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ARQUIMEDES –MÉTODO DA EXAUSTÃO

e outros temas

INSTITUTO FEDERAL DE ALAGOAS – IFAL

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Fernando A C Mendonça

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ARQUIMEDESArquimedes de Siracusa (287 a.C. –

212 a.C.) foi um matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego. Embora poucos detalhes de sua vida sejam conhecidos, são suficientes para que seja considerado um dos principais cientistas da Antiguidade Clássica.

Ronald CalingerRonald Calinger, em sua obra “Uma História Contextual da Matemática”, afirma ser Arquimedes o maior matemático da Antiguidade e um dos maiores de todos os tempos.

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CONTRIBUIÇÕES

FÍSICA (ENGENHARIA)

• BASES DA ESTÁTICA E DA HIDROSTÁTICA;

• DESCOBRIU A LEI DO EMPUXO E DA ALAVANCA.

INVENTO DE MÁQUINAS

• ARMAS DE CERCO;

• BOMBA DE PARAFUSO.

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MATEMÁTICA• CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES (ÁREA SOB UM ARCO DE PARÁBOLA, VOLUMES DE SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO, VOLUME E ÁREA DE ESFERA);• APROXIMAÇÃO DO NÚMERO π;• DESCOBERTA DE UMA ESPIRAL (A ESPIRAL DE ARQUIMEDES);• DESENVOLVIMENTO DE UM SISTEMA PARA EXPRESSAR NÚMEROS MUITO GRANDES.

CONTRIBUIÇÕES

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Uma esfera inscrita em um cilindro de mesma altura e diâmetro. Arquimedes provou que o volume e a área da superfície da esfera são dois terços da do cilindro.

O parafuso de Arquimedes é capaz de elevar água eficientemente.

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Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes informa que: (aprox. 1,7320261) < (aprox. 1,7320508)< (aprox. 1,7320512)

sem dar qualquer explicação sobre o método utilizado para obtê-lo.

Este aspecto da obra de Arquimedes fez John Wallis comentar que ele estava: "...como se houvesse um firme propósito de encobrir os passos de sua investigação, como se ele negasse à posteridade o segredo de seu método de investigação ao mesmo tempo que desejava extrair dela o consentimento com os seus resultados.

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Em O Contador de Areia, Arquimedes se dispôs a calcular o número de grãos de areia que o universo poderia conter. Propôs um sistema para contar números altos, e chegou à conclusão que 8.1063 grãos encheriam o universo.

Em coordenadas polares (r, θ), a espiral de Arquimedes, apresentada em seu livro em seu livro Das Espirais, pode ser descrita pela equação seguinte: ,com a e b reais.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Valor de Valor de ππ utilizando o Princípio da Exaustãoutilizando o Princípio da Exaustão

entre (aproximadamente 3,1429) e (aproximadamente

3,1408), consistente com o seu valor real de cerca de 3,1416.

Ele também mostrou que a área de um círculo é igual a π

multiplicado pelo quadrado do raio do círculo.

Arquimedes desenhou um polígono regular inscrito e outro circunscrito a um mesmo círculo. Aumentando-se o número de lados do polígono regular, ele se torna uma aproximação mais precisa de um círculo.

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Quando os polígonos tinham 96 lados cada um, ele calculou os comprimentos de seus lados e mostrou que o valor de π está

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n Sn / n l menor L maior P menor / C P maior / C

4 90 1,414213562 2 2 29/35 45 108 1,175570505 1,453085056 2 46/49 3 31/496 120 1 1,154700538 3 3 13/287 128,5714286 0,867767478 0,963149238 3 1/27 3 23/628 135 0,765366865 0,828427125 3 4/65 3 16/519 140 0,684040287 0,727940469 3 5/64 3 8/29

10 144 0,618033989 0,649839392 3 1/11 3 1/420 162 0,31286893 0,316768881 3 9/70 3 1/630 168 0,209056927 0,210208471 3 11/81 3 15/9840 171 0,156918191 0,157403414 3 13/94 3 4/2750 172,8 0,125581039 0,125829335 3 6/43 3 7/48

60 174 0,104671912 0,104815559 3 7/50 3 13/9070 174,8571429 0,089729661 0,089820104 3 9/64 3 1/780 175,5 0,078519632 0,078580214 3 10/71 3 1/790 176 0,069798993 0,069841539 3 11/78 3 1/796 176,25 0,065438166 0,065473221 3 11/78 3 1/7

3,141031951 3,1427146Valor real de π: 3,141592654

Circunferência de comprimento C = 2m

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Em A Quadratura da Parábola, Arquimedes provou que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é 4⁄3 vezes a área do triângulo inscrito correspondente, como mostrado na figura à direita. Ele expressou a solução do problema como uma série geométrica infinita com a razão comum de 1⁄4: Como mostrado por Arquimedes, a

área do segmento parabólico na figura de cima é igual a 4/3 da do triângulo inscrito na figura de baixo.

Área de arco de parábola Área de arco de parábola utilizando o Princípio da Exaustãoutilizando o Princípio da Exaustão

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FATO MATEMÁTICO

PERSONALIDADE QUE SE

DESTACOU

PROBLEMA OU CONFLITO

RELACIONADO

COMO FOI RESOLVIDO O CONFLITO

Valor de π Arquimedes Há um certo número (π) que, em qualquer circunferência, corresponde ao quociente do comprimento por seu diâmetro. Possíveis problemas com confecção de produtos.

Utilização do princípio da exaustão: aproximação de π pelos cálculos dos perímetros de dois polígonos regulares de lado n, sendo um inscrito e outro circunscrito a uma circunferência.

Valor de 3 Arquimedes Provavelmente

deparou-se com a equação x2=3 em algum problema. Exemplo de problema: cálculo de área de um terreno.

Publicou o resultado

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13513

153

265

sem explicar o método para alcançá-lo.

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FATO MATEMÁTICO

PERSONALIDADE QUE SE

DESTACOU

PROBLEMA OU CONFLITO

RELACIONADO

COMO FOI RESOLVIDO O CONFLITO

Área delimitada por uma parábola e uma linha reta

Arquimedes Após investigar áreas de circunferência, pode ter procurado áreas de parábolas. Intuito matemático.

Dividiu a região em triângulos, cuja soma de áreas resultou na série geométrica infinita

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n

ninsccrito

A , ou

seja, igual a área do triângulo inscrito vezes 4/3.

Contagem de números altos (grãos de areia)

Arquimedes Contrariar a crença de existirem infinitos grãos de areia na Grécia (ou no mundo conhecido na época)

Criou um sistema de contagem em que as unidades correspondem a 1 miríade (ou 10000 unidades), e estimou que seriam necessários 8×1063 grãos de areia para encher o universo.

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Quando a cidade de Siracusa foi cercada por Quando a cidade de Siracusa foi cercada por Roma, Arquimedes foi morto por um soldado Roma, Arquimedes foi morto por um soldado romano, mesmo após os soldados terem romano, mesmo após os soldados terem recebido ordens para que não o ferissem, recebido ordens para que não o ferissem, devido à admiração que os líderes romanos devido à admiração que os líderes romanos tinham por ele.tinham por ele.

“Brincar é condição fundamental para ser sério.”Αρχιμήδης

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FONTES CONSULTADAS:

Calinger, Ronald. A Contextual Historyof Mathematics. [S.l.]: Prentice-Hall, 1999.

http://www.matematica.br/historia/arquimedes.html

http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/

http://www.cursointerseccao.com.br/resumos/a_historia_da_matematica.pdf

Andréa Cardoso et al. Descobrindo o número π com geometria dinâmica

http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12006/MauroLopesAlvarenga.pdf

https://sistemas.usp.br/siicusp/cdOnlineTrabalhoVisualizarResumo?numeroInscricaoTrabalho=4099&numeroEdicao=18