revisão - mecânica vetorial

Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida

Revisão - Mecânica Vetorial

Vetores são definidos como

expressões matemáticas que tem

intensidade, direção e sentido. São

representados por seta acima da letra usada

para representá-lo . Um usado vetor

usado para representar uma força que atua

sobre uma dada partícula tem um ponto de

aplicação bem definido, a saber, a partícula

propriamente dita.

Dois vetores que têm a mesma

intensidade, a mesma direção e o mesmo

sentido são considerados iguais,

independentemente de terem ou não o

mesmo ponto de aplicação; vetores iguais

podem ser representados pela mesma letra.

O vetor oposto de um dado vetor P é

definido como um vetor que tem a mesma

intensidade e a mesma direção de P e um

sentido oposto ao de P; o oposto de um vetor

P é denotado por –P. Em geral nos referimos

aos vetores P e –P como vetores iguais e

opostos.Obviamente P+(-P) = 0.

Vetores iguais

Vetores opostos

Decomposição de Vetores –

Componentes Retangulares de uma Força

Em muitos problemas será desejável

decompor uma força em dois componentes

que são perpendiculares entre si. Na figura, a

força F foi decomposta em um componente Fx

ao longo do eixo x e um componente Fy ao

longo do eixo y. O paralelogramo desenhado

para se obterem os dois componentes é um

retângulo, e Fx e Fy são chamados de

componentes retangulares.

Os eixos x e y são, geralmente

escolhidos na horizontal e na vertical,

respectivamente, como na Figura; podem,

entretanto, ser escolhidos em duas direções

perpendiculares quaisquer.

Dois vetores de intensidade unitária,

dirigidos respectivamente ao longo dos eixos

positivos x e y, serão introduzidos nesse

ponto. Esses vetores são denominados

vetores unitários e são representados por i e


j, respectivamente. Os componentes

retangulares Fx e Fy da força F podem ser

obtidos multiplicando-se respectivamente os

vetores unitários i e j pelos escalares

apropriados. Escrevemos

Fx = Fxi Fy = Fy j

e

F = Fxi + Fy j

Para que não haja confusão, o

componente escalar Fx é positivo quando o

componente vetorial Fx tiver o mesmo sentido

que o vetor unitário i (ou seja, o mesmo

sentido que o eixo x positivo) e é negativo

quando Fx tiver sentido oposto. Pode-se

chegar a uma conclusão semelhante com

relação ao sinal do componente escalar Fy.

Representando por F a intensidade da

força F e por o ângulo entre F e o eixo x,

medido no sentido anti-horário a partir do eixo

x positivo, podemos expressar os

componentes retangulares de F da seguinte

maneira:

Fx = F.cos e Fy = F.sen

Notamos que as relações obtidas

valem para qualquer valor do ângulo , de 00

a 3600, e que elas definem tanto o sinal quanto

o valor absoluto dos componentes escalares

Fx e Fy.

Quando a força F é definida pelos seus

componentes retangulares Fx e Fy , o ângulo

definindo sua direção pode ser obtido

escrevendo-se x

y

F

Ftg .

A intensidade da força F pode ser

obtida aplicando o teorema de Pitágoras e

escrevendo-se:

F = 22

yx FF .

____________________________________

____

____________________________________

____

Exercícios:

01. Uma força de 800N é exercida no parafuso

A, como mostra a Figura. Determine os

componentes vertical e horizontal dessa

força.


02. Um homem puxa com a força de 300N

uma corda amarrada a um edifício, como

mostra a figura. Quais são os componentes

horizontal e vertical da força exercida pela

corda no ponto A?

03. Uma força F = (3,150N) i + (6,750N) j é

aplicada a um parafuso A. Determine a

intensidade da força e o ângulo que ela

forma com a horizontal.

04. Determine os componentes x e y de cada

uma das forças indicadas:

(A)

(B)

(C)

(D)

05. O elemento BD exerce sobre o elemento

ABC uma força P dirigida ao longo da linha

BD. Sabendo que P deve ter um componente


vertical de 960N, determine (a) a intensidade

da força P e, (b) seu componente horizontal.

06.O elemento CB de um torno de bancada

(morsa) exerce no bloco B uma força P

dirigida ao longo da linha CB. Sabendo que P

deve ter um componente horizontal de 1170N,

determine (a) a intensidade da força P, e (b)

seu componente vertical.

07. O cabo de sustentação BD exerce no

poste telefônico AC uma força P dirigida ao

longo de BD. Sabendo que P tem um

componente de 450N ao longo da linha AC,

determine a intensidade da força P, e (b) seu

componente em direção perpendicular a AC.

Adição de Forças Pela Soma dos

Componetes X e Y

Quando três ou mais forças são

adicionadas, a solução analítica do problema

pode ser obtida decompondo-se cada força

em dois componentes retangulares.

Considere, por exemplo, tres forças, P, Q e R

atuando sobre uma partícula A, a resultante é

obtida pela relação:

R = P + Q + R

Decompondo cada força em seus

componetes retangulares, escrevemos

Rxi + Ry j = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Rxi + Ryj

= (Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy) j

De onde temos que

Rx = Px + Qx + Sx Ry = Py + Qy + Sy

Ou, em notação reduzida,

Rx = Fx Ry = Fy

Concluímos que os componentes

escalares Rx e Ry da resultante R de várias

forças que atuem sobre uma partícula são

obtidos adicionando-se algebricamente os

correspondentes componentes escalares das

forças dadas.

Na prática, a determinação da

resultante R é feita em três passos. Primeiro

as forças são decompostas em seus

componentes x e y de R. Adicionado esses

componentes, obtemos os componentes x e y

de R. Por fim, a resulatnte R = Rxi + Ry j é

determinada aplicando-se a lei do

paralelogramo. Este é o único método

analítico prático para a adição de três ou mais

forças.


Exemplo: Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida no sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo.

Exercícios:

01.Determine a resultante das forças

mostradas:

(A)

(B)

(C)

(D)


Equilíbrio de uma Partícula

Se um ponto material estiver submetido a um sistema de vária forças coplanares e colineares, cada força poderá ser decomposta em componentes x e y e para a condição de equilíbrio é necessário que as seguintes condições sejam atendidas.

0xF e 0yF

--------------------------------------------------------

Exercícios

01. .Dois cabos estão atados em C, onde é

aplicada uma carga. Determine as trações em

AC e BC, em cada caso:

A)

B)

C)

02.Dois cabos estão ligados em C e são

carregados tal como mostra a figura.

Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no

cabo BC.


03. Sabendo que α = 25◦, determine a tração

(a) no cabo AC e (b) na corda BC.

04.Sabendo que α = 50º e que a haste AC

exerce no pino C uma força dirigida ao longo

da linha AC, determine (a) a intensidade

dessa força e (b) a tração no cabo BC.

05. Dois cabos estão ligados em C e são

carregados tal como mostra a figura. Sabendo

que α = 30º , determine a tração (a) no cabo

AC e (b) no cabo BC.

06.Um teleférico parou na posição indicada.

Sabendo que cada, cadeira pesa 300N e que

o esquiador que está na cadeira E pesa 890N,

determine o peso do esquiador da cadeira F.

07. Quatro elementos de madeira são unidos

com placas conectoras metálicas e estão em

equilíbrio sob a ação das quatro forças


mostradas. Sabendo que FA = 2295N e FB =

2160N, determine as intensidades das outras

duas forças.

08. Duas forças P e Q são aplicadas tal como

mostra a figura a uma conexão de uma

aeronave. Sabendo que a conexão está em

equilíbrio e P = 1800N e Q = 2340N,

determine as intensidades das forçaas

exercidas nas hastes A e B.

09. Dois cabos ligados em C são carregados

tal como mostra a figura. Sabendo que W =

840N, determine a tração (a) no cabo AC e (b)

no cabo BC.

Exercícios

01. Determine a resultante das forças

mostradas:

(A)

(B)

02. Dois cabos estão ligados em C e são

carregados tal como mostra a figura.

Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no

cabo BC.


03. Se a intensidade da força resultante deve

ser 9KN direcionada ao longo do eixo x

positivo, determine a intensidade da força T

que atua sobre a argola e seu ângulo .

=30,6o e T =

6,6,KN

04.A caminhoneta precisa ser rebocada

usando duas cordas. Determine as

intensidades das forças FA e FB que atuam em

cada corda para produzir uma força de

intensidade de 950N, orientada ao longo do

eixo x positivo. Considere = 50◦.

FA = 774N e FB = 346 N

05. Sabendo que α = 30◦, determine a tração

(a) no cabo AC e (b) na corda BC.

06. Se a intensidade da força resultante que

atua sobre a argola é de 600N e sua direção

no sentido horário do eixo x positivo é = 30o,

determine a intensidade de F1 e o ângulo .

R: =42,4o F1=730,9N


07.Se os cabos BD e BC podem suportar uma

força de tração máxima de 20KN, determine a

massa da viga que pode ser suspensa pelo

cabo AB, de modo que nenhum cabo se

rompa. O centro de massa da viga está

localizado ao ponto G.

R=2785Kg

08.O pendente de reboque AB está submetido

à força de 50KN exercida por um rebocador.

Determine a força em cada um dos cabos de

amarração, BC e BD, se o navio está se

movendo para a frente em velocidade

constante.

TBC = 22,3 KN e TBD = 32,6KN

09. Se o bloco D pesa 1,5KN e o bloco B pesa

1,375 KN, determine o peso do bloco C e o

ângulo para o equilíbrio.

Pc=1,2KN e = 40,90

10.Determine a tração desenvolvida em cada

um dos fios usados para sustentar o

candelabro de 50Kg.

R: FCD = 359N ; FBD = 440N ; FAB = 622N ; FBC

= 228N

11. Se a tração desenvolvida em cada um dos

quatro fios não pode exceder 600N, determine

a maior massa do candelabro que pode ser

suportada.


R: 48,2 Kg.

12.Determine o peso máximo do balde que o

sistema de fios pode suportar, de modo que

nenhum fio desenvolva uma tração maior que

0,5KN.

R: W = 0,289 KN

13.A esfera D possui uma massa de 20Kg. Se

uma força F = 300 N é aplicada

horizontalmente no anel A, determine a

dimensão d, de modo que a força no cabo AC

seja zero.

R: 2,42m


Momento de uma força

01 – Uma válvula de pedal para um sistema

pneumático é articulada em B. Sabendo que α =

28°, determine o momento de uma força de 16 N

em relação ao ponto B decompondo a força em

componentes horizontal e vertical. R: 1,277 N.m

02 – A força de 300 N é aplicada em A como

mostrado na figura. Determine (a) o momento da

força de 300 N sobre D, (b) a menor força aplicada

em B que cria o mesmo momento em D. R: (a) 41,7

N.m ( b ) 147,4 N α: 45.0°.

03 – Uma força P de 35 N é aplicada em uma

alavanca de câmbio. Determine o momento de P

sobre B quando α é igual a 25°.

04 – Sabe-se que uma força vertical de 890 N é

necessária para remover da tábua o prego fixado

em C. Ao primeiro momento do prego, determine

(a) o momento em relação a B da força exercida

sobre o prego, (b) a intensidade da força P que cria

o mesmo momento em relação a B se α = 10°, (c) a

menor força P que cria o mesmo momento em

relação a B. R: P=228,3 N, Pmin = 197,77 N.

05 – Um guincho AB é usado para endireitar um

mourão. Sabendo que a tração no cabo BC é 1.140

N e o comprimento d é de 1,9 m, determine o

momento em relação a D da força exercida pelo

cabo em C decompondo tal força no componente

horizontal e no vertical aplicados (a) no ponto C,

(b) no ponto E. R: 1.224 N.

Estática Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida


Sistemas Equivalentes – Vínculos/Apoios

Vínculos de Primeira Ordem (apoio simples): São aqueles que impedem deslocamento somente em uma direção, produzindo reações equivalentes a uma força com linha de ação conhecida. Apenas uma reação será a incógnita.

O deslocamento na posição y é impedido, logo, nesta direção, tem-se uma reação de apoio V. Vínculos de Segunda Ordem (articulação plana): São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em todas as direções, mas não podem restringir a rotação em torno da conexão. Portanto, a reação produzida equivale a uma força com direção conhecida, envolvendo duas incógnitas, geralmente representadas pelas componentes x e y da reação.

Vínculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio fixo): São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, imobilizando-o completamente.

Observação: Os vínculos podem ser chamados de 1a, 2ª e 3ª ordem ou classe ou gênero ou tipo.

Condições de equilíbrio Para um corpo, submetido a diferentes forças, estar em equilíbrio, é necessário que as forças não provoquem tendência à rotação e translação. Translação depende das forças resultantes: ∑ F = 0 Rotação depende dos momentos resultantes: ∑ M = 0

Logo, tem-se as seis equações fundamentais da estática: ∑ Fx = 0; ∑ Fy = 0; ∑ Fz = 0 ∑ Mx = 0; ∑ My = 0; ∑ Mz = 0

Exercícios - Reações de apoio

01. Determinar as reações de apoio para as estruturas dadas abaixo. a. Viga biapoiada com carga concentrada: (RA = RB = 200 N)

b. Viga biapoiada com carga concentrada: (RA =

100 N, RB = 300 N)

c. Viga biapoiada com carga concentrada (RAx =

282,84, RAy = 187,87 e RBy = 212,13 N):

d. Viga engastada com carga concentrada (RAy =

200N:


e.

RAy = 6 kN e RBy = 11 kN.

f.

.

RBx = 2,12 kN, RBy = 0,84 kN e RAy = 1,27 kN.

g.

RAx = -1,73 kN, RAy = 2,75 kN e RBy = 1,25 kN.

h.

R = 3 kN

i.

R = 9 kN.

02. Calcule a reação nos apoios da viga ilustrada na Figura, a seguir:

03. Calcule as reações no apoio A da estrutura conforme a Figura:

04. Um guindaste fixo tem uma massa de 1000Kg

e é usado para suspender um caixote de 2400 kg.

O guindaste é mantido na posição indicada na

figura por um pino em A e um suporte basculante

em B. O centro de gravidade está localizado em G.

Determine os componentes das reações em A e B.

(B = 107,1 kN, Ax = 107,1 kN e Ay = 33,3 kN)


05. Três cargas são aplicadas a uma viga tal como

mostra a figura. A viga é sustentada por um rolete

em A e por um pino em B. Desprezando o peso da

viga, determine as reções em A e B quando P =

67,5 KN. (Ra = 27 kN e Rb = 94,5 kN)

06. A estrutura representada na figura sustenta

parte do teto de um pequeno edifício. Sabendo que

a tração no cabo é 150KN, determine a reação na

extremidade fixa E. REx = 90 kN, REy = 200 kN e

ME = 180 kN.m.

07. O pau-de-carga montado em um caminhão de

4300Kg é usado para descarregar uma plataforma

de telhas com massa de 1600kg. Determine a

reação em cada uma das duas (a) rodas traseiras

B, (b) rodas dianteiras C. RB = 2471,92 kg, RC =

3428,07 kg

08. Duas crianças estão de pé sobre um trampolim

com massa de 65kg. Sabendo que as massas das

crianças em C e D são 28Kg e 40Kg,

respectivamente, determine (a) a reação em A e

(b) a reação em B.

09. Dois caixotes, cada qual pesando 1125N, são

colocados na caçamba de uma camionete com

peso de 13500N. Determine as reações em cada

uma das duas (a) rodas traseiras A e (b) rodas

dianteiras B.

10. Determine as reações de apoio da

viga abaixo:


11. Determine as reações de apoio da

Treliça abaixo:


Centro de Gravidade - Centroides

01. Determine o centróide da figura a

seguir:

02. Determine o centróide da peça

plana, ilustrada na figura, sabendo-

se que ela possui um furo com raio

igual a 100mm.

03. Localize o centróide da área da

figura abaixo:

04. Determinar as coordenadas do

centróide da superfície hachurada

representada na figura abaixo:

05.Localize o centróide ( yx, ) da área

sombreada.


06. Localize o centróide ( yx, ) da

placa mostrada na figura:

07. Calcule o centróide do perfil na

forma T:

revisão - mecânica vetorial

Documents