hidrodinamica gilberto alex rev1

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COPPE/UFRJ PROGRAMA DE ENGENHARIA CIVIL ÁREA DE ESTRUTURAS Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc. Aluno: Alex Leandro de Lima, M.Sc. TÓPICOS BÁSICOS DE HIDRODINÂMICA APLICADOS A ESTRUTURAS OFFSHORE (1ª VERSÃO - 12/06/2007) RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JUNHO DE 2007

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Page 1: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

COPPE/UFRJ

PROGRAMA DE ENGENHARIA CIVIL

ÁREA DE ESTRUTURAS

Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc.

Aluno: Alex Leandro de Lima, M.Sc.

TÓPICOS BÁSICOS DE HIDRODINÂMICA

APLICADOS A ESTRUTURAS OFFSHORE

(1ª VERSÃO - 12/06/2007)

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JUNHO DE 2007

Page 2: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

ii

PREFÁCIO

Page 3: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

iii

CONTEÚDO

1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................... 1

1.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................. 1 1.1.1 CAMPO VETORIAL............................................................................................................. 1 1.1.2 VETOR GRADIENTE........................................................................................................... 2 1.1.3 ROTACIONAL..................................................................................................................... 3 1.1.4 DIVERGENTE ..................................................................................................................... 4 1.1.5 DERIVADA SUBSTANTIVA OU MATERIAL ......................................................................... 4 1.2 MECÂNICA DOS FLUIDOS ................................................................................................... 6 1.2.1 MASSA ESPECÍFICA........................................................................................................... 7 1.2.2 PESO ESPECÍFICO .............................................................................................................. 7 1.2.3 DENSIDADE ....................................................................................................................... 7 1.2.4 FLUIDOS COMPRESSÍVEIS E INCOMPRESSÍVEIS................................................................. 8 1.2.5 VISCOSIDADE E TENSÃO DE CISALHAMENTO ................................................................... 8 1.2.6 FLUIDO IDEAL E FLUIDO REAL ....................................................................................... 11 1.3 AS FORMAS DIFERENCIAIS DAS LEIS FUNDAMENTAIS .................................................. 12 1.3.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CONTINUIDADE.................................................................. 12 1.3.2 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO........................................................................................ 14 1.3.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO.......................................... 15 1.3.4 EQUAÇÃO DE EULER ....................................................................................................... 18 1.3.5 EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES ....................................................................................... 19 1.4 EQUAÇÕES NO PLANO XZ................................................................................................ 21 1.4.1 POTENCIAL DE VELOCIDADE .......................................................................................... 21 1.4.2 EQUAÇÃO DE BERNOULLI ............................................................................................... 22

2. FORÇAS AMBIENTAIS .................................................................................................. 25

2.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 25 2.2 MODELOS DE REPRESENTAÇÃO DAS ONDAS DO MAR ................................................... 26 2.2.1 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO PARA ONDAS DO MAR ....................................... 28 2.2.2 SOLUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO ............................................................................ 30 2.2.3 TEORIA LINEAR DE AIRY ................................................................................................ 33 2.2.4 ONDA DE SEGUNDA ORDEM (STOKES DE 2ª ORDEM) ..................................................... 44 2.3 REPRESENTAÇÃO ESPECTRAL......................................................................................... 46 2.3.1 INTRODUÇÃO................................................................................................................... 46

Page 4: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

iv

2.3.2 FORMULAÇÃO DO MODELO ESPECTRAL......................................................................... 47 2.3.3 ESPECTRO DE PIERSON-MOSKOWITZ.............................................................................. 49 2.3.4 ESPECTRO DE JONSWAP .................................................................................................. 51 2.4 FORÇAS GERADAS PELA MOVIMENTAÇÃO DO FLUIDO INDUZIDA PELAS ONDAS ....... 54 2.4.1 FORMULAÇÃO DE MORISON ........................................................................................... 54 2.4.2 FORMULAÇÃO DE FROUDE-KRYLOV .............................................................................. 57 2.5 FORÇAS DE CORRENTEZA................................................................................................ 59 2.5.1 INTERAÇÃO COM AS FORÇAS DE ONDA: INTERAÇÃO FÍSICA.......................................... 59 2.5.2 INTERAÇÃO COM AS FORÇAS DE ONDA: INTERAÇÃO ESTATÍSTICA ............................... 60 2.6 VENTO ............................................................................................................................... 61 2.6.1 CÁLCULO DAS FORÇAS: PARCELA ESTÁTICA ................................................................. 61 2.6.2 CÁLCULO DAS FORÇAS: PARCELA DINÂMICA ................................................................ 62

3. REFERÊNCIAS................................................................................................................. 64

Page 5: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

1

11.. IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO

O objetivo principal desta seção é introduzir os conceitos básicos necessários para

o entendimento dos problemas relacionados com a Hidrodinâmica de Estruturas

Offshore. Os quais incluem conceitos matemáticos relacionados com cálculo vetorial,

equações diferenciais ordinárias e parciais, e, conceitos de Mecânica dos Fluidos.

1.1 Conceitos Fundamentais

1.1.1 Campo Vetorial

Um campo vetorial é uma função que associa, a cada ponto do espaço, um vetor.

Campos vetoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a

velocidade e a direção de um fluido se movendo pelo espaço, ou o comprimento e

direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, com seus valores

de ponto em ponto.

Seja nA ℜ⊂ e consideremos uma transformação F de A em nℜ . Levando em

conta o significado físico ou geométrico de F, será conveniente interpretar F(X), X ∈ A,

como um vetor aplicado em X. Sempre que quisermos interpretar F(X) desta forma,

podemos considerar F como um campo vetorial e utilizaremos, então, a notação →

F .

Figura 1 – Campo vetorial.

Em resumo, um campo vetorial é uma função que associa a cada ponto um vetor,

cujas componentes variam, de ponto para ponto, de maneira contínua e diferenciável.

Isto significa que podemos calcular as derivadas parciais dessas componentes, obtendo

novas funções contínuas.

A título de ilustração a Figura 2 ilustra um campo vetorial dado por vetores da

forma (-x,y).

A X

)(XF→

Page 6: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

2

Figura 2 – Campo vetorial dado por vetores da forma (-y, x).

1.1.2 Vetor Gradiente

O gradiente de uma função f(x1, x2,...,xn), denotado por )( fgrad→

ou ∇f(x1, x2,..,xn),

é um vetor de derivadas parciais da função f:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=∇=→

nn x

fxf

xfxxxffgrad ,...,,),...,,()(

2121 (1.1)

Dado um ponto (x1, x2,...,xn), a direção dada pelo vetor gradiente é a direção de

maior crescimento em torno deste ponto, ou seja, o vetor gradiente indica a máxima

variação da função e o sentido que essa variação tem.

O vetor gradiente é normal às curvas de nível da função.

Figura 3 – Gradiente de uma função.

x

y

z

Page 7: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

3

1.1.3 Rotacional

Consideremos o campo vetorial →→→→

++= kzyxRjzyxQizyxPzyxF ),,(),,(),,(),,(

definido no domínio 3ℜ⊂Ω . Suponhamos que P, Q e R admitam derivadas parciais em

Ω. O rotacional de →

F , que se indica por →

Frot , é o campo vetorial definido em Ω e dado por

→→→→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

= kyP

xQj

xR

zPi

zQ

yRFrot (1. 2)

O rotacional corresponde a um vetor tangencial à superfície de uma função. É um

operador vetorial que mostra a tendência de um campo vetorial de girar ao redor de um

ponto.

A expressão (1.2) acima pode ser lembrada facilmente representando-a pelo

determinante a seguir:

→→→

→→→

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

= kQPzxj

RPzxi

RQzy

RQPzyx

kji

Frot (1. 3)

Os produtos que ocorrem nos determinantes de 2ª ordem devem ser interpretados

como derivadas parciais: por exemplo, o produto de y∂∂ por R é a derivada parcial

yR ∂∂ .

O rotacional pode ser expresso como um produto vetorial: →→

×∇= FFrot , onde

∇ é o operador nabla →→→

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ kz

jy

ix

(1. 4)

Seja o campo vetorial definido por →→→→

++= kxyzjyzixyzyxF )()()(),,( 2 . O

Frot será:

2

( 2 ) (0 ) (0 )

i j k

rotF xz yz i yz j x kx y z

xy yz xyz

∂ ∂ ∂= = − + − + −∂ ∂ ∂

rr r

rr r r

portanto,

→→→→

−+−= kxjyziyxzFrot )()()2(

Page 8: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

4

OBS.: Seja )3,2(: =ℜ→ℜ⊂Ω→

nF nn um campo vetorial qualquer; dizemos que →

F é

irrotacional se e somente se →→

= 0Frot em Ω. →

F irrotacional ⇔→→

= 0Frot .

1.1.4 Divergente

Seja 1 2( , , , )nF F F F=r

K um campo vetorial definido no aberto nℜ⊂Ω e

suponhamos que as componentes 1 2, , , nF F FK admitam derivadas parciais em Ω . O

campo escalar ℜ→Ω→

:Fdiv dado por 1 2

1 2

n

n

FF FdivFx x x

∂∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂

rL denomina-se

divergente de Fr

.

A notação →

∇ F. é frequentemente usada para indicar o divergente de Fr

,

interpretamos →

∇ F. como o produto escalar do vetor ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=∇nxxx

,...,,21

pelo

campo vetorial 1 2( , , , )nF F FK , onde o produto de ix

∂∂

por iF deve ser entendido como

a derivada parcial i

i

Fx∂∂

:

( )n

nn

n xF

xF

xFFFF

xxxF

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=∇→

......,...,,.2

2

1

1,2,1

21

(1. 5)

Pode-se definir o divergente de um campo vetorial, como a medida da dispersão

de seus vetores num determinado ponto.

1.1.5 Derivada Substantiva ou Material

As mudanças nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas

de duas formas diferentes. Isso será ilustrado através de um exemplo, utilizando a

medição da velocidade do vento na atmosfera. Uma forma de medir estas mudanças é

com a ajuda de anemômetro em uma estação meteorológica, ou pela liberação de um

balão atmosférico.

No primeiro caso, o instrumento de medição está fixo no espaço e está medindo

mudanças na velocidade a medida o fluido passa por ele. No segundo caso, o

instrumento está medindo mudanças na velocidade a medida que o balão se move com o

Page 9: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

5

fluido. A mesma situação surge com medidas da mudança da densidade, temperatura,

etc.

Contudo, quando aplicamos uma diferenciação devemos destacar as diferenças

destes dois casos. A derivada de um campo com respeito a uma posição fixa no espaço é

conhecida como espacial ou derivada de Euler. A derivação acompanhando o

movimento de uma partícula é chamada de substantiva ou derivada Langragiana.

Considere G(x, y, z, t) como qualquer variável no fluxo descrito em termos de

coordenada Euleriana fixa em (x, y, z). Admitindo que a função G(x, y, z, t) descrevesse,

por exemplo, a temperatura de uma partícula fluida. Estaríamos observando a variação

da propriedade temperatura de uma partícula, isto é, de uma certa massa, de uma certa

quantidade de matéria. Daí então o nome derivada material ou substantiva.

A derivada material (ou substantiva) é definida pelo operador:

GGt

GDtD

∇+∂∂

=→

.v)()( (1. 6)

onde →

v é a velocidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da equação é a

derivada tradicional de Euler (isto é, a derivada com referência a um ponto fixo de

referência) contudo o segundo termo representa as mudanças trazidas pelo movimento

do fluido.

A representação da perspectiva Euleriana é geralmente mais fácil e, por esse

motivo, mais comum na análise e descrição do fluxo. No entanto, a física e transporte

do fluxo são mais fundamentais em relação à perspectiva Lagrangiana.

Page 10: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

6

1.2 Mecânica dos Fluidos

Consideraremos, agora, as leis do movimento de um líquido ideal. Este líquido

deve ser incompressível e sem atrito interno.

Antes de em mais detalhes, é necessário fazer algumas suposições à cerca dos

fluidos. A primeira é que um fluido é um meio continuo. Isto significa que ele não

contém vazios, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gás, ou que ele não consiste de

partículas como da neblina. Outra hipótese necessária é que todas as variáveis de

interesse tais como pressão, velocidade, densidade, temperatura, etc., são diferenciáveis

(isto é, não tem transição de fase).

As leis do escoamento de um líquido foram pela primeira vez tratadas

teoricamente por Daniel Bernoulli e por Euler.

Será conveniente, no que se segue, distinguir duas espécies de escoamentos:

1. O escoamento laminar. É o escoamento em que predominam forças de atrito.

É característico do escoamento laminar, o movimento do líquido em camadas ou

estratos. Neste tipo de escoamento pode existir circulação, mas não há formação de

turbilhões ou vórtices.

Se um fluido com escoamento laminar flui em torno de um obstáculo, ele exerce

uma força de arraste sobre o obstáculo (Figura 4 ). As forças de fricção aceleram o

fluido para trás (contra a direção do escoamento) e o obstáculo para frente (na direção

do fluido).

Figura 4 – Escoamento laminar.

2. O escoamento turbilhonar ou turbulento. Este escoamento aparece quando a

velocidade ultrapassa um valor crítico Vk. O aspecto do escoamento, no caso da

turbulência, é caracterizado pela formação de vórtices e pela mistura das camadas

fluidas.

Page 11: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

7

Figura 5 – Escoamento turbulento.

A velocidade crítica Vk, na qual o escoamento laminar passa a turbulento, depende

do fluido e da geometria das superfícies que o limitam (paredes dos condutos). A

velocidade crítica Vk pode ser facilmente determinada mediante experimentos.

1.2.1 Massa Específica

A Massa específica de uma substância, designada por ρ , é definida como a massa

de substância contida numa unidade de volume, a unidade da massa específica no SI é

kg/m3. A massa específica dos líquidos é pouco sensível as variações de pressão e de

temperatura.

O volume específico, v, é o volume ocupado por uma unidade de massa da

substância considerada. O volume específico é o inverso da massa específica, isto é,

1vρ

= (1. 7)

1.2.2 Peso Específico

O peso específico de uma substância, designado por γ , é definido como o peso da

substância contida numa unidade de volume. O peso específico está relacionado com a

massa específica através da relação

gγ ρ= (1. 8)

onde g é a aceleração da gravidade local.

O peso específico é utilizado para caracterizar o peso do sistema fluido enquanto a

massa específica é utilizada para caracterizar a massa do sistema fluido. A unidade do

peso específico no SI é N/m3.

1.2.3 Densidade

A densidade de um fluido, designada por SG (specific gravity), é definida como a

razão entre a massa específica do fluido e a massa específica da água numa certa

Page 12: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

8

temperatura. Normalmente a temperatura usada é 4º , porque nesta temperatura a massa

específica da água é de 1000kg/m3.

( )4fluido

oágua

SGC

ρρ

= (1. 9)

O valor de SG não depende do sistema de unidades utilizado. O peso específico a

massa específica, e a densidade são interdependentes.

1.2.4 Fluidos Compressíveis e Incompressíveis

Compressibilidade implica em que o volume de uma substância seja uma função

do nível de pressão. Inversamente, diz-se que incompressibilidade é a inabilidade que

uma certa quantidade de massa tem para variar seu volume pela ação de pressões

externas. Assim a massa específica de uma substância não é função de pressões, se a

substância é incompressível.

Ou seja, um escoamento compressível é aquele em que a variação da massa

específica influencia no escoamento. E um escoamento incompressível existe se a massa

específica de cada partícula do fluido permanece relativamente constante no seu

movimento através do campo de escoamento.

Líquidos são geralmente considerados como substâncias incompressíveis, uma

vez que a sua massa específica varia levemente com grandes variações de pressão.

A Hidrodinâmica é o estudo geral da dinâmica dos líquidos, bem como dos gases

incompressíveis sob a influência de pequenas variações de pressão. Dinâmica dos gases

á o estudo geral dos gases compressíveis sob a influência de pressões, causando,

comparativamente, grandes variações de massa específica.

1.2.5 Viscosidade e Tensão de Cisalhamento

Viscosidade é definida como a propriedade que um fluido tem para resistir a razão

de deformação quando o fluido é submetido a forças tangenciais. De acordo com a lei

de Newton da viscosidade (definindo os fluidos newtonianos), para uma dada tensão

cisalhante agindo num elemento fluido, a razão com a qual o fluido se deforma é

inversamente proporcional ao valor da viscosidade. Isto implica que quando submetido

a uma tensão cisalhante constante, a razão com que a deformação se dá é maior para

fluidos com menores valores de viscosidade.

Page 13: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

9

A fim de ajudar a visualizar a natureza da viscosidade e das tensões de

cisalhamento, o seguinte exemplo será considerado. A Figura 6 representa um sistema

de coordenadas cartesianas com centro no ponto O, através do qual um fluido é

considerado em movimento. Para simplificar, assumimos que a velocidade (u) resultante

do fluido está na direção Ox e sua magnitude varia linearmente somente com y.

Figura 6 – Escoamento viscoso em camadas.

Consideremos duas camadas L1 e L2 do fluido. Como o fluido é viscoso, uma

tensão de fricção ou cisalhamento atuará entre as camadas fluidas, devida à velocidade

relativa V1 − V2 de uma em relação à outra. A tensão friccional τxy fará com que a

camada 2, de mais alta velocidade, tente acelerar a camada 1, de mais baixa velocidade.

Por outro lado a camada 1 exercerá uma ação de retardamento sobre a camada 2. Cada

camada atuará sobre as outras através de tensões cisalhantes.

O primeiro índice y em τxy indica que a tensão se dá sobre um plano perpendicular

a Oy. O segundo índice x indica que a tensão atua na direção Ox.

Ainda na Figura 6, sob a ação da tensão cisalhante uma lâmina do fluido

originalmente retangular, sofrerá uma deformação

dydx

=≈ θθ tan (1. 10)

Esta relação será verdadeira, desde que sejam consideradas pequenas deformações

na unidade de tempo.

De acordo com a lei de Newton da viscosidade a tensão cisalhante tem que ser

proporcional à razão de variação no tempo da deformação angular e a constante de

proporcionalidade é a viscosidade dinâmica μf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dydx

dtd

fxy μτ (1. 11)

L1

L2

u

u, x

y

o

Page 14: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

10

Invertendo a ordem da diferenciação temos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dtdx

dyd

fxy μτ (1. 12)

e como dtdxu = então

udyd

fxy μτ = (1. 13)

Foi mencionado também que a tensão cisalhante é:

dtd

fxyθμτ = (1. 14)

Acima apresentamos a relação entre a tensão atuando entre duas camadas de

fluido e a taxa de deformação por unidade de tempo introduzindo o conceito de

viscosidade. Para o caso mais geral de uma partícula fluida, a deformação dá-se em duas

direções. Consideremos então o caso de um quadrado infinitesimal com lados dx e dy. A

taxa de deformação total por unidade de tempo é dada pela soma das deformações em x

e em y:

yu

xv

dtd

∂∂

+∂∂

=θ (1. 15)

e a tensão cisalhante resultante vale:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==yu

xv

dtd

ffxy μθμτ (1. 16)

Para movimentos sem fricção, implica que as tensões cisalhantes (ou de atrito)

não estão presentes, ou seja, τxy = 0.

Para um fluido em movimento a condição de movimento sem fricção é alcançada

quando a viscosidade é nula ou quando as componentes de velocidades do fluido não

apresentam nenhuma variação de magnitude na direção perpendicular a cada

componente de velocidade. Em outras palavras, um movimento sem atrito se dá quando

a viscosidade é nula ou quando a deformação relativa entre camadas não muda com o

tempo como é o caso da hidrostática ou do movimento uniforme. Destas duas hipóteses,

a de fluido não viscoso é a mais ideal. A hipótese de inexistência de tensões cisalhantes

no movimento de um fluido simplifica consideravelmente o tratamento matemático do

problema. Por esta razão, e porque em alguns casos podemos obter resultados bastante

satisfatórios, é que a teoria tomou vulto.

Page 15: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

11

1.2.6 Fluido Ideal e Fluido Real

Por definição, um fluido ideal é aquele que é invíscito. Indica a inexistência de

tensões cisalhantes entre camadas fluidas.

Segue que duas camadas adjacentes de um fluido ideal podem mover-se com

velocidades distintas, sem que uma afete a outra por fricção interna. A única influência

que uma exerce sobre a outra é a de sua geometria, que tem que se amoldar com a outra.

Consequentemente, qualquer camada de um fluido ideal pode ser removida do

escoamento e substituída por um contorno sólido da mesma forma geométrica que a

camada removida. O que não alterará o escoamento restante.

Estudo dos fluidos ideais serão importantes para aplicação a regiões onde as

forças de origem viscosas são desprezíveis em comparação às forças inerciais.

A presença da viscosidade é inevitável quando estamos lidando com fluidos reais.

Fluidos reais não podem deslizar com diferença de velocidades finitas sobre camadas

adjacentes ou sobre contornos sólidos. A viscosidade se fará responsável por impor uma

variação gradual de velocidade através de camadas fluidas. Próximos a um contorno

estacionário a velocidade de um fluido real tem que aumentar gradativamente de zero

junto a fronteira até um valor finito da velocidade do escoamento, através de uma fina

camada do fluido chamada camada limite de Prandtl.

Page 16: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

12

1.3 As Formas Diferenciais das Leis Fundamentais

Muitas das equações descritas neste item são obtidas de princípios básicos de

conservação da massa, momento, e energia.

Para deduzi-las, algumas vezes é necessário considerar um volume

arbitrariamente finito, chamado de volume de controle, sobre o qual estes princípios

possam ser facilmente aplicados. Adicionalmente, é necessário assumir uma relação

constitutiva ou equação de estado para o fluido.

Na sua forma mais geral, uma lei de conservação estabelece que a razão de

mudança de uma propriedade continua L definida em todo volume de controle deve ser

igual aquilo que é perdido através das fronteiras do volume, carregado para fora pelo

movimento do fluido, mais o que é criado e/ou consumido pelas fontes e sorvedouros

dentro do volume de controle.

1.3.1 Equação Diferencial da Continuidade

Em um fluido real a massa precisa ser conservada, isto é, não pode ser criada ou

destruída.

Considere o fluxo de massa através de cada face do volume de controle fixo

infinitesimal mostrado na Figura 7. Seja o fluxo de massa líquido que entra no elemento

igual à taxa de variação da massa do elemento, isto é,

entrada saída elementom m mt∂

− =∂

& & (1. 17)

Figura 7 – Volume de controle infinitesimal que usa coordenadas retangulares.

Page 17: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

13

Identifique ρu, ρv e ρw no centro do elemento e trate cada uma dessas

quantidades como uma variável única.

Aplicando a equação (1.17) ao volume de controle representado na Figura 7,

temos

dydzdxxuudydzdx

xuu ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−2

)(2

)( ρρρρ

dxdzdyyvvdxdzdy

yvv ⎥

⎤⎢⎣

⎡∂

∂−−⎥

⎤⎢⎣

⎡∂

∂−+

2)(

2)( ρρρρ

)(2

)(2

)( dzdydxt

dxdydzzwwdxdydz

zww ρρρρρ

∂∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−+ (1. 18)

Aplicando a propriedade distributiva tem-se

dydzdxxudydzudydzdx

xudydzu

2)()(

2)()(

∂∂

−−∂

∂−

ρρρρ

dxdzdyyvdxdzvdxdzdy

yvdxdzv

2)()(

2)()(

∂∂

−−∂

∂−+

ρρρρ

)(2

)()(2

)()( dzdydxt

dxdydzzwdxdywdxdydz

zwdxdyw ρρρρρ

∂∂

=∂

∂−−

∂∂

−+ (1. 19)

Somando os termos semelhantes, obtemos

)(2

)(22

)(22

)(2 dzdydxt

dxdydzzwdxdzdy

yvdydzdx

xu ρρρρ

∂∂

=∂

∂−

∂∂

−∂

∂− (1. 20)

Dividindo todos os termos por dxdydz, temos:

ρρρρt

wz

vy

ux ∂

∂=

∂∂

−∂∂

−∂∂

− )()()( (1. 21)

A massa específica é considerada uma variável, então podemos derivar os

produtos e a equação (1.21) toma a seguinte forma:

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

tzw

zw

yv

yv

xu

xu ρρρρρρρ (1. 22)

ou

0=∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

tzw

yv

xu

zw

yv

xu ρρρρρ (1. 23)

Em termos de derivada material,

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+zw

yv

xu

DtD ρρ (1. 24)

Page 18: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

14

Essa é a forma mais geral da equação diferencial da continuidade expressa em

coordenadas retangulares. Introduzindo o operador nabla na equação (1.24) ela pode,

então, ser escrita na forma

0v. =∇+→

ρρDtD

(1. 25)

Em que →→→→

++= kwjviuv e →

∇ v. é o divergente da velocidade. Essa forma da

equação da continuidade não se refere a nenhum sistema de coordenadas particular. É a

forma usada para expressar a equação da continuidade em vários sistemas de

coordenadas.

Para um escoamento incompressível, um escoamento no qual a massa específica

de uma partícula não muda conforme segue sua trajetória, vemos que

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=tz

wy

vx

uDtD ρρρρρ (1. 26)

Escoamentos incompressíveis que têm gradientes de massa específica são algumas

vezes chamados de escoamentos estratificados ou escoamentos não-homogêneos;

escoamentos atmosféricos e oceânicos são exemplos de tais tipos.

Usando a equação (1.25), a equação da continuidade, para um escoamento

incompressível, toma a forma:

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu (1. 27)

ou, na forma vetorial,

0v. =∇→

(1. 28)

O divergente do vetor velocidade é zero para um escoamento incompressível.

1.3.2 Conservação do Momento

A conservação do momento é expressa de maneira similar à equação da

continuidade, com a componente vetor do momento substituindo o de densidade, e com

um termo fonte para representar as forças que atuam no fluido.

Substituímos ρ na equação da continuidade (1.25) com o momento por unidade de

volume ao longo de uma direção em particular, ivρ , onde iv é a i-ésima componente da

velocidade, isto é, a velocidade ao longo das direções x, y, ou z.

Page 19: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

15

( ) iii fvvDtD ρρρ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∇+

v. (1. 29)

ifρ é a i-ésima componente da força atuando no fluido (sempre força por unidade

de volume. As forças comumente encontradas incluem a gravidade e gradientes de

pressão.

Nos podemos simplificar a equação (1.29) ainda mais, usando a equação de

continuidade, obtendo:

ii f

DtDv ρρ = (1. 30)

a qual é frequentemente escrita como:

→→

= fDtD ρρ v

(1. 31)

Na qual reconhecemos a usual forma →→

= amF .

1.3.3 Equação Diferencial da Quantidade de Movimento

Suponha que não conhecemos o campo de pressão ou o campo de velocidade em

um escoamento incompressível e que queremos a solução da equação diferencial que

forneçam essas informações. A equação diferencial da quantidade de movimento

fornece três equações escalares que nos dão essas informações. Para tanto usaremos as

componentes da tensão para determinar as forças necessárias na equação da quantidade

de movimento.

São nove as componentes de tensão (Figura 8), sendo três componentes de tensão

normal ( xσ , yσ e zσ ) e seis componentes de tensão tangencial ou cisalhante ( xyτ , yzτ ,

xzτ , zxτ , yzτ e zyτ ). Com estas componentes podemos compor o tensor das tensões

dado por:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

zzyzx

yzyyx

xzxyx

στττστττσ

(1. 32)

Este tensor tem a propriedade de ser simétrico, o que pode ser visto determinando-

se o momento em torno de um dos vértices do cubo representado na Figura 8. Assim

procedendo poderemos observar que yxxy ττ = , zyyz ττ = e zxxz ττ = .

Page 20: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

16

Com base na equação (1.16) essas tensões cisalhantes podem ser escritas da

seguinte forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==yu

xv

fyxxy μττ (1. 33a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==yw

zv

fzyyz μττ (1. 33b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

==zu

xw

fzxxz μττ (1. 33c)

Para as tensões normais, demonstra-se [1] que,

xup ffx ∂∂

+∇−−=→

μμσ 2v32

(1. 34a)

yvp ffy ∂∂

+∇−−=→

μμσ 2v32

(1. 34b)

zwp ffz ∂∂

+∇−−=→

μμσ 2v32

(1. 34c)

onde ( )zyxp σσσ ++−= 31 é a pressão estática local.

Usaremos essas nove componentes para nas deduções relacioná-las aos campos de

pressão e de velocidade.

Figura 8 – Componentes da tensão em coordenadas retangulares.

Considere a Figura 9 que mostra as noves componentes de tensão em um ponto do

fluído nas faces positivas. Para obter a equação diferencial da quantidade de movimento

suponha que as componentes da tensão sejam funções de x, y, z e t e, com isso os

valores das componentes da tensão mudam de face para face, porque a localização de

cada face é diferente.

Page 21: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

17

(refazer esta figura)

Figura 9 – Componentes da tensão em coordenadas retangulares.

A segunda lei de Newton aplicada a uma partícula do fluído, para a localização da

componente x, é xx maF =∑ . Para a partícula mostrada (Figura 9), essa equação toma

a forma:

dydzdxx

dxdydxz

dxdzdyy

dydzdxx

xx

zxzx

yxxy

xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+2222

σστττ

τσσ

DtDudxdydzdxdydzgdxdydx

zdxdzdy

y xzx

zxyx

yx ρρτττ

τ =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−

22 (1. 35)

em que a componente do vetor g, que age na direção x é gx e DuDt

é a componente x da

aceleração da partícula do fluido. Depois de dividir a equação (1.35) pelo volume

dxdydz, obtemos:

xzxyxx gzyxDt

Du ρττσρ +∂∂

+∂

∂+

∂∂

= (1. 36)

similarmente, para as direções y e z, temos:

yzyyxy gzyxDt

Dv ρτστ

ρ +∂

∂+

∂+

∂= (1. 37)

zzyzxz g

zyxDtDw ρσττρ +

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= (1. 38)

Page 22: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

18

1.3.4 Equação de Euler

Uma boa aproximação para as componentes do tensor de tensão para muitos

escoamentos afastados de um contorno, tais como, escoamento em volta de um

aerofólio ou em regiões de mudanças bruscas através de uma contração pode ser dada

pela matriz:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−=Π

pp

p

000000

(1. 39)

Para tais escoamentos suponha que as componentes de cisalhamento sejam

desprezíveis e as componentes normais da tensão sejam iguais à pressão estática com

sinal negativo, introduzindo essas componentes nas equações (1.36), (1.37) e (1.38)

obtem-se, para esse escoamento sem atrito

xgxp

DtDu ρρ +

∂∂

−= (1. 40)

ygyp

DtDv ρρ +

∂∂

−= (1. 41)

zgzp

DtDw ρρ +

∂∂

−= (1. 42)

Suponha que o eixo z seja vertical, que gx = gy = 0 e gz = -g. As equações

escalares (1.40), (1.41) e (1.42) podem ser escritas como a equação vetorial

→→→→→→→

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ kgk

zpj

ypi

xpkwjviu

DtD ρρ (1. 43)

Nesta forma vetorial temos a conhecida equação de Euler, que é as três equações

diferenciais que resultam da aplicação da segunda lei de Newton, desprezando os efeitos

da viscosidade.

Introduzindo o operador nabla na equação (1.43) ela pode, então, ser escrita na

forma:

→→

−−∇= kgpDtD ρρ v

(1. 44)

Page 23: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

19

1.3.5 Equação de Navier-Stokes

A equação de Navier-Stokes é um conjunto de equações diferenciais que

descrevem o escoamento dos fluidos. São equações de derivadas parciais que permitem

determinar os campos de velocidade e de pressão do fluido.

A equação de Navier-Stokes foi denominada assim após Claude-Louis Navier e

George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o

movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gases. Estas equações

estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são

simplesmente o resultado das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas

(similar a fricção) atuando no fluido. A equação de Navier-Stokes é um equilíbrio

dinâmico do balanço de forças atuando em qualquer região do fluido.

Estas equações, diferentes das equações algébricas, não procuram estabelecer uma

relação entre as variáveis de interesse (por exemplo velocidade e pressão), em vez disto,

elas estabelecem relações entre as taxas de variação ou fluxos destas quantidades. Em

termos matemáticos, estas razões correspondem a suas derivadas. As equações de

Navier-Stokes para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero,

estabelecem que a aceleração (a razão de variação da velocidade) é proporcional a

derivada da pressão interna.

Substituindo as expressões (1. 33a), (1. 33b), (1. 33c), (1. 34a), (1. 34b) e (1. 34c)

nas equações diferenciais de movimento (1.36), (1.37) e (1.38), obteremos:

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇−

∂∂

∂∂

+∂∂

−=→

yu

xv

yxu

xxpg

DtDu

ffx μμρρ v322

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+zu

xw

z fμ (1. 45)

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−

∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=→

v322

yv

yyu

xv

xypg

DtDv

ffy μμρρ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+yw

zv

z fμ (1. 46)

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=yw

zv

yzu

xw

xzpg

DtDw

ffz μμρρ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇−

∂∂

∂∂

+→

v322

zw

z fμ (1. 47)

Page 24: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

20

que são as equações de Navier-Stokes.

Elas são em muito simplificadas quando aplicadas ao escoamento incompressível

com viscosidade constante, que impõe que o divergente do campo de velocidades seja

nulo (equação 1.28). Nestas condições, elas reduzem-se a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

2

2

zu

yu

xu

xpg

DtDu

fx μρρ (1. 48)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

ypg

DtDv

fy μρρ (1. 49)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

2

2

zw

yw

xw

wpg

DtDw

fz μρρ (1. 50)

Admitindo que as forças do corpo derivam de um potencial gravitacional Ω = -gz,

obtemos a equação de Navier-Stokes para a hidrodinâmica:

→→→

∇+∇

−−= vv 2f

pkgDtD μ

ρ (1. 51)

Para o caso do escoamento sem atrito ( 0=fμ ), a equação (1.51) reduz-se à

equação de Euler (1.44).

Page 25: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

21

1.4 Equações no Plano XZ

Passaremos a tratar agora, algumas equações escritas no plano XZ (problema

bidimensional), tendo como objetivo, determinar as equações que descrevem os campos

de velocidades e acelerações da onda.

1.4.1 Potencial de Velocidade

Podemos formular uma relação chamada função potencial, Φ, para um campo de

velocidade irrotacional. Para isto, devemos usar a identidade vetorial fundamental:

0)( =Φ∇×∇=Φgradrotacional (1. 52)

que é válida se Φ for uma função escalar (das coordenadas espaciais e do tempo), sendo

continua e diferenciável.

Então, para um escoamento irrotacional no qual 0vv =×∇=→→

rot , uma função

escalar Φ, deve existir tal que o gradiente de Φ seja igual ao vetor velocidade, →

v , desta

forma

Φ∇=→

v (1. 53)

Assim,

xu

∂Φ∂

= (1. 54)

zw

∂Φ∂

= (1. 55)

as quais introduzidas na equação da continuidade (1. 27) conduz a

02

2

2

2

=∂Φ∂

+∂Φ∂

zx (1. 56)

ou, na forma vetorial,

0.2 =Φ∇ (1. 57)

que é conhecida como equação de Laplace.

O potencial de velocidades, Φ, existe apenas para escoamento irrotacional. A

irrotacionalidade pode ser uma hipótese válida para aquelas regiões de um escoamento

Page 26: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

22

nas quais as forças viscosas são desprezíveis. Nestas regiões, diz-se que fluido é

invíscito, ou seja, 0=fμ .

Todos os fluidos reais possuem viscosidade, mas há muitas situações nas quais a

hipótese de escoamento invíscito simplifica consideravelmente a análise e, ao mesmo

tempo, fornece resultados significativos.

1.4.2 Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é simplesmente uma forma integrada das equações de

Euler ((1.40) e (1.42)) e fornece uma relação entre o campo de pressões e a cinemática

do fluido.

As equações de Euler escritas para um fluido invíscito e com gx = 0 e gz = -g ,

são:

xp

zuw

xuu

tu

DtDu

∂∂

ρ∂∂

∂∂ 1

−=++∂∂

= (1. 58)

gzp

zww

xwu

tw

DtDw

−−=∂∂

++∂∂

=∂∂

ρ∂∂ 1

(1. 59)

Substituindo-se a condição de irrotacionalidade no plano, ∂∂

∂∂

uz

wx

= , em (1.58) e

(1.59) , tem-se:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−=++

221 22 w

xu

xtu

xp

xww

xuu

tu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

(1. 60)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−−=++

221 22 w

zu

ztwg

zp

zww

zuu

tw

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

(1. 61)

Introduzindo (1.54) e (1.55) em (1.60) e (1.61), tem-se:

xpw

xu

xtx ∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂∂ 1

22

222

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Φ (1. 62)

gzpw

zu

ztz−−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Φ∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂∂ 1

22

222

(1. 63)

que podem ser reescritas na forma:

Page 27: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

23

( ) 021 22 =⎥

⎤⎢⎣

⎡+++

Φρ∂

∂∂∂ pwu

tx (1. 64)

( ) gpwutz

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

Φρ∂

∂∂∂ 22

21

(1. 65)

Integrando-se em x e z as equações (1.64) e (1.65) tem-se:

( ) ( )tzCpwut

,'21 22 =+++

Φρ∂

∂ (1. 66)

( ) gztxCpwut

−=+++Φ ),(

21 22

ρ∂∂

(1. 67)

Substituindo a parcela do lado direito de (1.66) em (1.67), pode-se concluir que

gztxCtzC −= ),(),(' (1. 68)

Examinando-se (1.68), conclui-se que C(x,t) não pode ser uma função de x, já que

nem C’(z,t) e nem o termo gz dependem de x , logo C = C(t).

Desta forma a equação (1.67) fica

( ) )(21 22 tCgzpwu

t=++++

Φρ∂

∂ (1. 69)

que é a equação de Bernoulli.

C(t) é denominado termo de Bernoulli e é constante para um fluido em

escoamento permanente (onde então 0=Φt∂

∂ ).

A outra forma de se escrever a equação de Bernoulli é:

)(21 22

tCgzzx

pt

=+⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

++Φ

∂∂

∂∂

ρ∂∂

(1. 70)

a qual correlaciona a pressão do fluido, a ordenada z da partícula e o potencial de

velocidades.

Entre dois pontos de ordenadas z conhecidas (zA e zB) e de potencial de

velocidades conhecidos, a diferença de pressão pode ser obtida pela seguinte expressão:

Page 28: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

24

+⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

−⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Φ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Φ∂

=−=ΔAB

BA zxzxppp

2222

22 ∂∂

∂∂ρρ

( )ABAB

ZZgtt

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

+ ρ∂∂

∂∂ρ (1. 71)

Note-se que a constante de Bernoulli C(t) é a mesma em nos pontos A e B de tal

forma que nos permite subtraí-la da equação (1.70).

Um outro meio de eliminá-la consiste no seguinte artifício:

Define-se a função )()( tCttf=

∂∂

Reescreve-se (1.70) passando C(t) para dentro da função potencial, assim:

( ) 021)( 22

=++⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

++Φ gzp

zxttf

ρ∂∂

∂∂

∂∂

(1. 72)

Define-se

)(),,(),,(' tftzxtzx +Φ=Φ (1. 73)

e tem-se a nova equação de Bernoulli

0''21' 22

=++⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

ρ∂∂

∂∂

∂∂ pgz

zxt (1. 74)

Observando-se que

xxu

∂∂

∂∂ 'Φ

= (1. 75)

e

zzw

∂∂

∂∂ 'Φ

= (1. 76)

Page 29: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

25

22.. FFOORRÇÇAASS AAMMBBIIEENNTTAAIISS

2.1 Introdução

No projeto de estruturas flutuantes offshore, é necessário conhecer as forças

ambientais que agem neste tipo de estrutura (navios, plataformas semi-submersíveis,

TLP’s, risers, etc), para que possamos dimensioná-las de tal forma que, atendam aos

critérios de utilização e segurança impostos.

Este capítulo apresentará a formulação para o cálculo das forças externas que

agem em estruturas flutuantes offshore.

Estas forças externas são devidas principalmente aos carregamentos ambientais de

onda, correnteza e vento.

Figura 10 – Forças ambientais em uma unidade flutuante offshore.

Podemos considerar estas forças aplicadas nas estruturas flutuantes da seguinte

forma:

Onda, correnteza e vento atuando no casco da unidade flutuante;

Onda e correnteza atuando nas linhas de ancoragem e risers.

Para o cálculo das forças devidas à movimentação do fluido induzida pelas ondas

e pela correnteza, atuando tanto no casco da plataforma quanto nas linhas de ancoragem

e risers, é necessário inicialmente apresentar a formulação dos modelos de

representação das ondas do mar.

Page 30: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

26

2.2 Modelos de Representação das Ondas do Mar

Chamamos de onda de gravidade ao movimento oscilatório de um fluido devido a

efeitos gravitacionais ocasionados pela presença de superfície livre. Qualquer

perturbação que ocasione uma variação da pressão do fluido próximo à superfície livre,

acarretará um movimento da massa fluida em busca do equilíbrio com a pressão

atmosférica e com isto mudança de forma desta superfície. O perfil de uma onda regular

é mostrado na Figura 11.

Figura 11 – Perfil de uma onda regular.

No estudo de ondas de gravidade assumimos as hipóteses de que o fluido é

incompressível e ideal, que o escoamento é irrotacional e que as forças de corpo

derivam de um potencial gravitacional. Com as hipóteses de fluido incompressível e

escoamento irrotacional podemos dizer que o campo de velocidades é dado pelo

gradiente de uma função, que satisfaz a equação de Laplace em todo o domínio fluido.

Assumiremos também, neste estudo, que as ondas são progressivas e viajam na direção

positiva do eixo x.

A superfície livre é descrita pelo movimento das partículas fluidas no contorno em

contato com a atmosfera, sendo então desconhecida. Seu movimento é uma das

incógnitas a serem determinadas. Sabemos que é formada sempre pelo mesmo grupo de

partículas fluidas. Se definirmos a função que descreve a superfície livre então sua

derivada substantiva deverá ser sempre nula.

Page 31: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

27

Neste ponto é conveniente entendermos a diferença entre onda progressiva e onda

estacionária. Esta diferença é melhor apresentada na Figura 12.

Figura 12 – Onda progressiva e estacionária.

A onda progressiva viaja ao longo do eixo x com certa velocidade. Suas

características permanecem idênticas para um observador que viaja na mesma

velocidade e no mesmo sentido que a onda. Por outro lado, a superfície livre da onda

oscila verticalmente entre pontos fixos sem progressão.

Ondas Estacionárias se formam quando duas ondas idênticas se encontram, se

movendo em sentidos opostos. Esse tipo de onda é caracterizado por pontos fixos de

valor zero, chamados de nodos, e pontos de máximo também fixos, chamados de

antinodos. É evidente que, entre nós, a superfície livre da onda vibra com a mesma

freqüência, mas com amplitudes diferentes. São, portanto, ondas resultantes da

superposição de duas ondas de mesma freqüência, mesma amplitude, mesmo

comprimento de onda, mesma direção e sentidos opostos.

Page 32: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

28

2.2.1 Problema de Valor de Contorno para Ondas do Mar

Nesta seção, descreve-se o modelo matemático que representa o comportamento

de ondas no mar. Este modelo é composto por um Problema de Valor de Contorno

(PVC), que consiste em uma equação diferencial e as condições de contorno associadas.

A Figura 13 ilustra os contornos do problema, no fundo do mar e na superfície

livre.

Figura 13 – Condições de contorno.

Vale observar que o modelo matemático bidimensional descrito nesta seção,

usualmente conhecido como a “teoria de onda”, tem por objetivo determinar

velocidades e acelerações do fluido, sem considerar a presença do corpo. Esta “teoria de

onda” é uma particularização do modelo mais geral que representa a interação das

partículas do fluido com corpos flutuantes ou imersos de grandes dimensões,

usualmente conhecido como a “teoria da difração”. Este último modelo, que é

tridimensional e considera a presença do corpo, tem por objetivo determinar as forças

no corpo que resultam da movimentação do fluido induzida pelas ondas.

Conforme apresentado na Figura 13, em todo o domínio deve ser satisfeita a

equação de Laplace ( 0.2 =Φ∇ ), uma vez que supomos que o fluido é incompressível e

irrotacional.

As duas condições de contorno na superfície livre, expressas em termos do

potencial Φ, são:

z

CC dinâmicaCC cinemática

CC de fundo

02 =Φ∇

η(x,t)

d

x

Page 33: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

29

A condição de contorno dinâmica, que pode ser deduzida a partir da equação

de Bernoulli, partindo da premissa que a pressão atmosférica fora da região do

fluido é constante (como demonstrado em [2]):

∂Φ∂t +

12 ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂Φ

∂x

2 + ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂Φ

∂z

2 + gη = 0 em z = η (2.1)

onde η(x,t) é uma função que exprime a elevação da onda na superfície livre.

A condição de contorno cinemática, que estabelece que uma partícula na

superfície livre em um dado instante de tempo irá permanecer na superfície

livre [2]:

∂η∂t +

∂Φ∂x

∂η∂x −

∂Φ∂z = 0 em z = η (2.2)

Lembrando que o fundo do mar é assumido como plano e horizontal, a condição

de contorno no fundo implica que a componente vertical da velocidade da partícula de

fluido deve ser igual a zero.

∂Φ∂z = 0 em z = −d (2.3)

O problema de valor de contorno completo é portanto descrito pela equação de

Laplace (1.57) e as três condições de contorno (2.1) a (2.3).

A Figura 14 a seguir, ilustra os contornos do problema, no fundo do mar e na

superfície livre. Ilustra também a onda definida em termos de sua altura H e período T.

Na Figura 14, L indica o comprimento da onda (a distância medida na direção x

entre dois picos ou cristas sucessivas), e T é o período (o tempo que uma crista leva para

percorrer uma distância igual ao comprimento de onda L). Desta forma, existe uma

relação entre L e T que define a velocidade de propagação da onda (ou celeridade), dada

simplesmente por:

c = LT (2.4)

Page 34: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

30

Figura 14 - Modelo matemático: características da onda e condições de contorno.

2.2.2 Solução do Modelo Matemático

O problema de valor de contorno descrito na seção anterior é altamente não-linear,

especialmente devido às condições de contorno de superfície livre. Desta forma, de

modo geral não é possível obter uma solução analítica rigorosa para Φ, e a solução (em

termos de velocidades e acelerações das partículas fluidas induzidas pela onda) deve ser

obtida introduzindo aproximações e/ou utilizando métodos numéricos.

Existem diversos métodos ou “teorias de onda” comumente usadas para a solução

desse problema [3,2]. Algumas teorias são desenvolvidas assumindo-se que a solução

para Φ toma a forma de uma série de potências em termos de um parâmetro de

perturbação adimensional ε:

Φ = ∑n=1

∞ εn Φn (2.5)

onde Φn é a solução de ordem n para Φ; assume-se que o valor do potencial de

velocidade (ou, equivalentemente, o perfil da onda na superfície) converge

assintoticamente com as ordens mais elevadas das séries em ε. Uma solução analítica

∂Φ∂z =

∂η∂t +

∂Φ∂x

∂η∂x

z ∂Φ∂t = −

12 ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂Φ

∂x

2 + ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂Φ

∂z

2 − gη

∂Φ∂z = 0

η(x,t)

d

x Η

L , T

a

Page 35: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

31

fechada pode então ser obtida introduzindo uma aproximação, que consiste em limitar o

parâmetro de perturbação ε a uma dada ordem.

O parâmetro de perturbação ε é comumente definido em termos de uma relação

entre a altura H e o comprimento L da onda (ou a declividade), dada por:

ε = π HL (2.6)

Neste ponto, pode-se introduzir o conceito do número de onda k:

k = 2 πL (2.7)

de modo que o parâmetro de perturbação ou declividade da onda ε pode ser escrito

como:

ε = k H2 (2.8)

De forma similar, a elevação da onda η na superfície livre pode ser escrita na

forma de uma série:

η = ∑n=1

∞ εn ηn (2.9)

Assim, a não linearidade ou a ordem do problema é definida em termos da

declividade da onda ε. A teoria de 1a ordem é proporcional à declividade da onda, a

teoria de 2a ordem ao quadrado da declividade, e assim por diante.

Dentre os métodos que se encaixam nesta categoria, podem ser mencionados os

seguintes:

Teoria Linear de Airy, ou Teoria de Onda Senoidal: de primeira ordem, válida

para ondas de pequena amplitude (quando comparadas ao seu comprimento L);

Teoria de Stokes, não-lineares (de segunda, terceira ou quinta ordem).

Há, no entanto, várias teorias que procuram representar matematicamente a forma

da onda, velocidade, aceleração, etc. Variando de teorias mais simples (Teoria Linear

de Airy) até teorias mais complexas onde várias hipóteses simplificadoras são

abandonadas, tais como: fluido homogêneo e incompressível, tensão superficial

desprezível, fluido ideal ou invíscito, etc. Na Figura 15 apresenta-se as regiões de

validade das Teorias de Onda.

Page 36: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

32

Figura 15 – Região de validade das Teorias de Onda.

O procedimento mais usual, e que atende à prática de projeto de sistemas offshore,

consiste em empregar a Teoria Linear de Airy. Em alguns casos particulares poderiam

ser empregadas outras teorias não-lineares apresentadas na Figura 15 e descritas com

mais detalhes em [2]. Na próxima seção será descrito o procedimento de solução da

Teoria de Airy.

Page 37: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

33

2.2.3 Teoria Linear de Airy

• Linearização

A Teoria Linear de Airy está baseada na premissa de que a altura de onda é

pequena comparada com o comprimento de onda. Esta premissa permite que as

condições de contorno de superfície livre sejam satisfeitas no nível médio de águas

tranqüilas e não no nível real da elevação da onda. Para tanto, as condições de contorno

são linearizadas, desprezando os termos de segunda ordem e de ordens superiores.

O procedimento de linearização consiste em obter apenas a solução de primeira

ordem, tomando somente o primeiro termo das séries em Φ e η nas expressões (2.5) e

(2.9). Como isso o problema passa a ser linear em termos da altura da onda H ou

declividade ε. Substituindo as expressões linearizadas nas condições de contorno de

superfície livre (2.2) e (2.1), obtém-se:

∂η1

∂t − ∂Φ1

∂z = 0 em z = 0 (2.10)

e

∂Φ1

∂t + gη1 = 0 em z = 0 (2.11)

Da equação (2.11), a elevação da onda acima da superfície média da água é dada

por:

η1 = − 1g ∂Φ1

∂t (2.12)

As duas condições de contorno de superfície livre podem ser combinadas em uma,

pela eliminação de uma das incógnitas η1:

∂2Φ1

∂t2 + g ∂Φ1

∂z = 0 em z = 0 (2.13)

Desta forma, o PVC fica definido pela equação diferencial (1.56) e pelas

condições de contorno (2.13) e (2.3).

• Solução do Sistema Linearizado

A solução deste PVC é obtida através de uma técnica de separação de variáveis.

Assume-se que o potencial Φ1 pode ser escrito na forma:

Page 38: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

34

Φ1(x,z,t) = Y(z) Λ(α) (2.14)

onde, para uma onda progressiva com celeridade c, e assumindo que a onda está

viajando na direção x positiva, a periodicidade α é dada por α = x + ct.

Substituindo (2.14) na equação diferencial parcial (1.56) obtém-se duas equações

diferenciais ordinárias:

∂2Y∂z2 − k2 Y = 0 (2.15)

∂2Λ∂α2 + k2 Λ = 0 (2.16)

As soluções gerais para estas equações diferenciais são:

Y = A1 cosh kz + A2 sinh kz (2.17)

Λ = A3 cos [k (x − c t)] + A4 sen [k (x − c t)] (2.18)

Considerando-se que, quando x = 0 e t = 0, a elevação da onda corresponde ao

valor da crista (ou seja, sua amplitude a = H/2), pode-se deduzir o valor para a

constante A3 = 0. Além disso, a condição de contorno no fundo fornece A2 = A1 tanh kd.

Assim, (2.14) pode ser escrita como:

Φ1(x,z,t) = A1 A4 cosh k(z + d)

cosh kd sen [k (x − c t)] (2.19)

Ainda considerando x = 0, t = 0 e z = 0, na expressão (2.12) para η1 = H/2,

deduz-se que:

A1 A4 = g ak c (2.20)

Finalmente, lembrando que c = L/T (2.4), T = 2π/ω e L = 2π/k (2.7), deduz-se que

kc = ω onde ω é a freqüência da onda em rad/s. Assim, obtém-se a seguinte expressão

para o potencial de velocidade de 1a ordem (Φ = ε Φ1):

Φ(x,z,t) = g aω

cosh k(z + d)cosh kd sen (kx − ω t) (2.21)

Substituindo a expressão (2.21) em (2.12), obtém-se a elevação da superfície da

onda que corresponde a um trem de ondas regulares se movendo na direção-x:

η(x,t) = a cos (k x − ω t) (2. 22)

Page 39: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

35

Substituindo o valor de Φ na condição de contorno de superfície livre combinada

(2.13), obtém-se a relação de dispersão linear, que fornece a relação entre freqüência

circular da onda e o número de onda k em lâminas d’água com profundidade d:

ω2 = g k tanh (k d) (2. 23)

Esta equação é denominada Equação de Dispersão e deve ser resolvida

iterativamente. A Figura 16 seguir apresenta uma das alternativas para a solução do

problema.

IN ICIA LIZA ÇÃO DAS VARIÁVE IS

C = G / w2

k = 1/ C

ARG = k . d

ARG >64

k = 1 / ( C . tanh ( ARG ) )

ABS(k-k)/k<0.001

k = k

IN TE R = IN TER +1

k = k

λ= 2π/k

W rite ( ) k , λ

S

S

N

Figura 16 – Bloco diagrama para a obtenção do número de onda k.

Page 40: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

36

Para águas profundas o valor de L = 2π/k tende para gT2/2π já que tanh kd tende

para 1. Já para águas rasas o valor de L = 2π/k tende para gdT .

Partindo desta discussão, em águas rasas, intermediárias e profundas faz-se a

consideração apresentada na tabela a seguir:

Tabela 1 – Consideração para águas rasas, intermediárias e profundas.

Aproximação Critério Comprimento de Onda

Águas Rasas 201

<Ld gdTL =

Águas Intermediárias 2

1201

<<Ld

kL π2=

Águas Profundas 21

>Ld

π2

2gTL =

• Velocidades e Acelerações das Partículas do Fluido

Finalmente, uma vez obtido o potencial de velocidade, as velocidades da partícula

do fluido nas direções horizontal e vertical são obtidas diferenciando-se a equação

(2.21) em relação a x e z:

u = ∂Φ∂x =

g k aω

cosh k(z + d)cosh kd cos (k x − ω t) (2.24)

w = ∂Φ∂z =

g k aω

senh k(z + d)cosh kd sen (k ξ − ω t) (2.25)

Observando-se as expressões de velocidades horizontal e vertical, verifica-se que

a velocidade horizontal da partícula de fluido é máxima (ou mínima) quando a

velocidade vertical for zero e vice-versa.

A Figura 17 mostra os pontos de velocidade horizontal máxima, mínima e nula. Já

a Figura 18, apresenta os pontos de velocidade vertical máxima, mínima e nula. E a

Figura 19 mostra a variação das velocidades horizontais e verticais com a profundidade

em quatro posições para t = 0.

Page 41: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

37

Figura 17 – Pontos de velocidade horizontal máxima, mínima e nula.

Figura 18 – Pontos de velocidade vertical máxima, mínima e nula.

Figura 19 – Perfil de velocidades da onda.

Page 42: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

38

As acelerações da partícula do fluido nas direções horizontal e vertical são dadas

por:

ax = ∂u∂t = g k a

cosh k(z + d)cosh kd sen (k x − ω) (2.26)

az = ∂w∂t = − g k a

senh k(z + d)cosh kd cos (k x − ω t) (2.27)

A Figura 20 mostra os pontos de aceleração horizontal máxima, mínima e nula.

Enquanto que a Figura 21, apresenta os pontos de aceleração vertical máxima, mínima e

nula. É importante observar que os pontos de aceleração máxima e mínima

correspondem aos pontos de velocidade nula.

Figura 20 – Pontos de aceleração horizontal máxima, mínima e nula.

Figura 21 – Pontos de aceleração vertical máxima, mínima e nula.

Page 43: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

39

• Deslocamento das Partículas Fluidas

Como as amplitudes das duas velocidades (horizontal e vertical) são geralmente

diferentes, a partícula de fluido descreve uma trajetória elíptica sobre sua posição

média, em um ciclo de onda completo (Figura 22). Ou seja, todas as partículas

apresentam a mesma posição nos tempos t, t + T, t + 2T, etc, o que implica na

inexistência do transporte de massa com a passagem da onda.

Figura 22 – Trajetória elíptica da partícula fluida.

Na Figura 22, r e s são os deslocamentos horizontal e vertical respectivamente,

(x1, z1) é a posição média da partícula fluida e A e B são os semi-eixos da elipse. É

importante observar que A é sempre maior ou igual a B. As partículas situadas na

superfície livre seguem uma trajetória com altura igual a a = H/2, isto é, fazem parte da

superfície. É importante salientar, também, que não há partículas com posição média

superior a z = 0.

Os deslocamentos da partícula de fluido a partir de sua posição média podem ser

obtidos pela integração das velocidades u e w em relação ao tempo t, aplicando-se a

condição de contorno adequada para a constante de integração. Os deslocamentos nas

direções horizontal e vertical, respectivamente r e s, são dados por:

r = − a cosh k(z + d)

senh kd sen (k x − ω t) (2.28)

s = a senh k(z + d)

senh kd cos (k x − ω t) (2.29)

Em águas rasas, o semi-eixo A >> B. O semi-eixo A passa a ser:

dgTHA

π4= (2.30)

e o semi-eixo B fica:

(x1, z1)

Page 44: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

40

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

dzHA 11

2 (2.31)

Em águas intermediárias, o semi-eixo A > B.

E em águas profundas, o semi-eixo A = B, sendo assim,

1

2zkeHBA = (2.32)

o que implica em trajetória circular das partículas, cujos raios decaem

exponencialmente.

A visualização dos orbitais das partículas podem ser observados na Figura 23.

Figura 23 – Orbitais das partículas fluidas.

• Pressões

Finalmente, outro resultado de interesse é o campo de pressões no fluido. Tal

resultado pode ser obtido através da aplicação da equação de Bernoulli (1.70):

p(x,z,t) = − ρ gz − ρ ∂Φ∂t −

12 ρ (∇Φ)2 (2.33)

A primeira parcela desta expressão corresponde ao termo de ordem zero, ou de

pressão hidrostática. As demais parcelas correspondem às parcelas de primeira e

segunda ordem da pressão dinâmica. De forma consistente com a expansão de primeira

ordem do potencial de velocidade assumida pela teoria linear de Airy, a expressão de

primeira ordem da pressão fica:

p1 = − ρ gz − ρ ∂Φ∂t (2.34)

onde a segunda parcela do lado direito representa a pressão dinâmica ou oscilatória pd1:

pd1 = − ρ ∂Φ∂t = − ρ ε

∂Φ1

∂t (2.35)

Águas Rasas Águas Intermediárias

Águas Profundas

Page 45: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

41

Empregando a expressão (2.21), pode-se então obter a expressão desejada para

pd1.

pd1(x,z,t) = ρ g a cosh k(z + d)

cosh kd cos (k x − ω t) (2.36)

ou, observando (2.22),

pd1(x,z,t) = ρ g cosh k(z + d)

cosh kd η(x,t) (2.37)

Substituindo-se z = 0 na expressão (2.36) obtém-se

pd1(x,t)z=0 = ρ g η(x,t) (2.38)

ou seja, a pressão dinâmica no nível de águas tranqüilas (z = 0) é calculada tomando o

valor da elevação da superfície livre da onda. Isto é, a pressão dinâmica na superfície

z = 0 é igual pressão hidrostática de uma coluna de água correspondente a elevação da

superfície livre da onda. Assim, em uma partícula localizada na superfície média, sob a

crista de uma onda, a elevação é igual à amplitude da onda e, portanto,

pd1x=0,z=0,t=0 = ρ g a (2.39)

como seria de se esperar, considerando ainda que a pressão hidrostática na superfície

média (calculada com z = 0 na primeira parcela do lado direito de (2.34)) é igual a zero.

Além disso, em uma partícula localizada no cavado da onda, ter-se-ia

pd1x=0,z=-a,t=T/2 = − ρ g a (2.40)

Este é um resultado fisicamente razoável. Entretanto, não é preciso. Pois a pressão

na superfície livre instantânea não é nula. Este é um problema que vêm da linearização

do problema que acarreta a transferência da posição para se impor a condição de

contorno.

A rigor, nesta formulação de primeira ordem as pressões são calculadas apenas

para pontos até a superfície média (com valores negativos para a coordenada z). A

seguir, apresenta-se um procedimento que permite estender o cálculo para pontos acima

da superfície média.

Como será visto, neste caso, o valor calculado para a superfície média será

tomado como sendo o valor na superfície livre. Assim, na crista da onda a pressão

dinâmica fica igual a ρga, mas a condição de contorno de pressões na superfície é

atendida porque a pressão hidrostática (calculada com η = a na primeira parcela do lado

direito de (2.34)) é negativa e igual a −ρga. Por outro lado, no cavado a pressão

Page 46: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

42

dinâmica é −ρga, mas a pressão hidrostática fica igual a ρga e, portanto a pressão total

fica igual a zero.

• Correção para a Superfície Livre: Extrapolação de Wheeler

A teoria linear de Airy foi desenvolvida considerando-se que as condições de

contorno do problema eram impostas no nível médio do mar (o nível de águas

tranqüilas, onde z = 0), e não na superfície livre da onda. Desta forma, todas as

expressões apresentadas até agora para fornecer valores para a cinemática da onda (por

exemplo velocidades e acelerações) podiam ser usadas apenas para pontos até a

superfície média (com valores negativos para a coordenada z), ignorando a alteração da

superfície livre devida à onda.

Em aplicações onde a altura de onda é significativa, o efeito de alteração da

superfície livre sobre a força total induzida pela onda torna-se muito importante e,

portanto, faz-se necessário algum tipo de aproximação para considerar os pontos

situados na superfície livre. Dentre os tipos de aproximações mais conhecidos

destacam-se a extrapolação hiperbólica, linear, e o método de extrapolação ou

‘stretching’ de Wheeler [4]. O princípio da extrapolação de Wheeler consiste em

assumir que, na superfície livre da onda, os valores de velocidades, acelerações, etc, são

idênticos aos originalmente calculados pelas expressões de Airy para o nível de águas

tranqüilas. Para isto, afeta-se o termo (z+d) por d/(η + d), onde η é a elevação da onda

no ponto. Por exemplo, a expressão (2.24) para a velocidade horizontal se torna:

u = ∂Φ∂x =

g k aω

cosh k(z + d)d

η + dsenh kd cos (k x − ω t) (2.41)

Observa-se que, na expressão original (2.24), que podia ser usada para valores de

z apenas até a superfície média, para pontos no nível de águas tranqüilas onde z =η = 0

o argumento do cosseno hiperbólico seria kd. Na expressão modificada (2.41), que pode

ser usada para pontos acima da superfície média, em qualquer ponto na superfície livre

da onda tem-se z =η e, portanto, o argumento do cosseno hiperbólico continua sendo kd

− confirmando o pressuposto que os valores na superfície livre para a expressão

modificada são os mesmos obtidos na superfície média para a expressão original. Os

demais valores para pontos abaixo da superfície livre assumem uma distribuição em

cossenos hiperbólicos “esticada” (se o ponto está na crista, ou “encolhida” se o ponto

Page 47: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

43

está no cavado), de modo a permitir a determinação da cinemática da onda até o fundo

do mar.

• Aproximações para Águas Profundas

Partindo da relação de dispersão (2.23), deduz-se que

cosh (k d) = g kω2 senh kd

Substituindo esta expressão em (2.21) pode-se obter uma forma alternativa para o

potencial Φ:

Φ(x,z,t) = a ωk

cosh k(z + d)senh kd sen (k x − ω t) (2.42)

Diferenciando-se a equação (2.42) em relação a x e z, e, em seguida, em relação a

t, podem ser obtidas expressões alternativas para as velocidades e acelerações:

u = ∂Φ∂x = a ω

cosh k(z + d)senh kd cos (k x − ω t) (2.43)

w = ∂Φ∂z = a ω

senh k(z + d)senh kd sen (k x − ω t) (2.44)

ax = ∂u∂t = a ω2

cosh k(z + d)senh kd sen (k x − ω t) (2.45)

az = ∂w∂t = − a ω2

senh k(z + d)senh kd cos (k x − ω t) (2.46)

Em águas com profundidade infinita (ou, em termos práticos, em águas profundas

com lâmina d’água maior que o comprimento de onda), pode-se admitir tanh(k d) ≈ 1 e

a relação de dispersão (2.23) é dada por:

ω2 = g k (2.47)

Ainda para águas profundas, a seguinte aproximação é válida:

cosh k(z + d)senh kd ≈

senh k(z + d)senh kd ≈ ek z (2.48)

de modo que a expressão aproximada da função potencial para águas profundas é:

Φ(x,z,t) = g aω ek z sen (k x − ω t) (2.49)

e as expressões correspondentes para velocidades e acelerações ficam da seguinte

forma:

u = a ω ek z cos (k x − ω t) (2.50)

Page 48: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

44

w = a ω ek z sen (k x − ω t) (2.51)

ax = a ω2 ek z sen (k x − ω t) (2.52)

az = − a ω2 ek z cos (k x − ω t) (2.53)

Por sua vez, a expressão para a pressão dinâmica (2.36) passa a ser:

pd1 = ρ g a ek z cos (k x − ω t) (2.54)

2.2.4 Onda de Segunda Ordem (Stokes de 2ª Ordem)

Vimos, inicialmente na seção 2.2.2, que o potencial de velocidades Φ pode ter a

forma de uma série de potências em termos de um parâmetro de perturbação ε = πH/L,

conforme apresentado pela expressão (2.5). E de forma similar tinhamos a expressão

(2.9) para a elevação da superfície livre η.

Assim, se ε é pequeno, os movimentos das partículas fluidas são pequenos e o

problema pode ser linearizado. Caso ε não seja tão pequeno não podemos mais

linearizar o problema, e temos que levar em consideração esta influência.

A idéia da metodologia é admitir que haja uma pequena influência de segunda

ordem dada pelo potencial Φ2, que gera um movimento de segunda ordem da superfície

livre η2. Essas grandezas de segunda ordem são supostas serem de ordem ε2. Além

disto, não se objetiva resolver um problema não linear, porém resolver um novo

problema linear que corrija a solução abandonando os efeitos de terceira ordem ε3 e

superiores. Caso os efeitos de terceira ordem sejam importantes, temos então que ir até a

terceira ordem, abandonando efeitos de quarta ordem e superiores. Aqui estamos

estabelecendo a forma das ordens dos termos, mas em geral é possível obter

automaticamente as “intensidades” das ordens superiores, a partir da primeira ordem, de

acordo com as equações que regem o problema.

Nesta seção nos concentraremos no problema de segunda ordem. As equações

referentes a esta teoria, em termos elevação da onda, velocidades horizontais e verticais,

aceleração horizontais e verticais, bem como a pressão dinâmica, são:

Elevação da onda (η):

[ ] )cos(2cosh2cosh8

)cos(),( 3

2

txkkdkdsenhkd

LHtxkatx ωπωη −++−= (2.55)

Como se nota, coloca-se um termo adicional à equação de Airy.

Page 49: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

45

A partir da teoria de Stokes de 2ª ordem, há transporte de massa, pois os orbitais

das partículas não são fechados.

Velocidades horizontal e vertical (u e w):

+−+

= )cos()(cosh txkkdsenh

dzkTHu ωπ

)(2cos)(2cosh43

4 txkkdsenh

dzkTH

LH ωππ

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ (2.56)

+−+

= )()( txksenkdsenh

dzksenhTHw ωπ

)(2)(243

4 txksenkdsenh

dzksenhTH

LH ωππ

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ (2.57)

Aceleração horizontal e vertical (ax e az):

+−+

= )()(cosh2 2

txksenkdsenh

dzkT

Hax ωπ

)(2)(2cosh342

2

txksenkdsenh

dzkLH

TH ωππ

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ (2.58)

−−+

−= )cos()(2 2

txkkdsenh

dzksenhT

Haz ωπ

)(2cos)(2342

2

txkkdsenh

dzksenhLH

TH ωππ

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− (2.59)

Pressão dinâmica (p):

+−+

= )cos(cosh

)(cosh txkkd

dzkgap ωρ

−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++ )(2cos

31)(2cosh

21

43

2

2

txkkdsenh

dzkkdsenhL

Hg ωπρ

[ ]1)(2cos2

141 2

−+− dzkkdsenhL

Hg πρ (2.60)

Page 50: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

46

2.3 Representação Espectral

2.3.1 Introdução

Conforme visto na seção 2.2.1, o modelo matemático para a representação das

ondas do mar que foi formulado em termos de um PVC e resolvido pela teoria de Airy

(seção 2.2.3), trata de apenas um único trem de ondas, definido por sua altura H e

período T, como indicado na Figura 13. Este tipo de representação é usualmente

conhecido como “mar regular” ou “onda determinística”.

Uma representação mais realística consiste em empregar um modelo espectral

para um estado de “mar irregular”, às vezes também referido como “ondas aleatórias”.

Neste modelo, o estado de mar irregular geral é representado pela superposição linear de

várias ondas regulares, com diferentes valores de período, amplitude e fase. Para uma

dada locação, medições e estudos estatísticos ajustam um modelo de espectro adequado

para a representação da distribuição de densidade de energia apropriada das ondas do

mar.

O ajuste do modelo espectral é feito em termos de parâmetros estatísticos, tais

como fatores de forma espectral, altura significativa de onda e período de pico. Na

estatística de curto prazo, estes parâmetros são supostos constantes, cada conjunto deles

caracterizando um “estado de mar”. A escolha do espectro de mar e de seus parâmetros

característicos é função do fenômeno a ser estudado e dos levantamentos em medições

realizadas na posição geográfica a que se queira referir.

O espectro mais comum de um único parâmetro é o modelo de Pierson-

Moskowitz (1964) [5], baseado na altura significativa de onda ou velocidade de vento.

Dos espectros de dois parâmetros, os mais comumente usados são Bretschneider (1969),

Scott (1965), ISSC (1964) e ITTC (1966). O espectro de Jonswap (Hasselman, 1973 a

1976) é de cinco parâmetros, mas usualmente três destes parâmetros são mantidos

constantes. Uma descrição detalhada de cada um destes espectros pode ser encontrada

em Chakrabarti [2]. Dentre os espectros mais utilizados, pode-se destacar o de Pierson-

Moskowitz de dois parâmetros e o de Jonswap.

Para o cálculo dos valores que caracterizam o comportamento das partículas do

fluido em um dado ponto no espaço e um instante no tempo (tais como velocidades,

acelerações e pressões), primeiramente efetua-se um procedimento de discretização do

Page 51: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

47

espectro em termos de um somatório de um número arbitrado de componentes de onda

regular. Neste procedimento, determinam-se os valores que caracterizam cada

componente: períodos (ou freqüências), amplitudes e fases aleatórias. Para cada

componente, aplicam-se as expressões de Airy, obtendo-se, por exemplo, as velocidades

e acelerações em um dado ponto pelas expressões (2.24) a (2.27). Finalmente, os

valores desejados para o estado de mar irregular podem ser determinados pelo

somatório dos valores calculados para cada componente de onda regular.

Existem diferentes procedimentos para efetuar a discretização do espectro e

determinar os períodos, amplitudes e fases de cada componente de onda regular. Em

geral, as fases são geradas aleatoriamente a partir de uma distribuição uniforme de

probabilidade no intervalo (0, 2π) radianos; as amplitudes de cada componente de onda

são determinadas a partir da parcela de energia a ela associada no espectro.

Em geral, a forma dos espectros das ondas varia consideravelmente com

quantidade de movimento dos ventos na superfície dos corpos d`água. Para o

desenvolvimento deste complexo mecanismo três características dos ventos podem ser

apontadas como principais fatores: a velocidade, a duração e a área sobre a qual este

vento sopra, que é conhecida como pista.

2.3.2 Formulação do Modelo Espectral

Generalizando a expressão das elevações de onda por uma Série de Fourier

contendo N componentes múltiplos da freqüência fundamental w, temos:

( ) ( )∑=

+=N

nnn nwtbnwtat

1sencosη (2.61)

onde os coeficientes da série são dados por:

( )∫=sT

sn dtnwtt

Ta

0

cos2 η (2.62)

( )∫=sT

sn dtnwtt

Tb

0

sen2 η (2.63)

Esta forma de representar um estado de mar por an e bn com N finito pode ser

usado para representar uma onda harmônica particular, mas não um estado de mar

aleatório. Um estado de mar aleatório de curta duração deve ser caracterizado por

propriedades estatísticas definidas; a melhor representação consiste em um espectro de

Page 52: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

48

densidade de energia. Assim, a energia total E do estado de mar (por unidade de área) é

dada pela integral:

( )[ ] dttgE2

21

∫∞

∞−

= ηρ (2.64)

Procede-se agora à generalizando a expressão de η(t) em (2.9), agora com

freqüências não mais representadas por componentes da Série de Fourier, mas sim

variando continuamente; desta forma os coeficientes an e bn são substituídos por funções

a(w) e b(w), resultando na seguinte expressão:

( ) [ ]dwwtwbwtwat ∫∞

∞−

+= sen)(cos)(1π

η (2.65)

onde:

( ) dtwttwa ∫∞

∞−

= cos)(η (2.66)

( ) dtwttwb ∫∞

∞−

= sen)(η (2.67)

Das equações (2.64) e (2.65), a energia pode ser escrita como:

( ) [ ] dtdwwtwbwtwatgE ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫∫

∞−

∞−

sen)(cos)(21 ηρπ

(2.68)

Trocando as integrais e desenvolvendo, pode-se chegar às seguintes expressões:

( ) ( ) dwdtwttwbdtwttwagE ∫ ∫ ∫∞

∞−

∞−

∞−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= sen)(cos)(

21 ηηρπ

(2.69)

ou

[ ] dwwbwagE ∫∞

∞−

+= )()(21 22ρπ

(2.70)

ou ainda

dwwAgE ∫∞

∞−

= )(21 2ρπ

(2.71)

Assim, das equações (2.64) e (2.71) é possível obter a igualdade do Teorema de

Parseval, o qual dá origem ao conceito de espectro de energia de onda.

Page 53: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

49

( )[ ] ( )[ ] dwwAdtt22

1∫∫∞

∞−

∞−

η (2.72)

Se [ ]2)(tη é o valor médio quadrático (variância) de η(t) durante um

comprimento específico Ts, então:

( )[ ] ( )[ ] dttT

tsT

s

2

0

2 1∫= ηη (2.73)

que pode ser escrito como a energia média por unidade de área:

[ ] dwTwAgEs

∫∞

∞−

=2)(

21 ρπ

(2.74)

Definindo a densidade de energia espectral como:

[ ]sT

wAwSπ

2)()( = (2.75)

A energia total é obtida da área coberta pela curva de densidade de energia como

função da freqüência.

dwwSgE ∫∞

∞−

= )(21 ρπ

(2.76)

2.3.3 Espectro de Pierson-Moskowitz

O modelo espectral de Pierson-Moskowitz (P-M) que descreve um estado de mar

irregular é determinado por um parâmetro, a saber, a velocidade de vento (Uw).

Este espectro é escrito como:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−

452 74.0exp)(

gwUwgwS wα (2.77)

onde α = 0.0081. Alternativamente, pode-se escrever esta expressão em termos de

frequência de pico do espectro (wp)

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

452 25.1exp)(

PwwwgwS α (2.78)

A variança da elevação da onda ( 2σ ) ou o momento de ordem zero (m0) do

espectro é definido pela área da curva do espectro,

Page 54: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

50

∫∞

==0

02 )( dwwSmσ (2.79)

Se subistituirmos x = 1.25(w/wp)-4 na equação (2.78), teremos

45

5 pwdxdww −=− (2.80)

Então a equação (2.79) torna-se

4

2

02

5 pwgm ασ == (2.81)

Isolando α, temos

2

425g

wpσα = (2.82)

Substituindo este valor na equação (2.78), obtemos

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

− 4

4

52 25.1exp5)(

Pp ww

wwwS σ (2.83)

O desvio padrão da elevação da onda, σ , pode ser relacionado a frequência de

pico como

52

ασpw

g= (2.84)

A altura de onda significativa Hs, pode ser escrita como

σ4=sH (2.85)

e a frequência de pico relativa a altura de onda significativa pode ser obtida por

sp H

gw 161.02 = (2.86)

Uma forma equivalente para o espectro de P-M em termos de ciclos de frequência

(hertz - Hz), f (= w/2π) pode ser escrita como

( ) ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

45

4

2

25.1exp2

)(PfffgfS

πα

(2.87)

onde π2pp wf = .

Page 55: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

51

O momento de segunda ordem da densidade espectral de energia é definido

como

∫∞

=0

22 )( dffSfm (2.88)

Integrando esta equação, obtemos

( ) 24

2

2 225.141

pfgm

παπ

= (2.89)

A frequência de cruzamento zero, wz é definida como

0

22mmwz π= (2.90)

Logo, a frequência de pico relacionada a wz pode ser obtida por

zp ww 71.0= (2.91)

2.3.4 Espectro de Jonswap

O espectro de Jonswap resultou originalmente de um projeto conjunto executado

no Mar do Norte, de onde deriva seu nome (JOint North Sea WAve Project). A

expressão para o espectro de Jonswap pode ser escrita da seguinte forma [2]:

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −−

⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

22

2

2exp4

54

2

25.1exp2

)( p

p

w

ww

pww

wgwS τγπ

α (2.92)

Esta expressão fornece, a partir de um valor de freqüência w (em Hz), a densidade

de energia correspondente S(w). Os parâmetros variáveis do espectro são a freqüência

de pico wp (em Hz), e os parâmetros de forma α e γ (este último conhecido como o

“parâmetro de pico”). Estas quantidades são dadas por:

γ = 3.3 em média (variando de 1 a 7)

α = 0.076 (X0)-0.22; α = 0.0081 quando o comprimento da pista (X) for

desconhecido. X0 é comprimento adimensional da pista.

( ) 33.002 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= X

Ugw

wp π ; normalmente relacionado a γ.

Page 56: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

52

20wU

gXX = ; normalmente não é usado.

O parâmetro de forma τ é fixo, sendo determinado em função da relação entre a

freqüência w e a freqüência de pico wp:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>=

≤==

pb

pa

wwpara

wwpara

,09.0

,07.0

τ

ττ (2.93)

Em geral, nos projetos, a altura significativa de onda (Hs) e período de cruzamento

zero (Tz), são especificados. Para o espectro de Jonswap, a altura significativa de onda e

o período de pico (Tp) são dados por duas equações polinomiais:

22 )00065.00158.011661.0( ps TH γγ −+= (2.94)

zp TT )00079.00142.0102.049.1( 32 γγγ −+−= (2.95)

Para o caso particular de γ = 1, as equação (2.94) e (2.95) ficam:

21317.0 ps TH = (2.96)

zp TT 4014.1= (2.97)

Segundo [2], o espectro de Jonswap em termos de Hs e wp pode ser escrito por:

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −−

⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

22

2

2exp4

4

52* 25.1exp)( p

p

w

ww

pps w

wwwHwS τγα (2.98)

onde

1*

)9.1(185.00336.0230.00624.0

−+−+=

γγα (2.99)

O espectro de Pierson-Moskowitz é especialmente indicado para mares

completamente desenvolvidos e águas profundas. Ele tem sido utilizado com freqüência

para descrever condições da costa brasileira. O espectro de Pierson-Moskowitz e o de

Jonswap se equivalem quando γ = 1.

A Figura 24 faz uma comparação entre o espectro de P-M e Jonswap

considerando Hs = 8.838m, Tz = 10s e γ = 2.

Page 57: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

53

0 0.4 0.8 1.2 1.6 20

5

10

15

20

25

30

Espectro de Pierson-MoskowitzEspectro de Jonswap

Freqüência (rad/s)

Den

sida

de d

e En

ergi

a - S

(w)

Figura 24 - Espectro de Mar.

A Petrobras propôs empregar uma expressão do espectro de Jonswap ajustada

para as condições de onda da Bacia de Campos [6], estabelecendo as seguintes relações

para determinar os parâmetros de forma α e γ a partir de Hs e Tp :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

s

p

H

T01966.00394.1expγ (2. 100)

( )[ ]γα ln287.010609.5 4

2

∗−=p

s

TH

(2.101)

Page 58: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

54

2.4 Forças Geradas pela Movimentação do Fluido induzida pelas

Ondas

Em um item anterior, foi apresentada a formulação e um procedimento de solução

do modelo matemático que representa o comportamento de ondas no mar. Com isso é

possível determinar as características da movimentação do fluido sob a ação de ondas

(incluindo campos de velocidades, acelerações e pressões), mas sem considerar a

presença de um corpo flutuante ou submerso.

A presente seção irá tratar dos procedimentos para o cálculo das forças no casco e

nas linhas de ancoragem e risers exercidas pelo fluido. Esta é uma das principais tarefas

no projeto de sistemas offshore: trata-se de uma tarefa complexa, pois envolve diversas

incertezas, que se somam às envolvidas na formulação do modelo de ondas, e na

natureza randômica de um estado de mar real, como descrito na seção anterior.

Atualmente, existem formulações que, tendo sido verificadas e calibradas por

ensaios experimentais e monitoração no mar, se mostram adequadas para representar

com precisão as forças devidas à movimentação do fluido sobre sistemas offshore.

Segundo Chakrabarti [2], estas formulações podem ser agrupadas em três classes

principais, de acordo com sua adequação aos diferentes tipos de sistemas offshore:

Formulação de Morison;

Formulação de Froude-Krylov;

Modelo de Difração / Radiação.

A seguir apresenta-se uma descrição resumida das principais características de

cada uma destas formulações.

2.4.1 Formulação de Morison

A formulação de Morison [7] é bastante difundida em aplicações práticas para o

cálculo das forças de fluidos em corpos esbeltos, com dimensão transversal

característica D pequena em comparação com o comprimento de onda L. Um critério

usualmente empregado para definir um “corpo esbelto” consiste em verificar se a

seguinte relação é atendida:

Page 59: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

55

DL < 5 (2. 102)

Nestes casos, a formulação de Morison assume que as forças podem ser

computadas através de uma aproximação na qual os parâmetros importantes do fluxo na

superfície do corpo, tais como pressão, velocidade e aceleração, podem ser aproximados

pelo valor correspondente calculado no eixo da seção transversal do corpo esbelto.

A formulação de Morison considera que a força de onda é composta pela soma de

duas parcelas:

Uma parcela de arraste associada a efeitos viscosos, proporcional às

velocidades do fluido e do corpo;

Uma parcela de inércia, proporcional às acelerações do fluido e do corpo.

A equação de Morison pode ser expressa da seguinte forma:

F = 12 ρw D Cd ⎪u

. − x

.⎪(u

. − x

.) + ρw

π D2

4 Cm u..

− ρw π D2

4 Ca x.. (2.103)

Nesta expressão, ρw é a massa específica do fluido; D é uma dimensão transversal

característica do corpo (usualmente o diâmetro de um membro cilíndrico); e u., x

., u

.. e x

..

são respectivamente as velocidades e acelerações do fluido e do corpo. O primeiro

termo do lado direito desta equação (proporcional às velocidades) corresponde, portanto

à parcela de arraste; o segundo e terceiro termos (proporcionais às acelerações)

correspondem à parcela de inércia. Geralmente considera-se que a formulação de

Morison é mais aplicável quando a força de arraste é significativa, e os efeitos viscosos

preponderam sobre os inerciais; este é usualmente o caso em corpos esbeltos [2].

A formulação de Morison é considerada semi-empírica, já que as parcelas de

arraste e inércia são afetadas por coeficientes adimensionais Cd, Cm e Ca, que devem ser

calibrados a partir da observação de resultados experimentais. Por exemplo, na análise

de linhas de ancoragem e risers usualmente empregam-se valores de Cd variando entre

0,7 e 1,2, e valores de Cm em torno de 2,0 . O terceiro termo, afetado pelo coeficiente Ca

(usualmente definido como Cm – 1) é proporcional às acelerações do corpo e está

associado a efeitos de “massa adicional”.

A equação de Morison tem apresentado bons resultados em aplicações práticas

tais como membros de plataformas fixas reticuladas (as jaquetas), e linhas de

Page 60: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

56

ancoragem e risers modelados por elementos finitos. Nestas aplicações, no entanto,

deve-se ter em mente os seguintes aspectos:

A Fórmula de Morison considera que a resposta do riser está alinhada com a

direção do fluxo incidente. Portanto, omite forças de lift (sustentação) e forças de

arrasto devidas à vibrações induzidas por vórtices (VIV), que podem ser

importantes em muitas situações.

Não incorpora o efeito da esteira de interferência entre risers muito próximos (o

que pode influenciar a parcela de arrasto). Um riser na esteira de outro pode

receber menos carga, o que pode levar à colisão (clashing) entre os risers. Este

efeito poderia ser modelado empiricamente, variando os valores do coeficiente Cd.

Como será comentado mais adiante, esta equação também pode ser empregada em

plataformas flutuantes compostas por membros reticulados, tais como as plataformas

semi-submersíveis, TLPs ou SPAR-buoys. Nestes casos, membros muito próximos

podem “confinar” uma porção da massa de fluido, que pode agir como parte da

estrutura, levando ao aumento da força de massa adicional. Assim, a utilização pura e

simples da equação de Morison equivaleria a assumir que os membros, além de

relativamente esbeltos, são razoavelmente espaçados entre si, de modo que o

espaçamento médio entre dois membros é grande quando comparado com as dimensões

transversais da seção. A força que o fluido exerce em cada membro não seria então

afetada pela presença de outros membros, e a força total pode ser obtida somando-se as

forças calculadas individualmente para cada membro. O efeito de “confinamento” do

fluido poderia ser modelado empiricamente, aumentando o valor do coeficiente Ca

(proporcional à aceleração do corpo), mas sem alterar o valor do coeficiente Cm que

afeta apenas a força de inércia proporcional à aceleração do fluido.

Page 61: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

57

2.4.2 Formulação de Froude-Krylov

Na formulação de Froude-Krylov, a força atuante no corpo é proveniente da

pressão gerada pela passagem da onda incidente sobre a superfície do corpo, também

considerando que a presença do corpo não afeta o fluxo. A partir de uma dada expressão

para o campo de pressões no fluido gerado pela onda, podem ser obtidas as

componentes de força resultante atuando em um corpo, em cada uma das direções de

um sistema de eixos ortogonais. Para isto basta efetuar a integração da correspondente

componente da pressão p, sobre a parte submersa do corpo, como indicado a seguir:

Fx = CH ⌡⌠s

p nx dS (2. 104)

Fy = CV ⌡⌠s

p ny dS (2. 105)

Estas expressões fornecem respectivamente as componentes horizontal e vertical

da força resultante no corpo. nx e ny são as componentes horizontal e vertical do vetor

normal à superfície do corpo. CH e CV são coeficientes de força horizontal e vertical,

também determinados empiricamente, como será comentado a seguir (mas não devem

ser confundidos com os coeficientes de inércia e de arraste da fórmula de Morison).

No cálculo da força de Froude-Krylov para um membro cilíndrico da plataforma,

a integral que expressa a força resultante é dada por:

fFK = ⌡⌠S

p n ds (2. 106)

onde S é a superfície que envolve o volume imerso do corpo; n é um vetor unitário

normal à superfície, e p é um vetor contendo componentes da pressão do fluido dada

pela expressão (2.34).

Pode-se aplicar o Teorema de Gauss para transformar esta integral sobre a

superfície submersa do corpo em uma integral do gradiente de pressão ∇p sobre o

volume imerso:

fFK = ⌡⌠S

p n ds = ⌡⌠

V

∇p dv (2. 107)

Para membros reticulados de plataformas flutuantes, a integração no volume V

pode ser substituída pela multiplicação da área da seção transversal A pela integral ao

Page 62: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

58

longo do comprimento do eixo do membro. Além disso, considerando que as dimensões

da seção transversal são pequenas comparadas com o comprimento de onda, os valores

do gradiente de pressão na seção transversal podem ser tomados como constantes e

iguais aos valores calculados no eixo. Desta forma, a força de Froude-Krylov pode ser

aproximada pela seguinte integral:

fFK = ⌡⎮⌠

0

L

A ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂p

∂x⎪⎪⎪

0, ∂p∂y⎪⎪⎪

0, ∂p∂z⎪⎪⎪

0 dx

_ (2. 108)

A aplicação desta formulação torna-se mais conveniente quando associada a uma

expressão do campo de pressões no fluido p derivada de uma teoria linear de onda,

como as expressões (2.36) e (2.34) da teoria de Airy, que podem então ser empregadas

paras fornecer a pressão em um ponto na superfície de uma estrutura submersa, agindo

normal à superfície daquele ponto. Neste caso, a aplicação deste método é vantajosa já

que, para algumas formas particulares de membros submersos (como cilindros ou

esferas), podem ser obtidas expressões fechadas para as integrais definidas nas equações

(2. 104) e (2. 105) que fornecem as forças atuantes no corpo. Chakrabarti [2] demonstra

que, em muitos casos, as expressões resultantes são semelhantes às obtidas pela parcela

de inércia da fórmula de Morison (embora, como mencionado anteriormente, o

coeficiente que deve ser determinado empiricamente não é o mesmo).

Desta forma, segundo Chakrabarti [2], a formulação de Froude-Krylov é mais

aplicável quando a força de arraste é pequena, e os efeitos de inércia predominam sobre

os viscosos, mas o corpo é ainda relativamente esbelto e, portanto, pode-se assumir que

a sua presença não afeta significativamente o fluxo das partículas fluidas. Como, ainda

segundo Chakrabarti, poucas aplicações práticas atendem a estas hipóteses, em casos

onde os efeitos de difração são significativos, mas pequenos, é possível considerá-los na

forma de um termo de correção nos coeficientes de força. Em casos mais gerais onde os

efeitos de difração são mais importantes, isso não é possível. Além disso, a proximidade

do corpo com o fundo ou a superfície livre pode gerar efeitos não facilmente

quantificáveis nos coeficientes. Nestes casos, deveria então ser aplicada a formulação

completa da teoria da difração.

Page 63: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

59

2.5 Forças de Correnteza

Prosseguindo na descrição da formulação das equações de movimento, esse item

apresenta a formulação para o cálculo das forças de correnteza (atuando tanto no casco

quanto nas linhas de ancoragem e risers).

A correnteza é definida através de um perfil poligonal, em que são fornecidos

valores de velocidade e ângulos de incidência. Este tipo de carregamento geralmente é

aplicado incrementalmente à estrutura e fornecido através de uma função tempo, que

pode ser associada ao carregamento de onda e correnteza.

A correnteza pode ser considerada primordialmente como carregamento estático,

embora existam alguns efeitos dinâmicos associados à correnteza. Pode-se mencionar,

por exemplo, as vibrações induzidas por vórtices (VIV) em elementos esbeltos (como

por exemplo em risers e tendões), e a variação no valor da velocidade da correnteza

medida no tempo, que é usualmente ignorada.

No caso de corpos flutuantes para os quais a fórmula de Morison pode ser

aplicada, tais como membros reticulados de plataformas ou linhas de ancoragem e

risers, as forças de correnteza podem ser consideradas diretamente no cálculo da parcela

de arraste que leva em conta as velocidades relativas fluido-estrutura, simplesmente

efetuando uma soma vetorial das velocidades de correnteza com as velocidades do

fluido devidas à onda e as velocidades da estrutura.

É importante mencionar que, em projetos recentes de plataformas em águas

profundas, tem sido observado que a parcela das forças de correnteza atuando sobre as

linhas pode ser da mesma ordem de grandeza da parcela que atua sobre o casco da

plataforma.

2.5.1 Interação com as Forças de Onda: Interação Física

Usualmente, as cargas totais sobre uma unidade flutuante são consideradas pela

soma vetorial das componentes individuais de onda, vento e corrente, sem considerar

qualquer interação entre eles.

No entanto, um procedimento mais rigoroso deveria incluir a consideração de um

modelo de interação ambiental ou de interação física, particularmente entre as forças de

onda e correnteza. No cálculo das forças de onda pela Teoria Potencial, deve-se

Page 64: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

60

inicialmente lembrar que, para a Teoria Potencial continuar sendo aplicável, a

velocidade de correnteza (constante) deve ser menor que a velocidade da partícula da

onda (periódica), do contrário a hipótese de fluido ideal não é mais válida e uma

separação massiva do fluxo pode ocorrer [8]. Ignorar a interação entre onda e correnteza

equivaleria a ir mais além e assumir que a velocidade da correnteza não é maior do que

a dos termos de segunda ordem da onda (de baixa freqüência ou deriva lenta) e portanto

muito menor do que a dos termos de primeira ordem da onda.

Existem situações onde a velocidade da correnteza é maior do que a velocidade de

deriva lenta, e é comparável com a velocidade de primeira ordem. O problema está na

determinação de um modelo de cálculo apropriado para a avaliação das forças

combinadas, que leve em consideração a onda na presença de correnteza. Por exemplo,

tal modelo deveria considerar que as alturas de onda podem ser modificadas na presença

de correnteza. As forças de primeira e segunda ordem de onda também seriam alteradas,

pois a correnteza afeta a forma como a energia da onda é dispersa pela estrutura.

Algumas teorias vêm sendo desenvolvidas para predizer a forma como as forças

de deriva são afetadas pela correnteza [9]. Para estruturas esbeltas, enfoques simples

como, por exemplo, o baseado no conceito da freqüência de encontro fornecem bons

resultados. A freqüência de encontro ωc pode ser calculada a partir da freqüência da

onda ω e da velocidade da correnteza na superfície vc pela seguinte expressão:

ωc = ω + k vc cos β (2. 109)

onde k é o número de onda, e β é a direção relativa entre onda e correnteza.

2.5.2 Interação com as Forças de Onda: Interação Estatística

Além da interação física, deve ser considerada também uma interação estatística

entre as forças de onda e correnteza. As normas API RP 2SK [10] e DNV/POSMOOR

[11] especificam um período retorno individual para onda, vento e corrente, como por

exemplo:

“Vento médio e estado de mar correspondendo a 100 anos de período de retorno,

combinado com uma correnteza de 10 anos de período de retorno”.

Esta forma de especificar o projeto não fornece uma indicação de período de

retorno do evento combinado. Idealmente, o período de retorno do evento combinado

deveria ser especificado e então avaliadas as magnitudes de vento, onda e correnteza.

Page 65: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

61

2.6 Vento

As forças de vento atuam sobre a área exposta do casco e do convés das

plataformas flutuantes. As condições de vento usadas em projeto devem ser

apropriadamente determinadas a partir de dados coletados, consistentes com os outros

parâmetros ambientais que ocorrem simultaneamente.

Existem duas maneiras de se considerar os efeitos de vento no projeto, que

dependem de parâmetros do sistema e objetivos da análise:

Força de vento estática, constante no tempo;

Força de vento variável no tempo, calculada em função de uma componente

estática, permanente, somada a uma componente variando com o tempo,

calculada a partir de um espectro de vento adequado.

2.6.1 Cálculo das Forças: Parcela Estática

Para o cálculo da parcela estática da força de vento é assumido que a área exposta

à ação do vento na embarcação possa ser caracterizada por um único número, o qual

representa o produto da área exposta ao vento pelo fator de forma.

Considerando-se que o centro de pressão de vento seja conhecido, a força de

vento é considerada atuando neste ponto, pela seguinte equação:

2

2 ventoventovento VAF ρ= (2. 110)

onde:

ρ - densidade do ar;

Avento – produto da área exposta ao vento pelo coeficiente de forma;

Vvento – velocidade média do vento.

Resultados de teste de túnel de vento podem ser usados para estabelecer

coeficientes de força (força/velocidade2) em determinadas direções de incidência do

vento. Assim, basta multiplicar o valor da velocidade de vento ao quadrado pelo

coeficiente de força obtido do ensaio, para que seja determinada a força de vento sobre a

embarcação. Nos ensaios, os coeficientes de força de vento são normalmente

determinados para uma altura de 10 metros acima da lâmina d’água. Assim, para se

Page 66: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

62

obter as forças, as velocidades de vento medidas precisam ser transportadas para esta

mesma altura de 10 metros, de acordo com a fórmula abaixo [10]:

Vw = V10m ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ Z

10

0,13

(2. 111)

2.6.2 Cálculo das Forças: Parcela Dinâmica

De modo similar às ondas, os ventos também geram forças variáveis no tempo.

Embora métodos para determinar a parcela de força de vento variável no tempo

(também referida como força de vento de baixa freqüência [9]) tenham sido

extensivamente estudados, há ainda um substancial grau de incerteza nesta estimativa,

particularmente na definição de um espectro de energia a partir de dados medidos de

vento. Na falta de dados mais precisos, a parcela variável no tempo pode ser obtida a

partir da simulação do espectro proposto pela API RP 2A [12], que é apresentado a

seguir:

( ) ( )3

5

2

5.11⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+

=

pp f

ff

zfS σ (2. 112)

σ(z) = V(1hr,z)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

>⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

≤⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

× −

ss

ss

zzparazz

zzparazz

275.0

125.0

15.0

15.0 (2. 113)

( ) ( )125.0

,1,1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

RR z

zzhrVzhrV (2.114)

( ) 10.0,1

01.0 ≤⋅

≤zhrV

zf p (2.115)

onde:

S(f) – Densidade de energia espectral, na elevação z;

f – Freqüência em Hz;

fp – Freqüência de pico característica do espectro;

σ(z) – Desvio-padrão da velocidade de vento;

V(1hr,z) – Velocidade média de vento em 1 hora, medida na elevação z;

zs – 20m (espessura da “camada superficial”);

Page 67: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

63

zr – 10 m (altura da referência).

A Figura 25 ilustra o espectro de vento da API para uma velocidade média horária

de 35 m/s e ( ) 05.0,1

=⋅

zhrVzf p .

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

450.0

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80

f (H z )

S(f)

Figura 25 - Espectro de Vento da API.

A simulação do espectro de vento consiste em determinar uma série de

componentes discretas, senoidais e unidirecionais, as quais são superpostas para se obter

a velocidade instantânea do vento. Estas componentes são geradas em intervalos de

igual energia do espectro, com fases distribuídas randomicamente no intervalo [0,2π], as

quais são superpostas para se obter a velocidade instantânea do vento. Para cada

componente, a seguinte expressão determina a velocidade instantânea do vento no

instante de tempo t:

∑=

−+=N

nnnnrhrw tazVtV

11 )cos()()( θω (2.116)

onde an é a amplitude de cada componente em que o espectro é discretizado, ωn é a

freqüência correspondente, e θn representa a fase da componente, gerada aleatoriamente.

Page 68: Hidrodinamica Gilberto Alex REV1

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33.. RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS

[1] Sphaier, S.H., Ondas de Gravidade. Vol. I e II, COPPE/UFRJ, Programa de Engenharia Oceânica, Rio de Janeiro, 2003.

[2] Chakrabarti, S.K., Hydrodynamics of Offshore Structures. Computational Mechanics Publications / Springer-Verlag, 1987.

[3] Newman, J.N., Marine Hydrodynamics, MIT Press, Cambridge, 1977.

[4] Wheeler, J.D., Method for Calculating Forces Procedure by Irregular Waves, OTC 1006, Offshore Technology Conference, Houston, 1969.

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[6] Especificação Técnica, Metocean Data. I-ET-3000.00-1000-941-PPC-001, Petrobras/Cenpes/PDP, 1999.

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[8] Molin, B., Second-Order Hydrodynamics applied to Moored Structures. 19th WEGEMT School, Nantes, 1993.

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[10] API RP 2SK, Recommended Practice for Design and Analysis of Stationkeeping Systems for Floating Structures. American Petroleum Institute, 2a edição, 1997.

[11] DNV/POSMOOR, Rules for Classification of Mobile Offshore Units, Part 6 chapter 2: Position Mooring (POSMOOR). Det Norske Veritas, 1989.

[12] API RP 2A, Recommended Practice for Planning, Designing and Constructing Fixed Offshore Platforms. Working Stress Design, RP 2A, Twentieth Edition, American Petroleum Institute, July 1, 1993.

[13] LIMA, A.L., "Avaliação de Metodologias de Análise de Unidades Estacionárias de Produção de Petróleo Offshore", Dissertação de M.Sc., COPPE/UFRJ, Programa de Engenharia Civil, Junho de 2006.