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Curso: Engenharias Disciplina: Equações Diferenciais e Séries

1a Lista de Exercícios 1) Através da seqüência das somas parciais analise a convergência das seguintes séries:

a) 1 )21)(n(n

1 ( Escreva 2n

11n

1a n

)

b) 1

n ( sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n = 2n)n(1

é a soma dos n primeiros termos de uma P.A);

c)

1 1nnln ( Escreva an = ln n ln ( n+1 ) )

d) )3

1n3

n(1 n1-n

e)

1 n1

1n1

2) Utilizando séries geométricas, expresse as decimais não finitas, a seguir, como uma fração:

a) 0,444... b) 5, 1373737.... c) 0,159159159... 3) Uma bola é derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chão sobe novamente, verticalmente, a uma altura que é 2/3 da distância da qual ela caiu. Determine a distância total percorrida pela bola até parar. 4) A figura ao lado mostra uma “escada infinita”. Ache o volume total da escada sabendo que o maior cubo tem lado 1 e cada cubo tem sucessivamente um lado cujo tamanho é a metade do lado do cubo precedente.

5) 6) Encontre o valor de b para o qual 9...eee1 b3b2b

A figura ao lado mostra os 5 primeiros quadrados de uma seqüência infinita formada da seguinte maneira: O quadrado externo tem lado igual a 2. Cada um dos outros quadrados é obtido ligando-se os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule: a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da seqüência. b) a soma das áreas de todos os quadrados da seqüência.

2

7) Encontre os valores de x para os quais a série

0n

n

2)1x( converge e a soma da série para esses

valores. 8) Através da série geométrica calcule as seguintes somas:

a)

1 n

n

3

1)(; b)

2 n34

; c)

1

n

1n

n

314

95

; d)

2 n

2n2n

36

32

e) )51

2)1((

0

n

n

n

f) ...6251

1251

251

51

31

211

9) Verifique que as séries a seguir são convergentes pelo Critério de Leibniz. Calcule a soma sn e o erro cometido quando a soma S da série é aproximada por sn.

a)

1 3

1n

n1)(

; s4: b)

1

1n

(2n)!1)(

; s3

10) Calcule quantos termos precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada

a)

1 2

1n

n)1(

( erro < 0,01); b)

1 4

1n

n)1(

( erro < 0,001 )

11) Mostre que a série alternada

1n

1n

!n.10)1( converge por Leibniz e calcule a soma da série com

precisão de 3 casas decimais. 12) Utilizando os critérios e propriedades vistos analise o comportamento das seguintes séries quanto à convergência

a)

n

53

b) n22 c)

1nn2

2 d)

1nn)1( n

e) 3n1

f) 3 2n

1 g)

3 4n

1 h)

!n1

i) )!n2(

1 j)

1

n

n13n

k)

n

n

)n(ln)1(

l) !n

n)1(n

n

m)

4n

1nn n) n3 3n o)

n2

n1

32n p)

n

5n

5n)1(

13) Mostre, usando o critério da razão, que as seguintes séries são convergentes para todo x real.

3

a) 0

n

n!x ; b)

0

2nn

(2n)!x1)(

; c)

0

12nn

1)!(2nx1)(

Observação: As séries acima são respectivamente as séries de f(x) = ex, f(x) = cosx e f(x) = senx 14) Encontre o raio e o domínio de convergência ( a menos dos extremos) das seguintes séries

1nx a)

1n b) n

n

)1x(n13

n

n

2)3x( c) d)

)!n2(x n

e)

n

n

3n)2x(

15) A partir da série geométrica x1

1 x; se xn

0

1; dê a representação em série das

seguintes funções, indicando a região de convergência.

a) x1

xf(x)

b) 2x11f(x)

c) 2x41f(x)

d) 3

2

x8xf(x)

16) A partir da série 1x ,x1

1x0

n

, e usando derivação ou integração, mostre que

a) [ 1,1] x;nx1)(x)(1

1f(x)1

1n1n2

b) ] 1 1,] x;1n

x1)(x)ln(1f(x)0

1nn

c) ] 1 1,[ x;12n

x1)(arctgxf(x)0

12nn

17) A partir das séries R x ;en!

x x

0

n , cosx =

0

2nn

(2n)!x1)(

R e

senx =

0

12nn

1)!(2nx1)(

R; dê a representação em série das seguintes funções, indicando a

região de convergência.

a) 2xef(x) b) /22xxef(x) c) f(x) = xsen2x d) f(x) = x2 cosx

18) Encontre os quatro primeiros termos da série de MacLauren n

0

)n(x

!n)0(f)x(f para as

seguintes funções:

a) x1)x(f ; b) 3)1x(

1)x(f

19) Usando a série de MacLauren encontre

4

a) Um polinômio de grau 2 para aproximar a função 2x1

1)x(f

b) Um polinômio de grau 3 para aproximar a função 5 x1)x(f 20) A partir da série da função f(x) = ex; encontre uma série de potências de x para a função

2xef(x) . Use a série encontrada para encontrar a expansão em série da integral 1

0

2x dxe e

calcule o valor da soma parcial s5. (Observe que a série encontrada converge por Leibniz e que portanto a soma s5 tem erro menor que a6 ). Calcule o erro. 21) “Se é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se

k10x5,0ε .” .Usando este resultado, calcule:

a) 1

0

2x2 dxex , com precisão de três casas decimais.

b) 1

0 2

2dx

x

xsen , com precisão de cinco casas decimais.

c) 2,0

0

2 dx)xcos( , com precisão de quatro casas decimais.

22) Use a série do exercício 16 b) para encontrar ln(1,1) com precisão de três casas decimais 23) Use séries de potências para provar a fórmula de Euler xsenixcoseix Respostas:

1) a) Converge a 21 ; b) Diverge; c) Diverge; d) Converge a 1; e) Converge a 1

2) a) 94 ; b)

4952543 ; c)

999159 3) 45m; 4)

78

; 5) a) 22

16

m ; b) 8 m2 6) b = ln(8/9)

7) A série converge para [3,1]x e sua soma é x3

2S

8 a) 41

; b) 32

; c) 4

37; d)

727

; e) 1223 ; f)

1225

9) a) 896,017281549s4 . O erro absoluto cometido é menor que a5 = 0,008

5

b) 459,0720331s3 . O erro absoluto cometido é menor que a4 = 0,0000248

10) a) 9; b) 5 ; 11) 6.10

12.10

1101S

32

12) São divergentes: c); d); f); j); l); m) e o) As demais convergem. 14) a) Dc = ]1, 1[; r = 1; b) Dc = ]4/3, 2/3[ ; r = 1/3; c) Dc = ] 1, 5 [; r = 2 ; d) Dc = R , r = e) Dc= ]1, 5[, r = 3

15) a) 1,1[] x;x1)(0

1nn ; b) 1,1[] x;x1)(0

2nn ; c)

022n

2n2,2[] x;

2x

d)

033n

23nn2,2[] x;

2x)1(

17) a) Rx ;n!

x1)(0

2nn

; b) Rx ;

n!2x1)(

0n

12nn

; c) Rx;

1)!(2nx21)(

0

22n12nn

;

d) Rx;(2n)!

x1)(0

22nn

18) a) ...16x

8x

2x1x1

32 ; b) 32

3x10x6x31

)x1(1

19) a) 2

x1x1

1 2

2

; b) 325 x

75036x

504

5x1x1

20)

0

n1

0

2x

1)n!(2n1)(dxe ;

!5.111

9.4!1

7.3!1

5.2!1

311s5 . O erro é menor que

13.6!1a 6

21) a) 1560

12641

541

141

51

31s5 ; b)

!7.131

!5.91

!3.511s3 ; c)

51s0

22) 2001

101s1 = 0,095