Geometria Espacial

COEDUCAR 2008

* Retas e planos no espaço: Postulados

I) Dois pontos distintos definem uma RETA

AB

r

II) Três pontos distintos não colineares definem um PLANO

AB

C

III) Se uma reta está contida no plano

dois pontos distintos dessa reta pertencem ao plano

AB

r

IV) A intersecção de dois planos distintos e não paralelos é uma RETA

* Retas Reversas

Na Geometria Plana

r

s Paralelas

r = sCoincidentes

r

s

Concorrentes

Na Geometria Espacial

Retas Reversas: retas não coplanares

* Exercício 03 – p. 30

Na figura representamos um cubo. Para cada par de retas apresentadas a seguir, diga se elas são concorrentes, paralelas ou reversas.

a)

b)

c)

d)

A

B C

D

E

FG

H

reversas

paralelas

concorrentes

reversas

* Exercício 05 – p. 30

(V ou F) Se duas retas são paralelas a uma terceira, então são paralelas entresi.

r

s

t

r // s e t // s r // t

(V)

*Ângulo entre Retas Reversas

r

s

s’α

α = 90º r e s’ são ORTOGONAIS

*Planos perpendiculares

r e s são PERPENDICULARES

r

s

*Prismas

Prismas retos

Paralelepípedos (cubos) Prismas regulares(Prismas de bases regulares)

VOLUME = Área da Base x AlturaV Ab h

* Exercício 16 – p. 33

As dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo são proporcionais a 1, 2 e 3.Calcule su área total e seu volume, sabendo que suas diagonais medem .56

A

B C

D

E

FG

H

a

c

b

e

* RESOLUÇÃO

A

B C

D

E

F G

H

a

c

b

Se há proporção entre os lados, podemos fazer:

abb

a2

2

1 ac

c

a3

3

1

Se sua diagonal (D) mede , temos: 56

abc

222 cdD 222 bad

d

e

Juntando-se, temos2222 cbaD

6

4

2

1456

)3()2(2

2222

c

b

a

a

aaaD

48

88

)(2

V

cbaV

A

bcacabA

total

total

* Exercício 18 – p. 33

Um prisma hexagonal regular tem arestas da base de medida 2 e altura de medi-da 4. Calcule.

a)

b)

c)

d)

Volume

Área lateral

Área da base

a medida da maior diagonal

e

* RESOLUÇÃO

a)

364

326

4

366

2

2

.

bb

eqüib

SS

aSS

b) laterais faces das áreas das soma lS

D

48

4266 retângulo

l

l

S

SS

324

436

V

V

HSV b

2x x

c)

e

* RESOLUÇÃO

d) medida da maior diagonal

D

2x x

2x x

60º60º

2

21

2º60cos xx

d

d = 4

1616

4

2

222

D

dD

24D

*Pirâmides

Pirâmide regular

VOLUME = x Área da Base x AlturaV Ab h3

1

*Pirâmides

Planificações

* Exercício 24 – p. 34

Considere um tetraedro regular cujas arestas medem a. Calcule, em função de a:

a) o apótema da base (m)

b) o apótema do tetraedro (m’)

c) a distância do centro da base aqualquer vértice da base (d)

d) a altura (h)

e) a área total (AT)

f) Volume ( V )

e

* RESOLUÇÃO

a) m = ?

6

3

2

º30a

mam

tg

30º

dm

2

a

b) m’ = ?

am’

2

a2

3')'(

22

22 a

mma

a

e

* RESOLUÇÃO

c) d = ?

3

3

336

12

36

9

36

3

436

3

2222

2

222

222

ad

aad

aad

aad

amd

30º

dm

2

a

e

* RESOLUÇÃO

d) h = ?

m’ h

3

6

3

2

3

2

1212

9

36

3

4

3

22

222

222

ah

ah

ah

aah

aah

m

222222 )'()'( mmhmhm

e

* RESOLUÇÃO

e) a área total (AT)

3

4

344

2

2

.

aA

aSA

t

eqüit

hSV b 3

1

f) Volume (V)

36

23

36

18

3

6

4

3

3

1

33

2

aaV

aaV

12

23aV

*Cilindros

Cilíndro reto

Cilíndro eqüilátero

H

diâmetro = H

VOLUME = Área da Base x AlturaV Ab h

* Exercício 25 – p. 34

Num cilindro reto, a altura é o dobro do diâmetro da base, cuja área é 25 cm2.Calcule:

a) a área lateral

b) o volume

c) a maior distância entre dois pontosda superfície cilíndrica.

e

* RESOLUÇÃO

a) Área Lateral

cmR

RSb 5

25 2

Diâmetro = 10 cm Altura = 20 cm

2R = 10 cm

20 cm

Área Lateral = 10 . 20

Área lateral = 200 cm2

e

* RESOLUÇÃO

b) Volume

hSV b

2025 V

3cm 500V

e

* RESOLUÇÃO

c) Maior distância… = D

222 )()( alturadiâmetroD

4001002 D

cm 510D

*Cones

Cone reto

VOLUME = x Área da Base x AlturaV Ab h3

1

Cone eqüilátero

* Exercício 29 – p. 35

As geratrizes de um cone circular reto medem 20 cm e formam ângulos de 60º com o plano da base. Determine a área lateral, a área total e o volume do cone.

* RESOLUÇÃO

60º

gh

* RESOLUÇÃO

60º

gh

g

2r

rr

* RESOLUÇÃO

60º

gh

Área Lateral = Área Setor Circular

grAsc

g

2r

rr

º360

2

gAsc

º180º360

2.

ggComp Arco

(1)

22º180

gggAsc

(1)

)(

No nosso caso, r 2

2

2

2

grgAsc

* RESOLUÇÃO

60º

gh

Encontrando r:

g

2r

rr

cmrr

1020

º60cos

Finalmente, a área lateral será:

2010scA

2cm 200scA

Área Total = Área Lateral + Área da Base (Sb)

210Sb2cm 100Sb

Assim, área total = 100+200

área total = 300 cm2

* RESOLUÇÃO

60º

gh

Altura do Cone:

g

2r

rr

hÁreaV base 3

1

310103

1 2 V

cmhg

hsen 310º60

Volume do Cone:

3cm 3

31000 V

*Semelhança de Sólidos

razão de semelhança entre dois elementos lineares correspondentes = K

*Semelhança de Sólidos

Razão entre ÁREAS

1

2

1

2

1 21 2

2

1

2 KA

A

Razão entre VOLUMES

3

1

2 KV

V

* Exercício 31 – p. 36

A área da base de uma pirâmide pentagonal é de 72 cm2 e altura 12 cm. Qual é a área de uma secção transversal paralela à base a 4 cm desta?

12 cm

4 cm

8 cm

* RESOLUÇÃO

12 cm

8 cm

Sólidos Semelhantes

K8

12

2

3K

A1A2 = 72 cm2

2

1

2 KA

A

2

1 2

372

A

4

972

1

A

21 32 cmA