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Produto Vetorial

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Produto Vetorial. Produto Vetorial. Para definir o produto vetorial entre dois vetores é indispensável distinguir o que são bases positivas e bases negativas Para isso, considere uma base do espaço {v 1 , v 2 , v 3 } e um observador - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Produto Vetorial

Produto Vetorial

Page 2: Produto Vetorial

Produto Vetorial

Para definir o produto vetorial entre dois vetores é indispensável distinguir o que são bases positivas e bases negativas

Para isso, considere uma base do espaço {v1, v2 , v3} e um observador

O observador deve estar com os pés em um plano que contém representantes de v1 e v2 (os dois primeiros vetores da base)

v3 (o terceiro vetor da base), esteja dirigido para os seus olhos

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Page 4: Produto Vetorial

Produto Vetorial

No exemplo considere OA =v1 e OB =v2

Considere agora, a rotação de menor ângulo em torno de O, que torna o vetor v1 ( o primeiro vetor da base) com mesmo sentido do vetor v2 ( o segundo vetor)

Se esta rotação for no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio (anti-horário), dizemos que a base é positiva

Caso contrário (sentido horário), a base é negativa. Assim, a base {v1, v2 , v3}, do exemplo, é positiva

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Page 6: Produto Vetorial

A base {v2 , v1, v3} é positiva?

Page 7: Produto Vetorial

E {v3 , v2 , v1}?

Page 8: Produto Vetorial

Produto Vetorial

Note que nem sempre o observador está no mesmo semi-espaço que nós

Neste caso, o sentido da rotação que ele verá é contrário ao que nós vemos

Para ilustrar este fato, desenhe em uma folha de papel dois vetores LI com a mesma origem e considere uma rotação que torna um deles com mesmo sentido do outro

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Produto Vetorial

A folha de papel pode ser considerada com um plano, assim, a folha

de papel divide o espaço em dois semi-espaços Note que, em um desses semi-espaços vemos

esta rotação com um sentido. Se mudarmos de semi-espaço vemos esta rotação com um sentido contrário ao anterior

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Page 11: Produto Vetorial

Esta observação é útil na identificação de bases positivas e negativas, quando o observador não está no mesmo semi-espaço que nós

Por exemplo, ao analisar a base {v2 , v1,- v3} vemos a rotação no sentido horário, porém o observador, por estar no semi-espaço distinto do qual nos encontramos, vê esta rotação no sentido anti-horário

Portanto esta base é positiva.

Page 12: Produto Vetorial

Exemplo

Considere o sistema {O, i, j, k}

Page 13: Produto Vetorial

Exemplo

Quais as bases positivas e negativas?

Page 14: Produto Vetorial

Exemplo

As bases {i , j, k}, { j, k, i} e {k, i , j} são positivas.

As bases { j, i , k}, {i , k, j} e {k, j, i} são negativas.

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Produto Vetorial

Definição: Sejam u e v vetores não colineares.

O produto vetorial de u por v, indicado u x v, é um vetor, tal que: | u x v |= | u | | v | sen(u, v)O vetor u x v é ortogonal ao plano que

contém representantes dos vetores u e vA base {u, v, u x v} é positiva

Page 16: Produto Vetorial

Exemplo

Sejam u e v vetores com representantes no plano alpha , onde | u |= 2, | v |= e (u, v) = 30º

3

Page 17: Produto Vetorial

| u x v | = | u || v | sen 30º==2 ½ =

| v x u | = | v | | u |sen 30º=½ 2 =

3 3

3 3

Page 18: Produto Vetorial

Exemplo

|u x v| = |v x u|, mas estes vetores são opostos

Page 19: Produto Vetorial

Exemplo 3

Dada a base ortonormal positiva {i, j, k} i x i= j x j= k x k= 0 i x j= k, j x k =i e k x i= j j x i =-k, k x j=- i e i x k=- j

Page 20: Produto Vetorial

Interpretação Geométrica

Consideremos o paralelogramo ABCD,

Page 21: Produto Vetorial

Interpretação Geométrica

Sabemos que a área S desse paralelogramo é:

S = base x altura, ou seja S = | AB | × h. Do triângulo AMD, temos: h =| AD | sen teta

Page 22: Produto Vetorial

Interpretação Geométrica

S = | AB | |AD | sen teta

S =| AB x AD|

Page 23: Produto Vetorial

Interpretação Geométrica

Encontre a área do triângulo ABD

Page 24: Produto Vetorial

S = |AB | |AD | sen teta

S =|AB x AD|

Logo a área do triângulo é |AB x AD|/2

Page 25: Produto Vetorial

Exemplo 4 Encontre a área do paralelogramo, onde

A(1,1,0), B(0,1,2) e C(4,1,0)

Page 26: Produto Vetorial

| AB| =| (-1,0,2)| = | AD| =| (4,0,-2)|= 2 Cos(AB,AD) = (AB.AD)/(|AB||AD|) = -4/5 Sen2x + cos2 x =1 Sen(AB,AD)=3/5 S = 3/5 2 = 6 u.a.

5

5

5 5

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Propriedades

Considere u, v e w vetores quaisquer e t um número real

1) u x v = v x u 2) (t v) x u = v x(t u) = t (v x u) 3) u x (v + w)= u x v + u x w

Page 28: Produto Vetorial

Expressão cartesiana do produto vetorial Dados uma base ortonormal positiva

{i, j, k} e dados os vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2 , y2 , z2 )

u x v = (x1i + y1j + z1k) x (x2i + y2j + z2k) =(x1x2 ) ixi + (x1y2 ) ixj + (x1z2 ) ixk+

+(y1x2 ) jxi + (y1y2 ) jxj + (y1z2 )jxk+

+(z1x2) kxi + (z1y2 ) kxj+ (z1z2) kxk

Page 29: Produto Vetorial

u x v = (y1z2-y2z1)i + (z1x2-z2x1)j + (x1y2-x2y1)k

Expressão cartesiana do produto vetorial

Page 30: Produto Vetorial

Exemplo 5

Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w = (2,4,6), calcule:

u x v = ? u x w = ?

Page 31: Produto Vetorial

Exemplo 5

Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w = (2,4,6), calcule:

u x v = (4-3) i + (9-2) j + (1-6) k = (1,7,-5)

u x w = (12-12)i+(6-6)j+(4-4)k = (0,0,0)=0

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Exemplo 6

Observe os paralelogramos ABCD e ABC’C

Page 33: Produto Vetorial

Exemplo 6

S e S’ são as áreas dos paralelogramos ABCD e ABC’C, respectivamente

Determine a relação de S e S’

Page 34: Produto Vetorial

Exemplo 6

S e S’ são as áreas dos paralelogramos ABCD e ABC’C, respectivamente

S =| AB x AD| S’ =| AB x AC| | AB x AC|= | AB x (AB+ BC) |=

Page 35: Produto Vetorial

Exemplo 6

| AB x(AB +BC)|= | AB x AB + AB x BC|

=| 0 + AB x AD|

= | AB x AD| = S

Page 36: Produto Vetorial

Exemplo 7

Determine a área S do retângulo, onde A(1,0,2), C(- 2,3,3) e AB° = (-1,0,0)

Page 37: Produto Vetorial

S =| AB x AC| e AC = (- 3,3,1) Como AB _ BC, temos que AB= projABº AC

=(-3,0,0)

S =| (- 3,3,1)x(- 3,0,0)| =| ( 0,-3, 9 )| =

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