aula produto vetorial

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Aula 03 Dependência e Independência Linear e Produto Vetorial

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Page 1: AULA PRODUTO VETORIAL

Aula 03

Dependência e Independência Linear e Produto Vetorial

Page 2: AULA PRODUTO VETORIAL

Vetores colinearesDois vetores são colineares se tiverem a

mesma direção.U

VV

U V

Page 3: AULA PRODUTO VETORIAL

Vetores LDsIsso acontece se, e somente se, existe um

número real tal que ou .

Diremos, então, que um vetor é escrito como combinação linear do outro, e neste caso, os vetores e são ditos linearmente dependentes.

U V V U

Page 4: AULA PRODUTO VETORIAL

Vetores LIs

Quando tomamos dois vetores nos quais não é possível escrever um vetor como combinação linear do outro, dizemos que os vetores são linearmente independentes.

Neste caso os dois vetores não são colineares mas são coplanares, isto é, possuem representantes pertencentes a um mesmo plano .

U

V

Page 5: AULA PRODUTO VETORIAL

Vetores LIsSe e são linearmente independentes,

então, todos os vetores da forma podem ser representados sobre um mesmo

plano, e reciprocamente.

U

V

W U V U

V

U VU V

Page 6: AULA PRODUTO VETORIAL

Vetores LIsToda combinação linear de dois vetores LIs

pode ser representada sobre o plano .

Por essa razão, se os dois vetores são linearmente independentes, diremos que eles geram um plano.

Page 7: AULA PRODUTO VETORIAL

Componentes de um vetorSe um vetor se escreve como uma

combinação linear , diremos que os vetores e são componentes do vetor na direção dos vetores e .

Os escalares e são as coordenadas de em termos aos vetores e .

WU V

U VW U V

WU V

Page 8: AULA PRODUTO VETORIAL

Três vetores coplanaresSe os vetores , e possuem

representantes pertencentes em um mesmo plano , dizemos que eles são coplanares.

WU V

U V

W

Page 9: AULA PRODUTO VETORIAL

ObservaçãoDois vetores quaisquer são sempre

coplanares, pois sempre podemos tomar um ponto do espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes pertencendo a um plano que passa por esse ponto.

Três vetores podem ser ou não complanares.

Page 10: AULA PRODUTO VETORIAL

Obeservação

UV

W

1

V

W

3 vetores LDs 3 vetores LIs

Page 11: AULA PRODUTO VETORIAL

BaseSe três vetores do espaço são linearmente

independentes, então eles geram o espaço.

Um conjunto de três vetores linearmente independentes chama-se uma base para o espaço dos vetores.

A base que consiste dos vetores , e , nessa ordem, será indicada por .

WU V{ , , }U V W

Page 12: AULA PRODUTO VETORIAL

Base ortonormalUma base chama-se ortogonal se

os seus vetores são mutuamente ortogonais, isto é, se

Se, além disso, os vetores são unitários, a base chama-se ortonormal.

{ , , }U V W

0.U V U W V W

Page 13: AULA PRODUTO VETORIAL

Base canônicaA base canônica do espaço tridimensional é

formada pelos vetores , e , ou seja, é uma base ortonormal.

Todo vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e .

(1,0,0)i

(0,1,0)j

(0,0,1)k

{ , , }B i j k

,i j

k

Page 14: AULA PRODUTO VETORIAL

ExemploDados e determine:a) b) c) d)Solução:

(1,2, 2)U 6 2 3V i j k

|| ||U || ||V U V Vproj U

2 2 2|| || 1 2 ( 2) 1 4 4 9 3U 2 2 2|| || 6 ( 2) 3 36 4 9 49 7V

(1,2, 2).(6, 2,3) 6 4 6 4U V

2 2

4 24 8 12(6, 2,3) , ,|| || 7 49 49 49VU Vproj U VV

Page 15: AULA PRODUTO VETORIAL

Produto vetorialNós iremos definir agora um tipo de

multiplicação vetorial que produz um vetor como produto, mas que é aplicável somente ao espaço tridimensional.

Page 16: AULA PRODUTO VETORIAL

DefiniçãoSe e são vetores

no espaço tridimensional, então o produto vetorial é o vetor definido por

ou em notação de determinante,

1 2 3( , , )U u u u 1 2 3( , , )V v v v

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )U V u v u v u v u v u v u v

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

, , (1)u u u u u u

U Vv v v v v v

Page 17: AULA PRODUTO VETORIAL

ObservaçãoEm vez de memorizar as fórmulas, você pode

obter os componentes de como segue:• Forme a matriz 2 x 3 dada por

cuja primeira linha contém os componentes de e cuja segunda linha contém os componentes de .

2 31

2 31

u uuv vv

Page 18: AULA PRODUTO VETORIAL

Observação• Para obter o primeiro componente de ,

descarte a primeira coluna e tome o determinante;

• Para obter o segundo componente, descarte a segunda coluna e tome o negativo do determinante;

• Para obter o terceiro componente, descarte a terceira coluna e tome o determinante.

Page 19: AULA PRODUTO VETORIAL

ExemploSe e calcule e

.Solução:

(2, 1, 1)U V i j k

U VV U

1 1 2 1 2 1, , (0,3,3) 3 3

1 1 1 1 1 1U V j k

1 1 1 1 1 1, , (0, 3, 3) 3 3

1 1 2 1 2 1V U j k

Page 20: AULA PRODUTO VETORIAL

Abuso de notaçãoO produto vetorial de e

pode ser representado simbolicamente como um determinante 3x3:

1 2 3( , , )U u u u1 2 3( , , )V v v v

1 2 3

1 2 3

i j kU V u u u

v v v

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

u u u u u ui j k

v v v v v v

Page 21: AULA PRODUTO VETORIAL

ExemploSe e calcule .Solução:

(2, 1, 1)U V i j k

U V

2 1 11 1 1

i j kU V

3 3j k

Page 22: AULA PRODUTO VETORIAL

ObservaçãoOs vetores canônicos satisfazem:

Page 23: AULA PRODUTO VETORIAL

Propriedades do Produto VetorialSejam U, V e W vetores no espaço e um

escalar.

Page 24: AULA PRODUTO VETORIAL

Relações entre Produtos Escalar e Vetorial

Sejam U e V vetores do espaço, então: ) ( ) 0i U U V

) ( ) 0ii V U V

2 2 2 2) || || || || || || ( )iii U V U V U V (Id. de Lagrange)

) ( ) ( ) ( )iv U V W U W V U V W

)( ) ( ) ( )v U V W U W V V W U

Page 25: AULA PRODUTO VETORIAL

Observação

mostram que o vetor é ortogonal simultaneamente a e a .

Deobtemos

) ( ) 0i U U V ) ( ) 0ii V U V

U VU V

2 2 2 2) || || || || || || ( )iii U V U V U V

2 2 2 2 2 2|| || || || || || || || || || cosU V U V U V 2 2 2|| || || || (1 cos )U V 2 2 2|| || || || senU V

|| || || || || || senU V U V

Page 26: AULA PRODUTO VETORIAL

Regra da mão direitaSe e são vetores não-nulos, pode ser

mostrado que o sentido de pode ser determinado usando a "regra da mão direita"!

u v

u v

Page 27: AULA PRODUTO VETORIAL

ResumindoSe U e V são vetores não-nulos, então:I) O vetor é ortogonal simultaneamente a

e a .

II)

III) O sentido de pode ser determinado usando a “regra da mão direita”.

U VU V

|| || || || || || senU V U V

U V

Page 28: AULA PRODUTO VETORIAL

Interpretação Geométrica do Produto Vetorial

U

V

parA base altura

senparA U V

parA U V

2tri

U VA

senV

Page 29: AULA PRODUTO VETORIAL

ExemploCalcule a área do triângulo de vértices A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3).Solução:12

A AB AC

( 3,1, 1)AB

( 1,1,1)AC

3 1 11 1 1

i j kAB AC

2 4 2i j k

1 2 62

A 6 . .u a

Page 30: AULA PRODUTO VETORIAL

Obrigado !

Page 31: AULA PRODUTO VETORIAL

Obrigado!

Aula disponível emwww.mat.ufam.edu.br/Disney