Lgica Paraconsistente Anotada Evidencial Et

Lgica Paraconsistente Anotada Evidencial E

Jair Minoro Abe(Organizador , Autor captulo 2 e Co- autor do capitulo 2, 3 e 4)

Joo Incio da Silva Filho(Co-autor- Captulos 2, 3 e 4)Uanderson Celestino(Co-autor- Captulos 3 e 4)Hlio Corra de Arajo(Co-autor- Captulos 3 e 4)

So Paulo - 2010Se ouo, esqueo;Se vejo, gravo;Se fao, compreendo. (Confcio)

s minhas queridas sobrinhas;Liwa e Naomy;Jair M. Abe

Aos meus pais;Herondino Alves de Arajo e Hilda Corra de Arajo;Hlio C. de Arajo

Prefcio

As presentes notas objetivam introduzir o leitor Lgica Paraconsistente Anotada Evidencial E, caso particular das lgicas anotadas, pertencentes ao rol das lgicas paraconsistentes e paracompletas, e que ultimamente vem apresentando interessantes aplicaes nos mais diversos setores do conhecimento humano.

Hodiernamente a lgica paraconsistente tornou-se tema de discusso comum, em Sistemas de Informao, Informtica, Engenharia, Psicanlise, Biomedicina, Cincia da Computao, Fsica, Matemtica, etc., situao impensvel h dcadas atrs. Alis, quando o primeiro autor foi estudante na poca da graduao, era comum ouvir-se nos corredores escuros dos efmeros sbios, frases ou chaves do tipo, os sistemas paraconsistentes podem ser at interessantes, mas no h valor intrnseco algum, pois no h aplicaes relevantes...

A apresentao possui carter elementar, destinando-se aos estudantes dos diversos cursos de graduao e de ps-graduao, e, tambm, ao leitor interessado. Para aliviar a parte terica inserimos uma aplicao ilustrativa (dentre muitas) onde os segundo e terceiro autores tiveram participao especial. Assim os autores tiveram a seguinte participao: Jair Minoro Abe (Organizador, autor captulo 2 e Co- autor do capitulo 2, 3 e 4), Joo Incio da Silva Filho (Co-autor - Captulos 2, 3 e 4), Uanderson Celestino (Co-autor - Captulos 3 e 4), Hlio Corra de Arajo (Co-autor - Captulos 3 e 4).

Motivou-nos a escrever esta monografia, primeiro, pela inexistncia de um texto introdutrio e sistemtico sobre o assunto; segundo, em decorrncia disso, amigos e estudantes insistiram que o fizesse para servir de referncia imediata para seus estudos. Sem esses estmulos, este texto estaria fatalmente sepultado para todo o sempre no imprio das possibilidades. Tambm, gostaramos de ressaltar que o presente tomo trata-se to somente de uma primeira verso que pretendemos aprimor-lo no futuro. Para tanto, esperamos sugestes e crticas construtivas por parte dos leitores.

Agradecimentos especiais Vice-Reitoria de Ps-Graduao e Pesquisa da UNIP - Universidade Paulista pelo apoio na publicao deste tomo.

Os autores desejam dedicar este trabalho, ainda que singelo, ao Prof. Newton Costa, um cientista brasileiro que lutou incansavelmente no estabelecimento do tema, tendo sido mesmo introdutor dos primeiros sistemas importantes na literatura, as lgicas Cn de Da Costa.

Jair Minoro AbeJoo Incio da Silva FilhoUanderson CelestinoHlio Corra de Arajo

Sumrio

Captulo 1 - Prembulo Lgica Paraconsistente1.1 Introduo1.2 aspectos da cincia lgica1.3 Lgica clssica e lgicas no-clssicas1.4 A Lgica Dedutiva1.5 A Lgica Indutiva1.6 A Cincia Pura e a Cincia Emprica1.7 A Questo da Impreciso1.8 A Questo da Inconsistncia1.9 A Questo da Oniscincia Lgica1.10 Aspectos Histricos da Lgica Paraconsistente1.11 Teorias Inconsistentes e Teorias Triviais1.12 Motivaes para o Estudo da Lgica Paraconsistente1.13 Conceituao de Lgica Paraconsistente, Paracompleta e No-altica1.14 A Importncia dos Sistemas Paraconsistentes Hodiernamente em Inteligncia Artificial, Automao e Robtica

Captulo 2 Lgica Paraconsistente Anotada Evidencial E2.1 Escro Histrico2.2 A Questo da Linguagem2.3 A Lgica Paraconsistente Anotada Evidencial E2.4 O Conectivo da Negao2.5 O Conectivo da Conjuno, Disjuno e implicao2.6 O Reticulado 2.7 Graus de Certeza e de Incerteza2.8 Estados de Deciso: Extremos e No-extremos2.9 Operaes no Reticulado 2.9.1 Operao NOT 2.9.2 Operao de Maximizao 2.9.3 Operao de Minimizao 2.10 Semntica 2.11 Sistema Axiomtico 2.12 A Lgica Proposicional E 2.13 A Linguagem da Lgica Primeira Ordem Paraconsistente Anotada E 2.14 Alguns Metateoremas

Captulo 3 Aplicaes3.1 Introduo3.2 O controlador Lgico Paracontrol3.3 Dispositivos para auxlio na locomoo de cegos3.4 O Dispositivo Eletrnico Keller3.5 Testes Realizados

Captulo 4 Novos horizontes para aplicaes da Lgica E

Referncias Bibliogrficas

Captulo 1

Prembulo Lgica Paraconsistente

Jair Minoro Abe

1.1 Introduo

No leia-a somente!Faa suas prprias perguntas!Encontre seus prprios exemplos!Descubra suas prprias demonstraes!So as hipteses realmente necessrias?A recproca da afirmao verdadeira?O que acontecer no caso especial clssico?O que acontece nos casos degenerados?Em que situaes as hipteses foram utilizadas?

Adaptado de Paul Richard Halmos (3/3/1916-2/10/2006)

A Lgica Paraconsistente, desde seus primeiros sistemas formalizados com os padres de rigor de hoje, que se deu nas dcadas de 40 e de 50 do sculo passado, tem sido recebidos com certo ceticismo principalmente por matemticos, filsofos e cientistas de modo geral, pois apesar de alguns desenvolvimentos tericos, no se conhecia aplicaes de relevo desses sistemas, ainda que alguns autores a especularam possveis enquadramentos na Filosofia, principalmente em certas questes relacionadas Dialtica.

Os primeiros sistemas paraconsistentes importantes foram introduzidos por Da Costa, os sistemas Cn. Segundo algumas literaturas, tais sistemas foram concebidos por volta de 1954 e os primeiros trabalhos apareceram na revista francesa, C.R. Acad. Sc. Paris a partir de 1963. No mesmo ano, Da Costa apresentaria a monografia Sistemas Formais Inconsistentes, Tese de Professor Catedrtico de Anlise Matemtica e Anlise Superior, Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras da Universidade Federal do Paran [Da Costa 93]. Convm ressaltar que os sistemas Cn foram desenvolvidos no aspecto puramente sinttico, ou seja, careciam de semntica.

Alguns anos mais tarde, por volta de 1965, surgiu naturalmente a questo da algebrizao das lgicas Cn, ou seja, que tipo de lgebras subjaziam tais sistemas. Assim, nasceu o conceito de lgebras de Curry que algebrizavam os sistemas Cn, com algumas propriedades peculiares [Barros, Da Costa & Abe ].

Por volta do ano de 1976 apareceram propostas sobre uma semntica para os clculos Cn, denominada de teoria das valoraes. Com respeito ltima, os clculos Cn se mostraram corretos e completos.

No congresso Latino Americano de Lgica realizado em Santiago, Chile, o filsofo peruano Francisco Miro Quesada props o termo paraconsistente para os sistemas em questo. O termo paraconsistente significa literalmente ao lado da consistncia. Desse modo, o termo lgica paraconsistente teve divulgao imediata no meio cientfico e foi um evento importantssimo para a propagao do tema.

Paulatinamente, foram aparecendo outros sistemas paraconsistentes e houve a descoberta de uma lgica dual lgica paraconsistente: a lgica paracompleta. Uma lgica se diz paracompleta se puder servir de lgica subjacente teorias em que h proposies A e suas negaes A ambas falsas. Verificou-se ento que a noo de inconsistncia independente da paracompleteza, ou seja, h lgicas que so paraconsistentes que no so paracompletas e h lgicas que so paracompletas e que no so paraconsistentes. H tambm lgicas que so paraconsistentes e paracompletas ao mesmo tempo, conhecidas como lgica no-alticas. Um grande esforo foi sendo empregado para elucidar aspectos tcnicos bem como sedimentao do ponto de vista filosfico dos sistemas paraconsistentes. Apenas em 1989, houve uma primeira implementao em linguagem de programao [Subrahmanian 87]. A seguir faremos alguns comentrios gerais antes de expormos a Lgica Paraconsistente Evidencial E.

1.2 aspectos da cincia lgica

Como se sabe, a Lgica teve, ao que tudo indica, razes em Aristteles (embora existam historiadores que afirmem que houveram precursores, por exemplo, Parmnides). A cincia descoberta pelo Estagirita evoluiu de tal modo no sculo passado e neste, atingindo elevado grau de abstrao, faz com que pouco tenha a ver como a cincia das inferncias vlidas. Hoje, ela pode ser vista sob dois pontos de vista que parecem, em um primeiro olhar, serem antagnicos: como disciplina que fundamenta a matemtica e como fazendo parte da prpria matemtica. A Lgica progrediu extraordinariamente desde os primrdios da civilizao ocidental. Sua histria pode ser dividida em trs perodos: perodo Aristotlico, perodo Booleano e perodo Contemporneo.

Perodo Aristotlico: vai desde a primeira sistematizao conhecida da lgica por Aristteles, no sculo IV a.C. at princpios do sculo XIX. Este perodo foi notvel pela sistematizao de diversos setores, resultado da indagao no apenas da escola peripattica, como tambm dos megricos e esticos, alm da contribuio da Idade Mdia, que a anlise histrica tem mostrado ser de grande interesse. At o incio do sculo XIX, as conquistas no campo da lgica no foram significativas. Avanos profundos somente se iniciaram no perodo seguinte.

Perodo Booleano: por influncia de Boole, Morgan, Jevons e outros autores, houve uma evoluo significativa da lgica, especialmente no tocante ao que pode-se chamar de lgica de tendncia algbrica (idias algbricas foram empregadas no domnio da lgica). Paralelamente, Frege edificou um sistema lgico notvel, que deu origem a vrias caractersticas da lgica moderna, como a forma atual da teoria da quantificao, descoberta independentemente por Peirce. A lgica, na diretriz de Frege, afasta-se do tratamento algbrico. O mtodo de Frege pode ser denominado de lingstica ou proposicional. Normalmente, cr-se que esse ltimo superior ao algbrico, mas ultimamente se chegou concluso de que isso uma inverdade, fundada em erros histricos (por exemplo, a influncia de Bertrand Russell, que no apreciava o mtodo algbrico). Normalmente, tudo que se pode fazer pela via proposicional tambm se pode realizar algebricamente (e, do ponto de vista do matemtico, essa ltima mais fecunda e conveniente do que a primeira).

Perodo Contemporneo: ele cobre todo o sculo XX e pode ser dividido em dois subperodos: de 1900 a 1930 e de 1930 atualidade. A parte anterior a 1930 tem como ponto culminante a obra de A. N. Whitehead e B. Russell intitulada Principia Mathematica", em trs volumes publicados respectivamente em 1910, 1912 e 1913. Esse livro engloba trabalhos de lgicos como Peano e Frege, bem como os estudos de Cantor sobre a teoria dos conjuntos. Muitos lgicos, matemticos e filsofos contriburam para transformar a lgica numa cincia nova: Carnap, Wiener, Herbrand e, sobretudo, a escola de Hilbert.

Ainda nessa primeira parte do perodo contemporneo, Lewis codificou a lgica modal moderna e o matemtico holands Brouwer construiu, com seus discpulos, em particular Heyting, uma lgica heterodoxa, alternativa clssica. Muito importante foi tambm a contribuio da escola polonesa, que concorreu para tornar a lgica uma das mais importantes cincias do nosso tempo: o lgico polons ukasiewicz formulou os primeiros sistemas lgicos polivalentes, independentemente do que se havia obtido na Idade Mdia.A evoluo da lgica a partir de 1930 foi notvel: Gdel publicou seus teoremas de incompleteza; Turing formulou a teoria geral dos processos computveis; a teoria da recurso foi desenvolvida por Church, Kleene, Rosser e outros. Tarski, Robinson e outros desenvolveram a teoria de modelos; Gdel e Cohen introduziram as tcnicas dos modelos construtivos e dos modelos booleanos, provando-se a independncia do axioma da escolha (e outros) com relao aos outros axiomas da teoria de conjuntos, elaborando-se matemticas no cantorianas, etc. Apareceram numerosas lgicas no-clssicas e a lgica algbrica progrediu muito. Nessa etapa de sua evoluo, a lgica integrou-se como uma das partes relevantes da matemtica.Atualmente, a lgica atingiu alto grau de complexidade tcnica e ampliou seu domnio, tratando de temas como: teoria da recurso, lgica linear, modelos primos, modelos saturados, lgebras cilndricas, computaes diversas da de Turing, semntica categorial, anlise recursiva, anlise qualificativa, lgicas qunticas e outras.

1.3 Lgica clssica e lgicas no-clssicas

Dois so os mtodos principais de tratamento de um sistema lgico: o lingstico e o algbrico. Do prisma lingstico, uma lgica (ou sistema lgico) procura caracterizar certas expresses lingsticas relevantes para o discurso da lgica. Permite derivar certas proposies de outros conjuntos de proposies. Por meio de uma lgica, pode-se efetuar inferncias e construir teorias. Por conseguinte, qualquer lgica L encontra-se vinculada a uma linguagem L.Via de regra, L contm smbolos para operaes de disjuno (), de conjuno (), de implicao () e de negao (). Pode ocorrer que L, por exemplo, possua vrias negaes ou diversas implicaes, porm supe-se sempre que h apenas uma negao fundamental (ainda que outras possam ser definidas em funo dela).Hoje, so concebidas infinitas lgicas possveis, tais como a lgica clssica, a lgica intuicionista de Brouwer-Heyting, a lgica modal clssica, a lgica modal polivalente, a lgica clssica categorial, a lgica difusa, a lgica paraconsistente, etc.Pode-se caracterizar a lgica clssica como sendo o clculo de predicados clssico de primeira ordem, com ou sem igualdade, e alguns de seus sub-sistemas, por exemplo, o clculo proposicional clssico. Ele constitui o que hoje se considera a parte nuclear da lgica clssica, possuindo uma linguagem bem definida e uma semntica (domnios de objetos com certos elementos distinguidos mais operaes e relaes entrelaando tais objetos). Tal ncleo estende-se s teorias de conjuntos e s lgicas de ordem superior (teorias de tipos).Alguns dos princpios bsicos da lgica clssica (ou tradicional) so:1. Princpio da identidade: x = x, ou seja, todo objeto idntico a si mesmo.Assim, este livro idntico a este livro.

2. Princpio do terceiro excludo: p p, ou seja, de duas proposies contraditrias (isto , tais que uma a negao da outra), uma delas verdadeira.Assim, das afirmaes chove e no chove, apenas uma afirmativa verdadeira no existe uma terceira possibilidade.

3. Princpio da contradio (ou da no-contradio): (p p), isto , entre duas proposies contraditrias, uma falsa.Assim, das afirmaes chove e no chove, apenas uma afirmativa falsa. No podemos ter a situao em que as duas afirmaes sejam verdadeiras.

Todavia, alm da lgica clssica, existem as lgicas no-clssicas, que se dividem em complementares da clssica e em heterodoxas ou rivais da clssica.Assim, com o surgimento das lgicas no-clssicas, a cincia lgica pode ser concebida como o estudo dos diversos sistemas lgicos: lgica clssica, lgica Fuzzy, lgica dentica, etc. A seguir faremos uma sinopse de alguns sistemas lgicos cultivados atualmente para que o leitor tenha uma idia, ainda que superficial, do estado atual da Lgica. Naturalmente h muitos modos de espelhar uma classificao; a que apresentamos a seguir, baseia-se na sua estrutura dedutiva.Aqui deduo significa inferncia, raciocnio. Assim, a inferncia como todo homem racional, todo brasileiro homem, Joo brasileiro, Joo racional, podemos esquematizar como: Todo homem racional.Todo brasileiro homem.Joo brasileiro.Logo, Joo racional. No raciocnio acima, as trs primeiras sentenas chamam-se premissas ou hipteses da deduo e a ltima a concluso da deduo. Caracterstica dessa categoria de deduo que se as premissas forem verdadeiras, a concluso necessariamente verdadeira. Entretanto, analisemos o seguinte raciocnio:O sol tem nascido todos os dias.Logo, o sol nascer amanh.Neste raciocnio, apesar de a premissa ser verdadeira, obviamente a concluso no necessariamente verdadeira. Ela altamente provvel, mas no temos a certeza total, ou seja h uma plausibilidade de que a concluso seja verdadeira. Pois bem, na lgica dedutiva todas as regras de inferncia so constitudas por regras de deduo e na lgica indutiva, entre as regras de inferncia so presentes regras de induo. Assim, a cincia Lgica pode ser dividida em Lgica Dedutiva e Lgica Indutiva. Cada uma delas, por sua vez, divide-se em clssica (ou tradicional) e no-clssica.

Lgica

1.4 A Lgica Dedutiva

A Lgica Dedutiva Clssica hoje compreende vrias extenses importantes: Teoria dos Conjuntos, Teoria dos Tipos, Lgicas de Ordem Superior, Teoria das Categorias, Teoria dos Topos, Teoria das Alegorias, etc. Uma das mais importantes teorias, a Teoria dos Conjuntos, descoberta na sua forma hoje dita ingnua, por G. Cantor [Abe & Papavero 91], aps descobertas sumamente importantes ocorridas sobretudo na dcada de sessenta do sculo passado, classificam-se em Teorias Cantorianas (em que valem certos princpios como o Axioma da Escolha, Hiptese do Contnuo, e outros) e Teorias No-cantorianas (no valem certos princpios da outra). As Teorias Cantorianas ganharam relevo aps investigao sobre os fundamentos da Teoria ingnua de Cantor, passando da fase intuitiva para o estgio axiomtico. Aps a reformulao axiomtica, fato surpreendente que apareceram vrias axiomatizaes diferentes (no-equivalentes) da teoria de Cantor: Sistema Zermelo-Fraenkel, Sistema NF e ML de W. Quine, Sistema Von Neumann-Bernays-Gdel, e outras. Dentre os sistemas No-cantorianos podemos citar o sistema devido a Solovay, em que vale uma forma particular do Axioma da Escolha e possui implicaes interessantes em teorias fsicas, etc. guisa de curiosidade, toda matemtica usual que aprendemos nas escolas secundrias e nas universitrias (Aritmtica, Clculo Diferencial e Integral, Geometria Euclidiana, Algoritmos, Estatstica, etc.), se faz na Teoria de Zermelo-Fraenkel, portanto dentro da Lgica Dedutiva Clssica. Abaixo apresentamos um esquema do que comentamos.

ClssicaSem muito rigor, as lgicas no-clssicas compem dois grandes grupos:1) As que complementam o escopo da clssica e2) As que rivalizam a lgica clssicaAs lgicas pertencentes primeira categoria so chamadas de complementares da clssica e, como o prprio nome diz, complementam aspectos que a lgica clssica no capaz de expressa-las. Elas tm por base a lgica clssica e ampliam seu poder de expresso. Compreende, a ttulo de exemplificao, as lgicas epistmicas (lgicas da crena, lgicas do conhecimento, lgicas da dvida, lgicas da justificao, lgicas da preferncia, lgicas da deciso, lgicas da aceitao, lgicas da confirmao, lgicas da opinio, lgicas denticas, etc.), a lgica modal tradicional (sistema T, sistema S4, sistema S5, sistemas multimodais, etc.), lgicas intencionais, lgicas da ao (lgicas do imperativo, lgicas da deciso, etc.), lgicas para aplicaes fsicas (lgica do tempo (lineares, no-lineares, etc.), lgicas cronolgicas, lgicas do espao, lgica de Lsniewski, etc.), lgicas combinatrias (relacionadas com o clculo ), lgicas infinitrias, lgicas condicionais, etc. No segundo grupo encontramos as lgicas dedutivas no-clssicas que rivalizam a clssica (tambm cognominadas heterodoxas): elas restringem ou modificam certos princpios fundamentais da lgica tradicional. Como comentamos no incio, alm da Lgica Fuzzy, inmeros outros sistemas heterodoxos foram cultivados recentemente, grande parte motivados principalmente com os avanos experimentados sobretudo pela Inteligncia Artificial: lgicas intuicionistas (lgica intuicionista sem negao, lgica de Griss, etc. Tais sistemas esto bem estabelecidos: h uma matemtica cultivada e possui interessantes caractersticas filosficas) lgicas no-monotonicas, lgicas lineares, lgicas default, lgicas defesiable, lgicas abdutivas, lgicas multivaloradas (ou lgicas polivalentes: lgica de Lukasiewics, lgica de Post, lgica de Gdel, lgica de Kleene, lgica de Bochvar, etc. Seus estudos esto em fase adiantada: com efeito, h uma matemtica construda nesses sistemas e possuem importncia filosfica, tratando, por exemplo, da questo dos futuros contingentes), teoria dos conjuntos Rough, lgicas paracompletas (que restringem o principio do terceiro excludo), lgicas paraconsistentes (que restringem o principio da no-contradio: sistemas Cn, lgicas anotadas, lgicas do paradoxo, lgicas discursivas, lgicas dialticas, lgicas relevantes, lgicas da ambigidade inerente, lgicas imaginrias, etc.), lgicas no-alticas (lgicas que so simultaneamente paracompletas e paraconsistentes), lgicas no-reflexivas (lgicas que restringem o princpio da identidade), lgicas auto-referentes, lgicas rotuladas, lgicas livres, lgicas qunticas, entre outros.

No-Clssica

1.5 A Lgica Indutiva

Passemos a descrever alguns desenvolvimentos presentes das inferncias indutivas, especialmente do ponto de vista tcnico.Uma das formas mais importantes de inferncia indutiva o mtodo hipottico-dedutivo. Ela consiste, numa primeira aproximao, do seguinte: tem-se que dar conta de uma determinada proposio p (um enunciado experimental, uma lei, uma teoria, etc.) e ento se formula uma hiptese ou teoria H que em face ao sistema de conhecimento presente e de certas condies de contorno, implica q. Assim, H uma hiptese ou teoria da qual podemos deduzir q. Vejamos um exemplo: suponhamos que se queira dar conta do movimento de um planeta, justificando as correspondentes leis de Kepler e certas questes astronmicas referentes ao planeta. Assume-se, ento, a lei de gravitao de Newton (H) e determinadas condies de contorno (posio do planeta, observaes feitas, etc.) e se deduz a lei de Kepler correspondente tal foi, como se sabe muito bem, o procedimento de Newton. Este um exemplo tpico do mtodo hipottico-dedutivo. A racionalidade do mtodo hipottico-dedutivo reside na atitude crtica que deve assumir em face uma teoria: podemos aceita-la, enquanto a crtica e a experincia no evidenciarem que ela falsa; confiamos numa teoria desconfiando. Na prtica, fazemos muitas inferncias que aceitamos como razoveis, embora os argumentos correspondentes no sejam logicamente vlidos. Elas so utilizadas no somente em cincia, mas, tambm, comumente na vida diria. Sem elas, no h cincia e at a espcie humana no teria subsistido. Os principais tipos de inferncias indutivas so os seguintes:1. Induo simples (Induo por simples enumerao).2. A analogia.3. A inferncia estatstica (estimativa de parmetros, teste de hipteses e teoria da deciso)4. Os mtodos de eliminao de (Bacon-Mill).5. Inferncia probabilstica 6. Inferncia direta (da freqncia da ocorrncia de um atributo na populao original freqncia do mesmo atributo numa amostra daquela populao [Carnap 62].7. Inferncia direta (da amostra populao) [Carnap 62].8. Inferncia preditiva (de amostra amostra) [Carnap 62].9. O mtodo hipottico-dedutivo estrito.10. O mtodo hipottico-dedutivo generalizado.11. O silogismo estatstico.12. O argumento da autoridade.13. Inferncia estatstica pragmtica.14. Inferncias da percepo.15. Inferncias baseadas na memria.16. Testemunho.17. Induo por eliminao (combinao de induo simples com as tcnicas de eliminao) [Carnap 62]

Particularmente a probabilidade (subjetiva) desempenha papel sumamente importante. Probabilidade aqui significando grau de crena racional (grau de crena na verdade como correspondncia) que conferimos a certos enunciados, embora existam outros tipos de probabilidades: probabilidade objetiva (frequencial, propensional, etc.) e as lgicas (Keynes, Carnap e outros)

H trs tipos de probabilidade:

Alm da probabilidade subjetiva, existe a probabilidade pragmtica que se apia no no conceito de verdade como correspondncia, mas, como quase-verdade ou pragmtica e correspondentemente h as formas qualitativas, comparativas e mtricas. Por exemplo, a estatstica Bayesiana, empregada no estudo de drogas para cura de determinadas enfermidades, nos conduz a probabilidades relevantes em teraputica.

H casos, porm, em que lgicas heterodoxas so susceptveis de serem concebidas como complementares da clssica. Com efeito, pode-se juntar lgica clssica um operador de implicao causal, diga-se, para tratar de certas questes de fsica; a lgica resultante, portanto, seria uma lgica complementar da clssica.

1.6 A Cincia Pura e a Cincia Emprica

A cincia constitui uma atividade do ser humano, sendo acima de tudo uma atividade racional. Ela pode ser dividida em duas categorias: a cincia pura ou formal e a cincia aplicada ou emprica.

Cincia A cincia pura busca o conhecimento pelo conhecimento. No h aqui a preocupao em aplicaes, por exemplo. J a cincia aplicada difere nos seus objetivos: constituem prioridade as aplicaes. Complementando, a tecnologia se ocupa de tcnicas, mtodos para a execuo de tarefas determinadas, via de regra com apoio das cincias pura e/ou aplicada.A cincia formal constituda por duas disciplinas bsicas: a matemtica e a lgica. Caracterstica destas que de certa forma no dependem de experimentos para validao de seus resultados. O experimento aqui no possui significado. A legitimao consiste na prova ou demonstrao. Por outro lado, a cincia emprica, o experimento a forma mais importante para validao dos resultados. conveniente que seja classificada em cincias do natural e cincias humanas.As cincias do natural estudam pores da realidade que de certa forma independe da ao do homem, como a fsica, biologia, qumica, astronomia, etc. Por outro lado, as cincias humanas esto intrinsecamente relacionadas a fatores culturais humanos: economia, histria, psicologia, etc.O contato com o contorno, com o universo que nos cerca, extraordinariamente complexo e complicado. Somos, em todos os momentos, sem descanso, afetados por meio de radiaes, sons, ondas de calor e de inmeras outras maneiras. Nossos rgos sensoriais recebem, filtram e processam essa quantidade espantosa de efeitos, eliminando os que no nos interessam imediatamente e interpretando, com auxlio das categorias cognitivas, as mensagens do exterior e de nosso prprio interior.A interconexo entre o homem e o universo est em grande parte balizada pela natureza de seus sentidos. Se ele dispusesse de ouvido diferente, poderia ser afetado por sons que lhe so inaudveis; teria, por exemplo, a acuidade auditiva do co. Analogamente, se o seu olfato fosse mais potente, aproximar-se-ia, neste sentido, de outros mamferos em cujas vidas o olfato desempenha papel preponderante.A viso, tambm, poderia ser diversa; assim, imagine-se o que seria de ns se nos fossem acessveis radiaes eletromagnticas situadas fora do espectro visvel. Se possussemos viso de raios-X, sem dvida, o mundo exterior se apresentaria a ns de outra forma: nossas imagens visuais se assemelhariam a chapas de raios-X.O espao-tempo, como o percebemos ou elaboramos, acha-se vinculado nossa capacidade sensorial e articulao dos sistemas nervoso e cerebral. Pequenas mudanas nesses sistemas produziriam, seguramente, enormes alteraes no contedo intuitivo do contorno espao-temporal.Mas o aparelho sensorial no o nico fator de condicionamento do mundo que nos rodeia. Outro constitudo pelo modo como pensamos. As categorias a que recorremos para descrever o universo tambm o condicionam. Atravs de conceitos que criamos, em boa medida motivados pelo prprio mundo, que o conhecemos, o dominamos e fazemos previses que se mostram essenciais para a nossa subsistncia.Por conseguinte, a compreenso do universo depende dele mesmo, mas alm disso de nossa configurao sensorial e das peculiaridades de nosso pensamento. Seres fisiologicamente distintos de ns talvez chegassem a concepes do universo bem afastadas da nossa.A cincia emprica ou experimental no passa de tentativa de transcender, ao menos parcialmente, os limites de nossos sentidos e, at, de nossa maneira de encarar a realidade vinculada vida quotidiana; o objetivo aproximarmo-nos, tanto quanto possvel, do universo tal como . Sua estratgia consiste em se apelar para a quase-verdade e, quando factvel, verdade tout court. Por meio dela, orientamo-nos e acabamos dominando o meio ao qual estamos presos. Ela estende a acuidade e a fora da observao (microscpio, telescpio, fotografia, cmaras de Wilson, etc.) e conduz ao entendimento racional do cosmos (teoria atmica, leis qumicas, gravitao, causalidade, processos estocsticos, quarks, etc.). Em conseqncia, prevemos e somos habilitados a prover.[Da Costa 00].O exerccio da razo pode se dar atravs de sistemas lgicos (distintos ou no; h defensores da primeira e da segunda). Assim, para bem compreendermos a atividade racional torna-se imprescindvel que leitor tenha uma viso da cincia Lgica estabelecida atualmente. Antes de discutirmos sobre Lgica, vejamos algumas questes inerentes s cincias empricas, para servir de caminho para as discusses posteriores.

1.7 A Questo da Impreciso

Comecemos observando a vida do dia-a-dia. Quase todos os conceitos que deparamos no mundo real encerra um grau de impreciso. Por exemplo, questionemos quando um organismo est morto? (isto , no-vivo). Qualquer que seja o critrio (v.g. quantidade de clulas vivas e mortas, aparelhos microscpio, eletrocardigrafo, etc.), facilmente se v que o problema foi apenas transferido. A anlise tal que pode-se restringir apenas a aspectos fsico-qumicos? Deve-se levar em conta suas interaes com as demais clulas, rgos, etc.? A impreciso aqui no intrinsecamente lingstica, nem decorre, em particular, de utilizarmos vocbulos da linguagem natural. Tudo faz crer que a impreciso essencial e no se deixa eliminar mesmo com mtodos cientficos estritos. A vaguidade dos termos e conceitos das cincias reais no possui carter subjetivo, oriunda de causas inerentes ao observador, nem objetiva, no sentido que a realidade de fato imprecisa ou vaga. Tal condio nos imposta pelas nossas relaes com a realidade, de como somos constitudos psicofisiologicamente, para capta-lo e, tambm, pela natureza do universo. Como a lgica clssica tem se mostrado inadequada ou mesmo incapaz de dar conta de certos conceitos ventilados, natural que lancemos mo de lgicas alternativas para o propsito.

1.8 A Questo da Inconsistncia

No mundo real, seres humanos (ou agentes de forma geral) tm conhecimentos inconsistentes de forma sutil. Podem acreditar em e (a negao de ) para alguma proposio . Isto pode ocorrer, por exemplo, quando um agente acredita em e sem perceber que e so logicamente equivalentes. Uma das razes pelo qual pessoas possuem conhecimentos contraditrios que conhecimento tende a depender da estrutura mental do agente. Podemos ver um agente como uma sociedade de mentes, cada um com seu prprio conhecimento. Os membros da sociedade podem perfeitamente ter conhecimentos (talvez melhor crenas) contraditrios. Um mesmo agente pode considerar mundos impossveis como possveis. Quando agentes so pensados como seres humanos novamente, ento seguramente mantemos crenas contraditrias ao longo de nossas vidas. A lgica clssica possui vrias propriedades indesejveis e no intuitivas. Uma delas sua fragilidade: uma proposio falsa implica qualquer frmula; B. Russell ilustrou tal propriedade dizendo que uma proposio falsa implica qualquer afirmao. Em particular, a frmula () logicamente vlida. Se tomarmos e proposies sem nenhuma relao, podemos ter a seguinte situao: poderia ser Pedro foi admitido no emprego em agosto e a proposio o salrio de Pedro R$ 2500,00. Num banco de dados muito grande obtida de muitas fontes pode haver perfeitamente a informao Pedro foi admitido em setembro e se houver uma clusula que a data de admisso de cada pessoa nica, teremos inferido no somente como qualquer outra proposio, o que o torna trivial. Uma base muito grande formada de mltiplas fontes de informao freqentemente contm inconsistncias. Outros detalhes que podem muito bem ocorrer em aplicaes prticas em banco de dados , por exemplo, um indivduo malicioso colocar no banco de dados alguma informao conflitante e corromper, assim, todo o banco de dados. Recentemente, Sistema Multiagente tornou-se uma rea proeminente em Cincia da Computao. Sistema multiagente compe comunidades de entidades que podem compreender e agir em ambientes a fim de alcanarem suas metas individuais bem como metas conjuntas. O trabalho sobre tais sistemas integram muitas tecnologias e conceitos da Inteligncia Artificial, programao lgica e outras reas da computao. Com efeito, h um espectro grande de aplicaes que tm sido e esto sendo desenvolvidos; desde mquinas de busca a ajudas educacionais ao comrcio e negcios eletrnicos.

Conflitos entre agentes surgem naturalmente e por diferentes razes, envolvem conceitos diferentes e negocia-se de modos diferentes, dependendo do tipo de agentes e do domnio onde eles so considerados. Por exemplo, agentes podem ter convices contraditrias (quando agentes so pensados como seres humanos, ento seguramente mantemos crenas conflitantes em nossas vidas), metas contraditrias, ou podem ter que compartilhar recursos limitados. Conflitos podem ser expressos como meras diferenas, ou como contradies (lgicas), ou at mesmo como conflitos sociais (por exemplo, agresso, luta). Eles podem ser evitados, resolvidos, mantidos, ou at mesmo criados deliberadamente. Visto que cada vez mais que se acrescenta problemas ao trabalho de equipe dos agentes e ao dilogo entre os agentes, conflito naturalmente surge como um conceito-chave para ser tratado, no s com aplicao, tcnicas dedicadas, mas, tambm, com ferramentas mais formais e genricas. Torna-se ento questo de suma importncia o foco em definies de conflitos de agentes e no papel dele (conflito) dentro de um sistema multiagente, i.e., como o sistema pode desenvolver-se graas aos conflitos, apesar dos conflitos, ou por causa dos conflitos. Alguns temas que avizinham so ontologia (do conflito), medidas de conflito, escalas de conflito, conflito e incerteza, harmonizar-se com conflitos, tipologia de administrao de conflito, administrao de conflito e melhoramento de conhecimento, administrao de conflito e robustez, administrao de conflito e tempo, conflito e tomada de deciso, sistema de projetos baseado em conflitos e aprendizagem atravs de conflitos.

A seguir, divaguemos um pouco sobre a importncia do conceito de conflito em sistema multiagente. Em um sistema multiagente, mais fcil no estar em conflito que estar em conflito. O primeiro pode significar que os agentes no podem nem mesmo interagir. O segundo supe-se que os agentes esto dentro do mesmo contexto. Em certos aspectos e definio de conflito, um mesmo conflito no parece ser necessariamente simtrico: conflito (a, b) no implica necessariamente em conflito (b, a). Um exemplo pertinente particularmente o caso para conflitos de espao: quando dois robs trafegarem, por exemplo, em um espao bidimensional, a noo de conflito de espao aparece na ocasio quando um rob tentar mover-se ao local do outro rob. Mas o outro no v este conflito. Inconsistncia, paracompleteza e incerteza do conhecimento ou crenas de agentes: em contextos dinmicos, um agente pode ter informao mais recente ou mais completa que os outros, e as diferenas no conhecimento dos agentes podem gerar conhecimentos conflitantes. Recursos limitados ou indisponveis: nem todos os agentes tm acesso aos mesmos recursos, resultando-se assim em conflitos de recurso. Conflitos so teis ? A resposta: depende do problema. Para ser til, o conflito deve ser analisado cuidadosamente. O que aprendemos de um conflito depende da situao. Aprendizado possvel se os agentes estiverem conscientes do conflito. Diferena nas habilidades dos agentes e pontos de vista: agentes autnomos e heterogneos tm habilidades diferentes, ou at mesmo preferncias diferentes que podem causar conflitos se os mosaicos de informaes dos agentes no so comparveis, se eles retornam com respostas diferentes para as mesmas perguntas, ou se eles esto fortemente ligados s suas prprias preferncias.

Conflitos so positivos em certos casos: por exemplo, eles podem criar ambientes especficos, criar competio, ou estimular inferncias. Conflitos parecem variar de um mero envolvimento do conhecimento dos agentes (conflitos epistmicos) at um envolvimento total dos prprios agentes (por exemplo, ao opor determinados comandos). At agora, o enfoque foi muito em como evitar, resolver ou libertar-se de conflitos. Porm, recentes pesquisas mostraram que conflitos tm efeitos positivos na medida em que eles podem gerar solues originais e podem ser uma base para um enriquecimento global do conhecimento dentro de um sistema multiagente, principalmente por dispor-se de ferramental lgico adequados para esse fim. Acrescente-se a este fato, de dispor linguagens computacionais assentadas nessas lgicas.

Pensamos que as seguintes questes merecem ateno de especialistas: Quais os tipos diferentes de conflitos que podem surgir em um sistema de multiagente? Como e por que eles surgem? Como eles podem ser definidos formalmente? necessrio relacionar ambos conceitos como aspectos complementares do ambiente dos agentes e definir um com base no outro (quanto mais conflitos, menos cooperativo o sistema)? Cooperao sinnimo zero-conflito (inexistncia de conflito)? Soluo de conflitos: necessrio tentar evitar conflitos, antecipa-los, ou resolve-los o mais depressa possvel? At que ponto soluo de conflito constitui uma atividade cooperativa? Efeitos positivos ou construtivos de conflitos: quais so os aspectos positivos e como eles podem ser definidos? Todos os conflitos tm efeitos positivos? Como os impactos positivos de conflitos podem ser avaliados? Como conflitos podem ser criados intencionalmente a fim de estimular ou extrair reaes particulares de agentes ?

A lgica, em geral, e a programao lgica, em particular, possui importante papel na conceituao e desenvolvimento dos sistemas multiagentes: por exemplo, podem fazer parte na representao de agentes individuais em: formalizao de seus conhecimentos, crenas e metas; sua percepo do meio ambiente; suas componentes de raciocnio; construo de planos; gerao de reaes apropriadas e em tempo ao meio ambiente e aos outros agentes.

Os sistemas multimodais tm recebido ateno especial sobretudo por servirem de modelamento para diversos conceitos em Inteligncia Artificial, alguns deles ligados questes de Epistemologia, como tratamento de conhecimento e crena em sistemas multiagentes. Combinando-se as lgicas multimodais com a lgica paraconsistente obtemos uma nova classe de lgicas que podem manipular caractersticas de ambas; ento, ela no possui apenas valor prtico, de aplicao tecnolgica, mas, tambm, valor terico, contribuindo para melhor equacionamento dos problemas da lgica, em particular das lgicas no-clssicas, e da razo humana, num contexto mais geral.

1.9 A Questo da Oniscincia Lgica

Uma peculiaridade da estrutura dedutiva da lgica clssica e aparentados que um agente sabe todas as conseqncias lgicas de seu conjunto de conhecimentos, em particular, todas as tautologias. Tal questo conhecida como a questo da oniscincia lgica. Este contexto no em geral natural. Tomemos o exemplo do raciocnio humano. Quando pensarmos agentes como seres humanos, ento seres humanos no so logicamente oniscientes: com efeito, uma pessoa pode saber um conjunto de fatos sem saber todas as conseqncias lgicas desse conjunto de fatos. Por exemplo, uma pessoa pode saber as regras do jogo do xadrez sem saber se as peas brancas possuem uma estratgia para ganhar ou no. Na prtica, a falta da oniscincia lgica pode ter vrias razes. Um exemplo bvio so as limitaes computacionais; por exemplo, um agente simplesmente pode no ter recursos computacionais para computar se as peas brancas possuem uma estratgia para ganhar no jogo do xadrez.1.10 Aspectos Histricos da Lgica Paraconsistente

Os precursores da Lgica Paraconsistente foram o lgico polons J. ukasiewicz e o filsofo russo N.A. Vasilv. Simultaneamente, por volta de 1910, embora de maneira independente, eles ventilaram a possibilidade de uma Lgica Paraconsistente que restringiria, por exemplo, o princpio da contradio, quando formulado da seguinte forma: dadas duas proposies contraditrias, isto , uma das quais a negao da outra, ento uma das proposies falsa. Vasilv chegou mesmo a articular determinada Lgica Paraconsistente, que ele batizou de imaginria, modificando a silogstica aristotlica. Nenhum deles tinha, na poca, uma viso ampla da Lgica Clssica, tal como hoje a encaramos; eles a tratavam mais ou menos do prisma de Aristteles, de conformidade com as tendncias ento dominantes na poca. O primeiro lgico a estruturar um clculo proposicional paraconsistente foi o polons S. Jaskowski, discpulo de ukasiewicz. Em 1948 ele publicou suas idias sobre lgica e contradio, mostrando como se poderia construir um clculo sentencial paraconsistente, possuindo motivao conveniente. O sistema de Jaskowski, nomeado por ele de lgica discursiva, desenvolveu-se posteriormente (a partir de 1968) em virtude das obras de autores como J. Kotas, L. Furmanowski, L. Dubikajtis, N.C.A. da Costa e C. Pinter. Assim, chegou-se a edificar uma verdadeira lgica discursiva, englobando um clculo de predicados de primeira ordem e uma lgica de ordem superior (h, inclusive, teorias discursivas de conjuntos, intrinsecamente ligadas teoria de atributos, baseada no clculo S5 de Lewis). Tambm, independentemente dos trabalhos de apresentados em Da Costa em 1954, o lgico D. Nelson sugeriu em 1959 uma lgica paraconsistente como uma verso de seu sistema conhecido como lgicas construtivas com negao forte.

1.11 Teorias Inconsistentes e Teorias Triviais

A mais importante razo da considerao da lgica paraconsistente foi o de obter teorias, nas quais, inconsistncias so permitidas sem o perigo de trivializao. Em lgicas em que no se distingam convenientemente da lgica clssica, por exemplo, com respeito ao conceito de negao, em geral vlido o esquema A (A B) (onde A e B so frmulas, A a negao de A e o smbolo da implicao), ex falso sequitur quodlibet: de uma contradio, toda frmula pode ser deduzida, ou seja, toda frmula passa a ser verdadeira. De fato, admitamos como premissas, frmulas contraditrias A e A. Como observamos acima, A (A B) constitui um esquema vlido. Levando-se em conta as premissas apresentadas, pela regra de deduo Modus Ponens (de F e de F G deduzimos G) advm (A B). Aplicando-se novamente a regra Modus Ponens a essa ltima frmula obtemos B. Porm, a frmula B arbitrria. Assim, de frmulas contraditrias pode-se deduzir qualquer afirmao. Este o fenmeno da trivializao. Esquematicamente, temos:1. A (premissa)2. A (premissa)3. A (A B) (esquema vlido)4. A B (1, 3, MP)5. B (2, 4, MP) Convm ressaltar que a recproca imediata: com efeito, se numa teoria todas as frmulas so derivveis, em particular, pode ser derivada uma contradio. A modo de resumo, uma teoria contraditria (ou inconsistente) trivial e, reciprocamente, se uma teoria trivial, ela contraditria. Assim, na maioria dos sistemas lgicos conhecidos as noes de teoria inconsistente e teoria trivial coincidem. Seguramente, quando pensamos em aplicaes, tal propriedade no nem um pouco intuitiva e revela o quo a lgica clssica frgil nesse escopo. Imaginemos uma pessoa raciocinando e suponhamos que ela chegue a uma contradio: incomum que na mente de tal pessoa tudo passa a ser verdadeiro (a no ser que a pessoa apresente uma insanidade muito especial). Ainda sobre contradies, encerremos esta parte, apontando mais uma implicao dos sistemas heterodoxos, com o famoso paradoxo de Eubulides (ou popularmente, paradoxo do mentiroso), na seguinte forma:(S) Eu estou mentindo Notemos preliminarmente que S trata-se de uma sentena declarativa e, por conseguinte, S verdadeira ou falsa. No caso de S ser verdadeira, ento verdade Eu estou mentindo e, em conseqncia, o que acaba de afirmar, a sentena S, falsa. Se S for falsa, mentira Eu estou mentindo e, por conseguinte, a pessoa em questo no mentirosa, e, portanto, S verdadeira. Concluindo, S verdadeira se, e somente, se S for falsa. oportuno ressaltar que o paradoxo do mentiroso, durante muitos sculos aps sua descoberta, constituiu-se em aporia. Aps as consideraes de Tarski sobretudo baseado em sua teoria da correspondncia da verdade, tornou-se em falcia. Finalmente, com o advento das lgicas paraconsistentes, h motivos para encar-lo como aporia novamente. 1.12 Motivaes para o Estudo da Lgica Paraconsistente

As motivaes para o cultivo dos sistemas paraconsistentes so inmeras. A seguir discutimos as principais questes.

Significado Filosfico A importncia filosfica da lgica paraconsistente no campo filosfico foi muito bem analisada por [Da Costa 97]. Aspectos positivos: a) melhor elucidao de alguns conceitos bsicos da lgica, como os de negao, de contradio e do papel do esquema da abstrao na teoria dos conjuntos; b) compreenso mais profunda de certas teorias, especialmente a dialtica e a teoria dos conjuntos de Meinong; c) prova da possibilidade de teorias fortemente inconsistentes mas no triviais; como corolrio, os paradoxos comuns esto agora sendo vistos sob perspectivas novas; d) elaborao de esquemas ontolgicos distintos dos da ontologia tradicional. Dentre os efeitos negativos, Da Costa destaca os seguintes: a) prova de que algumas crticas formuladas dialtica, como a de Popper, so pouco slidas; b) provas de que os requisitos metodolgicos padro impostos s teorias cientficas (como a consistncia) so muito rigorosos e poderiam ser liberalizados; c) evidncia de que a concepo usual de verdade tarskiana no implica que as leis da lgica clssica (mesmo do clculo de predicados de primeira ordem) devam ser vlidas sem suposio extra.

Significado Matemtico O estabelecimento dos sistemas paraconsistentes tecnicamente vem a mostrar questes de extrema fecundidade nos fundamentos da matemtica. Com efeito, por exemplo, o conjunto de Russell do importante paradoxo (da teoria ingnua de conjuntos) de Russell pode existir em certos sistemas conjuntistas paraconsistentes. Assim, os sistemas lgicos no-clssicos vm a reforar a relativizao no somente da matemtica, mas, tambm, da lgica. O advento de matemticas alternativas clssica, que proporcionada tambm por resultados profundos de independncia de certos axiomas da prpria teoria dos conjuntos clssica, parece ter horizontes insuspeitos. De fato, a analogia com o aparecimento das geometrias no-euclidianas um belo exemplo desse indcio.

Significado PrticoAtualmente a importncia da lgica paraconsistente no motivada somente por consideraes filosficas ou tericas. Um dos acontecimentos recentes e marcantes desse tipo de lgica que encontrou aplicaes nos mais variados campos em inteligncia artificial, automao, robtica, enfim na informtica em geral. Hoje em dia existem linguagens de programao baseadas nas lgicas paraconsistentes e possvel o tratamento das inconsistncias de um modo direto e elegante. Com esse recurso pode-se aplicar em sistemas especialistas, banco de dados orientados a objetos, representao de conhecimento contraditrio, etc. com todas as implicaes em inteligncia artificial. Em robtica foram construdos robs autnomos mveis com capacidade de processar informaes contraditrias, com aplicaes interessantes em automao. Obteve-se tambm, controladores aplicados em segurana de trfego de trens, semforos inteligentes e controladores para pouso de aeronaves. Foram construdos tambm circuitos eltricos paraconsistentes que podem tratar sinais em conflito em seu interior, abrindo novas vias de pesquisas em eletrnica (analgica e digital). Complementando o rol das aplicaes em computao terica, erigiu-se uma teoria de autmatos paraconsistentes. Tambm se descobriu uma teoria de redes neurais artificiais paraconsistentes com capacidade de aprendizado de informaes inconsistentes ou incertas, com aplicaes no reconhecimento de padres em biomedicina. Com a construo de uma arquitetura para a inteligncia artificial baseada na lgica paraconsistente, pde-se fazer planejadores, estudo sobre sistemas distribudos (multi-agentes), etc. temas de grande importncia atualmente em sistemas inteligentes. Por fim, verificou-se que, em certo sentido tcnico preciso, certos sistemas paraconsistentes esto relacionados a outros sistemas lgicos no-clssicos, por exemplo, lgica fuzzy. Com respeito a essa ltima, prova-se que a lgica paraconsistente a engloba, estendendo o seu escopo de vrios modos.

1.13 Conceituao de Lgica Paraconsistente, Paracompleta e No-altica

Uma teoria (dedutiva) T, assentada na lgica L, diz-se consistente se entre seus teoremas no existem tais que um seja a negao do outro; em hiptese contrria, T denomina-se inconsistente. A teoria T chama-se trivial se todas as sentenas (frmulas fechadas) de sua linguagem forem teoremas; se isto no ocorrer, T no-trivial. Se L for uma das lgicas comuns, como a clssica e a intuicionista de Brouwer-Heyting, T trivial se e somente se for inconsistente. Em outras palavras, lgicas como essas no separam os conceitos de inconsistncia e de trivialidade. L denomina-se paraconsistente se puder funcionar como fundamento de teorias inconsistentes e no triviais. Dito de outro modo, uma lgica paraconsistente mostra-se capaz de manipular sistemas inconsistentes de informaes sem o perigo de trivializao. (Somente em certas circunstncias especficas a presena de contradio implica em trivializao.) Semelhantemente, introduzimos o conceito de lgica paracompleta. Uma lgica chamada paracompleta se pode funcionar como a lgica subjacente de teorias nas quais h frmulas tais que estas frmulas e suas negaes so ambas falsas. Uma teoria chamada paracompleta se sua lgica subjacente uma lgica paracompleta.Como uma conseqncia, teorias paraconsistentes no satisfazem o princpio da no-contradio que pode ser expressa como segue: de duas proposies contraditrias (i.e., uma delas negao da outra); uma deve ser falsa. Alm disso, teorias paracompletas no satisfazem o princpio do terceiro excludo, formulado como se segue: de duas proposies contraditrias, uma deve ser verdadeira.Finalmente, lgicas que so simultaneamente paraconsistentes e 1.14 A Importncia dos Sistemas Paraconsistentes Hodiernamente em Inteligncia Artificial, Automao e Robtica

Um dos conceitos mais significativos que tem chamado a ateno de especialistas em Inteligncia Artificial so os da incerteza e da contradio.O grande desenvolvimento da Inteligncia Artificial vem propiciando o estreitamento de diversas reas do saber de forma imperativa tais como Matemtica, Cincia da Computao, Psicologia, Teoria da Comunicao, Direito, Biologia, Cincias Cognitivas, entre outros, gerando indagaes extremamente fecundas e originais. Com efeito, um dos problemas centrais da Inteligncia Artificial o da descrio da poro da realidade que se quer estudar. Alm de uma conveniente descrio, necessitamos processar os dados a fim de obtermos uma razovel reproduo artificial do que queremos com relao realidade. Por conseguinte, torna-se imperativo que tais consideraes se faam numa linguagem bem estruturada, as linguagens formais. Mais que isso, necessitamos de uma linguagem e uma lgica subjacente para podermos trabalhar com os dados.Esta situao pode ser esquematizada como abaixo:

Linguagens ArtificiaisModelos (abstratos)Poro da Realidade

Figura 1

Pelo menos trs dimenses relevantes esto em anlise: a poro da realidade que se quer estudar, os modelos abstratos de tais realidades e a linguagem que se refere s diversas estruturas.As Lgicas No-Clssicas caracterizam-se por amplificar, de algum modo, a lgica tradicional ou por infringir ou limitar seus princpios ou pressupostos fundamentais. Dentre as primeiras, ditas Lgicas complementares da Clssica, lembraremos as lgicas tradicionais das modalidades alticas, das modalidades denticas, dos operadores epistmicos e dos operadores temporais. Dentre as segundas, chamadas de heterodoxas ou rivais da clssica, citaremos as Lgicas Paraconsistentes, as Paracompletas e as intuicionistas sem negao (Griss, Gilmore, ...). A Lgica, devemos salientar, muito mais do que a disciplina das formas vlidas de inferncia. Seria difcil enquadrarmos, v.g., a teoria dos modelos, em sua forma atual, e a teoria da recurso em uma Lgica assim definida. No entanto, para os fins do escopo deste livro, podemos identificar a Lgica (dedutiva) como a disciplina que se ocupa especialmente das formas vlidas de inferncia (ou de raciocnio).Em conexo com a exposio precedente, eis alguns problemas filosoficamente significativos: a) As Lgicas No-Clssicas so realmente Lgicas? b) Pode, mesmo existir Lgicas rivais da Clssica? c) Em ltima instncia, no seriam as Lgicas chamadas de rivais apenas complementares da Clssica? d) Que relao h entre racionalidade e logicidade? e) A razo pode se expressar por meio de lgicas distintas, incompatveis entre si?Obviamente, nos limites do presente pargrafo no podemos tratar de todas essas indagaes, nem mesmo de forma resumida. Porm, adotando-se posio operacional, se sistema 1gico denotar uma espcie de organon de inferncia, a IA contribui para nos conduzir, inescapavelmente, a concluso de que h vrias Lgicas, Clssicas e No-Clssicas, e entre as ltimas, complementares e rivais da Clssica. Ademais, a IA corrobora a possibilidade e a relevncia prtica de Lgicas da categoria das Paraconsistentes, to afastadas dos padres at h pouco tempo fixados para a logicidade. Isto constitui, sem dvida, algo surpreendente para aqueles que no esto acostumados com os 1timos avanos da informtica. Convm lembrar aqui que existem numerosos argumentos enfraquecedores da posio dos que defendem a tese do carter absoluto da Lgica Clssica. Arrolamos, a seguir, quatro desses argumentos:1) Quaisquer contexto racional dado compatvel com infinitas Lgicas capazes de figurarem como Lgicas a ele subjacentes.2) Os conceitos 1gicos fundamentais, como o de negao, tm que ser vistas como a family resemblance no sentido de Wittgenstein. No h nenhum motivo especial para se recusar, digamos, negao paraconsistente a dignidade de negao; se algum assim proceder, deveria, tambm, sustentar que as retas das geometrias no-euclidianas no so, efetivamente, retas ...3) A semntica comum, por exemplo do clculo restrito de predicados, baseia-se na teoria de conjuntos. Como h diversas teorias de conjuntos (clssicas), h numerosas interpretaes possveis, no equivalentes entre si, de to semntica. Por conseguinte, o referido clculo no se mostra tambm determinado, como parece primeira vista.4) Para a Lgica tradicional de segunda ordem (e de ordem superior) no existe axiomatizao correta e completa. Esta escapa, pois, a axiomatizao (recursiva). Assim, as contestaes s indagaes a) e b) so afirmativas. Uma resposta simples da questo parece difcil: no fundo, trata-se, em grande parte, de um problema terminolgico. Todavia, em principio, em virtude da discusso anterior, nada impede que se aceite que h Lgicas rivais, que no se incluem no rol das complementares da tradicional. Finalmente, sobre ele, frisaremos que se possui excelentes argumentos para se demonstrar que a razo permanece razo mesmo quando se manifesta por meio de Lgicas No-Clssicas. (A prpria Lgica Clssica no constitui um sistema bem definido.)Do exposto, pensamos que as concluses que se impem so suscetveis de resumo, como se segue: De fato, como insiste [Enriques & Santillana 32], [Enriques & Santillana 36] e [Enriques 22], a cincia aparece a todo momento como imperfeita, em qualquer de suas partes, desenvolvendo-se por auto-correo e auto-integrao. No constitui aquisio hirta, qual se via juntando pouco a pouco outras; h permanente vaivm, desde os fundamentos at as teorias mais complexas, corrigindo-se erros aqui, eliminando-se inconsistncias acol. Mas a histria comprova que toda teoria cientifica encerra algo de verdadeiro: a mecnica newtoniana, embora superada pela de Einstein, evidentemente contm traos de verdade. Restringindo-se de maneira conveniente ao seu campo de aplicao, ela funciona, prev, e, portanto, tem que conter uma parcela de verdade. Mas a verdadeira verdade um caminhar constante para a verdade - eis o ensinamento da histria, fora de qualquer dvida sria. A cincia mais luta, avano, do que etapa adquirida, conquistada, e as categorias cientificas fundamentais modificam-se no decorrer do tempo. ([Da Costa 80], p.231). Mais ainda: "A Lgica se vai constituindo atravs da histria e no parece possvel prever-se as vicissitudes de sua evoluo. Um especialista do inicio do sculo, ainda que familiar com as obras de Frege, Russell e Peano, dificilmente poderia prever as transformaes que se processariam na Lgica nos ltimos quarenta anos. No se trata somente de progresso em extenso; o prprio conceito de logicidade se modificou. Hoje, as Lgicas heterodoxas entraram em cena com grande mpeto: ningum conseguiria predizer onde nos levaro as Lgicas polivalente, relevante e paraconsistente. Talvez, nos prximos anos, nos esteja reservada uma nova alterao da idia de logicidade, impossvel de se imaginar no momento." ([Da Costa 80], p. 232.) "Razo, como se definiu ..., a faculdade de conceber, julgar e raciocinar. Conceber e raciocinar constituem patrimnio exclusivo da razo; mas julgar, no sentido preciso da palavra, tambm atividade racional. Mesmo quando a inspirao, a sensibilidade ou alguma forma primitiva de intuio no racional fornecem a base para o juzo, a razo que julga, dada que somente ela manipula e combina conceitos. Alis, a maioria dos usos comuns da palavra 'razo' derivam-se de razo conceituada, como a faculdade de conceber, julgar e raciocinar; assim, para discernir bem e adotar normas racionais de vida, h de se ter em conta a razo na acepo definida. Alm disso, existe um conjunto de regras e de princpios regulando o uso da razo, especialmente como ela se manifesta nos contextos racionais. Tambm licito chamar de razo a esse conjunto de regras e de princpios. Pois bem, quando se indaga se a razo se transforma ou mantm-se invariante, torna-se mais conveniente, sem dvida, interpretar a questo como se referindo a razo qual conjunto de regras e de princpios, e no como faculdade. Assim formulado, o problema tem resposta imediata: a razo modificou-se no decurso do tempo. Por exemplo, as categorias racionais subjacentes fsica aristot1ica, newtoniana e hodierna, divergem profundamente; ipso facto, os princpios que regem essas categorias variam, donde se conclui que a prpria razo se transformou. ([Da Costa 80], p. 233). Exprimindo-se por intermdio de Lgicas as mais variadas, a razo no deixa de ser razo. A IA , atualmente, um dos pilares nos quais se apoiam as ponderaes que acabam de ser feitas. Ento, ela no possui apenas valor prtico, de aplicao tecnolgica, como tambm valor terico, contribuindo para o melhor equacionamento dos problemas da Lgica, da razo e, portanto, da prpria cultura.Digno de meno o fato de que a Lgica Paraconsistente nasceu de consideraes puramente tericas, tanto lgico-matemticas, como filosficas. As primeiras se referem, para exemplificar, a problemas relativos ao conceito de verdade, aos paradoxos da teoria dos conjuntos e vaguidade inerente no somente na linguagem natural, como na cientifica. As segundas, por seu turno, encontram-se correlacionadas com temas tais como os fundamentos da dia1tica, as noes de racionalidade e de logicidade, e a aceitao de teorias cientificas. Algumas das conseqncias da estruturao da Lgica Paraconsistente, que podemos classificar em duas categorias, as 'positivas' e as 'negativas', so as seguintes: Positivas: 1) Melhor elucidao de alguns conceitos centrais da Lgica, tais como os de negao e de contradio, bem como o papel do esquema da abstrao em teoria dos conjuntos (antinomias conjuntistas); 2) Compreenso mais profunda de determinadas teorias filosficas, especialmente a dialtica e a teoria dos objetos de Meinong; 3) Comprovao da possibilidade de teorias fortes e inconsistentes, embora no triviais (os paradoxos comuns podem ser tratados de uma nova perspectiva); 4) Organizao de esquemas ontolgicos diferentes dos da ontologia tradicional. Negativas: 1) Demonstrao de que certas criticas a dia1tica afiguram-se infundados (por exemplo, os conhecidos reparos de Popper); 2) Prova de que as exigncias metodolgicas impostas s teorias cientificas se mostram demasiadamente restritivas e mereceriam ser liberalizadas; 3) Evidncia de que a concepo usual da verdade como correspondncia, a Tarski, no acarreta as leis da Lgica Clssica, sem suposies extras, geralmente mantidas implcitas. Hodiernamente, em IA, precisamos manipular sistemas inconsistentes de informao; mais ainda, necessitamos processar semelhantes sistemas, via uma programao paraconsistente. Tentar transformar esses sistemas em outros consistentes seria no apenas impraticvel, mas, sobretudo, teoricamente fora de propsito. Logo, a IA constitui um campo onde a Lgica Paraconsistente topa naturalmente com aplicaes de suma importncia. Assim, a informtica em geral esto intimamente unida paraconsistncia[footnoteRef:1]. Sob certo ngulo, as prprias Lgicas no monotnicas e do default incluem-se na classe das paraconsistentes (em acepo ampla) (ver, e.g. [Nakamatsu, Abe & Suzuki 99]). [1: Para detalhes, o leitor pode consultar, entre outros, os seguintes trabalhos: [Abe 97], [Da Costa, Abe, Da Silva Filho, Murolo & Leite 99], [vila 96], [Prado 96], [Da Silva Filho 99].]

Captulo 2

A Lgica Paraconsistente Anotada Evidencial E

Jair Minoro Abe e Joo Incio da Silva Filho

2.1 Escro Histrico

As lgicas paraconsistentes anotadas so uma famlia de lgicas no-clssicas surgidas no final da dcada de 90 do sculo passado em programao lgica [Subrahmanian 87]. Devido s aplicaes obtidas, tornou-se conveniente um estudo de suas bases. Os estudos sobre os fundamentos da lgica paraconsistente anotada foram efetuados por vrios autores, entre eles, Da costa, Abe, Akama e outros [Abe 92]. Em [Abe 92] estudou-se a lgica de predicados, teoria de modelos, teoria anotada de conjuntos e alguns sistemas modais, estabelecendo-se um estudo sistemtico dos fundamentos das lgicas anotadas apontadas em trabalhos anteriores. Em particular obteve-se metateoremas de completeza forte e fraca para uma subclasse de lgica anotada de primeira ordem e fez-se um estudo sistemtico da teoria anotada de modelos, generalizando a maioria dos resultados padro para os sistemas anotados. Outras aplicaes dos sistemas anotados foram iniciados por Abe por volta de 1993 e juntamente com discpulos diretos implementou-se a linguagem de programao paraconsistente Paralog [Da Costa et al 95]. Tais idias aplicaram-se na construo de um prottipo e especificao de uma arquitetura baseada na lgica paraconsistente anotada que integra vrios sistemas computacionais planejadores, base de dados, sistemas de viso, etc. de uma clula de manufatura [Prado 96] e representao de conhecimento por Frames, permitindo representar inconsistncias e excees [vila 96].Da Silva Filho, outro discpulo de Abe, interessou-se na aplicao da lgica paraconsistente anotada P em circuitos digitais, obtendo-se a implementao das portas lgicas Complement, And e Or [Da Silva Filho 99]. Tais circuitos permitem sinais conflitantes implementados em sua estrutura de modo no-trivial. Acreditamos que a contribuio dos circuitos eltricos paraconsistentes seja pioneira na rea dos circuitos eltricos, abrindo-se novas vias de investigaes. Nas pesquisas referentes ainda na parte de hardware, foi a edificao do analisador lgico para-analisador que permite tratar conceitos de incerteza, inconsistncia e paracompleteza. Tambm foram construdos controladores lgicos baseados nas lgicas anotadas Paracontrol, simuladores lgicos Parasim, tratamento de sinais Parasnico. Como materializao dos conceitos discutidos construiu-se o primeiro rob paraconsistente com o hardware paraconsistente: a rob Emmy [Abe & Da Silva Filho 03] e o prottipo II da Emmy foi estudado em [Torres 04]. Um outro rob paraconsistente construdo com o software baseado na LPA denominou-se Sofya e muitos prottipos subseqentes foram construdos: Amanda, etc.Os sistemas anotados tambm abarcam aspectos dos conceitos envolvidos em raciocnio no-monotonico, defesiable, default e dentico [Naakamatsu, Abe & Suzuki 00]. Verses de lgicas anotadas tambm envolvem muitos aspectos das lgicas fuzzy. Isto pode ser visto sob vrios ngulos. A teoria notada de conjuntos engloba in totun a teoria de conjuntos fuzzy [Abe 92]. Verses axiomatizadas da teoria fuzzy tambm foram obtidas. Foi erigido o controlador hbrido parafuzzy que une caractersticas das lgicas anotadas e fuzzy [Da Silva Filho 99]. Finalmente, aspectos algbricos tambm foram investigados por Abe em [Abe, Akama & Nakamatsu 07] e outras algebrizaes interessantes tem sido estudadas outros autores.

2.2 A Questo da Linguagem

sobejamente conhecido a importncia da teoria da linguagem para a investigao de problemas em cincia. Assim, uma boa soluo para uma indagao pode muitas vezes depender profundamente da escolha ou descoberta de uma linguagem conveniente para representar os conceitos envolvidos adequadamente, bem como fazer inferncias sensatas at que se chegue a solues satisfatrias.No tocante s aplicaes, observando-se atentamente um conjunto de informaes obtidas em certo tema em tela, tal conjunto pode encerrar informaes contraditrias e haver dificuldade de descrio de conceitos vagos, como j discutimos na introduo. No caso da contradio, normalmente ou removida artificialmente para no contaminar o conjunto de dados, ou se faz tratamento parte, com dispositivos extra-lgicos. Entretanto, a contradio na maioria das vezes contm informao decisiva, pois, o encontro de duas vertentes de valores-verdade opostos. Logo, negligencia-la proceder de forma anacrnica. Logo devemos buscar linguagens que possam conviver com tais contradies, sem atrapalhar as demais informaes, como acontece na Lgica Clssica, por exemplo. Quanto ao conceito de incerteza, devemos pensar em uma linguagem que tenha uma estrutura tal que possa capturar o mximo de informaes do conceito, obviamente. Tendo isso em mente, para se obter uma linguagem que possa ter essas caractersticas, vamos fazer o seguinte procedimento, que passamos a descrever.

Nosso intuito o de acolhermos os conceitos de incerteza, inconsistncia e paracompleteza em sua estrutura lingstica e raciocinar (mecanicamente) na presena deles, com a esperana que com esse desenho, a linguagem permita atingir, capturar, refletir melhor as nuances da realidade de outros modos do que as tradicionais. Assim, estaremos equipados com uma linguagem e uma estrutura dedutiva adequada para uma compreenso de problemas sob ngulos diferentes e qui desse modo possa gerar solues inovadoras. Para a tarefa, principiemos considerando os conceitos de inconsistncia e paracompleteza. Juntemos as noes de verdade e de falsidade. Assim, pensemos em quatro objetos:

T que chamaremos de inconsistenteV que chamaremos de verdadeiroF que chamaremos de falso que chamaremos de paracompleto.

Chamemos tambm tais objetos de constantes de anotao.No conjunto desses objetos = {T, V, F, } coloquemos uma estrutura matemtica: um reticulado com operador = caracterizado pelo seguinte diagrama de Hasse:

TVF

Figura 2 - Reticulado Quatro

O operador : define-se assim: T = T (que operar, intuitivamente, assim: a negao de uma proposio inconsistente inconsistente)V = F (a negao de uma proposio verdadeira falsa)F = V (a negao de uma proposio falsa verdadeira) = (a negao de uma proposio paracompleta paracompleta)

O operador far o papel do conectivo da negao da LPA como se ver adiante. As proposies da LPA so do tipo p onde p uma proposio no sentido comum e uma constante de anotao. Entre vrias leituras intuitivas, p pode ser lida: creio na proposio p com grau at ou a evidncia favorvel expressa pela proposio no mximo .

Suponha-se que temos a proposio p: a frente do rob est livre tenhamos informaes que nos remete a duas situaes:

a frente do rob est livre (que pode ser expressa na LPA por pV)a frente do rob no est livre(que pode ser expressa na LPA por pF)

Em um sistema baseado na LPA, tal situao pode ser representada porpT : a frente do rob est livre constitui um estado inconsistente.

2.3 A Lgica Paraconsistente Anotada Evidencial E

Iniciamos nossa exposio de modo coloquial, incrementando-a at atingir uma apresentao com certo rigor que o tema necessita. A Lgica Paraconsistente Anotada Evidencial E possui uma linguagem E e as proposies atmicas so do tipo p(, ) onde p uma proposio e , [0, 1] (intervalo real unitrio fechado). Intuitivamente, indica o grau de evidncia[footnoteRef:2]1) favorvel de p e o grau de evidncia contrria de p. A leitura dos valores , dependem das aplicaes consideradas e podem sofrer mudanas: com efeito pode ser o grau de crena[footnoteRef:3]2) favorvel e poder ser o grau de crena contrria da proposio p; tambm, pode indicar a probabilidade[footnoteRef:4]3) expressa por p ocorrer e a improbabilidade expressa por p de ocorrer. As proposies atmicas p(, ) da lgica E podem ser intuitivamente ser lidas como: creio em p com o grau de crena favorvel e o grau de crena contrria , ou o grau de evidncia favorvel de p e o grau de evidncia contrria de p . [2: 1) O termo evidencia se encontra empregado num sentido no rigoroso, podendo intuitivamente ser certeza manifesta ou dados e informaes que suportam opinies. O termo grau de evidncia significa o que se est explanado no curso do trabalho.] [3: 2) O termo crena tambm se encontra empregado em um sentido no rigoroso. Convm ressaltar que usualmente possui uma certa subjetividade.] [4: 3) Atente-se que h diversas teorias de probabilidades.]

Exemplo 1. Seja a proposio p O aluno passou no exame. Temos:Se anotarmos com (1.0, 0.0), a leitura intuitiva ser O aluno passou no exame com evidncia total (= h uma evidncia total que o aluno passou no exame).Se anotarmos com (0.0, 1.0), a leitura intuitiva ser O aluno passou no exame com evidncia contrria total (=h uma evidncia total que o aluno foi reprovado no exame).Se anotarmos com (1.0, 1.0), a leitura intuitiva ser O aluno passou no exame com evidncia totalmente inconsistente. Isto pode se suceder se o aluno no estudou o suficiente e ao mesmo tempo uma pessoa amiga diz t-lo visto confiante aps o exame. Se anotarmos com (0.0, 0.0), a leitura intuitiva ser O aluno passou no exame com ausncia total de evidncia, nem favorvel, nem contrria.

Exemplo 2. Seja a proposio p O paciente est acometido de pneumonia. Temos:Se anotarmos com (1.0, 0.0), a leitura intuitiva ser O paciente est acometido de pneumonia com evidncia total.Se anotarmos com (0.0, 1.0), a leitura intuitiva ser O paciente est acometido de pneumonia com evidncia contrria total (=h uma evidncia total que o paciente no est acometido de pneumonia).Se anotarmos com (1.0, 1.0), a leitura intuitiva ser O paciente est acometido de pneumonia com evidncia totalmente inconsistente. Isto pode se suceder se, por exemplo, um mdico de opinio que o paciente est acometido de pneumonia, mas um outro especialista diz que no pode ser pneumonia por um outro tipo de exame.Se anotarmos com (0.0, 0.0), a leitura intuitiva ser O paciente est acometido de pneumonia com ausncia total de evidncia. Isto pode se suceder se no se pode diagnosticar se pneumonia ou no.Desse modo, temos algumas leituras interessantes:

p(1.0, 0.0) pode ser lida como uma proposio verdadeira (evidncia favorvel total e evidncia contrria nula). p(0.0, 1.0) pode ser lida como uma proposio falsa (evidncia favorvel nula e evidncia contrria total). p(1.0, 1.0) pode ser lida como uma proposio inconsistente (evidncia favorvel total e evidncia contrria total). p(0.0, 0.0) pode ser lida como uma proposio paracompleta (evidncia favorvel nula e evidncia contrria nula). p(0.5, 0.5) pode ser lida como uma proposio indefinida (evidncia favorvel igual evidncia contrria de 0.5).Note que o conceito de paracompleteza o dual da de inconsistncia.

Exemplo 6. Sejam p a proposio A cano mais popular de Johnny Mathis Misty e q a proposio Johnny Mathis ficar para a histria da msica popular. Temos ento:L-se p(1.0,0.0) q(0.9, 0.1) como A cano mais popular de Johnny Mathis Misty com uma evidncia favorvel total e nenhuma evidncia contrria e Johnny Mathis ficar para a histria da msica popular com uma evidncia favorvel de 90% e uma evidncia contrria de 10%. (= certo que a cano mais popular de Johnny Mathis Misty e praticamente certo que ele ficar para a histria da msica popular.)L-se p(1.0, 0.0) q(0.9, 0.1) como A cano mais popular de Johnny Mathis Misty com uma evidncia favorvel total e nenhuma evidncia contrria ou Johnny Mathis ficar para a histria da msica popular com uma evidncia favorvel de 90% e uma evidncia contrria de 10%. (= certo que a cano mais popular de Johnny Mathis Misty ou praticamente certo que ele ficar para a histria da msica popular.)

Exemplo 7. Seja p a proposio A rota do rob para a direita L-se p(0.7,0.6) p(0.5, 0.4) como A rota do rob para a direita com uma evidncia favorvel de 70% e uma evidncia contrria de 60% acarreta A rota do rob para a direita com uma evidncia favorvel de 50% e uma evidncia contrria de 40%.

Exemplo 8. Seja p a proposio O paciente est acometido de gripe Temos ento:L-se p(0.7, 0.2) p(0.2, 0.7) como O paciente est acometido de gripe com uma evidncia favorvel de 70% e uma evidncia contrria de 20% que equivale a se dizer que no o caso que O paciente est acometido de gripe com uma evidncia favorvel de 20% e uma evidncia contrria de 70%.

Exemplo 9. Seja a proposio p O paciente est infectado de gripe. Temos ento:

p(1.0, 0.0) pode ser lida como O paciente est infectado de gripe com evidncia favorvel total e evidncia contrria nula. Intuitivamente, trata-se de uma proposio verdadeira. p(0.0, 1.0) pode ser lida como O paciente est infectado de gripe com evidncia favorvel nula e evidncia contrria total. Intuitivamente, trata-se de uma proposio falsa. p(1.0, 1.0) pode ser lida como O paciente est infectado de gripe com evidncia favorvel total e evidncia contrria tambm total. Intuitivamente, trata-se de uma proposio contraditria. p(0.0, 0.0) pode ser lida como O paciente est infectado de gripe com evidncia favorvel nula e evidncia contrria tambm nula. Intuitivamente, trata-se de uma proposio paracompleta. p(0.5, 0.5) pode ser lida como O paciente est infectado de gripe com evidncia favorvel idntica evidncia contrria e 0.5. Intuitivamente, temos a uma indefinio.

Exemplo 10. Seja a proposio p O aluno passou no exame. Uma leitura intuitiva da negao da proposio p(1.0, 0.0) creio que o aluno passou no exame com crena favorvel nula e crena desfavorvel total.Uma leitura intuitiva da negao da proposio p(1.0, 1.0) creio que o aluno passou no exame com crena favorvel total e crena desfavorvel total, ou seja, neste caso a negao de uma proposio inconsistente continua inconsistente.Uma leitura intuitiva da negao da proposio p(0.0, 0.0) creio que o aluno passou no exame com crena favorvel nula e crena desfavorvel nula, ou seja, neste caso a negao de uma proposio desconhecida ainda desconhecida.Uma leitura intuitiva da negao da proposio p(0.5, 0.5) creio que o aluno passou no exame com crena favorvel de at 50% e crena desfavorvel de at 50%, ou seja, a mesma proposio.Exemplo 11. Seja a proposio p O paciente est acometido de pneumonia. Temos:Uma leitura intuitiva da negao da proposio p(0.9, 0.3) cr-se que o paciente est acometido de pneumonia com crena favorvel de at 30% e crena desfavorvel de at 90%.Uma leitura intuitiva da negao da proposio p(0.0, 1.0) cr-se que o paciente est acometido de pneumonia com crena favorvel total e crena desfavorvel nula. (= cr-se totalmente que o paciente est acometido de pneumonia).Uma leitura intuitiva da negao da proposio p(1.0, 1.0) cr-se que o paciente est acometido de pneumonia com crena favorvel de at 100% e crena desfavorvel de at 100%. Logo, neste caso temos uma crena totalmente conflitante (inconsistente) e sua negao a mesma proposio inconsistente.

2.4 O Conectivo da Negao

Uma propriedade interessante que a lgica E apresenta quando analisamos negaes de proposies. Tomemos, por exemplo, a proposio p(1.0, 0.0) do Exemplo 1, creio que o aluno passou no exame com crena favorvel total e crena desfavorvel nula. Analisemos sua negao. O leitor imediatamente se apercebe que, em termo da lgica E, equivalente a se dizer creio que o aluno passou no exame com crena favorvel nula e crena desfavorvel total, ou seja, a negao da proposio p(1.0, 0.0) pode ser expressa por meio de uma operao na constante de anotao associada. Em termos tcnicos, tem-se que p(1.0, 0.0) p(1.0, 0.0) p(0.0, 1.0). Se p denotar a proposio Pedrinho est acometido de pneumonia com 80% de evidncia favorvel e 40% de evidncia contrria, qual a negao de p(0.8, 0.4)? Prosseguindo com o exemplo anterior, fcil apercebe-se que sua negao equivale a se dizer que proposio Pedrinho est acometido de pneumonia com 40% de evidncia favorvel e 80% de evidncia contrria, ou seja, a evidncia favorvel de p(0.8, 0.4) passa a ser a evidncia contrria de p(0.8, 0.4) e a evidncia contrria de p(0.8, 0.4) passa a ser a evidncia favorvel de p(0.8, 0.4). Em termos tcnicos, tem-se que p(0.8, 0.4) p(0.8, 0.4) p(0.4, 0.8). Logo, generalizando-se atravs dos exemplos acima, fcil perceber tambm que p(, ) equivale a p(, ), que por sua vez equivale a p(, ). Logo, a negao de p(, ) a mesma proposio p com graus de evidncia invertidos; o grau de evidncia favorvel de p(, ) a evidncia contrria de p(, ) e o grau de evidncia contrria de p(, ) constitui o grau de evidncia favorvel de p(, ). H, portanto, um operador natural definido sobre que desempenha o papel da negao do conectivo da lgica anotada: : , (, ) = (, ). Isso denuncia uma importante propriedade na lgica E: podemos considerar equivalentes as proposies p(, ) e p(, ), ou seja, em outra terminologia, p(, ) p(, ).

Qual a negao de p(0.5, 0.5)? Intuitivamente temos que a prpria proposio p(0.5, 0.5), ou seja, p(0.5, 0.5) p(0.5, 0.5). Agora suponhamos que p(0.5, 0.5) seja verdadeira. Logo temos a situao: p(0.5, 0.5) verdadeira e p(0.5, 0.5) tambm verdadeira. Ora, a lgica em questo admite intuitivamente contradies verdadeiras. Coisa semelhante se passa se p(0.5, 0.5) for falsa. Temos p(0.5, 0.5) falsa e p(0.5, 0.5) tambm falsa, ou seja E tambm paracompleta. Da, E no-altica. De modo geral temos p(, ) p(, ). O fato de a negao lgica ser absorvido na anotao, faz com que a lgica E tenha propriedades de fundamental importncia na hora de implementaes fsicas, bem como propriedades de extrema fecundidade em programao e em implementaes fsicas.

2.5 Os Conectivos da Conjuno, Disjuno e implicao

Dadas as proposies p(, ) e q(, ) podemos formar a conjuno, disjuno e a implicao entre elas:p(, ) q(, ) leia-se a conjuno de p(, ) e q(, )p(, ) q(, ) leia-se a disjuno de p(, ) e q(, )p(, ) q(, ) leia-se a implicao de q(, ) por p(, )O conectivo da bi-implicao introduz-se de modo habitual:p(, ) q(, ) = p(, ) q(, ) q(, ) p(, ) leia-se p(, ) equivale a q(, )

2.6 O Reticulado

Voltemos a algumas terminologias. O par (, ) denomina-se constante de anotao. Tal par um elemento de [0, 1][0, 1] que algumas vezes indicamos por [0, 1]2. Mune-se esse conjunto de uma relao de ordem assim definida: (1, 1) (2, 2) 1 2 e 2 1. Propriedades:1. , , (, ) (, ) (reflexividade)2. 1, 1, 2, 2 , (1, 1) (2, 2) e (2, 2) (1, 1), implicam (1, 1) = (2, 2) (anti-simetria)3. 1, 1, 2, 2, 3, 3 , (1, 1) (2, 2) e (2, 2) (3, 3), implicam (1, 1) (3, 3) (transitividade)4. 1, 1, 2, 2 , existe o supremo de {(1, 1), (2, 2)} indicado por (1, 1) (2, 2) = (Mx{1, 2}, Mn{1, 2})5. 1, 1, 2, 2 , existe o nfimo de {(1, 1), (2, 2)} indicado por (1, 1) (2, 2) = (Mn{1, 2}, Mx{1, 2})6. , , (0, 1) (, ) (1, 0)O quadrado unitrio [0, 1][0, 1] com a relao de ordem constitui um reticulado que simbolizamos por ou simplesmente por .

Exerccio. Verifique cada uma das propriedades acima.

2.7 Graus de Certeza e de Incerteza

D (0, 0)A (1, 0)B (0, 1)C (1, 1)Segmento de retaperfeitamenteindefinidoSegmento de retaperfeitamentedefinido

Figura 3No reticulado notamos quatro pontos que nortearo nossas perquiries. Denominemos de pontos cardeais. Tais so elas:

A (1.0, 0.0) estado verdadeiroB (0.0, 1.0) estado falsoC (1.0, 1.0) estado inconsistenteD (0.0, 0.0) estado paracompleto

Embasados nos pontos cardeais, e pelo uso das propriedades dos nmeros reais, vamos cuidadosamente erigir uma estrutura matemtica com o fito de materializar nossas idias de como queremos manipular mecanicamente o conceito de incerteza, contradio e de paracompleteza, entre outros. Tal mecanismo embarcar, naturalmente, de algum modo os estados verdadeiro e falso tratados dentro do escopo da lgica clssica, com todas as suas conseqncias.

Para tanto, iremos introduzir diversos conceitos que julgamos intuitivos para a finalidade acima bosquejada.

Segmento perfeitamente definido AB: + -1 = 0; 0 , 1 Segmento perfeitamente indefinido DC: - = 0; 0 , 1

Observe que as constantes de anotao (, ) que incidem no segmento perfeitamente indefinido possui a relao - = 0, ou seja = . Logo, a evidncia favorvel idntica evidncia contrria, o que mostra que a proposio p(, ) expressa uma indefinio. Ela varia continuamente desde a inconsistncia (1, 1) at o paracompleto (0, 0). J as constantes de anotao (, ) que incidem no segmento perfeitamente definido possui a relao + -1 = 0, ou seja = 1 - , ou ainda = 1 - . Logo, no primeiro caso, a evidncia favorvel o complemento booleano da evidncia contrria e, no segundo, a evidncia contrria o complemento booleano da evidncia favorvel, o que mostra que as evidncias, favorvel e contrria comportam-se como no caso clssico. Ela varia continuamente desde a falsidade (0, 1) at a veracidade (1, 0).

Introduzimos as aplicaes Gic:[0, 1][0, 1] [0, 1], Gpa:[0, 1][0, 1] [-1, 0], Gve:[0, 1][0, 1] [0, 1], Gfa:[0, 1][0, 1] [-1, 0] definidas por:

Grau de Inconsistncia: Gic(, ) = + -1, desde que + -1 0Grau de Paracompleteza: Gpa(, ) = + -1, desde que + -1 0Grau de Veracidade: Gve(, ) = - , desde que - 0Grau de Falsidade: Gfa(, ) = - , desde que - 0

V-se que o Grau de Veracidade mede o quo uma anotao (, ) distancia do segmento perfeitamente definido e quo se aproxima do estado verdade e o Grau de Falsidade mede o quo uma anotao (, ) distancia do segmento perfeitamente definido e quo se aproxima do estado falso.

Exemplo. Gve(0.8, 0.4) = 0.8 - 0.4 = 0.4 Logo o grau de veracidade da constante de anotao (0.8, 0.4) 0.4Tambm Gve(0.4, 0.3) = 0.4 - 0.3 = 0.1

De modo similar, o Grau de Inconsistncia mede o quo uma anotao (, ) distancia do segmento perfeitamente indefinido e quo se aproxima do estado inconsistente e o Grau de Paracompleteza mede o quo uma anotao (, ) distancia do segmento perfeitamente indefinido e quo se aproxima do estado paracompleto.

Chama-se Grau de Incerteza Gin(, ) de uma anotao (, ) a qualquer um dos graus de inconsistncia ou de paracompleteza. Por exemplo, o grau de Incerteza mximo no estado inconsistente, ou seja Gic(1, 1) = 1.

Chama-se Grau de Certeza Gce(, ) de uma anotao (, ) a qualquer um dos graus de verdade ou de falsidade. Por exemplo, o grau de verdade da anotao (, ) , ou seja, Gve(, ) = .

Observao (problema em aberto). Altamente instigador estudar outros modos de considerar os graus de certeza e de incerteza. Alis, a observao precedente mais profunda e anterior: com efeito, a escolha do reticulado fundamental para as consideraes de todos estes estudos no tocante aplicao prtica.

2.8 Estados de Deciso: Extremos e No-extremos

Com os conceitos acima ventilados, podemos trabalhar com faixas de verdade ao invs de a verdade ser um conceito hirto, inflexvel. Talvez melhor dizermos que a verdade uma faixa de certeza com respeito a certa proposio. Para determinarmos tais faixas, introduzimos os seguintes conceitos:

Quatro valores limites externos:

Vcve = C1 = Valor de controle de veracidade; 0 Vcve 1Vcfa = C2 = Valor de controle de falsidade; -1 Vcfa 0Vcic = C3 = Valor de controle de inconsistncia; 0 Vcic 1Vcpa = C4 = Valor de controle de paracompleteza; -1 Vcpa 0

Os tais valores nortearo quando uma proposio considerada, por exemplo, verdadeira no sentido de tomarmos uma deciso positivamente, e assim por diante. A seguinte figura nos ajudar a introduzir conceitos suplementares.

QVTQVQFQFQTVQFTQTFQVVFT

Figura 4 Estados extremos e no-extremos

Vcic = C3VFGRAU DE INCERTEZA - Gin-10+1+1-1Vcfa = C2GRAU DE CERTEZA - GceVcve = C1QTV QFTQV QF QFQVQVTQT FVcpa = C4

Figura 5 - Diagrama com os graus de incerteza e de certeza, com valores ajustveis de controle limite indicados nos eixos. Observe tambm as regies consideradas.Tabela 1Estados ExtremosSmbolo

VerdadeiroV

FalsoF

InconsistenteT

Paracompleto

Tabela 2Estados No-ExtremosSmbolo

Quase-verdadeiro tendendo ao InconsistenteQVT

Quase-verdadeiro tendendo ao ParacompletoQV

Quase-falso tendendo ao InconsistenteQFT

Quase-falso tendendo ao ParacompletoQF

Quase-inconsistente tendendo ao VerdadeiroQTV

Quase-inconsistente tendendo ao FalsoQTF

Quase-paracompleto tendendo ao VerdadeiroQV

Quase-paracompleto tendendo ao FalsoQF

(1, 1)(0, 1)(0, 0)(1, 0)QVTQVQFQFQTVQFTQTFQVVFT

Figura 6

Caracterizao dos estados:

Estado Verdadeiro:Gin(, ) = - = Gve(, ) e e

Estado Falso:Gin(, ) = - = Gfa(, ) - e e

Estado Inconsistente:Gce(, ) = + - 1 = Gct(, ) e e Estado Paracompleto:Gce(, ) = + - 1 = Gpa(, ) - e e

Estado Quase-Verdadeiro tendendo ao Inconsistente:Gin(, ) = - = Gve(, ) e eGce(, ) = + - 1 = Gct(, ) 0

Estado Quase-Verdadeiro tendendo ao Paracompleto:Gin(, ) = - = Gve(, ) e eGce(, ) = + - 1 = Gpa(, ) 0

Estado Quase-Falso tendendo ao Inconsistente:Gin(, ) = - = Gfa(, ) - e eGce(, ) = + - 1 = Gct(, ) 0

Estado Quase-Falso tendendo ao Paracompleto:Gin(, ) = - = Gfa(, ) - e eGce(, ) = + - 1 = Gct(, ) 0

Estado Quase-Inconsistente tendendo ao Verdadeiro:Gce(, ) = + - 1 = Gct(, ) e eGin(, ) = - = Gve(, ) 0

Estado Quase-Inconsistente Falso tendendo ao Falso:Gce(, ) = + - 1 = Gct(, ) e eGin(, ) = - = Gfa(, ) 0

Estado Quase-Paracompleto tendendo ao Verdadeiro:Gce(, ) = + - 1 = Gpa(, ) - e eGin(, ) = - = Gve(, ) 0

Estado Quase-Paracompleto tendendo ao Falso:Gin(, ) = + - 1 = Gpa(, ) - e eGce(, ) = - = Gfa(, ) 0

Nota. A incluso ou no dos bordos em determinadas regies fica a cargo do leitor, tomando-se o cuidado de uma mesma constante de anotao no pertencer a dois estados distintos simultaneamente.

QF(0, 0)( , 0)(0.4, 0)(, 0)(0, 0.4)(0, 0.6)(0, 0.8)(1, 1)(0, 1)(1, 0)QVTQVQFQTVQFTQTFQVVFT

Figura 7

ExemplosConsideremos as constantes de anotao:1. (, 0.4)Gce(, 0.4) = - 0.4 = -0.15 (Grau de falsidade)Gin(, 0.4) = + 0.4 - 1 = -0.35 (Grau de paracompleteza)Logo, a constante de anotao pertence ao estado Quase-paracompleto tendendo ao Falso = QF

2. (0.4, 0.8)Gce(0.4, 0.8) = 0.4 - 0.8 = -0.4 (Grau de falsidade)Gin(0.4, 0.8) = 0.4 + 0.8 - 1 = 0.2 (Grau de contradio)Logo, a constante de anotao pertence ao estado Quase-falso tendendo ao Inconsistente = QFT

3. (, 0.6)Gce(, 0.6) = - 0.6 = 0.15 (Grau de veracidade)Gin(, 0.6) = + 0.6 - 1 = 0.35 (Grau de contradio)Logo, a constante de anotao pertence ao estado Quase-inconsistente tendendo ao Verdadeiro = QTV

O conjunto [0, 1]2 est munido de uma relao de ordem assim definida: (1, 1) (2, 2) 1 2 e 2 1. Tal quadrado unitrio com a relao de ordem constitui um reticulado que simbolizamos por .

Eis alguns exemplos:

1. (0.8, 0.3) (0.6, 0.4)2. (0.7, 0.5) (0.5, 0.5)3. (0.8, 0.5) (0.8, 0.6)4. (0.8, 0.8) (0.8, 0.8)5. (1.0, 0.0) (, ) para quaisquer 0 , 16. (, ) (0.0, 1.0) para quaisquer 0 , 17. De 5 e 6 obtemos (0.0, 1.0) (, ) (1.0, 0.0) para quaisquer 0 , 1Contra-exemplos:

1. falso que (0.8, 0.6) (0.9, 0.7)2. falso que (0.8, 0.7) (0.4, 0.6)3. falso que (0.8, 0.6) (0.9, 0.4)

11(1, 1)(0, 1)(0, 0)(1, 0)

Figura 8Observe que todas as constantes de anotao (1, 1) da regio pontilhada incluindo os bordos so tais que (, ) (1, 1).As demais constantes de anotao no satisfazem a desigualdade anterior.

2.9 Operaes no Reticulado

Passamos a considerar algumas operaes intuitivamente naturais definidas no reticulado que sero fundamentais na exposio ulterior.

2.9.1 Operao NOT

Exemplos:1. (0.8, 0.6) = (0.6, 0.8)2. (1.0, 0.0) = (0.0, 1.0)3. (0.0, 1.0) = (1.0, 0.0) 4. (1.0, 1.0) = (1.0, 1.0)5. (0.0, 0.0) = (0.0, 0.0)

No exemplo 1, a negao da constante de anotao 80% de evidncia favorvel e 60% de evidncia contrria a constante de anotao 60% de evidncia favorvel e 80% de evidncia contrria.No exemplo 2, a negao da constante de anotao verdadeiro a constante de anotao falso.No exemplo 3, a negao da constante de anotao falso a constante de anotao verdadeiro.No exemplo 4, a negao da constante de anotao inconsistente a constante de anotao inconsistente.No exemplo 5, a negao da constante de anotao paracompleto a constante de anotao paracompleto.

Propriedades1) Para qualquer (, ) , temos (, ) = (, ) (Idempotncia)2) Para qualquer (, ) , temos k(, ) = (, ) se k par e k(, ) = (, ) se k mpar.

(, )(, )(1, 1)(0, 1)(0, 0)(1, 0)5) Para qualquer (, ) , temos (, ) OR (, ) = (Mx{, }, Mn{, })

Figura 9. Note que a operao Not aplicado uma constante de anotao resulta ser simtrico ao segmento perfeitamente indefinido.

2.9.2 Operao de Maximizao

Indicamos tal operao por OR e define-se como se segue.Sejam (1, 1) e (2, 2) .(1, 1) OR (2, 2) = (Mx{1, 2}, Mn{1, 2})onde Mx indica a operao de maximizao de nmeros