t s8 identidades trigonométricas

135SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA8

TEMA

IDENTIDADESTRIGONOMÉTRICAS

TRIGONOMETRÍA - TEMA 8

I. IGUALDADDos expresiones serán iguales en los reales si paracualquier valor real asignado a sus variables; los valoresnuméricos de estas expresiones son también iguales;dentro de estas igualdades encontramos las ecuacionesy las identidades; es decir:

E x P x

IGUALDAD

ECUACIÓN (=)

IDENTIDAD ( )

x VN E VN P

II. ECUACIÓNEs una igualdad que se verifica para cierto número devalores asignados a la variable; valores que reciben elnombre de soluciones de la ecuación.

2x 3 5 ; se cumple para x 1

Ecuaciones 22x –1 7 ; se cumple para x 2

2 x –1 5 ; se cumple para x 3

Solución de la ecuación

III. IDENTIDADEs una igualdad que se verifica para todo valor real

( ) asignado a la variable.

2x – 4 x 2 x – 2 ; se cumple x

Identidades 2 2x 2 x 4x 4 , se cumple x

3 2x –1 x –1 x x 1 ,se cumple x

Observación: Hay expres iones como lastrigonométricas en las cuales las variables no seencuentran libres sino que se encuentran en elángulo, es decir, que las variables se encuentranafectadas de algún operador, razón por la cual no sele puede asignar un valor real cualquiera ya que podríadejar de existir la expresión, surgiendo así el conceptode valor admisible o permitido para una variable.

IV. VALOR ADMISIBLE (VA)Para una expresión, se llama valor admisible de suvariable a aquel valor asignado a ésta, para el cual laexpresión está definida en los reales ( ).

Ejemplo: x 1E x

x

, para x 1 ; E 1 2

x 1 es un "VA" para xE .

Ejemplo: E x tanx , para x4

; E 14

x4 es un "VA" para E(x).

Ejemplo: 2x 3E X

x – 2

, para x = 2; 7E 2

0 (No existe)

x = 2; No es "VA" para E(X).

Ejemplo:1 senx

E(X)cos x

, para X2 ;

2E

2 0

(No existe)

x2 ; No es "VA" para E(X).

El tema de la presente semana es la columna vertebral delcurso, a partir del desarrollo del tema de identidadestrigonométricas el curso tiende a ser más operativodependiendo de las fórmulas y sobre todo teniendo el apoyodel curso de álgebra.En los exámenes de admisión se presentan situacionesproblemáticas del tipo simplificación y condicionales. Es

importante tener presente que los temas posterioresdependen mucho del estudio de este capítulo.

Objetivos de aprendizaje• Identificar las razones trigonométricas fundamentales.• Aplicar convenientemente las identidades auxiliares.• Reconocer las diferentes situaciones problemáticas.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

136TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009- III8

TEMA

V. CAMPO DE VALORES ADMISIBLES(CVA)Para una expresión, el campo de valores admisibles deuna variable (CVA), es el conjunto formado por todoslos valores admisibles de dicha variable; es decir:

CVA para VALORESDE " X "E x /" x " esun VA para E(x)

Ejemplo: 2x 1E x

x – 1

E x x 1

CVA x / x – 1

Ejemplo: E x x – 2 E x x 2

CVA x / x 2;

Ejemplo: 4E x

Senx

E x Senx 0 x k ; k

CVA x / x – k

Ejemplo: 3E x

Cosx – 1

E X Cosx 1 x 2k ; k

CVA x / x – 2k

VI. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASEs una igualdad establecida entre expresiones queinvolucran razones trigonométricas de una o másvariables, las cuales se verifican para todo valor admisiblede dichas variables.

Ejemplo:

La igualdad: 2 2sen x cos x 1 , se verif ica paracualquier valor real que le asignemos a la variable x;por consiguiente:

2 2sen x cos x 1 es una identidad x

Ejemplo:

La igualdad:senx

tanxcos x , no está definida para

3 5x ... , , ,...

2 2 2

es decir para x 2k 1

2

;

k luego la igualdad se verifica para cualquier valorque le asignemos a la variable x, tal que

x (2k 1) ;k2

; por consiguiente:

senxtanx

cos x es una identidad x – 2k 1

2

SUGERENCIAS

Es importante recordar y

SenCsc

(+)

x

Todas

TanCot

(+) CosSec

(+)

los signos de las razonestrigonométricas.

Ejemplo:

La igualdad1

CscxSenx , no está definida para

x ...,0, ,2 ,... es decir para x k ; k ,

luego la igualdad se verifica para cualquier valor que le

asignemos a la variable x, tal que x k ;k ; por

consiguiente:

1csc x

senx es una identidad x – k

VII.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASFUNDAMENTALESSe denomina a las igualdades obtenidas al relacionarlas líneas trigonométricas de un mismo arco en lacircunferencia trigonométrica (C.T.).

tan(+)

A

N

Mcot (+)

B

y

sec (–)

1

1

csc(–)

T

P(cos ;sen ) x y

SO

C.T.

En la figura se observa:

OBM OPT PT BM cot

OAN OPS PS AN tan

P cos ;sen C.T. Debe cumplir la ecuación: 2 2x y 1

x y

Remplazamosx cosy sen

2 2sen cos 1

P cos ;sen Lf Las "rt " se obtienen

utilizando: x cos ; y sen y r = 1.

r 1csc

y sen

r 1

secx cos



TEMA

y sentan

x cos

x coscot

y sen

OPS (Teorema de Pitágoras)

2 2 2OP PS OS

2 21 tan sec

OPT (Teorema de Pitágoras)

2 2 2OP PT OT 2 21 cot csc

1. Clasificación de las identidades fundamentales

A. Identidades pitagóricas

• 2 2sen x cos x 1 x

• 2 21 tan x sec x

x – 2k 1 ; k2

• 2 21 cot x csc x

x – k ; k

B. Identidades recíprocas

• senx csc x 1

x – k ; k

• cos x.sec x 1

x – 2k 1 ; k2

• tan x .cot x 1

x – k ; k2

C. Identidades de división

• senxtanx

cos x

x – 2k 1 ; k2

• cos xcot x

sen x

x – k ; k

Teorema: 2a aa a;a 0

a – a;a 0

IDEAS FUERZA

VIII.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASAUXILIARESAparte de las identidades trigonométricas fundamentales,hay aquellas igualdades que aparecen frecuentemente en laresolución de problemas y su conocimiento sería de muchautilidad para facilitar la resolución de estos problemas; estasigualdades son de simple verificación y en muchos casos sonconsecuencia directa de operaciones algebraicas elementales.Dentro de estas tenemos:

1. 4 4 2 2sen x cos x 1 – 2sen x cos x

2. 6 6 2 2sen x cos x 1 – 3sen x.cos x

3. tan x cot x sec x.csc x

4. 22 2 2sec x csc x sec x.csc x

5. 4 4 2 2sen x – cos x sen x – cos x

6. 4 4 2 2sec x – tan x sec x tan x

7. 4 4 2 2csc x – cot x csc x cot x

8. 2senx cos x 1 2senx cos x

9. 21 senx cos x 2 1 senx 1 cos x

10. De: 2 2sen x 1 – cos x 1 cos x 1 – cos x

senx 1 cos x senx 1 – cos x1 – cos x senx 1 cos x senx

x k; k

11.De: 2 2cos x 1 – sen x 1 senx 1 – senx

cos x 1 senx cos x 1 – senx1 – senx cos x 1 senx cos x

x 2k 1 ;k2

12.Si: 2 2asenx bcos x a b

2 2 2 2

a bsenx cos x

a b a b

Sabemos: Sabemos:

2 2– 1Sec x Tan x 2 2– 1Csc x Cot x

1

Secx Tanx

Secx Tanx

1

Cscx Cotx

Cscx Cotx

IDEAS FUERZA

SUGERENCIAS

Es importante tener en cuenta:Senoverso = verso = vers = 1 – cosCosenoverso = coverso = cov = 1–senExsecante = external = exsec = sec –1



TEMA

Problema 1Si csc ctg 3 .

Hallar 12(csc – ctg ) .San Marcos 2007

Nivel fácilResolución:Se tiene que:

1csc ctg

csc ctg

1

csc – ctgcsc ctg

1csc – ctg

3

112(csc – ctg ) 12 4

3

Respuesta: 4

Problema 2

Si sec x csc x 2 2 .

Hallar: A = tanx + ctgxSan Marcos 2005

Nivel fácil

Resolución:

Del dato sec x csc x 2 2 Elevamos al cuadrado:

22(sec x csc x) 2 2

2 2sec x csc x 2sec x .csc x 8

Se sabe: sec2x + csc2x = sec2 x . csc2x2 2sec x .csc x 2 sec x .csc x 8

Por identidad:sec x . csc x = tanx + ctgx

2(sec x.csc x) 2(tan x ctgx) 8 2

A A

(tan x ctgx) 2(tan x ctgx) 8

2A 2A 8

Completamos cuadrados:2A 2A 1 8 1

2(A 1) 9 A 1 3

NIVEL I

1. Simplificar:

2K 1 Sen x (Secx Tanx) 1

A) Senx

B) 2 - Senx

C) 2 + Cosx

D) 2 + Senx

E) Cosx

2. Simplificar:

A (Cscx Cotx 1)(Cscx Cotx 1)

A) 2Senx

B) 2Cosx

C) 2Tanx

D) 2Cotx

E) 2Cscx

3. Simplificar:

4 4 2 2

2 2Sen x Cos x Sec x Csc xK

Cos x Csc x

A) 1B) –1C) 2D) –2E) 0

4. Si: Cos2 x Secx (1 + Senx Cotx)=1Hallar: M = Cotx - SenxA) 1B) –1C) 0D) 2E) –2

NIVEL II5. Eliminar "x".

aSenx + Cosx = 1bSenx - Cosx = 1

A) ab = 1

B) ab = 2

C) ab = 3

D) ab = 4

E) ab = 5

6. Si mSecx = nCscx, el valor de:

Tgx, es :SecxESenx

A)nm

B)mn

C)2

2nm

D)2

2mn

E)n mn

7. Simplificar:

A = CosxCscx + Senx(1+Cosx)-1

A 4 ó A 2

Respuesta: 2

Problema 3Simplificar:

2 2A (Tan ctg ) – (Tan – ctg )

San Marcos 2006Nivel intermedio

Resolución:‘Usamos diferencia de cuadrados:

A (tan ctg tan – ctg )

.( tan ctg – tan ctg )

A (2Tan )(2Ctg )

1

A 4 Tan . Ctg

A = 4Respuesta: 4



TEMA

A) Senx

B) Cscx

C) Cosx

D) Secx

E) Cotx

8. Simplificar:

Cosx SecxCscx CotxBSecx Cotx

A) Senx

B) Cosx

C) Tanx

D) Cotx

E) Secx

9. Eliminar x:

Senx Cscx Cotx

p q r

A) pq = q2 + r2

B) pr = q2 - r2

C) qr = p2 – r2

D) pq = q2 – r2

E) pq = p2 + q2

10. Si: Tan2x + Cot2x = 9.

Calcular K = Tanx - Cotx O x4

A) 7

B) 5

C) 7

D) 5

E) 7

11. Si Senx + 3Cosx = 10

Calcular K = Csc2x+Tan260°Cotx

A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) 19

12. Si: 0;4

; simplificar:

1 Sen Cos Sen CosM1 Sen Cos

A) 2

B) 2 1

C) 2 2

D) 2 / 2

E) 2

NIVEL III

13. Simplificar:

2 2 2 8K 1 2Cos 1 2Sen xCosx x Cos x

A) Sen8x

B) Cos8x

C) Sen4x

D) Cos4x

E) Cos2x

14. Si Secx+Tanx=a; Cscx – Cotx = b

Eliminar (x)

A) (a2-1)(b2-1) = 2ab

B) (a2-1)(b2-1) = 4ab

C) (a2-1)(1-b2) = 2ab

D) (a2-1)(1-b2) = 4ab

E) (a2-1)(1-b2) = ab

15. Si Csc6x - Ctg6x = a

Calcular: E = Csc4x + Ctg4x

A)2a 13 B)

2a 13

C)2a 33 D)

2a 33

E)2a 53

1. Completar. (Identidades Pitagóricas).

Sen2x = ______________________

Tan2x = ______________________

Csc2x = ______________________

2. Completar. (Identidades Auxiliares).

Sen4x + Cos4x = ______________________

Sec4x + Csc4x = ______________________

Tanx + Cotx = ______________________

3. Completar. (Identidades Recíprocas).

Senx = ____________________________

Secx = ____________________________

Tanx = ____________________________

4. Completar:

(Senx + Cosx)2 = _________________________

(1 + Senx - Cosx)2 = _____________________

Sen6x + Cos6x = _________________________



TEMA

5. Si. 3Senx + 4Cosx = 5

Tanx = ________________

Si. 5Sen + 12Cos = 13

Csc = ________________

Si. 3Sen + Cos = 10

Sec = ________________

6. Indicar la expresión ... verifica la igualdad.

I. 2II C Cos =_______________

II. 2III C Cot =_______________

III. 2IV C (Csc Cot ) =_______________

7. Completar:

Sen3xCscx + Cos3Cscx =___________________

Tanx SenX + Cosx =______________________

2 2

1 1Csc x Sec x

=_____________________

8. Indicar si es Verdadero (V) o falso (F):

I. Sen90° - 2Cos180° = –1

II. Tan180° + Sen270° = 1

III. Cot270° + Sen90° = 1

9. Completar. (Identidad Auxiliar).

Cosx

1 Senx =__________________

1

Cscx Cotx =__________________

Senx

1 Cosx =__________________

10. Eliminar ; en cada caso.

I. Sen =a Cos =b Rpta.:________________

II. Cscx + Cotx = a Rpta.:________________

Cscx - Cotx = b Rpta.:________________

III. Sen2x=a; Tanx=b Rpta.:________________

t s8 identidades trigonométricas

Documents