aula produto vetorial

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Aula 03

Dependncia e Independncia Linear e Produto Vetorial

Vetores colinearesDois vetores so colineares se tiverem a mesma direo.

Vetores LDsIsso acontece se, e somente se, existe um nmero real tal que ou .

Diremos, ento, que um vetor escrito como combinao linear do outro, e neste caso, os vetores e so ditos linearmente dependentes.

Vetores LIs

Quando tomamos dois vetores nos quais no possvel escrever um vetor como combinao linear do outro, dizemos que os vetores so linearmente independentes.

Neste caso os dois vetores no so colineares mas so coplanares, isto , possuem representantes pertencentes a um mesmo plano .

Vetores LIsSe e so linearmente independentes, ento, todos os vetores da forma podem ser representados sobre um mesmo plano, e reciprocamente.

Vetores LIsToda combinao linear de dois vetores LIs pode ser representada sobre o plano .

Por essa razo, se os dois vetores so linearmente independentes, diremos que eles geram um plano.

Componentes de um vetorSe um vetor se escreve como uma combinao linear , diremos que os vetores e so componentes do vetor na direo dos vetores e .

Os escalares e so as coordenadas de em termos aos vetores e .

Trs vetores coplanaresSe os vetores , e possuem representantes pertencentes em um mesmo plano , dizemos que eles so coplanares.

ObservaoDois vetores quaisquer so sempre coplanares, pois sempre podemos tomar um ponto do espao e, com origem nele, imaginar os dois representantes pertencendo a um plano que passa por esse ponto.

Trs vetores podem ser ou no complanares.

Obeservao

BaseSe trs vetores do espao so linearmente independentes, ento eles geram o espao.Um conjunto de trs vetores linearmente independentes chama-se uma base para o espao dos vetores. A base que consiste dos vetores , e , nessa ordem, ser indicada por .

Base ortonormalUma base chama-se ortogonal se os seus vetores so mutuamente ortogonais, isto , se

Se, alm disso, os vetores so unitrios, a base chama-se ortonormal.

Base cannicaA base cannica do espao tridimensional formada pelos vetores , e , ou seja, uma base ortonormal.Todo vetor pode ser escrito como uma combinao linear de e .

ExemploDados e determine:a) b) c) d)Soluo:

Produto vetorialNs iremos definir agora um tipo de multiplicao vetorial que produz um vetor como produto, mas que aplicvel somente ao espao tridimensional.

DefinioSe e so vetores no espao tridimensional, ento o produto vetorial o vetor definido por

ou em notao de determinante,

ObservaoEm vez de memorizar as frmulas, voc pode obter os componentes de como segue: Forme a matriz 2 x 3 dada por

cuja primeira linha contm os componentes de e cuja segunda linha contm os componentes de .

ObservaoPara obter o primeiro componente de , descarte a primeira coluna e tome o determinante; Para obter o segundo componente, descarte a segunda coluna e tome o negativo do determinante; Para obter o terceiro componente, descarte a terceira coluna e tome o determinante.

ExemploSe e calcule e .Soluo:

Abuso de notaoO produto vetorial de e pode ser representado simbolicamente como um determinante 3x3:

ExemploSe e calcule .Soluo:

ObservaoOs vetores cannicos satisfazem:

Propriedades do Produto VetorialSejam U, V e W vetores no espao e um escalar.

Relaes entre Produtos Escalar e Vetorial

Sejam U e V vetores do espao, ento:

Observao

mostram que o vetor ortogonal simultaneamente a e a .Deobtemos

Regra da mo direitaSe e so vetores no-nulos, pode ser mostrado que o sentido de pode ser determinado usando a "regra da mo direita"!

ResumindoSe U e V so vetores no-nulos, ento:I) O vetor ortogonal simultaneamente a e a .

II)

III) O sentido de pode ser determinado usando a regra da mo direita.

Interpretao Geomtrica do Produto Vetorial

ExemploCalcule a rea do tringulo de vrtices A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3).Soluo:

Obrigado !

Obrigado!Aula disponvel emwww.mat.ufam.edu.br/Disney

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