ffim&m*õsstr*ryunwmátricasÍ

s

í

Entre as funções trigonométricas vislas nas unidadês anteriores. existem aloumas reta_çÕês que são chamadas relações lrigonométricas fundamentais.

Vamos agorademonstraí mais uma íelação trigonAmétrica Íundamentâ1. para isso, con-siderêmos o ciclo tr igonométíico da f igura.

. Ott,t = I

.õM'= cosx

. õM" : tVM' = sen x

(lú N.4). + (oÌ)" = (or\4).

isen x)'z + {cos x)'z = 1, que podêmos escrevêr

Esta relação é válida paía todos os valores de x.

60

I

RELACOES TRIGONOMETRICAS FU N DAMENTAIS

sen x xt+ + kÌ ,k<Z

x*kÌ ,k<Z

xt+ + kÍ ,k <Z

x. lkt ,k<Z

Veiamos âlguns exemplos.

'l? exemplo: Dado sen x = f,, com O < x < á, calcular cos x.

Rosoluçãot Usândo a relação sen2x + cos2x = l, lemos:/1Ì2 ^ O

{ f , ) +cos'?x= 1- ã + cos'?x = 1

cosx = t f ;

Como O < x < ã (isto é, x ( 19 quadrante, onde cos x é positivo). temos:

"o"" = f;Resposta: cosx = f;

(a=oslou

12ã+2=0=a= -1

Í. t

2? exemploi lÌtra quê valores de a temos, simullaneamente, sen x = a + 1 e cos x = a?

Re6olução: Usando a relaçáo sen2x t cosl = 1 ê substituindo, temos:(a+1) '?+(a) '?=1a2+2a+1+a2-12a2+2a=oa l2a + 2) = O

Resposta: a =ooua= -1

3? exemploi Sabendo-se que 2sen2x + cos2x =

cos i.

Substituindo-se na 29 êquâção:

2(1 cos2x) + cos2x = f,

,comO < x < ã,calcularsenxe7

Resolução: Sabendo que senzx + cos2x = 1, vamos resolver o sistêma:

I sena + cos'?x = t

(2 sen'?x + cos'?x = f

Da 1a equação:sen2xlcos2x=1

- sen2x

. como o < x < ã (x ( 19 quâdràntê),temos: cosx = +

. Vamos calcular sen x:sen'x= 1-+ , sên.x = Y -senx=. i

= 1 - cos2x

2 - 2 cos2x + cos'?x = f

- cos2x = - 1

cosx=t]

.lt-2

. Como O < x < â, temos: sen x =

Fesposta. senx = f ""o"* = f.

. Í .

-T

34

49 exêmplo: Dado cos x = - iq.com I < x < ,.catcutartgx.'J2

Resolução:.Paracalculârtgx,devêmosconhecerovalordesenxeparaissousamosarelâ,

çãosen2x+cos2x=1:^ t ,1ã 12

sen'x+( Ël =1 .^.,.- 3

.Ãsenx = . iË

Como | < x < Í(x < 29 quadrânte. onde sen x é posit ivo). temos:

senx=ã.

. Vamos calcular tg x, usando a relaçâo lg x = igl]! :

.-. ,

t = - \E

t

=+(+)=*Besposta: tgx = \2

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

rDaoo(smr- ; ecosr 4 .com

r<x<;.calculetgr.

/ luaoos(enx- t eco(x_.; com

-!

< x < 2r, calcule cotg x.

l ruadocoçx= _ i ,com ; . <\< r ,de

+DaoocosÀ- - i ,com; <r< r .cal-

cule o valor de sen x.

- .Ãlserenr - t .com0<\< i . calcuhtgxecotgx.

ó Sabendo que senl + : cosï = 3, comu < x < t . csrcute sen x e cos x.

7 (FEI-SP) Sendo x um ârÌgulo do primeirc qua-clÍante e tg x : 3, calcule sen x.

I Resolva os pÍoblemas:

a) Se sen x = Ì1 . calcuje cosec x.

b) Dado cosec À - €com0 < r < -{ ,cal

62

yse.ec ' - \2,comO< y< f . .catcuteco,. ,seú x, tg x e cotg x.

l0 seuo senx = ."-a - zecosx = a - l, derer-

ll tPuc-spr senao cos x = -L "'r;Isen\-- ,dererminem.

12 Determine o valor de m ( ìR, tal que:

arsena=recotga-2m+1.

b)tgx = 4ecosx = m 2.

13SetO.tgx+ 16 cos x = l7 . sec x, qual o

(Sugestão: coloqu€ a expressão dada em fun-çâo de sen x.)

r+ òaoenoo que sen (,r + x) = - i com

2 . r . -1 . calcule \en r. cos \. rs ì

Ì .

CÁLCULO DO VALOR DE UMA EXPRESSÃOTRIGONOMÉTRICA

19 exêmplo: Sabendo-se que sen x = I , calcular o valor da exprêssão y :

Resoluçáo: Vamos, inícialmente, escrêver â êxpíessão em funoão de sen x e cos x.

.. sec2x - 1' lg'x + l

'1 cos2xco*x

sen<x + cosuxcoFx

Então.v _ r cos-x' sen.x + cos.x

=M=+

. Í

Observemos os seguintes exemplos.

Í

Comol - cos2x = sen2x e sena + cos2x = 1. temos:

.- sen2xy= 1 -y=

Besposta: y = |

29 exemplo: sâbendcse que colg x = f, "". x <$,catcutarM = o;3jÏ""

FÌêsotucãot cotox = 9 -

cosx - I4 SênX 4

1cosx=;senx

sen2x r cosl = 1- sena * 91ï '* =t

16 sên2x + I senzx = 16

25 sen'zx = 16

senx= i j

4SeÍ<x<Ë,vem:senx= -Ë

t-ogo,

" 3. / 4ìcosx =ì senx=cosx=T \ 5 l

cosx = +Portanto:

, r - :' ' 6u= - " [ ì ' , ( '^

-"=--=- -"=E

. - l tnHesposrâj M =

-1

m-t -t

1

sen2x , .cosza - '

1 cos2x so{xcôs.x sen.x + coszx

l \2\2\T1

1

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

Olr,rI-sry s"r'ao,.n * = |,com0<x<+,calcule:

senx cosx - Ìsx

ó Sabendo que 4ta2x = 9e450" < x < 5400.calcÌrle o valor da e\prcssão-4senx 6cosx + cotg x.

7 sabendo que cos a = - +." . Ì " .+1,calcule:

L. sec o - coseco" , - Ìd"

/a'\\2 sabendo que cos r - + . cajcule o valor d<.

cotsx - I

Se sen x = -1 . calcule o valor da e\prssào:

Y = tcx + cotcx

do pÍimeiÍo quadranng calcule o valor dâ ex-pressão 25 sen'zx - 9 tg\.

8 Ache o lalor da e\pre\são 4 qen x - I cos: r,sabendo que tg x = - 15e x <190., 180.1.

tsesenÀ í . r - . t . r .calcuteolalor

de 32tgx + l .

l0 Sabendo que sen o -d <l;, 2rl . catcute:arós"- : ìeob) cos (54O. + a)c) sec (1 350. o)

_45

TR IGONOMETR ICAS DER IVADAS DAS

Já êstudâmos as cinco rêlaçóes trigonométricas fundâmentais, quê sãol

l)sen2x + cosa = 1 l$secx = 1cos x

sen xl l ) tgx =cos x sen x

l l l ) coto x = cos xsen x

Vamos, âgora, estudaralgumas relaçôes quesão importantês equedecorrem dascincorelações f undamentais vistâs.

. 1? relaçáo

Sâbemos quê:

to x = jg!f!- cos x

cos x- sen x

@ttra se, Sabendo que -"

, - - + .úg, < 0, calcul€ o valoÍ da expressão

- 2tE0

I tc' o

@1"ra-S".1 SuUnao n f exe

RELACÓESRELACÕESOES FUNDAMENTAIS

Esta rêlaçâo é válida para todo x I -F.

. 2i rêlaçãoObservando a figura, têmosl

.F=tgx

.d = secx

No triânOulo retângulo OAT (Â é reto), aplicandoPitágoras, temos:

(-Ar)'?+(oA-f=(õD'?(tg x)'? + (1)'? = (sec x)2, que podêmos escíever:

sec2x=1+tg2x

Estâ relaçâo é válìda pa,alodox t + +kr.

. 3i relação

Obsêrvando a Íigura, temos:

.BS=cotgx

. õS = cosec x

Notriângulo retângulo OBS (Ê é reto), peloteorê-ma dê Pitágoras:

(Es)'z+(oB)'?=(os)'?(cotg x)2 + (1)2 = (cosec x)2, que podemos ês-crevêr:

Vejamos alguns êxêmPlos

í9 exemplo: Dado cotg x = j o sendo x um ângulo do terceìro quadrante, calcular o valor

de sen x.

Resotuçáo: cosec2x= I t colg2 x = cosec' x = I +]

cosec'?x = +cosec x = tf

como x e]r, $], temo"' "o"""

* = f

Fortanto,

í

t

I

iII

IL

cosec x = -I sen x

2\E

_T

icosec'x=I+cotg'x Ì

Esta relação é válida para todo x F kÍ.

Respo6ta:

29 exemplo: Se cotg x =

Resolução: Se cotg x =

1 _\Elgx - 2

Resposta: lgx = \2

f , calcular tg x.

fr u"otn" = f ,t".o",-12.t9x

= 2-tgx=+- - tgx

=1A

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I setgr = ./t3 , calcule cotg x.

2 Sabendo que 2 rg'x * ìõàx = t

e cue x < lf , r[, carcure o .!ãlor ale A, sendoA: senx + cosx.

Í"

I3 Sabendo que sec'zx + tgx - 7 = 0e

0<x<f,calculecosx.

4 Derermine os valores de a paÌa que se renha

Itgx=2a+3(cotgx:a+Ì

ï

. . .Consideíemos uma igualdade da forma f(x) = g(x), onde f(x) e g(x) são funções trigono-méÌricas.

Se essa igualdadeéválida para qualquervaloí íêâldex, para os quais os valores das fun-çõês existem. dizemos que f(x) = g(x) é uma iden dade trlgonométrica.

Exêmplos:

. A igualdade cos2x = 1 - sên'xéválida paía qualquê.x real;logq é uma tdentidad€tÍi.gonoméldca.

. A igualdade cotg xtrigonométrica.

_1rgx é válidâ pâra todo x É + + krÍ: logo é uma identidade

. Dêmonstração de umá identidade

. Para provarque.uma identidade trigonométrica é vêrdadeira, podomos utilizarou aplicarqualquêr uma das rêlâçõês trigonomélricas já estudadas nesta unidade(e quê são, ta;bém,identidades) e escolhêr um dos seguintes píocêssos de demonslrâçâo:

19 pÍocesso: Partimos de um membro da idêntidade (geralmentê o mais complicâdo) echegamos ao outro membío.

Exemplo: Demonstrâr a identidade (1 + cotg2x) . (1 cos2x) = 1.

Resoluçáo: vamos partir do 19 mêmbrq procufando êxpressar as funções em sen x ou cos x:

@ 1ï.rl

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

cotg'?x) (1

Ír * "o"lt ìtt cosl) = r\ sên'x I

ljeú +9d!ì(1 - cos2x) = 1\ sên_x Icomo sen2x + cos2x = 1e 1 cosa = sên2x, temos:

l- . trtt"" = fsêrfx

f1 =f - demonstíada a idêntidade

29 processo: Vamos transformar o 19 membro da identidâde f(x) em uma função h(I) e,separadamentê, Ìransformamos o29 mêmbroda identidade g(x) também em umafunçào Ë{x),levando êm considêração a propíiedade:

Í(x) = h(x) ìI + f(x) = s(x)

s(x) = h(x)J

Í

Exemplo: Dêmonstíar a identidâde tg x + cotgx = tgx cosec2x.

Resolução: Vamos expressar as funções em sen x ou cos x:tgx + cotgx = tOx cosêc2x

senx cosx senx Icosx senx cosx sen2xsen2x i cos2x = 1 1cosx.senx cosx senx

Como sen2x + cos2x = 1, temosl

+ demonstÍada a idenlidâdêcosx.sênx cos x sen x

39 pÍocêssor Vamos construir uma função h{x) = Í{x) g(x) e provar que h(x) = 0; issoequivale a f(x) = g(x), pois f(x) g{x) = 0 <à Í(x) = g(x).

Exemploi Demonstrar a identidade trigonométrica tg2x + cos2x = sêc2x sen2x.

Resolução: Vamos fazer f(x) g(x) = 0tg2x + cosa sec2x + sen2x = 0lg2x seca + cos2x + sen2x = o

1

tg2x-sec2x+1=oVamos expressar tg2x e seca em Íunção de sen x e cos x.

sen2x 1 , . -^; ; t - c.sa - ' - "sen2x 1+ cos2x _^--"a"1 - "

1senTiiosE - t

1-.1 =O 3 O = O+ demonstíada a idênt idade

67

Il

EXERCÍCIOS DE APREN DIZAGEM

I t sandoo l9 processq demorutre as idenrjda-des tÍigoÍométricas:

^. cos x sen x" ' secx - cosec x

= t

b) (cos a + cos b) (cos a - cos b) ++ Gena + senb)Gena sen b) = 0

c) Setâ-cOSa ts lâcosec â - sena

2 Usando o 29 processq demonstÍe as identidades tÍigorÌométricas:

a) tg'zx + cosa = sec2x sen2xb) seczx cosec2x = (tg x + cotg x)

(Ìg x - cotgx)

EXERCíCIOS DE FIXACÃO

1-ocsendosenx - ; ,com0< \< i ,cal-

cule cos x e tg x.

og L,ado co5 r - j . .oÌn- j <\<r.cal-cule sen x, tg x e cotg x.

óTlaaotgx = r{ com r <, < f ,ca-

ó8 Cabule m, de modo que se tenha. simultanea,mentqsenx: Vmécosx: rÁ-m, + f

otsendocos x - ; ex( l ; . t '1,calcuh

o valor numérico da e\pressãocos(Í+x)+sen(x).

70 Sabendo que 9 . senl + 18 . cos2x = 13,com0 < x < +, calcuÌe sen x e cos x.

7l Secotgx = l , como < x < +,calcules€nxecosecx.

72 Determine os !€loÍes de 4 de modo que

senx + cosx = 5a

73 Calcule o valor de:seck sec x . cosec x

I cotg x

cósx = +.

3 Lsandoo l9 processq demonslreas idenrjdâ-d€s trigonométricas:

- , Ìgxr + rg'x

b) (cos a sen a) (cosec a - sec a) + 2 =

4 Mostre que tgx cos x . cosec x = L. l

5 D€moÌìstreque^(tgx, senDt ì 0 - ;sr, == (sec x lf

ó Prove que:ssnx I + cosx

TììõsÌ +- = zcosecx

f

74@uvest-SP) Se tg x = ], com

".*a 1 . determine o valor dey = cosx - senx.

75 SabendoqueJrgx - sec { = t .calculeospos-siveis vaÌores de A, sendo A = 3 sec x + tg x

7ó Simpunque a eroressao 2 ïnì rFlcosa

TTSimpl i f iquea expressão A ='Gecx cos\)(cosec x - sen x) (tg x + cotg x).

78 Demonstre que:

a) (sen x + tg x) (cos x + cotg x) == (1 + senx) (l + cosx)

b) (l + tg x)'? + (1 tg x)2 = 2 . sec,x

79 No. unir en os enr q ue sâo definida\ as expreÍsões, pro\€ que:

. I - senxar- : {secx-t lxr

L. secx+ tqx",-õs xlãitx

: sec x Ìc x

^, cosa+cosb sena-setrbsena + senb cosa - cosb

80 Demonstre as identidades:

-. I + cos a. dado ") i =.*; = {cors a + cosec a))

b)senï..tg1 + cos,x cotgl = tga ++ cotg.Ì _ I