INTRODUCAO A LOGICA MATEMATICA

Vıtor Neves

Universidade de Aveiro2002

INTRODUCAO A LOGICA MATEMATICA

Introducao

O texto que aqui apresentamos foi redigido durante o segundo semestre do ano lec-tivo de 1993/94 como um conjunto de notas de apoio as aulas da disciplina semestralLogica, do terceiro ano das licenciaturas em Matematica (para Ensino e com In-formatica) da Universidade da Beira Interior. Esta e a unica disciplina de qualquerdas licenciaturas onde a Logica Matematica pode ser estudada como area indepen-dente de conhecimento.

Grosso modo, descrevemos aspectos das seguintes questoes: em que consiste umaproposicao ou uma formula serem verdadeiras ou serem satisfazıveis? Que e umadeducao? Que relacoes poderao ser estabelecidas entre veracidade, satisfazibilidadee demonstrabilidade? O que e um algoritmo e que relacao existe entre algoritmos eformulas?

Pressupoe-se que o leitor tem treino de trabalho puramente formal, ja foi expostoa argumentos de cardinalidade ou por inducao transfinita e conhece estruturasalgebricas. No caso dos alunos de Logica da UBI esses pressupostos sao garanti-dos pela precedencia da disciplina anual Algebra.

Nao tendo encontrado um texto em portugues que cumprisse o nosso programa coma eficiencia necessaria para uma disciplina com as caracterısticas atras descritas enao sendo especialistas em Logica Matematica, optamos por fazer uma traducao commodificacoes e correccoes de alguns capıtulos de [H] e [MA], alicercada em [E] e [BM].Utilizamos tambem alguns exercıcios de [BM] que nos pareceram particularmentebons para ilustrar aspectos mais gerais de teoremas de aplicacao aparentementerestrita.

Indice

1 Logica proposicional 5

1.1 Conectivos e formulas bem formadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Funcoes de Boole; tautologias; formas normais . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Teoremas de substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Conjuntos de conectivos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Calculo Proposicional e tautologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 Calculo Proposicional: o Teorema de Deducao. . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Completude do Calculo Proposicional; consistencia. . . . . . . . . . . 31

2 Logica de Predicados (de primeira ordem) 39

2.1 Linguagens de primeira ordem: alfabeto, termos e formulas. . . . . . 39

2.2 Interpretacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Satisfazibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5 Calculo de predicados; Teorema de Deducao . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.7 Um Teorema de Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.8 Modelos; completude e compacidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.9 EXERCICIOS. Uma introducao a Analise Nao-Standard . . . . . . . 73

2.10 Relacoes e funcoes aritmeticas e recursivas. . . . . . . . . . . . . . . 83

3

3 Introducao a Teoria de computabilidade 91

3.1 Maquinas de Turing; funcoes computaveis . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 Maquinas especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3 Composicao e Recursao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4 Relacoes computaveis; operador de mınimo; funcoes recursivas . . . . 110

3.5 Enumerabilidade maquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.6 Computabilidade , recursividade e aritmetica . . . . . . . . . . . . . . 122

3.7 Incompletude da Aritmetica I: teorema de Tarsky . . . . . . . . . . . 124

3.8 Incompletude da Aritmetica II: axiomatizacao . . . . . . . . . . . . . 130

3.9 Incompletude da Aritmetica III: demonstracoes . . . . . . . . . . . . 133

Capıtulo 1

Logica proposicional

1.1 Conectivos e formulas bem formadas

Nos exemplos adiante e possıvel decompor a afirmacao o completa em assercoes con-stituintes mais simples mediante partıculas de conexao gramatical. Os conectivosque nos interessam para ja sao dados na seguinte tabela

conectivo nome leitura≈ negacao nao∧ conjuncao e⇒ implicacao implica⇔ equivalencia e equivalente a

Exemplos 1.1.1 Designando as assercoes constituintes por p, q e r podemos obteras estruturas indicadas em cada caso – os parenteses sao utilizados apenas comosinais de pontuacao.

1. Como dois mais tres e igual a cinco e quatro mais um tambem (e igual acinco), entao dois mais tres e igual a quatro mais um.

(p ∧ q) ⇒∼ r

2. Se a equacao x5 + x4 − x3 − x2 + x + 1 = 0 tiver cinco raizes reais, elas naosao todas negativas.

5

p⇒ r

3. Toda a funcao real de variavel real e contınua, definida num intervalo, tomatodos os valores entre quaisquer dois que tome, em particular o polinomiox 7→ x2 toma todos os valores entre zero e quatro.

p⇒ q

Enquanto o primeiro exemplo nao tem implıcita qualquer quantificacao, os outrosenvolvem quantificadores a varios nıveis de complexidade. No entanto nao nos inter-essa de imediato esse aspecto. De facto, pretendemos, de momento, apenas organizarde uma certa forma um conjunto de expressoes independentemente do significado quelhes possa ser atribuido , para alem de a organizacao ter sido motivada pela formade raciocınio mais frequentemente utilizada: o silogismo itmodus ponens .

Mais precisamente, pretende-se estudar uma linguagem com os seguintes sımbolos:sımbolos proposicionais pi(i ∈ N), os conectivos definidos acima e parente-ses como sinais de pontuacao. Nestes termos uma expressao e uma sequencia deconectivos, sımbolos proposicionais e parenteses.

Observacao: para nao sobrecarregar a notacao, em situacoes onde se considerempoucos sımbolos proposicionais estes serao designados por distintas letras minusculassem subındices.

Definicao 1.1.2 (Formula proposicional bem formada ou fpbf ou Formulaproposicional)

1. Um conjunto de expressoes diz-se indutivo se contiver os sımbolos proposi-cionais e contendo expressoes α e β tambem contem (∼ α ), (α ∧ β), (α ∨ β),(α⇒ β) e (α⇔ β).

2. O conjunto das formulas proposicionais e a interseccao de todos osconjuntos indutivos de expressoes.

Designaremos o conjunto das formulas proposicionais por ` .

Exercıcio 1.1.3 Mostre que ` e indutivo

A demonstracao do teorema seguinte e agora imediata a partir da definicao de `

Teorema 1.1.4 (Princıpio de Inducao)

Qualquer conjunto indutivo de fpbfs e o conjunto ` de todas as fpbfs.

O teorema seguinte sugere uma maquina que destinge as fbfb de outras expressoes(veja-se o exemplo 1.1.7.4 e [E;1.4,pag.41])

7

Teorema 1.1.5 (Unicidade de leitura)

Uma fpbf ou e um sımbolo proposicional ou e de uma das formas (∼ α), (α ∧ β) ,(α ∨ β), (α⇒ β) ou (α⇔ β), para fpbfs α ou β.

Dem. Seja C o conjunto cujos elementos sao os sımbolos proposicionais ou asexpressoes que se obtem a partir de fpbfs como descrito no enunciado. Como ` eindutivo C ⊆ ` . Basta agora mostrar que C e ele proprio indutivo e aplicar oPrincıpiode Inducao.

O algoritmo consiste entao em construir uma ”arvore invertida”comecando na ex-pressao dada e que devera ter como ”folhas”sımbolos proposicionais 1 . Por exemplo

(((p⇒ q) ∨ r) ⇒ (s⇒ (r1 ∧ s2)))

((p⇒ q) ∨ r) (s⇒ (r1 ∧ s2))

(p ⇒ q) r s (r1 ∧ s2 ) p s r1 s2

Exercıcios 1.1.6

1. Mostre que qualquer fpbf e equilibrada , i.e., o numero de parenteses esquerdos,(, que ocorre na formula e igual ao numero de parenteses direitos, ).

2. O comprimento de uma expressao e o numero de sımbolos que a constituem.Mostre que nao existem fpbfs de comprimentos 2, 3 ou 6, mas quaisquer outroscomprimentos sao possıveis.Omissao de parenteses Com a definicao 1.1.2 as expressoes nos exemplos1.1.1 nao sao fpbf, mas simplificacoes nao ambıguas que viremos a utilizarsistematicamente por uma questao de simplicidade de escrita. Eliminam-separenteses nas fpbfs aplicando na ordem indicada as regras que se apresen-tam a seguir.

1. Eliminam-se os parenteses exteriores

2. ∼ aplica-se a fpbf mais curta que se lhe segue a (direita)

3. ∧ e ∨ aplicam-se, na ordem em que ocorrem da direita para a esquerda ,as fpbf adjacentes mais curtas (veja-se o exemplo 1.1.7.1)

1ver pagina 4

4. ⇒ e ⇔ aplicam-se, na ordem em que ocorrem da direita para a esquerda, as fpbf adjacentes mais curtas.

Exemplos 1.1.7

1. A aplicacao exaustiva das regras 3 ou 4 pode confundir mais que ajudar: (p∧(q∨r)) simplifica para p ∧ q ∨ r ; parece-nos no entanto mais claro ficar porp ∧(q ∨ r).

2. A formula ((p∧ (∼ q))∨ (r ∨ (s∧ (∼ p)))) poderia ser simplificada do seguintemodo, ja tomando em conta o exemplo anterior,

((p ∧ (∼ q)) ∨ (r ∨ (s ∧ (∼ p)))) 7→ (p ∧ (∼ q)) ∨ (r ∨ (s ∧ (∼ p)))

7→ (p∧ ∼ q) ∨ (r ∨ (s∧ ∼ p)) 7→ (p∧ ∼ q) ∨ r ∨ (s∧ ∼ p)

3. Tem-se tambem a seguinte cadeia de simplificacoes:

(((p⇒ q) ∨ r) ⇒ (s⇒ (r1 ∧ s2))) 7→ ((p⇒ q) ∨ r) ⇒ (s⇒ (r1 ∧ s2))

7→ ((p⇒ q) ∨ r) ⇒ (s⇒ r1 ∧ s2) 7→ ((p⇒ q) ∨ r) ⇒ s⇒ r1 ∧ s2

7→ (p⇒ q) ∨ r ⇒ s⇒ r1 ∧ s2

4. Reciprocamente, os parenteses podem repor-se do seguinte modo

p⇒ q ∨ r ∧ s⇒∼ p∧ ∼ q 7→ p⇒ q ∨ r ∧ s⇒ (∼ p) ∧ (∼ q)7→ p⇒ q ∨ (r ∧ s) ⇒ ((∼ p) ∧ (∼ q))7→ p⇒ (q ∨ (r ∧ s)) ⇒ ((∼ p) ∧ (∼ q))

7→ (p⇒ ((q ∨ (r ∧ s)) ⇒ ((∼ p) ∧ (∼ q))))

Exercıcios 1.1.8

1. Omita o maior numero possıvel de parenteses nas seguintes formulas

(a) ((p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))(b) ((p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)))(c) ((∼ (∼ p)) ⇔ p)

(d) (∼ (p⇒ q) ↔ (p ∧ (∼ q)))

(e) (p ∨ (∼ p))

(f) (∼ (p ∧ (∼ p)))

(g) (((p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p⇒ (q ⇒ r)))

9

2. Reponha os parenteses nas formulas seguintes

(a) p ∧ q ⇒ r ∨ s(b) (p ∧ q) ∨ r∧(c) p ∨ q ∨ r ∧ s(d) (∼ p ∨ q ⇒ r) ⇔ p ∧ yq ∨ r(e) ∼ p ∨ q ⇒ r ⇔ p ∧ yq ∨ r

1.2 Funcoes de Boole; tautologias; formas nor-

mais

De um modo natural, cada α ∈ ∼ p, p ∧ q, p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q origina umafuncao fα , definida de uma potencia cartesiana do conjunto V dos valores logicos V(verdadeiro) e F (falso) em si mesmo; estas funcoes sao dadas pelas seguintes tabelasde verdade

f∼p : V → V

X f∼p(X)v FF V

fα : V → V(α ∈ p ∧ q, p ∨ q, p⇒ q, p⇔ q)

X Y fp∧q(x, y) fp∨q(x, y) fp⇒q(x, y) fp⇔q(x, y)V V V V V VV F F V F FF V F V V FF F F F V V

Tambem podemos associar aos conectivos funcoes definidas de

potencias cartesianas do conjunto das expressoes para ele proprio; por exemplof∧(p, q) = p ∧ q. Deste modo cada fpbf ou e um sımbolo proposicional ou e umaimagem de uma sequencia de sımbolos proposicionais por uma composicao destasfuncoes (e de projeccoes e imersoes); por exemplo

p ∧ q ⇒ r ∨ s = f⇒(f∧(p, q), f∨(r, s)).

Assim, cada fpbf α , digamos que com n sımbolos proposicionais

(n ∈ N), define uma funcao 2 fα : Vn → V ; por exemplo, se α = p ∧ q ⇒ r, fα :ν3 → ν tera a seguinte tabela

x1 x2 x3 fα(x1, x2, x3)V V V VV V F FV F V VV F F VF V V VF V V VF V F VF F V VF F F V

As tabelas de verdade podem obter-se de um modo simples, se bem que formal-mente menos correcto, identificando adequadamente funcoes de Boole e conectivose subentendendo a substituicao de sımbolos proposicionais por variaveis em V , comuma disposicao de calculo conveniente; por exemplo para α = (p ∧ q) ⇒ r tem-se aseguinte

tabela:

p ∧ q ⇒ rV V V V VV V V F FV F F V VV F F V FF F V V VF F V V FF F F V VF F F V VF F F V F

As funcoes fα : Vn → V da-se o nome de funcoes de Boole e temos vindo aobservar que(1.2.1) toda a fpbf define uma funcao de Boole

Veremos adiante que tambem toda a funcao de Boole e da forma

fα para alguma fpbf α

2ver pagina 7

11

Exercıcios 1.2.1

1. Determine as funcoes de Boole para as seguintes formulas

(a) (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)

(b) (p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)(c) (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

(d) ∼ (p ∨ q)(e) ∼ (p ∧ q)(f) p⇒ q ⇒ p

(g) (p⇒ q ⇒ r) ⇒ (p⇒ q) ⇒ p⇒ r

(h) (∼ p⇒∼ q) ⇒ (q ⇒ p)

2. Determine formulas α de modo que cada uma das seguintes funcoes de Booleseja da forma fα .

(a) f : V → V ≡ f(V ) = f(F ) = F

(b) f : V → V ≡ f(V ) = f(F ) = V

(c) f : V → V ≡ f(x, y) = V sse x 6= y

(d) f : V → V ≡ f(x, y) = V sse x ≥ y, sendoF < V.

Exercıcios 1.2.2 Uma tautologia e uma fpbf α cuja funcao fα toma so o valorV. Nota-se |= α se α e uma tautologia.

Uma lista de tautologias importantes

(T1) Associatividades : c ∈ ∧,∨,⇔

pc(qcr) ⇔ (pcq)cr)

(T2) Distributividades

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(T3) Negacoes

∼ (∼ (p)) ⇔

p ∼ (p⇒ q) ⇔ (p∧ ∼ q) ∼ (p⇔ q) ⇔ (p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)

(T4) Leis de De Morgan

∼ (p ∨ q) ⇔∼ p∧ ∼ q ∼ (p ∧ q) ⇔∼ p∨ ∼ q

(T5) Princıpio do terceiro excluido

p∨ ∼ p

(T6) Princıpio da nao contradicao

∼ (p∧ ∼ p)

(T7) Lei de conversao

(p⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p)

(T8) Regra de exportacao

(p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p⇒ (q ⇒ r)

Exercıcio 1.2.3 Mostre que cada (Ti) (1 ≤ i ≤ 8) e uma tautologia.

Retomando a observacao (1.2.1), pode por-se a questao de se saber quando duasformulas definem a mesma funcao de Boole. A resposta e dada mediante a seguinte

Definicao 1.2.4 Duas fpbfs α e β dizem-se tautologicamente equivalentes seα⇔ β for uma tautologia.

Por exemplo p∨ ∼ p e q ⇒ q sao tautologicamente equivalentes – e compostas desımbolos proposicionais distintos; para uma maior clareza de exposicao no que vaiseguir-se, tome-se em conta a seguinte observacao: Se uma formula α e constituidade sımbolos proposicionais escolhidos de entre p1 a pn, mas nao necessariamente detodos eles, poderiamos pensar numa funcao de Boole associada, digamos

(x1, ..., xn) 7→ Fα(x1, ..., xn) cujo valor dependeria apenas das variaveis x1jcorre-

spondentes aos sımbolos proposicionais pij que ocorrem de facto em α (j=1,...,m);ter se-ia entao

Fα(x1, ..., xn) = fα(x1, ..., xn)

13

Para nao tornar o discurso demasiadamente pesado

identificaremos as funcoeses Fαfα. 3

Convem observar ainda que, para fpbfs α e β , cujos sımbolos proposicionais estaoem p1, ..., pn , e conectivos binarios c

(1.2.2) f∼α(p1, ..., pn) = f∼p(fα(p1, ..., pn))

(1.2.3) fαcβ(p1, ..., p2) = fpcqfα(p1, ..., p2), fβ(p1, ..., p2)

Elementos suficientes para demonstrar estas igualdades podem encontrar-se em[E;1.2]. Com estas observacoes e simples demonstrar o

Teorema 1.2.5 Duas fpbfs cujos sımbolos proposicionais estao em p1, ..., pn de-finem a mesma funcao de Boole sse sao tautologicamente equivalentes.

Dem |= α ⇔ β sse fα⇔β sse (fα, fβ) ≡ V sse fαefβ tomam o mesmo valor emqualquer argumento, i. e., sao iguais.

q.e.d.

Vamos entao provar a recıproca de (1.2.1), a saber:

Teorema 1.2.6 Toda a funcao de Boole b : Vn → V(n ∈ N\0) e da forma fα , paraalguma fpbf α .

Dem

I. Se b ≡ F, tome α = p1∧ ∼ p1.

II. Caso em que b nao e identicamente F.

Sejam Xi = (xi1 , ..., xin) ∈ Vn (i=1,...,k) as sequencias para as quais

b(Xi) = V

Defina-se para cada i=1,...,k

3Veja-se [E;1.5,pag.46]

βij =

pj se Xij = V ;

(j = 1, ..., n)∼ pj se Xij = F .

γi =n∧

j=1

βij α =k∨

i=1

γij

Observe-se que cada γi, de certo modo, descreve a sequencia Xi e, portanto, α listaexactamente as sequencias em que b vale V.

Resta mostrar que fα = b : ora fα vale V sse uma das fγi vale V e cada fγi valeV apenas em Xi ; portanto fα (X)=V sse X=Xi, para algum i=1,...,k, como sepretendia.

q.e.d.

Estes dois ultimos teoremas tem uma interessantıssima consequencia. Diz-se queuma fpbf tem forma normal dijuntiva se for da forma

α =n∨

j=1

βij

em que

γi =n∧

j=1

βij (i=1,...,k)

e os βij sao sımbolos proposicionais ou negacoes de sımbolos proposicionais. Tem-se

Corolario 1.2.7 Qualquer fpbf e tautologicamente equivalente a uma formula naforma normal dijuntiva.

Dem O corolario e , de facto, consequencia da demonstracao: mostrou-se quequalquer funcao de Boole e representada por uma fpbf na forma normal dijuntiva.q.e.d.

Repare-se que as tautologias e as contradicoes, i. e., as formulas cujas funcoes deBoole sao identicamente falsas, sao tautologicamente equivalentes a fpbfs de formasnormais muito simples: respectivamente p1∨ ∼ p1 e p1∧ ∼ p1 ou, se se insistirem que cada conectivo ∧ e ∨ ocorra pelo menos uma vez, ainda respectivamente(p1 ∧ p1) ∨ (∼ p1∧ ∼ p1) e (p1 ∧ p1) ∨ (p1∧ ∼ p1).

15

Exercıcio 1.2.8 Uma fpbf α diz-se na forma normal conjuntiva se existiremfpbfs γi tais que

α =n∧

j=1

γi

em que

γ =∨n

j=1 βij (i = 1, ..., k)

e os βij sao sımbolos proposicionais ou negacoes de sımbolos proposicionais. Mostreque qualquer fpbf e tautologicamente equivalente a uma fpbf na forma normal con-juntiva.

1.3 Teoremas de substituicao

No que se segue vamos utilizar frequentemente as igualdades em (1.2.2) e (1.2.3).

Teorema 1.3.1 Sejam α e β formulas bem formadas. Se α e α ⇒ β sao tautolo-gias, entao β e uma tautologia.

Dem. Suponha-se que α e β tem sımbolos proposicionais entre p1, ..., pn . Porhipotese |= α e |= β e daı fα : Vn → V e fα⇔β : Vn → V valem identicamente V.Considerando tambem (1.2.3), temos que, para qualquer (x1, ..., xn) ∈ Vn

V = fα⇔β(x1, ..., xn),= fp⇔q(fα(x1, ..., xn), fβ(x1, ..., xn)),= fp⇔q(V, fβ(x1, ..., xn))

Como o unico Y ∈ ν para o qual fp⇔q(V, Y ) = V e o mesmo V, concluimos quefβ(x1, ..., xn) e identicamente V, i. e., |= β

q.e.d.

As condicoes(1.2.2)e(1.2.3) indicam, de certo modo, casos particulares do seguinte:se os sımbolos proposicionais p1, ...pn de uma fpbf qualquer τ sao substituidos re-spectivamente por fpbfs β1, ..., βn e denotarmos por τ ∗ a fpbf resultante, entao

(1.3.1) f τ∗(x1, ..., xn) = f τ (fβ1(x1, ..., xn), ..., (fβn(x1, ..., xn)) 4

O caso em que τ e uma tautologia e de particular importancia.

4Uma demonstracao desta igualdade pode fazer-se de acordo com [E; 1.3.ex.7, pag 38]

Definicao 1.3.2 Uma fpbf α diz-se a realizacao da tautologia τ se verificaremas seguintes condicoes

1. |= τ

2. α obtem-se substituindo cada ocorrencia de cada sımbolo proposicional pi emτ por uma fpbf βi .

Por exemplo a formula α = p1 ∧ p5 ⇔ p1 ∧ p5 realiza a tautologia τ = p1 ⇔ p6 comβ5 = p1 ∧ p5 e as tautologias sao trivialmente realizacoes de si proprias.

Teorema 1.3.3 As realizacoes de tautologias sao tautologias

Dem Basta observar que f τ e identicamente V sempre que τ e uma tautologia.q.e.d.

Recapitulando a lista de tautologias (Ti) das paginas 8 e 9 e mostrando que |= p∧q ⇔q ∧ p, |= p ∨ q ⇔ q ∨ p e |= (p⇔ q) ⇔ (q ⇔ p) pode concluir-se

Corolario 1.3.4 Para quaisquer fpbf α ,β e γ as seguintes formulas sao tautologias:

α(βcγ) ⇔ (αcβ)cγ (αcβ) ⇔ (βcα) (c ∈ ∧,∨,⇔

α ∧ (β ∨ γ) ⇔ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) α ∨ (β ∧ γ) ⇔ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)

∼ (∼ α) ⇔ α ∼ (α⇒ β) ⇔ (α∧ ∼ β)∼ (α⇔ β) ⇔ (α∧ ∼ β) ∧ (∼ α ∧ β)

∼ (α ∨ β) ⇔∼ α∧ ∼ β ∼ (α ∧ β) ⇔∼ α∨ ∼ β

α∨ ∼ α ∼ (α∧ ∼ α)

(α⇒ β) ⇔ (∼ β ⇒∼ α) (α ∧ β ⇒ γ) ⇔ (α⇒ (β ⇒ γ))

Pela sua importancia na formalizacao de regras de inferencia convira tambem terpresente o seguinte

Corolario 1.3.5 Para quaisquer α, β ∈ `, |= α ∧ β ⇒ α e |= α ∧ β ⇒ β e |= α ⇒α ∨ β e |= β ⇒ α ∨ β

17

Podemos tambem substituir fpbf componentes por outras fpbfs.

Neste caso o processo consiste em substituir ”nos”da ”arvore”referida imediatamenteantes de 1.1.6 por outras fpbfs e tem-se o

Teorema 1.3.6 Se a fpbf γ(α→ β) se obtem da fpbf γ substituindo em γ ocorrenciasda fpbf α pela fpbf β e α e tautologicamente equivalente a β, entao γ(α→ β) e tau-tologicamente equivalente a γ .

Dem. Suponha-se que α, β ∈ ` e que |= α⇔ β. Com a notacao do enunciado, sejaC = γ ∈ ι :|= γ ⇔ γ(α→ β). Vamos ver que C = ` mostrando que C e indutivo.

1o: Se p e um sımbolo proposicional, entao p ∈ C. Neste caso, γ =p, so pode acon-tecer γ = α = β, portanto γ = γ(α→ β) =p e, como |= p⇔ p, p ∈ C.

2o: Se γ ∈ C , entao (∼ γ) ∈ C.

Comecemos por observar que (∼ γ)(α ∼→ β) = (∼ γ(α → β)). Por hipotese|= γ ⇔ γ(α → β) e, por 1.3.3, |= (γ ⇔ γ(α → β)) ⇒ (∼ γ ⇔ γ(α → β)) dondepor 1.3.1, |= γ ⇔∼ γ(α→ β) ou seja |= (∼ γ) ⇔ (∼ γ)(α→ β), como se pretendia.

3o : Se γ, δ ∈ C, entao para qualquer c ∈ ∧ ,∨,⇔,⇒(γcδ) ∈ C.

Provamos apenas o caso em que c =⇒ , pois os outros casos sao estudados analoga-mente. Suponha-se que γ, δ ∈ C. Pretendemos mostrar que

|= (γ ⇒ δ) ⇔ (γ ⇒ δ)(α→ β)

Repare-se que

(γ ⇒ δ)(α→ β) = γ(α→ β) ⇒ δ(α→ β)

Assim pretende-se de facto mostrar que

(1.3.2)

|= (γ ⇒ δ) ⇔ (γ(α→ β) ⇒ δ(α→ β))

tendo-se, por hipotese,

(1.3.3)

|= γ ⇔ γ(α→ β) e |= δ ⇔ δ(α→ β)

dado que γ, δ ∈ C.

Comecemos por observar que, por (1.2.3), se |= τ e |= σ, entao |= τ ∧ σ, portantoresulta de (1.3.3) que

(1.3.4)

|= (γ ⇔ γ(α→ β)) ∧ (δ ⇔ δ(α→ β))

Ora tem-se tambem que, para quaisquer sımbolos proposicionais p,q, r e s,

|= ((p⇔ r) ∧ (q ⇔ s)) ⇒ ((p⇒ q) ⇔ (r ⇒ s))

Podemos agora utilizar o Teorema 1.3.3 para garantir que

|= ((γ ⇔ γ(α→ β)) ∧ (δ ⇔ δ(α→ β))) ⇒ ((γ ⇒ δ) ⇔ (γ(α→ β) ⇒ δ(α→ β)))

Utilizando o Teorema 1.3.1 e a assercaoo (1.3.4) concluimos (1.3.2), como se pre-tendia. O 30 caso esta terminado.

O conjunto C e entao indutivo, como se queria mostrar.

q.e.d.

Uma consequencia imediata deste teorema permite simplificar bastante alguns calculos.

Corolario 1.3.7 Para fpbfs α, β e γ, se α e tautologicamente equivalente a β e β etautologicamente equivalente a γ, entao α e tautologicamente equivalente a γ.

Dem. Suponha-se que |= α ⇔ β e |= β ⇔ γ . De acordo com o teorema anteriorα⇔ γ e tautologicamente equivalente a α⇔ β, i. e.,

|= (α⇔ β) ⇔ (α⇔ γ). Segue-se que V≡ f (α⇔β)⇔(α⇔γ)fp⇔q(fα⇔β, fα⇔γ)

Por hipotese fα⇔β ≡ V portanto fα⇔γ ≡, ou seja |= α ⇔ γ, i. e., α e tautologica-mente equivalente a γ.q.e.d.

19

A assercao seguinte e muito util para o estudo da forma em que podem ser rep-resentadas por formulas as funcoes de Boole. A forma como a vamos demonstrare tambem um exemplo de tecnica por vezes mais adequada que a utilizacao doPrincıpio de Inducao.

Teorema 1.3.8 (Princıpio de Dualidade)

Suponha-se que os unicos conectivos que ocorrem na fpbf γ sao ∼, ∧, ou ∨. Sejaγ∗ a fpbf que se obtem de γ sao ∼,∧, ou ∨ . Seja γ∗ a fpbf que se obtem de γsubstituindo cada sımbolo proposicional pi por ∼ pi , cada ocorrencia de ∧ por ∨ ecada ocorrencia de ∨ por ∧ . Entao γ∗ e tautologicamente equivalente a ∼ γ.

Dem. Vamos utilizar inducao no numero de conectivos de γ.

1o) γ tem zero conectivos. Neste caso, para algum sımbolo proposicional p, γ=p.Segue-se que γ∗ =∼ p e e obvio que |= γ∗ ⇔∼ γ.

2o Suponha-se o teorema valido para qualquer fpbf com n conectivos. Seja γ uma fpbfcom n+1 conectivos. De acordo com o Teorema de Unicidade de Leitura 1.1.5, exis-tem fpbfs, necessariamente com n conectivos, tais que uma das seguintes alternativasse da

1. γ = (∼ α)

2. γ = (α ∧ β)

3. γ = (α ∨ β)

(note-se que ⇒ e ⇔ por hipotese nao ocorrem).

No caso 1),γ∗ =∼ α∗ e, por hipotese de inducao, |= α∗ ⇔∼ α. Pelo Teorema1.3.3 tem-se |= (α∗ ⇔∼ α) ⇒ (∼ α ⇔∼ (∼ α)). Conclui-se do Teorema 1.3.1 que|=∼ α∗ ⇔∼ (∼ α), i. e., |= γ∗ ⇔∼ γ , como se pretendia.

No caso 2), γ∗ = (α ∧ β)∗ = α∗ ∨ β∗ e, por hipotese de inducao, |= α∗ ⇔∼ α e|= β∗ ⇔∼ β . Utilizando convenientemente os teorema 1.3.1 e 1.3.3 conclui-se |=(α∗∨β∗) ⇔ (∼ α∨ ∼ β). Acontece que, de novo por 1.3.3, |=∼ α∨ ∼ β ⇔∼ (α∧β).Finalmente, utilizando 1.3.7, concluimos |= (α∗∨β∗) ⇔∼ (α∧β), i. e.,|= γ∗ ⇔∼ γ,como se pretendia.

O caso 3) trata-se de modo analogo a 2). q.e.d.

Abreviemos ”α e tautologicamente equivalente a β ”por ”α |=| β”.

Corolario 1.3.9Sejam p1, ..., pn sımbolos proposicionais.

1.n∨

i=1

(∼ pi) |=| ∼ (n∧

i=1

pi)

2.n∧

i=1

(∼ pi) |=| ∼ (n∨

i=1

pi)

Dem.

i) obtem-se por aplicacao do Princıpio de Dualidade an∧

i=1

pi

ii) obtem-se por aplicacao do Princıpio de Dualidade an∨

i=1

pi q.e.d.

Aplicando o Teorema 1.3.3 obtem-se deste corolario

Teorema 1.3.10 (Leis de De Morgan) Para fpbfs α1, ..., αn tem-se

i)n∨

i=1

(∼ αi) |=| ∼ (n∧

i=1

(αi)

ii)n∧

i=1

(∼ αi) |=| ∼ (n∨

i=1

(αi)

Exercıcio 1.3.3 Uma fpbf α diz-se na forma normal conjuntiva se existiremfpbfs γi

α =k∧

i=1

(γi)

em que

γi =n∧

j=1

βij (i=1,...,k)

e os βij sao sımbolos proposicionais ou negacoes de sımbolos proposicionais. Mostreque qualquer fpbf e tautologicamente equivalente a uma fpbf na forma normal con-juntiva.

21

1.4 Conjuntos de conectivos completos

Um conjunto C de conectivos diz-se completo se for possıvel representar todas asfuncoes de Boole por fpbf onde ocorrem apenas conectivos pertencentes a C.

O Teorema 1.2.6 diz-nos de facto que qualquer funcao de Boole e representada poruma fpbf na forma normal dijuntiva. Portanto

Teorema 1.4.1 O conjunto ∼,∨,∧ e completo.

Observando um pouco mais profundamente podemos mesmo afirmar.

Teorema 1.4.2 Os conjuntos ∼,∧, ∼,∨e∼,⇒ sao completos.

Dem.

Recorde-se que fα = fβ sse α |=|β . Dada uma funcao de Boole f, o teorema1.2.6. demonstra-nos que f= fα , para alguma fpbf α na forma normal dijuntiva;se provarmos que qualquer fpbf α e tautologicamente equivalente a uma fpbf ondeso ocorrem os conectivos ∼ e ∨ ou ∼ e ∧ ou ∼ e ⇒ , concluimos que qualquerfunao de Boole e representavel por uma fpbf onde, em cada caso, ocorrem apenas osconectivos costantes de cada um dos conjuntos em questao.

De acordo com o teorema 1.2.7 cada fpbf γ e tautologicamente equivalente a umaγνonde so ocorrem os conectivos ∼,∧e∨. Vamos partir de γ para obter qualquerdas outras usando os teoremas de substituicao. Utilizaremos a notacao do Teorema1.3.6.

Se em γV ocorre η ∧ δ, tome-se γV((η ∧ δ) → (∼ (∼ η ∨ δ)) e observe-se queγV((η ∧ δ) → (∼ (∼ η ∨ δ)) |=|γν, pelo teorema 1.3.6; repetindo este processoeliminam-se de γV todas as ocorrencias de ∧; e γ |=|γV , sendo γV uma fpbf comocorrencias apenas de ∼ e. Para o segundo caso tome-se γV((η ∨ δ) → (∼ (∼η ∧ δ)), por cada ocorrencia de fpbfs da forma η ∨ δ. Analogamente se obtem γ∧

tautologicamente equivalente a γ e onde so ocorrem os conectivos ∼ e ∧. Por exemplopartindo de γ∧ podemos substituir subformulas da forma η∧ δ por ∼ (η ⇒∼ δ), paraobter γ→ tal que γ⇒ |=|γ e em γ⇒ so ocorrem ∼ e⇒ . q.e.d.

Exemplos 1.4.3 A fpbf (p∨ ∼ q) ⇒ (r ∧ s) e tautologicamente equivalente asseguintes:

∼ (p∨ ∼ q) ∨ (r ∧ s), ∼ (p∨ ∼ q)∨ ∼ (∼ r∨ ∼ s),

∼ (∼ (∼ p ∧ q) ∧ (r ∧ s)), (q ⇒ p) ⇒ (r ⇒∼ s).

Nem todos os conjuntos de conectivos sao completos

Exemplos 1.4.4

1. ∼ nao e completo: e muito facil mostrar que as funcoes de Boole unariasconstantes nao podem ser representadas por fpbfs apenas com sımbolos proposi-cionais e ∼ .

2. ∧,⇔ nao e completo. Vamos demonstrar esta afirmacao por inducao nonumero de conectivos de fpbfs α onde so ocorrem os conectivos ∼ e ⇔ :mostraremos que fα toma o valor V se todas as suas variaveis valerem V,portanto nao e possıvel representar por exemplo a funcao que vale identica-mente F.

Se α tem zero conectivos, entao α e um sımbolo proposicional, digamos α = p; nestecaso fα = fp(V)=V. Admita-se que a afirmacao vale quando ocorrem no maximo nconectivos e suponha-se que α tem n+1 conectivos; necessariamente α = (β ∧ γ) ouα = (β ⇔ γ), para fpbfs β e γ que terao quando muito n ocorrencias de conectivos(∧ou ⇔). Atribuindo a todas as variaveis de fα o valor V tem-se, considerando ahipotese de inducao,

fα(V, ..., V ) = fp∧q(fβ(V, ..., V ), fα(V, ..., V )) = fp∧q(V, V ) = V

ou, analogamente

fα(V, ..., V ) = fp⇔q(fα(V, ..., V ), fβ(V, ..., V )) = fp⇔q(V, V ) = V

Pelo Princıpio de Inducao Matematica a afirmacao sobre fα vale com qualquernumero de conectivos, como se pretendia.

Repare-se que na verdade qualquer tabela de valores logicos V e F define um conec-tivo – que podera ser unario binario, ternario, etc. – sendo assim possıvel definir aotodo dezasseis conectivos binarios, dos quais ate aqui estudamos quatro.

Pode mostrar-se que c nao e completo se c ∈ ∧,∨,⇔,⇒. No entanto

Teorema 1.4.5 Os conectivos Nor e Nand respectivamente designado por ↓ e |e definidos pelas tabelas

p q p ↓ q p|qV V F FV F F VF V F VF F V V

23

formam cada um por si um conjunto completo.

Dem. Em virtude do teorema 1.4.2, bastara mostrar que ∼ p e p ∨ q sao tauto-logicamente equivalentes a fpbfs que so envolvam ↓ ou so envolvem |. Vejamos oprimeiro caso, comecando por notar que

p ↓ q |=| ∼ (p ∨ q)

Assim obtem-se com 1.3.7 que

p ↓ p |=| ∼ p

e, consequentemente,

(p ↓ q) ↓ (p ↓ q) |=|(∼ (p ∨ q))

Como ∼ (∼ (p ∨ q)) |=|p ∨ q vem, por 1.3.7,

(p ↓ q) ↓ (p ↓ q) |=|p ∨ q

Para | , comecemos por notar que

p|q |=|(p ∧ q)

e daı

p|p |=| ∼ p

Como p∨ |=|(∼ p∧ ∼ q) tem-se

(p|p)|(q|q) |=|p ∨ q

E um excelente exercıcio de paciencia e concentracao exprimir ⇔ apenas com ↓ .

Exercıcios 1.4.6 Para os exercıcios seguintes tenha em conta que o Princıpio deInducao 1.1.4 vale considerando o conjunto de conectivos ampliado com os que even-tualmente venham a ser definidos; por exemplo, no exercıcio 1 definimos o conectivo<: deve juntar-se a construcao de fpbf 1.1.2 que, se α e β sao fpbf, (α < β) tambeme .

1. Defina o conectivo < pela tabela

p q p < qV V FV F FF V VF F F

Mostre que ∼, < e completo, mas < nao e .

2. Considere a funcao de Boole f: V3 → V definida pela tabela seguinte

X Y Z f(X, Y, Z)V V V VV V F VV F V VV F F FF V V VF V F FF F V FF F F F

a) Determine uma fpbf que represente f com apenas cinco conectivos. Identifiquecuidadosamente as aplicacoes de teoremas de substituicao.

b) Denote por ] o conectivo ternario definido pela tabela acima (conectivo de maio-ria). Mostre que ] nao e completo.

1.5 Calculo Proposicional e tautologias

Nesta seccao vamos definir um processo de gerar todas as tautologias.

Simplificando a notacao tomaremos como primitivos apenas os conectivos ∼ e ⇒,definindo todos os outros a sua custa, como abreviaturas – recorde-se que ∼,⇒ ecompleto (teorema 1.4.2) –. Assim a linguagem com que passamos a trabalhar sera

o conjunto dado por

= α ∈ ` : α nao tem ocorrencias de ∧,∨ ou ⇔

e as igualdades seguintes definem os conectivos ∧,∨e⇒

α ∧ β =∼ (α⇒ (∼ β)) α ∨ β =∼ α⇒ β a⇔ β = (α⇒ β) ∧ (β ⇒ α)

25

Com as devidas adaptacoes para vale o Princıpio de Inducao 1.1.4 e o teorema deLeitura unica 1.1.5.

As regras de calculo incluirao um numero infinito de axiomas descritos por umnumero finito de esquemas – o que, atraves do teorema de leitura unica, permite ummetodo ”mecanico”de decidir se uma fpbf e ou nao um axioma.

Definicao 1.5.1 O sistema formal L do Calculo proposicional consiste noseguinte:

i) O conjunto ii)O conjunto de esquemas de axiomas: para quaisquer fpbfs α, β e γ, as seguintesfpbfs sao axiomas de L

( L 1) (α⇒ (β ⇒ α))

( L 2) ((α⇒ (β ⇒ γ)) ⇒ ((α⇒ β) ⇒ (α⇒ γ)))

( L 3) (((∼ α) ⇒ β) ⇒ (((∼ α) ⇒ (∼ β)) ⇒ α))

iii) A regra de inferencia modus ponens: para quaisquer α, β , de αe(α ⇒ β) ,deduz-se (ou conclui-se) β .

Tal como observamos no inıcio (pag. 2) a regra de inferencia pretende formalizar oprocesso basico de deducao em matematica; este processo e ainda mais reflectido naseguinte

Definicao 1.5.2 Uma deducao em L e uma sequencia α1, ..., αn de fpbfs em quecada αi (i=1,...,n) e um axioma ou resulta de duas fpbfs de menor ındice,αj e αk

(j,k<i), por aplicacao de modus ponens. O numero n diz-se o comprimento dadeducao. O ultimo termo , αn , de uma deducao diz-se um teorema de L e asequencia diz-se uma deducao(em L ) de αn.

Repare-se que cada axioma e um teorema: tem uma deducao cujo unico termo e eleproprio. E tambem simples de ver que qualquer segmento inicial α1, ..., αn (m<n) deuma deducao α1, ..., αn e uma deducao e, portanto, qualquer termo de uma deducaoe um teorema. Obviamente o conjunto de premissas αj, αk para a conclusao αi eda forma α, α⇒ αi para alguma fpbf α.

Vimos como o formalismo desenvolvido nas seccoes anteriores pode servir para for-malizar a linguagem corrente. Tambem vimos como esse formalismo pode servirpara tratar funcoes de Boole que optarm mos por definir a custa de termos ”ver-dadeiro”e ”falso-- mas poderiam muito bem ter sido definidas em termos de 0 e 1–

dando assim lugar a interpretacoes em termos de circuitos electrico (”desligado”e”ligado”). 5

Para nos distanciarmos ainda mais dos possıveis significados atribuiveis aos sımbolosque estamos a utilizar temos a seguinte

Definicao 1.5.3 Uma valuacao de L e uma funcao υ :→ 0, 1 tal que, para

quaisquer α, β ∈ ,i) υ(α) 6= υ(∼ α)

ii) υ(α⇒ β) = 0 sse υ(α) = 1 e υ(β) = 0

Pode demonstrar-se que qualquer funcao υ definida do conjunto de sımbolos proposi-cionais para 0, 1 se prolonga por uma valuacao υ de modo que υ(α) depende apenasdos sımbolos proposicionais que ocorrem em α . Observando que as valuacoes estao,por definicao, definidas em todos os sımbolos proposicionais, poderiamos reformu-lar as seccoes anteriores nas novas condicoes. Esta possibilidade de reinterpretacaopode ser levada mais longe ainda.

Definicao 1.5.4Uma tautologia de L e uma fpbf α tal que υ(α)=1, para qualquer valuacao υ .Notaremos |=L α se α uma tautologia de L.

Esta nocao de tautologia comporta-se como a da seccao 1.2 (veja-se o teorema 1.3.1):

Teorema 1.5.5 Para quaisquer α, β ∈ , se |=L α e |=L α⇒ β , entao |=L β .

Dem Suponha-se que |=L α e |=L α ⇒ β e seja υ uma valuacao. Por hipoteseυ(α ⇒ β) = 1; portanto ou υ(α) = 0 ou υ(β) = 1 – por definica o de valuacao– e como υ(α) = 1 por hipotese, necessariamente υ(β) = 1. Como υ foi tomadaarbitrariamente, |=L β.

Podemos ja demonstrar uma parte do resultado para que nos encaminhamos.

5O exerccio 1.4.6.2.a) pode ser interpretado em termos de encontrar circuitos mais simples paraos mesmos efeitos. Alias Nand e Nor sao exemplos de blocos de construcao de circuitos (bastantecomplicados...).

27

Teorema 1.5.6 (De boa fundamentacao)Todos os teoremas de L sao tautologias.

Dem. (Por inducao no comprimento das demonstracoes)

Se α e um teorema que tem uma deduao de comprimento 1, α1 , entao α = α1 e α eum axioma. E um exercıcio de rotina verificar que todos os axiomas sao tautologias.

Suponha-se que todos os teoremas que tem uma deducao de comprimento menor ouigual a n sao tautologias e seja α um teorema demonstrado por α1, ..., αn+1 . Pordefinicao α = αn+1 . Ja vimos que os axiomas sao tautologias; vejamos o caso emque α nao e um axioma:

Como estamos a supor que α nao e um axioma, existem αj, αk, β ∈ tais quej,k<n+1 e αj = β e αj = β ⇒ α . Como qualquer segmento inicial α1, ..., αm (m ≤n) e uma deducao, por hipotese de inducao |=L αj e |=L αk , i. e., |=L β e |=L β → α; segue-se do Teorema 1.5.5 que |=L α, como se pretendia. Pelo Princıpio de InducaoMatematica todos os teoremas de L sao tautologias. q.e.d.

Mostrar que todas as tautologias sao teoremas de L e significativamente mais difıcil.O processo inicia-se na seccao seguinte. No entanto podemos ja apresentar um teo-rema de L

Teorema 1.5.7 Para qualquer α ∈ , α⇒ α e um teorema de L.

Na deducoes descritas daqui em diante a coluna da direita indica a razao de escolhada formula (e o que se pode chamar a justificacao); MP abrevia ”aplicacao de modusponens”.

Dem.

α1 = (α⇒ ((α⇒ α) ⇒ α)) ⇒ ((α⇒ (α⇒ α)) ⇒ (α⇒ α)) (L2)α2 = α⇒ ((α⇒ α) ⇒ α) (L1)α3 = ((α⇒ (α⇒ α)) ⇒ (α⇒ α) (MP α1&α2)α4 = α⇒ (α⇒ α) (L1)α5 = α⇒ α (MP α3 & α4)

q.e.d.

E possıvel estudar sistemas formais onde os conectivos primitivos sao quaisquerdos pares completos do teorema 1.4.2 – ou outros conjuntos, completos ou nao –no entanto e natural tomar a implicacao como conectivo binario primitivo ja quemodus ponens e o processo fundamental de inferencia em matematica.

Exercıcio 1.5.8 Mostre que ∼,⇔ nao e completo (SUG: mostre que as funcaoesde Boole representadas por fpbf onde so ocorram ∼ e ⇔ tomam um numero par devezes o valor V).

1.6 Calculo Proposicional: o Teorema de Deducao.

Como sabe quem estuda Matematica, frequentemente interessa tirar conclusoes deconjuntos de premissas especificadas para alem dos axiomas.

Definicao 1.6.1 Seja Γ um conjunto de fpbfs, i. e., Γ ⊆ . Diz-se que a sequenciade fpbfs α1, ..., αn e uma deducao a partir de Γ (em L ) se, para cada i (1 ≤ i ≤ n)uma das condicoes seguintes se verifica

1. αi e um axioma de L

2. αi ∈ Γ

3. αiobtem-se de duas fpbfs αj, αk(1 ≤ j, k ≤ i) por aplicacao de modus ponens.

Nestas condicoes diz-se que αn e dedutıvel de Γ (emL), αn e consequencia deΓ(emL) ou que Γ prova αn . Se a fpbfα e dedutıvel de Γ escreve-se Γ `L α. Aoselementos de Γ chamam-se hipoteses.

Uma leitura cuidada da definicao 1.5.3 mostra que os teoremas de L sao as con-sequencias de ∅; notaremos `L α se α e um teorema. Um caso de aplicacao frequentee descrito no seguinte

Teorema 1.6.2 Para quaisquer α, β, γ ∈ , α⇒ β, β ⇒ γ ``L α⇒ γ .

Dem.

α1 = (β ⇒ γ) ⇒ (α⇒ (β ⇒ γ)) (L1)α2 = β ⇒ γ (hipotese)α3 = α⇒ (β ⇒ γ) (α1, α2e MP)α4 = (α⇒ (β ⇒ γ)) ⇒ ((α⇒ β) ⇒ (α⇒ γ)) (L2)α5 = (α⇒ β) ⇒ (α⇒ γ) (α3, α4 e MP)α6 = α⇒ β (hipotese)α7 = α⇒ γ (α5, α6 e MP)

29

q.e.d.

Deixa-se ao cuidado do leitor o estudo do exemplo seguinte; o estudo sera ainda maissimples se apenas se numerarem os passos das demonstracoes em vez de os designarpor αα , convencao que seguiremos de ora em diante.

Exemplos 1.6.3 Para quaisquer Γ ⊆ eα, β ∈ , se Γ `L α⇒ β entao Γ∪oα `L β

Uma dificuldade esta em demonstrar a recıproca desta assercao, a saber:

Teorema 1.6.4 (De Deducao)

Para quaisquer Γ ⊆ e α, β ∈ , se Γ ∪ α `L β, entao Γ `L α⇒ β

Antes de apresentarmos uma demonstracao ( e generalizando um pouco os comentariosque fizemos imediatamente a seguir a definicao de deducao, 1.5.2), convira ter pre-sente que

-Se Γ ⊆ Γ′, entao qualquer deducao

a partir de Γ e tambem uma deducao a partir de Γ′. Em particular os

teoremas de L sao consequencias de qualquer conjunto de fpbfs.

-Qualquer segmento inicial de uma deducao a partir de Γ e uma deducao

a partir de Γ

-Se α1, ..., αn e β1, ..., βn sao deducoes a partir de Γ , entao a sequencia

α1, ..., αn, β1, ..., βn e uma deducao a partir de Γ . Sob um ponto

de vista pratico:

-A introducao de uma consequencia de Γ como termo de uma deducao

a partir de Γ e admissıvel: a consequencia pode tomar-se como

abreviatura da sua deducao.

Dem. (1.6.4). Vamos fazer inducao sobre o comprimento n das deducoes de βindicando em cada caso uma deducao de α⇒ β .n=1Nestas condicoes α1, ..., αn = αn = β

1o) β ∈ Γ ou β e um axioma de L

1. β (hipotese ou axioma)2. β ⇒ α⇒ β (axioma)3. α⇒ β (MP 1 & 2)

2o) β = α

Neste caso α⇒ β = α⇒ α e |=L α⇒ α Repare-se que de facto tambem acabamosde mostrar que(1.6.1) Se β ∈ Γ ou βe um axioma de L ou β = α e em qualquer dos casos Γ∪α `Lβ , entao Γ `L α⇒ β .independentemente do comprimento de uma possıvel deducao de β.

Suponha-se agora que o teorema vale quando os comprimentos das deducoes de βa partir de Γ ∪ α sao menores ou iguais a n. Seja α1, ..., αn+1, uma deducao deβ a partir deΓ ∪ α. So interessa estudar o caso em que nao se aplica (1.6.1),i. e., β = αn+1 obtem-se de αj = γ e αk = γ ⇒ β, para alguma formula γ, comi ≤ j, k ≤ n. Por hipotese de inducao Γ `L α ⇒ γ e Γ `L α ⇒ γ ⇒ β: umadeducao de α⇒ β a partir de Γ pode ser descrita do seguinte modo

(1) α⇒ γ (Γ `L α⇒ γ)(2) α⇒ γ ⇒ β (Γ `L α⇒ γ ⇒ β)(3) (α⇒ γ ⇒ β) ⇒ (α⇒ γ) ⇒ α⇒ β (L2)(4) (α⇒ γ) ⇒ α⇒ β (MP 2 & 3)(5) α⇒ β (MP 1 & 4)

Pelo Princıpio de Inducao Matematica o teorema vale para qualquer n ∈ N\0.q.e.d.

Algumas aplicacoes deste teorema que utilizaremos adiante:

Teorema 1.6.5 Para quaisquer α, β ∈ 1. ∼∼ α `L α

31

2. α `L∼∼ α

3. β,∼ β `L α

Dem.

1. (1) ∼ α⇒∼ α (`L′ , 1.5.7)(2) (∼ α⇒∼ α) ⇒ (∼ α⇒∼∼ α) ⇒ α (L3)(3) (∼ α⇒∼∼ α) ⇒ α (MP 1 & 2)(4) ∼∼ α (hipotese)(5) ∼∼ α⇒ (∼ α⇒∼∼ α) (L1)(6) ∼ α⇒∼∼ α (MP4&5)(7) α (MP2&6)

2. (1) ∼∼∼ α⇒ α (`L′, caso 1)(2) (∼∼∼ α⇒ α) ⇒ (∼∼∼ α) ⇒∼ α) ⇒∼∼ α (L3)(3) α (hipotese)(4) α⇒ (∼∼∼ α⇒∼ α) (L1)(5) ∼∼∼ α⇒ α (MP3&4)(6) (∼∼∼ α⇒ α) ⇒∼∼ α (MP2&5)(7) ∼∼ α (MP1&6)

3. (1) (∼ α⇒ β) ⇒ (∼ α⇒∼ β) ⇒ α (L3)(2) β ⇒ (∼ α⇒ β ) (L1)(3) β (hipotese)(4) ∼ α⇒ β (MP2&3)(5) (∼ α⇒ β) ⇒ α (MP1&4)(6) ∼ β ⇒ (∼ α⇒ β) (L1)(7) ∼ β (hipotese)(8) ∼ α⇒ β (MP6&7)(9) α (MP5&8)

q.e.d.

1.7 Completude do Calculo Proposicional; con-

sistencia.

Para mostrarmos que todas as tautologias sao teoremas vamos ver que nao e possıvelampliar o conjunto dos teoremas sem que na ampliacao surja uma formula sobre aqual alguma valuacao valeria simultaneamente 0 e 1, o que e impossıvel.

As definicoes da seccao 1.5 sao muito facilmente generalizaveis:

Um sistema formal F (para o Calculo Proposicional ) consiste em , um conjunto

especificado de formulas de , que serao designados por axiomas de F , e um con-junto de regras de inferencia. Uma deducao de αn a partir de Γ ⊆ em F euma sequencia fpbf α1, ..., αn em que cada αi e um axioma ou e um elemento de Γou resulta de formulas anteriores por aplicacao de alguma regra de inferencia. Asformulas dedutıveis de ∅ serao chamadas teoremas de F , notando-se Γ |=F α, seα e dedutıvel de Γ, e |=F α, se α e um teorema de F

Designemos por Teo (F) o conjunto de teoremas do sistema formal F .

Definicao 1.7.1 Uma extensao de um sistema formal F e um sistema formal F∗

tal que Teo (F) ⊆ Teo(F∗). Uma extensao-MP de L e uma extensao cuja unicaregra de inferencia e modus ponens.

Extensoes-MP obtem-se por prolongamento ou modificacao do conjunto de axiomas.Ha no entanto que ter cuidado com a aquisicao de novos teoremas.

Definicao 1.7.2 Uma extensao F de L diz-se consistente se ∼ α e α nao saosimultaneamente teoremas de F , seja qual for α ∈ .Teorema 1.7.3 L e consistente.

Dem. Pelo Teorema de Boa Fundamentacao 1.5.6, os teoremas de L sao tautologiase α e ∼ α nao o podem ser simultaneamente.q.e.d.

Consistencia para extensoes-MP e caracterizavel do seguinte modo:

Teorema 1.7.4 Uma extensao-MP L∗ de L e consistente sse existe uma formulaem que nao e teorema de L∗ .

Ou seja, uma extensao-MP L∗ de L e inconsistente (ou nao consistente) se e so setodas as formulas sao teoremas de L∗.

Dem. Se L∗ e consistente e α e uma formula qualquer apenas um dos casos epossıvel |=L∗ α ou |=L∗∼ α ; o caso que se nao der indica a formula que nao eteorema.

Se L∗ nao e consistente entao para uma certa α ∈ tem-se |=L∗ α e |=L∗∼ α. Vamosver que (1.7.1)

|=L∗ β para qualquer β ∈ .

33

Comecemos por supor demonstrado o seguinte lema

LEMA. |=L∼ γ ⇒ γ ⇒ β para quaisquer γ, β ∈ Segue-se que tambem (1.7.2)

|=L∗∼ γ ⇒ γ ⇒ β para quaisquer γ, β ∈ pois L∗ e extensao de L ; mas entao tem-se a seguinte deducao, para qualquer β ∈

(1) α |=L∗ α(2) ∼ α |=L∗∼ α(3) ∼ α⇒ α⇒ β ((1.7.2))(4) α⇒ β (MP 2 & 3)(5) β (MP 1 & 4)

Portanto |=L∗ β, como se pretendia. Resta demonstrar o Lema.

Dem. do Lema: de acordo com o teorema de deducao, basta mostrar que ∼ γ, γ |=Lβ, o que foi feito em 1.6.5.3. q.e.d.

A assercao seguinte diz que podemos acrescentar a um sistema formal as negacoesde formulas que nao sejam teoremas sem perder a consistencia.

Teorema 1.7.5 Seja L∗ uma extensao-MP consistente de L suponha que α ∈ \Teo (L∗). Seja L∗∗ a extensao-MP de L∗ que se obtem juntando ∼ α aos axiomasde L∗ . L∗∗ e consistente.

Dem. Suponha que α,L,L∗,L∗∗ estao nas condicoes da hipotese mas que L∗∗ einconsistente. De acordo com o teorema anterior,|=L∗∗ α. Como a diferenca entreL∗ e L∗∗ e que ∼ α e tambem um axioma do segundo, conclui-se em particular que∼ α |=L∗ α. Como os teoremas de L tambem sao teoremas de L∗ , os axiomas deL sao teoremas de L∗ e portanto vale o Teorema de Deducao em L∗ ; segue-se que|=L∗∗∼ α⇒ α. Suponha-se demonstrado o seguinte Lema

LEMA. |=L (∼ α⇒ α), para qualquer α ∈ .Como L∗ e uma extensao de L, |=L∗ (∼ α ⇒ α) ⇒ α. Consequentemente |=L∗ α,como se pretendia. Resta provar o lema.

Dem. do lema. Utilizamos o Teorema de Deducao.

(1) ∼ α⇒ α (hipotese)(2) (∼ α⇒ α) ⇒ (∼ α⇒ α) ⇒ α (L3)(3) (∼ α⇒ α) ⇒ α (MP 1 & 2)(4) ∼ α⇒∼ α (1.5.7)(5) α (MP 3 & 4)

q.e.d

Pode saturar-se L adicionando um numero suficiente de fpbfs.

Definicao 1.7.6 Uma extensao L∗ de L diz-se completa se para qualquer α ∈ , ou |=L∗ αou |=L∗∼ α.

Observe-se que qualquer extensao inconsistente e completa (teorema 1.7.4), quequalquer extensao completa nao pode ser estritamente ampliada sem se tornar in-consistente e que L nao e completa: para qualquer sımbolo proposicional p, nem pnem ∼p sao teoremas de L .

Podemos concluir de 1.7.5 e da ultima observacao que L tem extensoes estritas L∗ ,i. e., Teo(L) ⊂ Teo(L∗ ). Note-se tambem que qualquer extensao de uma extensaoe extensao do sistema inicial.

Teorema 1.7.7 Toda a extensao consistente de L tem por sua vez uma extensaoconsistente e completa.

Dem. Seja α0, α1, ..., αn, ... uma enumeracao de todas as fpbfs de . Vamos con-struir a extensao por nıveis que serao reunidos no fim. Seja L∗ uma extensao con-sistente de L. Notemos por F ; α o sistema formal que se obtem do sistema formalF por adicao da formula α ao conjunto de axiomas.

Defina

L0 = L∗

Ln+1 =

Ln se |=Ln αn

(n ∈ N)Ln;∼ αn se αn /∈ Teo(Ln)

Por hipotese L0 e consistente e, pelo teorema 1.7.5, se Ln e consistente tambemLn+1 e consistente; pelo princıpio de Inducao Matematica todas as extensoes Ln saoconsistentes.

Note-se por F ∪ F ′ a extensao dos sistemas F e F ′ cujo conjunto de axiomas e areuniao dos conjuntos de axiomas de F e F ′. Seja

35

L∞ = ∪∞n=0Ln

E imediato que L∞ e uma extensao de L∗ .

Vejamos que L∞ e consistente: se o nao fosse, existiria α ∈ tal que |=L∞∼ αe |=L∞ α. Tomem-se deducoes de ∼ α e de α em L∞ . O numero de formulasenvolvidas em ambas as deducoes e finito, portanto o numero de axiomas tambem eestes serao axiomas de algum Ln , para n suficientemente grande; mas entao α e ∼ αsao de facto teoremas de Ln , o que e impossıvel pois todos os Ln sao consistentes.

Em suma, L∞ nao pode ser inconsistente.

Para vermos que L∞ e completa basta observar que qualquer formula de ocorre emalgum lugar na listagem inicial portanto, em algum passo da construcao, ela ou a suanegacao foi incluida como axioma e, assim, tambem como teorema. q.e.d.

Resta-nos mais um passo preliminar para o qual convira ter presente o seguinteexercıcio

Exercıcio 1.7.8 Mostre que |=L (∼ α⇒∼ β) ⇒ (β ⇒ α), para quaisquerα, β ∈ .

Teorema 1.7.9 Se L∗ e uma extensao-MP consistente de L, existe uma valuacaoque vale 1 em todos os teoremas de L∗.

Dem.Tome uma extensao completa e consistente L∞ de L (por exemplo comoconstruida no teorema anterior) e defina

υ(α) =

1 se |=L∞ α

0 se |=L∞∼ α

Repare-se que υ esta definida em todas as fpbfs de pois L∞ e completa. Falta verque υ(α ⇒ β) = 0 sse υ(α) = 1 e υ(β) = 0, pois υ(α) 6= υ(∼ α) resulta de L∞ serconsistente.

Suponha que υ(α⇒ β) = 0. Comece por observar que entao

(1.7.2)

|=L∞∼ (α⇒ β)

Se υ(α) = 0 ou υ(β) = 1 entao |=L∞∼ α ou |=L∞ β . Utilizando o axioma (L1)convenientemente conclui-se

|=L∞∼ β ⇒∼ α ou |=L∞ α⇒ β

o que, pelo exercıcio anterior, leva em qualquer caso a

|=L∞ α⇒ β

o que, com (1.7.2), contradiz a consistencia de L∞ . Segue-se que necessariamenteυ(α) = 1 e υ(β) = 0, se υ(α⇒ β) = 0.

Suponha agora que υ(α) = 1 e υ(β) = 0, mas υ(α⇒ β) = 1. Entao |=L∞ α e |=L∞ β,portanto |=L∞ β ; mas de υ(β) = 0 conclui-se |=L∞ β e L∞ nao seria consistente.Tem de ser υ(α⇒ β) = 0 se υ(α) = 1 e υ(β) = 0.

q.e.d.

Finalmente

Teorema 1.7.10 (de Completude Fraca)

Para qualquer α ∈ , se |=L ∞, entao |=L ∞ .

Dem. Se |=L ∞ mas α 6∈ Teo (L), entao, pelo teorema 1.7.5,L ;∼ α e consis-tente; pelo teorema anterior, existe uma valuacao υ que vale 1 em todos os teo-remas de L;∼ α, em particular υ(∼ α) = 1, o que e impossıvel pois necessaria-mente υ(∼ α) 6= υ(α) e υ(α) = 1 por α ser uma tautologia. Segue-se que |=L αq.e.d.

Uma nota final: as tabelas de verdade fornecem um algoritmo para verificar se umadada formula e ou nao um teorema do Calculo proposicional sem ser necessarioexplicitar uma deduao.

Exercıcios 1.7.11 1. Mostre que para quaisquer formulas α, β, γ ∈ (a) |=L ((α ∧ β) ⇒ α)

(b) |=L ((α ∧ β) ⇒ β)

(c) |=L (α⇒ (β ⇒ (α ∧ β)))

(d) |=L ((α⇒ (α⇒ (α ∨ β)))

(e) |=L ((β ⇒ (α⇒ (α ∧ β)))

(f) |=L ((α⇒ γ ⇒ ((β ⇒ γ) ⇒ ((α ∨ β) ⇒ γ))

37

2. Seja F o sistema formal que se obtem de L juntando as regras de inferencia

I1)α ∧ β...α

I2)α ∧ β...β

I3)α

...α ∨ βI4)

β

...α ∨ β

I5)∼ αα∧β

...βI6)

∼ βα∨β

...α

Mostre que Teo (L) = Teo (F).

3. Seja L∗ o sistema formal que se obtem de L substituindo o esquema de axiomas(L3) por

(L′3) (∼ α⇒ β) ⇒ β ⇒ α (α, β ∈ )mantendo os outros esquemas e tendo MP como unica regra de inferencia.Mostre que Teo(L) =Teo(L∗ ).

4. Um conjunto Γ ⊆ diz-se inconsistente (em L) se existir α ∈ tal que Γ |=L α

e Γ |=L∼ α . Seja Γ um subconjunto de . Mostre que, para quaisquer α, β ∈ ,

(a) se (α⇒ β) ∈ Γ e ambos os conjuntos Γ ∪ ∼ α e Γ ∪ β sao inconsis-tentes, entao Γ e inconsistente.

(b) se ∼ (α⇒ β) ∈ Γ e Γ∪α,∼ βe inconsistente, entao Γ e inconsistente.

(c) Um subconjunto de diz-se consistente (em L)se nao for inconsistente

(em L). Mostre que Γ ⊆ e consistente sse todos os subconjuntos finitosde Γ sao consistentes.

Capıtulo 2

Logica de Predicados (de primeiraordem)

A formalizacao p ⇒ q no exemplo 1.1.1.3 e claramente insuficiente para explici-tar a estrutura da assercao aı descrita; um caso de estruturacao ainda menor ocorrequando se pretende representar ”os quadrados de numeros reais sao numeros nao neg-ativos”: no ambito do Calculo Proposicional teremos de utilizar apenas um sımboloproposicional sem quaisquer conectivos!

Para podermos analizar mais profundamente este tipo de afirmacoes vamos desen-volver uma linguagem mais elaborada.

2.1 Linguagens de primeira ordem: alfabeto, ter-

mos e formulas.

O alfabeto de uma linguagem de primeira ordem consiste em sımbolos que se dis-tribuem por duas classes a saber

1. Sımbolos logicos

(a) Parenteses (, )−− para pontuacao

(b) Vırgula , −− para pontuacao

(c) Conectivos ∼ e⇒ −− respectivamente negacao e implicacao

(d) Variaveis xi(i ∈ N\0)

2. Parametros

(a) O quantificador universal ∀ – que se le ”para todo o”

(b) Sımbolos predicativos n-arios Ani (n, i ∈ N\0)

39

(c) Constantes ai (i ∈ bkN0)(d) Sımbolos funcionais n-arios fn

i (n, i ∈ N\0).

Consoante as estruturas que se tem em mente – adiante precisaremos o que seentende por estrutura – assim o conjunto de parametros.

Exemplos 2.1.1

1. A linguagem do Calculo de Predicados Puro tem apenas os parametros ∀ ,sımbolos predicativos An

i (n, i ∈ N\0) e constantes ai(i ∈ N\0).

2. A linguagem para a Teoria dos Corpos Ordenados tem parametros∀, doissımbolos predicativos A2

i e A22 – respectivamente para as relacoes binarias de

igualdade e de ordem – duas constantes a1ea2 – respectivamente para o zero ea unidade – dois sımbolos funcionais f 2

1 ef22 – respectivamente para a soma e o

produto.

Tal como para a logica proposicional, uma expressao e uma sequencia de sımbolos.De entre as expressoes comecaamos por distinguir os termos com os quais seraoformadas as formulas de uma linguagem de primeira ordem L .

Definicao 2.1.2 O conjunto dos termos de L e a interseccao de todos os conjun-tos de expressoes E que verifiquem as seguintes propriedades

1. As variaveis e as constantes de L sao elementos de E

2. Se t1, ..., tn ∈ E e fni um sımbolo funcional n-ario de L , entao fn

i (t1, ..., tn) ∈E (n ∈ N\0). T designa o conjunto de todos os termos de L .

Repare-se que vale o seguinte

Teorema 2.1.3 (Princıpio de Inducao em Termos)

Se E ⊆ T , as variaveis e as constantes de L sao elementos de E e fni (t1, ..., tn) ∈ E

sempre que os termos t1, ..., tn estao em E e fni e um sım mbolo funcional n-ario de

L , entao E = T .

A demonstracao fica a cargo do leitor.

41

Exemplos 2.1.4 Retomando o exemplo 2 de 2.1.1: a1, f2i (a1, x1) e x5 sao termos da

linguagem da teoria de corpos ordenados. De facto sao termos de qualquer linguagemque inclua a constante ai e o sımbolo funcional binario f 2

1 no seu alfabeto.

Como temos vindo a dar a entender, pretende-se essencialmente estudar expressoesenvolvendo variaveis 1. Mais precisamente

Definicao 2.1.5 O conjunto das formulas bem formadas L e a interseccaode todos os conjuntos de expressoes E tais que

1. Se t1, ..., tn ∈ T e Ani e um sımbolo predicativo n-ario, entao An

i (t1, ..., tn) ∈E (n ∈ N\0)

2. Se α, β ∈ E e xi e uma variavel, entao (∼ α), (α⇒ β),∀xiα sao todas elemen-tos de E .

As formulas Ai(t1, ..., tn) definidas em 2.1.5.i) sao chamadas atomicas .

De ora em diante abreviamos ”formula bem formada”por ”formula”ou ”fbf”.

Mais uma vez vale um princıpio de inducao e mais uma vez tambem esperamos queo leitor o demonstre.

Teorema 2.1.6 (de Inducao em Formulas)

Se E ⊆ F , E contem todas as formulas atomicas e, contendo as fomulasα e β ,tambem contem (∼ α) e (α⇒ β) e ∀xiα , seja qual for a variavel xi , entao E = F.

De modo a aliviar um pouco a carga de sımbolos em algumas formulas, definimos asseguintes abreviaturas: para quaisquer fbfs α e β e qualquer variavel x

(α ∧ β) = (∼ (α⇒ β)) (α ∨ β) = ((∼ α) ⇒ β)

(α⇔ β) = ((α⇒ β) ∧ (β ⇒ α)) ∃xα = (∼ ∀x(∼ α))

∃ chama-se quantificador existencial e ∃ x le -se ”existe x tal que”.

Tambem omitiremos parenteses de acordo com as regras definidas em 1, pagina 4;ha no entanto que tornar mais precisas algumas situacoes novas.

1Em certos casos estas expressoes costumam designar-se por condicoes

Definicao 2.1.7 Sejam Q um quantificador (∀ ou ∃), x uma variavel e α umaformula. Se Q x ocorre em α , o campo de quantificacao ) de Qx em α e aformula mais curta a direita de Qx.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos 2.1.8

1. Seja α = ∀x1(∃x2A21(f

21 (x1, x2), a1)).

O campo de ∀x1 em α e β = ∃x2A21(f

21 (x1, xn), a1) e o campo de ∃x2, em α e

em β, e γ = A21(f

21 (x1, x2), a1)

2. Considere a formula

∀x1(∃x2A21(f

22 (x1, x2), a2) ⇒ ∀x2(∼ A2

1(x2, a1) ⇒ A21(f

22 (x1, x2), a1)))

O campo de ∀x1 e toda a formula restante; o campo de ∀x1 e ∼ A21(x2, a1) ⇒

A21(f

22 (x1, xn), a1); o campo de ∃x2 e A2

1(f22 (x1, x2), a2).

Adiante pretendemos substituir variaveis livres por outros termos sem alterar possıveis”significados atribuiveis a ”formula.

Para tal tenha-se em conta a seguinte

Definicao 2.1.9

1. Uma variavel x diz-se livre na fbf α se nao ocorre no campo de uma quan-tificacao Qx.

2. Um termo t diz-se livre para a variavel x na fbf α se t=x ou as ocorrenciaslivres de x em α nao estao no campo de alguma quantificacao Qy na qual yocorre em t.

A parte 2 desta definicao estabelece as condicoes em que as ocorrencias livres deuma variavel podem ser substituidas por um termo numa fbf.

E simples decidir quais as variaveis livres de uma fbf. A definicao anterior postulaque qualquer variavel x e sempre livre para si propria em qualquer fbf; nao e taosimples determinar se um termo com mais de uma variavel e ou nao livre paraalguma outra.

43

Exemplos 2.1.10

1. As variaveis que ocorrem em α do exemplo 2.1.8 sao todas mudas em α; x1 elivre em β e em γ, x2 so e livre em γ .

2. O termo f 32 (x3, x4) e livre para qualquer das variaveis em qualquer das formulas

consideradas em 1 e 2 dos exemplos 2.1.8, pois nao ha quantificacoes em x3

ou x4 .

3. O termo f 21 (x1, x2)nao e livre para x1 em β , porque x1 ocorre livre no campo

de quantificacao de ∃x2 .

Em termos de interpretacao: se A21 for interpretada pela igualdade, f 2

1 pelasoma e a1 por zero num anel, β ”toma a forma”∃x2(x1 + x2 = 0) e esta naotem por certo o mesmo ”significado”que ∃x2 ((x1 + x2) + x2 = 0). No entantox1ef

21 (x1, x2)sao livres para x2 em α, pois a unica ocorrencia de x2 em α muda

no campo de ∃x2 .

4. Agora na formula do segundo exemplo de 2.1.8: x1 e livre para x2 , pois x2

so tem ocorrencias mudas; x1 nao e livre para x1 porque x1 ocorre livre emA2

1(f22 (x1, x2), a2) no campo de ∃x2 .

5. Na fbf

∀x4(A12(x1) ⇒ ∃x2A

22(x2, x2) ∧ ∀x1(A

12(x3) ⇒ A3

2(x1, x4, x1))).

O termo f 32 (x1, x2, x3) e livre para x1 − − pois a unica ocorrencia livre de x1

na formula esta no campo de ∀x4 e x4 6∈ x1, x2, x3 −− mas nao e livre parax2 − − que ocorre livre no campo de ∃x2 − − nem para x3 ou x4 − − queocorrem livres no campo de ∀x1.

2.2 Interpretacoes

Uma interpretacao da linguagem de primeira ordem L e uma funcao I cujo domınioe o conjunto dos parametros de L verificando as seguintes propriedades:

(I1)I(∀) e um conjunto nao vazio, denominado o universo de I .

(I2) Para cada sımbolo predicativo Ani de L, I(An

i ) e uma relacao n-aria

em I(∀), i. e., I(Ani ) ⊆ I(∀)n

(I3) Para cada constante ai de L, I(ai) e um elemento de I(∀)

(I4) Para cada sımbolo funcional fni de L, I(fn

i )e uma funcao n-aria de

I(∀) em I(∀), i. e., I(fni ) : I(∀) → I(∀)

Recorde-se que L pode nao ter sımbolos funcionais ou constantes −− casos em que(I3) ou (I4) se nao aplicam −− e note-se tambem que I(An

i ) pode ser vazia. Aocontradomınio de uma interpretacao I que, um pouco abusivamente, designaremospor < I(∀), I(An

i ), I(ai), I(fni ) >chamaremos estrutura para L ; o exemplo

seguinte mostra onde esta o abuso de notacao.

Exemplos 2.2.1 Se L tem parametros ∀, A21, A

22, a1, a2, f

21 , f

22 uma interpretacao

pode ser dada por I(∀) = R, I(A 21 ) e a relacao de igualdade em R, I(A2

2)e a relacao de ordem total lata usual, I(a1) = 0, I(a2) = 1, I(f 2

1 ) e I(f 22 )

sao, respectivamente, soma e o produto usuais. A correspondente estrutura sera< R,=,≤, 0, 1,+, • >, o corpo ordenado dos numeros reais. De um modo semelhantetambem se ve que < Q,=,≤<, 0, 1,+, • > ou < N,=,≤, 0, 1,+, • > sao estruturaspara L .

Ainda outra interpretacao pode ser dada por I(∀) = Z, I(A22) = (m,n) ∈ Z2 : m 6=

0 e m divide n ,

I(f 21 )(m,n) =

0 se m=0 ou m nao divide n

n\m caso contrario

mantendo-se as outras imagens por I com as adaptacoes adequadas.

Cada interpretacao de uma linguagem permite dar significado as suas formulas, comovamos ver a seguir.

2.3 Satisfazibilidade

Uma das razoes pelas quais estamos no ambito da logica de predicados de primeiraordem esta implıcita no que vamos definir como satisfazibilidade de uma fbf da forma∀xα .

45

Com a definicaoo de satisfazibilidade estabeleceremos o que significa uma formulaser ou nao verificada numa estrutura. As fbfs verificadas em todas as interpretacoesde uma mesma linguagem virao a ser consideradas em particular.

Comecemos por atribuir valores as variaveis

Definicao 2.3.1 Seja I uma interpretacao da linguagem de primeira ordem L cujoconjunto de termos e T . Uma valuacao para I (na interpretacao e estruturacorrespondentes) e uma funcao υ : T → I(∀) tal que

1. υ(ai) = I(ai), se ai e uma constante de L

2. υ(fni (t1, ..., tn) = I(fn

i )(υ(t1), ..., υ(tn)), se fni e um sımbolo funcional e t1, ..., tn

sao termos de L .

Uma valuacaoo e assim uma forma de associar a cada termo de L o objecto que ea sua interpretacao. Repare-se que, por definicao, para cada interpretacao o valordas valuacoes nas constantes e sempre o mesmo. No entanto mesmo em casos muitosimples podem construir-se valuacoes diferentes.

Exemplos 2.3.2

1. Seja L uma linguagem de primeira ordem com uma constante, a, sem sımbolosfuncionais e com apenas um conectivo unario A. Uma estrutura para Lpodeser < 1, 2, ∅, 1 >, sendo a interpretacao dada por I(∀) = 1, 2, I(A) =∅, I(a) = 1. Os termos de L sao apenas as variaveis e as constantes. Duasvaluacoes diferentes podem ser definidas da seguinte maneira: υ1(t) = 1, se t euma constante ou uma variavel, υ2(a) = 1 e υ2(x) = 2 para qualquer variavelx.

2. Acrescentando a linguagem L do numero anterior um sımbolo funcional unariof e definindo I(f)(1) = 2 e I(f)(2) = 1 ter-se-ia υ1(f(a)) = I(f)(υ1(a)) =I(f)(1) = 2, υ1(f(x)) = I(f)(υ1(x)) = I(f)(1) = 2 para qualquer variavel x,υ2(f(a)) = I(f)(υ2(a)) = I(f)(1) = 2, υ2(f(x)) = I(f)(υ2(x)) = I(f)(2) = 1para qualquer variavel x.

Adiante veremos valuacoes mais interessantes. Tenha-se, no entanto presente queuma valuacao fica de facto determinada pelos valores que toma nas variaveis, i. e.,todas as valuacoes tem a seguinte propriedade, que aceitaremos sem demonstracao2 .

2Uma demonstracao pode ser feita a partir do Teorema de recurso que se pode encontrar em[E;1.2, pag.27]

Teorema 2.3.3Sejam V o conjunto das variaveis de uma linguagem de primeira ordem L e I umainterpretacao de L . Para cada funcao V : V → I(∀) existe uma e uma so valuacaoυ0 : V → I(∀) que coincide com υ0 em V .

Em particular, se duas valuacoes coincidem no conjunto das variaveis, entao coin-cidem no conjunto dos termos, i.e., sao iguais.

Podemos ser mais precisos. Para tal −−e tambem para outros efeitos −− introduz-imos notacao a saber: dada uma valuacao υ e uma variavel x a valuacao υ(x|c) valec em x e coincide com V em todas as outras variaveis; mais formalmente

(2.3.1) υ(xi|c)(xi) =

υ(xj|c) se i 6= j

(i ∈ N\0)c se i = j

Genericamente definimos tambem

(2.3.2) υ(xi1|c1; ...;xip |cp) = υ(xi1|c1)...(xip |cp)

Teorema 2.3.4 Sejam I uma interpretacao da linguagem de primeira ordem L .Se duas valuacoes υ e ω para I coincidem nas variaveis de um termo t de L , entaoυ(t) = ω(t).

Dem. Tomem-se L e I como na hipotese. Seja E o conjunto dos termos de L paraos quais se tem υ(t) = ω(t) sempre que as valuacoes υ e ω para I coincidem nasvariais que ocorrem em t. Vamos mostrar que E = T .

As valuacoes coincidem nas constantes por definicao, portanto E contem as con-stantes. Se t e uma variavel, dizer que υeω coincidem nas variaveis de t e dizerque υ(t) = ω(t), donde todas as variaveis estao em E . Suponhamos agora quet1, ..., tn ∈ E , f e um sımbolo funcional n-ario, t=f(t1, ..., tn) e υ e ω sao valuacoesque coincidem nas variaveis que ocorrem em t; como uma variavel ocorre em t sseocorre em algum dos t i, υ e ω coincidem nas variaveis que ocorrem em cada tiportanto υ(ti) = ω(ti) para 1 ≤ i ≤ n, dado que os ti estao em E ; mas entao tem-se

υ(t) = υ(f(t1, ..., tn)) = I(f)(υ(t1), ..., υ(tn)) = I(f)(υ(t1), ..., υ(tn)) =ω(f(t1, ..., tn)) = ω(t).

47

Segue-se que t ∈ E . Pelo princıpio de Inducao em Termos E = T . q.e.d.

Passamos a definir o que se entende por uma formula ser ou nao verificada ousatisfeita.

Mais um pouco de notacao: se α for uma formula de L, I for uma interpretacao e υfor uma valuacao para I

(2.3.3) |=I α[υ] abrevia ”υ satisfaz α em I ”(2.3.4) |=I α[υ] abrevia ”υ nao satisfaz α em I ”

Definicao 2.3.5 . Sejam L uma linguagem de primeira ordem e υ uma valuacaode L para a interpretacao I .

1. Se α e uma formula atomica, α = An1 (t1, ..., tn),

|=I α[υ] sse (υ(t1), ..., υ(tn)) ∈ I(Ani )

2. Para quaisquer fbfs α, β e variavel x,

(a) |=I α[υ] sse 6|=I α[υ]

(b) |=I (α ⇒ β)[υ] sse 6|=I α[V ] ou |=I β[υ] ou, de outro modo, se υ satisfazα em I entao tambem satisfaz β em I .

(c) |=I ∀xα[υ] sse |=I α[υ(x|a)] para qualquer a ∈ I(∀)

A satisfazibilidade de uma fbf por uma valuacao depende apenas das variaveis livresda fbf.

Nota 2.3.6 Para maior simplicidade de discurso, de ora em diante pressuporemosque todas as linguagens consideradas sao de primeira ordem.

Teorema 2.3.7 Para qualquer fbf α e quaisquer valuacoes υ e ω que coincidam nasvariaveis livres deα tem-se

|=I α[υ] sse |=I α[ω]

Dem. Fixe-se a interpretacao Ie seja I o conjunto de formulas α para as quais|=I α[υ] sse |=I α[ω], quando υ e ω coincidem nas variaveis livres de α . Suponha-seno que se segue que υ e ω coincidem nas variaveis livres das formulas apropriadasem cada caso.

1) E contem as formulas atomicas. Se α e atomica, para algum sımbolo predicativoP e termos t1, ..., tn, α = P (t1, ..., tn); alem disso as variaveis que ocorrem em αocorrem livres e em algum ti ; desse modo V e ω coincidem nas variaveis livres de αsse coincidem nas variaveis de α sse coincidem nas variaveis de cada termo ti ; masentao, se υ e ω coincidem nas variaveis de α, |=I α[υ] sse (υ(t1), ..., υ(tn)) ∈ I(P )−por definicao − sse (ω(t1), ..., ω(tn)) ∈ I (P) − Teorema 2.3.4. − sse |=I α[ω]− pordefinicao; portanto α ∈|=E , como se pretendia mostrar.

2) Se α ∈ E tambem ∼ α ∈ I .

Observe-se que as variaveis de α sao as mesmas que as de ∼ α e que sao livres numadas formulas sse o sao na outra. Assim, se α ∈ E vem

Iα[υ] sse 6|=I α[υ]− por definicao −sse 6|=I α[ω]− porque α ∈|=E −sse |=I α[ω]− por definicao;

donde ∼ α ∈ E , como se pretendia verificar.

3) Se α ∈ E e x e uma variavel, tambem ∀xα ∈ E.

Comecemos por notar que, para qualquer a∈ I(∀), υ(x|a) e ω(x|a) coincidem em x,pelo que, se υ e ω coincidem nas variaveis livres de ∀xα , entao υ(x|a) e υ(x|a)coincidem nas variaveis livres em α .

Assim, se α ∈ E ,|=I ∀α[υ] sse |=I α[υ(x|a)] para qualquer a ∈ I(∀)− por definicao - sse |=I α[ω(x|a)]para qualquer a ∈ I(∀)− pois α ∈ E−

sse |=I ∀xα[ω]− por definicao;portanto ∀xα ∈|=E , como pretendiamos concluir.

4 ) Se α, β ∈ E , entao α⇒ β ∈ E

As variaveis livres de α e β sao-no sse sao livres em α ou em β e tem-se o seguinte:

|=I (α⇒ β)[υ] sse 6|=I α[υ] ou |=I β[υ]− por definicao −sse 6|=I α[ω] ou |=I β[ω]− pois α, β ∈ I−]

49

sse |=I (α⇒ β)[ω];ou seja α⇒ β ∈ E como se pretendia mostrar. q.e.d.

Chama-se proposicao ou formula fechada a uma fbf que nao tem variaveis livres.Uma consequencia imediata deste teorema e

Corolario 2.3.8 Para uma mesma interpretacao, uma proposicao e satisfeita poralguma valuacao sse e satisfeita por todas as valuacoes.

O conceito analogo ao de tautologia da logica proposicional e o de fbf logicamentevalida que vai ser introduzido a seguir.

Definicao 2.3.9 Sejam I uma interpretacao da linguagem L e α uma formula deL .

1. α e satisfazıvel em I se |=I α[υ] para alguma valuacao υ .

2. α e valida em I se |=I α[υ] para qualquer valuacao υ ; nota-se |=I α se α evalida em I .

3. α e logicamente valida se |=I α para qualquer interpretacao I ; nota-se|=I α se α e logicamente valida.

Reformulando 2.3.8: uma proposicao e valida numa interpretacao sse e satisfazıvel.Quando uma proposicao e valida numa interpretacao diz-se tambem que e verdadeiranessa interpretacao, caso contrario diz-se falsa . Mais precisamente

Corolario 2.3.10 . Para quaisquer proposicao α e interpretacao I, ou α e ver-dadeira em I ou ∼ α e verdadeira em I, nao podendo ocorrer ambos os casos.

Os proximos exemplos ilustram a distincao entre validade e satisfazibilidade.

Exemplos 2.3.11 Para os exemplos 1,2 e 3 recorde-se a estrutura < R,=,≤, 0, 1,+, • >definida em 2.2.1.

1. A formula α = A21(f

21 (x1, x2), f

22 (x1, x2))e satisfazıvel: tome-se a valuacao

identicamente nula ou qualquer valuacao υ que verifique υ(x1) = −1+√

52

e

υ(x2) = −1−√

52

. Mas α nao e valida: a valuacao identicamente 1 a satisfaz.

2. β = A22(a1, f

22 (x1, x1)) e valida em I mas nao e logicamente valida considere

a interpretacao K para a qual K(∀) = C,K(A22)e a relacao de igualdade em

C, K(A22) e a relacao de ordem parcial dada por (z,w)∈ K(A2

2) sse Re(z)≤Re(w), (K)(a1) = 0,K(a2) = 1,K(f 2

1 )K(f 22 ) sao respectivamente a soma e

o produto usuais; se υ(x1) = i, tem-se υ(f 22 (x1, x1)) = i2 = −1 e (0,−1) 6∈

K(A22).

3. ∃x1β e verdadeira em < R,=,≤, 0, 1,+, • > e em < C,=,K(A22), 0, 1,+, • >

mas nao e verdadeira para a seguinte interpretacao:

P(∀) = 0, 1, P(a1) = P(a2) = 0, P(A21) = P(A2

2) = (0, 1), (1, 0), P(f 21 ) =

P(f 22 ) ≡ 0.

4. Para qualquer fbf α de qualquer linguagem Lα⇒ α e logicamente valida.

Atente-se neste ultimo exemplo.

Definicao 2.3.12 Uma formula α de uma linguagem L diz-se a realizacao deuma tautologia se existir uma tautologia β do calculo proposicional de modo queα se obtem de β substituindo os sımbolos proposicionais de β por fbfs de L .

No exemplo 4 acima tratamos a realizacao de uma tautologia que e valida, comoseria de esperar.

Teorema 2.3.13 As realizacoes de tautologias sao logicamente validas.

Antes de provarmos este teorema mostramos que a assercao recıproca nao valemostrando uma formula logicamente valida que nao e realizacao de tautologia.

Exemplos 2.3.14 Se a variavel x nao ocorre livre na formula α, entao |= ∀x⇒ α.

Dem. Vamos ver que, para qualquer valuacao υ , se |=I α[υ(x|a)] entao |=I α[υ]:se |=I α[υ], por definicao |=I α[υ(x|a)] para qualquerv a ∈ I(∀); mas x nao ocorrelivre em α , portanto υ(x|a) e υ coincidem nas variaveis livres de α; do teorema2.3.7 concluimos que |=I α[υ] como pretendiamos.

Dem. (do Teorema 2.3.13.) Vamos utilizar inducao em fpbfs. Para cada fpbf ϕ comsımbolos proposicionais entre pi, 1 ≤ i ≤ m, e cada sequencia de fbfs α, 1 ≤ i ≤ m,designemos por α(ϕ) a fbf da linguagem L que realiza ϕ substituindo-se cada pi porα em ϕ . Para cada valuacao υ de L e cada realizacao α(ϕ) de ϕ defina-se paracada sımbolo proposicional p

51

υα(ϕ)(p) =

1 se p = pi e |=I αi[υ]

(1 ≤ i ≤ m)0 se p = pi e 6|=I αi[υ]

1 caso contrario

Fica assim determinada uma valuacao υα(ϕ) em . Vamos ver que se α realiza ϕ ,entao |=I [υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1.

Seja E o conjunto das fpbfs ϕ tais que, para qualquer fbf α(ϕ) e qualquer valuacaoυ, |=I α(ϕ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1.

1. ) Os sımbolos proposicionais estao em E .Se ϕ = pj , para algum sımbolo proposicional pjα(ϕ) = αj , para alguma fbfαj, e

υαj(p) =

1 se p = pj e |=I αj[υ]

0 se p = pj e 6|=I αj[υ]

1 caso contrario

Como tambem υα(ϕ)(ϕ) = υαj(pj), e imediato que |= Iα(ϕ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1

e conclui-se que pj ∈ E .

2. ) Se ϕ ∈ E , entao ∼ ϕ ∈ E . E facil verificar que α(∼ ϕ) =∼ α(ϕ),pois os sımbolos proposicionais de φ e ∼ ϕ sao os mesmos. Tem-se, para ϕem E :|=I α(∼ ϕ)[υ] sse |=I α(ϕ)[υ] sse 6|= Iα(ϕ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) 6= 1 sseυα(ϕ)(∼ ϕ) = 1. E ∼ ϕ ∈ E com se pretendia concluir.

3. ) Se ϕ, φ ∈ E , entao ϕ⇒ φ ∈ E .Tambem e praticamente imediato que α(ϕ ⇒ ϕ) = α(ϕ) ⇒ α(ϕ). Convemainda observar que υα(ϕ)⇒α(φ)(ϕ) = υα(ϕ)(ϕ) e que υα(ϕ)⇒α(φ)(φ), pois as valuacoesem causa coincidem nos sımbolos proposicionais das fpbfs a serem avaliadas.Tem-se entao, para φ, ϕ ∈ E : |=I α(ϕ ⇒ φ)[υ] sse |=I (α(ϕ) ⇒ α(φ))[υ] sse6|=I α(ϕ)[υ] ou |=I α(φ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) 6= 1 ou υα(φ)(φ) = 1 sse υα(ϕ)⇒α(φ)(ϕ) 6=1 ou υα(ϕ)⇒α(φ)(φ) = 1 sse υα(ϕ)⇒α(φ)

(ϕ⇒ φ) = 1 sse υα(ϕ⇒φ)(ϕ⇒ φ) = 1. Ouseja ϕ⇒ φinE. Segue-se que E = T .

q.e.d.

Um outro aspecto da validade de fbfs que interessa ter em conta e o seguinte.

Teorema 2.3.15 Para qualquer fbf α em L , qualquer variavel x e qualquer inter-pretacao I, |=I α sse |=I ∀xα .

A demonstracao faz-se muito simplesmente utilizando 2.3.7. Uma aplicacao iteradadeste teorema prova o

Corolario 2.3.16 Para qualquer fbf α em L , quaisquer variaveis xi, 1 ≤ i ≤ m,e qualquer interpretcao I, |=I α sse |=I ∀x1...∀xnα . Em particular |= α sse |=∀x1...∀xmα .

Observe-se ainda que

Teorema 2.3.17 Para quaisquer fbfs α e β em L , e qualquer interpretacao I , se|=I α e |=I α⇒ β, entao |=I β .

Em particular

Corolario 2.3.18 Para quaisquer fbfs α e β em L , se |= α e |= α⇒ β ,entao |= β.

2.4 Exercıcios

1. Sejam α(xi) uma fbf onde a variavel xi ocorre livre e xj uma variavel que naoocorre livre em α(xi). Seja α(xj) a fbf que resulta de substituir em α(xj) todasas ocorrencias livres de xi por xj . Mostre que se xj e livre para xi em α(xi)tambem xi e livre para xj em α(xj).

2. O quantificador existencial e os conectivos ∨,∧ ⇔

(a) Mostre que para quaisquer fbf α , interpretacao I , valuacao υ e variavelx, |=I ∃xα[υ] sse |=I α[υ(x|a)] para algum a ∈ I(∀).

(b) Mostre que para quaisquer fbfs α, β, interpretacao I e valuacao υ se tem

i. |=I (α ∧ β)[υ] sse |= α[υ] e |=I β[υ]

ii. |=I (α ∨ β)[υ] sse |= α[υ] ou |=I β[υ]

iii. |= (α⇔ β)[υ] sse |=I (α⇒ β)[υ] e |=I (β ⇒ α)[υ]

3. Implicacao logica

Diz-se que o conjunto de fbfs Γ implica logicamente a fbf α quando para qual-quer interpretacao I e qualquer valuacao υ , se |=I γ[υ] para qualquer fbfγ ∈ Γ , entao |= α[υ]; Γ |= α abrevia ”Γ implica logicamente α ”; α |= βabrevia ”α |= β ”.

53

(a) Mostre que Γ ∪ α |= β sse Γ |= α⇒ β

(b) Mostre que ∀x(α⇒ β),∀xα |= β

(c) Mostre que, se x nao ocorre livre em α , entao α |= ∀xα (compare com oexemplo 2.3.14.)

4. Mostre que nenhuma das seguintes proposicoes implica logicamente a outra:

α = ∀x∃yP (x, y) ⇒ ∃y∀xP (x, y), β = ∀x∀y∀z(P (x, y) ⇒ P (y, z) ⇒ P (x, z))

5. Seja L uma linguagem cujos unicos parametros, alem de ∀ , sao dois sımbolospredicativos binarios, E e P. Determine uma interpretacao I e uma proposicaoπ tais que

(a) |=I π sse I (P) e uma funcao de I(∀) em I(∀)(b) |=I π sse I (P) e uma permutacao de I(∀)

2.5 Calculo de predicados; Teorema de Deducao

Continuando a formalizar os processos basicos de deducao em matematica vamosestabelecer um sistema formal para a logica de predicados cujos teoremas serao asfbfs logicamente validas.

Fixando notacao: uma fbf α pode ser tambem notada α(x1, ..., xn) se pretendemosevidenciar que algumas das variaveis livres da formula α estao entre x1, ..., xn− nadaimpede α(x1, ..., xn) = α(x1, ..., xm) com m 6= n - o numero de variaveis explicitadasdepende de quais pretendemos considerar; se ϕ nota um termo ou uma fbf, ϕx

t notaa expressao que se obtem de ϕ substituindo todas as ocorrencias (livres, no caso deϕ ser uma fbf) da variavel x pelo termo t.

Definicao 2.5.1 Para cada linguagem L com conjunto de fbfs F , o sistema formalF(L) consiste no seguinte: para α e β fbfs arbitrarias de L , O conjunto de ax-iomas dado pelos esquemas

(F(L)1) Todas as realizacoes de tautologias em L

(F(L)2)∀xα(x) ⇒ αxt , se o termo t e livre para a variavel α

(F(L)3)∀x(α⇒ β) ⇒ (α⇒ ∀xβ), se a variavel x nao ocorre livre em α

As regras de inferencia

(MP) Modus ponens: de α⇒ β e α conclui-se β(GEN) Generalizacao : de α conclui-se ∀xα , para qualquer variavel x

De ora em diante suporemos fixada uma linguagem de primeira ordem L .

Tal como para o Calculo Proposicional, segue-se a definicao de deducao.

Definicao 2.5.2 Seja Γ um conjunto de fbfs. Diz-se que a sequencia de fbfs α1, ..., αn

e uma deducao a partir de Γ (em F ( L )) se, para cada i (1 ≤ i ≤ n) uma dascondicoes seguintes se verifica

1. αi e um axioma de F(L)

2. αi ∈ Γ

3. α obtem-se de duas fbfs αj, αk(1 ≤ j, k ≤ i) por aplicacao de modus ponens.

4. αi obtem-se de alguma fbf anterior por generalizacao, i. e., αi = ∀xαj, paraalgum j < i.

Nestas condicoes diz-se que αn dedutıvel deΓ (em F(L)), αn e consequencia de Γ(em F(L)) ou que Γ prova αn, sendo n o comprimento da deducao. Se a fpbf ededutıvel de Γ escreve-se Γ `F(L) α. Aos elementos de Γ chamam-se hipoteses.Os teoremas de F(L) sao as fbfs dedutıveis de ∅ e nota-se `F(L) α se α e umteorema.

Os axiomas sao os teoremas de F(L) de mais curta deducao e, em particular, todasas realizacoes de tautologias sao teoremas de F(L).

A caminho do teorema de completude temos

Teorema 2.5.3 As instancias dos axiomas (F(L)2), (F(L)3) e (F(L)4) sao logi-camente validas.

Vamos utilizar os seguintes lemas, que provaremos mais tarde.

Lema 2.5.4 Para quaisquer valuacao υ , termo ϕ , variavel x e termo t, υ(ϕxt ) =

υ(x|υ(t))(ϕ).

55

Lema 2.5.5 Se o termo t e livre para a variavel x na fbf α, entao para qualquervaluacao υ numa interpretacao I

|=I αxt [υ] sse |=I α[υ(x|υ(t))]

Dem. (de 2.5.3) Para o estudo de (F(L)2) veja-se o exemplo 2.3.14.

Quanto a (F(L)4) tem-se, para quaisquer fbfs α, β , tais que x nao ocorre livre emα , qualquer interpretacao I e qualquer valuacao υ ,

|=I ∀x(α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ xβ)[υ] sse 6|=I x(α ⇒ β)[υ] ou |=I (α ⇒ ∀xβ)[υ] ssepara algum a ∈ I(∀) 6|=I α ⇒ β[υ(x|a)] ou |=I (α ⇒ xβ)[υ] sse para alguma ∈ I(∀) |= α[υ(x|a)] e 6|=I β[υ(x|a)], ou |=I (α⇒ xβ)[υ]

Como x nao ocorre livre em α , pelo teorema 2.3.7 a ultima situacao acontece

sse |= α[υ] e 6|= xβ[υ], ou |= (α⇒ ∀xβ)[υ]sse 6|= (α⇒ xβ)[υ] ou |=I (α⇒ xβ)[υ]Ora a ultima condicao e sempre verificada. Portanto

|= ∀x(α⇒ β) ⇒ (α⇒ ∀xβ)

como se pretendia demonstrar.

Para as instancias de (F(L)3) utilizaremos 2.5.5.

Para quaisquer interpretacao I e valuacao υ tem-se |=I (∀xαxt (x) ⇒ α)[υ] sse 6|=I

∀xα(x)[υ] ou |=I αxt [υ] ou, de outro modo, sse (2.5.1)

|=I αxt [υ] quando |= ∀xα(x)[υ];

ora, por definicao,|= ∀xα(x)[υ] sse |=I α(x)[υ(x|a)] para qualquer a ∈ I(∀), emparticular, se |= ∀xα(x)[υ] entao, por 2.5.5, |=I α(x)[υ(x|υ(t))] ou seja |=I α

xt [υ];

em suma (2.5.1) verifica-se, como pretendiamos mostrar. q.e.d.

Demonstramos agora os lemas 2.5.4 e 2.5.5.

Dem. Tomem-se arbitrariamente as interpretacao I , valuacao υ, variavel x, termot e fbf α .

(Dem. de 2.5.4) Seja E = ϕ ∈ T : υ(ϕxt ) = υ(x|υ(t))(ϕ).

1. As variaveis estao em E .

Se ϕ e a variavel y, tem-se

ϕxt = yx

t =

y se y 6= x

t se y = x

Assim, se y 6= x, υ(ϕxt ) = υ(y) = υ(x|υ(t))(y) = υ(x|υ(t))(ϕ) pois υ(x|υ(t))

coincide com υ em todas as variaveis que nao sao x. Se y=x, υ(ϕxt ) = υ(t) =

υ(x|υ(t))(x) = υ(x|υ(t))(y) = υ(x|υ(t))(ϕ).

E 1 fiva provado.

2. Se ϕ1, ..., ϕn ∈ E e f e um sımbolo funcional (n-ario), f( ϕ1, ..., ϕn) ∈ E .

Tem-se f(ϕ1, ..., ϕn)xt = f((ϕ1)

xt , ..., (ϕn)x

t ) e portanto υ(f(ϕ1, ..., ϕn)xt ) =

I(f)(υ((ϕ1)xt ), ..., υ((ϕn)x

t ))= I(f)(υ(x|υ(t))(ϕ1), ..., υ(x|υ(t))(ϕn))= υ(x|υ(t))(f(ϕ1, ..., ϕn))Portanto 2 fica provado

Pelo Princıpio de Inducao em Termos E = T e 2.5.4 esta demonstrado.

(Dem. de 2.5.5) Seja E o conjunto das fbfs α para as quais

|=I αxt [υ] sse |=I α[υ(x|υ(t))]

quando t e livre para x em α.

No que segue t e livre para x nas fbfs adequadas.

1. E contem as formulas atomicas. Sejam t1 termos (1 ≤ i ≤ n) e P um sımbolopredicativo (n-ario).

Tem-se, para terminar a prova de 1a ,|=I P (t1, ..., tn)xt [υ] sse |=I P ((t1)

xt , ..., (tn)x

t )[υ]

sse (υ((t1)xt ), ..., υ((t1)

xt )) ∈ I (P) (por definicao)

sse (υ(x|υ(t))(t1), ..., υ(x|υ(t))(tn)) ∈ I (P) (por 2.5.4)sse |= P (t1, ..., tn) [υ(x|υ(t))] (por definicao)

57

2. Se α ∈ E tambem ∼ α ∈ E .

A demonstracao ainda e mais simples que a anterior e deixamo-la ao cuidadodo leitor.

3. Se α ∈ E e y e uma variavel, entao ∀yα ∈ E .

(a) y=x

|=I (∀yα)xt [υ] sse |=I (∀xα)x

t [υ] sse |=I ∀xα[υ]

Como υ e υ(x|υ(t)) coincidem nas variaveis livres de ∀xα, vem |=I ∀xα[υ]sse |=I ∀xα[υ(x|υ(t))] e neste caso vale 3.

(b) y 6= x

|=I (∀yα)xt [υ] sse |=I ∀y(αx

t )[υ]sse |=I α

xt [υ(y|a)] para qualquer a ∈ I(∀) (por definicao)

sse |=I α[υ(y|a)(x|υ(t))] para qualquer a ∈ I(∀)(a ∈ E)sse |=I α[υ(x|υ(t))(y|a)] para qualquer a∈ I(∀)sse |=I (∀α)[υ(x|υ(t))].

e continua a valer 3 .

(c) Se α, β ∈ E , entao α⇒ β ∈ EComecemos por observar que (α⇒ β)x

t = αxt ⇒ βx

t . Tem-se entao

|=I (α⇒ β)xt [υ] sse |=I (αx

t ⇒ βxt )[υ]

sse 6|=I αxt [υ]ou |= βx

t [υ] (por definicao)sse 6|=I α[υ(x|υ(t))] ou |=I β[υ(x|υ(t))] (α, β ∈ E)sse |=I α⇒ β[υ(x|υ(t))] (por definicao)

4 verifica-se e 2.3.5 resulta do Princıpio de Inducao em Formulas.q.e.d.

O corolario 2.3.18. diz que a a regra MP preserva a validade logica. O corolario2.3.16 implica que a regra GEN preserva a validade logica. Segue-se entao umresultado facilmente demonstravel por inducao no comprimento das demon-stracoes.

Teorema 2.5.6 (De Boa Fundamentacao) Os teoremas de F(L) sao logicamentevalidos.

Uma consequencia imediata e

Corolario 2.5.7 Para qualquer fbf α, α e ∼ α nao podem ser simulta neamenteteoremas de F(L).

Ou seja F(L) e consistente; mas voltaremos a este assunto mais adiante.

regra GEN introduz uma restricao no Teorema de Deducao para F(L).

Teorema 2.5.8 (De Deducao)

Sejam α e β fbfs e Γ um conjunto de fbfs. Se Γ∪α `F(L β com uma demonstracaoque nao utiliza GEN em alguma variavel livre em α, entao Γ `F(L) α⇒ β .

Os exemplos seguintes mostram que a hipotese suplementar sobre GEN e necessaria.

Exemplos 2.5.9 1. Sejam P um sımbolo predicativo binario, x uma variavel e cuma constante. Uma aplicacao de GEN mostra que P (x, c) `F(L) ∀xP (x, c).Vamos ver que 6|= P (x, c) ⇒ ∀P (x, c) e portanto, de acordo com o teoremade boa fundamentacao, P (x, c) ⇒ ∀xP (x, c) nao e um teorema de F(L ).Basta Definir I do seguinte modo: I(∀) = 1, 2, I(c) = 1, I(P ) = (2, 1).Se υ (x)=2 vem |= P (x, c)[υ], mas 6|= ∀xP (x, c)[υ] pois de facto P(x,c) so esatisfeita pelas valuacoes υ que verificam υ (x)=2.

2. Sejam P um sımbolo predicativo binario e x1 e xn variaveis. Uma aplicacaode GEN mostra que P (x1, x2) `F(L) ∀x1P (x1, x2).

Vamos ver que 6|= P (x1, x2) ⇒ ∀x1P (x1, x2). Basta Definir I do seguintemodo: I(∀) = 1, 2, I(P ) = (2, 1), (1, 1), (1, 2). Se υ(x2) = 1, entao |=I∀x1P (x1, x2)[υ] e portanto |=I P (x1, x2) ⇒ ∀x1P (x1, x2)[υ]; mas se υ(x1) = 1e υ(x2) = 2, entao 6|=I P (x1, x2)[υ] e |=I1 P (x1, x2)[υ] e assim 6|=I P (x1, x2) ⇒∀x1P (x1, x2)[υ].

Dem. (teorema 2.5.8) Utilizaremos inducao no comprimento n das deducoesde β a partir de Γ ∪ α. Suponha-se entao que Γ ∪ α `F(L) β com umadeducao de comprimento n.

Se n=1, ou β e um axioma ou β ∈ Γ ou β = α . Nos dois primeiros casosa sequencia β, β ⇒ α ⇒ β, α ⇒ β e uma deducao de α ⇒ β a partir de Γ−note-se que β ⇒ α ⇒ β e uma realizacao de tautologia − consequentementeΓ `F(L) α⇒ β. No terceiro caso α⇒ β = α⇒ α e a realizacao de tautologiaα⇒ α e um axioma, logo um teorema de F(L), portanto Γ `F(L) α⇒ β .

Admita-se, como hipotese de inducao, que a assercao do teorema vale paraquaisquer α e β quando as deducoes tem comprimento menor ou igual a n.Suponha-se que α1, ..., αn+1 e uma deducao de β a partir de Γ∪α− e portantoβ = αn+1 .

Se β nao se concluiu por GEN podemos utilizar a demonstracao do teoremade deducao da logica proposicional para concluir Γ `F(L) α⇒ β.

Se β se concluiu por GEN, por hipotese − do proprio teorema− existe umi ≤ n e uma variavel x que nao ocorre livre em α tal que β = ∀xαi . Porhipotese de inducao Γ `F(L) α ⇒ αi . Temos entao a seguinte deducao apartir de Γ

59

(a) α⇒ αi (Γ `F(L(b) ∀x(α⇒ α) (GEN em x que nao ocorre livre em α)(c) ∀x(α⇒ αi) ⇒ (α⇒ ∀xαi) (F(L)4)(d) α⇒ ∀xαi (MP 2 & 3)

Observando que a ultima fbf da deducao e precisamente α ⇒ β e aplicando oPrincıpio de Inducao matematica concluimos a demonstracao do Teorema de Deducao.q.e.d.

E claro que sem restricoes ao uso de GEN

Teorema 2.5.10 Para quaisquer fbfs α e β e conjunto de formulas Γ, se Γ `F(L)

α⇒ β , entao Γ ∪ α `F(L) β .

Um caso bastante mais importante e descrito no seguinte corolario do Teorema deDeducao.

Corolario 2.5.11 Quando α e uma proposicao, β e uma fbf qualquer e Γ e umconjunto de formulas, se Γ ∪ α `F(L) β entao Γ `F(L) α⇒ β .

Dem. Mesmo que se utilize GEN em alguma deducao de β a partir deΓ ∪ α,sera sempre sobre variaveis que nao ocorrem livres em α , pois todas as variaveisem α ocorrem mudas. q.e.d.

2.6 Exercıcios

No que segue, letras gregas minusculas α, β, γ, etc. designam fbfs de uma linguagemL ; as ultimas letras do alfabeto latino x, y, z, designam variaveis, nao necessaria-mente distintas, de L ; t designa um termo de L ; letras maiusculas P ou Q designamsımbolos proposicionais de adequada n-aridade.

1. Mostre que

(a) `F(L) ∀xα⇒ α

(b) `F(L) ∀x(α⇒ β) ⇒ (∀xα⇒ ∀xβ )

(c) 6`F(L) (∀xα⇒ x∀β) ⇒ x(∀α⇒ β)

(d) `F(L) α(t) ⇒ ∃xα(x) se t e livre para x em α

(e) `F(L) ∀xα⇒ ∃xα

2. Mostre que

(a) `F(L) α⇔ β sse `F(L) α⇒ β e `F(L β ⇒ α

(b) Se `F(L) α⇒ β e `F(L) β ⇒ γ , entao `F(L) α⇒ γ

(c) Se x ocorre livre em α e y nao ocorre em α , entao `F(L) Qxα(x) ⇔Qyα(y), onde Q designa ∀ ou ∃ .

3. Suponha que x nao ocorre livre em α. Mostre que

(a) `F(L) (α⇒ ∃xβ) ⇔ ∃x(α⇒ β)

(b) `F(L) (∀xβ ⇒ α) ⇔ ∃x(β ⇒ α)

4. Mostre que ∀x∀yP (x, y) `F(L) ∀x∀yP (y, x)

5. Mostre que

(a) `F(L) ∃x(α ∨ β) ⇔ (∃xα ∨ ∃xβ)

(b) `F(L) (∀xα ∨ forallxβ) ⇒ ∀x(α ∨ β)

(c) `F(L) ∃x(α ∧ β) ⇒ (∃xα ∧ ∃xβ)

(d) `F(L) ∀x(α⇒ β) ⇒ (∃xα⇒ ∃xβ)

(e) `F(L) ∃x(P (y) ∧Q(x)) ⇔ P (y) ∧ ∃xQ(x).

6. Mostre que as implicacoes se nao podem inverter nas alıneas (b), (c) e (d) doexercıcio anterior.

2.7 Um Teorema de Completude

Esta seccao e dedicada a terminar a demonstracao do seguinte

Teorema 2.7.1 (de Completude) Seja Luma linguagem de primeira ordem. Paraqualquer fbf α de L, |= α sse `F(L) α.

Repare-se que o Teorema de Boa Fundamentacao 2.5.6 ja afirma que se `F(L) αentao |= α, pelo que so resta demonstrar a assercao recıproca.

Tal como para o Calculo Proposicional, vamos utilizar a nocao de extensao de sis-temas formais. No caso presente interessam-nos apenas as extensoes em que even-tualmente se modificam os axiomas mas se mantem as regras de inferencia.

Continuamos a supor fixada arbitrariamente uma linguagem de primeira ordem Lcujas formulas bem formadas serao designadas abreviadamente por fbf.

Um sistema formal para a Logica de predicados consiste num conjunto de formulasde L, designadas por axiomas, e pelas regras de inferencia MP e GEN. Em qualquersistema formal ha deducoes e teoremas.

61

Definicao 2.7.2 Seja Γ um conjunto de fbfs. Diz-se que a sequencia de fbfs α1, ..., αn

e uma deducao a partir de Γ no sistema formal G(L) se, para cada i (≤ i ≤ n)uma das condicoes seguintes se verifica

1. αi e um axioma de G(L)

2. αi ∈ Γ

3. α obtem-se de duas fbfs αj, αk(1 ≤ j, k < i) por aplicacao de modus ponens.

4. αi obtem-se de alguma fbf anterior por generalizacao, i. e., αi = ∀xαj , paraalgum j < i.

Nestas condicoes diz-se que α e dedutıvel de Γ em S(L), αn e consequencia de Γ(em S(L)) ou que Γ prova αn , sendo n o comprimento da deducao. Se a fpbf ededutıvel de Γ escreve-seΓ `G(L) α . Aos elementos de Γ chamam-se hipoteses. Osteoremas de G(L) sao as fbfs dedutıveis de ∅ e nota-se `G(L) α se α e um teorema.O conjunto dos teoremas de G(L) designa-se por Teo (G(L)).

Alguns sistemas formais sao comparaveis

Definicao 2.7.3 O sistema formal G ′(L) diz-se uma extensao de G(L) se Teo(G(L)) ⊆ Teo (G ′(L )).

De ora em diante designaremos por sistema ou sistema de primeira ordemqualquer sistema formal que seja extensao de F(L).

Tambem neste contexto interessa avaliar a consistencia dos sistemas

Definicao 2.7.4 Um sistema G(L) diz-se consistente se para nenhuma fbf αsetem simultaneamente `G(L) α e `G(L)∼ α

O teorema de Boa Fundamentacao permite concluir

Teorema 2.7.5 F(L) e consistente

A expressao S(L);α designa o sistema que se obtem de G(L) adicionando a fbf αao conjunto de axiomas.

Teorema 2.7.6 Sejam G(L) um sistema e π uma proposicao de L. Se G(L) econsistente e 6`(L) π, entao G(L);∼ π e consistente.

Este teorema estabelece de facto o metodo de reducao ao absurdo , pois temtambem a seguinte formulacao.

Teorema 2.7.6.1 Sejam G(L) um sistema e π uma proposicao de L. Se G(L);∼ πe inconsistente entao `G(L) π .

E esta a versao que vamos demonstrar.

Dem. Suponha-se que G(L);∼ π e inconsistente e seja α uma fbf tal que `G(L);∼π αe `G(L);∼π∼ α

∼ π `G(L) α e ∼ π `G(L)∼ α

Como π por hipotese nao tem variaveis livres, o Teorema de Deducao permite con-cluir

`G(L)∼ π ⇒ α e `G(L)∼ π ⇒∼ α

Existe assim uma deducao em G(L) com a seguinte forma abreviada − recorde-seque G(L) e extensao de F(L)−

1. ∼ π ⇒ α (`G(L))

2. ∼ π ⇒ α (`G(L))

3. (∼ π ⇒ α) ⇒ (∼ π ⇒ α) ⇒ π (F(L)1)

4. π (MP1&2&3)

Portanto `G(L) π . q.e.d.

Exemplos 2.7.7

1. Sem a hipotese de π ser uma proposicao o teorema nao vale, como se pode vercom o seguinte exemplo: Seja α = P (x) ⇒ ∀xP (x), para algum sımbolo pred-icativo P; 6`F(L) α pois 6|= α (Teorema de Boa Fundamentacao); por outro lado∼ α = P (x)∧ ∼ ∀xP (x), portanto ∼ α `F(L) P (x) e ∼ α `F(L)∼ ∀xP (x) (peloexercıcio 1.8.1). De ∼ α `F(L) P (x) obtem-se ∼ α `F(L) xP (x) utilizandoGEN, consequentemente `F(L);∼α ∀xP (x) e `F(L);∼α∼ ∀xP (x).F(L);∼ α einconsistente e 6`F(L) α.

2. Deixa-se ao cuidado do leitor mostrar que `G(F) ∃x(P (x) ⇒ ∀xP (x)).

As proposicoes interessam-nos particularmente.

63

Definicao 2.7.8 Um sistema G(L) diz-se completo se para qualquer proposicaoπ de L se tem `G(L) π ou `G(L)∼ π.

Tal como em 1.7.7 tambem se tem

Teorema 2.7.9 Todo o sistema consistente tem uma extensao consistente e com-pleta.

Dem. O conjunto das proposicoes e numeravel, pelo que podemos supo-las enu-meradas em π0, π1, ..., πn, ... Analogamente ao que fizemos em 1.7.7 definimos, comnotacao adaptada naturalmente

G(L)0 = F(L)

G(L)n+1 =

G(L)n se `G(L)n πn

(n ∈ N)G(L)n;∼ πn se 6`G(L)n πn

G(L)∞ = ∪∞n=0G(L)n

Todos os G(L)n sao consistentes (pelo Teorema 2.7.6). Uma prova de inconsistenciade G(L)∞, i.e., uma deducao de α e outra de ∼ α para alguma fbf α, prova de facto ainconsistencia de algum G(L)n . Consequentemente G(L)∞ e consistente. Por con-strucao, qualquer proposicao π e uma das πne ou ja era um teorema de algum dos sis-temas − logo de G(L)∞− ou ∼ π foi adicionada ao conjunto de axiomas − e passou aser um teorema. Conclui-se que G(L)∞ e completo. q.e.d.

Os proximos teoremas tambem descrevem varios aspectos de um processo usual dedemonstracao em Matematica: a generalizacao de um resultado obtido para umaconstante arbitraria ; para a sua demonstracao vamos utilizar a seguinte notacao:para cada fbf φ, cada constante c e cada variavel x, φc

x designa a fbf que se obtem deφ substituindo cada ocorrencia de c em φ por x. Recorde-se que, para uma variavelx e um termo t, φx

t e a fbf que resulta de φ substituindo as ocorrencias livres de xem φ por t. Finalmente observe-se que, se t e um termo que nao ocorre na fbf φ ,entao φt

s = φ , seja qual for o termo s.

Teorema 2.7.10 (de Generalizacao em Constantes) Sejam Γ um conjunto de fbfs,φ uma fbf e c uma constante que nao ocorre em Γ. Se Γ `F(L) ϕ, existe uma variavelx, que nao ocorre em ϕ, tal que Γ `F(L) ∀xϕc

x. Alem disso, existe uma deducao de∀xϕc

x a partir de Γ onde c nao ocorre.

Dem. Sejam α1, ..., αn uma deducao de ϕ a partir de Γ e x uma variavel que naoocorre em qualquer das αi . Vamos ver que (*)

(αcx), ..., (α

cx) e uma deducao de φc

x a partir de Γ.

Repare-se que αn = φ , portanto x nao ocorre em φ . Por definicao de deducao, cadaαi verifica uma de quatro hipoteses a saber

1. αi e um axioma de F(L)

2. αi ∈ Γ

3. αi obtem-se de αj e αi por MP, com 1 ≤ j, k < i

4. αi = ∀yαj , com 1 ≤ j < i e y uma variavel diferente de x.

No caso 1) (αi)cx e tambem um axioma, como se pode verificar caso a caso. No caso

2) (αi)cx = αi pois, por hipotese, c nao ocorre em Γ . No caso 3), se, por exemplo,

αk = αj ⇒ αi tambem (αk)cx = (αj)

cx ⇒ (αi)

cx e (αi)

cx resulta de fbfs anteriores (αk)

cx

e (αj)cx por MP.

Finalmente, no caso 4) (αi)cx = ∀y(αk)

cx pois y 6= x. Fica provado (*). q.e.d.

Corolario 2.7.11 Se Γ `F(L) φxc , sendo x uma variavel e c uma constante que nao

ocorre em Γ nem em φ , entao Γ `F(L) ∀xφ

Dem. Recorde-se que φxc se obtem substituindo ocorrencias livres de x em φ . De

acordo com o teorema anterior, existe uma variavel y que nao ocorre em φ e umadeducao de (φx

c )cy tal que ∀y(φx

c )cy se deduz a partir de Γ sem ocorrencias de c. Ora,

como c nao ocorre em φ

(2.7.1) (φcy)

cy = φx

y Acontece tambem que

(2.7.2) x e livre para y em φcy e que

(2.7.3) (φxy)

yx = φ

portanto ∀yφxy ⇒ φ e uma instancia do esquema (F(L)3). Segue-se que Γ `F(L) φ e

daı que Γ `F(L) ∀xφ. q.e.d.

Exercıcios 2.7.12

1. Demonstre que nas condicoes do teorema anterior se verificam (2.7.i) comi=1,2,3.

65

2. Demonstre que se a constante c nao ocorre em ϕ, ψou Γ e Γ;ϕxc `F(L) ψ ,

entao Γ;∃xϕ `F(L) ψ com uma deducao sem ocorrencias de c.

Observacao 2.7.13 Uma das consequencias do teorema 2.7.11 e a seguinte: seG(L) for um sistema consistente e ampliarmos L com constantes b0, b1,... constru-indo uma linguagem L+ com novas fbfs, o novo sistema formal G(L+) e tambemconsistente pois, caso contrario, uma aplicacao iterada do teorema transformariauma prova da inconsistencia de G(L+ ) numa prova de inconsistencia de S(L), porremocao de todas as constantes bi que eventualmente ocorressem.

O resultado do qual vamos concluir o Teorema de Completude 2.7.1 e a seguinteanalogia com 1.7.9.

Teorema 2.7.14 Para qualquer sistema consistente G(L ) existe uma interpre-tracao na qual todos os teoremas de G(L) sao validos.

Vamos ja apresentar uma demonstracao de 2.7.1 na qual utilizaremos o seguinte

Exercıcio 2.7.15 Mostre que para qualquer fbf α cujas variaveis livres sao y1, ..., yn

se tem `F(L) α sse `F(L) ∀y1...∀ynα, ou seja α e um teorema de F(L) sse o fechouniversal de α e um teorema de F(L).

Fim da demonstracao do Teorema de Completude 2.7.1.

Admita-se como demonstrado o teorema 2.7.14.

Suponha-se |= α ; entao tambem e logicamente valido o fecho universal α′ de α(2.3.16).

Se 6`F(L) α , pelo exercıcio anterior 6`F(L) α′ e, por 2.7.5 e 2.7.6, F(L);∼ α′ e

consistente, pelo teorema 2.7.14, existe uma interpretacao I de L onde sao validostodos os teoremas de F(L);∼ α′, em particular |=I∼ α′, o que contradiz |= α′.Concluimos que `F(L) α. q.e.d.

Demonstracao de 2.7.14.

Seguiremos o seguinte esquema:

1. L e prolongada a uma linguagem L+ pela adicao de novas constantes bi(i ∈ N)gerando-se um sistema consistente G(L+) tal que Teo(G(L)) ⊆ Teo (S(L+)).

2. G(L+) e prolongado a um sistema consistente G∞(L+) pela adicao de certasfbfs de L+ onde ocorrem constantes, chamadas testemunhas , escolhidas deentre as bi .

3. L e interpretada no conjunto dos seus termos e, como L ⊆ L+ , tambem L einterpretada.

4. Na interpretacao referida em 3o todos os teoremas de G(L) sao validos.

Passemos entao ao cumprimento do plano.

1. Seja L+ a linguagem que se obtem adicionando a L novas constantes b1, b1,...e, consequentemente, os novos termos e novas fbfs que as incluem. O sistemaformal resultante S(L+) e uma extensao de G(L) e, tal como se viu em 2.7.13,e consistente pois de facto Teo (G(L)) ⊆ Teo (G(L+)).

2. Seja

ϕ0(xi0), ϕ1(xi1), ..., ϕn(xin), ...

uma enumeracao de todas as fbfs de L+ com uma unica variavel livre xin (asvariaveis xin nao sao necessariamente distintas). Defina:

n0 = primeiro n ∈ N tal que bn nao ocorre em ϕ0(xi0)

c0 = bn0

np+1 = primeiro numero natural n > np tal que

(a) bn 6∈ c1, ..., cp(b) bn nao ocorre em Φj(xij) , para 0 ≤ j ≤ p+ 1

cp+1 = bnp+1

Fica assim definida uma sequencia de constantes cn(n ∈ N) a custa da qual passamosa definir uma sequencia de fbfs

Φn =∼ ∀xinϕn(xin) ⇒∼ ϕn(cn) (n ∈ N)

Cada constante cn e assim utilizada como testemunha da ”afirmacao”∼ ∀xinϕn(xin).

Finalmente defina-se

G0(L+) = G(L+)

67

Gn+1(L+) = Gn(L+); Φn(n ∈ N)

G∞(L+) = ∪∞n=0Gn(L+)

G∞(L+) sera consistente se cada Gn(L+) o for, pois uma demonstracao da incon-sistencia de G(L+), envolvendo apenas um numero finito de formulas Φn seria defacto uma prova da inconsistencia de algum dos sistemas Gn(L+). Vamos ver quetodos os Gn(L+) sao consistentes.

Ja vimos que G0(L+) e consistente. Vamos mostrar que seGn(L+) e consistentetambem Gn+1(L+) e provando que se Gn+1(L+) nao e consistente, entao Gn(L+)tambem nao e.

Suponha-se entao que Gn+1(L+) nao e consistente, ou seja Gn(L+); Φn nao e consis-tente

Como `F(L)∼∼ Φn ⇒ Φn(Gn(L+)1)− os Gn(L+) sao extensoes de F(L)−Gn(L+);∼∼Φn nao e consistente e consistente e, por 2.7.6 com Γ = axiomasdeGn(L+),(2.7.4)`Gn(L+)∼ Φn

Ora por (Gn(L+)1),

`Gn(L+)∼ (∼ ∀xinϕn(xin) ⇒∼ ϕ(cn)) ⇒∼ ∀xinϕn(xin) ∧ ϕn(cn)

ou seja

`Gn(L+)∼ Φn ⇒∼ ∀xinϕn(xin) ∧ ϕn(cn)

seguindo-se de (2.7.4) e do exercıcio 1.8.1 que (2.7.5)

`Gn(L+)∼ ∀xinϕn(xin)

e tambem (2.7.6)

`Gn(L+) ϕn(cn)

Pelo Teorema 2.7.11, conclui-se de 2.7.6 que

`G(L) ∀xinϕn(xin) de onde resulta com (2.7.5) a inconsistencia de Gn(L+), como sepretendia.

Pelo Princıpio de Inducao Matematica, todos os Gn(L+) sao consistentes.

Para terminarmos o 20 passo resta concluir que G∞(L+) e consistente. Para tal bastaobservar que uma prova de inconsistencia de G∞(L+) usa um numero finito de fbfse portanto e uma prova da inconsistencia de algum Gn(L+), o que acabou de se verque nao pode existir.

30) Pelo teorema 2.7.9 podemos tomar uma extensao consistente e completa deG∞(L+) que designaremos por I(L+). Defina-se uma interpretacao I de L+ por

1. I(∀) e o conjunto de todos os termos fechados − i.e., sem variaveis − de L+ .

2. I(c) = c, para qualquer constante c de L+ .

3. Para cada sımbolo funcional n-ario f de L+, I(f) e a funcao que a cadasequencia (t1, ..., tn) ∈ I(∀)n faz corresponder precisamente f(t1, ..., tn). Note-se que sendo os ti termos fechados tambem f(t1, ..., tn) e um termo fechadodonde, em particular, I(f) : I(∀)n → I(∀).

4. Para cada sımbolo predicativo n-ario P de L+, I(P ) e a relacao n-aria em I(∀)definida por

(t1, ..., tn) ∈ I(P ) sse `I(L+) P (t1, ..., tn)

Repare-se que, como (I(L+) e completo e consistente, para quaisquer P e ti , ou`I(L+) P (t1, ..., tn) ou `I(L+)∼ P (t1, ..., tn) e nunca as duas, pelo que

(t1, ..., tn) ∈ I(P ) se `I(L+) P (t1, ..., tn)

(2.7.7) e (t1, ..., tn) 6∈ I(P ) se `I(L+)∼ P (t1, ..., tn)

40 Demonstraremos o seguinte

Lema Se π e uma proposicao de L+ , `I(L+) π sse |=I π do qual resulta que se Ifor a restricao de I a L todos os teoremas de G(L) sao validos em I , como se podever do seguinte modo:

Como L ⊆ L+ , todas as fbfs de L+ sao fbfs de L+ ; como I(L+) e extensao deG(L+) que e extensao de G(L), os teoremas de G(L) tambem sao teoremas de G(L+),i.e., se α e uma fbf de L e `G(L) α tambem `G(L+) α , logo `G(L+) α para o fechouniversal α de α e, pelo lema, |=G α ou |=G α, pois α e uma fbf de L ; mas entao,por 2.3.16,|=L α, como se pretendia.

Resta provar o lema. O que faremos por inducao no numero Nπ de conectivos equantificadores.

Caso Nπ = 0: neste caso π = P (t1, ..., tn), para algum sımbolo predicativo e algunstermos sem variaveis ti ; por definicao de I tem-se, por d em 30,

69

`G(L+)π sse `G(L+) P (t1, ..., tn) sse (t− 1, ..., tn) ∈ I(P )

Ora acontece que, para qualquer valuacao υ em I , e qualquer termo fechado t

υ(t) = t

− o que pode ser provado por inducao em termos− seguindo-se `IL+ π sse (υ(t1), ..., υ(tn)) ∈I(P ) sse |=I π[υ] sse |=I π pois π e uma proposicao. E o lema vale se Nπ = 0.

Suponha-se que o lema vale quando Nπ ≤ k. Se Nπ = k+1 tres casos se podem dar,a saber:

1. Existe uma proposicao α tal que π =∼ α e Nα = k

2. Existem proposicoes α e β tais que π = α⇒ β e Nα,Nβ ≤ k

3. Existe uma fbf ϕ e uma variavel x tais que π = ∀xϕ,Nφ = k e uma das duassituacoes ocorre

(a) x nao e livre em ϕ

(b) x e a unica variavel livre em ϕ: ϕ = ϕ(x)

Analisemos caso a caso.

1. `I(L) π sse `I(L+)∼ α

sse 6`I(L+) α , pois T (L+ e consistente e completo

sse 6|=(I) α, por hipotese de inducao

sse |=(I∼ α , pois α e uma proposicao

sse |=I π.

2. Comecemos por observar que sendo α e β proposicoes(2.7.8) |=I α⇒ β sse 6|=I α ou |=I β Por outro lado,(2.7.9) `I(L+) α⇒ β sse 6`I(L+) α ou `I(L+) βcomo passamos a verificar: I(L+) e completo, portanto6`I(L+) α ou `I(L+) β sse `I(L+)∼ α ou `I(L+) β;

como ∼ α ⇒ α ⇒ β e β ⇒ α ⇒ β realizam tautologias, sendo portantoteoremas de I(L+), segue-se que

se 6`I(L+) α ou `I(L+) β, entao `I(L+) α⇒ βReciprocamente,Se `I(L+) α⇒ β e `I(L+) α , por MP `I(L+) β

ou seja

se `I(L+) α⇒ β , entao 6`I(L+) α ou `I(L+) β

e (2.7.9) fica demonstrado.

Assim

`I(L+) π sse `I(L+) α⇒ β sse 6`I(L+) α ou `I(L+) β por (2.7.9)

sse 6|=I α ou |=I β, por hipotese de inducao

sse |=I α⇒ β, por (2.7.8)

sse |=I π .

3. (a) Neste caso |=I π sse |=I ∀xα sse |=I α sse `I(L+) α, por hipotese deinducao, sse `I(L+) ∀xα , porque x nao e livre em α− use (I(L+)2), MPe GEN adequadamente − i.e., sse `I(L+) π .

(b) Neste caso ϕ = ϕ(x) = ϕn(xin) e π = ∀xϕ = ∀xinϕn(xin) e tem-se se6|=I π, entao 6|=I ∀xinϕn(xin), portanto existem um elemento

de I(∀), isto e um termo fechado t de L , e uma valuacao υ tais que6|=I ϕn(xin)[υ(xin|t)] segue-se do lema de substituicao 2.5.5 que se 6|=I πentao 6|=I ϕn(t)[υ], donde 6|= ϕn(t), pois ϕ(t) e fechada.

Mas assim, por hipotese de inducao, se 6|=I π entao 6`I(L+) ϕn(t).

Por outro lado, Se `I(L+) π , entao `I(L+) ∀xinϕn(xin), donde `I(L+)

ϕn(t), por I(L)3 e MP.

E entao contraditorio admitir `I(L+) π e 6|=I π , portanto

se `I(L+) π , entao |=I π

Reciprocamente suponha-se que |=I π , i. e., que

|=I ∀xinϕn(xin)

Com o esquema I(L)3 e o teorema 2.5.3 deduz-se

|=I ∀xinϕn(xin) ⇒ ϕn(cn)

e do teorema 2.5.17 concluimos

|=I ϕn(cn)

Pela hipotese de inducao tem-se

(2.7.10) `I(L+) ϕn(cn)

pois Nϕn(Cn) = k.

Acontece que ∼ ∀xinϕn(xin) ⇒∼ ϕn(cn) e um axioma de I(L+) e conse-quentemente

71

`I(L+)∼ ∀xinϕn(xn) ⇒∼ ϕn(cn)

Com a regra de conversao (∼ α⇒∼ β) ⇒ β ⇒ α e I(L+)1 conclui-se

`I(L+) ϕn(cn) ⇒ ∀xinϕn(xin)

E, finalmente com MP utilizando (2.7.10)

`I(L+) ∀xinϕn(xn)

ou seja `I(L+) π como pretendiamos demonstrar.

Esta terminada a demonstracao do Teorema de Completude.

q.e.d.

2.8 Modelos; completude e compacidade.

Estabelecamos as bases desta seccao:

Definicao 2.8.1 Sejam Γ um conjunto de fbfs e α uma fbf.

1. Um modelo de Γ e uma interpretacao na qual sao validas todas as formulasde Γ ; um modelo de uma formula α e um modelo de α.

2. Γ implica logicamente α− e nota-se Γ |= α− se todos os modelos de Γ saomodelos de α .

3. Γ diz-se consistente se para nenhuma fbf β se tem Γ ` β e Γ `∼ β .

E exercitemos esta nova aquisicao .

Exercıcios 2.8.2 Seja Γ um conjunto de fbfs de uma linguagem de primeira ordemL . Denote por GΓ o sistema formal que se obtem de F(L) juntando as fbfs de Γcomo axiomas.

1. Mostre que

(a) Γ e consistente sse GΓ e consistente

(b) Teo (GΓ) = fbfs α tais que Γ ` α(c) Γ e consistente sse para nenhuma proposicao π se tem Γ ` π e Γ `∼ π

simultaneamente.

2. Seja UG(L) o conjunto de axiomas do sistema formal G(L).

Mostre que qualquer modelo de UG(L) e modelo de Teo (G(L)), ou seja UG(L) |=Teo (G(L)).

3. (a) Mostre que se Γ ` α, entao Γ |= α (Teorema de Boa Fundamentacao)

(b) Mostre que um conjunto de fpbfs inconsistente nao tem modelos, i. e. seum conjunto de fbfs tem modelos e consistente.

4. Sejam P um sımbolo predicativo unario e

Γ = ∼ ∀x1P (x1), P (x2), P (x3), P (x4), ...

Mostre que Γ nao e consistente, mas existem uma interpretacao I e umavaluacao υ em I tais que |=L α[υ] para qualquer fbf α ∈ Γ.

5. Suponha que `G(L) α∨β , para alguns sistema formal G(L) e fbfs α e β . Podeconcluir-se que `G(L) α ou que `G(L) β ?

Uma conclusao que pode tirar-se do exercıcio 2 acima − e comparar-se com o ex-ercıcio 3 − com auxılio do teorema 2.7.14 e a seguinte

Teorema 2.8.3 Um conjunto de fbfs e consistente sse tem um modelo.

Um Teorema de Completude forte,

Teorema 2.8.4 Seja Γ um conjunto de fbfs de uma linguagem de primeira ordemL. Γ |= α sse Γ ` α .

Dem. (se) Basta observar que MP e GEN preservam a validade, i. e., para cadainterpretacao I, se |=I α e |=I α⇒ β , entao |=I β e|=L ∀xα .

(so se) Se Γ 6` α , entao 6`GΓ α, donde GΓ;∼ α e consistente portanto tem

um modelo (2.7.14) digamos I ; segue-se que I e modelo de Γ− porque todos osaxiomas de GΓ , em particular os elementos de Γ, sao validos em I− e Itambem emodelo de ∼ α− pois ∼ α e um dos axiomas de GΓ. Assim existe um modelo de Γque nao e modelo de α . q.e.d.

Um resultado de consequencias surpreendentes e o

Teorema 2.8.5 (De Compacidade)

Se todos os subconjuntos finitos de um conjunto de fbfs Γ tem modelos entao Γ temum modelo.

Dem. Se Γ nao tivesse modelos seria inconsistente (teorema 2.8.3); portantoexistiriam uma fbf α e deducoes α1, ..., αn , de α e β1, ..., βm , de ∼ α , a partir deΓ ; mas entao o subconjunto finito α1, ..., αn, β1, ..., βm de Γ e inconsistente, logonao tem modelos (teorema 2.8.3), contradizendo a hipotese sobre Γ . Γ tera assimde ter um modelo. q.e.d.

73

Um conjunto diz-se numeravel se for finito ou equipotente ao conjunto dos numerosnaturais.

Uma observacao atenta da demonstracao do teorema 2.7.14 mostra que de facto foimostrado o seguinte

Teorema 2.8.6 (de Lowemheim-Skolem)

Todo o sistema formal consistente tem um modelo numeravel.

Ou, de outro modo,

Teorema 2.8.6.1 Se um sistema formal tem um modelo entao tem um modelo nu-meravel.

A primeira vista esta pode ser uma afirmacao surpreendente, no entanto note-seque a axiomatica de corpo ordenado tem um modelo nao numeravel, R , e outronumeravel, Q . Por outro lado convira ter em conta que as linguagens que temosvindo a utilizar tem um numero numeravel de expressoes e que o modelo construidopara demonstrar 2.7.14 e um conjunto de expressoes.

Dem. (de 2.8.6) Leia-se o 20 perıodo do paragrafo anterior. q.e.d.

2.9 EXERCICIOS. Uma introducao a Analise Nao-

Standard

Esta seccao esquematiza o estudo de uma aplicacao relativamente simples do Teo-rema de Compacidade 2.8.5. De facto o esquema apresentado e quase imediatamentegeneralizavel, tendo em conta que o Teorema de Compacidade, que foi demonstradopara linguagens numeraveis (i.e., com um alfabeto numeravel), vale para linguagenscom um conjunto de parametros de qualquer cardinaldade. Voltaremos a este assuntono final da seccao; para ja mantemo-nos no ambito das linguagens numeraveis.

Como temos convencionado, o termo ”linguagem”deve entender-se como abreviaturade ”linguagem de primeira ordem”.

A linguagem L′ diz-se uma extensao de outra L se todos os parametros de L saoparametros de L′; de outro modo, L′ e extensao de L sse todas as fbfs de L sao fbfsde L′.

Para cada interpretacao I de uma linguagem L a teoria de I em L e o conjuntoT L(I) de todas as proposicoes de L que sao verdadeiras em I , ou seja

(2.9.1) T L(I) = α : α e proposicao de L e |=I α

Note-se que se a linguagem L′ extende L, T L(I) e um conjunto de fbfs de L′.

Teorema 2.9.1 Suponha-se que a linguagem L′ e uma extensao da linguagem L eque I ′ e uma interpretacao de L′ que e modelo de T L(I). Entao, para qualquerproposicao π de L

|=L π sse |=L′ π

Dem. Seja π uma proposicao de L .

Se |=I π , entao π ∈ T L(I) e, como I ′ e modelo de T L(I) tambem |=L π . Poroutro lado, se 6|=I π, como π e uma proposicao, |=I′∼ π e, como ∼ π tambem e umaproposicao, |=I∼ π, i.e, 6|=I′ π. q.e.d.

Por uma questao de simplicidade de notacao e comparacao, facamos a seguinte

Convencao 2.9.2 1. Para cada sımbolo predicativo binario Q e relacao binariaQ tQs abrevia Q(t,s), para quaisquer termos s e t aQb significa (a,b)∈ Q

2. Para cada sımbolo funcional binario f e interpretacao I, I(f)(a, b) = aI(f)b,sempre que I(f) seja entendido como operacao binaria em I(∀).

3. As letras minusculas x,y,z,u,v podem designar variaveis de uma linguagem L.

As propriedades de corpo ordenado do conjunto dos numeros reais, algebrizado pelassoma, produto e ordem estrita usuais, podem formalizar-se com uma linguagem Lcujos parametros, alem de ∀ , sejam

duas constantes distintas a0 e a1 ,

dois sımbolos funcionais binarios distintos S e P,

dois sımbolos predicativos binarios distintos E e M

Tem-se obviamente em vista a interpretacao R dada por

R(∀) = R

R(a0) = 0 e R(a1) = 1

R(S)=soma usual=+ e R (P)=produto usual= •

R(E)=relacao de igualdade e R(M)=relacao de ordem usual <

75

Por exemplo, a semi-monotonia de < para o produto pode expressar-se pela proposicao

∀x∀y∀z(xMy ∧ a0Mz ⇒ (xPz)M(yPz))

ou, sem considerar totalmente a convencao 2.9.2,

∀x∀y∀z(M(x, y) ∧M(a0, z) ⇒M(P (x, z), P (y, z)))

Resumindo

Teorema 2.9.3 A interpretacao R definida acima tem a estrutura < R; +; •;<; 0; 1 > do corpo ordenado dos numeros reais. 3

Avancemos um passo na nossa ”construcao”. Seja agora L′ a linguagem que temcomo parametros

todos os parametros de L

constantes distintas an(n ∈ N, n ≥ 2)

uma constante c distinta das an

um sımbolos funcional unario µ

um sımbolo funcional unario f 6= µ

um sımbolo funcional binario D distinto de S e P.

Defina-se uma interpretacao R′ de L′ por

R′(p) = R(p) para qualquer parametro p de L

R′(an) = n (n ∈ N)

R′(c) = um elemento fixado arbitratriamente em R= r

R′(µ) = |.|

3Nao utilizando a completude deste corpo ordenado.

R′(f) = uma funcao ϕ : R→ R distinta de|.| 4

R′(D) = diferenca usual = -

R′ tem entao a estrutura

< R; +; •;−; | . |;ϕ;<; r; 0, 1, 2, ..., n, ... >

ou seja, o corpo ordenado dos numeros reais onde se distinguem um certo numeroreal, os numeros naturais, a operacao diferenca usual, o valor absoluto e uma funcaoescolhida ϕ .

Parece-nos razoavelmente obvio que R′ e um modelo de T L(R), ou de outro modo

Teorema 2.9.4 T L(R) ⊆ T L(R′)

Mais um passo: Seja L” a extensao de L′ que se obtem adicionando a L′ umaconstante I distinta de todas as outras

Considere-se tambem para cada n ∈ N , a proposicao πn dada por

πn = M(an, I)

Seja

Γ = T L(R′) ∪ πn : n ∈ N

Teorema 2.9.5 Γ tem um modelo.

Dem.

1. Γ e um conjunto de fbfs de L”

2. Todos os subconjuntos finitos de Γ tem um modelo, como se ve do seguintemodo: seja Σ um subconjunto finito de Γ;

(a) Se Σ nao tem fbfs de entre as πn , basta tomar R′ e prolongar por R”definindo por exemplo R” (I)=754 e R”(p)= R′(p), para qualquer outroparametro p d L′.

4Nao e importante que ϕ seja distinta de do valor absoluto, mas torna o teorema final a nossover mais interessante.

77

(b) Se Σ tem algumas proposicoes πn , seja

N = max n ∈ N : πn ∈ Σ

e defina-se a interpretacao R” por

R”(I) = N+1

R”(p) = R′(p) se p e um parametro de L′

3. Pelo Teorema de Compacidade Γ tem um modelo. q.e.d.

Seja entao K um modelo de Γ e note-se

K(∀) = R

R(an) = ρn(n ∈ N)K(c) = ρK(I) = ι

K(E) = ΞK(M) = Ω

K(S) = σK(P ) = λK(D) = δ

K(µ) = υK(f) = φ

Lema 2.9.6

1. Ξ e uma relacao de equivalencia em R

2. Ξ e compatıvel com Ω, σ, λ, δ, υ e φ , i. e.,

(a) se a Ξb, entao υ(a) Ξ υ(b) e φ(a)Ξφ(b)

(b) se aΞb e cΞd, entao

i. se aΩc tambem bΩd

ii. aσcΞbσd

iii. aλcΞbλd

iv. aδcΞbδd

Dem. Tudo resulta de K ser um modelo de T L(R′) e do teorema 2.9.1.

1. Como R′ (E) e a relacao de igualdade tem-se

(a) |=R′ ∀x(xEx)(b) |=R′ ∀x∀y(xEy ⇒ yEx)

(c) |=R′ ∀x∀y∀z(xEy ⇒ yEz ⇒ xEz)

Portanto as proposicoes em (a), (b) e (c) − que formalizam respectivamente asreflexividade simetria e transitividade da igualdade R′(E) − estao na teoria deR′ sendo assim verdadeiras tambem em K− onde formalizam que Ξ e reflexivasimetrica e transitiva.

2. De novo porque R′(E) e a relacao de igualdade:

(a) Tem-se

|=R′ ∀x∀y∀z(xEy ∧ uEv ⇒ xMu⇒ yMv),

portanto

|=K′ x∀y∀u∀v(xEy ∧ uEv ⇒ xMu⇒ yMv)

ou seja, para quaisquer a,b,c,d ∈ R , se a Ξ b e cΞ d, entao se a Ω ctambem bΩ d.

(b) Tem-se

|=R′ ∀x∀y∀u∀v(xEy ∧ uEv ⇒ (xSu)E(ySv))

portanto tambem

|=R′ ∀x∀y∀u∀v(xEy ∧ uEv ⇒ (xSu)E(ySv))

ou seja, para quaisquer a,b,c,d∈ R , se aΞb e cΞd, entao a σcΞbσd.

As demonstracoes das alıneas restantes sao analogas.

q.e.d.

Designando a Ξ - classe de equivalencia de a∈ R por [a],

defina-se para cada a,b ∈ R ,

(2.9.1) [a]∗ < [b] sse aΩb

(2.9.2) [a]∗ + [b] = [aσb]

(2.9.3) [a]∗ • [b] = [aλb]

79

(2.9.4) [a]∗ − [b] = [aδb]

(2.9.5) ∗ | [a] |= [υ(a)]

(2.9.6) ∗ϕ([a]) = [ϕ(a)]

Pelo Lema 2.9.5 acima ∗ <,∗+,∗ • e ∗− sao respectivamente uma relacao binaria eoperacoes binarias bem definidas em R/Ξ , tal como ∗|.| e ∗ϕ sao funcoes unariasbem definidas de R/Ξ em R/Ξ .

Finalmente defina-se uma interpretacao P de L” por

(2.9.7) P(∀) =∗ R = R/Ξ = [a] : a ∈ R

(2.9.8) P(E) e a relacao de igualdade em ∗R

(2.9.9) P(M) =∗< P(S) =∗ + P(P ) =∗ • P(D) =∗ −

(2.9.10) P(I) = ι = [ι]P(c) = [ρ] =∗ ρ

(2.911) P(an) =∗ n = [ρn](n ∈ N)

(2.9.12) P(µ) = |.|P(f) =∗ ϕ

Pode agora demonstrar-se

Teorema 2.9.7

1. P e um modelo de Γ .

2. < R + • − |.| ϕ < ρ; 0′1, 2, ..., n, ... > e uma subestrutura propria de<∗ R ∗+;∗ • ∗−;∗ |.| ∗ϕ ∗ρ ∗0,∗ 1,∗ 2, ...,∗ n, ... >

Isto e ,

(a) <∗ R ∗+;∗ • ∗ <;∗ 0,∗ 1 > ]e um corpo de zero ∗0 e unidade∗1

(b) a funcao Ψ : R →∗ R dada por Ψ(r) = [r] e um mergulho de corposordenados em que

i. Ψ(R) ⊂ ∗R 5

5⊂ deve enterder-se como inclusao estrita

ii. ∗− e ∗|.| sao respectivamente a diferenca e o valor absoluto em ∗Riii. ∗ϕ prolonga ϕ no sentido em que ∗ϕ(a) = Ψ(ϕ(a))(a ∈ R)

3. Ψ(r) ∗ < ι (r ∈ R)

Convencao 2.9.8 Em vista deste resultado identificamos R com Ψ(R) e N comΨ(N). Em termos de notacao tambem omitiremos os asteriscos excepto em ∗R .

Definam-se os seguintes conjuntos ∗R∞ dos elementos infinitos de ∗R , dado por

∗R∞ = r ∈∗ R : n < |r|, seja qual for n ∈ N,

σ dos elementos infinitesimais , dado por

σ = r ∈∗ R : |r| < n−1 , seja qual for n ∈ N tal que 0 < n

Note-se que, em virtude de 2 no teorema 2.9.4,

Teorema 2.9.9 ∗R∞ 6= ∅ e σ 6= 0.

Dem.ι ∈∗ R∞ e (ι)−1 ∈ σ . q.e.d.

Digamos que dois elementos a e b de ∗R estao infinitamente proximos, notandoa ≈ b, sse a - b e infinitesimal, ou seja

a ≈ b sse a-b∈ σ

Finalmente

Teorema 2.9.10 A funcao ϕ e contınua em ρ sse para qualquer r ∈∗ R ,

(2.9.13) r ≈ implica que ∗ϕ(r) ≈∗ ϕ(ρ).

Dem. (so se) Suponhamos que ϕ e contınua em ρ .

Tome-se um numero natural positivo qualquer n.

Existe um numero natural positivo m, tal que se r ∈ R e |r − ρ| < m−1 , entao|ϕ(r)− ϕ(ρ)| < n−1 , ou seja,

81

|=R ∀y∀x((xPam)Ea1 ∧ (yPan)Ea1 ⇒ ∀z(µ(zDc)Mx⇒ µ(f(z)Df(c))My)

Observe-se que o antecedente da implicacao se limita a formalizar que ”x devera serm−1 ”e que ”y devera ser n−1 ”; o que nos ”interessa”e de facto o consequente −onde esta formalizada a condicao de continuidade com tolerancia m−1 na variaveldependente e n−1 na independente. Por 2.9.4. e 2.9.6.1,

(#) |=P ∀y∀x((xPam)Ea1 ∧ (yPan)Ea1 ⇒ ∀z(µ(zDc)Mx⇒ µ(f(z)Df(c))My)

Suponha-se que r ≈ ρ em ∗R . Vamos ver que |ϕ(r)− ϕ(ρ)| < n−1 .

Qualquer valuacao satisfaz a proposicao em ( #), em particular se

υ(y) = n−1 e υ(x) = m−1

|=P ((xPam)Ea1 ∧ (yPan)Ea1 ⇒ ∀z(µ(zDc)Mx⇒ µ(f(z)Df(c))My)[v]

Como |=P ((xPam)Ea1 ∧ (yPan)Ea1)[v], tambem

|=P (∀z(µ(zDc)Mx⇒ υ(f(z)Df(c))My)[v]

ou ainda, para qualquer r ∈∗ R ,

|=P (µ(zDc)Mx⇒ µ(f(z)Df(c))My)[v(z|r)]

Interpretando tem-se

se o modulo da diferenca de r para ρ for menor que m−1 , entao

o modulo da diferenca de ϕ(r) para ϕ(ρ) e menor que n−1 .

Como se r ≈ ρ tambem |r − ρ| < m−1 segue-se que |ϕ(r) − ϕ(ρ)| < n−1 se r ≈ ρ, como se pretendia mostrar. Como n foi tomado arbitrariamente necessariamenteϕ(r) ≈ ϕ(ρ).

(se) Esta parte e significativamente mais simples.

Suponha-se que a condicao (2.9.13) se verifica para qualquer r ∈∗ R .

Para mostrar que ϕ e contınua em ρ basta mostrar que (@) para qualquer naturalpositivo n, existe um numero real positivo ε tal que, seja qual for r ∈ R , se |r−ρ| < ε, entao |ϕ(r)− ϕ(ρ)| < n−1 .

Comecemos por observar que, pela condicao (2.9.13), para qualquer numero naturalpositivo n, se r ≈ ρ , entao |ϕ(r)−ϕ(ρ)| < n−1 , pois ϕ(r) ≈ ϕ(ρ); mais particular-mente, se η e um numero infinitesimal positivo e |r − ρ| < η , tambem r- ρ ∈ η , i.e., r ≈ ρ e logo |ϕ(r)− ϕ(ρ)| < n−1 . Em suma uma valuacao υ que verifique

υ(y) = η ≈ 0 e 0 < η

satisfaz em P a seguinte proposicao

∀y((yPan)Ea1 ⇒ Ez(a0Mz ∧ ∀u(µ(uDc)Mz ⇒ µ(f(u)Df(c))My)))

Portanto

|=P ∀y((yPan)Ea1 ⇒ Ez(a0Mz ∧ Au(µ(uDc)Mz ⇒ µ(f(u)Df(c))My)))

para qualquer n ∈ N .

Pelo teorema 2.9.1

|=R ∀y((yPan)Ea1 ⇒ Ez(a0Mz ∧ ∀u(µ(uDc)Mz ⇒ µ(f(u)Df(c))My)))

seja qual for n ∈ N .

Mas isto e afirmar a veracidade de @. q.e.d.

Nota Final 2.9.11 Retomando o fim do primeiro paragrafo desta seccao: podedemonstrar-se que, sem restricoes a cardinalidade do conjunto de parametros dalinguagem L , vale o

TEOREMA.(De Compacidade)

Seja Γ um conjunto (nao vazio) de proposicoes duma linguagem de primeira or-dem L . Se todos os subconjuntos finitos de Γ tem modelos entao Γ tem um modelo.

Poderıamos refazer todo o estudo desenvolvido ate aqui tomando para parametrosde L′ uma constante por cada numero real, um sımbolo predicativo por cada relacaon-aria (n ∈ N, n > 0) em R , um sımbolo funcional por cada funcao n-aria de R emR .

Convidamos o leitor a adaptar o que atras deixamos esquematizado e, no novo con-texto, obter uma demonstracao muito mais simples que a de 2.9.9 para o seguinte

TEOREMA

Uma funcao real de variavel real ϕ e contınua no ponto a do seu domınio se paraqualquer r no domınio de ∗ϕ , se r ≈ a entao ∗ϕ(r) ≈∗ ϕ(a).

Para maior desenvolvimento deste tema consulte-se [E;2.8].

83

2.10 Relacoes e funcoes aritmeticas e recursivas.

Nesta seccao pretendemos trabalhar com relacoes n-areas no conjunto dos numerosnaturais, N , definıveis por meio de uma certa linguagem de primeira ordem.

Comecemos por definir notacao: se α e uma fbf de uma linguagem (de primeiraordem) L cujas variaveis livres sao exactamente y1, ..., yk e t1, ..., tk sao termos de L,

α = α(y1, ..., yn) 6

e define-se

α(t1, ...tk) = αy1...ykt1...tk

Se I e uma interpretacao de L e α = α(y1, ..., yk), a notacao

|=I α(y1, ..., yn)[a1, ..., ak]

significa que a formula α e satisfeita em I por uma - e portanto por qualquer -valuacao υ para a qual

υ(yi) = ai(1 ≤ i ≤ k)

Definicao 2.10.1 Dada uma linguagem de primeira ordem L e uma sua inter-pretacao I , diz-se que o conjunto A ⊆ I(∀)k e

definıvel ( em I ) por α (em L ) se existe uma fbf de L , α(y1, ..., yk), tal que

(2.10.1) A = (a1, ..., ak) ∈ I(∀)k :|=I α(y1, ..., yk)[a1, ..., ak] 7

Daqui ate ao fim desta seccao trabalharemos com uma linguagem fixa L de inter-pretacao fixa I , para a qual

N+(∀) = N = n ∈ N : n > 0

6Tenha-se presente que, a partie de agora, esta notacao explicita todas - e apenas elas - asvariaveis livres de α

7De acordo mais informal e costume, em situacoes concretas, escrever A = (a1, ..., ak) ∈ U :α(a1, ..., ak) - o que alias virermos a fazer mais adiante - se A e definivel por α

L tera dois sımbolos predicativos binarios, E e M, dois sımbolos funcionais binarios,S e P, constantes an(n ∈ N+) e

N (E) e a relacao de igualdade ”=”em N+

N (M) e a relacao de ordem estrita usual ”

N (S) e a soma usual ”+”

N (P ) e o produto usual ”•”

N (an) e o numero natural n (n ∈ N+)

Convencao 2.10.2 Como L e N estao fixas, simplificamos a notacao do seguintemodo:

1. Sempre que achemos conveniente as fbfs serao expressas de acordo com a lin-guagem comum, onde cada sımbolo esta ja substituido pela sua interpretacao.Por exemplo

∀x(E(x, a1) ∨M(a1, x)) = ∀x(x = 1 ∨ 1 < x)

2. Para qualquer fbf α(y1, ..., yk) e qualquer (n1, ..., nk) ∈ (N+)k

|=N α(y1, ..., yk)[n1, ..., nk] = α(n1, ..., nk)

A estrutura associada a N e ja suficientemente complicada para que nao sejapossıvel provar a partir de axiomaticas ”controlaveis”8 todos as proposicoes deT L(N ) (veja-se a seccao 2.9 para a definicao de T L(N )). Para verificarmosque tal acontece precisamos de mais algumas definicoes.

Definicao 2.10.3 Um subconjunto A de (N+)k - ou relacao k-aria em N+- e ar-itmetico se for definıvel em N .

Recorde-se que o grafico de uma funcao f : (N+)k → N+ e o conjunto graf(f) dadopor

graf(f) = (n1, ..., nk, f(n1, ..., nk)) : (n1, ..., nk) ∈ (N+)k

8Adiante ficara claro o que se entende por controlavel

85

Definicao 2.10.4 Uma funcao f : (N+)k → N+ e aritmetica se for aritmetico oseu grafico.

Um exemplo que sera utilizado adiante

Exemplos 2.10.5 A soma e aritmetica, pois

graf(+) = (n,m, p) ∈ (N+)3 : n+m = p

ou, com todo o formalismo,

graf(+) = (n1, n2, n3) ∈ (N+)3 :|=N E(S(x1, x2), x3)[n1, n2, n3]

Designem-se as sequencias (n1, ..., nk) de N+ por n.

Se C ⊆ N+ , a funcao representativa de C nota-se XC) e define-se

XC(n) =

1 se n ∈ C

0 se n 6∈ C

As projeccoes Pkt : (N+)k → N+(t ≤ k) definem-se por

Pkt(n) = nt

Exercıcios 2.10.6

1. Mostre que o produto e uma funcao aritmetica.

2. Mostre que C e um subconjunto aritmetico de (N+)k sse XC e uma funcaoaritmetica.

3. Mostre que (N+)k e aritmetico de duas maneiras: utilizando o exercıcio 1 enao o utilizando.

(a) Mostre que para quaisquer b0, b1, b2 ∈ N+ nao todos nulos a funcao n` b0 + b1n+ b2n

2(n ∈ N+) e aritmetica.

(b) Que pode dizer sobre polinomios naturais positivos de variavel naturalpositiva?

4. Mostre que as projeccoes Pkt sao aritmeticas.

5. Mostre que (n1, n2) ` (n1 + n2)2 e uma funcao aritmetica de (N+)2 em N+ .

O exemplo 2.10.5, e o exercıcio anterior mostram que existe um numero consideravelde funcoes aritmeticas. O exercıcio 6 acima poderia ser resolvido mais rapidamentetendo em conta o seguinte

Teorema 2.10.7 As composicoes de funcoes aritmeticas sao aritmeticas,ou seja:se f : (N+)m → N+ e g : (N+)k → N+ sao funcoes aritmeticas (1 ≤ i ≤ k) eh : (N+)k → N+ e dada por

h(n) = f(g1(n), ..., gk(n))

entao h tambem e aritmetica.

Dem.

Demonstramos apenas para o caso k=1 e m=2, deixando o caso geral ao cuidado doleitor.

Suponha-se entao que f : (N+)2 → N+, g1, g2 : N+ → N+ e h estao como na hipotese.Tem-se, para certas formulas ϕ, γ1, γ2 que, de acordo com a convencao 2.10.2.2,

m = f(n1, n2) sse ϕ(n1, n2,m)

ni = gi(p) sse γi(p, ni)

Portanto

m = h(p) sse m = f(g1(p), g2(p)) sse ϕ(g1(p), g2(p),m)

sse n− 1 = g − 1(p) e n2 = g2(p) e ϕ(n1, n2,m)

sse γ1(p, n1) e γ2(p, n2) e ϕ(n1, n2,m).

Segue-se que a fbf que define h e η dada por

η(x, y) = ∃u∃v(γ1(x, u) ∧ γ2(x, v) ∧ ϕ(u, v, y)).

Isto e

m = h(n) sse |=N η(x, y)[n,m] q.e.d.

87

Se R for uma relacao (1+k)-area em N+ , R ⊆ N+ × (N+)k , tal que, para cadan ∈ (N+)k existe m ∈ N+ tal que (m,n) ∈ R, isto e

(2.10.1) m ∈ N+ : (m,n) ∈ R 6= ∅ o para todo o n ∈ (N+)k

defina-se

µR(n) = µx[(x, n) ∈ R] = min m ∈ N+ : (m,n) ∈ R

Teorema 2.10.8 Se R e uma relacao (1+k)-area aritmetica que verifica a condicao(2.10.1), entao a funcao µR e aritmetica.

Dem.Suponha-se que R e definida pela fbf ρ(y, y1, ..., yk) e observe-se que m = µR(n)

sse ρ(m,n) e para qualquer p ∈ N+, se ρ(p, n) entao m ≤ p

sse |=N (ρ(z, z1, ..., zn) ∧ ∀x(ρ(x, z1, ..., zk) ⇒ (z = x ∨ z < x)))[m,n]

Finalmente seja α(x1, ..., xk, xk+1) a fbf

ρ(xk+1, x1, ..., xk) ∧ ∀x0(ρ(x0, x1, ..., xk) ⇒ (xk+1 = x0 ∨ xk+1 < x0))

A formula α define o grafico de µR q.e.d.

Exercıcio 2.10.9 Mostre que a funcao que faz corresponder a cada par de inteirospositivos o seu menor multiplo comum e aritmetica.

Dado que (o grafico de) uma funcao aritmetica e definida(o) por uma fbf, ha apenasuma quantidade numeravel de funcoes aritmeticas; tal e suficiente para se concluirque existem funcoes que nao sao aritmeticas, observando que se f1, f2, ..., fn, ... euma enumeracao bijectiva das funcoes aritmeticas a funcao f : N+ → N+ dada por

f(n) = fn(n) + 1

nao esta na enumeracao pois, seja qual for n ∈ N+ , f difere da funcao fn no valorde n.

Temos vindo a observar algumas propriedades das funcoes que podem ser definidascom formulas de uma linguagem adequada a estrutura < N; +; •; =; <; 1; 2; , ... >.Ficando-nos apenas pelo modelo em si definimos

Definicao 2.10.10 1. O conjunto das funcoes recursivas e o menor conjuntode funcoes K que verifica as seguintes condicoes

(a) As funcoes +, •,X< e Pkt (t ≤ k) estao em K ; em particular a funcaoidentidade P11 : N+ → N+ e recursiva.

(b) Se f e g1, ..., gm estao em K e h : (N+)k → N+ e dada por h(n) =f(g1(n), ..., gm(n)), entao tambem h esta em K

(c) Se g : (N+)1+k → N+ e a relacao R dada por

R = (m,n) ∈ (N+)1+k : g(m,n) = 1

verifica (2.10.1), entao µR ∈ K .

2. Uma relacao diz-se recursiva se a sua funcao representativa o for.

De facto ja quase provamos o seguinte

Teorema 2.10.11 Toda a funcao recursiva e aritmetica. 9

Dem. Basta-nos verificar que o conjunto K das funcoes aritmeticas verifica ascondicoes (a), (b), e (c).

As demonstracoes de que (a) e (b) se verificam tem vindo a ser feitas ao longo daseccao - incluindo os exercıcios - e, em virtude do teorema 2.10.8, para podermosconcluir (c) basta-nos provar que a relacao R dada por

R = (m,n) ∈ (N+)1+k : g(m,n) = 1

e aritmetica se g o for.

Suponha-se que a fbf γ(y1, y2, ..., yk, yk+1, yk+2) define graf(g). E imediato que γ(y1, y2, ..., yk+1, yk+2)yk+1a1

, i. e. γ(y1, y2, ..., yk+1, a1) define R e, portanto R e aritmetica. q.e.d.

Terminamos a seccao com o seguinte

Teorema 2.10.12

1. As funcoes constantes Ckd : (N+)k → N+ dadas por Ccd(n) ≡ d sao recursivas.

2. A funcao Ant dada por

9Pode mostrar-se que nao e verdadeira a assercao recıproca

89

Ant(n) =

n− 1 se 1 < n

1 se 1 = n

e recursiva.

3. A relacao de igualdade e recursiva.

4. Se R e Q sao relacoes k-areas recursivas, tambem sao recursivas ( N+)k\R,R∪Q e R ∩Q

Dem.

1. Considere-se a funcao constante Ck1 : (N+)2 → N+ dada por Ck1(n) = 1, paraqualquer n ∈ (N+)k . Tem-se,

Ck1(n) = µx[X<(x, n1 + n1) = 1] = µx[X<(x, Pk1(n) + Pk1(n))]

Como Ck,d+1 = Ckd + Ck1 , se Ckd e recursiva tambem o e Ck,d+1,

portanto Ckd e recursiva para todo o d; como k e arbitrario, Ckd e recursivapara todo o par (k,d).

2. Comecemos por observar que X> tambem e recursiva pois

X>(m,n) = X<(P22(m,n), P21(m,n))

Assim, Ant e recursiva porque

Ant(n) = µx[X>(x+ 2, n) = 1] = µx[X>(x+ C12(n), n) = 1].

3. Basta observar que

X< = (m,n) = µ(X<(m,n+ 1),X<(n,m+ 1), 2)

Deixa-se como exercıcio a demonstracao de 4. q.e.d.

Exercıcio 2.10.13 Demonstre a assercao do numero 4 do teorema anterior.

Capıtulo 3

Introducao a Teoria decomputabilidade

3.1 Maquinas de Turing; funcoes computaveis

Uma Maquina de Turing - ou simplesmente uma maquina -e um terno (d,p,s)de funcoes, cujo domınio e um subconjunto finito F de 0, 1 × N+ verificando

d : F → 0, 1 p : F → −1, 0, 1 s : F → N+

d sera a funcao impressora, p a funcao de posicao e s a funcao de estado .

Uma fita e uma sucessao (aj) ∈ 0, 1N+, isto e , uma sucessao (a1, ..., aj, ...) cujos

termos sao zero ou 1.

Uma posicao de fita e um par (j, k) : (aj) em que o par (j, k) ∈ (N+)2 e se designapor apontador e (aj) e uma fita.

As maquinas actuam sobre posicoes de fita: designando por M a maquina (d,p,r) aaccao de M sobre a posicao de fita t = (j, k) : (aj) denota-se M t e define-sedo seguinte modo

Mt = (j′, k′) : (a′) sse j′ = j + p(aj, k) > 0 k′ = s(aj, k)

a′j =

ai se i 6= j

d(aj, k) se i = j

Os inputs de uma maquina sao posicoes de fita. Cada input t define uma sequenciade posicoes de fita t,Mt,MMt, ...,Mt, ... cujos termos se designam por

91

outputs parciais. A sequencia de outputs parciais pode ser infinita, nao existir,ou ser finita pois Mnt pode estar sempre definido ou nao (vejam-se os exemplos3.1.1 resp. 1, 2 e 3).

Em termos menos formais, o que se pretende com estas definicoes e matematizara ideia de um aparelho cujo funcionamento e descrito por um numero finito deinstrucoes dadas em termos de estados internos e ”valores”observados: imaginandouma fita como uma sucessao de celulas aj ”brancas- aj = 0 - ou ”impressas- aj = 1- observadas uma de cada vez pelo ”visor”da maquina e sobre cada uma das quaisesta actua, de acordo com o estado em que se encontra, ”apagando”ou ”imprimindo-conforme o valor de d - passando a observar em seguida uma celula adjacente oueventualmente a mesma que estava em observacao - conforme a funcao p - e passandoao estado indicado pela funcao s; o apontador indica a celula j a ser observada e oestado k em que esta a ser feita a observacao.

Exemplos 3.1.1 M = (d,p,r)

1. F = 0, 1 × 1 - M tem um so estado - , d ≡ 0, p(m,n) = 1, s ≡ 1.

Para o input t=(3,1):(1,1,...,1,...) M actua por ”observacao”do terceiro termoda fita, a3, que vale 1, estando no estado 1; ora d(1,1)=0, p(1,1)=1, s(1,1)=1,ou seja a terceira celula e ”apagada”, a celula ”observada”passa a ser a quartae o estado de M mantem-se: Mt=(4,1):(1,1,0,1,...,1,...). Analogamente severia que MMt=(5,1):

(1,1,0,0,1,...,1,...), etc.. De um modo geral e facil verificar que M vai ”apa-gando”todas as ”marcas”a partir da terceira, inclusive , i.e., Mnt = (n +3, 1) : (aj), em que a1 = a2 = 1, a3 = ... = an+2 = 0, aj = 1 (j > n+ 2).

Que acontece com esta maquina se uma das celulas da fita for ”branca”?

2. Seja agora M dada por d ≡ 0, p ≡ −1, s ≡ 1, Com a mesma posicao de fita e omesmo conjunto F do exemplo anterior.Mt = (2, 1) : (1, 1, 0, 1, ..., 1, ...),M2t =(1, 1) : (1, 0, 0, 1, ..., 1, ...) e M3t seria a posicao de fita impossivel (0,1):(0,0,0,1,...,1,...)- a primeira coordenada do apontador e diferente de zero por definicao. O out-put final neste caso nao existe.

3. Com F=0, 1 × 1, 2, 3 e

. d(m, n)=

0 se n ∈ 1, 2

1 se n = 3

..p(m,n) =

1 se n ∈ 1, 2

0 se n = 3

s(m,n) = n+1 (n=1,2,3)

93

considere-se o input t=(1,1):(0,1,0,1,1,...): M ”observa”a1 , que vale 0, no es-tado 1; d(0,1)=0, p(0,1)=1, s(0,1)=2, portanto Mt = (2, 2) : (0, 1, 0, 1, 1, ...);M2t =(3, 3) : (0, 0, 0, 1, 1, ...);M3t = (3, 4) : (0, 0, 1, 1, 1, ...); como 4 nao e um dosestados de M, esta nao actua sobre M3t, pelo que M3t e precisamente ooutput final: a sequencia d outputs e finita.

Como vimos nos exemplos anteriores uma maquina pode ou nao parar. O outputfinal , ou simplesmente output , de M para o input t e Mnt se Mn+1t nao estadefinido. A computacao ou calculo de M para o input t e a sequencia de outputs.

O trabalho com estas maquinas e significativamente simplificado se as virmos comotabelas do seguinte modo: o valor de d indica se a celula e (ou fica) ”preenchida”oue (ou fica) ”branca”; o valor de p indica se a fita ”avanca”ou ”o visor se desloca paraa direita- p=1 - ”fica na mesma posicao”ou ”o visor fica sobre a mesma celula- p=0- ou ”recua”ou ”o visor desloca-se para a esquerda- p=-1 - ; o valor de s indica oestado em que a maquina passa a estar. Assim cada accao e caracterizada por umterno ABC que depende do ”aspecto da celula observada”e do ”estado em que amaquina se encontra”, sendo A ∈ 0, 1 e B=E, B=0 ou B=D consoante ”o visorrecua”ou ”fica”ou ”avanca”e C ∈ N+ : esquematicamente, uma maquina e umatabela da forma

0 112

...n

n+1...

p

para uma maquina com p estados - lidos verticalmente, como ordenadas, - e ”ob-servaveis 0 e 1 - lidos horizontalmente, como abcissas - inscrevendo-se em cada umdos rectangulos menores o terno ABC adequado a cada par (m,n)=(valor observado,estado).

Exemplos 3.1.2 As maquinas nos exemplos 3.1.1 podem ser descritas do seguintemodo

1. 2. 3.

0 11 0D1 0D1

0 11 0E1 0E1

0 11 0D2 0D22 0D3 0D33 0D4 0D4

Claro que existem maquinas significativamente mais complexas que as destes exem-plos.

Convencao 3.1.3 1. Sempre que tal nao provoque confusao retiramos os parentesesinicial e final e as vırgulas na notacao de uma fita.

2. Quando numa fita ocorrem m zeros ou m uns sucessivos essas ocorrenciasdesignam-se por 0m ou 1m respectivamente - se m=1 usaremos esta notacaoapenas quando tal for vantajoso; por exemplo: 000110100... = 03120100...

3. Uma fita em que todos os termos sao nulos a partir da ordem k+1, inclusive,identifica-se com a correspondente sequencia de acordo com as convencoes em1 e 2; por exemplo a fita em 2 nota-se 031201.

Interessa-nos mostrar que certas funcoes cujos domınios sao subconjuntos de(N+)k podem ser calculadas por maquinas. Para tal interessa codificar assequencias n de (N+)k como inputs; tal e feito do modo seguinte.

Comecemos por identificar sequencias e certas fitas:

(n1, ..., nk) = 01n10...01nk (k ∈ N+)

Definicao 3.1.4 Para k,m,n ∈ N+

1. Um input funcional e um input da forma (2,1):(n1, ..., nk)

2. Um output funcional e um output da forma (m+ 1, k) : 0m1n

3. Uma funcao f:(N+)k → N+ diz-se computavel se existir uma maquina M paraa qual o output (final) para cada input funcional (2,1):(n1, ..., nk) e (m+1,k):0m1f(n)

, para algum m; diz-se que M computa ou calcula f e nota-se M por f .

Note-se que a mesma funcao pode ser computada por distintas maquinas.

Exemplos 3.1.5 A funcao Sucessor dada por Suc(n)=n+1 (n ∈ N+) e computavelpelas maquinas seguintes

0 11 102 1D12 0D3 1E2

0 11 0D22 1D3 1D23 1044 0D5 1E4

No primeiro caso o output e (2,3):01n+1 e no segundo e (3,5):021n+1 .

95

Veremos que as funcoes computaveis sao recursivas. Para ja temos

Teorema 3.1.6 As seguintes funcoes sao computaveis

1. A soma

2. As funcoes constantes Ckd

3. As projeccoes Pkd

4. A funcao Ant

5. X<

Dem. Verifique que as maquinas descritas a seguir computam as funcoes adequadas.

1)

0 11 0D22 1E3 1D23 0D4 1E3

O primeiro 1 e apagadoe reintroduzindo em vez de zeroque esta entre am−1 e 1n,craindo-se um output(3, 4): 021m+n

2) d=1 d > 1

0 11 0D2 0D12 103 0D1

0 11 0D2 0D12 1D3 0D1

.d 1D(d+1)

d+1 1E(d+2)d+2 0D(d+3) 1E(d+3)

Todos os uns sao apagadose e impresso 1 no segundozero apos o fim.Que se passa com d > 1?

3) d=1 d > 1

0 11 0 D 2 1 D 12 0 D 3 0 D 23 0 E 4 0 D 24 0 E 4 1 E 55 0 D 6 1 E 5

0 11 0D2 0D1

...d-1 0D2 0D(d-1)d+1 1E(d+2)d 0D(d+1) 0D(d+1)

d+2 0E(d+3) 0D(d+1)d+3 0E(d+3) 0D(d+4)d+4 0E(d+5) 1E(d+4)

4)

0 11 0 D 22 1 0 3

5)

0 11 0 D 22 0 D 3 1 0 73 0 D 44 1 E 5 1 0 65 1 0 176 1 0 17 0 D 67 0 D 8 1 D 78 1 D 99 1 E 10 1 0 1310 0 E 11 1 E 1011 0 D 12 0 E 1112 0 D 12 1 0 1713 0 E 14 1 D 1314 0 E 1515 0 E 16 1 E 1516 0 D 1 1 E 16

Esta nao e a maquina mais simples,mas tem um funcionamento bastanteelementar(veja-se o exercıcio 3.1.7.13)

Esta nao e a maquina mais simples, mas tem um funcionamento bastante elementar(veja-se o exercıcio 3.1.7.13)

(SUG: Verifique que esta maquina produz o output parcial (j+2,1):0j+11m01n para oinput (j+1,1):0j1m+101n+1; mostre que os inputs (j+1,1):0j1m01n produzem outputs(l+1,17):0112 ou (l+1,17):011 consoante m ≤ 1 = n ou m = 1 < n e concluaadequadamente.

Exercıcios 3.1.7

1. Explicite uma maquina que compute C23 e descreva o seu funcionamento. De-screva a computacao que se inicia com os inputs

(a) Funcional (2,2)

(b) Funcional (2,1,2)

97

2. Explicite uma maquina que compute P43 e descreva o seu funcionamento. De-screva a computacao que se inicia com o input

(a) Funcional (2,3,4)

(b) (3,1):(2,3,4)

3. Descreva a computacao de alguma maquina Ant para o input

(a) Funcional 1

(b) (2,1);(2,1)

(c) Um input nao funcional

4. Mostre que uma funcao computavel pode ser calculada por um numero infinitode maquinas.

5. Determine as funcoes unaria, f, e binaria, g, que sao computadas pela seguintemaquina

0 11 1 E 2 1 D 12 0 D 3 1 E 2

6. Determine os inputs para os quais a maquina seguinte produz output.

0 11 0 D 1 1 D 22 1 E 3 1 D 2

7. Invente uma maquina que calcule funcoes de qualquer k-aridade e descreva oseu funcionamento.

8. Determine uma maquina que compute as funcoes f dadas por

(a) f(n)=2n

(b) f(n)=(3,n)

(c) f(n)=kn com k ∈ N+.

9. Mostre que o conjunto dos numeros pares positivos e computavel.

10. Mostre que o conjunto 3n− 2 : n ∈ N+ e computavel.

11. Descreva uma maquina que compute o produto sem recorrer a recursao.

12. Descreva uma maquina que calcule a funcao Diff’:(N+)2 → N+ dada por

Diff ′(m,n) =

m− n se m− n ≥ 1

1 caso contrario

13. Verifique que a maquina seguinte tambem calcula X< .

1 0 D 22 0 D 8 1 D 33 0 D 4 1 D 34 0 D 4 0 D 55 0 E 11 1 E 66 0 E 6 1 E 77 0 D 1 1 E 78 0 D 8 0 D 99 0 0 12 0 D 1010 1 0 14 0 D 1011 0 E 11 0 E 1212 1 D 13 0 E 1213 1 E 14

3.2 Maquinas especiais

Como se viu em 3.1.6, a descricao exaustiva da tabela de uma maquina pode ser bas-tante longa e, para certos efeitos, poderemos estar interessados em aplicar maquinasaos outputs de outras – por exemplo aquando da composicao de funcoes –; interessaassim poder garantir a existencia de maquinas sem as descrever estado a estado.Vamos descrever maquinas em numero suficiente para os nossos propositos.

Notacao 3.2.1 1. M |t ∼∼∼> s significa que a maquina M produz o output spara o input t.

2. M |...a∗j ... ∼∼∼> a∗′

n ... significa M |(j, 1) : a ∼∼∼> (l, n) : a′ para certos j,l,nfitas a e a’.

3. ...n∗... = ...1∗n ... e significa que o primeiro 1 do bloco de n uns esta em”observacao”.

Compressor 3.2.2 : Eliminacao de zeros a mais entre uns

COMPRESS |...10m1∗n... ∼∼∼> ...101∗n ...

99

0 11 0 E 2 1 E 12 0 D 3 1 D 63 1 D 44 0 E 5 1 D 45 0 E 16 0 D 6 1 0 7

Accao: Recua ate encontrar o segundo zero;avanca; escreve 1; passa uns para a direita ateencontrar zero e recua; apaga o ultimo 1 de n;recua ate ao primeiro 1 do novo bloco n;repete esta sequencia ate que haja um so zeroa esquerda de n; para a observa o primeiro 1 de n.

Completacao 3.2.3 Eliminacao de ausencia de instrucoes e preparacao para con-catenacao.

Para cada maquina M=(d,p,s) com domınio de d,p e s F, defina-se

dom(M)=F M(a,b)=(d(a,b),p(a,b),s(a,b))

E(M)=estadosdeM ∪ s(F ) S(M) = maxE(M)

Uma completacao da maquina M designa-se porMu

↓ , onde u e qualquer natural

positivo maior que S(M) e define-se do seguinte modo

dom(Mu

↓ )= 0, 1× E(M)Mu

↓ =

M(a, b) se ...(a, b) ∈ F...(a, o, u) caso contrario

Por exemploCOMPRESS

↓ 8 e

0 11 0 E 2 1 E 12 0 D 3 1 D 63 1 D 4 1 0 84 0 E 5 1 D 45 0 0 8 0 E 16 0 D 6 1 0 77 0 0 8 1 0 8

Translacao 3.2.4 ”Avanco”de estados para preparar ”instalacao de maquina a mon-tante”. Esta transformacao permite a descricao rapida de uma maquina que paracada input calcula primeiro o output de uma dada, em seguida o ”introduz”comoinput de outra dada, tendo como output final o da segunda; isto e ,cria-se espacopara a colocacao da primeira maquina a actuar.

Para cada maquina M, a l- translacaode M designa-se por [M,l] e e definida por

Dom([M,l]) = (i, k + l) : (i, k) ∈ Dom(M)

[M,l](i,k+l) = (d(i,k),p(i,k),s(i,k)+l)

Por exemplo [ Soma ,2] e dada por

0 1123 0 D 44 1 E 5 1 D 45 0 D 6 1 E 5

Concatenacoes 3.2.5 Dadas maquinas M0 = (d0, r0, s0) e M1 = (d1, p1, s1),

M ∪N

designa a maquina (d,p,s) definida por (d(j, k), p(j, k), s(j, k)) = (di(j, k), pi(j, k), si(j, k)),se (j, k) ∈ Dom(Mi) com i=0,1.

Note-se que uma condicao suficiente para que M∪N esteja definida e que Dom(M)∩Dom(N) = ∅ ; se Dom(M) ∩Dom(N) 6= ∅ pode haver ambiguidade na definicao.

A concatenacao de M com N nota-seMu

↓ e define-se por

Mu

↓M

=Mu

↓ ∪ [N,u-1]

Por exemplo, se M e N sao dadas respectivamente pelas tabelas

0 11 1 D 2 1 D 12 0 0 3 1 D 1

0 11 1 D 2 0 D 12 1 D 4 1 D 33 1 D 4 1 D 3

Mu

↓M

e dada por

101

0 11 1 D 2 1 D 12 0 0 3 1 D 13 0 0 4 1 0 44 1 D 5 0 D 45 1 D 7 1 D 66 1 D 7 1 D 6

Pode interessar que a maquina sequente so funcione quando o output da anteriortenha zero em observacao; neste caso define-se a concatenacao a esquerda

Mu

Ne dada por por

Mu

N=

Mu

↓ ∪ 0 0 (u+1) | ∪[N, u]

Analogamente se define a concatenacao a direitaMu

Npor

MuN

=Mu

↓ ∪ | 1 0 (u+1) ∪[N, u]

E tambem a concatenacao alternativa por MuN N1

por

MuN N1

=Mu

↓ ∪ u 0 0 (u+1) | 1 0 (u+v+1) cup [N, u] ∪ [N1, u+v]

Por vezes pretende-se que M se aplique sucessivamente um numero de vezes que podevariar com o input ou o output; define-se

M =Mu

↓ ∪ u 0 0 1 | M =Mu

↓ ∪ u | 1 0

A concatenacao de M consigo propria k vezes nota-se Mk , mais precisamente define-se

M1 = M

Mk+1 =Mu

↓M

O Copiador (universal) 3.2.6 COPY I |...n∗1n2...nk... ∼∼∼> ...n1n2...nkn∗1...

Para a definicao desta maquina utilizaremos algumas outras auxiliares.

Passador a direita :

M[2]|...a∗jaj+1...ap00... ∼∼∼> ...ajaj+1...ap00∗...

se um dos ai for 1 e 00 for a primeira sequencia de dois zeros apos esse a

0 11 0 D 1 1 D 22 0 D 3 1 D 23 0 0 4 1 D 2

Passador a esquerda : passa celulas para a esquerda ate encontrardois zerosseguidos

[2] M |...aj...a∗p... ∼∼∼> ...0∗0aj...ap...

0 11 0 E 2 1 E 12 0 0 3 1 E 1

Apagador = |...n∗1n2... ∼∼∼> ...0n1n∗2...

0 11 0 D 2 0 D 12 0 D 2 1 0 3

Marcador simples

Marc1|...n∗1n2...nk... ∼∼∼> ...10∗n11n2 ...nk01... com n2 > 0

| 1 D 2

0 1

1 0 E 22 0 0 3

↓M[2]

↓0 1

1 1 O 2↓

[2]M↓

0 11 1 D 2

↓M[2]

↓0 1

1 1 0 2↓

[2]M↓

0 11 0 E 1 1 D 2

103

Marcador duplo

Marc2|...10∗k n2...nk01p ∼∼∼> ...110∗ k−1 n2...nk01p+1 (k ≥ 2;n2, p > 0)

M[2]

↓0 1

1 0 E 22 1 0 3

↓[2]M↓

0 11 0 E 2

0 1

1 0 E 1 1 0 2

0 1

1 1 D 22 1 D 3

Teste de 1 a direita

T [1]|...a∗j0... ∼∼∼> ...a∗j0... T [1]|...a∗j1... ∼∼∼> ...aj1∗...

0 11 0 D 2 1 D 22 0 E 3 1 0 3

Copiador da primeira coordenada com segunda positiva

COPY I + |...n∗1n2...nk ∼∼∼> ...n1n∗2...nkn1 (n2 > 0)

Marc1↓

Marc2 ↓

T [1]

Copiador unario = COPY 1 |...n∗1 ∼∼∼> ......n1n∗1

M[2]

↓0 1

1 1 E 22 0 E 33 0 D 4 1 E 3

↓COPY I +

↓0 1

1 0 D 22 0 D 3

↓COMPRESS

Podemos agora definir o copiador universal (da primeira coordenada) anunciadoem 3.2.6.

COPY I |...n∗1n2...nk... ∼∼∼> ...n1n∗2...nkn1...

0 11 0 D 2 1 D 12 0 0 3 1 0 3

0 1

1 0 E 1 1 E 22 0 D 3 1 E 2

0 11 0 E 2 1 E 12 0 D 3 1 E 2

↓ ↓COPY 1 COPY I +

Desvios 3.2.7 : passa a observar a coordenada seguinte ou a coordenada anterior

Desvio a direita = DD |...n∗1n2... ∼∼∼> ...n1n∗2...

0 11 0 D 2 1 D 1

Desvio a esquerda = DE |...n1n∗2... ∼∼∼> ...n∗1n2...

0 11 0 E 2 1 E 12 0 D 3 1 E 2

3.3 Composicao e Recursao

Temos ja maquinas suficientes para os nossos fins

105

Teorema 3.3.1 A composicao de funcoes computaveis e computavel, ou seja, se asfuncoes gi : (N+)k → N+ (1 ≤ i ≤ r) e f : (N+)r → N+ sao computaveis, a funcaoh : (N+)k → N+ dada por

h(n) = f(g1(n), ..., gr(n))

e computavel.

Dem.

1. Comecemos por obter uma maquina

Mg1|n∗1...nk ∼∼∼> n∗1...nKg1(n)

COPY k↓g1

↓COMPRESS

↓DE k

2. Em seguida defina-se uma maquina

Mg1 , ...,g2 |n∗1...n∗k ∼∼∼> n∗1...nkg1(n) COPY I hgr(n)

Mg1 , ...,gr−1

↓COPY k

↓DD r−1

↓gr

↓COMPRESS

↓DE k+r−1

3. Finalmente h e calculada pela maquina

Mg1 , ...,gr

↓k

↓f

q.e.d.

Exemplos 3.3.2 As seguintes funcoes h sao computaveis

1. h(m,n) = m+n-1 = Ant(Soma(m,n))

2. h(m,n) = 3n = Soma(Soma(P22(m,n), P22(m,n)), P22(m,n))

A demonstracao do corolario seguinte deixa-se a cargo do leitor.

Corolario 3.3.3 Suponha que f:(N+)r → N+ e computavel.

n 7→ f(Pki1(n), ..., (Pkir(n))

e computavel, para quaisquer k, r, ij ∈ N+ , com 1 ≤ ij ≤ r. Ou, de outro modo, separa qualquer funcao σ : 1, ..., r → 1, ..., k, a funcao

n 7→ f(nσ(1), ..., nσ(r))

e computavel.

Exemplos 3.3.4 As seguintes funcoes h sao computaveis

1. h(m,n,p) = 3n-p+2

2. h(m,n) = 2n-1

Para o teorema seguinte definiremos uma maquina significativamente mais compli-cada.

Teorema 3.3.5 (de Recursao)

Sejam f : (N+)k → N+ e g:(N+)k → N+ funcoes computaveis. A unica funcaoh : (N+)k+1) → N+ tal que

h(1, n) = g(n) (n ∈ (N+)k)

h(m+ 1, n) = f(m,n, h(m,n)) (m ∈ N+;n ∈ (N+)k)

107

e computavel.

Antes de o demonstrarmos podemos ja retirar dois corolarios

Corolario 3.3.6 A multiplicacao, Mult:(N+)2 → N+, e computavel

Dem Mult(m,n) = mn = m • n e tem-se

1n = n

(m+1)n = mn + n

Tome-se para g a funcao identidade de N+ e para f a soma. q.e.d.

Tambem deixamos ao cuidado do leitor a demonstracao do seguinte

Corolario 3.3.7 (Recursao simples)

Seja F : (N+)2 → N+ dada uma funcao computavel. Para cada c ∈ N+ , a (unica)funcao h : N+ → N+ tal que

h(1) = c

h(n+ 1) = F (n, h(n)) (n ∈ N+)

e computavel.

Exemplos 3.3.3 1. A funcao n ` n! (n ∈ N) e computavel.

2. A funcao Diff’:(N+)2 → N+ dada por

Diff ′(m,n) := n−. m =

n−m se n−m ≥ 1

1 caso contrario

e computavel, pois

Diff’(1,n) = Ant(n)

Diff’(m+1,n) = Ant(Diff’(m,n))

(Relembre o corolario 3.3.3).

3. As Potencias dadas por P(m,n)=nm ((m,n) ∈ (N+)2) e os polinomios em(N+)k nao identicamente nulos sao computaveis.

4. Suponha que g designa uma funcao computavel de adequada k-aridade. Asfuncoes dadas pelas equacoes seguintes sao computaveis.

(a)∑

g(n) =n∑

i=1

g(i)

(b)∑

g(m,n) =m∑

i=1

g(i, n)

(c) Πg(m,n) = Πmi=1g(i, n)

Demonstracao do Teorema de recursao.

Na descricao seguinte os rectangulos maiores indicam maquinas cuja accao e descritaao lado; O total descreva a maquina para h.

|0 D 2

0 D 1 |

↓g

↓| 1 E 1

0 E 2 1 E 11 D 30 D 4

0 1∗n ∼∼∼>0∗1g(n)

0 1∗mn ∼∼∼>101∗m−1n(m > 1)

109

0 D 1 | COPY(k+1)

↓| 0 D 1

0 D 1 |

↓g

↓COMPRESS

↓DE k+1

↓

1 0 1∗m−1n ∼∼∼> 101∗m−1

n001∗m−2n...1∗n g(n)

.01rn001∗r−1n01p ∼∼∼> 01∗r)

n01f(r−1,n,p)

0 E 2 | 1 E 1

0 D 1 |

↓g

↓COMPRESS

↓DE k+1

0 D 2 | 0 D 1

↓f↓

| 1 E 1

1 0 1∗rn01p ∼∼∼>010∗1f (r,n,p)

↓

0 D 1 |

Exercıcios 3.3.9 1. Considere a funcao h:N+ → N+ definida por

h(1) = 1 & h(n+1) = 2n+h(n)

(a) Determine h(6)

(b) Mostre que h e computavel

2. Mostre que, para valores adequados de k, as funcoes f:(N+)k → N+ dadas aseguir sao computaveis

(a) f(n) =n∑

i=1

(b) f(n,m) =1∑

i=1

im

3. Mostre que a funcao g:(N+)2 → N+ dada por

g(1,n)=n &g(m+ 1, n) = ng(m,n)

e computavel.

4. Suponha que g:(N+)k → N+ e uma funcao computavel. Mostre que para kconforme adequado, a funcao Qg : (N+)k → N+ dada e computavel.

(a) Qg(n) =n∑

i=1

g(i)

(b) Qg(n) = Πni=1g(i)

(c) Qg(m,n) =m∑

i=1

g(i, n)

(d) Qg(m,n) = Πmi=1g(i, n)

5. Suponha que f e g sao funcoes unarias computaveis. Mostre que a funcaoQfg : N+ → N+ dada por

Qfg(n) = Πni=1f(i)g(i)

e computavel.

3.4 Relacoes computaveis; operador de mınimo;

funcoes recursivas

Recorde-se que uma relacao unaria e um subconjunto de N+.

Definicao 3.4.1 Um subconjunto de (N+)k diz-se computavel se a sua funcaorepresentativa o for.

Por exemplo, resulta do teorema 3.1.6.5 que a relacao < e computavel.

111

Teorema 3.4.2 Se P e Q sao relacoes k-areas computaveis tambem sao computaveisas seguintes

a) (N+)k\P b) P ∩ Q c) P ∪ Q

Dem. Basta verificar que

a) X(N+)k\p = 3−. Xp b) Xp∩Q = X<(Xp • XQ, 2)

c) XP∪Q = Xp + XQ −XP∩Q

E praticamente imediato que

Corolario 3.4.3 As seguintes relacoes sao computaveis.

a) ≥ b) > c) ≤ d) =

Para simplificar um pouco o discurso introduzimos a seguinte notacao, aplicada arelacoes k-areas

P(n) ≡ n ∈ P

∼ P = (N+)k\P P ∧Q = P ∩Q P ∨Q = P ∪Q

P( n) ∧Q(n) ≡ P ∧Q(n) P (n) ∨Q(n)P ∨Q(n)

Nestes termos o teorema 3.4.2 afirma que ∼ P, P ∧Q,P ∨Q sao computaveis, se Pe Q sao computaveis.

Teorema 3.4.4 Se R e uma relacao r-aria computavel e as funcoes k-arias gi, 1 ≤i ≤ r, sao computaveis, tambem e computavel a relacao k-aria Q dada por

Q( n) sse R(g1(n), .., gr(n))

Em particular, e computavel a relacao Q dada por

Q(n) sse R(Pki1(n), ..., R(Pkir(n))

Dem. No caso geral tem-se

XQ(n) = XR(g1(n), .., gr(n))

Em particular, recorde-se que as projeccoes sao computaveis.

q.e.d.

E ainda

Teorema 3.4.5 As relacoes finitas sao computaveis.

Dem. A demonstracao pode ser feita por inducao sobre a k-aridade e o numero deelementos da relacao observando que

1. Se Rm = m ⊆ N+, entao R(n) sse n=m, pelo que

XR(n) = X (C1m(n), P11(n))

2. Se Rm = m ⊆ (N+)k e m = (m1, ...,mk), entao

Rm(n) sse Rm1(Pk1(n)) ∧ ... ∧Rmk(Pkk(n))

3. Se R=n1, ..., np ⊆ (N+)k , entao

R = Rn1 ∨ ... ∨Rnp

q.e.d.

Para cada relacao R (1+k)-aria definimos por quantificacao limitada as relacoesk-arias

∃x ≤ n1R(x, .) e ∀x ≤ n1R(x, .)

por

∃x ≤ n1R(x, n) sse x ∈ N+ : R(x, n) 6= ∅

∀x ≤ n1R(x, n) sse 1, ..., n ⊆ x ∈ N+ : R(x, n)

113

Teorema 3.4.6 Se R e uma relacao 1+k-aria computavel, entao ∃x ≤ n1R(x, .) e∀x ≤ n1R(x, .) sao computaveis.

Dem. Tem-se as duas seguintes condicoes

∃x ≤ n1R(x, n) sse

n1∑i=1

XR(i, n) < 2n1

∀x ≤ n1R(x, n) sse ∼ ∃x ≤ n1 ∼ R(x, n)

Os restantes detalhes deixam-se como exercıcio. q.e.d.

Defina-se

n|m sse n divide m (n,m) ∈ (N+)2

Primo(m) sse m e primo (n ∈ N+)

Corolario 3.4.7 As relacoes .|. e Primo sao computaveis

Dem. Tem-se que n|m sse existe x, necessariamente menor ou igual a m, tal quenx=m; assim defina-se uma relacao binaria D por

D(m,n) sse n| m

Segue-se que

D(m,n) sse ∃x ≤ m(nx = m)

ou, com mais detalhe,

D(m,n) sse ∃x ≤ m(Mult(n, x) = m

Podemos agora utilizar o teorema 3.4.6 e concluir que D e computavel. Como n|msse D(P22(m,n), P21(m,n)) segue-se que . | . e computavel.

Quanto a Primo, observe-se que m e primo sse m>1 e seja qual for x – necessaria-mente menor ou igual a m – ou x e igual a m ou x nao divide m. q.e.d.

Recorde-se que para cada relacao 1+k-aria R se define

µ xR(x,n) = min x ∈ N+ : R(x, n)

quando x ∈ N+ : R(x, n) 6= ∅

Teorema 3.4.8 Se R e uma relacao 1+k-aria computavel tal que x ∈ N+ : R(x, n) 6=∅ para qualquer n ∈ (N+)k , entao a funcao k-area f dada por

f(n) = µxR(x, n)

e computavel.

Dem. A demonstracao vai consistir em descrever uma maquina que produz o out-put µxR(x, n) se para algum R(x,n) para algum x e nao produz output se x ∈ N+ :R(x, n) = ∅: a accao de cada maquina esta descrita ao lado ou em chamada

DD k−1

↓0 D 2 1 D 11 0 3

↓DE k

↓

|n∗ ∼∼∼> n∗01

(preparacao para testar se R(1, n))

1.

COPY(k+1)

↓XR

↓| 0 D 2

3. | 0 E 2 2.

0 E 3 0 E 20 E 2 1 D 10 D 4 1 E 3

↓DE K

115

↓0 E 1 1 E 20 D 3 1 E 2

↓DE k

↓k

|n0p010∗ ∼∼∼> 0sp∗

1. |n∗m ∼∼∼>

nm011∗ se (n,m) 6∈ R

nm010∗ caso R(n,m)

2. |nm011∗ ∼∼∼> n∗(m+ 1)

3. | n∗m ∼∼∼> nµxR(x, n)010∗

Teorema 3.4.9 As funcoes recursivas sao computaveis.

Dem. Utilize as partes 1,3 e 5 do teorema 3.1.6, os teoremas 3.3.1 e 3.3.6, 3.4.3.d,o teorema 3.4.8 e relembre a definicao 2.10.8.

OBSERVACAO. De facto tambem vale o recıproco deste teorema, mas tratare-mos esse assunto mais tarde. De qualquer modo, mesmo sem recorrer ao facto deque, em vista desse recıproco, as funcoes computaveis sao aritmeticas, podemos verque existem funcoes nao computaveis observando que uma maquina e um terno defuncoes de domınio finito ; daqui se pode concluir que o conjunto das maquinase numeravel e, em particular, e numeravel o conjunto das maquinas que calculamfuncoes. Um argumento semelhante ao utilizado para mostrar que existem funcoesnao aritmeticas mostra que existem funcoes nao computaveis.

Podemos agora provar sem dificuldade que mais algumas funcoes importantes saocomputaveis, a saber:

Defina-se

Prm(n) = n-esimo primo (n ∈ N+)

Exp’(m,n) = µx[∼ (m | n) ∨m = 1]((m,n) ∈ (N+)2)

Exemplos 3.4.10 1. Prm(5) = 11

2. Exp’(1,m) = 1 = Exp’(3,4); Exp’(2,24) = 4

Teorema 3.4.11 Prm e Exp’ sao computaveis

Dem. Observe-se que

Prm(1) = 2 & Prm(n+1) = µx[Primo(x)∧ Prm(n)<x]

Quanto a Exp’, basta mostrar que, definindo R por

R(x,m,n) sse ∼ (mx | n)∨ m=1

se tem que R e computavel e que, para qualquer (m,n)∈ R∗ , existe x tal que R(x,m,n)e utilizar o teorema 3.4.8.

1. Sabemos que . | . e uma relacao computavel e que as potencias sao funcoescomputaveis; segue-se que a relacao Q dada por

Q(x,m,n) sse ∼ (mx | n)

e computavel; como a igualdade e as funcoes constantes tambem sao com-putaveis, R e computavel (recorde o teorema 3.4.2).

2. Se m=1, quaisquer x e n verificam R(x,m,n); se m ¿1, entao mn ¿n e tem-seR(n,m,n). q.e.d.

Note-se que o operador µx pode levar a funcoes cujo domınio nao e N+ : porexemplo µ x[ m< x <n] nao existe para pares (m,m+1); no entanto e facil verificarque A=(m,m + 1) : m ∈ N+ e computavel e, consequentemente tambem o eo seu complementar em (N+)2; poderia assim definir-se f(m,n)=1, se (m,n)∈ A, ef(m,n)=µx[m< x <n] caso contrario, obtendo-se f computavel. Mais precisamente:

Teorema 3.4.12 Funcoes definidas por casos computaveis sao computaveis, i.e.: seA1, ..., Ap e uma particao de (N+)k e todos os Ai sao computaveis e as funcoes gi

sao computaveis, para 1 ≤ i ≤ p, a funcao f dada por

f(n) = gi(n) se n ∈ Ai (1 ≤ i ≤ p)

e computavel.

Dem. Os conjuntos Ai sao relacoes k-arias e

f(n) = µ x[ ∨pi=1(gi(n) = x ∧ Ai(n))]

117

q.e.d.

Exemplos 3.4.13 Defina-se

Max(n) = maxn1, ..., nk (n ∈ (N+)k)

Max e computavel pois pode ser definida por casos computaveis.

Exercıcios 3.4.14 1. Mostre que os complementares de conjuntos computaveissao computaveis.

2. Mostre que os seguintes conjuntos sao computaveis

(a) (m,n) ∈ (N+)2 : m2 > n(b) (m,n, p) ∈ (N+)3 : m2 + n2 = p2(c) (m,n, p) ∈ (N+)3 : m2 −. n2 > p2

3. Mostre que as funcoes binarias mdc e mmc, respectivamente maximo divisorcomum e mınimo multiplo comum sao computaveis.

4. Mostre que as seguintes funcoes f sao computaveis

(a) f(n) =

1 se o ultimo teorema de Fermat e verdadeiro

2 caso contrario

(b) f(n) =

n se n e n + 2 sao primos

1 caso contrario

Observe que f nao e limitada sse existir um numero infinito de primos gemeosou consecutivos. A existencia de um numero infinito de pares de primos gemeose uma conjectura ainda nao provada nem contraprovada.

5. Seja X=1 ∪ n ∈ N+ : 2n e soma de dois primos . Mostre que X ecomputavel.

A conjectura de Goldbach afirma que qualquer numero par maior que 2 e somade dois primos e tambem nao foi ainda provada nem contraprovada.

6. (a) Defina para cada (m,n)∈ (N+)2

Exp(m,n) = Exp’(Prm(m),n) −. 1

Mostre que Exp e computavel e verifique que Exp(m,n) e o expoente dom-esimo primo na representacao de n como produto de potencias de baseprima, quando o m-esimo primo divide n.

(b) Considere a sucessao de Fibonacci (f(n)) dada por

f(1) = 1 = f(2)

f(n+2) = f(n) + f(n+1) (n≥ 1)

e defina

g(n) = 2f(n)3f(n+1) (n ∈ N+)

i. Mostre que g e computavel

ii. Mostre que f e computavel.

7. Defina

π(1, n) = 2n− 1 se n ∈ N+

π(m+ 1, n) = 2π(m,n) se m,n ∈ N+

Mostre que π e uma bijeccao computavel de (N+) em N+ e que as funcoes π1

e π2 que verificam π(π1, π2) = idN+ tambem o sao.

3.5 Enumerabilidade maquina

Suponha-se dado um sistema formal - no sentido definido na seccao 2.7 - cujosaxiomas sao produzidos ordenadamente por algum tipo de maquina. E um ex-ercıcio mental relativamente simples imaginar outra maquina que produza, em al-guma ordem, todas as deducoes possıveis nesse sistema; com mais um pequenoesforco, obtem-se uma listagem dos teoremas desse sistema, que sao os ultimos ele-mentos das deducoes. E um problema completamente diferente saber se uma dadaformula ocorre ou nao nessa listagem

Dito de uma maneira mais prosaica: a partir de um conjunto de axiomas e facilgerar teoremas -principalmente os triviais ...

- mas e normalmente difıcil saber se uma dada assercao e ou nao um teorema.

Repare-se que as tabelas de verdade para o Calculo Proposicional sao um processomecanico de decidir se uma dada fbf e ou nao um teorema do sistema formal con-siderado em 1.5 - assim afirma o Teorema de Completude.

Nesta seccao vamos preocupar-nos com as distincoes implıcitas no que acabamos dedescrever.

Comecemos por definir para cada k uma funcao computavel # : (N+)k → N+:

119

(3.5.1) #k(n1, ..., nk) = 2n1 ...P rm(k)nk = Πki=1Prm(i)ni

Definicao 3.5.1 1. Um subconjunto de N+ diz-se enumeravel maquina sefor vazio ou for o contradomınio de uma funcao unaria computavel, que sedira a sua enumeracao .

2. Uma relacao k-aria diz-se enumeravel maquina se #k(n1, ..., nk) : R(n1, ..., nk)for enumeravel maquina.

Observacao 3.5.2 1. Note-se que, se a relacao R e vazia tambem e vazio o#k(n1, ..., nk) : R(n1, ..., nk) e, portanto, R e enumeravel maquina.

2. (N+)k e enumeravel maquina pois #k((N+))k = N+ .

O facto de se considerarem apenas funcoes unarias na parte 1 desta definicaonao faz perder generalidade:

Teorema 3.5.3 O contradomınio de uma funcao k-aria computavel e enumeravelmaquina.

Dem. Se g:(N+) → N+ e computavel, a funcao f: N+ → N+ dada por

f(n) = g(Exp(1,n),...,Exp(k,n))

e computavel e tem o mesmo contradomınio que g (utilize #k , definida em (3.5.1))q.e.d.

Como o conjunto das funcoes unarias computaveis e numeravel tambem o e o con-junto dos possıveis contradomınios delas e, consequentemente, existem conjuntosque nao sao enumeraveis maquina.

Teorema 3.5.4 Toda a relacao k-aria computavel e enumeravel maquina (k ∈ N+)

Dem. Seja R uma relacao computavel. Se R=∅ , consulte-se a observacao 3.5.2.

Se ∅ 6= R ⊆ (N+)k , recorde-se que R e ∼R sao computaveis (Teorema 3.4.2),tome-se m ∈ R e defina-se

f(n) =

#n se R(n)

(n ∈ (N+)k)#m se ∼ R(n)

A funcao f e computavel e o seu contradomınio e #(n1, ..., nk) : R(n1, ..., nk);tendo em conta o Teorema 3.5.3, podemos concluir que R e enumeravel maquina.q.e.d.

Nao e trivial definir um conjunto enumeravel maquina que nao seja computavel. Defacto estamos no inıcio de um processo pode conduzir a um conjunto desse tipo.

Teorema 3.5.5 Uma relacao R e computavel sse R e ∼ R sao enumeraveis maquina.

Dem. Se R e computavel, o mesmo acontece com ∼R (3.4.2) e portanto ambas saoenumeraveis maquina pelo teorema anterior. Se R e ∼R sao enumeraveis maquinae uma delas e vazia, consulte-se a observacao 3.5.2. Se nenhuma e vazia sejam ρρe # respectivamente enumeracoes de #k(R) e #k(∼ R). Como R, ∼ R e umaparticao de (N+)k , dado n ∈ (N+) ou bem que existe m ∈ N+ tal que ρ(m) = #k(n)ou existe m ∈ N+ tal que ρ(m) = #k(n). Como ρ , ρ e # sao computaveis, bemcomo a relacao de igualdade, segue-se que a funcao h:(N+)k → N+ dada por

h(n) = µm[ρ(m) = #(n) ∨ ρ(m) = #k(n)]

e computavel. Como

#k(R) ∩#k(∼ R) = ∅

tem-se

n ∈ R sse ρ(h(n)) = #k(n)

ou seja

R = n ∈ (N+)k : ρ h(n) = #(n)

e R e computavel.q.e.d.

Para cada relacao (1+k)-area S defina-se uma relacao k-area por

∃xS(x, n) sse x ∈ N+ : S(x, n) 6= ∅ (n ∈ (N+)k)

Teorema 3.5.6 Uma relacao k-aria R e enumeravel maquina sse existe uma relacao(1+k)-area computavel S tal que

R(n) sse ∃xS(x, n) (n ∈ (N+)k)

121

Dem. (So se) Suponha-se que R e enumeravel maquina

Se R=∅ tome-se tambem R=∅ .

Se R 6= ∅ e ρ e uma enumeracao de R - e computavel por definicao - defina-se para(x,m) ∈ (N+)1+k

S(x,m) sse ρ(x) = #k(m)

S e computavel e R(m) sse ∃xS(x,m), como se pretendia.

(Se) Suponha-se que S ⊆ (N+)1+k e computavel e que

R(m) sse ∃xS(x,m)m ∈ (N+)

Se S = ∅ tambem R=∅ e portanto R e enumeravel maquina.

Se S 6= , tome-se (n0,m0) ∈ S e defina-se f:(N+)1+k → N+ por

f(m,n) =

#(m) se s(n,m)

#(m0) caso conatrario

A funcao f e computavel, por ser definida por casos computaveis, e por construcao

f((N+)1+k) ⊆ #k(R)

Por outro lado, se R(m) entao, por hipotese, existe n ∈ N+ tal que S(n,m); pordefinicao de f tem-se f(n, m) = #N (m) e daı

f((N+)1+k) ⊇ #k(R)

Segue-se que f((N+)k+1) = #N (R). Por 3.5.3 esta terminada a demonstracao.q.e.d.

Exercıcios 3.5.7 1. Uma relacao R ⊆ (N+)k+1 diz-se funcional se para cadam ∈ (N+)k existe um e so um n∈ N+ tal que R(m,n). Se R ⊆ (N+)k+1 efuncional define-se a funcao fR : (N+)k → N+ por

fN (m) = n sse R(m,n)

Mostre que se R e enumeravel maquina, entao R e fR sao computaveis.

2. Suponha que S1 e S2 sao relacoes (1+k)-arias computaveis e que

R = m ∈ (N+)k : ∀xS1(x,m) = m ∈ (N+)k : ∃xS2(x,m)

Mostre que R e computavel.

3. Se R e S sao relacoes k-arias enumeraveis maquina, entao R ∧ S e R ∨ Stambem sao.

4. Se R e uma relacao (1+k)-aria enumeravel maquina tambem o sao as relacoesk-arias P dadas por

(a) P(n) sse ∃ xR(x,n)

(b) P(n) sse ∃x ≤ n1R(x, n)

(c) P(n) sse ∀x ≤ n1R(x, n)

5. Mostre que o contradomınio de uma funcao computavel deN+ em N+ crescenteem sentido lato e computavel.

6. Mostre que um conjunto enumeravel maquina infinito e contradomınio de umafuncao computael injectiva.

7. Suponha que f:N+ → N+ e computavel e que X e um subconjunto computavelde N+ . Decida se f−1(X) e ou nao computavel?

8. Qual a cardinalidade do conjunto de todos os subconjuntos de N+ enumeraveismaquina? Qual a cardinalidade do conjunto de todos os subconjuntos de N+

enumeraveis maquina e nao computaveis?

9. Mostre que todo o subconjunto de N+ infinito e computavel tem um subconjuntoenumeravel maquina mas nao computavel.

10. Mostre que todo o subconjunto infinito de N+ enumeravel maquina tem umsubconjunto infinito computavel.

3.6 Computabilidade , recursividade e aritmetica

A semelhanca entre funcoes computaveis e funcoes recursivas, da qual vimos umaspecto em 3.4.9, e reforcada com os resultados seguintes, cuja demonstracao fica acargo do leitor

Teorema 3.6.1 Se P e uma relacao (1+k)-aria recursiva tambem o sao as seguintesrelacoes k-arias U e E

123

U(n) sse ∀x ≤ n1P(x,n) E(n) sse ∃x ≤ n1 P(x,n)

Para fixar ideias: suporemos demonstrado o seguinte

Teorema 3.6.2 Uma funcao e computavel sse e recursiva

Dedicaremos mais adiante uma seccao a demonstracao de que toda a funcao com-putavel e recursiva, o que com 3.4.9 demonstra 3.6.2.

Em face do teorema 2.10.9 temos assim

Teorema 3.6.3 As funcoes computaveis sao aritmeticas.

Quanto a relacoes

Corolario 3.6.4 As relacoes computaveis sao aritmeticas.

Dem. Uma relacao R e computavel se for computavel a sua funcao representativaXR ; portanto se R e computavel, pelo teorema anterior, XR e aritmetica: para umacerta fbf ρ da aritmetica

R(n) sse XR(n) = 1 sse |=N ρ(y1, ..., yk, z)[(n, 1)]

e R e definida por ρ(y1, ..., yk, z). q.e.d.

Corolario 3.6.5 As relacoes enumeraveis maquina sao aritmeticas.

Dem. Se R e uma relacao k-aria enumeravel maquina, pelo teorema 3.5.6, existeuma relacao (1+k)-aria computavel S tal que

R(n) sse ∃xS(x,n)

Pelo corolario anterior, S e aritmetica, digamos que σ define S; entao ∃zS(z, y1, ..., yk)define R. q.e.d.

3.7 Incompletude da Aritmetica I: teorema de Tarsky

Retomemos a linguagem L e a interpretacao R da seccao 2.10.

Convencao 3.7.1 Para nao sobrecarregar a notacao, passamos a notar cada con-stante ai de L por i

O lema seguinte afirma que nao e possıvel ”classificar”aritmeticamente todas asrelacoes unarias aritmeticas

Lema 3.7.2 Nao existe uma relacao binaria aritmetica R tal que para cada relacaounaria aritmetica P, exista um m ∈ N+ para o qual

P(n) sse R(m,n) (n ∈ N+ )

Dem.

Suponhamos que tal R existe e seja ρ (x,y) a fbf que define R. Seja P a relacaounaria definida por ∼ ρ (x,x), i. e.,

P(n) sse |=N∼ ρ(n, n)(n ∈ N+ )

Por hipotese, para algum mp ∈ N+ ,

P(n) sse R(mp ,n) (n ∈ N+ )

Mas entao,

|=N∼ ρ(mp,mp) sse P (mp) sse R(mp,mp) sse |=N ρ(η, η)

o que e claramente contraditorio. Assim R nao pode existir. q.e.d.

No que segue vamos ter de substituir constantes por outras constantes em algumasfbfs; a substituicao sera feita em todas as ocorrencias, tal como para as substituicoesde variaveis. Seja P o conjunto das proposicoes de L . Seja tambem # : P → N+

uma funlao injectiva.

Para cada π ∈ P , se ocorrem constantes de L em π , seja

i(π ) = max i ∈: N+ : i ocorre em π

125

i(π) pode ser, por exemplo 1, se nao ocorrem constantes em π.

Deste modo πi(π)η = π , se nao ocorrem constantes em π.

Defina-se S:#(P)× N+ → N+ por

S(m,n) =#[πi(π)η ] se m = #(π )

De outro modo

S( #(π), n) = #[πi(π)η ] se (π ∈ P ;n ∈ N+ )

O domınio de S pode nao ser (N+) , mas S esta bem definida pois # e injectiva porhipotese. S diz-se a funcao de substituicao (associada a #).

Teorema 3.7.3 (de Tarski)

Se a funcao de substituicao S tem uma extensao aritmetica, entao

#(#(π) : π ∈ P& |=N π)

nao e aritmetico. Em particular,

#(#(π) : π ∈ P& |=N π

nao e computavel nem enumeravel.

Dem. A demonstracao sera feita por reducao ao absurdo.

Seja V = #(π) : π ∈ P& |=N π. Suponha-se que S tem uma extensao aritmetica,tambem designada por S, e que (o grafico de) S e definida (definido) pela fbf σ(x,y,z),ou seja

(3.7.2) S(m,n)=p sse |=N σ ( m , n , p ) (m,n,p∈ N+)

Suponha-se tambem que #(V) e aritmetico e definido pela fbf ν(z), isto e ,

(3.7.3) m= #(π) sse |=N ν(m) (π ∈ V)

Seja ainda R a relacao binaria aritmetica dada por

(3.7.4) R(m,n) sse |=N ∃z(ν(z) ∧ σ(m, n,z ))

Vamos ver que R ”classifica”no sentido descrito acima as relacoes unarias ar-itmeticas. Como tal nao pode acontecer, pelo lema 3.7.2, #(V ) nao pode ser ar-itmetico.

Seja entao P uma relacao unaria aritmetica definida pela fbf π(z),

(3.7.5) P(n) sse |=N π( n ) ( n ∈ N+ )

Defina-se

k = minj ∈ N+ :i nao ocorre em π(z), seja qual for i ≥ j

m = #(π ( k ))

Verificaremos que

(3.7.6) P(n) sse R(m,n) (m,n∈ N+)

Suponha-se entao P(n). Por (3.7.5) tem-se |=N π ( n ) e portantoπ(n) ∈ V , pordefinicao de V , donde, por (3.7.3),

(3.7.7) |=N ν(#π( n ))

Ora, por (3.7.1),

S(m,n) = S(#(π(k)), n) = #[π(k)kn] = #π( n ))

e por (3.7.2),

|=N σ( m, n,#(π(n)))

Com (3.7.7) podemos concluir

|=N (ν(z) ∧ σ(m, n ,z))[#(π( n ))]

127

e daı que |=N ∃z(ν(z) ∧ σ(m, n,z)), ou seja, que R(m,n) por (3.7.4). Em suma,mostramos que vale R(m,n) se vale P(n).

Quanto a reciproca: suponha-se que R(m,n). Tem-se entao por (3.7.4) que

|=N ∃z(ν(z) ∧ σ(m, n,z))

donde, para algum p ∈ N+,

|=N (ν(p) ∧ ν(m,n, p)

e, em particular,

i) |=N (ν(p) & ii) |=\ σ(m, n,z)

De i) conclui-se que, para alguma proposicao ϕ se tem

(3.7.8) ϕ ∈ V&p = #(ϕ)

De ii) obtem-se a seguinte sequencia de igualdades

p = S(m,n) = S( #(π(k)), n) = #[π(k)kn] = #(π ( n))

Com (3.7.8) e a injectividade de # conclui-se que ϕ = π( n ) e daı que P(n), comopretendıamos

Finalmente #(V) nao e enumeravel maquina, pelo corolario 3.6.5, nao sendo entaocomputavel, pelo teorema 3.5.4. q.e.d.

Vejamos agora que existe uma funcao # nas condicoes descritas na hipotese.

Comecemos por definir # no alfabeto de L

s ( ∀ ) E, M ∼ S ⇒ xi i#(s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9+2i 10+2i

E, para cada expressao s1...sk de L , onde os si designam sımbolos do alfabeto,

(3.7.10) #(s1...sk) = Πki=1(Prm(i)#(si)

Esta funcao e claramente injectiva no conjunto das expressoes de L e, em particular,em P .

Para estudarmos a extensao de S comecamos por definir numericamente a substi-tuicao de sımbolos. Defina-se f:(N+)3 → N+ pela formula seguinte, onde os pi

designam primos distintos

f(k, l,m) =1 se m = 1

pn′11 ....p

n′rr se m = pn1

1 ....pnrr & n′i = ni se ni 6= k&n′i = 1 se ni = k

Observacao 3.7.4 A funcao f ”substitui”na representacao em factores primos dem todos os expoentes k pelo expoente l.

Para mostrarmos que f e computavel provaremos que

f(k,l,m) =µx[m = 1 ∨ ∀y ≤ m(Prm(y) 6 |m

∨(Exp(y,m) 6= k∧Exp(y,x)=Exp(y,m))

∨ (Exp(y,m)=k ∧Exp(y,x)=l))]

Vejamos que a expressao no segundo membro define de facto f: se m=1, obviamenteµx[...] = 1; se m 6= 1, decomponha-se m nos seus factores primos

m = pn11 ....p

nrr

Se x verifica a condicao [...] tera que verificar ∀y ≤ m(...). Ou bem que k nao ocorreentre os ni e x e divisıvel por todos os divisores primos de m com a mesma potencia– segunda parcela da dijunao quantificada – ou bem que k ocorre entre os ni e xcontinua a ser divisıvel por todas as potencias p

nyy , com y ≤ m e ny 6= k – terceira

parcela da dijuncao quantificada – e ainda por p1y se ny =k.

Em todos os casos, x tem como divisores maximais as potencias de primos quedividem m e nao tem expoente k e ainda p1

i se pnii = pk

i podendo ser divisıvel pormais potencias primas pq , com p 6= pi ( 1 ≤ i ≤ r).

Reciprocamente, qualquer x∈ N+ que verifique estas condicoes verifica ∀y ≤m(...),pelo que o mınimo x que verifica esta condicao e f(k,l,m). Vimos que f e definidapela equacao dada.

Na demonstracao do Teorema de Tarsky utilizamos a substituicao da constante demaior ındice em cada fbf; pela observacao 3.7.4, a funcao f ”fara ”essa substituicaodesde que a constante seja ”detectada”, o que sera ”feito”pela funcao g dada por

129

(3.7.11) g(n) = µx[∀y ≤ n∀z ≤ n(Exp(y, n) 6= 10 + 2(x+ z))]

Vejamos que g da o valor requerido: se n=#(s1...sk) tem-se

n = Prm(1)#(s1)...P rm(k)#(sk) ≥ k

Se x satisfaz a condicao entre parenteses rectos em (3.7.11), em particular,

#(sy) = Exp(y,n) 6= 10 + 2(x + z) ( 1 ≤ y ≤ k; 1 ≤ z ≤n)

ou seja

(3.7.12) sy 6= ax+z (1 ≤ y ≤ k; 1 ≤ z ≤ n)

Repare-se agora que, se x0 for o maior ındice de constante que ocorre em s1...sk ,todas as condicoes em (3.7.12) sao verificadas com x0 em vez de x, mas nao comx0 − 1; portanto g(n)=x0 , como queriamos mostrar.

A funcao S:(N+)2 → N+ dada por

S(m,n) = f(10+2g(m),10+2n,m)

e uma extensao aritmetica - de facto computavel - da funcao de substituicao (recorde-se a observacao 3.7.4).

Exercıcios 3.7.5 Seja # a funcao definida no conjunto das expressoes de L pelatabela (3.7.9) e pela equacao (3.7.10).

1. (a) Mostre que #(ε) : ε e uma expressao de L e computavel

(b) Por definicao, dados sımbolos s1, ..., sk de L , o comprimento da ex-pressao s1...sk e k e nota-se | s1...sk | . Mostre que a funcao Comp:N+ →N+ dada por

Com(n) =

|ε| se n=#(ε) e ε e uma expressao

2 caso contrario

e computavel.

2. Mostre que se C for o conjunto das expressoes equilibradas, i. e., expressoesque tem o mesmo numero de parenteses direitos e parenteses esquerdos, entao#(C) e computavel.

3. Se f e uma funcao k-area recursiva e R uma relacao (1+k+m)-area recursivaas relacoes (k+m)-areas seguintes sao recursivas

(a) P (y, z) sse ∀ x ≤ f(y)R(y, z)

(b) P (y, z) sse ∃ x ≤ f(y)R(y, z)

3.8 Incompletude da Aritmetica II: axiomatizacao

As demonstracoes de alguns dos teoremas que enunciaremos nesta seccao constamda seccao 3.9.

Notacao 3.8.1 A designa o alfabeto de L, V o conjunto das variaveis de L ,E o conjunto das expressoes de L,F o conjunto das fbfs de L,P o conjunto dasproposicoes de L e # : A → N+ uma funcao injectiva prolongada a E por

(3.8.1) #(s1...sk) = Πki=1Prm(i)#(si)(s1, ...sk ∈ A )

Como qualquer ϕ ∈ F e uma expressao, fica tambem definido injectivamente umnumero, #(ϕ), para cada fbf ϕ e prolonga-se # ao conjunto das sequencias de fbfsdefinindo

(3.8.2) #(ϕ1, ..., ϕk) = Πki=1Prm(i)#(ϕi) (ϕ1, ..., ϕk ∈ F)

S designa o conjunto das sequencias de fbfs.

#(C) = #(ε) : ε ∈ C , para qualquer C⊆ E

Definicao 3.8.2 . Um subconjunto C de E diz-se # - efectivamente dado se#(C) e computavel.

Supoe-se tambem que

(3.8.3) V , E ,F e P sao #-efectivamente dados

Lema 3.8.3 S e # - efectivamente dado.

Dem. Para cada n ∈ N+ ,

#(S)(n) sse ∃j ≤ n[n = Πji=1Prm(i)Exp(i,n) ∧ ∀i ≤ j[#(F )(Exp(i,n))]]

q.e.d.

Denomine inferencias as sequencias (α, α ⇒ β, β) e (α, ∀xα ) (α, β ∈ F) e, paracada inferencia, chame conclusao a ultima coordenada e hipoteses ou premissasas outras. Ponha-se tambem [ Inf( Γ ) = conjunto das inferencias com premissas emΓ ⊆ F

131

Teorema 3.8.4 Se Γ e um conjunto de fbfs #-efectivamente dado, Inf( Γ), e #-efectivamente dado. Em particular, conjunto Inf, das inferencias (em F ) e #-efectivamente dado.

Dem. Formalize-se adequadamente o seguinte

1. Um natural positivo n∈ # (Inf( Γ)), ou seja

#(Inf(Γ ))(n)

sse verificar uma das seguintes condicoes 1 e 2

(a) Para certos ni ∈ N+ , i=1,2,3, n = 2n13n25n3 e

#(Γ)(n1) e #(Γ)(n1) e #1(F)(n3) e n2 = 2n13#(⇒)5n3

(b) Para certos #ni ∈ N+ , i=1,2,3, n = 2n13n2 e

#(Γ)(n1) e n2 = 2#(∀)3n35n1 e #(V)(n3)

Como, por hipotese F e #-efectivamente dado tambem Inf o e .q.e.d.

De facto pretendemos ir mais longe que este teorema: defina para cada conjunto defbfs Γ de L

G (Γ) = sistema formal para L cujos axiomas sao os elementos de Γ e

cujas regra de inferencia sao MP e GEN.

Dedu(Γ) = conjunto das sequencias de fbfs que sao deducoes em G(Γ)

Cons(Γ) = α ∈ F :`G(Γ) α = Teo(G(Γ))

Observacao 3.8.5 Nao estamos a pressupor que G(Γ) contem os axiomas logicosde F(L) (veja-se 2.5.1); no entanto, pretendendo-se perspectivar o que se vai seguir,veja-se o teorema 3.8.9.

Teorema 3.8.6 Se o conjunto Γ de fbfs de L e #-efectivamnete dado, entao

1. Se S=#(s) : s ∈ Dedu(Γ), S e computavel

2. Se C=#(α) : α ∈ Cons(Γ), C e enumeravel maquina

Repare-se que C nao e necessariamente o conjunto das conclusoes de inferencias emΓ .

Generalizando o que se estudou em 2.5, 2.7 e 2.8, diremos que um sistema formalG(L) e bem fundamentado se todos os modelos do conjunto de axiomas de G(L)sao modelos do conjunto de teoremas de G(L ). O sistema G(L) sera completose, para qualquer proposicao π de L, uma de π ou ∼ π e um teorema de G(L ).

Recorde-se mais uma vez que estamos a tratar da linguagem L da Aritmetica.

Um primeiro teorema de incompletude

Teorema 3.8.7 Se # e tal que a funcao de substituicao S (definida em 3.7) temuma extensao aritmetica, nenhum conjunto de fbfs Γ verifica simultaneamente astres condicoes seguintes

1. Γ e #-efectivamente dado

2. G(Γ) e bem fundamentado

3. G(Γ ) e completo.

Podemos ser ainda mais precisos: defina a funco diagonal D para # do seguintemodo

D(#(σ)) = #(∼ (σ#(σ)i(σ) ))

(veja-se a seccao 3.7).

Para uma fbf ϕ (x) com uma variavel livre x, seja ϕ0 = ϕ(n), onde

n = min m ∈ N+ : p nao ocorre em ϕ , seja qual for p ≥ m

Teorema 3.8.8 Suponha que # e tal que a funcao D tem uma extensao aritmetica,Γ e um conjunto de fbfs #-efectivamente dado e G(Γ) e bem fundamentado. Suponhaque τ define #(Cons(Γ)) e δ define D. Seja ainda

ϕ(x) = ∃y[δ(x, y) ∧ τ(y)] e σ = ϕ(#(ϕ0))

Nem σ nem ∼ σ sao teoremas de G(Γ).

A perspectiva fica completa com os seguintes resultados

133

Teorema 3.8.9 Se # e a numeracao de Godel definida pela tabela (3.7.9) e aequacao (3.7.10), os seguintes conjuntos sao #-efectivamente dados

1. O conjunto das expressoes

2. O conjunto dos termos de L

3. O conjunto das fbfs de L

4. O conjunto das fbfs de L com pelo menos uma variavel livre

5. O conjunto das proposicoes de L

6. O conjunto dos axiomas logicos de L

Uma (necessariamente longa) demonstracao deste teorema pode ser encontrada em[E;3.4.]

Pode assim concluir-se que nenhum conjunto consistente de fbfs aritmeticas que seja#-efectivamente dado e suficiente para axiomatizar completamente a Aritmetica:existira sempre uma proposicao que nem ela nem a sua negacao sao teoremas - noentanto em qualquer modelo de tal axiomatica uma delas sera verdadeira!

Como nota final, repare-se que a funcao # de Godel pode definir-se sempre que L foruma linguagem de primeira ordem com poder expressivo suficiente para descrevercada numero natural positivo, as relacoes de igualdade e ordem usual bem como asoma e o produto!

3.9 Incompletude da Aritmetica III: demonstracoes

Recordemos a notacao e as hipoteses

A = alfabeto de L

V= conjunto das variaveis de L

E = conjunto das expressoes de L

F = conjunto das fbfs de LP = conjunto das proposicoes de L

S = conjunto das sequencias de fbfs.

# : A → N+ uma funcao injectiva prolongada a E por

(3.9.1) #(s1...sk) = Πki=1Prm(i)#(si)(s1, ...sk ∈ A )

e prolongada a S por

(3.9.2) #(ϕ1...ϕk) = Πki=1Prm(i)#(ϕi)(ϕ1, ...ϕk ∈ F )

#(C) = #(ε) : ε ∈ C, para qualquer C⊆ E

(3.9.3) A,V , EeP sao #-efectivamente dados

Γ e um conjunto de fbfs nao vazio

G (Γ) = sistema formal para L cujos axiomas sao os elementos de Γ e

cujas regra de inferencia sao MP e GEN.

Inf= conjunto de das inferecias (com permissas em F)

Dedu(Γ) = conjunto das sequencias de fbfs que sao deducoes em G(Γ)

Cons(Γ) = α ∈ F :`G(Γ) α = Teo(G(Γ))

Como ja temos feito, utilizaremos por vezes parenteses rectos em vez de curvos paratornar a notacao menos pesada.

Utilizaremos tambem o seguinte lema cuja demonstracao sera mais um exercıciopara o leitor

Lema 3.9.1 Seja Seq o conjunto dos numeros de sequencia , ou seja, n∈ Seqsse n e um produto de potencias de bases primas consecutivas com inıcio em 2.Defina-se o comprimento de n ,| n |, por

|n| =

k se n = 2n1 ...P rm(k)nk

(n ∈ N+)1 caso contrario

Mostre que Seq e um conjunto computavel e que | . | e uma funcao computavel.

Demonstracao 3.9.2 (Demonstracao do Teorema 3.8.6)

A hipotese e que o conjunto Γ de fbfs de L e # - efectivamnete dado.

Queremos obter as seguintes consequencias

135

1. Se D(Γ)=#(s) : s ∈ Dedu(Γ), D e computavel

2. Se C(Γ) = #(α) : α ∈ Cons(Γ), C e enumeravel maquina

Dem. de 1) Bastara traduzir convenientemente a definicao de deducao em termosde #: para qualquer n∈ N+ , D(Γ)(n) sse

#(S)(n) ∧ ∀j ≤ |n|[#(Γ )(Exp(j,n))

∨∃i < j[#(Inf)(2Exp(i)3Exp(j,n)]

∨∃i < j∃k < j[#(Inf)(2Exp(i)3Exp(k,n)5Exp(j,n) ]]

O lema 3.8.3 afirma que #(S) e computavel, o lema anterior garante a computabil-idade de | . | a qual poderemos aplicar o exercıcio 3.7.5.3, a relacao de igualdade ecomputavel e a<b sse a ≤ b e a 6= b; 1 fica demonstrado.

Dem. de 2) Cons(Γ) e o conjunto das ultimas coordenadas das deducoes a partirde Γ . Tome-seγ ∈ Γ; a funcao f:N+ → N+ dada por

f(n) =

Exp(|n|, n) se D( Γ)(n)

#(γ) caso contrario

e computavel e tem contradomınio C(Γ).

q.e.d.

Demonstracao 3.9.3 (Demonstracao do Teorema 3.8.7)

A hipotese e : # e tal que a funcao de substituicao S (definida em 3.7) tem umaextensao aritmetica.

Queremos mostrar que nenhum conjunto de fbfs Γ verifica simultaneamente as trescondicoes seguintes

1. Γ e # - efectivamente dado

2. G(Γ) e bem fundamentado

3. G(Γ) e completo.

Dem. Suponhamos que as tres condicoes se verificam. Vamos obter uma con-tradicao. Por 1. e pelo teorema anterior, 3.8.6, Cons(Γ) e enumeravel maquina.Como G(Γ) e bem fundamentado e completo - por 2 e 3 - se π e uma proposicao deL

|=N π sse `G(Γ) π

Segue-se que

π ∈ P :|=N π = Cons(Γ) ∩ P

Como a interseccao de um conjunto enumeravel maquina com um computavel eenumeravel maquina, π ∈ P :|=N π viria enumeravel maquina, o que contradiz oteorema de Tarsky 3.7.3.

q.e.d.

Demonstracao 3.9.4 (Demonstracao do Teorema 3.8.8)

Defina-se entao a funcao diagonal D para # do seguinte modo

D (#(σ)) = #(∼ [σi(σ)#(σ)])

(veja-se a seccao 3.7).

Para uma fbf ϕ(x) com uma variavel livre x, seja ϕ0 = ϕ ( n ),

onde

n = minm ∈ N+ :j nao ocorre em ϕ(x) se j ≥ m

A hipotese e agora: # e tal que a funcao D tem uma extensao aritmetica, Γ e umconjunto de fbfs # - efectivamente dado e G(Γ) e bem fundamentado.

E ainda

τ define # (Cons ( Γ)) e δ define D.

ϕ(x) = ∃y[δ(x, y) ∧ τ (y)] e σ = ϕ(#(ϕ0))

Queremos concluir que nem σ nem ∼ σ sao teoremas de G(Γ).

Suponha-se que

137

(3.9.4) `G(Γ) σ

Como G(Γ) e bem fundamentado vem |=R σ , ou seja

(3.9.5) |=N ∃y[δ(#(ϕ0), y) ∧ τ(y)]

Segue-se que, para certo k ∈ N+,

|=N δ(#(ϕ0), k ) & |=R τ( k )

Mas entao, por um lado

k = D( #(ϕ0)) = #[∼ ϕ0(#(ϕ0))]

= #[∼ ϕ(#(ϕ0))] = #(∼ σ)

E por outro segue-se que |=N τ(k), ou seja |=N τ(#(∼ σ)), donde

(3.9.6) `G(G)∼ σ

o que contradiz (3.9.4); donde

6`N σ

Se suposermos que vale (3.9.6), ter-se-a

(3.9.7) |=N τ(#(∼ σ))

Como #(∼ σ) = D(#(ϕ0)), tambem

|=N δ(#(ϕ0),#(∼ σ))

Com (3.9.7) conclui-se que vale (3.9.4), ou seja

(3.9.8) |=N σ

Mas a boa fundamentacao de G(Γ) e (3.9.7) implicam

|=N∼ σ

O que contradiz (3.9.8). Conclui-se que tambem

6`N∼ σ

q.e.d.

Bibliografia

[1] BELL, J. & MACHOVER, M.: A Course in Mathematical Logic, NorthHolland, 1993.

[2] ENDERTON, H. B.: A Mathematical Introduction to Logic, Acad. Press1972.

[3] HAMILTON, A. G.: Logic For Mathematicians, CUP1978.

[4] MALITZ, J.: Introduction to Mathematical Logic, Springer Verlag 1987.

[5] MENDELSON, E.: Introduction to Mathematical Logic, Van Nostrand Rein-hold 1972.

139