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História de Guerra - Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

Professora Dra. Diane CastonguayAndré da Cunha Ribeiro – andre@cefetrv.edu.br

Geoflávia Guilarducci de Alvarenga – geoflavia@inf.ufg.br

Projeto e Análise de Algoritmos

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Tópicos O jogo de Xadrez Idéias Centrais Problema da cobertura do tabuleiro de xadrez O algoritmo do backtracking Técnica de Podagem (Pruning) Podagem aplicada à História de Guerra Considerações Finais Lição Aprendida

História de Guerra - Cobertura do Tabuleiro de Xadrez - Parte I

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Voltar

Rei

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Dama

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Voltar

Cavalo

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Voltar

Bispo

8

Voltar

Torre

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O jogo de xadrez inspirou vários problemas de combinação

Em 1848, Kling propôs a seguinte questão: Se todos os 64 quadrados do tabuleiro podem ser

fortemente ameaçados simultaneamente por um arranjo das 8 peças principais no tabuleiro de xadrez

Configurações que simultaneamente ameaçam 63 quadrados foram conhecidas por muitos anos

Idéias Centrais – História de Guerra

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Vejamos algumas considerações

Considere as 8 peças principais do xadrez

Quantos modos as peças podem ser posicionadas no tabuleiro de xadrez?

O número de posições aproximado é de 1015

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Este problema parece bem maduro para solução de pesquisa exaustiva de combinação;

O algoritmo do backtracking (regressão)

Busca exaustiva

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Backtrack(A) Calcule S1, conjunto dos primeiros elementos candidatos da solução A. k = 1 enquanto k > 0 faça

enquanto Sk <> 0 faça (*avanço*) ak = próximo elemento de sk

sk = sk - ak

se A = (a1, a2, a3, …, an) é uma solução, imprima isso.

k = k + 1 fim enquantok = k - 1 (*backtrack*)

fim enquanto

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A história de guerra seria solucionável usando a técnica Backtracking, dependendo do tamanho do espaço de procura.

Considerações

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BackTracking Sua eficiência depende da sofisticação do

esquema de “poda” da árvore de soluções.

Podagem (Pruning)

Como efetuar essa Como efetuar essa

podagem ?podagem ?

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Técnica de eliminação de busca que atua

no momento que estabelecemos que tal

solução parcial não pode ser estendida na

solução que nós almejamos.

Podagem (Pruning)

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Árvore pode ser “podada” através do uso de

heurísticas de acordo com a aplicação.

Há uma redução da complexidade de busca

de maneira significativa.

Podagem

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BackTracking => gera uma combinação exaustiva de posições. Mas algumas poderiam ter sido podadas.

Quais são as posições candidatas a serem podadas?

São aquelas que não oferecem ameaça para uma

dada peça.

Podagem aplicada à História de Guerra

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Exemplos:

1. Remoção de simetrias

Considerando as simetrias

ortogonais e diagonais, haverá

somente 10 posições diferentes

para a Rainha.

Podagem aplicada à História de Guerra

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Exemplos: (cont.)

1. Remoção de simetrias (cont.)

Uma vez que a Rainha é colocada, há 2080 modos

diferentes para posicionar um par de Torres ou

Cavalos.

64 lugares para localizar o Rei.

32 lugares para cada um dos Bispos.

Podagem aplicada à História de Guerra

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Exemplos: (cont.)

2. Sp que já tivéssemos colocado 7 peças no tabuleiro, e juntas elas cobririam todos menos 10 quadrados no tabuleiro; e a peça restante fosse o Rei.

Existe alguma posição possível para colocar o Rei de forma que todos os quadrados são ameaçados?

Podagem aplicada à História de Guerra

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BackTracking

+ Podagem

=Eliminação acima de 95% do espaço

de pesquisa.

Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

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Considerações usadas na solução:

Os tabuleiros de xadrez podem ter

qualquer número de peças, e mais de uma

peça num quadrado.

Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

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Dois tipos de ataques num quadrado: ataque forte e ataque fraco.

Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

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Passos principais do algoritmo:

Listar todas as configurações dos tabuleiros nas quais todo quadrado é fracamento atacado.

Filtrar a lista considerando bloqueios e tabuleiros com n ou pouco menos quadrados seguros.

Cobertura do Tabuleiro de Xadrez

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Sobre o algoritmo:

Não encontrou uma configuração que

cobrisse todos os 64 quadrados, porém,

mostrou que é possível cobrir um tabuleiro

com 7 peças se a Rainha e um Cavalo

possam ocupar o mesmo quadrado.

Considerações Finais

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Configuração gerada pelo algoritmo:

Considerações Finais

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Percurso do Cavalo no Tabuleiro de Xadrez

Problema das 8 Rainhas

Problema do Casamento Estável

Outros problemas [2]

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Uma ou mais estratégias de podagem

usadas de maneira inteligente podem

otimizar o trabalho de problemas de buscaproblemas de busca

ou de pesquisa combinatóriapesquisa combinatória de maneira

surpreendente.

Lição Aprendida

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[01] http://www2.toki.or.id/book/AlgDesignManual/BOOK/BOOK/NODE$.htm

[02] Wirth, Niklaus. Algoritmos e Estruturas de Dados. Editora LTC, 1989.

Referências Bibliográficas

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Dúvidas ?Dúvidas ?

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FimFim

Obrigado !Obrigado !

André da Cunha RibeiroAndré da Cunha Ribeiro

Geoflávia Guilarducci de AlvarengaGeoflávia Guilarducci de Alvarenga