Integrais de Funes Trigonomtricas

Para resolver muitas integrais envolvendo funes trigonomtricas basta utilizar convenientemente as identidades que essas funes satisfazem.

;

Integrais de Funes Racionais em Seno e Cosseno

Muitas integrais de funes trigonomtricas identificadas como funes racionais de seno e cosseno podem ser integradas atravs da substituio:

Donde;

Essa substituio transforma uma funo racional em seno e cosseno numa funo racional simples, cuja integral pode ser calculada pelo mtodo das fraes parciais. Portanto, esse mtodo permite calcular todas as integrais de funes racionais em seno e cosseno, embora para alguns casos no seja mtodo mais eficiente!

Prova das relaes definidas pela substituio Se , ento:

e

Agora, a relao entre as diferenciais:

donde

Frmulas de Recorrncia

Algumas integrais podem ser expressas por frmulas de recorrncia, que nesses casos so regras indutivas exprimindo o resultado de uma integral em termos de outra integral. Em geral, as frmulas de recorrncia so deduzidas para integrais cujos integrandos possuem potncias inteiras de funes bsicas.

Deduza a frmula de recorrncia

Outras integrais podem se expressas em termos de frmulas no recorrentes, mas que indicam um caminho de resoluo:,

As integrais

As integrais indefinidas da funo seno e da funo cosseno esto indicadas na tabela. Temos: e

As integrais

As integrais indefinidas da funo tangente e da funo cotangente so resolvidasusando o mtodo da substituio. Temos:

e

As integrais Nestas integrais usamos um artificio de calculo para podermos aplicar o mtodo da substituio. Na integral da secante, multiplicamos e dividimos o integrando por Temos:

Fazemos Ento, Portanto,

Na integral da cossecante, multiplicamos e dividimos o integrando por Temos:

Fazemos Ento, Portanto,

Exemplo 1

Exemplo 2

Observao:

De modo geral, na integral.

Onde m e n so inteiros e pelo menos um deles mpar, digamos m mpar, tomamos m = 2p +1 e

Com a substituio, obtemos uma integral de funo racional em t.

Exemplo 3(i) Usando o mtodo da substituio, fazemos Ento,

(ii) Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida.

Para isso, fazemos a substituio .Temos ento, dx. Portanto:

Logo, pelo Teorema Fundamental do Calculo, temos:

Exemplo 4

A = 1/2, B = -1/2, C = 1/2

Exemplo 5.1

cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) = cos2(x) - (1- cos2(x))(I)

Exemplo 5.2

cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) =(1 - sen2(x)) - sen2(x)(II)

Observao:De modo geral, na integral.

Onde m e n so inteiros no negativos e ambos pares usaram as frmulas (I) e (II).