4

respectivamente e fazem um ângulo de 120º.

Calcule:

)()(

)()(

ba.ba f)

ba.ba e)

a. b d)

b. b c)

a. a b)

b. a a)

4. Sendo dados j4i3a

, j5i2b

e

j-i2c

, calcule )( )( c.b.aec.b.a

5. Qual a condição para que os vetores

j2yi2xbej1yi1xa

sejam:

a) paralelos

b) perpendiculares

6. Determine m de modo que os vetores

j2i5ej4im

sejam perpendiculares.

GABARITO

1. 10

2. 2

3. a) -6 b) 9 c) 16

d) -6 e) 13 f)

37

4. j4i3)c.b( aej26-i52=c )b.a(

5. a)

2

1

2

1

y

y

x

x

b) x1x2 + y1y2 = 0

6. m = 8/5