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Interbits – SuperPro ® Web

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1. (Unb 2012) Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, durante vários meses, um levantamento para determinar a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se, inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte estatística: a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e

30% mudaram para a marca 2; b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e

20% mudaram para a marca 1.

Esses resultados podem ser expressos pela matriz ij

0,7 0,2P (p ) ,

0,3 0,8

em que pij, 1 i, j

2, representa a probabilidade do consumidor da marca j consumir a marca i após um mês, supondo-se que tais probabilidades sejam mantidas constantes de um mês para o outro. Dessa

forma, obtém-se a fórmula de recorrência k + 1 kX PX , k 0, em que kk

k

aX

b

representa a

distribuição, no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada detergente pesquisados; ak e bk representam os percentuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no referido período. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes. a) A sequência b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2 representa uma progressão geométrica decrescente de

razão 0,5.

b) Se kXα

β

é tal que Xk + 1 = Xk, para algum k 0, então α = 0,4 e β = 0,6.

c) A probabilidade de um consumidor do detergente da marca 1 comprar o da marca 2 ao final do 2.º mês é superior a 50%.

2. (Unb 2012) Produtos de limpeza, como sabão, detergente, desentupidor de pia e alvejante, geralmente utilizados em residências, apresentam, na sua composição, compostos como

hidróxido de sódio (NaOH) e hipoclorito de sódio (NaC O).l A esse respeito, julgue o item a

seguir. O número de maneiras distintas de escolher 5 tipos de sabão em pó entre 8 opções disponíveis na prateleira de um supermercado é igual a 2

3 3

2 11.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O Google, mecanismo de buscas na Internet, indexa trilhões de páginas web, de modo que os usuários podem pesquisar as informações de que necessitarem usando palavras-chave e operadores. O funcionamento do Google é embasado em algoritmos matemáticos, que analisam a relevância de um sítio pelo número de páginas e pela importância dessas páginas. O nome Google é derivado de googol, número definido por 10

100, ou seja, o número 1 seguido

de 100 zeros. A partir do googol, define-se o googolplex, correspondente a 10googol

, ou seja, o número 1 seguido de 10

100 zeros.

De acordo com dados do Google, o sítio mais acessado atualmente é o Facebook, a maior rede social da Internet. De agosto de 2010 a agosto de 2011, o número de usuários dessa rede social passou de 598 milhões para 753 milhões. A previsão de receita do Facebook para 2011 é de 4,27 bilhões de dólares, um crescimento de 115% em relação a 2010. 3. (Unb 2012) A partir dessas informações, julgue os itens subsequentes.

a) A soma dos divisores naturais de 100

90 100

10

2 5 é um número primo.


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b) A quantidade de anagramas da palavra googolplex que começam por consoante é superior a 10

5.

c) De agosto de 2010 a agosto de 2011, a taxa de crescimento da quantidade de usuários do Facebook foi inferior a 25%.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

O circuito elétrico ilustrado acima permite modelar a descarga elétrica produzida por um peixe elétrico. Esse circuito é formado por uma fem ,ε um capacitor de capacitância C e uma

resistência interna r. A parte externa é representada pelo capacitor ligado a um resistor de resistência R, o qual representa um objeto que eventualmente sofre uma descarga do peixe elétrico. Quando a chave A é fechada, o capacitor carrega-se, se estiver descarregado. Nesse caso, a carga q armazenada no capacitor em função do tempo é dada por

1

t

rCq(t ) C e .ε

O capacitor, quando está completamente carregado, com a chave A aberta e a chave B fechada, descarrega-se. Nesse caso, a carga q armazenada no capacitor, em função do tempo, é expressa por

t

rCq( t ) C e .ε

4. (Unb 2012)

Considere que a fem do circuito em questão seja dada pela função V = V(t) =

sen t , 0 t 8,α β γ cujo gráfico é ilustrado acima. Nesse caso, o valor de α β γ é igual a

a) /2.π b) .π c) 3 /2.π d) 2 .π TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:


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Toda vez que uma pessoa usa o caixa eletrônico do banco ou efetua uma transação comercial pela Internet, a segurança da transação depende da teoria matemática dos números primos. A partir do momento em que as pessoas começaram a mandar mensagens umas para as outras, surgiu o seguinte problema: como evitar que alguém não autorizado, que venha a se apoderar da mensagem, compreenda o que ela diz? A resposta é um processo sofisticado em que se criptografa a mensagem, usando uma “chave” para codificá-la — multiplicação de dois números primos grandes, por exemplo de 100 dígitos cada, escolhidos com o auxílio de um computador — e outra para decodificá-la — decomposição de um número em fatores primos.

Keith J. Devlin. Os problemas do milênio. Rio de Janeiro: Record, 2004, p. 69-73 (com adaptações).

5. (Unb 2011) Suponha que a “chave” de codificação de uma mensagem seja o produto de dois números primos distintos, maiores que 10 e menores que 30. Nesse caso, a quantidade de “chaves” diferentes que o receptor da mensagem, conhecedor apenas dessa regra de formação, deve testar é igual a a) 15. b) 21. c) 30. d) 42. 6. (Unb 2000) Uma empresa realiza um processo seletivo de entrevistas para selecionar um

único candidato para nela ocupar uma certa posição estratégica. Apresentam-se para a

seleção n concorrentes, sendo n ≥ 3. Três entrevistadores deverão classificar os candidatos de

acordo com a sua adequação para a função. Cada entrevistador deverá listar os n candidatos

em ordem decrescente de adequação, sendo o primeiro listado aquele que possuir o melhor

perfil para exercer a função. As três listas elaboradas pelos entrevistadores, nelas devidamente

identificados, constituirão o relatório a ser encaminhado à direção da empresa, que adota o

seguinte critério: um candidato será contratado se for classificado em primeiro lugar por pelo

menos dois dos entrevistadores. Com base nessas informações, julgue os itens que se

seguem.

(1) A probabilidade de se ter dois candidatos distintos selecionados para possível contratação é

igual a 0,5.

(2) A quantidade total de possíveis relatórios diferentes que poderão ser encaminhados à

direção da empresa é igual a n!.

(3) A quantidade total de possíveis relatórios diferentes em que seriam listados em primeiro

lugar candidatos distintos pelos entrevistadores é igual a n(n - 1) . (n - 2) . [(n - 1)!]3.

(4) A quantidade total de possíveis relatórios diferentes que conduziriam à contratação de um

dos candidatos é igual a (n!)3 - n(n - 1) . (n - 2) . [(n - 1)!]

3.

7. (Unb 2000) No sistema de coordenadas xOy, considere a circunferência de centro na

origem e de raio igual a 1. A cada ângulo central á no intervalo [0,ð], represente por A(á) a área

delimitada pelo arco da circunferência e o segmento de reta que liga os pontos P e Q, como

ilustrado na figura a seguir.


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Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

( ) A área A é uma função crescente do ângulo central á.

( ) 1

4< A

2

π

< 1

2

( ) A(á) = 1

2(á - sená)

( ) TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

Volume de ar em um ciclo respiratório

O volume total de ar, em litros, contido nos dois pulmões de um adulto em condições

físicas normais e em repouso pode ser descrito como função do tempo t, em segundos, por

V(t) = 3.(1 - cos(0,4πt))/2 π

O fluxo de ar nos pulmões, em litros por segundo, é dado por

v(t) = 0,6 sen(0,4πt).

Os gráficos dessas funções estão representados na figura adiante.

8. (Unb 2000)


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Com base nas informações do texto, julgue os itens a seguir, com respeito ao fluxo de ar nos

pulmões.

( ) O fluxo é negativo quando o volume decresce.

( ) O fluxo é máximo quando o volume é máximo.

( ) O fluxo é zero quando o volume é máximo ou mínimo.

( ) 9. (Unb 2000)

Com base nas informações do texto, julgue os itens a seguir.

( ) O gráfico I representa V(t) e o gráfico II, v(t).

( ) O volume máximo de ar nos dois pulmões é maior que um litro. ( ) O período de um ciclo respiratório completo (inspiração e expiração) é de 6 segundos.

( ) A frequência de v(t) é igual à metade da frequência de V(t).

10. (Unb 1999) Um jogo para ser disputado entre duas pessoas utiliza dois tabuleiros, uma

caixa - C1 - de pinos em forma de triângulo, losango, círculo, pentágono, hexágono e estrela, e

uma segunda caixa - C2 - de pinos nas cores branca e preta. O tabuleiro I possui 11 fileiras

(colunas) com 4 posições cada uma. À exceção da primeira, a cada fileira do tabuleiro I

corresponde um conjunto de quatro posições no tabuleiro II.

O jogador A escolhe 4 pinos de formatos distintos da caixa C1 e os coloca na primeira fileira do

tabuleiro I. A escolha do jogador A não é revelada ao jogador B, ou seja, a primeira fileira do

tabuleiro I é mantida escondida. O objetivo do jogador B é reproduzir a fileira escondida:

formatos e respectivas posições dos pinos na fileira. Para isso, o jogado B retira 4 pinos de

formatos distintos da caixa C1 e os coloca na segunda fileira do tabuleiro I. No tabuleiro II, em

resposta a essa tentativa, o jogador A indica, fielmente, cada acerto de formato do pino que

não esteja em posição correta, atribuindo um pino branco, retirado da caixa C2; cada acerto

simultâneo de formato e posição na fileira, atribuindo um pino preto, retirado da caixa C2; e,

para cada pino cujo formato não corresponda a nenhum dos quatro da fileira escondida, o

jogador A deixa uma posição sem pino no tabuleiro II.

Essa sistemática repete-se a cada palpite de B, o qual tem até 10 chances para reproduzir a

fileira de pinos escondida. Caso consiga, B terá vencido a partida.

O exemplo abaixo ilustra as duas primeiras jogadas de um jogador B.


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A respeito dessa situação, julgue os seguintes itens.

( ) O número total de maneiras como o jogador A pode compor a fileira escondida é superior

a 480.

( ) A função que a cada palpite do jogador B associa a resposta do jogador A é uma função

injetora.

( ) Em sua primeira jogada, o jogador B tem mais de 50% de chance de acertar pelo menos

três formatos dos pinos.

( ) Se, como resposta à 5

a jogada do jogador B, o jogador A lhe atribuir somente 3 pinos

pretos, então o jogador B terá informações suficientes para vencer o jogo.

11. (Unb 1999) Uma das maneiras de se representar a Terra em uma região plana para o

traçado de mapas geográficos é a "projeção estereográfica", que consiste em projetar os

pontos de uma esfera sobre um plano perpendicular ao eixo norte-sul da esfera e que passa

por seu polo Sul. Mais precisamente, a projeção de um ponto P da esfera é um ponto P' de á,

obtido pela interseção com o plano á da reta determinada por P e pelo polo Norte. Essa

construção está representada na figura a seguir, em que O é o centro da esfera, M e Q são

pontos sobre um mesmo paralelo, A é o ponto médio do segmento M' Q', sendo M' e Q' as

projeções dos pontos M e Q, respectivamente.

Considere que a Terra seja uma esfera de raio igual a 6.400km e que um barco percorra, ao

longo de um meridiano, um caminho correspondente a uma diferença de latitude de 60°, a partir

da latitude 60° sul, no sentido sul-norte. Considerando um mapa da superfície terrestre feito a

partir da projeção estereográfica da Terra e com escala 1:108, calcule, em centímetros, o

comprimento da projeção do percurso desse barco no mapa. Para isso, considere, ainda, tg15°

=0,27 e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.


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12. (Unb 1998) O radar é um aparelho que usa o princípio da reflexão de ondas para

determinar a posição de um objeto que se encontra distante ou encoberto por nevoeiro ou

nuvem. A posição do objeto é indicada sob a forma de um ponto luminoso que aparece na tela

do radar, que apresenta ângulos e círculos concêntricos, cujo centro representa a posição do

radar, conforme ilustra a figura abaixo.

Considere que os pontos A e B da figura sejam navios detectados pelo radar, o navio A está a

40 km do radar e o navio B, a 30 km. Com base nessas informações e desconsiderando as

dimensões dos navios, julgue os itens que se seguem.

( ) A distância entre os navios A e B é maior que 69 km.

( ) Se, a partir das posições detectadas pelo radar, os navios A e B começarem a se

movimentar no mesmo instante, em linha reta, com velocidades constantes e iguais, o navio A

para o leste e o navio B para o norte, então eles se chocarão.

( ) A partir da posição detectada pelo radar, caso B se movimente sobre um círculo de raio

igual a 30 km, no sentido anti-horário, com velocidade constante de 40 km/h então, em 10 min,

o navio B percorrerá um arco correspondente a40

π

o

.

13. (Unb 1998) Supondo que, em determinada região, a temperatura média semanal T(em

°C)

e a quantidade de energia solar média semanal Q que atinge a região (em kcal/cm2) possam

ser expressas em função do tempo t, em semanas, por meio das funções

julgue os itens a seguir.

( ) A maior temperatura média semanal é de 22°C.

( ) Na 50.

a semana, a quantidade de energia solar média semanal é mínima.

( ) Quando a quantidade de energia solar média é máxima, a temperatura média semanal

também é máxima.


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14. (Unb 1998) Em um modelo para descrever o processo respiratório, considera-se que o

fluxo de ar F na traqueia, em ambos os sentidos - inspiração e expiração -, e a pressão

interpleural P - pressão existente na caixa torácica produzida pelo diafragma e por músculos

intercostais - são funções periódicas do tempo t, havendo entre elas uma diferença de fase.

Essas funções são descritas, para t > 0, por

F(t) A sen t

kP(t) C B F t

ω

ω

,

em que k, A, B, C são constantes reais positivas e ù é a frequência respiratória.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

(1) O fluxo máximo de ar na traqueia é igual a A.

(2) P (t) = C - BA sen (ùt + k).

(3) As funções P e F têm o mesmo período.

(4) Sempre que o fluxo de ar na traqueia for nulo, a pressão interpleural será máxima.

15. (Unb 1997) Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado na figura I, deseja-se ir do

quadrado esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI). Somente são permitidos os

movimentos horizontal (H), vertical (V) e diagonal (D), conforme ilustrado na figura II.

Com base nessa situação e com o auxílio dos princípios de análise combinatória, julgue os

itens que se seguem.

( ) (0) Se forem utilizados somente movimentos horizontais e verticais, então o número de

percursos possíveis será igual a 70.

( ) (1) Se forem utilizados movimentos horizontais e verticais e apenas um movimento

diagonal, o número de percursos possíveis será igual a 140.

( ) (2) Utilizando movimentos horizontais, verticais e três movimentos diagonais, o número

de percursos possíveis é igual a 10.

( ) 16. (Unb 1997) A função U, definida por U(t) = r cos (ùt - è), descreve o deslocamento, no


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tempo t, de um bloco de massa m, preso na extremidade de uma mola, em relação à posição

de equilíbrio, conforme a figura adiante. A posição de equilíbrio, nesse caso, é aquela em que

U(t) = 0. A constante ù depende apenas da mola e da massa m. As constantes r e è dependem

da maneira como o sistema é colocado em movimento.

Com base na situação apresentada, julgue os itens que se seguem.

( ) (1) A função U tem período igual a (2ð - è).

( ) (2) No instante t= 2π

ω, o bloco está novamente na posição inicial.

( ) (3) O maior deslocamento do bloco, em relação à posição de equilíbrio, é igual a r.

( ) (4) Em qualquer intervalo de tempo que tenha duração igual a 4

3

π

ω, o bloco passa pela

posição de equilíbrio.

17. (Unb 1997) Julguem os itens que se seguem.

(1) Se um ângulo mede 1,5 rad, então ele é menor que um ângulo reto.

(2) A partir do valor de senè, encontra-se um único valor de è, tal que 0 ≤ è < 360°.

(3) Se tgè é racional, então senè e cosè são ambos racionais.

(4) Para todo número real è fixado, o polinômio p(x)=x2-xsen

2ècos

2è possui duas raízes reais

pertencentes ao intervalo

[0, 1].

18. (Unb 1996) Uma sala tem 5 lâmpadas, ℓ1, ℓ2, ℓ3, ℓ4 e ℓ5, que podem estar acesas ou

apagadas, independentemente uma das outras. Existem, assim, várias combinações possíveis

de lâmpadas acesas. Cada uma dessas combinações é identificada com um conjunto S

diferente. Por exemplo, S = {ℓ3, ℓ5} corresponde ao caso em que apenas ℓ3 e ℓ5 estão acesas e

S=∅, quando nenhuma lâmpada está acesa.

Considere P o conjunto formado por todos os possíveis conjuntos de lâmpadas acesas. Define-

se, então, no conjunto P, a seguinte função:

f(S) = n1n2n3n4n5,

em que ni = 1, se ℓi ∈ S, e ni = 0, se ℓi ∉ S.

Com relação à situação apresentada, julgue os itens adiante.


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(0) Se S = {ℓ3, ℓ5}, então f(S) = 00101.

(1) f (∅) = 00001

(2) Se f (S) = 10011, então S = {ℓ1, ℓ4, ℓ5}.

(3) A função f estabelece uma correspondência biunívoca entre P e um conjunto com 32

elementos.

( ) 3 ( ) 6


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Gabarito: Resposta da questão 1:

a) Correto. Temos que 0120

a 0,6200

e 080

b 0,4.200

Então, como 0

0,6X ,

0,4

vem

1

0,7 0,2 0,6 0,5X ,

0,3 0,8 0,4 0,5

2

0,7 0,2 0,5 0,45X

0,3 0,8 0,5 0,55

e

3

0,7 0,2 0,45 0,425X .

0,3 0,8 0,55 0,575

Segue que 1 2b 0,5, b 0,55 e 3b 0,575.

Portanto, a sequência 1 0 2 1 3 2(b b , b b , b b ) (0,1; 0,05; 0,025) é uma progressão

geométrica de razão 0,05

0,5.0,1

b) Correto. Sabendo que 1, vem

k 1 k

0,7 0,2X X

0,3 0,8

0,7 0,2

0,3 0,8

1,5 .

Desse modo, 1,5 1 0,4 e, portanto, 0,6.

c) Incorreto. A probabilidade de um consumidor do detergente da marca 1 comprar o da marca

2 ao final do 2º mês, corresponde ao elemento 21p da matriz 2P . Então, como

2 0,7 0,2 0,7 0,2 0,55 0,30P ,

0,3 0,8 0,3 0,8 0,45 0,70

segue que 21p 0,45 0,50 50%.

Resposta da questão 2: Incorreto. Supondo que os 8 tipos são distintos, segue que existem

3 3 28 8!2 7 2 3 11

5 5! 3!

maneiras diferentes de escolher 5 tipos de sabão em pó entre 8 disponíveis. Resposta da questão 3:

a) Incorreto. Temos que

100 100 100

10

90 100 90 100

10 2 52 .

2 5 2 5

Então, como os divisores naturais de 102 são 2 3 101, 2, 2 , 2 , , 2 ,K segue que


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11

2 3 10 2 11 2 2 2 2 1 2047.

2 1K

Mas 2047 23 89, logo, 2047 não é primo.

b) Incorreto. O número de anagramas que começam pelas consoantes g ou l é dado por

(2,3)9

9!2 P 2 2 9 8 7 6 5 2.

2! 3!

O número de anagramas que começam pelas consoantes p ou x é dado por

(2, 2, 3)9

9!2 P 2 2 9 8 7 6 5.

2! 2! 3!

Portanto, a quantidade de anagramas da palavra googolplex que começam por consoante é

5

2 9 8 7 6 5 2 2 9 8 7 6 5 2 9 8 7 6 5 3

90.720 100.000 10 .

c) Incorreto. A taxa de crescimento da quantidade de usuários do Facebook, de agosto de 2010

a agosto de 2011, foi de 6

6

(753 598) 10100% 25,92% 25%.

598 10

Resposta da questão 4: [D]

Do gráfico, temos que a imagem da função V é o intervalo [ 3, 5]. Logo,

[ , ] [ 3, 5] 4 e 1.

Além disso, como o período é 4 e V é crescente no 1º quadrante, segue que

24 .

| | 2

Portanto, 4 1 2 .2

Resposta da questão 5: [A] Os primos maiores do que 10 e menores do que 30 são 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Portanto, como a multiplicação de números inteiros é comutativa, segue que a quantidade de chaves que o

receptor da mensagem deve testar é 6 6!

15.2 2! 4!

Resposta da questão 6: F F V V Resposta da questão 7: V V V Resposta da questão 8: V F V Resposta da questão 9: V F F F


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Resposta da questão 10: F F V V Resposta da questão 11: 09 Resposta da questão 12: F F V Resposta da questão 13: V V F Resposta da questão 14: V V V F Resposta da questão 15: V V F Resposta da questão 16: F V V V Resposta da questão 17: V F F V Resposta da questão 18: V F V V


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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 18/02/2018 às 12:15 Nome do arquivo: unb1

Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............. 114903 ..... Elevada ......... Matemática ... Unb/2012 ............................. Analítica 2 ............. 114902 ..... Baixa ............. Matemática ... Unb/2012 ............................. Analítica 3 ............. 114913 ..... Média ............ Matemática ... Unb/2012 ............................. Analítica 4 ............. 114910 ..... Média ............ Matemática ... Unb/2012 ............................. Múltipla escolha 5 ............. 109754 ..... Média ............ Matemática ... Unb/2011 ............................. Múltipla escolha 6 ............. 34774 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/2000 ............................. Verdadeiro/Falso 7 ............. 34775 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/2000 ............................. Verdadeiro/Falso 8 ............. 34773 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/2000 ............................. Verdadeiro/Falso 9 ............. 34772 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/2000 ............................. Verdadeiro/Falso 10 ........... 29156 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1999 ............................. Verdadeiro/Falso 11 ........... 29153 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1999 ............................. Analítica 12 ........... 27684 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1998 ............................. Verdadeiro/Falso 13 ........... 27858 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1998 ............................. Verdadeiro/Falso 14 ........... 27680 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1998 ............................. Verdadeiro/Falso 15 ........... 23788 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1997 ............................. Verdadeiro/Falso 16 ........... 23776 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1997 ............................. Verdadeiro/Falso 17 ........... 23772 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1997 ............................. Verdadeiro/Falso 18 ........... 27712 ....... Não definida .. Matemática ... Unb/1996 ............................. Verdadeiro/Falso

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