Gabarito - Lista 11 (CASA)

MAE116 - Nocoes de Estatıstica

1 Exercıcio 1

Uma empresa de mineracao afirmou que 80% da area de uma regiao contem hematita. Sendo p a proporcaode hematita presente na regiao analisada e, considerando as hipoteses H : p = 0, 80 e A : p < 0, 80, responda:

a) Quais sao os significados dos erros tipo I e tipo II para o problema?

– Erro tipo I: Se dizemos que menos do 80% da regiao tem hematita, quando realmente o 80% daregiao contem hematita.

– Erro tipo II: Se dizemos que o 80% da regiao tem hematita, quando realmente menos do 80%da regiao contem hematita.

b) Se foram observadas 6 amostras com hematita dentre as 11 retiradas do local, qual e a sua conclusao(calcule o nıvel descritivo)?

Para calcular o nivel descritivo ou p-valor, temos que calcular a probabilidade de ter um valor tao oumais extremo do que 6 no sentido da hipoteses A, supondo que H e verdadeira, isto e,

Seja X:”numero de amostras com hematita entre uma amostra de tamano 11”.

Assumindo que H e verdadeira teriamos que X ∼ Bin(11, 0.8). Na seguinte tabela temos os valores dasprobabilidades correspondentes a esta distribuicao:

x P (X = x) x P (X = x)0 2,048e-08 6 0,038761 9.011e-07 7 0,110732 1,802e-05 8 0,221463 0,00022 9 0,295284 0,00173 10 0,236225 0,00969 11 0,08590

Entao p = P (X ≤ 6) = 2, 048e− 08 + 9.011e− 07 + . . .+ 0, 03876 = 0, 05041.

Usando um nivel de significancia de 0.05, e desde que 0, 05041 > 0, 05, nao temos suficiente evidenciaestatıstica para rejeitar a hipoteses H.

2 Exercıcio 2

Sabe-se que o produto X e usado por 40% dos consumidores. Uma campanha promocional foi contratadae os promotores garantem que X passara a ser responsavel por uma porcentagem maior do mercado. Umpesquisador propoe entrevistar algumas pessoas apos o encerramento da campanha promocional e perguntara cada um deles se ele usualmente compra a marca X do produto. Sendo p a porcentagem de consumidoresdo produto X apos a campanha,

a) Estabeleca as hipoteses apropriadas. Seja p a proporcao de pessoas que compram o produto X, entaopodemos sugerir o seguinte sistema de hipoteses,

H :p = 0, 4

A :p > 0, 4

b) Quais sao os significados dos erros tipo I e tipo II para o problema?

1

– Erro tipo I: Se dizemos que mais do 40% das pessoas compram o produto X, quando realmentee comprado pelos 40% da populacao.

– Erro tipo II: Se dizemos que o 40% da populacao compra o produto X, quando realmente essaporcentagem e maior do que 40%.

c) Se entre 19 clientes entrevistados, 11 responderam sim, qual e a sua conclusao com base no nıveldescritivo?

Neste caso para calcular o p-valor, definimos a variavel Y como o numero de entrevistados que compramo produto X, na amostra de tamano 19 e assumimos que ela tem distribuicao Bin(19, 0.4), cujasprobabilidades sao mostradas abaixo,

y P (Y = y) y P (Y = y)0 6,09e-05 10 0,097621 0,00077 11 0,053252 0,00463 12 0,023663 0,0175 13 0,00854 0,04665 14 0,002435 0,09331 15 0,000546 0,14515 16 8,99e-057 0,17971 17 1,06e-058 0,17971 18 7,83e-079 0,14643 19 2,75e-08

Com o que temos que p = P (Y ≥ 11) = 0, 05425 + 0, 02366 + 0, 0085 + . . . + 2, 75e − 08 = 0, 08847.Usando um nivel de significancia de 0,05, concluimos que nao tem suficiente evidencia estatıstica pararejeitar H, em favor de que a proporcao de pessoas que compram o produto X, continua sendo igual a0,4.

d) Se entre 324 clientes entrevistados, 138 responderam sim, qual e a sua conclusao com base no nıveldescritivo?

Agora temos que Y ∼ Bin(324, 0.4). Logo,

µ =np = 324 ∗ 0, 4 = 129, 6

σ =√

np(1− p) =√

324 ∗ 0, 4 ∗ 0, 6 = 8, 81816

Entao,

p =P (Y > 138) = 1− P (Y < 138)

=1− P

(

Z <138− 129, 6

8, 81816

)

=1− P (Z < 0, 9525)

=1− 0, 8289 = 0, 1711

Desde que 0, 1711 > 0, 05, concluimos que nao tem suficiente evidencia estatıstica para rejeitar ahipoteses H, em favor de que a proporcao de pessoas que compram o produto X, continua sendo iguala 0,4.

3 Exercıcio 3

Um criador tem constatado uma incidencia de 6% na proporcao de gado com verminose no seu rebanho. Oveterinario alterou a dieta dos animais e acredita que a doenca diminuiu de intensidade. Um exame em 200cabecas do rebanho, escolhidas ao acaso, indicou 10 delas com verminose.

a) Formule o problema como um teste de hipoteses estatıstico. Seja p a proporcao de gado com verminose,entao podemos sugerir o seguinte sistema de hipoteses,

H :p = 0, 06

A :p < 0, 06

b) Qual e o significado dos erros tipo I e tipo II?

– Erro tipo I: Se dizemos que menos do 6% do gado tem verminose, quando realmente o 6% dogado tem a doenca.

– Erro tipo II: Se dizemos que o 6% do gado tem verminose, quando realmente menos do 6% dogado tem a doenca.

c) Com base no nıvel descritivo, ha indıcios de que a incidencia diminuiu, ao nıvel de significancia de 7%?(resolva utilizando a aproximacao pela normal)

Seja X o numero de cabecas de rebanho com verminose numa amostra de tamano 200. Baixo a hipotesesH, temos que X ∼ Bin(200, 0.06). Logo,

µ =np = 200 ∗ 0, 06 = 12

σ =√

np(1− p) =√

200 ∗ 0, 06 ∗ 0, 94 = 3, 3586

Entao,

p =P (X < 10)

=P

(

Z <10− 12

3, 3586

)

=P (Z < −0, 59549)

=1− 0, 7224 = 0, 2776

Desde que 0, 2776 > 0, 07, concluimos que nao tem suficiente evidencia estatıstica para rejeitar ahipoteses H, em favor de que a porcentagem de gado com verminose continua sendo 6%.

4 Exercıcio 4

Sabe-se atraves de experiencias passadas que, se uma determinada maquina estiver ajustada, apenas 5%dos itens por ela produzidos apresentarao algum defeito. Diariamente sao inspecionados os primeiros 40itens produzidos pela maquina. Dependendo do numero de itens defeituosos encontrados em cada inspecaoa producao continua sem interrupcao ou e interrompida para que maquina seja ajustada.

a) Formule esse problema como um problema de teste de hipoteses especificando quem e p. Seja p aproporcao de itens com algum defeito, entao podemos usar o seguinte sistema de hipoteses,

H :p = 0, 05

A :p > 0, 05

b) Qual e o significado pratico do erro de tipo I?

O erro de tipo I aconteceria se afirmamos que a proporcao de itens defeituosos e maior de 5% quandoela realmente e do 5%. Com o qual estariamos parando a producao desnecessariamente.

c) Suponha que seja adotado em cada inspecao nıvel de significancia de 5%. Se num determinado diaforem encontrados 3 defeituosos, qual a decisao? E se num outro dia forem encontrados 6 defeituosos,o que fazer? Responda esses dois itens com base no nıvel descritivo. Use a tabela da binomial.

Seja X o numero de itens defeituosos encontrados, sobre a hipoteses H temos que X ∼ Bin(40, 0.05).Segue o calculo do p-valor para os dois casos considerados:

– Foram encontrados 3 itens defeituosos:

p =P (X ≥ 3) = 1− P (X < 3)

=1− [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)]

=1− [0, 12851 + 0, 27055 + 0, 27767]

=0, 32327

Com um nivel de significancia de 5%, e considerando que 0, 32327 > 0, 05, nao encontramossuficiente evidencia estatıstica para rejeitar H, em favor de que a proporcao de itens defeituosos eigual a 5%, pelo qual podemos tomar a decissao de continuar com a producao.

– Foram encontrados 6 itens defeituosos:

p =P (X ≥ 6) = 1− P (X < 6)

=1− [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5)]

=1− [0, 12851 + 0, 27055 + 0, 27767 + 0, 18511 + 0, 09012 + 0, 03415]

=1− 0, 98611 = 0, 01389

Neste caso como 0, 01389 < 0, 05 encontramos suficiente evidencia estatıstica para rejeitar H, emfavor de que a proporcao de itens defeituosos e maior do que 5%. Em consequencia, e necessarioparar a producao.

5 Exercıcio 5

A vida media de uma amostra de 100 lampadas de certa marca e 1650 horas. Por similaridade com outrosprocessos de fabricacao, supomos que a duracao dessas lampadas segue uma distribuicao normal com desviopadrao igual a 120 horas. Desejamos testar se a duracao media de todas as lampadas dessa marca e maiorque 1600 horas.

a) Formule o problema como um teste de hipoteses estatıstico.

Seja µ o tempo medio de duracao das lampadas. Considerando que queremos saber se a duracao emaior que 1600 horas, entao podemos sugerir o seguinte sistema de hipoteses,

H :µ = 1600

A :µ > 1600

b) Determine uma regiao crıtica para um nıvel de significancia de 5%.

Neste caso a regiao critica e do tipo X ≥ k. Sabemos que X ∼ N(µ, σ2

n). Para o calculo da regiao

critica assumimos a informacao dada por H. Por tanto, temos que µ = 1600 e desde que σ = 120,entao X ∼ N(1600, 122).

Entao precisamos achar o k tal que P (X ≥ k) = 0, 05

P

(

X − µσ√

n

≥k − µ

σ√

n

)

=0, 05

P

(

Z ≥k − 1600

120

10

)

=0, 05

P

(

Z ≥k − 1600

12

)

=0, 05

P

(

Z ≤k − 1600

12

)

=0, 95

Desde que Z ∼ N(0, 1), temos que,k − 1600

12= 1, 65

Entao,k = 1, 65 ∗ 12 + 1600 = 1619, 8

Portanto, a regiao crıtica e {X ≥ 1619, 8}.

c) Com base na regiao crıtica construıda em (b), qual e a sua conclusao?

A media observada na amostra tomada foi 1650, este valor esta contido na regiao crıtica, pelo qualtemos suficiente evidencia estatıstica para rejeitar a hipoteses H, em favor de que a duracao media daslampadas e maior que 1600.

d) Determine a probabilidade do erro tipo II se a vida media verdadeira for igual a 1660 horas.

β =P (Nao Rejeitar H|H e falsa)

=P (X < 1619, 8|X ∼ N(1660, 122))

=P

(

Z <1619, 8− 1660

12

)

=P (Z < −3, 35) = 1− P (Z < 3, 35)

=1− 0, 9996 = 0, 0004

6 Pontuacao

• Exercıcio 1 (1.0)

(a) (0.5)

(b) (0.5)

• Exercıcio 2 (2.0)

(a) (0.25)

(b) (0.25)

(c) (0.75)

(d) (0.75)

• Exercıcio 3 (2.0)

(a) (0.5)

(b) (0.5)

(c) (1.0)

• Exercıcio 4 (2.5)

(a) (0.5)

(b) (0.5)

(c) (1.5)

• Exercıcio 5 (2.5)

(a) (0.25)

(b) (1.0)

(c) (0.25)

(d) (1.0)