apostila udesc preparatória para o vestibular - quimica, fisica, matematica, portugues e historia...

Apostila Preparatoriapara o

Vestibular Vocacionado UDESC

Aline Felizardo GolcalvesAndre Alexandre SilveiraAndre Antonio Bernardo

Cesar MancheinFlabio Esteves Cordeiro

Gisele Maria Leite DalmonicoMarcio Rodrigo Loos

Priscila FischerRicardo Fernandes da Silva

Sidinei SchaeferProfessores

Luciano Camargo MartinsCoordenador

Revisao 1.2 de 29 de agosto de 2007

MUNDO FISICO

Nossa Apostila

A edicao dessa apostila, concretiza os esforcos feitos desde oano de 2003, quando os alunos do antigo Curso de LicenciaturaPlena em Fsica da UDESC mobilizaram-se por forca e von-tade propria no desenvolvimento e apresentacao de um CursoPre-Vestibular aberto a` comunidade, gratuito, que preparassemelhor os alunos interessados nos cursos oferecidos pelo Centrode Ciencias Tecnologicas (CCT) da UDESC-Joinville.

Essa primeira tentativa de implantar o Curso Pre-Vestibularnao chegou a se realizar, por razoes puramente burocraticas,apesar dos esforcos gastos na preparacao das aulas e do mate-rial didatico inicial.

Nos anos seguintes, a ideia original foi abracada por um projetode extensao oficial, e so entao pode ser realizado com sucesso,ja tendo atendido milhares de alunos desde entao.

Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, esperamosque esse material seja suficiente para a revisao dos conteudosexigidos pela Universidade.

Convidamos a todos para que visitem o nosso site!

Nosso Endereco na Internet

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Joinville-SC, 29 de agosto de 2007

Professor Luciano Camargo MartinsCoordenador da Home Page Mundo Fsico

e-Mail: [email protected]

Sumario

FISICA1

Mecanica Aula 1: Grandezas Fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Mecanica Aula 2: Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mecanica Aula 3: Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Mecanica Aula 4: A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Mecanica Aula 5: A Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Mecanica Aula 6: Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Mecanica Aula 7: Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Mecanica Aula 8: Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Mecanica Aula 9: Dinamica do Movimento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Mecanica Aula 10: Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Mecanica Aula 11: Impulso e Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Mecanica Aula 12: Conservacao da Quantidade de Movimento . . . . . . . 22

Mecanica Aula 13: Colisoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Mecanica Aula 14: Lei da Acao e Reacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Mecanica Aula 15: Forca de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Gravitacao Aula 1: As Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Gravitacao Aula 2: Gravitacao Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Gravitacao Aula 3: Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Gravitacao Aula 4: Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Otica Aula 1: Otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Otica Aula 2: Espelhos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Otica Aula 3: Refracao da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Otica Aula 4: Lentes Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Otica Aula 5: Otica da Visao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Fluidos Aula 1: Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Fluidos Aula 2: Hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Cinematica Aula 1: Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iii

iv

Cinematica Aula 2: Movimento Uniforme (MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Cinematica Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . . . 59

Cinematica Aula 4: Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Cinematica Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . . . . . . 63

Ondas Aula 1: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Ondas Aula 2: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Ondas Aula 3: Ondas e Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Ondas Aula 4: Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Ondas Aula 5: Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Termodinamica Aula 1: Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Termodinamica Aula 2: Dilatacao Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Termodinamica Aula 3: Transformacoes Gasosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Termodinamica Aula 4: Lei de Avogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Termodinamica Aula 5: Modelo Molecular de um Gas . . . . . . . . . . . . . . 85

Termodinamica Aula 6: Calor e Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Termodinamica Aula 7: Capacidade Termica (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Termodinamica Aula 8: Primeira Lei da Termodinamica . . . . . . . . . . . . 91

Termodinamica Aula 9: Maquinas Termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Termodinamica Aula 10: Mudancas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Termodinamica Aula 11: Sublimacao e Diagrama de Fases . . . . . . . . . . . 96

Eletricidade Aula 1: Carga Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Eletricidade Aula 2: Eletroscopio de Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Eletricidade Aula 3: Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Eletricidade Aula 4: Potencial Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Eletricidade Aula 5: Superfcies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Eletricidade Aula 6: Condutores em Equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Eletricidade Aula 7: Capacidade Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Eletricidade Aula 8: Associacao de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Eletricidade Aula 9: Corrente Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Eletricidade Aula 10: Resistencia Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Eletricidade Aula 11: Instrumentos de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Eletricidade Aula 12: Geradores e Forca Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . 121

vQUIMICA125

Qumica Aula 1: Estrutura Atomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Qumica Aula 2: Modelos Atomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Qumica Aula 3: Ligacoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Qumica Aula 4: Ligacoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Qumica Aula 5: A Estrutura da Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Qumica Aula 6: Teoria Cinetica dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Qumica Aula 7: Acidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Qumica Aula 8: Solucoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Qumica Aula 9: Equilbrio Ionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Qumica B Aula 1: O que e Qumica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Qumica B Aula 2: Materia e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Qumica B Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Qumica B Aula 4: Propriedades Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Qumica B Aula 5: Ligacoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Qumica B Aula 6: Ligacoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Qumica B Aula 7: Equacoes e Reacoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Qumica B Aula 8: Equacoes e Reacoes (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Qumica B Aula 9: Solucoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Qumica B Aula 10: Funcoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Qumica B Aula 11: Propriedades Coligativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Qumica B Aula 12: Eletroqumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Qumica Organica Aula 1: Introducao a` Qumica Organica . . . . . . . . . . 175

Qumica Organica B Aula 2: Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

MATEMATICA183

Matematica A Aula 1: Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Matematica A Aula 2: Funcoes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Matematica A Aula 3: Funcoes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Matematica A Aula 4: Funcoes Especiais (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Matematica A Aula 5: Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Matematica A Aula 6: Equacoes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Matematica A Aula 7: Geometria Analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Matematica A Aula 8: Geometria Analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

vi

Matematica A Aula 9: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Matematica A Aula 10: Circunferencia - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Matematica B Aula 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Matematica B Aula 2: Operacoes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Matematica B Aula 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Matematica B Aula 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Matematica B Aula 5: Discussao de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . 218

Matematica B Aula 6: Progressao Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Matematica B Aula 7: Progressao Geometrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Matematica C Aula 1: Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Matematica C Aula 2: Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Matematica C Aula 3: Numeros complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Matematica C Aula 4: Razoes e Proporcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Matematica C Aula 5: Regras de Tres Simples e Composta . . . . . . . . . . 235

Matematica C Aula 6: Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Matematica C Aula 7: Analise Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Matematica C Aula 8: Arranjo, Combinacao e Permutacao . . . . . . . . . . 240

Matematica C Aula 9: Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Matematica C Aula 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Matematica C Aula 11: Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Matematica C Aula 12: Equacoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Matematica C Aula 13: Introducao a` Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Matematica C Aula 14: Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Matematica C Aula 15: Quadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Matematica C Aula 16: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Matematica C Aula 17: Polgonos e Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Matematica C Aula 18: Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Matematica C Aula 19: Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Matematica C Aula 20: Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

LINGUA PORTUGUESA273

Lngua Portuguesa 01: Variantes Lingusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Lngua Portuguesa 02: Acentuacao Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Lngua Portuguesa 03: Concordancia Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Lngua Portuguesa 04: Concordancia Verbal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Lngua Portuguesa 05: Colocacao Pronominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

vii

Lngua Portuguesa 06: Crase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Lngua Portuguesa 07: Interpretacao de Textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Lngua Portuguesa 08: Sinonimos, Antonimos e etc. . . . . . . . . . . . . . . . . 284

HISTORIA287

Historia Aula 1: Historia de Santa Catarina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Grade de Respostas (PARCIAL)291

Referencias Bicliograficas299

Fsica

Mecanica Aula 1

Grandezas Fsicas

Apesar de existirem muitas grandezas fsicas, sao estabelecidospadroes e definidas unidades para que tenhamos um numeromnimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizandoas grandezas fundamentais definem-se unidades para todas asdemais grandezas, as chamadas grandezas derivadas.

A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimentopor exemplo, cuja unidade e o metro (m), pode-se definir asunidades derivadas, como area (m2) e volume (m3). Utilizandoo metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, definem-seas unidades de velocidade (m/s) e aceleracao (m/s2).

Sistema Internacional(SI)

Ate o final do seculo XV III era muito grande a quantidadede padroes existentes. Cada regiao escolhia arbitrariamenteas suas unidades. Por motivos historicos, os pases de lnguainglesa utilizam ate hoje os seus padroes regionais. O elevadoaumento nos intercambios economicos e culturais levou ao sur-gimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistemametrico.

Grandeza Unidade Smbolocomprimento metro mmassa quilograma kgtempo segundo scorrente eletrica ampe`re Atemperatura kelvin Kquantidade de materia mol molintensidade luminosa candela cd

Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI.

Em 1971, a 14a Conferencia Geral de Pesos e Medidas escolheusete grandezas como fundamentais, formando assim a base doSI. Alem das grandezas, definiu-se tambem os smbolos, uni-dades derivadas e prefixos. A tabela 1.1 mostra as unidadesfundamentais do SI. A tabela 1.2 apresenta algumas unidadesderivadas do SI.

Notacao Cientfica

A medida de uma determinada grandeza fsica pode resultarem um numero que seja extremamente grande ou extrema-mente pequeno, por exemplos temos:

distancia da Terra a` Lua: 384.000.000m.

Grandeza Unidade Smboloarea metro qua-

dradom2

volume metro cubico m3

densidade quilogramapor metrocubico

kg/m3

velocidade metro por se-gundo

m/s

aceleracao metro porsegundo aoquadrado

m/s2

forca newton N = Kgm/s2

pressao pascal Pa = N/m2

trabalho, energia, calor joule Jpotencia watt W = J/scarga eletrica coulomb C = Asdiferenca de potencial volt V = J/Cresistencia eletrica ohm = V/A

Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI.

Prefixo Smbolo Potencia de dezcorrespondente

pico p 1012

nano n 109

micro 106

mili m 103

centi c 102

deci d 101

deca D 101

hecto H 102

quilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

Tabela 1.3: Prefixos, smbolos e potencias de dez.

diametro de um atomo de hidrogenio: 0, 0000000001m.

Para manipular tais numeros, utilizamos a notacao cientfica,fazendo uso das potencias de 10.

O modulo de qualquer numero g pode ser escrito como umproduto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que euma potencia de dez:

g = a 10n ,onde devemos ter 1 a < 10.

Exemplos

243 = 2, 43 100 = 2, 43 102

1

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5.315 = 5, 315 1000 = 5, 315 103

0, 00024 = 2, 4 0, 0001 = 2, 4 104

0, 00458 = 4, 58 0, 001 = 4, 58 103

Regra Pratica

Numeros maiores que 1: deslocamos a vrgula para aesquerda, ate atingir o primeiro algarismo do numero. Onumero de casas deslocadas para a esquerda correspondeao expoente positivo da potencia de 10.

Numeros menores do que 1: deslocamos a vrgulapara a direita, ate o primeiro algarismo diferente de zero.O numero de casas deslocadas para a direita correspondeao expoente negativo da potencia de 10.

Pense um Pouco!

Quais sao as unidades de Peso e de massa? por que elasnao sao iguais?

Um analgesico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kgde massa corporal, mas a dose administrada nao pode ex-ceder 200 mg. Cada gota contem 5 mg do remedio. Quan-tas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 kg?

Exerccios de Aplicacao

1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimensoes e asunidades, no sistema internacional,

Grandeza Dimensao Unidades SIComprimento L m (metro)Massa M kg (quilograma)Tempo T s (segundo)

das grandezas mecanicas primarias:a) Sabendo que forca = massa aceleracao, expresse a unidadede forca em unidades de grandezas primarias.b) Determine os valores de n e p, se a expressao MLnT np

corresponde a` dimensao de energia cinetica.

2. (FGV-SP) A dimensao de potencia em funcao das grande-zas fundamentais, massa (M), comprimento (L) e tempo (T )e:a) ML2T2

b) ML2T1

c) ML2T 2

d) ML2T3

e) MLT2

3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, ointervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segun-dos, e de:a) 3, 0 102.b) 3, 0 103.c) 3, 6 103.d) 6, 0 103.e) 7, 2 103.

Exerccios Complementares

4. (UFPI) A nossa galaxia, a Via Lactea, contem cerca de400 bilhoes de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelaspossuam um sistema planetario onde exista um planeta seme-lhante a` Terra. O numero de planetas semelhantes a` Terra, naVia Lactea, e:a) 2 104.b) 2 106.c) 2 108.d) 2 1011.e) 2 1012.5. Transforme em quilometros:a) 3600m;b) 2.160.000 cm;c) 0, 03m;d) 5.780 dm;e) 27.600m;f) 5.800 mm;

6. (Unifor-CE) Um livro de Fsica tem 800 paginas e 4, 0 cmde espessura. A espessura de uma folha do livro vale, emmilmetros:a) 0, 025.b) 0, 050.c) 0, 10.d) 0, 15.e) 0, 20.

7. Escreva os seguintes numeros em notacao cientfica:a) 570.000b) 12.500c) 50.000.000d) 0, 0000012e) 0, 032f) 0, 72g) 82 103h) 640 105i) 9.150 103j) 200 105k) 0, 05 103l) 0, 0025 104

Mecanica Aula 2

Algarismos Significativos

A precisao de uma medida simples depende do instrumentoutilizado em sua medicao. Uma medida igual a 2, 00 cm naodeve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm.

Denominamos algarismos significativos todos os algarismos co-nhecidos com certeza, acompanhados de um ultimo duvidoso,que expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: to-dos os algarismos que representam a medida de uma grandezasao algarismos significativos, sendo chamados de corretos, comexcecao do ultimo, que recebe o nome de algarismo duvidoso.

O algarismo duvidoso de uma medida sera sublinhado paradestaca-lo, quando for preciso.

Mecanica Aula 2 3

Exemplos

1. A medida 2, 35 cm apresenta tres algarismos significativos(2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) e umalgarismo duvidoso (5).

2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algaris-mos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e umduvidoso (7). Observe que os zeros a` esquerda nao saoalgarismos significativos, pois servem apenas para posi-cionar a vrgula no numero. Nesse caso, e aconselhavelescrever a medida em notacao cientfica: 5, 7 104 mm.

3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos significa-tivos, sendo os quatro primeiros corretos, e o ultimo zero eo algarismo duvidoso. Em notacao cientfica escrevemos:1, 5000 102 km. Note que ao escrevermos um numerousando as potencias de 10 mantemos a quantidade de al-garismos significativos deste numero, ou seja, mantemossua precisao.

4. Considere a medida do comprimento de uma haste comregua com divisoes em centmetros:

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

Qual das opcoes abaixo melhor representa o comprimentoda haste?

a) 5, 0 cm

b) 5, 40 cm

c) 5 cm

d) 5, 5 cm

e) 5, 2 cm

5. Considere a figura:

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

A mesma haste do exemplo anterior, medida agora comuma regua milimetrada:

a) 5, 2 cm

b) 5, 240 cm

c) 5, 45 cm

d) 5, 24 cm

e) 5, 21 cm

6. Indique o numero de algarismos significativos de cadanumero abaixo:

a) 7, 4 2 significativos

b) 0, 0007 1 significativo

c) 0, 034 2 significativos

d) 7, 40 1010 3 significativos

Criterios de Arredondamento

Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . . 108 m/s.Como devemos proceder para escrever c com um numero me-nor de algarismos significativos? Devemos utilizar os criteriosde arredondamento.

Podemos escrever:

c = 2, 998 108 m/s 4 significativosc = 3, 00 108 m/s 3 significativosc = 3, 0 108 m/s 2 significativos

REGRAS

Se o algarismo a ser eliminado e menor que 5, ele e sim-plesmente eliminado.

Exemplo:2 = 1, 41421 . . . = 1, 414

Se o algarismo a ser eliminado e igual ou maior que 5, ele eeliminado, mas acrescentamos uma unidade no algarismoanterior.

Exemplo: = 3, 1415926 . . . = 3, 1416

Operacoes com Algarismos Significativos

Adicao e Subtracao

O resultado da adicao e subtracao de dois numeros nao podeter maior numero de casas decimais, do que a parcela maispobre (em casas decimais). Procede-se a operacao normal-mente e arredonda-se o resultado.

Exemplos

5, 3 m+ 4, 38m = 9, 68 m = 9, 7 m 138, 95m 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7m

Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a se-guir procedermos o arredondamento.

Multiplicacao e Divisao

O resultado de uma multiplicacao e divisao nao pode ter maiornumero de algarismos significativos do que o fator maispobre (em algarismos significativos). Procede-se a operacaonormalmente e arredonda-se o resultado.

Exemplos

4, 23 m 2, 0 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2

4, 98 cm 2, 0 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s

Relacoes entre Grandezas Fsicas

Muitos fenomenos fsicos podem ser reduzidos ao estudo darelacao entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados ob-tidos das medicoes podem ser expressos por uma representacaografica num plano cartesiano por meio de dois eixo perpendi-culares entre si.

Atraves da representacao grafica da relacao entre duas grande-zas pertencentes a um determinado fenomeno fsico, podemosobter algumas conclusoes sobre o comportamento de uma das


grandezas (variavel dependente) em relacao a outra (variavelindependente).

Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foimedicada, ingerindo uma dose do medicamento a`s 8 horas euma outra dose a`s 12 horas da manha. A temperatura dapessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidossao mostrados abaixo.

Tempo (h) Temperatura (C)0 39,01 39,02 38,53 38,04 38,55 37,56 37,07 36,58 36,59 36,5

Podemos representar os dados da tabela acima em um grafico.A representacao grafica das variaveis temperatura (variavel de-pendente: eixo vertical) e tempo (variavel independente: eixohorizontal) esta mostrada na Fig. 1.1.

35.0

36.0

37.0

38.0

39.0

40.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

T(oC

)

t(h)

Figura 1.1: Grafico da temperatura em funcao do tempo

O grafico cartesiano mostrado anteriormente, alem de facilitara visualizacao do comportamento da temperatura da pessoadurante as 9 horas de observacao, permite tambem, algumasconclusoes.

Como Construir um Grafico

Para que graficos sejam construdos de forma objetiva e clarae necessario respeitar algumas regras simples:

O eixo vertical e chamado de eixo das abscissas e o hori-zontal de eixo das coordenadas;

a variavel dependente deve ser colocada no eixo vertical ea variavel independente no eixo horizontal;

os eixos devem se encontrar no canto inferior esquerdo dopapel, ou espaco (retangulo) reservado para o grafico;

as escalas sao independentes e devem ser construdas in-dependentemente;

as divisoes numericas das escalas (lineares) devem ser re-gulares;

o valor zero (0) nao precisa estar em nenhuma das escalas; as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e debaixo para cima;

antes de iniciar a construcao de um grafico deve-se ve-rificar a escala a ser usada levando em consideracao osvalores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assu-mido por ambas as variaveis do grafico. Divide-se entao oespaco disponvel, em cada eixo, para que acomode todosos pontos experimentais;

o teste final para saber se as escalas estao boas e feitoverificando-se se e facil de ler as coordenadas de qualquerponto nas escalas.

Pense um Pouco!

A funcao da posicao x em relacao ao tempo t de um pontomaterial em movimento retilneo, expressa em unidades doSI, e

x = 10 + 5, 0t

Determine:a) a posicao do ponto material no instante 5, 0 s;b) o instante em que a posicao do ponto material e x =50 m;c) esboce o grafico x t do movimento.


1. Determine o comprimento de cada haste:

a)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

b)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

c)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

d)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

e)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

f)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divisao,o milmetro. Essa trena e utilizada para se medir a distancia

Mecanica Aula 3 5

entre dois tracos paralelos, muito finos, feitos por um estiletesobre uma superfcie plana e lisa. Considerando que nao houveerro grosseiro, o resultado de uma so medicao, com o numerocorreto de algarismos significativos, e mais bem representadopor:a) 2 mb) 21 dmc) 214 cmd) 2, 143me) 2.143, 4m


3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento desua mesa de trabalho. Nao dispondo de regua, decide utilizarum toco de lapis como padrao de comprimento. Verifica entaoque o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5 tocos de lapis.Chegando ao colegio, mede com uma regua o comprimento doseu toco de lapis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesasera corretamente expresso por:a) 120, 15 cmb) 120, 2 cmc) 1 102 cmd) 1, 2 102 cme) 102 cm

4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, apos realizar a medidanecessaria, que o volume de um dado e 2, 36 cm3. Levando-seem conta os algarismos significativos, o volume total de cincodados, identicos ao primeiro, sera corretamente expresso por:a) 6, 8 cm3

b) 7 cm3

c) 13, 8 cm3

d) 16, 80 cm3

e) 17, 00 cm3

5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas,sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura media de umafolha e:a) 101 mmb) 102 mmc) 103 mmd) 104 mme) 105 mm

Mecanica Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais

Na Fsica tratamos de dois tipos principais de grandezas: asgrandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares

A grandeza escalar e aquela que fica perfeitamente carac-terizada quando conhecemos apenas sua intensidade acom-panhada pela correspondente unidade de medida. Como

exemplos de grandeza fsica escalar podemos citar a massa deum corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exem-plo 36 oC), o volume (5 m3, por exemplo), a densidade (paraa agua, 1000 kg/m3), a pressao (105 N/m2), a energia (porexemplo 100 J) e muitas outras.

Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras deoperacoes algebricas comuns, arredondando-se quando ne-cessario.

Grandezas Vetoriais

Dada a velocidade instantanea de um movel qualquer (porexemplo, um aviao a 380 km/h), constatamos que apenas essaindicacao e insuficiente para dizermos a direcao em que o movelsegue. Isso acontece porque a velocidade e uma grandezavetorial.

Para uma grandeza fsica vetorial ficar totalmente caracteri-zada, e necessario saber nao apenas a sua intensidade oumodulo mas tambem a sua direcao e o seu sentido. Geral-mente a grandeza vetorial e indicada por uma letra com umasetinha (por exemplo, ~v) e o modulo ou intensidade, por |~v| ousimplesmente por v.

A grandeza fsica vetorial pode ser representada graficamentepor um segmento de reta (indicando a direcao da grandeza)dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendoainda seu valor seguido da unidade de medida (indicacao deseu modulo ou intensidade). Tal representacao e denominadavetor.

No exemplo anterior do aviao, poderamos dizer, por exemplo,que ele se movimenta num certo instante com velocidade ~v,de modulo v = 380 km/h, na direcao norte-sul e sentido desul para norte. Essa velocidade vetorial instantanea pode serrepresentada por um vetor, como mostra a figura 1.1.

N

S

O L

380 km/h

Figura 1.1: Exemplo de representacao vetorial

Como afirmamos anteriormente, para representar grandezasvetoriais e preciso indicar, alem do modulo, a direcao e o sen-tido da grandeza. Podemos fazer essa indicacao utilizando umvetor (veja a figura 1.2). O vetor pode ser representado porum segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - eproporcional a` intensidade da grandeza que representa.

Para melhor entendermos o significado e a representacao deum vetor, observe a figura 1.3.

Na figura de cima os vetores representados possuem mesmadirecao e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam amesma direcao e sentidos opostos. Portanto, podemos notarque vetores de mesma direcao sao paralelos, o que nao garanteque tenham o mesmo sentido.


S

Figura 1.2: A reta s, que contem o vetor, indica a direcao e aseta indica o sentido

a

b d

a

b

c

Figura 1.3: Representacao de alguns vetores

Soma de Vetores Paralelos

Quando os vetores tem a mesma direcao, podemos determi-nar o modulo do vetor soma estabelecendo convencionalmenteum sentido como positivo e somando algebricamente os seusmodulos. Observe:

a

c

b

c

ba

d

Figura 1.4: De acordo com a convencao adotada, o modulodovetor sera d = a+ b c.

Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma direcao (horizontal).Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita.Assim, os vetores ~a e ~b sao positivos e o vetor ~c e negativo. Omodulo do vetor soma, ~d, e dado por

d = a+ b c

Se obtermos um valor positivo para ~d, isso significa que seusentido e positivo, ou seja, o vetor e horizontal para a direita;se for negativo, o seu sentido e negativo, isto e, o vetor e hori-zontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um movel parte de um ponto A e so-fre um deslocamento ~d1 no sentido leste, atingindo um ponto Be, em seguida, um deslocamento ~d2 no sentido norte, atingindoum ponto C (veja a figura 1.5)

d 1

dd 2S

O L

N

BA

C

Figura 1.5: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1 e~d2. Portanto ~d = ~d1 + ~d2.

Podemos notar facilmente que o deslocamento ~d1, de A paraB, e o ~d2, de B para C, equivalem a um unico deslocamento, ~d,de A para C. Desta forma, o deslocamento ~d e a soma vetorialou resultante dos deslocamentos ~d1 e ~d2, ou seja,

~d = ~d1 + ~d2

Este resultado e valido para qualquer grandeza vetorial. Vejaa figura 1.6.

a

c

b b

Figura 1.6: O vetor ~c e a resultante ou soma vetorial de ~a e ~b.

Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c. Ecrucial notar que a colocacao do vetor ~b na origem ou na extre-midade do vetor ~a nao altera o vetor soma ~c. Deve-se observarque os vetores ~a, ~b e ~c formam um triangulo retangulo, em que~c e a hipotenusa ~a e ~b sao catetos. Para obtermos o modulodo vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pitagoras:

c2 = a2 + b2

Soma de Vetores

A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direcoesquaisquer nao apresenta muita diferenca. Para um movel, par-tir de A e atingir B num deslocamento ~d1 e, em seguida, atingirC num deslocamento ~d2 equivale a partir de A e atingir C numdeslocamento ~d (veja figura 1.7). Desta forma,

~d = ~d1 + ~d2

Na determinacao do modulo do vetor ~d resultante, nao po-demos aplicar o teorema de Pitagoras, tendo em vista que o

Mecanica Aula 3 7

d

d 2

d 1A

C

B

Figura 1.7: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1 e~d2.

angulo entre ~d1 e ~d2 nao e reto (90o). Assim, aplicamos a regra

do paralelogramo, como mostra a figura 1.8.

Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal e ovetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo,se ~a e ~b formam entre si um angulo , o modulo do vetorresultante ~c sera dado pela expressao:

c2 = a2 + b2 + 2ab cos

Decomposicao de Vetores

Ao somarmos dois vetores, podemos obter um unico vetor,o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Aodecompormos dois vetores, realizamos um processo inverso.Dado um vetor ~a, obtem-se outros dois vetores ~ax e ~ay tal que~ax + ~ay = ~a (veja a figura 1.9).

O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~axe ~ay formem um triangulo retangulo (figura 1.10). Aplicandoa trigonometria ao triangulo retangulo, podemos determinar omodulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical) de ~aem funcao do angulo . Desta forma, no triangulo hachuradoda figura 1.10, temos

cos =cateto adjacente

hipotenusa cos = ax

a

ax = a cos onde ax e o modulo da componente horizontal ~ax do vetor ~a.Temos ainda

sin =cateto oposto

hipotenusa sin = ~ay

a

ay = a sinonde ay e o modulo da componente vertical ~ay do vetor ~a.

Podemos relacionar o modulo do vetor e o modulo de seuscomponentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitagoras notriangulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay:

a2 = a2x + a2y

Pense um Pouco!

Qual a condicao para que a soma de dois vetores seja nula? O modulo da soma de dois vetores pode ser igual a` somade seus modulos? Quando?

O modulo de um vetor pode ser negativo? Por que?

cb

c

a

b

a

Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados sao osvetores ~a e ~b, e o vetor resultante ~c. Podemos deslocar o vetor~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figura anterior.


1. Um movel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e emseguida, 50 m no sentido norte-sul.a) Represente esquematicamente esses deslocamentos.b) Determine o modulo do deslocamento resultante.

2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o modulo daresultante de F1 e F2. Dado: cos(120

) = 0, 50.

F1

F2120

o

3. Um projetil e atirado com velocidade de 400 m/s fazendoum angulo de 45 com a horizontal. Determine os componentesvertical e horizontal da velocidade do projetil.


a

ax

a y

x

y

Figura 1.9: O vetor ~a pode ser decomposto em um componentehorizontal, ~ax, e outro vertical, ~ay.

a

a y a y

ax

Figura 1.10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e ~ay formamum triangulo retangulo, onde ~a e a hipotenusa e ~ax e ~ay saoos catetos.


4. Na figura abaixo estao representadas duas forcas: ~F1, demodulo F1 = 5, 0 N e ~F2, de modulo F2 = 3, 0 N , formandoentre si um angulo = 60. Determine a forca resultante ~FRpara o sistema de forcas mostrado.

F2

F1

= 60 o

5. Um vetor velocidade e decomposto em dois outros, perpen-diculares entre si. Sabendo que o modulo do vetor e 10, 0 m/se que um dos componentes tem modulo igual a 8, 0 m/s, deter-mine o modulo do vetor correspondente ao outro componente.

6. Um projetil e lancado do solo segundo uma direcao queforma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s(veja a figura a seguir). Determine o modulo dos componen-tes horizontal, ~vx, e vertical, ~vy, dessa velocidade. Dados:sin(53) = 0, 80 e cos(53) = 0, 60

v

= 53 o

7. Um aviao voa no sentido sul-norte com uma velocidade de900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um fortevento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoeste-nordeste.a) Faca um esquema grafico representando a velocidade doaviao e do vento.b) Determine o modulo da velocidade resultante. Dado:cos(45) = 0, 71.

Mecanica Aula 4

A Primeira Lei de Newton

O Conceito de Forca

Geralmente utilizamos uma forca com o objetivo de empur-rar, puxar ou levantar objetos. Essa ideia e correta, poremincompleta. A ideia de puxar ou empurrar esta quase sempreassociada a ideia de contato, o que exclui uma caractersticafundamental da nocao de forca: a acao a` distancia. A atracaogravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, e exercida amilhoes de quilometros de distancia.

A palavra forca nao possui uma definicao unica, expressa empalavras. A Fsica moderna admite a existencia de quatro ti-pos de forca na natureza, chamadas mais adequadamente deinteracoes : gravitacional, eletromagnetica, e as forcas nuclea-res forte e fraca.

Em relacao ao estudo dos movimentos e de suas causas, pode-se dizer que forca e a acao capaz de modificar a velocidade deum corpo.

Como muitas outras grandezas em Fsica, a forca e uma gran-deza vetorial, ou seja, possui modulo direcao e sentido. Pode-mos resumir, entao a definicao de forca da seguinte forma:

Forca e uma grandeza vetorial que caracterizaa acao de um corpo sobre outro e que temcomo efeito a deformacao ou a alteracao da

Mecanica Aula 4 9

velocidade do corpo sobre o qual ela esta sendoaplicada.

A Primeira Lei de Newton

Figura 1.1: Isaac Newton (1642-1727).

Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pen-sar em uma pergunta: o que acontece com o movimento deum corpo livre de qualquer forca? Essa pergunta pode serrespondida em duas partes. A primeira trata do efeito da ine-xistencia de forcas sobre o corpo em repouso: se nenhumaforca atua sobre o corpo em repouso, ele continua em repouso.A segunda parte trata do efeito da inexistencia de forcas sobreo corpo em movimento: se nenhuma forca atua sobre o corpoem movimento, ele continua em movimento.

Mas que tipo de movimento? Ja que nao existem forcas atu-ando sobre o corpo, sua velocidade nao varia de modulo oudirecao. Desta forma, o unico movimento possvel do corpo naausencia de qualquer forca atuando sobre ele e o movimentoretilneo uniforme.

A Primeira Lei de Newton reune as duas respostas anterioresem um unico enunciado:

Todo corpo tende a manter seu estado de re-pouso ou de movimento retilneo e uniforme,a menos que forcas externas provoquem va-riacao na sua velocidade.

De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmarque na ausencia de forcas, todo corpo tende a ficar como esta:parado se estiver parado, em movimento retilneo uniforme, seestiver em movimento (retilneo uniforme). Por este motivoessa lei tambem e chamada de Princpio da Inercia.

O que e Inercia?

Todos os corpos apresentam a tendencia de se manter em re-pouso ou em movimento retilneo uniforme. Essa propriedadedos corpos e chamada inercia. A palavra inercia e derivada dolatim inertia, que significa indolencia ou preguica. Os corpostem uma especie de resistencia a`s modificacoes de sua veloci-dade.

Equilbrio de uma Partcula

Dizemos que uma partcula se encontra em equilbrio, quando aresultante das forcas atuando sobre ela for nula. Se a resultantee nula, nao ocorre alteracao na velocidade do objeto. Assim,seele estiver em repouso, chamamos o equilbrio de estatico; se

Figura 1.2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua seumovimento pra frente...

ele estiver em movimento retilneo e uniforme, o equilbrio serachamado de dinamico.

Pense um Pouco!

Qual a relacao entre a Primeira Lei de Newton e o cinto deseguranca? e o encosto para a cabeca no banco do carro?

Por que quando um onibus freia repentinamente, os pas-sageiros sao arremessados para a frente? e o que ocorrequando o onibus e acelerado?


1. (UFMG) Um corpo de massa m esta sujeito a` acao de uma

forca ~F que o desloca segundo um eixo vertical em sentidocontrario ao da gravidade. Se esse corpo se mover com veloci-dade constante e porque:a) a forca ~F e maior do que a da gravidade.b) a forca resultante sobre o corpo e nula.

c) a forca ~F e menor do que a gravidade.d) a diferenca entre os modulos das forcas e diferente de zero.e) a afirmacao da questao esta errada, pois qualquer que seja~F o corpo estara acelerado porque sempre existe a aceleracaoda gravidade.

2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o enun-ciado da Lei da Inercia, tambem conhecida como primeira Leide Newton.a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo umaorbita elptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma forca proporcio-nal ao produto de suas massas e inversamente proporcional aoquadrado da distancia entre eles.c) Quando um corpo exerce uma forca sobre outro, este re-age sobre o primeiro com uma forca de mesma intensidade edirecao, mas de sentido contrario.d) A aceleracao que um corpo adquire e diretamente propor-cional a` resultante das forcas que nele atuam, e tem mesmadirecao e sentido dessa resultante.e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de mo-vimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre eleestejam agindo forcas com resultante nao nula.


3. (UNESP-SP) As estatsticas indicam que o uso do cinto deseguranca deve ser obrigatorio para prevenir lesoes mais gravesem motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente,a funcao do cinto esta relacionada com a:a) primeira Lei de Newton.b) lei de Snell.c) lei de Ampe`re.d) lei de Ohm.e) primeira Lei de Kepler.


4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo,presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a corda.Pela Lei da Inercia, conclui-se que:a) a pedra se mantem em movimento circular.b) a pedra sai em linha reta, segundo a direcao perpendiculara` corda no instante do corte.c) a pedra sai em linha reta, segundo a direcao da corda noinstante do corte.d) a pedra para.e) a pedra nao tem massa.

5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme retilneo,so pode estar sob a acao de uma:a) forca resultante nao-nula na direcao do movimento.b) unica forca horizontal.c) forca resultante nula.d) forca nula de atrito.e) forca vertical que equilibre o peso.

6. (Fiube-MG) Uma partcula se desloca ao longo de umareta com aceleracao nula. Nessas condicoes, podemos afirmarcorretamente que sua velocidade escalar e:a) nula.b) constante e diferente de zero.c) inversamente proporcional ao tempo.d) diretamente proporcional ao tempo.e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo.

Mecanica Aula 5

A Segunda Lei de Newton

E muito comum encontrarmos a definicao de massa de umcorpo da seguinte maneira: a massa de um corpo representaa quantidade de materia que ele possui. Em cursos elementa-res de ciencias, esta definicao pode ser aceita como uma ideiainicial da nocao de massa, embora nao possa ser consideradauma definicao precisa dessa grandeza. De fato, a definicaoapresentada nao e adequada, pois pretende definir um novoconceito massa por meio de uma ideia vaga, que nao temsignificado fsico preciso quantidade de materia.

Experimentalmente os fsicos constataram que entre a forca Faplicada a um corpo e a aceleracao a, que ele adquire, existeuma proporcao direta. Desta forma, o quociente F/a e cons-tante para um certo objeto. Este quociente, que e intrnseco a

cada corpo, foi denominado pelos fsicos de massa do corpo.Desta forma, podemos afirmar:

A massa m de um corpo e o quociente entre omodulo da forca que atua num corpo e o valorda aceleracao a que ela produz neste corpo.

Assim,

m =F

a

No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massae o quilograma:

1 quilograma = 1 kg = 1000 g

Massa e Inercia

Suponhamos que uma forca F foi aplicada a tres corpos demassa diferentes, como tres blocos de ferro, com volumes di-versos. Imaginaremos que a superfcie na qual estes blocosestao apoiados nao apresenta atrito. Analisando a equacaom = F/a, percebemos facilmente que:

- Quanto maior m menor a- Quanto maior m maior a dificuldade de alterar a veloci-

dade do corpo.

Podemos concluir que

Quanto maior e a massa de um corpo, maiorsera sua inercia (dificuldade de ter sua velo-cidade alterada), isto e, a massa representa amedida de inercia de um corpo.

As conclusoes anteriormente, explicam porque um caminhaovazio (quando sujeito a uma forca F) adquire uma aceleracaomaior do que quando esta cheio, por exemplo.

A Segunda Lei de Newton

De acordo com o princpio da inercia, um corpo so pode sairde seu estado de repouso ou de movimento retilneo com velo-cidade constante se sobre ele atuar uma forca resultante ex-terna. Neste momento, poderamos perguntar: O que acon-tece se existir uma forca resultante externa agindo no corpo?Nesta situacao, o corpo fica sujeito a uma aceleracao, ou seja,um corpo sujeito a uma forca resultante externa movimenta-secom velocidade variavel.

F

E facil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, porexemplo, desde o repouso ate 30 km/h em um intervalo detempo de 30 s, a intensidade da forca que teremos de aplicardependera da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for umcarro, e evidente que a forca necessaria sera muito menor do

Mecanica Aula 5 11

que se tratasse de um caminhao. Desta forma, quanto maiora massa do corpo, maior devera ser a intensidade da forcanecessaria para que ele alcance uma determinada aceleracao.

Foi Isaac Newton quem obteve essa relacao entre massa e forca,que constitui a segunda lei de Newton ou princpio fun-damental da dinamica. Temos, entao que

A aceleracao de um corpo submetido a umaforca resultante externa e inversamente pro-porcional a` sua massa, e diretamente propor-cional a intensidade da forca.

Assim, para uma dada forca resultante externa F, quantomaior a massa m do corpo tanto menor sera a aceleracao aadquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton e dadapor:

~F = m~a

Esta equacao vetorial impoe que a forca resultante e a ace-leracao tenham a mesma direcao e o mesmo sentido. No SI aunidade de forca e o newton ou (N):

1 N = 1 kg m/s2

Por definicao, o newton e a forca que produz uma aceleracaode 1 m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg.

Diagrama de Corpo Livre

Antes de resolver qualquer problema de dinamica, e de fun-damental importancia a identificacao de todas as forcas rele-vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualizacaodestas forcas, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se umdiagrama de corpo livre ou diagrama de forcas paracada corpo, que e um esquema simplificado envolvendo todasas massas e forcas do problema.

Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano incli-nado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livrepara o bloco:

m

N Fat

P

Figura 1.1: Diagrama de corpo livre para um bloco escorre-gando num plano inclinado.

Observe

Nesse exemplo, o bloco e tratado como uma partcula, por sim-plificacao, nao sendo relevante suas dimensoes ou o ponto deaplicacao das forcas, colocadas todas no seu centro geometrico,por conveniencia. Desprezou-se a forca de empuxo do ar, aforca de resistencia viscosa ao movimento do bloco, tambemcausada pelo ar, e outras forcas irrelevantes ao problema.

Pense um Pouco!

E muito comum nos depararmos com a situacao na qualum carro e um caminhao estao emparelhados aguardandoo sinal verde do semaforo. Voce sabe por que, quando osinal fica verde, o carro quase sempre sai na frente, apesarde o caminhao ter um motor mais possante?

Se o peso de um corpo e proporcional a` sua massa, entaopodemos afirmar que todos os corpos terao a mesma ace-leracao, em queda livre?


1. Na figura abaixo os blocos A, B e C estao sobre um planohorizontal sem atrito.

B

A

Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg,determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a tracao nos fios (TAB entre A e B e TBC , entre B e C).Admitir a massa dos fios desprezvel.

2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe aceleradoa 2 m/s2. Considerando g = 10 m s2, a tracao no cabo que osustenta, e de:a) 6000 Nb) 5000 Nc) 4000 Nd) 3000 Ne) 2000 N


3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa 0, 50 kg.O bloco B, de massa 4, 5 kg, esta sobre o plano sem atrito.

AF

B C

Admitindo g = 10 m/s2 e o fio inextensvel de massa des-prezvel como a massa da polia, determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a tracao no fio.

4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg, mB =2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se apoia num plano sematrito. Sao desprezveis as massas da polia e do fio, que einextensvel.


B

AC

Admitindo g = 10 m/s2, determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a tracao TAB entre os blocos A e B;c) a tracao TBC entre os blocos B e C.

5. Na figura, a forca F tem intensidade 90 N . Despreze osatritos e as inercias do fio e da roldana. Quais os valores daaceleracao do conjunto e da forca que traciona o fio?

4 kg

6 kg

F

6. (UEL-PR) Os tres corpos, A, B e C, representados nafigura tem massas iguais, m = 3, 0 kg

A B

C

O plano horizontal, onde se apoiamA e B, nao fornecem atrito,a roldana tem massa desprezvel e a aceleracao local da gravi-dade pode ser considerada g = 10 m/s2. A tracao no fio queune os blocos A e B tem modulo:a) 10 Nb) 15 Nc) 20 Nd) 25 Ne) 30 N

7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra-se sobre uma balanca no piso de um elevador. Se o elevadorsobe com aceleracao igual, em modulo, a` metade da aceleracaoda gravidade local, pode-se afirmar que a leitura da balanca:a) sera de 25 Nb) permanece inalteradac) sera de 75 Nd) sera de 100 Ne) sera de 200 N

Mecanica Aula 6

Energia

A energia se apresenta de diversas formas na natureza. Porexemplo os alimentos que nos proporcionam energia qumica, acombustao da gasolina libera energia termica, energia eletrica eutilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energiasonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade deenergia transferida de um corpo para outro vamos introduziro conceito de trabalho.

Trabalho

O significado da palavra trabalho, na Fsica, e diferente do seusignificado habitual, empregado na linguagem comum. O tra-balho, na Fsica e sempre relacionado a uma forca que deslocauma partcula ou um corpo. Dizemos que uma forca F realizatrabalho quando atua sobre um determinado corpo que estaem movimento. A partir dessa descricao podemos dizer queso ha trabalho sendo realizado se houver deslocamento, casocontrario o trabalho realizado sera nulo. Assim, se uma pes-soa sustenta um objeto, sem desloca-lo, ela nao esta realizandonenhum trabalho sobre o corpo.

Quando uma forca F atua sobre um corpo no mesmo sentidode seu movimento (ou deslocamento) ela esta favorecendo omovimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho reali-zado pela forca.

Uma Forca Constante

Quando a forca F atua no sentido contrario ao movimento docorpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho reali-zado pela forca e considerado negativo.

d

FF

Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizadopor uma forca horizontal constante, durante um deslocamentohorizontal d e:

W = F d (1.1)

onde F e o modulo da forca constante e d e o deslocamento(em modulo). O sinal + e usado quando a forca e o desloca-mento possuem o mesmo sentido, e o sinal , quando possuemsentidos contrarios.

Importante

Observe que o trabalho e uma grandeza escalar, apesar de serdefinida a partir de dois vetores (F e d).

Unidades

1 N m = 1 J = 1 joule = 107 erg

Mecanica Aula 6 13

1 kJ = 103 J

Quando a forca for aplicada ao corpo formando um angulo com a horizontal, temos a seguinte formula mais geral:

W = F d cos (1.2)

onde F e o modulo da forca constante, d e o deslocamento (emmodulo) e o angulo entre os vetores F e d, ou seja, entre adirecao da forca e o deslocamento.

F F

d

Podemos tambem calcular o trabalho W realizado pela forcaF atraves da area sob a curva do grafico F x:

F

O Xx

Area = Trabalho

W Area sob a curvaObserve que neste caso deveremos descobrir o sinal do trabalhoatraves da analise do grafico, e do sentido relativo entre a forcae o deslocamento (ou do angulo ).

Uma Forca Variavel

0 grafico abaixo representa a acao de uma forca variavel queage sobre um corpo, provocando um deslocamento linear,desde o ponto x ate o ponto x.

x1 x2

1F(x )2F(x )

O X

Area = Trabalho

Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela area sob acurva, desenhando-se o grafico em papel quadriculado, ou deforma aproximada pela area de um trapezio:

W = Fd =

(F + F

2

)(x x)

Observe que essa formula considera a forca media (aproxi-mada) multiplicada pelo deslocamento.

Tipos de Forcas

Existem diversos tipos de forcas que podem atuar em umcorpo: forca elastica, forca peso, forca eletrica, forca de con-tato, etc...

Potencia PConsideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Seuma delas levar um tempo menor que a outra para a realizacaodesse trabalho, tem de fazer um esforco maior e, por tanto,dizemos que desenvolveu uma potencia maior.

Figura 1.1: James Watt (1736-1819)

Um carro e mais potente que o outro quando ele arrancamaisrapido e atinge uma dada velocidade num intervalo de tempomenor do que o outro carro..

Um aparelho de som e mais potente que o outro quando eleele transforma mais energia eletrica em sonora num menorintervalo de tempo. Uma maquina e caracterizada nao so pelotrabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode efetuarem determinado tempo.

Entao podemos concluir que potencia e o trabalho realizadodurante um determinado tempo, ou seja:

P =W/tEm alguns casos, pode-se escrever W = Fd e, substituindo naequacao acima temos

P = Wt=Fdt

t= Fv .

ja que v = d/t.

Unidade de Potencia

1 J/s = 1 watt = 1W

Energia cinetica

Para variar a velocidade de um corpo em movimento e precisoo concurso de forcas externas, as quais realizam certo trabalho.Esse trabalho e uma forma de energia que o corpo absorve (ouperde) pelo fato de estar em movimento em relacao a um dadosistema de referencia.

Chamamos essa energia de movimento de energia de cinetica.Para uma partcula de massa m e velocidade v a energiacinetica e:

Ec =1

2mv2

e assim como o trabalho, mede-se a energia cinetica em joules.


Teorema Trabalho-Energia

Suponhamos que FR seja a resultante das forcas que atuamsobre uma partcula de massa m. O trabalho dessa resultantee igual a` diferenca entre o valor final e o valor inicial da energiacinetica da partcula:

W = Ec =1

2mv2f

1

2mv2i

Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho-energiaindica que o trabalho da resultante das forcas que atua sobreuma partcula modifica sua energia cinetica.

Pense um Pouco!

Que trabalho realizamos sobre um corpo que e levantadoa uma determinada altura? Esse trabalho seria positivoou negativo?

Se voce pudesse segurar um elefante a uma determinadaaltura, voce estaria realizando trabalho? Por que?

Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um bar-bante.

1. Ha algum trabalho sendo realizado sobre o carrinho?Por que? O trabalho e positivo ou negativo.

2. O menino desenvolve alguma potencia? Por que?

3. O carrinho tem energia cinetica? Por que?


1. (ESAL-MG) Um homem esta em repouso com um caixotetambem em repouso a`s costas.a) Como o caixote tem um peso, o homem esta realizandotrabalho.b) O homem esta realizando trabalho sobre o caixote pelo fatode o estar segurandoc) O homem esta realizando trabalho pelo fato de estar fazendoforca.d) O homem nao realiza trabalho pelo fato de nao estar sedeslocando.e) O homem nao realiza trabalho pelo fato de o caixote estarsujeito a` aceleracao da gravidade.

2. (UFSE) Um corpo esta sendo arrastado por uma superfciehorizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere asafirmacoes a seguir: I. O trabalho da forca de atrito e nulo. II.O trabalho da forca peso e nulo. III. A forca resultante quearrasta o corpo e nula. Dentre as afirmacoes:a) E correta a I, somente.b) E correta a II, somente.c) E correta a III, somente.d) Sao incorretas I, II, III.e) Sao corretas II e III.

3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potencia e energia, pode-se afir-mar que:a) potencia e energia sao sinonimos.b) trabalho e potencia se expressam com a mesma unidade.c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.

d) potencia e a capacidade de realizar trabalho.e) trabalho e a relacao energia-tempo.

4. O produto da forca pelo deslocamento do corpo em que elaatua esta associado com:a) trabalhob) potenciac) distanciad) aceleracaoe) velocidade


5. (UFSC) O grafico a seguir representa a resultante dasforcas, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a10, 0 kg, em funcao do deslocamento total em metros. Su-pondo que a sua velocidade inicial e de 14 12 m/s, determine,em m/s, a velocidade do corpo depois de percorrer 40, 0m.

F(N)

5

20

00 10 20 30

1510

x(m)40

6. Um projetil de massa 10, 0 g penetra com velocidadehorizontal de 100 m/s e sai de uma tabua de espessura de10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a forca comque a tabua exerce sobre o projetil.

F

v = 100 m/s v = 90 m/s

x = 1,0 cm

fo

m = 10 g

7. Um movel de massa 2, 90 kg e submetido a` uma forca cons-tante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0 m/sem 8, 00 s. Calcule:a) o trabalho W realizado pela forca;b) a potencia P desenvolvida pela forca;

Mecanica Aula 7

Mecanica Aula 7 15

Energia Potencial

Um corpo possui energia quando e capaz de realizar trabalho.Suponha, entao, um corpo situado a uma certa altura acimado solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, efacil perceber que sera capaz de realizar um certo trabalho:amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois concluirque aquele corpo possua energia na posicao elevada.

A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado auma certa altura acima da superfcie da Terra, e denominadaenergia potencial gravitacional. Ha outras situacoes, seme-lhantes a essa, nas quais um corpo tambem possui energia emvirtude da posicao que ele ocupa. Por exemplo, um corpo si-tuado na extremidade de uma mola comprimida (ou esticada)possui energia em virtude de sua posicao. Se um corpo com-primir uma mola e soltarmos esse corpo, ele sera empurradopela mola e podera realizar trabalho. Neste caso, a energiaque o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticadae denominada energia potencial elastica.

Energia Potencial Gravitacional

Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso refe-rencial usual de energia zero, podemos definir a energia po-tencial gravitacional Ep como

Ep = mgh

onde g e a aceleracao da gravidade. No SI, g vale aproxima-damente 9, 8 m/s2.

Forca Elastica

Chamamos de corpos elasticos aqueles que, ao serem defor-mados, tendem a retornar a` forma inicial.

Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703)

Uma mola helicoidal, feita geralmente de aco, como carac-terstica propria uma constante elastica k, que define a pro-porcionalidade entre a intensidade forca F aplicada e a respec-tiva deformacao x causada na mola. A lei de Hooke relacionaessas quantidades na forma

F = kx

Observe que x mede a deformacao linear da mola a partir doseu tamanho de equilbrio (sem forca).

Atraves a equacao acima, pode-se ver que a unidade SI daconstante elastica deve ser N/m. Na pratica, a constante k

mede a dureza da mola: quanto maior o valor de k, maisdifcil sera a sua deformacao, ou seja, mais forca sera necessariapara deforma-la uma certa quantidade x.

Energia Potencial Elastica

Quando aplicamos uma forca e deformamos uma mola estamostransferindo a ela uma energia, essa energia fica armazenadana mola. Definimos que a energia armazenada em uma molacomprimida ou distendida e chamada de energia potencialelastica, atraves de

Ep =1

2kx2

Pense um Pouco!

A energia potencial gravitacional depende da aceleracaoda gravidade, entao em que situacoes essa energia e posi-tiva, nula ou negativa?

A forca elastica depende da massa da mola? Por que? Se uma mola e comprimida por um objeto de massagrande, quando solto a mola nao consegue se mover, oque acontece com a energia potencial elastica?


1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilingue.a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue?b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua al-tura maxima?c) Existe energia no estilingue depois do lancamento? Co-mente.

2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depoisde um certo tempo de queda.a) O que acontece com sua energia potencial Ep?b) Sua energia cinetica esta variando? Comente.

3. Um indivduo encontra-se sobre uma balanca de mola, pi-sando sobre ela com seus dois pes. Se ele levantar um dos pese mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador com-pletamente fechado, quando observa que o peso indicado nabalanca e zero. Entao, conclui que:a) esta descendo com velocidade constanteb) o elevador esta em queda livrec) a forca de atracao gravitacional exercida sobre ele e anuladapela reacao normal do elevadord) a balanca esta quebrada, visto que isto e impossvel

4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, estao a500 m de altura em relacao ao solo. Voce diria que:a) ambas as pedras tem igual energia potencial;b) a pedra de menor massa tem maior energia potencialc) nada podemos afirmar com relacao a` energia potencial daspedrasd) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizartrabalhoe) a pedra de maior massa tem maior energia potencial

5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprezvel,esta suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal.


Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livredessa mola, ela apresenta deformacao de 2, 0 cm para o sis-tema em equilbrio. Se acrescentarmos a essa massa outra de10 kg, no ponto de equilbrio, a deformacao total sera de:a) 3, 0 mb) 2, 5 cmc) 2, 0 md) 1, 5 cme) 1, 0 m


6. Uma mola cuja constate elastica e 1000 N/m encontra-secomprimida em 10 cm.a) Determine a energia potencial elastica armazenada na mola.

b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente paraimpulsionar um bloco de 100 g, qual e a velocidade maximaadquirida pelo bloco?

7. Qual o trabalho necessario para se comprimir uma mola,cuja constante elastica e 500 N/m, em 10, 0 cm?

8. Um menino situado no alto de um edifcio, segura um corpode massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do solo.a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquelaposicao?b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo,quando situado a 6, 0 m do chao?

Mecanica Aula 8

Trabalho e Energia Potencial

Figura 1.1: James Prescott Joule (1818-1889).

A energia potencial gravitacional esta relacionada a` posicao deum corpo no campo gravitacional. Em geral, quando movemoso corpo, alteramos sua energia potencial.

Para elevar um corpo em equilbrio do solo ate uma altura h,devemos aplicar uma forca que realizara um trabalho (positivo)de mesmo modulo que o trabalho realizado pela forca peso docorpo (negativo).

m

P

ext.F = P

Figura 1.2: Um corpo sendo suspenso em equilbrio.

O trabalho realizado pela forca externa Fext., e armazenadono sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gravita-cional Ep, e vale:

Ep = mgh

se definirmos o valor zero (Ep = 0) no chao, onde h = 0.

Ja para o sistema massa-mola, temos uma forca externa sendoaplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma de-formacao, sendo essa forca

F = kx

o trabalhoW externo necessario para esticar a mola uma quan-tidade x sera

W =1

2kx2

e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de ener-gia potencial elastica.

F=kxO

F=0

O

Ox0

F=k(x)=kx

Figura 1.3: Uma mola esticada, em equilbrio.

Forcas Conservativas e Dissipativas

Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seu peso,ou forca elastica exercida por uma mola, a energia mecanica

Mecanica Aula 8 17

desse corpo se conserva. Por este motivo, as forcas citadassao denominadas forcas conservativas. Exemplo: ao darcorda em um relogio, voce esta armazenando energia potencialelastica numa mola, e essa energia estara disponvel para fazercom que o relogio trabalhe durante um certo tempo. Isso so epossvel porque a energia elastica foi armazenada (conservada).

Por outro lado, se existissem forcas de atrito atuando duranteo deslocamento do corpo, sua energia mecanica nao se con-serva, por que parte dela (ou ate ela toda) se dissipa sob formade calor. Por isso dizemos que as forcas de atrito sao forcasdissipativas. Exemplo: se voce arrastar um caixote pelo chaohorizontal, durante um longo percurso, vera que todo o traba-lho realizado foi perdido, pois nenhuma parte dessa energiagasta foi armazenada, ou esta disponvel no caixote.

A Conservacao da Energia Mecanica

Um sistema mecanico no qual so atuam forcas conservativase dito sistema conservativo, pois a sua energia mecanica(E) se conserva, isto e, mantem-se com o mesmo valor emqualquer momento ou posicao, podendo alternar-se nas suasformas cinetica e potencial (gravitacional ou elastica):

E = Ec + Ep

Degradacao da Energia

A energia esta constantemente se transformando, mas naopode ser criada nem destruda.

Em uma usina hidreletrica, a energia mecanica da quedadagua e transformada em energia eletrica.

Em uma locomotiva a vapor, a energia termica e trans-formada em energia mecanica para movimentar o trem.

Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fissao dosnucleos atomicos se transforma em energia eletrica.

Em um coletor solar, a energia das radiacoes provenientesdo sol se transforma em energia termica para o aqueci-mento de agua.

Pense um Pouco!

Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa molae volta a subir. Ele pode atingir, na volta, altura maiordo que aquela de que foi abandonado? Por que?

Indique algumas fontes de energia e explique a forma deaproveita-las para a realizacao de trabalho mecanico.

Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como serealiza menor trabalho: suspendendo-o diretamente poruma corda, na vertical, ou transportando-o atraves de umplano inclinado (sem atrito) ate a altura desejada? Porque?

Compare a energia necessaria para elevar de 10 m umamassa na Terra e a energia necessaria para elevar de 10 ma mesma massa na Lua. Explique a diferenca.


1. Quais as transformacoes de energia que ocorrem quandoum jogador chuta uma bola?

2. Quais as principais diferencas entre energia potencial eenergia cinetica?

3. Uma forca e dita conservativa quando:a) nao realiza trabalhob) o trabalho por ela realizado nao depende da trajetoria deseu ponto de aplicacaoc) realiza apenas trabalhos positivosd) o trabalho por ela realizado nao depende da massa do corpoem que esta aplicadae) dissipa energia termica

4. Um sistema fsico tem energia quando:a) esta sujeito apenas a acoes de forcas conservativas;b) esta sujeito a forcas conservativas e dissipativas;c) esta capacitado a realizar trabalho;d) possui grande quantidade de atomose) perde calor


5. O princpio da conservacao da energia afirma que:a) a energia cinetica de um corpo e constanteb) a energia potencial elastica mais a energia cinetica e sempreconstantec) a energia nao pode ser criada nem destruda, mas apenastransformada em calor devido aos atritosd) a energia total de um sistema, isolado ou nao, permanececonstantee) a energia nao pode ser criada nem destruda, mas apenastransformada de uma modalidade para outra

6. A energia mecanica de um corpo:a) e a soma da sua energia potencial e cineticab) depende apenas do referencialc) depende da aceleracao do corpod) e sempre constante, independente do tipo de forcas atuantessobre elee) depende apenas da velocidade do corpo

7. Para esticar uma mola em 40 cm, e necessaria uma forcade 20 N . Determine:a) A constante elastica da mola;b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica a mola;

c) O trabalho realizado pela mola;d) O trabalho que seria necessario para deformar a mola em80 cm;e) A forca necessaria para esticar a mola em 80 cm.

8. Um corpo de massa 5, 0 kg e elevado do solo a um ponto si-tuado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2. Determine:a) o trabalho realizado pela forca peso do corpo nesse desloca-mento;b) o aumento na energia potencial gravitacional do corpo.

9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partirdo repouso do ponto A, por uma pista circular sem atrito.


Veja a figura. Na base da pista, o corpo comprime a mola deconstante elastica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = 10 m/s2,qual a deformacao maxima sofrida pela mola?

A o

h

Figura 1.4: Questao 9.

Mecanica Aula 9

Dinamica do Movimento Circular

Consideremos um corpo de massa m, descrevendo uma circun-ferencia de raio R, com movimento nao uniforme.

v

Sabemos que a velocidade do corpo e um vetor que, em cadainstante, e tangente a` trajetoria e que, no movimento circularnao uniforme, o corpo esta sujeito a duas aceleracoes.

ac

at

aR

O

Na figura temos:~at = aceleracao tangencial~ac = aceleracao centrpetaonde~a = ~at + ~ac, sendo~a = aceleracao total(resultante)

Utilizando a Segunda Lei de Newton, vemos que as aceleracoesque atuam no corpo devem ter a mesma direcao e o mesmosentido da forca. Portanto, existem forcas perpendiculares a`trajetoria e forcas tangentes a` trajetoria.

A forca resultante que tem a mesma direcao e o mesmo sentidoda aceleracao centrpeta, isto e, dirigida para o centro da curvae denominada forca centrpeta (~Fcp), e a que tem a mesmadirecao e o mesmo sentido da aceleracao tangencial, isto e,tangente a` trajetoria, e denominada forca tangencial (~Ft).

ac

at

tF cF

F

aR

O

Na figura temos:~Ft = m ~a~Fc = m ~aconde~Ft = forca tangencial~Fc = forca centrpeta~F = ~Ft + ~Fc, sendo~F = forca resultante

As Forcas no Movimento Circular

Podemos expressar a forca centrpeta da seguinte maneira:

Fc = mac

ou

Fc = mv2

R= m2R

A forca tangencial e dada por:

Ft = mat

Observe que:

A forca tangencial faz variar o modulo do vetor velocidade,isto e, produz aceleracao tangencial.

A forca centrpeta faz variar a direcao do vetor velocidade,obrigando o corpo a descrever uma trajetoria curva.

Mecanica Aula 9 19

FC

TerraLua

Figura 1.1: A Lua em sua orbita ao redor da Terra (fora deescala).

Como exemplo, considere o movimento da Lua em torno daTerra.

A forca que mantem a Lua em orbita e uma forca de origemgravitacional exercida pela Terra. Tal forca e centrpeta, istoe, dirigida para o centro da Terra.

Pense um Pouco!

(Fuvest-SP) A melhor explicacao para o fato de a Lua nao cairsobre a Terra e que:a) a gravidade terrestre nao chega ate a Luab) a Lua gira em torno da Terrac) a Terra gira em torno do seu eixod) a Lua tambem e atrada pelo Sole) a gravidade da Lua e menor que a da Terra


1. (UEL-Pr) Num pendulo conico, a massa m gira numa cir-

cunferencia horizontal, estando submetida a`s forcas peso ~Pvetorial e tracao ~T vetorial, conforme a figura:

m

P

T

v

Nestas condicoes a intensidade da forca centrpeta e:a) nula, pois o movimento e uniforme.b) dada pelo componente da tracao, T sen .c) dada pelo componente da tracao, T cos .d) dada pela resultante T P cos .e) dada pela resultante T P sen .2. Um garoto gira uma pedra de massa 0, 10 kg presa por umfio de 0, 80 m de comprimento, fazendo com que ela descrevacrculos verticais com velocidade constante de 4, 0 m/s. Admi-tindo g = 10 m/s2, determine a tracao no fio quando o corpopassa pelo ponto:a) mais alto da trajetoria;b) mais baixo da trajetoria.

3. Um automovel faz uma curva circular, plana e horizontal,de raio 50 m. Sabendo-se que o coeficiente de atrito estaticoentre os pneus e a pista e e = 0, 80, qual a maxima velocidadecom que esse automovel pode fazer a curva sem derrapar? (Useg = 10 m/s2).a) v = 10 m/sb) v = 15 m/sc) v = 20 m/sd) v = 25 m/se) v = 30 m/s


4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra, num plano vertical,parte dos trilhos do percurso circular de uma montanha-russade um parque de diversoes.

g

r = 8,0 m

A velocidade mnima que o carrinho deve ter, ao passar peloponto mais alto da trajetoria, para nao desgrudar dos trilhosvale, em metros por segundo:a)20

b)40

c)80

d)160

e)320

5. (ITA-SP) Para executar uma curva nivelada (sem subirou descer) e equilibrada o piloto de um aviao deve inclina-locom respeito a` horizontal (a` maneira de um ciclista em umacurva) um angulo . Se = 60o, a velocidade da aeronave e100 m/s e a aceleracao local da gravidade e de 9, 5 m/s2, quale aproximadamente o raio de curvatura?a) 200mb) 350 mc) 600md) 750 me) 1000m

6. (Fuvest-SP) Um caminhao, com massa total de 10000 kg,esta percorrendo uma curva circular plana e horizontal a72 km/k (ou seja, 20 m/s) quando encontra uma mancha deoleo na pista e perde completamente a aderencia. O caminhaoencosta entao no muro lateral que acompanha a curva e que omantem em trajetoria circular de raio igual a 90 m. O coefici-ente de atrito entre o caminhao e o muro vale 0, 30. Podemosafirmar que, ao encostar no muro, o caminhao comeca a perdervelocidade a` razao de, aproximadamente:a) 0, 07m s2.


b) 1, 3 m s2.c) 3, 0 m s2.d) 10 m s2.e) 67 m s2.

Mecanica Aula 10

Quantidade de Movimento

Quando uma pessoa tenta pegar uma bola em movimento, efacil perceber que ha uma diferenca na acao que ela deve de-senvolver se a velocidade da bola for grande ou pequena: abola mais rapida, para ser parada, exige um esforco maior ede maior duracao. Uma diferenca semelhante tambem seriapercebida se a pessoa tentasse parar duas bolas com a mesmavelocidade, mas de massas diferentes: o maior esforco, atuandodurante um tempo maior, seria necessario para fazer parar abola de maior massa.

Essas observacoes levam a` definicao de uma nova grandezafsica vetorial relacionada com a massa e a velocidade deuma partcula, denominada quantidade de movimento.

Entao podemos escrever que quantidade de movimento de umponto material de massa m e velocidade ~v

~Q = m~v

Unidade SI

Medimos a quantidade de movimento no Sistema Internacional(SI) na unidade

Kg m/s

Exemplo

Se um carro de 1.200 kg se desloca numa estrada com velo-cidade de 72 km/h, a sua quantidade de movimento sera, emmodulo,

Q = mv = (1.200 kg)(20 m/s) = 2, 4 104 kg m/s

Lembre-se

Para transformar a velocidade dada em km/h para a unidadeSI (m/s) fazemos:

v = 72 km/h = 72 1000m3.600 s

=72

3, 6m/s = 20 m/s

Impulso

Quando um jogador de futebol chuta uma bola ou quando umtenista, usando uma raquete, rebate uma bola,existe uma forcaque age num curto espaco de tempo que faz a bola ser impul-sionada. Define-se o impulso ~I de uma forca como grandezavetorial dada pelo produto da forca ~F pelo intervalo de tempot durante o qual ela atuou:

~I = ~Ft

Por exemplo, se ao chutar uma bola parada aplicamos nelauma forca de 50 N durante um intervalo de tempo de 0, 12 s,o impulso transferido para a bola sera

I = Ft = (50 N)(0, 12 s) = 6, 0 N se esse impulso fara com que a bola entre em movimento.

Unidade SI do Impulso

Medimos o impulso na mesma unidade da quantidade de mo-vimento:

1 N s = 1 kg m/s

Pense um Pouco!

E mais facil parar uma bola que tenha uma quantidadede movimento grande ou pequena? Por que?

Qual a influencia da massa na quantidade de movimento? Por que um carro se deforma numa colisao?


1. (UFMS) Com relacao a` quantidade de movimento de umapartcula, e correto afirmar (marque V ou F):a) ( ) e uma grandeza vetorialb) ( ) tem a mesma direcao e sentido do vetor velocidade dapartculac) ( ) e uma grandeza inversamente proporcional a` massa dapartculad) ( ) sua unidade no SI pode ser kg m/se) ( ) permanece constante mesmo que a partcula seja acele-rada

2. (UFSC) O impulso dado a um corpo pode ser escrito comoo .......... da ......... pelo(a) ......... . Marque V caso as opcoescompletem corretamente as lacunas ou F caso contrario.a) ( ) produto; forca aplicada ao corpo; tempo que o corpofica em movimentob) ( ) produto; forca aplicada ao corpo; tempo durante o quala forca atuac) ( ) quociente; forca aplicada ao corpo; velocidade que eleadquired) ( ) quociente; massa do corpo; velocidade que ele adquiree) ( ) produto; massa do corpo; aceleracao que ele adquire

3. Considere um corpo que esta se deslocando em movimentoretilneo uniforme.a) A quantidade de movimento deste corpo esta variando? Ex-plique.b) Tendo em vista a resposta do tem anterior, o que voce con-clui sobre o impulso que atua no corpo?c) Entao, qual o valor da resultante das forcas aplicadas nocorpo?


4. Uma forca de 20 N e aplicada em um corpo durante 10 s.Qual e o impulso que a forca transmite ao corpo?

Mecanica Aula 11 21

5. Determine a quantidade de movimento de um objeto demassa 50 kg que se movimenta com velocidade de 20 m/s?

6. (UEL-PR) Um corpo de massa m tem velocidade v, quan-tidade de movimento Q e energia cinetica E. Uma forca F , namesma direcao e no mesmo sentido de v, e aplicada no corpo,ate que a velocidade dele triplique. As novas quantidades demovimento e energia cinetica sao, respectivamente:a) 3Q e 3Eb) 3Q e 6Ec) 3Q e 9Ed) 6Q e 6Ee) 6Q e 9E

7. (PUC-SP) Um carrinho de massa 2, 0 kg move-se ao longode um trilho horizontal com velocidade 0, 50m/s ate chocar-secontra um para-choque fixo na extremidade do trilho. Supondoque o carrinho volte com velocidade 0, 20 m/s e que o choquetenha duracao de 0, 10 s, calcule em newtons, o valor absolutoda forca media exercida pelo para-choque sobre o carrinho.

Mecanica Aula 11

Impulso e Momento

Teorema do Impulso-Momento

Consideremos uma forca resultante constante ~F atuando sobreuma partcula de massam, durante um intervalo de tempo t,temos

~I = ~Ft

ou seja~I = m~at = m~v = ~Q

ou~I = ~Qf ~Qi = m(~vf ~vi)

E concluimos que:

O impulso determinado pela resultante de todas asforcas externas que agem durante certo intervalo detempo sobre um ponto material e igual a variacao daquantidade de movimento do ponto durante o mesmointervalo.

CB D EA

Sistemas de Partculas

Para um sistema contendo N partculas a quantidade de mo-vimento desse sistema pode ser escrito na seguinte forma:

~QTOTAL = m1~v1 +m2~v2 + . . .+mN~vN

CURIOSIDADE

A luz tem quantidade de movimento? E possvel um astro-nauta mover-se no espaco sideral acendendo sua lanterna?

Por mais intrigante que seja, a reposta e sim. Mas por queisso acontece? Pelo fato de a luz possuir quantidade de movi-mento. Normalmente nao percebemos isso, pois a quantidadede movimento da luz e pequena e, assim, os seus efeitos sao,em geral, imperceptveis. Mas quando o astronauta acende sualanterna, a situacao e analoga a`quela em que um garoto sobrepatins consegue mover-se atirando uma melancia.

De acordo com a Mecanica Quantica, a luz e formada porpequenos pacotesde energia, denominados fotons, os quais,no vacuo, movem-se a` velocidade c = 3, 0 108 m/s. Cadaum desses fotons, alem de possuir energia, tem quantidade demovimento. Porem ela nao pode ser calculada pela expressao~Q = m~v, uma vez que os fotons nao tem massa. Para que oPrincpio da Conservacao da Quantidade de Movimento sejamantido, os fsicos concluram que a quantidade de movimento(q) de um foton de energia E deve ser calculada por

q = E/c

Para ilustrar, considere que o nosso astronauta esteja a umadistancia de 5 m de sua nave e tenha uma lanterna que emitaluz com potencia de 1500 W . Suponha ainda que a massatotal do astronauta juntamente com o traje espacial e a lan-terna seja 80 kg. Se o astronauta so pudesse aproximar-seda nave acendendo sua lanterna, quanto tempo ele gastaria?Utilizando a expressao acima e os modelos simplificados daMecanica, encontraremos um valor aproximado de 3,3 horas.Isso mesmo: 3h18min para percorrer 5 metros. As primeirasevidencias experimentais de que a luz tem quantidade de mo-vimento foram obtidas em 1899, pelo fsico russo P. Lebedev,e pelos americanos E. L. Nicholls e G. F. Hull, em 1901.

Pense um Pouco!

Colidindo-se frontalmente duas esferas identicas, sobreuma mesa de bilhar, uma em movimento e a outra ini-cialmente parada, observa-se que a esfera que estava emmovimento fica parada e a outra, inicialmente padara, en-tra em movimento apos a colisao. Explique esse fenomenosob o ponto de vista dos conceitos de impulso e momento.


1. Uma bola de bilhar de 200 g se move a 3, 50 m/s colise emuda sua direcao de movimento em 90. Determine o impulsoaplicado sobre a bola na colisao.

2. Solta-se um corpo de massa m de uma altura h em queda-livre, o observa-se o seu movimento ate o solo.a) Determine o impluso que o peso do corpo produz ate que


ele atinja o solo.b) Determine a variacao do momento do corpo, desde o ins-tante em que foi solto, ate atingir o solo.c) Compara os resultados dos itens anteriores. Comente.


3. Solta-se uma bola de futebol com massa igual a 500 ga 1, 25 m de altura acima do chao (piso) e observa-se queela retorna (pula) ate uma altura de apenas 0, 80 m, apos oprimiro salto.a) Determine o impulso total sobre a bola ate que ela toque aprimeira vez no chao.b) Determine o impulso total sobre a bola desde o instante emque ela deixa o solo ate atingir a altura de 0, 80 m.

Mecanica Aula 12

Conservacao da Quantidade de Movi-mento

Num sistema isolado, onde o impulso das forcas externas sejanulo, a quantidade de movimento final e igual a inicial.

~I = ~Qf ~Qi = ~0 = ~Qf = ~QiResumindo, podemos enunciar o Teorema da Conservacao daQuantidade de Movimento:

E constante a quantidade de movimento de um con-junto de pontos materiais que constituem um sistemaisolado.

Exemplos

Fenomenos que encontram explicacao no teorema da quanti-dade de movimento:

choque mecanico; recuo das armas de fogo; explosao de uma bomba (fragmentos); propulsao a jato.

Forcas Impulsivas

A forca de interacao que ocorre durante uma colisao, em ge-ral tem grande intensidade e curta duracao, como descrito nografico abaixo. Forcas como essa, que atuam durante um in-tervalo pequeno comparado com o tempo de observacao dosistema, sao chamadas de forcas impulsivas.

t t

F(t)

ti ft

Algumas vezes e mais interessante considerar o valor medioda forca impulsiva que o seu valor a cada instante. Por de-finicao, o valor medio de uma forca impulsiva e o valor daforca constante que, no mesmo intervalo de tempo, produz omesmo impulso sobre um dado corpo.

Pense um Pouco!

Como podemos analisar as forcas envolvidas em uma co-lisao entre duas partculas?

Imagine-se no meio da superfcie lisa de um lago. Lem-brando nao ser possvel caminhar sobre a superfcie, emrazao da total ausencia de atrito, sugira um procedimentoque permita alcancar a margem do lago.


1. (UEA - Aprovar) Antonio (um pescador do Cambixe) estacom sua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tanto a canoacomo o pescador repousam em relacao a` agua que, por sua vez,nao apresenta qualquer movimento em relacao a` Terra. Atritosda canoa com a agua sao desprezveis e, no local, nao ha ventos.Num determinado instante, o pescador atira horizontalmente asua zagaia de massa 2, 0 kg que sai com velocidade de 10 m/s.Calcule o modulo da velocidade do conjunto pescador/canoa,de massa igual a 150 kg, imediatamente apos o disparo.

2. Uma arma de 3, 0 kg dispara um projetil de 0, 02 kg, a umavelocidade de 600 m/s. Qual e a velocidade de recuo dessaarma?

3. (FEI- SP) Um peixe de 4 kg esta nadando a` velocidadede 1 m/s para a direita, quando engole um outro, de massa0, 2 kg que estava nadando para a esquerda, na sua direcao, a6 m/s. Determine a velocidade do peixe maior depois de terengolido o pobre peixinho.

4. Um canhao de 800 kg, montado sobre rodas e nao freado,dispara uma bala de 6 kg com velocidade inicial de 500 m/s.Determine a velocidade de recuo do canhao.

Mecanica Aula 13 23


5. Um remador e seu barco tem juntos massa de 150 kg. Obarco esta parado e o remador salta dele com velocidade de8 m/s. O barc

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