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Instituto Tecnológico da AeronáuticaInstituto Tecnológico da Aeronáutica 1
DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE
Prof. Airton Nabarrete
Aula 3: Parâmetros dinâmicos e Resposta Forçada
EST - 56
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DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO AMORTECIMENTO
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0 < < 10 < < 1 > 1 > 1
= 1 = 1
Respostas do deslocamento x(t) incluindo amortecimento
Determinação de Amortecimento
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Decremento Logarítmico
x tAetx dtn cos
t0 1 2 3
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5 x1
x2
Td
2
1lnx
x
2
1
2ln
1
2
x
x
dnT
Tt
t
Teee
edn
dnn
n
lnlnd
n
2
ddTt
dt
TtAe
tAedn
n
cos
cosln
224
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
2
3
4
5
6
7
8
Decremento Logarítmico
21 2 nnd
Se é pequeno 2,00
Então, e21
2
2
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Decremento Logarítmico
ex
x
2
1Do decremento logarítmico:
Para “n” períodos: n
n
eeeeex
x
1
1
nx
x
n
1
1ln
1
1ln1
nx
x
n
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Exercício: “Bungee Jumper”
Dados:
•Plataforma localizada a 40 m de altura
• Cabo elástico de comprimento 7 m
• Propriedades do cabo elástico: k = 130 N/m , c = 18 Ns/m
• Massa do indivíduo de até 120 kg
a) A altura da plataforma é segura se o indivíduo saltar amarrado ao cabo elástico?
b) Quanto tempo se passará até o indivíduo oscilar com amplitudes de 0,5 m?
a) A altura da plataforma é segura se o indivíduo saltar amarrado ao cabo elástico?
b) Quanto tempo se passará até o indivíduo oscilar com amplitudes de 0,5 m?
Perguntas:
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-12,0
-9,0
-6,0
-3,0
0,0
3,0
6,0
9,0
12,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
Tempo (s)D
eslo
cam
ento
x(t
) (m
)
Exercício: “Bungee Jumper”
Solução 1: Traçando o gráfico “Deslocamento Vertical x Tempo”
sTa
62
2)(
4
Txt
Tmáx
Resposta item a) e item b)
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Exercício: “Bungee Jumper”
Solução 2: Analítica
0 xxmáx
ddt
dt
n tsenAetAe nn cos0
21cosarctgt
t
tsend
d
n
d
d
máxxxt
dddn tsenAtA cos
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Exercício: “Bungee Jumper”
(cont.)
2,02
5,01
1
mx
xx
n
máx
1
1ln1
2nx
x
n
5,0ln
2
1 maxxn
dTnxtt max
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Exercício: “Bungee Jumper”
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
0 20 40 60 80 100
Tempo
Am
plit
ud
e
Amplitude = 0,5 m( 44 s )
Exponencial Declinante: Redução das amplitudes com o tempo
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EXCITAÇÃO HARMÔNICA
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Caso Real de Resposta Vibratória
Resposta total Transiente(sair da inércia)
Estado Estacionário
+=
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Caso Real de Resposta Vibratória
Resposta permanente Estado Estacionário=
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Excitação Harmônica
Fazendo:
Solução de estado estacionário:
)cos()(0 txktFk
Fx ee
)cos(2 22 txxxx ennn
)cos()( tCtxp
)cos()sin(2)cos( 222 txttC ennn
tFtxktxctxm cos)()()( 0
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Excitação Harmônica
aplicando relações trigonométricas
)sin()cos()cos()sin()sin(
)sin()sin()cos()cos()cos(
ttt
ttt
)cos()sin(2)cos( 222 txttC ennn
)sin(0)sin()cos(2)sin(
)cos()cos()sin(2)cos(22
222
ttC
txtC
nn
ennn
sistema de 2 equações para solução de C e
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Excitação Harmônica
define-se a relação
)cos()( txHtx ep
222 21
1)(
ex
CH
21
2 arctg
n
fator de ganho ângulo de fase
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Excitação Harmônica
define-se a relação
)cos()( txHtx ep
222 21
1)(
ex
CH
21
2 arctg
n
fator de ganho ângulo de fase
H()
222 21
1)(
H
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Excitação Harmônica
define-se a relação
)cos()( txHtx ep
222 21
1)(
ex
CH
21
2 arctg
n
fator de ganho ângulo de fase
H()
222 21
1)(
H
21
2 arctg
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)cos(22 txxx enn
Ressonância Mecânica
22
2 )cos()cos()(
n
nen
ttxtx
22
2 )cos()cos()(
n
nen
ttxtx
caso mais crítico ocorre sem o amortecimento
0
0)cos()cos(lim Caso
22
n
nn
ttn
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)sin(
)cos()cos(lim
22tt
dd
ttdd
n
n
n
)sin(
)cos()cos(lim
22tt
dd
ttdd
n
n
n
)sin(2
)( Caso ttx
tx nen
n )sin(2
)( Caso ttx
tx nen
n
Ressonância Mecânica
solução para o deslocamento Ressonância
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
0 1 2 3
Tempo [s]
Des
loca
men
to [m
m]
Excitação Resposta
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EXCITAÇÃO CONSTANTE
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Solução transiente: exemplo de sistema amortecido
equação de equilíbrio
solução homogênea
tsinCtCetx ddt
hn
21 cos)(
solução particularAtxp )(
condições iniciais0)0( ;0)0( xx
c
k
mF0
Excitação Constante
0)()()()( FtFtxktxctxm
k
FAtxtxtx nnnn
0222 )()(2)(
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solução geral:
aplicando as condições iniciais:
0 )0( 1 CAx
0)0( 21 CCx dn
tsintAeAtx dd
tn
21cos )(
tsinCtCeAtx ddtn
21 cos)(
ACC
AC
d
n
212
1
1
Excitação Constante
Solução transiente: exemplo de sistema amortecido
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0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
2.5
0.00.20.6
exemplo: sistema amortecido com excitação constante
valores de
nt
x(t)A
Excitação Constante
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MOVIMENTO DE BASE
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Transmissão e Controle da Vibração
Base Móvel:
Se a base sofrer uma oscilação harmônica:
A solução para x é:
Resposta de Amplificação:
Resposta em fase:
)cos()( tDtxb
bxmxkxcxm
)cos()( 1 tEtx
2
11 1
2tan
222
22
21
H
D
E
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Excitação por Base Móvel
Fator de Amplificação é multiplicado pelo quadrado da razão de freqüências.
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Excitação por Base Móvel
Resposta de Amplificação para Acelerômetros:
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TRANSMISSÃO DE VIBRAÇÃO
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Transmissão da Vibração
Força transmitida para a base:
Ou ainda,
Transmissibilidade:
xxmxkxctF nnT22)(
222
22
21
2121
H
xk
tFT
e
Tr
22 cossin2)( ttCktFT
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Transmissão da Vibração
Transmissibilidade:
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Pode-se determinar o amortecimento da seguinte forma :
Toma-se as razões de
freqüências que
correspondam ao
valor do pico ( Hmax )
multiplicado por .
Técnicas Experimentais
2/2
212
Hmax
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Exemplo
No modelo matemático de um veículo de massa igual a 1800 kg foi feito um teste de suspensão, adicionando-se 45 kg sobre a carroceria e provocando uma deflexão das molas em 0,203 cm. Para os amortecimento, verificou-se ser 40% do crítico.
O veículo trafega sobre um viaduto com oscilações na pista que se parecem com uma função senoidal com comprimento de onda de 12,2 m e uma amplitude de 3,05 cm.
A partir destes dados, deseja-se obter a resposta em deslocamento para o veículo quando o mesmo tem velocidade de cruzeiro de 72,4 km/h.
Y0
m
ck
y(t)
x(t)Velocidade