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Introdução à Gestão Financeira e Fundamentos do Cálculo

Financeiro

“A Gestão Financeira é a arte e a ciência de ad-ministrar os recursos financeiros da empresa

para maximizar a riqueza dos acionistas”

LEMES JR., et al, 2010

Renata Ferreira

IntroduçãoBem-vindo ao curso de Gestão Financeira!O objetivo deste curso é fornecer as ferramentas para

a administração dos recursos financeiros de uma empresa. Com a era das economias interligadas e a velocidade da infor-mação, a administração financeira adquiriu uma importância estratégica no processo de tomada de decisões, afinal, nin-guém quer perder dinheiro.

O cenário de volatilidade e incerteza, comum ao mer-cado financeiro, exige do administrador financeiro o conhe-cimento de técnicas e o reconhecimento das variáveis que mais afetam a sua atividade empresarial. Administrar é deci-dir e a qualidade das decisões é que garante a continuidade e o sucesso de um negócio, por isso o conhecimento das ferra-mentas de gestão financeira é imprescindível para o processo decisório.

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Cabe ao administrador financeiro tomar decisões que propiciem a manutenção da saúde econômico-financeira da empresa e que resultem na criação de valor para a empresa, maximizando a riqueza dos acionistas.

Deste conceito surge nossa primeira questão:Maximizar riqueza? Não seria lucro?Sempre ouvimos maximizar o lucro, é verdade. Mas a

maximização do lucro é um objetivo de curto prazo e maxi-mizar riqueza é um objetivo de longo prazo e, portanto, mais importante. Decisões sobre o lucro são consideráveis de curto prazo, porque lucros elevados podem ser obtidos através de um aumento na receita e/ou do corte de gastos.

Por exemplo, a empresa pode demitir gerentes e dire-tores, já que possuem salários elevados, provocando uma redução nos gastos e aumentando por consequência o lucro.

Porém, esta decisão pode enfraquecer a posição com-petitiva da empresa, já que passa um cenário de incerteza para o investidor, reduzindo o valor das ações desta empresa no mercado. Assim, uma tentativa de maximizar o lucro “pode se mostrar inconsistente com o objetivo de maximi-zar a receita, o que requer que se atenha ao maior retorno esperado possível com o menor nível de risco” (GROPPELLI; NIKBAKHT, 2010), ou seja, o conceito de maximização da riqueza é mais preciso, porque envolve a ideia de lucro atual e futuro, incorpora os conceitos de risco e retorno.

Esta unidade apresenta as decisões e atividades da ges-tão financeira, além dos conceitos e aplicações da Matemática Financeira, visto que o cálculo financeiro é uma ferramenta essencial no processo decisório e na gestão financeira das empresas e das pessoas. Além disso, como a maximização da riqueza está relacionada com perspectivas de longo prazo, é imprescindível considerar o valor do dinheiro no tempo.

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Decisões da Gestão FinanceiraDe forma simplificada, podemos identificar três ativi-

dades da gestão financeira:

Análise e Planejamento FinanceiroProcura evidenciar as necessidades de expansão (ou

redução) da empresa, assim como determinar a necessidade de aumento (ou redução) dos financiamentos. Este planeja-mento inicia-se com o levantamento e análise dos dados eco-nômico-financeiros, atividade esta fortemente apoiada sobre os demonstrativos contábeis.

Segundo Assaf Neto (2010), é por meio do planeja-mento financeiro que é possível “selecionar, com maior mar-gem de segurança, os ativos mais rentáveis e condizentes com o negócio da empresa, de forma a estabelecer mais satis-fatória rentabilidade sobre os investimentos”.

Depois de definir as metas da empresa e projetar o resul-tado previsto, funções do planejamento financeiro, o gestor finan-ceiro precisa dedicar-se ao controle, ou seja, ao acompanhamento e avaliação de todo o desempenho financeiro da empresa, identi-ficando os desvios que venham a ocorrer entre o previsto e o rea-lizado, propondo medidas corretivas, caso necessário.

Balanço patrimonial

Ativoscirculantes

Decisões deinvestimentos

Ativospermanentes

Passivoscirculantes

Decisões definanciamento

Recursospermanentes

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Decisões de InvestimentoDecisões que envolvem a análise, seleção e escolha,

considerando o risco e o retorno dos investimentos empresa-riais, além do gerenciamento eficiente de seus valores. Ou seja, referem-se à administração da estrutura do ativo da empresa (relação entre ativo circulante e ativo permanente) e à imple-mentação de novos projetos (decisão sobre novos ativos).

Segundo Assaf Neto (2010), a gestão dos ativos acom-panha também as defasagens que podem ocorrer entre as entradas e saídas de dinheiro, o que é geralmente associado à gestão do capital de giro.

Decisões de FinanciamentoDecisões que visam montar a estrutura financeira mais

adequada para a empresa, levando-se em consideração as operações normais e os novos projetos a serem implantados.

Representa a análise da aquisição dos fundos e o geren-ciamento de sua composição, ou seja, refere-se à definição dos financiamentos de curto e longo prazos (passivos circulantes e recursos permanentes), além da decisão da melhor relação entre capital próprio e de terceiros, buscando a estrutura de capital mais adequada em termos de liquidez, redução dos custos e risco financeiro.

Fundamentos do Cálculo FinanceiroAs decisões financeiras, sejam elas de investimento ou de

financiamento, envolvem cálculos de taxas de juros, para, por exemplo, escolher a aplicação financeira ou o empréstimo mais adequado. As decisões sobre a compra de um ativo fixo requerem avaliações de fluxos de pagamentos e recebimentos projetados.

Essas e outras decisões devem considerar o valor do dinheiro no tempo e para tanto são necessários cálculos ade-quados a cada situação e o estudo desses cálculos é o objeto de estudo da Matemática Financeira.

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Primeiramente, é preciso conhecer os conceitos básicos da Matemática Financeira:

Capital (C) ou Valor Presente (VP) [ou Present Value (PV)]

É o recurso financeiro transacionado no período ini-cial (na data focal zero) em uma determinada operação finan-ceira. Também chamado de Principal ou Investimento Inicial.

Juros (J)Com o desenvolvimento das sociedades surgiram a

especialização e a troca de mercadorias para solucionar o problema de satisfação das necessidades e minimizar a ques-tão da escassez. Com isso, a moeda passou a ser um inter-mediário das trocas e as pessoas perceberam que ela era um meio de acumular valor e constituir riqueza (o estoque de bens poderia ser usado para gerar novos bens e riquezas).

A maioria das pessoas prefere consumir seus bens no presente e não no futuro. As pessoas que acumulam riqueza querem, portanto, uma recompensa pela abstinência de não consumir hoje, deixando para o futuro. Este prêmio é cha-mado de juro. Dessa forma, “são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a forma-ção de poupanças e de novos investimentos na economia” (ASSAF NETO, 2008).

Assim, podemos classificar o juro como a remuneração do capital empregado. Para o investidor ou emprestador, os juros recebidos devem ser suficientes para cobrir as despesas (operacionais, de formalização do empréstimo, taxas etc.) e o risco da operação, além de proporcionar certo lucro.

Do ponto de vista do tomador do empréstimo, o juro pode ser considerado como o custo do capital. Se o tomador pretende utilizar o capital emprestado em um negócio qual-quer, os juros pagos pelo empréstimo devem ser menores do que a receita prevista com o negócio.

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Taxa de juros (i)A taxa de juros é o parâmetro de cálculo dos juros,

representa o coeficiente obtido da relação dos juros recebidos (ou pagos) (J) e o capital inicialmente aplicado (PV). É indi-cada por i (interest = juros).

Exemplo: Um investimento em CDB de R$ 5.000 pro-porcionou após 90 dias juros de R$ 625. Qual a rentabilidade do período?

i = J/PVi = 625,00/5.000,00i = 0,1250 = 12,50% para 90 dias = 12,50% ao trimestre

Os juros podem ser obtidos através da multiplicação da taxa de juros pelo valor aplicado.

Atenção!As taxas de juros, geralmente, são expressas em percen-tual que sempre se referem a uma unidade de tempo.

Exemplos: 12% ao ano = 12% a.a. 6% ao semestre = 6% a.s.5% ao trimestre = 5% a.t. 10% ao mês = 10% a.m.

i = J PV

J = PV . i

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Exemplo: Um capital de R$ 3.000 aplicado a uma taxa de juros de 18,65% ao ano no final de um ano proporciona qual rendimento?

J = 3.000,00 x 0,1865J = R$ 559,50

Montante (M) ou Valor Futuro (VF) [ou Future Value (FV)]

É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é a soma dos juros com o capital inicial.

Prazo ou período (n)É o tempo em que certo capital (PV) aplicado a uma

taxa (i) necessita para produzir um montante (FV), ou em outras palavras, é o período em que os recursos ficaram apli-cados ou o tempo de duração de um empréstimo.

Repare que o cálculo é feito com a taxa unitária (em decimal), que é obtida pela divisão da taxa percentual por 100.

18,65% = 18,65 = 0,1865

100

LembreteNas fórmulas de Matemática Financeira, todos os cálculos são feitos com a taxa unitária (em decimal), porém as res-postas finais de taxas de juros são apresentadas na forma percentual.

M = J + CFV = J + PV

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Algumas regras são fundamentais para as questões que envolvem Matemática Financeira. Destacamos uma:

As periodicidades da taxa de juros e do prazo da ope-ração devem estar na mesma unidade de tempo.

Por exemplo, se uma situação apresentar taxa de juros anual e o período da operação for em meses, a periodicidade não está coincidente e temos que transformar a taxa de juros em mensal. Somente após esta adequação entre o prazo e a taxa de juros (na mesma unidade de tempo) é que podemos aplicar as fórmulas da Matemática financeira.

Regimes de CapitalizaçãoOs critérios de transformação da taxa e do prazo

dependerão do regime de capitalização da operação.Mas o que é Regime de Capitalização?Regime de capitalização é a forma como os juros são

incorporados ao capital. Existem dois regimes de capitaliza-ção: o simples e o composto. Vamos conhecê-los.

Regime de Capitalização SimplesConceito e fórmulasNo regime de capitalização simples (ou juros simples),

os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros não são somados ao principal para cálculo de novos juros nos períodos seguin-tes (os juros não são capitalizados e por isso não rendem juros). Exemplo: Um investidor aplicou R$ 1.500 pelo prazo de cinco anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Determine o valor do saldo a ser resgatado no final de cada um dos cinco períodos.

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Como no regime de capitalização simples, os juros incidem apenas sobre o valor inicial, os juros de n períodos são resultados da multiplicação do juro de um período pelo número de períodos considerado.

No nosso exemplo, os juros do 5º período:J = 1.500 x 0,08 x 5J = 120 x 5 --> J = 600 O total da operação será:FV = PV + JFV = 1.500 + 600FV = 2.100

Ano Saldo inicial Juros Saldo final

0 - - 1.500

1 1.500 1.500 x 0,08 = 120 1.620

2 1.620 120 1.740

3 1.740 120 1.860

4 1.860 120 1.980

5 1.980 120 2.100

Os juros de cada período são obtidos pela multiplicação da taxa de juros pelo principal.

J = PV.iJ = 1.500 x 0,08J = 120

J = PV . i . n

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Podemos encontrar uma fórmula para o Montante ou valor futuro:

FV = Principal + Juros =FV = PV + PV.i.nTirando o PV em evidência, temos: FV = PV (1 + i.n)

Exemplo:Qual o valor de resgate de uma aplicação no valor de

R$ 84.975,59, por três meses a uma taxa de juros simples de 1,45% ao mês?

J = PV.i.n OU FV = PV( 1+ i.n)J = 84.975,59 x 0,0145 x 3 FV = 84.975,59 (1 + 0,0145x3)J = 3.696,44 FV = 84.975,59 (1 + 0,0435)FV = PV + J FV = 84.975,59 (1,0435)FV = 84.975,59 + 3.696,44 FV = 88.672,03FV = 88.672,03Obs.: na fórmula, usar a taxa de juros (i) sempre em decimal.

Os juros simples têm aplicações bastante restritas. São raras as operações financeiras e comerciais que utilizam este regime de capitalização. A utilização mais comum para os juros simples refere-se ao cálculo dos juros por atraso de pagamentos (boletos em atraso).

Períodos não inteiros (taxas proporcionais)Podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação

não é um número inteiro de períodos a que se refere à taxa dada. Também podemos encontrar situações em que a perio-dicidade da taxa e do período não estão na mesma unidade de tempo. Nestes casos, é necessário calcular a taxa proporcional.

Taxa proporcional é típica do regime de capitalização simples.

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Duas ou mais taxas são proporcionais se, quando apli-cadas sobre o mesmo principal durante o mesmo período, produzem o mesmo montante. Por exemplo, 2% ao mês são proporcionais a 24% ao ano.

Exemplo: Um investidor aplicou R$ 1.000 a uma taxa de juros simples de 12% ao semestre, qual valor a ser resga-tado no final de 5 anos e 9 meses?

n = 5 anos e 9 meses = 69 mesestaxa de juros = 12% ao semestreA periodicidade da taxa (semestre) não é coincidente

com a periodicidade do prazo (meses), precisamos encontrar a taxa proporcional em meses.

12% ao semestre = 12% = 2% ao mêsApós o ajuste, podemos calcular os juros pela fórmula: J = PV. i. nJ = 1.000,00 x 0,02 x 69J = 1.380,00FV = 1.000,00 + 1.380,00FV = 2.380,00 Exemplo de taxas proporcionais:

a) 5% ao mês = 30% ao semestre = 60% ao anob) 18% ao ano = 9% ao semestre = 6% ao quadrimestre = 1,5% ao mês

Para ajustar a taxa podemos nos basear na seguinte tabela:

De Para Fórmula

mês (a.m.) ano (a.a.) ia = (im) x 12

dia (a.d.) mês (a.m.) im = (id) x30

dia (a.d.) ano (a.a.) ia = (id) x 360

ano (a.a.) mês (a.m.) im = (ia) / 12

mês (a.m.) dia (a.d.) id = (im) / 30

ano (a.a.) dia (a.d.) id = (ia) / 360

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Assim, se tivermos uma taxa de 2% ao mês e quiser-mos passá-la para ano (em juros simples), devemos aplicar a fórmula:

Taxa anual = taxa mensal x 12 = 2% x 12 = 24% ao ano

Regime de Capitalização CompostaConceitos e fórmulasNo regime de juros compostos, os juros de cada

período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte, dizemos então que os juros são capitalizados.

O regime de juros compostos é o mais comum no sis-tema financeiro e no cálculo econômico e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do cotidiano.

A tabela a seguir mostra a diferença de cálculo entre os dois regimes, para um empréstimo de R$ 1.000 por um perí-odo de quatro anos à taxa de juros de 20% ao ano.

Podemos observar que no regime de juros simples, o valor dos juros é constante, enquanto que no regime de juros compostos, o valor dos juros cresce em função do tempo. Isto faz com que o dinheiro cresça mais rapidamente a juros com-postos do que a juros simples.

No juros compostos, o dinheiro cresce exponencial-mente (em progressão geométrica) e no juros simples, ele

De Para Fórmula

mês (a.m.) ano (a.a.) ia = (im) x 12

Ano

Juros simples Juros compostos

Capital Juros Montante Capital Juros Montante

1 1000 1000 x 0,20 = 200 1200 1000 1000 x 0,20 = 200 1200

2 1000 1000 x 0,20 = 200 1400 1200 1200 x 0,20 = 240 1440

3 1000 1000 x 0,20 = 200 1600 1440 1440 x 0,20 = 288 1728

4 1000 1000 x 0,20 = 200 1800 1728 1728 x 0,20 = 345,6 2073,02

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cresce linearmente (em progressão aritmética). Assim, mate-maticamente, o cálculo dos juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.

Considere a seguinte nomenclatura genérica:PV = Capital inicial ou principal ou Valor presenteFV = Montante ou Valor futuroi = taxa de juros de cada períodon = número de períodosJ = Juros

A fórmula para cálculos em juros compostos é:

Exemplo:Se você investir R$ 1.500 em uma aplicação que pague

juros compostos de 3% ao mês durante seis meses, quanto acumulará?

PV = 1.500 FV = 1.500 (1+0,03)6

i = 3% a.m. = 0,03 FV = 1.500 (1,1941)n = 6 meses FV = 1.791,08

Podemos utilizar as calculadoras financeiras para rea-lizar os cálculos de juros compostos. O modelo mais tradicio-nal é a HP 12C:

FV = PV(1 + i) n

Saiba MaisVocê encontra na internet vários emuladores da HP 12C para instalar em seu computador. Uma sugestão de site que contém este e outros modelos de calculadoras cien-tíficas e financeiras para download grátis é: http://www.livrariamaconica.com.br/calculadoras/calculadoras.htmTambém é possível baixar o aplicativo da calculadora no seu IPOD ou IPHONE.

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As funções financeiras encontram-se na primeira linha da calculadora:

Retomando o nosso exemplo, agora na Calculadora HP 12C:

Também podemos efetuar estes cálculos utilizando o Excel. Considerando a versão 2007:

Clicar na barra de ferramentas em Fórmulas depois cli-car no ítem Financeira

Procurar na lista de fórmulas a que trate do valor futuro (VF):

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Aparecerá a seguinte caixa:

Você pode preencher os campos com os valores ou indicar as células que contém os respectivos valores.

No nosso exemplo:

Depois clique em ok. O resultado será R$ 1.791,08.

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Taxas equivalentesEm juros compostos, quando a periodicidade da taxa

não coincide com a periodicidade do prazo, precisamos encontrar a taxa equivalente.

Taxa equivalente é típica do regime de capitalização composta.

Duas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, por um período de tempo equivalente, geram o mesmo rendimento.

Por exemplo, 2% ao mês são equivalentes a 26,82% ao ano.

Pelo critério de juros compostos utilizamos a relação:

iq = taxa que eu queroit = taxa que eu tenho (taxa conhecida)q = período que eu querot = período que eu tenho (período da taxa conhecida)

Exemplos:1 ) Qual é a taxa mensal equivalente à taxa de 12% ao ano?

it = taxa que eu tenho = 12% = 0,12q = período que eu quero = 1 mêst = período que eu tenho = 1 ano = 12 mesesim = (1+0,12)1/12 – 1im = (1,12)0,0833333 - 1im = 0,009489 = 0,949% ao mês

2 ) Os cartões de crédito cobram em média uma taxa mensal de 13% ao mês para refinanciamento (para quem não paga a fatura por completo), quanto isso representa em termos anuais?

iq = (1+it) - 1q t

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it = taxa que eu tenho = 13% = 0,13q = período que eu quero = 1 ano = 12 mesest = período que eu tenho = 1 mêsia = (1 + 0,13)12/1 - 1 ia = 4,3345 – 1ia = 3,3345 = 333,45% ao ano.

Operações Financeiras com datasJuro exato e juro comercialJuro exato é aquele obtido quando o período leva em

consideração os dias do calendário, ou seja, é adotada a con-venção do ano civil (365 dias ou 366 dias para os anos bissex-tos). Para cálculos mensais devemos considerar a quantidade exata de dias existentes em cada mês (31 dias para janeiro, 28 ou 29 para fevereiro, 30 para abril, e assim por diante). Já o juro comercial é calculado, quando se adota o ano comer-cial, ou seja, 360 dias. Um mês comercial tem 30 dias. O juro comercial é o mais utilizado nas aplicações financeiras.

Exemplo:Calcule o rendimento de R$ 12.000 aplicados durante

243 dias à taxa de juros simples de 40% ao ano. Efetuar os cál-culos considerando o ano comercial e o ano exato.

Fórmula dos juros simples: J = PV. i. n

Contagem de diasMuitas operações financeiras exigem o tempo exato de

dias entre duas datas. Para determinarmos o prazo exato em dias e a data de vencimento de uma operação, podemos fazer a contagem direta em um calendário, usar uma tabela de con-tagem, usar a calculadora financeira ou o Excel.

Juro Comercial Juro ExatoJ = 12.000,00 x 0,40 x 243/360 J = 12.000,00 x 0,40 x 243/365

J = 3.240,00 J = 3.195,62

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Tabela de contagem de dias (para anos não bissextos):

Como usar a tabela:a) Quantos dias decorreram entre 02 de mar. e 15 de

abril?

Jan

Fev

Mar

Abr

Mai

Jun

Jul

Ago Se

t

Out

Nov

Dez

1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335

2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336

3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337

4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338

5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339

6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340

7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341

8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342

9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344

11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345

12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346

13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347

14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348

15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349

16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350

17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351

18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352

19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353

20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354

21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355

22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356

23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357

24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358

25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 328 359

26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360

27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361

28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362

29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363

30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364

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02 de março = na tabela dia 6115 de abril = na tabela dia 105Total de dias = 105 - 61 = 44 dias

b) Fechei um contrato no dia 05 de maio para venci-mento em 52 dias. Em que dia vencerá o contrato?

05 de maio = na tabela dia 125125 + 52 = 177 na tabela o dia nº 177 é o dia 26 de junho

Contagem de dias no ExcelUtilizando os mesmos exemplos da contagem de dias

pela tabela:Determinar um prazo: Para saber o número exato de

dias entre as duas datas, basta entrar com a data 1, digitar a data 2 e calcular a diferença entre elas.

Contagem de dias na HP 12CO primeiro passo é ajustarmos a calculadora para o

modo de calendário brasileiro (dia.mês.ano). Para isso deve-mos apertar as teclas:

Obs.: Se o ajuste não for feito, a calculadora estará pro-gramada para o método americano (Mês. Dia. Ano – M.DY).

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Usando os exemplos da demonstração da tabela ante-rior, temos:a) Quantos dias decorreram entre 02 de março e 15 de abril?

b) Fechei um contrato no dia 05 de maio para vencimento em 52 dias. Em que dia vencerá o contrato?

Séries UniformesUma Série, também chamada de Renda, é uma sequên-

cia de pagamentos ou recebimentos efetuados a determinado intervalo de tempo. Os vencimentos dos termos de uma Série podem ocorrer no final de cada período (vencidos ou poste-cipados) ou no início (antecipados). Pode ocorrer, também, da Série contar com um período de carência (diferidos).

As Séries podem ser uniformes (quando os pagamen-tos ou recebimentos são iguais) ou variáveis (quando os paga-mentos ou recebimentos são crescentes, decrescentes ou até desproporcionais).

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Vamos tratar das séries uniformes.Nas calculadoras financeiras o pagamento periódico é

identificado pela função

Séries postecipadasSão aquelas em que o primeiro pagamento (ou recebi-

mento) ocorre no final do primeiro período, ou seja, quando o primeiro pagamento (ou recebimento) ocorre no momento 1 (um), como por exemplo, empréstimos bancários e vendas a prazo sem entrada - do tipo (0+n). Antes de fazer a conta na calculadora financeira, é preciso ajustar o plano para posteci-pado, modo END, apertando as teclas:

Situações de compras ou empréstimos são casos em que temos uma relação entre o valor presente (valor da com-pra ou valor do empréstimo) e as prestações. Nestes casos a fórmula usada é:

PV = PMT . (1 + i)n -1 (1 + i)n . i

LembreteNão se esqueça que a periodicidade da taxa deve ser igual à periodicidade das parcelas. No nosso exemplo, tanto a taxa de juros como as parcelas são mensais. Caso não sejam iguais, antes de calcular as prestações é preciso encontrar a taxa de juros equivalente (na mesma periodi-cidade das prestações).

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Exemplo:Um computador é vendido à vista por R$ 3.000 ou

financiado em 24 parcelas mensais iguais, sem entrada. Sabendo que a loja cobra taxa de juros de 2,99% ao mês, cal-cule o valor de cada parcela.

Na calculadora HP 12C:

No Excel:• Clicar na barra de ferramentas em Fórmulas

• Depois clicar em Financeira

3000 = PMT . (1,0299)24 - 1 (1,0299)24 . 0,02993000 = PMT . 1,028063 0,0606393000 = PMT . 16,9538PMT = 3000/16,9538PMT = 176,95

PV = 3000n = 24i = 2,99%PMT = ?

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• Procurar na lista de fórmulas a que trate das pres-tações (PGTO)

• Abrirá a caixa para preenchimento dos valores ou das células que contenham os valores.

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IMPORTANTEUma observação importante é que o ajuste do plano de

pagamento é feito aqui. Para pagamentos no final do período (pos-tecipados) o tipo deve ser 0 (zero) ou ficar em branco e, para paga-mentos antecipados (no início do período) o tipo deve ser 1 (um).

Já quando nos deparamos com situações em que são rea-lizados pagamentos para acumular um valor no futuro, geral-mente em situações de poupança, temos uma relação entre o valor futuro (FV) e as prestações (PMT) e usamos a seguinte fórmula:

Exemplo:João está programando suas férias e resolveu juntar

dinheiro. Para tanto, aplicará R$ 200 por mês durante seis meses consecutivos a uma taxa de 5% ao mês. Quanto resga-tou no final do período?

FV = PMT . (1 + i)n -1 i

FV = 200 . (1,05)6 - 1 0,05FV = 200 (6,8019)FV = 1.360,38

PMT = 200,00n = 6i = 5%FV = ?

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Séries antecipadasSão aquelas em que o primeiro pagamento (ou rece-

bimento) ocorre no início do primeiro período, ou simples-mente, quando o primeiro pagamento (ou recebimento) ocorre na data zero. Exemplo: compras a prazo do tipo (1+n), cuja primeira parcela é no ato da compra

Na calculadora HP 12C é preciso ajustar o plano de pagamentos, apertando as teclas:

Aparecerá a palavra BEGIN no visor da calculadora.

Após o ajuste do plano de pagamentos, o procedimento para a realização do cálculo é o mesmo do plano postecipado.

No Excel, o procedimento também é idêntico ao reali-zado no plano postecipado, apenas atenção ao preenchimento do Tipo, é preciso colocar o número 1 (um) que equivale ao plano antecipado.

Matematicamente, quando nos depararmos com situa-ções de compra ou de empréstimos (situações em que temos o Valor Presente) com pagamentos antecipados, usamos a seguinte fórmula:

PV = PMT . (1 + i)n - 1 (1 + i) (1 + i)n . i

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Exemplo:Um empréstimo de R$ 30.000 é concedido por uma ins-

tituição financeira para ser liquidado em 12 parcelas iguais, mensais e consecutivas. Sabendo que a primeira parcela deverá ser paga no ato e que a taxa de juros é de 4% ao mês, calcular o valor das prestações.

Saiba MaisNa série de pagamentos/recebimentos iguais com termos postecipados é comum a ocorrência de um valor a título de entrada, valor este diferente do valor das prestações.Quando isto acontece, deve-se deduzir o valor desta entrada do Valor Presente, ou seja, neste caso o PV é igual ao valor total menos o valor da entrada. Isto significa, obviamente, que o valor da entrada não será onerado com juros.Apenas o restante do Valor Presente, que será efetiva-mente financiado, será encarecido com juros.

Ex. Financiamento de R$ 3.000 sem entrada: PV= 3.000,00Financiamento de R$ 3.000 com entrada de R$ 500:

PV = 3.000 - 500PV = 2.500,00

Na série antecipada, o valor presente é integralmente financiado. A parcela dada como “entrada” possui valor idêntico ao das demais parcelas. Neste caso, o PV é igual ao valor total.

Ex. Financiamento de R$ 3.000 com vencimento anteci-pado das parcelas o PV será os R$ 3.000.

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Séries DiferidasSão aquelas em que existe um período de carência entre

a concessão do financiamento e o início dos pagamentos, ou seja, o primeiro pagamento ocorre em datas superiores a um período. Este tipo de plano é muito comum no comércio, em que as promoções usam o jargão “compre hoje e só comece a pagar em...”

Exemplo: Silva contraiu um empréstimo de R$ 4.200 a uma taxa de 2,5% a.m. O pagamento será efetuado em 4 pres-tações mensais e terá uma carência de três meses para o pri-meiro pagamento. Determinar o valor das prestações.

Ao invés de usarmos uma fórmula específica para séries com carência, podemos calcular as prestações usando os conceitos já aprendidos. Temos duas formas de calcular este tipo de prestação.

MODO 1 – usando o plano postecipado1º passo: Ajustar a carência A pessoa ficará três meses sem efetuar pagamentos,

porém isso não significa que o valor não sofra correções, na verdade os juros correm normalmente neste período.

Como não há pagamentos, não há PMT, o ajuste da carência é feito usando a fórmula de juros compostos.

2º passo: Calcular as prestaçõesO Valor atualizado é usado para o cálculo das

prestações.Como ajustamos apenas o período extra dado como

carência (consideramos que 1 período, neste caso 30 dias, é normal), utilizamos para o cálculo do PMT a fórmula para planos postecipados.

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MODO 2 – usando plano antecipado1º passo: Ajustar a carênciaAjustar o prazo inteiro de carência

2º passo: calcular as prestaçõesO Valor atualizado é usado para o cálculo das presta-

ções usando a fórmula para planos antecipados.

PV = 4200i = 2,5% ao mêsCarência = 3 mesesn = 2 meses

Como um mês de prazo para começar a pagar é normal, consideraremos apenas o prazo extra (o que excede 30 dias). Neste caso o ajuste é de 2 meses

FV = 4200 (1,025)2 FV = 4.412,63________________________________________

PV = 4.412,63i = 2,5% a.mn = 4 prestações

4.412,63 = PMT . (1,025)4 - 1 (1,025)4 . 0,0254.412,63 = PMT (3,7620)PMT = 1.172,96

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É HORA DE FIXAR:Em 15 de março, a empresa “Mega X Ltda.” contraiu

um empréstimo no valor de R$ 55.000 para pagamento em dezoito parcelas mensais, sendo que o pagamento da pri-meira parcela ocorreu 15 de julho do mesmo ano, à taxa de juros de 34,489% ao ano. Considere que estamos no dia 15 de novembro (dia do pagamento da quinta parcela), porém a empresa “Mega X Ltda.” só terá os recursos para o paga-mento daqui a 13 dias. Sabendo que o banco cobra uma taxa de juros simples de 30% ao mês pelo atraso de pagamentos, quanto a empresa deverá desembolsar para quitar a parcela? Resposta: R$ 4.662,93.

PV = 4.200i = 2,5% ao mêsCarência = n = 3 mesesn = 2 meses

FV = 4200 (1,025)3 FV = 4.522,94________________________________________

PV = 4522,94i = 2,5% a.mn = 4 prestações

4.522,94 = PMT . (1,025)4 - 1 (1,025) (1,025)4 . 0,0254.522,94 = PMT (3,761974) (1,025)4.522,94 = PMT (3,856024)PMT = 1.172,96

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RESOLUÇÃO:Este exercício envolve várias fórmulas aprendidas

nesta unidade. O primeiro passo é encontrar o valor das pres-tações para depois calcular os juros pelo atraso do pagamento. Vamos identificar as variáveis fornecidas pelo enunciado:

Valor do empréstimo = PV = R$ 55.000 Número de parcelas = n = 18 (mensais) Taxa de juros = 34,489% ao anoPV =? Obs.: pagamento da primeira parcela em julho, por-

tanto, carência de 4 meses – DIFERIDOAtraso = 13 dias a 30% ao mês (juros simples)

1 | Antes de encontrar o valor da prestação precisamos ajustar a taxa de juros que está anual e as parcelas são men-sais. Passando a taxa de juros para mensal, temos:it = taxa que eu tenho = 34,489% ano ano = 0,34489 q = período que eu quero = 1 mêst = período que eu tenho = 1 ano = 12 mesesim = (1+i)q/t – 1im = (1+0,34489)1/12 – 1 im = (1,34489)0,0833333 - 1im = 1,025 – 1im = 0,025 = 2,5% ao mês

2 | Agora podemos calcular as prestações, lembrando que é um plano diferido (com carência)a) Ajuste da carência b) Calcular a prestaçãoPV = 55.000 PV = 59.228,98i = 2,5% ao mês i = 2,5% a.m.n = 3 meses (postecipado) n = 18 prestaçõesFV = PV (1 + i)n PV = PMT (1+i)n -1 FV = 55.000 (1,025)3 (1+i)n .i

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FV = 59.228,98 59.228,98 = PMT . (1,025)18 - 1 (1,025)18. 0,025

59.228,98 = PMT (14,35336) PMT = 4.126,49

3 | Calculando o atraso do pagamento da parcela:PV = 4.126,49 J = PV.i.nn = 13 dias J = 4.126,49 . 0,30 . 13/30i = 30% ao mês J = 536,44 J = ?

TOTAL A PAGAR = 4.126,49 + 536,44 TOTAL A PAGAR = 4.662,93

R ef eR ênci asASSAF NETO, A. Finanças Corporativas e Valor. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2010.

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GITMAN, L. Princípios de Administração Financeira. 12. ed. São Paulo: Addison Wesley Brasil, 2010.

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MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2009.

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PUCCINI, A. L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2008.

SAMANEZ, C.P. Matemática Financeira: aplicação à análise de investimentos. 4. ed. São Paulo: Pearson - Prentice Hall, 2007.

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