3 aula introd cross

5/9/2018 3 Aula Introd Cross - slidepdf.com

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Teoria de EstruturasAula de Introdução a Método de Cross



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ANÚNCIO

CONFERÊNCIA“Decisões Políticas e Desenvolvimento Tecnológico”

Raymundo de Oliveira

Presidente do Clube de Engenharia do Rio de Janeiro8 de Março - 18h00

Auditório da Ordem dos Engenheiros, Lisboa

“Uma aranha executa operações semelhantes ao tecelão e a abelha envergonha mais de um

arquiteto com a construção dos favos de suas colméias.

Mas o que distingue o pior arquitetoda mais exímia abelha é que ele construiu o favoem sua cabeça, antes de construí-lo emcera.

No fim do processo de trabalho, obtém-se um resultado que já no início existiu na

imaginação do trabalhador.”



Teoria de Estruturas 2 - 2005/06

Revisão de Conceitos e de Métodos de Teoria de Estruturas 1

Objectivos da aula. Enquadrar a resolução de problemas elásticos lineares:- Método das forças

- Método dos deslocamentos

. Procedimentos:- Método das Forças: sistema base isostático e procura de forças

(esforços) que reponham satisfação de compatibilidade

- Método dos deslocamentos: sistema base cinematicamente compatível

e procura de deslocamentos que garantam equilíbrio

. Introdução a Método de Hardy Cross

. Revisão do caso geral da Teoria da Elasticidade:

deslocamentos: u, v, w - 3 elementostensor de tensões σij - 6 elementos distintostensor de deformações eij - 6 elementos distintos

Número total de quantidades a obter: 15



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. Equilíbrio de forças 3

. Equilíbrio de momentosσακ= σκα ( 3)

6 relações ind.

Compatibilidade

6

VARIÁVEIS

. Deslocamentos 3

. Deformações 6

. Tensões 6



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Mathematical Theory of Elasticity - Sokolnikoff

Pode chegar-se a 9 equações e 9 incógnitas σij, uk (i,j,k=1,2,3)

e adequadas condições de contorno

Se exprimir o problema apenas em termos de uk ~ método dos deslocamentosSe exprimir o problema apenas em termos de σkl ~ método das forças

Leitura:



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Identidades de Bianchi:

Relações Independentes

Condições de CompatibilidadeRelações de Bianchi para pequenas deformaçõesLeitura opcional



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Abordagem Clássica de Crandall – revisão do método dos deslocamentos

Procedimento

. Escolher deslocamentos como incógnitas u1, u2

. Garantir que deformações das molas sãocompatíveis com deslocamentos:

Mola 3 e mola 4: deformação = u2

- u1

. Leis constitutivas: Fi=ki x deformaçãoi

. Equilíbrio:1 1 3 2 1 4 2 1 1

2 2 3 2 1 4 2 1 2

k u k (u u ) k (u u ) P

k u k (u u ) k (u u ) P

− − − − =⎨

− − − − =

Em certos problemas, em vez deresolver o sistema de equações pormétodo directo, usam-se métodos

aproximados.É o caso do método de Hardy Cross



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# 2 Exemplo de Método dos Deslocamentos

K δ = Fe

δ = K-1 Fe

Reacções:

http://teaching.ust.hk/~civl512/part-1-final.pdf





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Na fase inicial deste estudoapenas se consideram gdl derotação

Mét. Cross Deslocamentos

Portanto:

- Incógnitas deslocamentos

- Sistema base cinematicamente

determinado (impede deslocamentos)

-Procura-se satisfazer equilíbrio corri--gindo, sucessivamente,os deslocamentos.



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O método de Cross conduz aos esforços, em estrutura porticada

cinematicamente indeterminada, sem que se careça de gerar amatriz rigidez K e sem resolver directamente o sistema:

[K]{D} + {F} = 0

Equilíbrio de rotação em nó

1 2 3

1 1

2 2

3 3

M M M M

M k

M k

M k

= + +⎪ = ϕ⎨

= ϕ⎪

⎪ = ϕ

j

j n 3

i

i 1

k M M

k

=

=

=

∑

M1

M2

M3

Factores de distribuição

de momentos

j

n 3

i

i 1

k

k =

=∑



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Exemplo – http://www.ecf.utoronto.ca/apsc/courses/civ214/



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Exemplo de site referido.

Conferir, sendo EI=const.



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Os factores de transmissão ou carry-over, bem como os momentos e forças defixação obtêm-se, por exemplo, a partir do método das forças ou de tabelas

Se a inércia for variável, na integração tem que se atender a essa variabilidade.Por exemplo no cálculo das flexibilidades:

Li j

ijo

M Mdx

EI(x)

δ = ∫



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Exemplo Simples

Similar ao resolvido pelométodo dos deslocamentos

Valores”arbitrados”

K1= I/L=2; K2=1

Considerandorótula:

Admite-se que, para a geometria ecargas dadas os momentos de fixaçãocalculados são os usados.

Os coeficientes de distribuiçãocalculados como se houvessefixação de 2 GDL seriam 2/3 e 1/3

Exemplo de aplicação para deslocamento linear



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1. Considerar apoio intermédio ecalcular força de fixação comφ=0

2. Calcular Δ que anule essa força.

Exemplo de aplicação para deslocamento linear

Meio vão carregado – EI= constante

Questão: o que aconteceria se os vãos fossem desiguais?



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