gabarito cap. 8, 9 e 10 fundamentos de fisíca halliday

LISTA 2 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 24deSetembrode2005, as10:42

ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica

JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,

Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Instituto de Fısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul91501-970 Porto Alegre, BRASIL

MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.

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Sumario

8 Conservacaoda Energia 28.1 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

8.1.1 Determinac¸ao da Energia Po-tencial . . . . . . . . . . . . . . 2

8.1.2 Usandoa Curva deEnergia Po-tencial . . . . . . . . . . . . . . 9

8.1.3 ConservacaodaEnergia . . . . 98.1.4 TrabalhoExecutadopor Forcas

deAtrito . . . . . . . . . . . . 98.1.5 Massae Energia . . . . . . . . 12

9 SistemasdePart ıculas 139.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 139.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 13

9.2.1 O CentrodeMassa . . . . . . . 139.2.2 A segundalei de Newton para

umsistemadepartıculas . . . . 14

9.2.3 O MomentoLinear . . . . . . . 179.2.4 ConservacaodoMomentoLinear 189.2.5 Sistemasde Massa Variavel:

Um Foguete. . . . . . . . . . . 199.2.6 Sistemasde Partıculas: Varia-

coesnaEnergiaCinetica . . . . 20

10 Colisoes 2110.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 21

10.2.1 ImpulsoeMomentoLinear. . . 2110.2.2 ColisoesElasticasemUmaDi-

mensao . . . . . . . . . . . . . 2310.2.3 Colisoes Inelasticas em Uma

Dimensao . . . . . . . . . . . . 2410.2.4 ColisoesemDuasDimensoes . 2510.2.5 ProblemasAdicionais . . . . . 26

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8 Conservacaoda Energia

8.1 Problemase Exercıcios

8.1.1 Determinacaoda Energia Potencial

E 8-1 (�

na 6� edicao)

Uma determinadamola armazena�� J de energia po-tencialquandosofreumacompressaode �� cm. Quala constantedamola? Comosabemosqueaenergiapotencialelasticaarma-zenadanumamolae � �� , obtemosfacilmen-teque

�� !�� "�� "�� $#�� %'&)(*"�+ N/m �E 8-6 (8-3/6� )

Um pedacinhode gelo sedesprendeda bordade umataca hemisfericasematrito com �!� cm deraio (Fig. 8-22). Com que velocidadeo gelo esta se movendoaochegaraofundodataca? A unicaforca quefaz trabalhosobreo pedacinhodegeloea forcadagravidade,queeumaforcaconservati-va.Chamandode ,.- aenergiacineticadopedacinhodege-lo na bordada taca, de ,0/ a suaenergia cinetica nofundodataca,de �1- suaenergiapotencialdabordaede�2/ suaenergiapotencialno fundodataca, temosentao, /43 � / �$, -53 � - �Consideremosa energia potencialno fundodataca co-mo sendozero. Nestecasoa energia potencialno topovale �1-6�87:9�; , onde ; representao raio da taca e 7representaa massadopedacinhodegelo.Sabemosque,.-<�=" poiso pedacinhodegelopartedorepouso.Cha-mandode > a velocidadedo pedacinhodegeloaoatin-gir o fundo,temosentao,daequac¸aodaconservacaodaenergiaacimaque 709�;?�=7@>�� , o quenosfornece>'�BA �C9�;D� A �� %�� #!�E� "��!�F�$�G�H( m/s�E 8-8 (8-13/6� )

Um caminhaoqueperdeuos freios esta descendoumaestradaem declive a (*I�" km/h. Felizmentea estradadispoedeumarampadeescape,comumainclinacaode

(��J (Fig. 8-24). Qualo menorcomprimentoda rampaparaquea velocidadedo caminhao cheguea zeroan-tesdo final da rampa?As rampasdeescapesaoquasesemprecobertascom uma grossacamadade areiaoucascalho.Porque?Nota:usoo valor (KI!" km/hdasextaedicaodolivro, emvezdos (*��" km/hdaquarta,ja quenaquartaedicaonaoe fornecidanenhumaresposta. Desprezeo trabalho feito por qualquer forca defriccao. Nestecasoa unicaforca a realizartrabalhoea forcadagravidade,umaforca conservativa.Seja,.- aenergia cineticado caminhaono inıcio darampadees-capee ,0/ suaenergia cineticano topodarampa.Seja�2- e ��/ os respectivosvaloresda energia potencialnoinıcio eno topodarampa.Entao,0/ 3 �2/6�$,.- 3 �1-L�Setomarmosa energia potencialcomosendozero noinıcio da rampa,entao �2/M�N709�O , onde O e a alturafinal do caminhaoemrelacaoa suaposicaoinicial. Te-mosque ,.-P�$7@>�� , onde> e a velocidadeinicial docaminhao,e ,0/0�Q" ja queo caminhaopara.Portanto7:9�O.�R7@>�� , dondetiramosque

O:� >��C9 � �S(*I�" &T(K" + �CI!U�"�"��S��5��%5� #�� =U!U��I m �Sechamarmosde V o comprimentodarampa,entaote-remosque V sen (��J)�WO , dondetiramosfinalmenteque

VX� Osen (*� J � U!U��I

sen (*� J �� "�U m �Areia ou cascalho,quesecomportamnestecasocomoum “fluido”, temmaisatrito queumapistasolida, aju-dandoa diminuir maisa distancianecessariaparapararo veıculo.

E 8-10 (�

na 6� )Um projetil com umamassade �G� Y kg e disparadopa-ra cimado alto deumacolinade (�� m dealtura,comumavelocidadede (��" m/se numadirecaoquefazumangulode Y�(*J com a horizontal. (a) Qual a energiacineticado projetil no momentoem que e disparado?(b) Quala energia potencialdo projetil no mesmomo-mento?Suponhaquea energia potenciale nulanaba-seda colina ( Z$�[" ). (c) Determinea velocidadedoprojetil nomomentoemqueatingeo solo.Supondoquearesistenciadoarpossaserignorada,asrespostasacimadependemdamassadoprojetil?



(a) Se 7 for a massado projetil e > suavelocidadeaposo lancamento,entaosuaenergiacineticaimediata-menteaposo lancamentoe,.-\� (� 7@> � � (� � �� Y�"!�]�S(*��"!� � �$�!�G� "'&T(K" + J�(b) Sea energia potenciale tomadacomozeroquandoo projetil atingeo soloesuaalturainicial acimadosolofor chamadade O , entaosuaenergiapotencialinicial e� - �R7:9�O.�^�_�G� Y��E� %�� #!�]�S(*�!��F�$�� %�Y &)(*" + J�(c) Imediatamenteantesdeatingir o soloa energia po-tencial e zeroe a energia cineticapodeserescritaco-mo sendo , / �`7@>��/ �� , onde > / e a velocidadedoprojetil. A energiamecanicaeconservadaduranteo voodoprojetil demodoque , / �R7@>��/ ��D�=, -a3 � - dondetiramosfacilmenteque

>�/ � b ��,0- 3 �2- �7� b ��cH� �!�G� " 3 �G� %�Y��&T(K" +ed�G� Y!" �f(*��% m/s�

Osvaloresde ,.-Lgh,0/5ga�2- e ��/ dependemtodosdamas-sado projetil, porema velocidadefinal >�/ naodependeda massase a resistenciado ar puderser consideradadesprezıvel.Observe queo tal angulode Y�(*J naofoi usadoparana-da! Talvezsejapor isto queesteexercıcio ja naomaisaparec¸a nasedicoessubsequentesdo livro...

E 8-12 (8-17/6� )Umaboladegudede � g e disparadaverticalmentepa-ra cimapor umaespingardademola. A moladeve sercomprimidade # cm paraquea boladegudeapenasal-canceum alvo situadoa ��" m dedistancia. (a) Qualavariacao da energia potencialgravitacionalda bola degudedurantea subida?(b) Qualaconstantedamola? (a) Nesteproblemaa energia potencialpossuidoistermos:energiapotencialelasticadamolae energiapo-tencialgravitacional.Considereo zerodaenergia potencialgravitacionalco-mosendoaposicaodaboladegudequandoamolaestacomprimida.Entao,aenergiapotencialgravitacionaldaboladegudequandoela esta no topoda orbita (i.e. nopontomaisalto) e �Fij�=7:9GO , ondeO e aalturadopon-to maiselevado.Tal alturae O0��" 3 "�� "�#6��"5� "!# m.Portanto�1i?�B� �'&T(K"Gk + �E� %�� #!�]� ��"5� "!#!�1�R"5� %�Y!# J�

(b) Comoa energia mecanicae conservada,a energiada mola comprimidadeve ser a mesmaque a ener-gia potencialgravitacional no topo do voo. Ou seja,�G��*��l�m709�O��[�Fi , onde � e a constanteda mola.Portanto,

� � �� i� � � �� "�� %�Y�#!�� "�� "�#�� RI�"�� N/m �ObservequeI!"�� N/m n=I��H(D&)(*" � N/m �=I5�o( N/cmgquee a respostaoferecidapelolivro-texto.

E 8-13 (8-5/6� )Umabolademassa7 esta presaa extremidadedeumabarrade comprimentoV e massadesprezıvel. A outraextremidadeda barrae articulada,de modoquea bo-la podedescrever um cırculo planovertical. A barraemantidana posicao horizontal,comona Fig. 8-26, atereceberum impulso parabaixo suficienteparachegaraopontomaisalto do cırculo comvelocidadezero. (a)Quala variacaodaenergia potencialdabola? (b) Qualavelocidadeinicial dabola? (a) Tomeo zeroda energia potencialcomosendoopontomaisbaixoatingidopelabola. Comoa bolaestainicialmentea umadistanciavertical V acimado pon-to maisbaixo,a energia potencialinicial e �1-p�^7:9GV ,sendoa energiapotencialfinal dadapor �2/q�R7:9��_��Vp� .A variacaodaenergiapotenciale,portanto,r ��s�2/?tu�1-P�=�C7:9GV)tT7:9�Vu�=709GVv�(b) A energia cinetica final e zero. Chamemosde,0-l�w7@>�� a energia cinetica inicial, onde > e avelocidadeinicial procurada. A barranao faz traba-lho algum e a forca da gravidade e conservativa, demodoque a energia mecanicae conservada. Isto sig-nifica que

r ,x�yt r � ou, em outraspalavras, quetz7@>��*��D�ftz709GV demodoquetemos> � A �C9�Vv�P 8-16 (8-19/6� )

Um blocode � kg eencostadonumamolanumplanoin-clinadosematritoecomumainclinacaode I�"�J graus.Amolaemquestao,cujaconstantevale (*%�� U N/cm,ecom-primida ��" cm sendodepoisliberada. A quedistanciaaolongodoplanoinclinadoe arremessadoo bloco?



Quandoo bloco e liberado, toda energia potencialelasticaarmazenadana mola transforma-seem energiapotencialgravitacional,quee usadaparalevantaro cor-po verticalmentede uma altura O . A conservacao deenergianosdiz que {

� �G� � �R709�O|�Portanto,

O:� ��709 � �S(K%5� U &T(K"!�]�E� "��L�� ]� �!�E��%5� #�� S(K"!�K�]��Y��]�S(*" k �*�� $� m �

Chamandode } a distanciapercorridaao longodo pla-no, temosque O~�s} sen I�"�J , dondetiramosa respostaprocurada:

}v� Osen I!" J � �(C�� Y m �

P 8-17 (8-21/6� )Umamolapodesercomprimida� cm por umaforca de�!��" N. Um bloco de (�� kg de massae liberadoa par-tir do repousodo alto deum planoinclinadosematritocuja inclinacao e I�"!J . (Fig. 8-30). O bloco comprimea mola �G�� cm antesdeparar. (a) Quala distanciatotalpercorridapeloblocoate parar?(b) Quala velocidadedobloconomomentoemquesechocacoma mola? A informacaodadanaprimeirafrasenospermitecal-culara constantedamola:�� !�C""5� "�� f(�� I!�q&T(K"�� N/m �(a) Considereagorao blocodeslizandoparabaixo. Seele parte do repousoa uma altura O acimado pontoondeele paramomentaneamente,suaenergia cineticae zero e sua energia potencialgravitacional inicial e7:9GO , onde 7 e a massado bloco. Tomamoso zeroda energia potencialgravitacionalcomosendoo pontoondeo blocopara. Tomamostambema energia poten-cial inicial armazenadanamolacomosendozero. Su-ponhaqueo bloco comprimaa mola uma distancia �antesde pararmomentaneamente.Nestecasoa ener-gia cineticafinal e zero,a energia potencialgravitacio-nal final e zero, e a energia potencialfinal da mola e�� . O planoinclinadonaotematrito e a forca nor-mal que ele exercesobreo bloco nao efetuatrabalho

(poise perpendiculara direcaodo movimento),demo-do quea energia mecanicae conservada. Isto significaque 7:9�O0�=�� , dondetiramosque

O0� �� C7:9 � �L(�� I!�'&T(K" � �E� "�� "!��!� ��L(*�!�E��%5� #�� $"��H(��Y m �Seo blocoviajasseumadistancia} peloplanoinclinadoabaixo,entao } sen I�"�J��O , demodoque}4� O

sen I�" J � "5�o(C��Ysen I�" J �="�� I!� m �

(b) Imediatamenteantesde tocar a mola o bloco dis-ta "5� "�� m do pontoondeira estarem repouso,e as-sim esta a umadistanciaverticalde � "�� "!��!� sen I!"!J6�"5� "��!�� m acimada suaposicao final. A energia po-tencial e entao 7:9GO��j��L(*��]��%5� #��E��"5� "��!��.�NI��I J.Por outro lado, suaenergia potencialinicial e 7:9GOR��L(*�!�E��%5� #��E� "��H(��Y��v��"5� � J. A diferenca entreestedoisvaloresfornecesuaenergiacineticafinal: ,:/��=��"��ztI5� ��I?�^(��G� � J.Suavelocidadefinal e,portanto,

>'� b ��,0/7 � b �5�S(��G� �!�(�� f(!�� m/s�P 8-18 (

�na 6� )

Um projetil de "�� e lancadodabordadeumpenhascocomumaenergia cineticainicial de (��" J e, no pontomaisalto datrajetoria, esta a (KY!" m acimado pontodelancamento.(a) Quala componentehorizontaldavelo-cidadedo projetil? (b) Qual a componentevertical davelocidadedo projetil no momentodo disparo?(c) Emum certoinstante,a componenteverticaldavelocidadedoprojetil e U!� m/s.Nestemomento,aquealturaeleseencontraacimaouabaixodopontodelancamento? (a) A energia cinetica inicial do projetil e ,0-M�7@>��- �� , eaenergiapotencialgravitacionale tomadaco-mo sendozero. No topo da trajetoria a velocidadedoprojetil apenaspossuiacomponentehorizontaldavelo-cidade,quechamamosde >�� . Portanto{

� 7@> �- � {� 7@> �� 3 7:9�Z max g

dondetiramosque> � � � > �- tX��9�Z max

� b ��,.-7 tX��9�Z max

� b �_��]�S(*�!��"��"5� �!� tX�� %�� #!�]�S(]Y�"!�1�=��Y m/s



(b) A componenteverticaledadapor

>�� > �- tT> �� b ��,.-7 tT> �� b � ��]�S(��"��"�� t��Yq�=�� m/s

(c) No tal instantea energiacinetica , doprojetil e,�� {� 7@> � � {

� 7Nc > �� t)> �� d� {� � "��!�� Y�� 3 ��U�� e�� (K%!U�Y J�

Chamemosde � o deslocamentoverticaldesdeo pontoinicial ateo instanteemquestao.Entao,� -<� {

� 7@> �- �=, 3 ��R, 3 709G�5go quenosfornece

� � (7:96�{� 7:> �- t�,�� (��"5� �!��]��%�� #!�|� (��"�t�(K%!U�Y�� t��CU5� # m �

Portantoo ponto � emquestaoencontra-seABAIXO daposicaoinicial delancamento.

P 8-19 (�

na 6� )Umabolade ��" g earremessadadeumajanelacomumavelocidadeinicial de # m/se um angulode I�"�J paraci-ma em relacao a horizontal. Determine(a) a energiacineticadabolano pontomaisalto da trajetoria e (b) asuavelocidadequandoseencontraa I m abaixoda ja-nela. A respostado item (b) depende(c) da massadabolaou (d) do angulodearremesso? (a) No topo da trajetoria, a componentevertical davelocidadedabolaezeroenquantoquesuacomponentehorizontalcontinuasendo> � �s>C�\�E��I�" J , onde >C� e omodulodavelocidadedabola.A energiacinetica , dabolademassa7 e,portanto,,�� {

� 7�> �� {� �_��" &T(K" k +]�'��#��E� �E�!��I�" J �� f(�� J�

(b) Quandoabolasemovecomumavelocidade> aumadistancia OT�^I m abaixoda janela,suaenergia poten-cial e menorqueo seuvalor inicial, a diferenca sendoiguala tz7:9GO . Conservacaodaenergiaentaofornece{

� 7:> �� {� 7@> � tT7:9GO\g

dondeobtemos>'�B� > �� 3 ��9�O.� A # � 3 � �!�E� %�� #!�E� I!�1�^(�( m/s�(c) e (d) Da expressaopara> acima,fica bemclaroque> nao dependenem da massada bola nem do anguloinicial.

P 8-20 (�

na 6� )

A mola de umaespingardade mola tem umaconstan-te de ( N/cm. Quandoa espingardafaz um angulodeI!" J paracimaemrelacaohorizontal,umabalade ��" ge disparadae atingeumaalturade � m acimado canodaespingarda.(a) Quala velocidadedabalaaodeixaro cano? (b) De quantoa mola estava comprimidanomomentododisparo? (a) Chamando-sede >C� o modulodavelocidadeini-cial da balade massa7 , temosquea componenteho-rizontal da velocidadee > � �8>C�<�E�!�5I�" J . No topo datrajetoria,abalatemapenasvelocidadehorizontal.Por-tanto,a conservacaodaenergiamecanicanosdiz que{

� 7:> �J � {� 7@> �� 3 709�Z max� {� 7 � > � �E�!�5I�" J � � 3 709�Z max

o quenosfornece

> � � b ��9�Z max(zt��E�!� � I�" J� A � �!�E� %�� #!�E�_��

sen I!" J �=Y�¡ %�� #6�f(��G�� m/s�(b) A mola estava comprimida de � tal que, pelaconservacaodaenergia,tenhamos{

� �G� � � {� 7@> �� g

dondeobtemos�@��> � b 7 � �f�L(*�G�� b "5� "��"(K"!" �R"5� ��# m �P 8-21 (

�na 6� )



Umabalademorteirode � kg edisparadaparacimacomumavelocidadeinicial de (*"�" m/se um angulode I�Y�Jemrelacao a horizontal. (a) Quala energia cineticadabalano momentodo disparo?(b) Qual e a variacaonaenergia potencialdabalaate o momentoemqueatingeo pontomaisaltodatrajetoria?(c) Qualaalturaatingidapelabala? (a) Seja7 amassadabalae > � suavelocidadeinicial.A energiacineticainicial e entao,.-\� (� 7:> �� (� � �!�E�S(*"�"�� $�� q&�(K"�� J�(b) Tomeo zerodaenergiapotencialgravitacionalcomosendoo pontodetiro echamede ��/ aenergiapotencialno topodatrajetoria. ��/ coincideentaocoma variacaodaenergiapotencialdesteo instantedotiro ateo instan-te emqueo topodatrajetoria e alcancada.Nestepontoa velocidadedabalae horizontale temo mesmovalorquetinhano inıcio: > � �s>C�\�]�!�G¢�� , onde ¢�� e o angulodetiro. A energiacineticano topoe,0/�� (� 7:> �� (� 7@> �� E�� ¢ � �Comoa energiamecanicaeconservada(� 7@> �� / 3 (� 7:> �� ]�!� � ¢ � �Portanto �2/ � (� 7@> �� S(zt��E�!� � ¢ � �� (� 7@> �� sen� ¢ �� (� � �!�E�L(K"�"�� sen� I�Y J� �� # &)(*" + J�(c) A energia potencialno topo da trajetoria e tambemdadapor ��/£��7:9GO , onde O e a altura(desnıvel) dotopo em relacao ao pontode tiro. Resolvendopara O ,encontramos:O0� � /7:9 � �G� # &T(K" +�_��]��%�� #!� �^(KU!" m �P 8-23 (8-23/6� )

A cordadaFig. 8-31tem VM�Q(*��" cm decomprimentoe a distancia � ate o pino fixo ¤ e de �� cm. Quandoa bolae liberadaemrepousonaposicao indicadanafi-gura,descrevea trajetoria indicadapelalinha tracejada.

Qual e a velocidadeda bola (a) quandoesta passandopelopontomaisbaixoda trajetoria e (b) quandochegaaopontomaisalto datrajetoria depoisquea cordatocao pino? Chamede ¥ o pontomais baixo que a bola atingee de ¦ o pontomaisalto da trajetoria apos a bola to-car no pino. Escolhaum sistemasde coordenadacomo eixo Z originando-senoponto ¥ e apontandoparaci-ma. A energia inicial da bola de massa7 no campogravitacionaldaTerraantesdesersoltavale

� ��7:9GV .Conservacaodaenergiafornece-nosentaoumaequac¸aoparaa velocidade> dabolaemqualquerlugarespecifi-cadopelacoordenadaZ :� �=709GVu� (� 7:> � 3 7:9�Z��(a) Com Z�§l�s" em 709GVM� {

� 7:>��§ 3 7:9�Z�§ , obtemosfacilmenteque> § � A ��9GV�� A � ��]��%5� #��E�S(!� �!�1�RY�� # m/s�(b) Importanteaquieperceberqueo tal pontomaisaltodatrajetoria depoisquea cordatocao pinonaoeo pon-to V t'� (comoafiguraparecequererindicar)massimoponto Z�¨l�$��V@t@�� , poisabolatemenergiasuficienteparachegarate ele! E nestedetalhezitoquemorao pe-rigo... :-) SubstituindoZ�¨ em 7:9�Vl� {

� 7:>��¨ 3 7:9�Z!¨ ,obtemosentaofacilmenteque> ¨ � A ��9©� ��DtTVp�ª� A �� %�� #!�Ec �� "��«��!�|tM(�� d� �� Y m/s�Qual a razao desteultimo valor sera metadedo ante-rior?...

P 8-25 (8-25/6� )Deixa-secair um blocode � kg deumaalturade Y!" cmsobreumamolacujaconstantee ��f(*%�U�" N/m (Fig. 8-32). Determinea compressaomaximadamola. Seja 7 a massado bloco, O a alturada quedae � acompressaodamola. Tomeo zerodaenergia potencialcomosendoaposicaoinicial dobloco.O blococaiumadistanciaO 3 � esuaenergiapotencialgravitacionalfinale tz709©� O 3 �� . Valorespositivosde � indicamter ha-vido compressao damola. A energia potencialdamolae inicialmentezeroe ��C�� nofinal. A energiacineticae zerotantono inıcio quantono fim. Comoa energia econservada,temos"6�^tz709©��¬ 3 �� 3 (� ��



As solucoesdestaequaçaoquadraticasao

� � 7:9? A ��709�� 3 �C7:9GO�� (*%�� Uz A �S(K%5� U�� 3 ��L(K%�� U!�]�_��#�Y��(K%!U�"

quefornecedoisvalorespara � : "5�o(*" m ou tv"�� "�#!" m.Comoprocuramosumacompressao,o valor desejadoe"��H(K" m.

P 8-27 (8-27/6� )Duascriancasestao competindoparaver quemconse-gueacertarnumapequenacaixacom umabola de gu-le disparadapor umaespigardademolacolocadasobreumamesa.A distanciahorizontalentreabordadamesae a caixae de �� m (Fig. 8-34).Joaocomprimea mola(��H( cmeabolacai �!� cmantesdoalvo. DequandodeveMariacomprimiramolaparaacertarnacaixa? A distanciaque a bola de gudeviaja e determina-da pelasuavelocidadeinicial, quee determinadapelacompressaodamola.Seja O a alturadamesae � a distanciahorizontalate opontoondea bola de gudeaterrisa. Entao ��m> �*® eO��m9 ® �K�� , onde >C� e a velocidadeinicial da bola degudee ® e o tempoqueelapermanecenoar. A segundaequaçaofornece® � A �!O��9 demodoque �@�� A ��O��*9��A distanciaate o ponto de aterrisageme diretamenteproporcionala velocidadeinicial pois �Q�[>C� ® . Seja>C� { avelocidadeinicial doprimeirotiro e � {

adistanciahorizontalateseupontodeaterrisagem;seja>C� � avelo-cidadeinicial dosegundotiro e � � adistanciahorizontalate seupontodeaterrisagem.Entao> � � � � �� { > � { �Quandoa mola e comprimidaa energia potencial e��}]��C¯ , onde } e a compressao. Quandoa boladegudeperdecontatoda molaa energia potenciale zeroe suaenergia cineticae 7@>�� . Comoa energia mecanicaeconservada,temos (� 7@> �� (� ��} � gdemodoqueavelocidadeinicial daboladegudeedire-tamenteproporcionalacompressaooriginaldamola.Se} { for a compressaodo primeirotiro e } � a do segundo,

entao > � � �°�±} � �*} { �S> � { . Combinandoistocomo resul-tadoanteriorencontramos} � �[�� { ��} { . Tomandoagora � { �²�� " tM"5� ��)�[(�� %�I m, } { �[(��H(K" cm, e� � �$�� m, encontramosa compressao } � desejada:} � � � �� " m(!� %!I m

� �S(!�o(*" cm��f(�� cm�P 8-31 (8-26/6� )

Tarzan,quepesaU!#�# N, decideusarum cipo de (K# mdecomprimentoparaatravessarum abismo(Fig. 8-36).Do pontodepartidaateo pontomaisbaixodatrajetoria,desceI5� � m. O cipo e capazde resitir a uma forcamaximade %!��" N. Tarzanconseguechegaraooutrola-do? Chamandode 7 a massado Tarzane de > a suave-locidadenopontomaisbaixotemosque(� 7@> � ��7:9GO\gonde O e a altura que Tarzandesce. Destaexpressaotiramosque > � �=�C9GO.��9©��I5� �!�F�$U�� Y�9��Poroutro lado,no pontomaisbaixotemos,dasegundalei de Newton, quea forca centrıpetaesta relacionadacoma tensaonocipo atravesdaequaçao³ tT7:9 ��7 > �´�gonde e o raiodatrajetoria. Portanto,temosque³ �R709 3 7 >��´ � 7:9 3 U5� Y!709´� U�#!# � ( 3 U5� Y(K# �� %�I��G� U N �Como

³`µ %��" N, vemosqueTarzanconsegueatra-vessar, porem estirandoo cipo muito perto do limitemaximoqueeleaguenta!

P 8-32 (8-29/6� )Na Fig. 8-31mostrequesea bolafizer umavolta com-pletaem torno do pino, entao �$¶mI!Vp�� . (Sugestao:A bolaaindadeve estarsemovendoquandochegaraopontomaisalto datrajetoria. Voce saberiaexplicar porque?)



Antesdemaisnada,esteproblemaeumacontinuac¸aodoproblema8-23.Releia-oantesdecontinuar.Useconservacao da energia. A energia mecanicadeveseramesmanotopodaoscilacaoquantoo erano inıciodo movimento.A segundalei deNewton fornecea ve-locidade(energia cinetica)no topo. No topo a tensao³

nacordae a forca dagravidadeapontamambasparabaixo,emdirecaoaocentrodo cırculo. Notequeo raiodo cırculo e ;D�$VTtT� , demodoquetemos³ 3 7:9 �R7 > �V�tT� gonde > e a velocidadee 7 e a massada bola. Quan-do a bola passapelo ponto mais alto (com a menorvelocidadepossıvel) a tensao e zero. Portanto,7:9M�7@> � �G� V)t�� e temosque >'� A 9©��V�t�� .Tome o zero da energia potencialgravitacional comosendono pontomaisbaixodaoscilacao. Entaoa ener-gia potencialinicial e 7:9�V . A energia cineticainiciale " pois a bola partedo repouso.A energia potencialfinal, no topo da oscilacao, e 7:9G�5��V�t�� e a energiacineticafinal e 7@>��*��6�=7:9�� V�t��h�� . O princıpio daconservacaodaenergia fornece-nos709GVu�R7:9G�5��VTt�� 3 (� 7:9�� V�tT��e�Destaexpressaoobtemossemproblemasque�q� +· Vv�Se � for maiordoque I!Vp�� , demodoqueo pontomaisaltodatrajetoriaficamaisabaixo,entaoavelocidadedabolae maioraoalcancar tal pontoe podeultrapassa-lo.Se � for menora bolanaopodedara volta. Portantoovalor I�V�� e um limite maisbaixo.

P 8-35 (8-33 /6� )

Umacorrenteemantidasobreumamesasematritocomum quartodeseucomprimentopenduradoparafora damesa,comona Fig. 8-37. Sea correntetem um com-primento V e umamassa7 , qualo trabalhonecessarioparapuxa-latotalmenteparacimadamesa? O trabalhonecessario e igual a variacao da energiapotencialgravitacionala medidaque a correntee pu-xadaparacima da mesa. Considerea energia poten-cial como sendozero quandotoda a correnteestiversobrea mesa. Divida a parte penduradada correntenum numero grandede segmentosinfinitesimais,ca-da um com comprimento��Z . A massade um tal seg-mento e �_¹=�CVº�L��Z e a energia potencialdo segmen-to a umadistancia Z abaixodo topo da mesae �G�[�

t6��7»��Vº�¼9�Z6�!Z . A energiapotencialtotal e

�s�ft 7 V 9v½u¾5¿ �� ZG�!Z � t (� 7 V 9 � V Y � �� t (I!� 709GVv�

O trabalhonecessario parapuxara correnteparacimadamesae,portanto,t��=7:9�V��CI!� .

P 8-37 (8-35 /6� )

Um menino esta sentadono alto de um monte he-misferico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebeumpequenıssimoempurraoecomecaaescorregarparabai-xo. Mostreque,seo atrito com o gelo puderserdes-prezado,eleperdeo contatocomo gelonumpontocujaalturae � ´ ��I . (Sugestao: A forca normaldesapareceno momentoemqueo meninoperdeo contatocomoogelo.) Chamede À a forca normalexercidapelo gelo nomeninoe desenheo diagramade forcasqueatuamnomenino. Chamandode ¢ o anguloentrea vertical e oraioquepassapelaposicaodomeninotemosqueaforcaqueapontaradialmenteparadentroe 7:9p�]�!�G¢2t�À que,deacordocoma segundalei deNewton, deve serigualaforcacentrıpeta7@>��*� ´ , onde> eavelocidadedome-nino. No pontoemqueo meninosedesprendedo gelotemosÀm�R" , demodoque

9��E��G¢�� >��´=�Precisamosagoradeterminara velocidade> . Tomandoa energiapotencialcomozeroquandoo meninoesta notopodo iglu, teremospara ��¢!� a expressao� ��¢��ftz7:9 ´ �L(�tT�]�!�G¢!�E�O meninoiniciaseumovimenodorepousoesuaenergiacineticanahoraquesedesprendevale 7:>��*�� . Portan-to, a conservacaodaenergianosfornece" ��7:>��C��jt7:9 ´ �L(�tT�]�!�G¢!� , ouseja,> � ��9 ´ �S(�tT�]�!�G¢��e�Substituindoesteresultadona expressaoacima,obtidadaforca centrıpeta,temos9º�E��G¢��$�C9��L(�tT�]�!�G¢!�Egou,emoutraspalavras,que�E��G¢�� I �



A alturado meninoacimado planohorizontalquandosedesprendee ´ �]�!�G¢�� I ´ �8.1.2 Usandoa Curva deEnergia Potencial

P 8-39 (8-37/6� )A energiapotencialdeumamoleculadiatomica(H � ouO� , porexemplo)e dadapor�� ¥; { � t ¦;CÁonde ; e a distancia entre os atomosque formam amoleculae ¥ e ¦ saoconstantespositivas.Estaenergiapotencialsedevea forcaquemantemosatomosunidos.(a) Calculea distanciadeequilıbrio, isto e, a distanciaentreos atomosparaa quala forca a queestaosubme-tidose zero.Verifiquesea forca e repulsiva (osatomostendema seseparar)ou atrativa (osatomostendema seaproximar)sea distanciaentreelese (b) menore (c)maiordoquea distanciadeequilıbrio. (a) A forca e radial (ao longo a line que une osatomos)e e dadapeladerivadade � emrelacaoa ; :

� �ft �G��; � (*��¥; { + t U!¦;�Â �A separaçao ; � deequilıbrio e a separaçao paraa qualtemos� ��; � ��=" , ouseja,paraa qual(��¥MtTU!¦6; Á� �$"��Portantoa separaçaodeequilıbrio edadapor; � � � ��¥¦ �

{¿ Á �f(!�o(�� ¥¦ �

{¿ Á �

(b) A derivadada forca em relacao a ; , computadanaseparaçaodeequilıbrio vale� ��!; � t (��Ã�(KI!¥; { �� 3 Y��¦;CÄ�� t �L(*��U�¥Mt)Y��¦�; ÁJ �; { �� t ��¥; { �� gondeusamoso fatoque,do item anterior, sabemosque; Á� ��¥?�C¦ . A derivadae negativa, de modo que aforca e positiva se ; for um poucomenorque ; � , indi-candoumaforcaderepulsao.(c) Se ; for um poucomaiorque ; � a forca e negativa,indicandoquea forca e deatracao.

8.1.3 Conservacaoda Energia

8.1.4 Trabalho Executadopor ForcasdeAtrito

E 8-45 (8-48/6� )Aproximadamente�� :&M(K" Á kg de aguacaempor se-gundonascataratasdeNiagaraapartirdeumaalturade��" m. (a) Qual a energia potencialperdidapor segun-do pelaaguaquecai? (b) Qualseriaa potenciageradapor umausinahidreletricase toda a energia potencialda aguafosseconvertidaem energia eletrica? (c) Seacompanhiadeenergiaeletricavendesseessaenergiape-lo preco industrialde ( centavo dedolar por quilowatt-hora,qualseriaa suareceitaanual? (a) O decrescimona energia potencialgravitacionalporsegundoe� �G��'&T(K" Á �E��%5� #��E�_��"!�2�$�G�«�q&)(*"�Å J�(b) A potenciaseria¤f�^�_�G�«�q&)(*" Å J�E�L( s��=��q&T(K" Å W �(c) Comoa energiatotal geradaemumanoe� �$¤ ® � � ��q&T(K" Á kW �E�L( ano�]��#��CU�" h/ano�� G� Y�&)(*" { �

kW Ã h go custoanualseria�_�G� Y�&)(*" { � �E� "�� "�(*�2�$�G� Y�&)(*" Ä dolaresgouseja,��Y!" milhoesdedolares.

E 8-50 (�

na 6� )Um meninode ��( kg sobe,com velocidadeconstante,por umacordade U m em (*" s. (a) Qualo aumentodaenergia potencialgravitacionaldo menino?(b) Qual apotenciadesenvolvidapelomeninoduranteasubida? (a) r ��R7:9�O.�^�_�G(*�]��%5� #��E��U��1�=I5� " &T(K"!+ J�(b)

¤s� r �® � I�"!"�"(*" �RI!"�" W �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina9 de26


E 8-51 (�

na 6� )

Umamulherde �� kg sobecorrendoumlancedeescadade Y5�� m dealturaem I5� � s. Quala potenciadesenvol-vidapelamulher?

¤s� � �!��E� %�� #!�]��Y5��I�� $U�%!I W �E 8-55 (

�na 6� )

Um nadadorse deslocana aguacom uma velocidademediade "�� m/s.A forcamediadearrastoqueseopoeaessemovimentoede (�(K" N. Qualapotenciamediade-senvolvidapelonadador? Paranadacom velocidadeconstanteo nadadortemquenadarcontraa aguacom umaforca de (!(K" N. Emrelacao a ele, a aguapassaa "5� �!� m/s no sentidodosseuspes,nomesmosentidoquesuaforca. Suapotenciae ¤f�RÆMÃEÇ)� �6È �^�L(�(K"��E� "��F��CY W �E 8-64 (8-43/6� )

Um ursode �� kg escorrega parabaixo num troco dearvore a partir do repouso.O troncotem (�� m de al-turae a velocidadedo ursoaochegaraochao e de �G� Um/s. (a) Quala variacaodaenergia potencialdo urso?(b) Qualaenergiacineticadoursonomomentoemquechegaaochao?(c) Qualaforcamediadeatritoqueagiusobreo ursoduranteadescida? (a) Considereaenergiapotencialgravitacionalinicialcomosendo�1-��^" . Entaoa energia potencialgravita-cionalfinal e � / �ftz7:9GV , ondeV eo comprimentodaarvore.A variacaoe,portanto,�2/?tu�1-\�^tz709GV � t6�_��]��%5� #��E�S(�� t4�� %�Y'&T(K" + J�(b) A energiacineticae,�� (� 7:> � � (� � ��!�E�_�G� U!� � �=I�%�� J�(c) De acordocom a Eq. 8-26, a variacao da energiamecanica e igual a t4É�V , onde É e a forca de atritomedia.PortantoÉ@�ft r , 3 r �V ��t I�%��t��%�Y!"(*� ��G(K" N �

P 8-66 (8-51/6� )Um bloco de I�� kg e empurradoa partir do repousoporumamolacomprimidacujaconstantedemolae U�Y�"N/m (Fig. 8-45). Depoisquea molaseencontratotal-menterelaxada,o bloco viaja por umasuperfıcie hori-zontalcom um coeficientede atrito dinamicode "5� �!� ,percorrendoumadistanciade �� # m antesdeparar. (a)Quala energia mecanicadissipadapelaforca deatrito?(b) Qual a energia cineticamaximapossuıda peloblo-co? (c) De quantofoi comprimidaa mola antesqueoblocofosseliberado? (a) A magnitudedaforcadefriccaoe É@�RÊ\ËCÀ , ondeÊ\Ë e o coeficientedeatrito dinamicoe À e a forca nor-mal dasuperfıciesobreo bloco. As unicasforcasverti-caisatuantesno blocosaoa forca normal,paracima,ea forca dagravidade,parabaixo. Comoa componenteverticaldaacelerac¸aodo blocoe zero,a segundalei deNewtonnosdiz que Àm�R709 , onde7 eamassadoblo-co. PortantoÉ~��Ê Ë 7:9 . A energiamecanicadissipadae dadapor

r � �ÌÉ�}Í�ÎÊ Ë 709�} , onde } e a distanciaqueo blocoandaantesdeparar. Seuvalor er � �B��"5� �!��E� I��]��%�� #!�]�_�G� #��P�$U�U5� #!# J�(b) O bloco tem suaenergia cinetica maxima quandoperdecontatocoma molae entranapartedasuperfıcieondea friccaoatua.A energia cineticamaximae igualaenergiamecanicadissipadapelafriccao: U�U5� #!# J.(c) A energia queaparececomoenergia cineticaesta-va ariginalmentearmazenadacomo energia potencialelastica,damolacomprimida.Portanto

r � ��*�� ,onde� e aconstantedamolae � eacompressao.Logo,

�@� b � r �� b �5��U!U�� #�#!�U�Y!" �$"�� Y��!� m n=Y!U cm�P 8-69 (8-55/6� )

Dois montesnevadostem altitudesde #��" m e ��" memrelacaoaovalequeossepara(Fig. 8-47). Umapis-ta de esquivai do alto do montemaior ate o alto domontemenor, passandopelo vale. O comprimentoto-tal da pista e I�� km e a inclinacao media e I�"!J . (a)Um esquiadorpartedorepousonoaltodomontemaior.Com que velovidadechegara ao alto do montemenorsemseimpulsionarcomosbastoes?Ignoreo atrito. (b)Qual deve seraproximadamenteo coeficientede atrito



dinamicoentrea neve e osesquisparaqueo esquiadorpareexatamentenoalto dopicomenor? (a) Tomeo zerodaenergiapotencialgravitacionalco-mo estandono valeentreosdoispicos.Entaoa energiapotenciale � - ��7:9�O - , onde7 e amassadoesquiadore O - e a alturado pico maisalto. A energia potencialfinal e � / �^7:9�O / , onde O / e a alturado pico menor.Inicialmenteo esquiadortemenergia cinetica , - ��" .Escrevamosaenergiacineticafinal como, / ��7@> � �� ,onde> e avelocidadedoesquiadorno topodopicome-nor. A forca normalda superfıcie dosmontessobreoesquiadornaofaztrabalho(poiseperpendicularaomo-vimento)eo atrito edesprezıvel,demodoqueaenergiamecanicae conservada: �2- 3 ,0-1�°�2/ 3 ,0/ , ou seja,7:9GO�-\�R7:9�O�/ 3 7@>�� , dondetiramos>'� � �C9��_O5-�tXO�/!�� A �5��%5� #��E��#��"jtu��"��1��Y�Y m

s�

(b) Comosabemosdo estudode objetosquedeslizamem planosinclinados,a forca normalda superfıcie in-clinada dos montesno esquiadore dada por À �7:9l�E�!��¢ , onde¢ e o angulodasuperfıcie inclinadaemrelacaoa horizontal,I�"�J paracadaumadassuperfıciesemquestao. A magnitudedaforca deatrito e dadaporÉ~��Ê\ËCÀN��Ê\Ë*7:9M�]�!�G¢ . A energiamecanicadissipa-dapelaforca deatrito e É�}j�sÊ\Ë�7:9!}~�]�!�G¢ , onde} e ocomprimentototal do trajeto.Comoo esquiadoratingeo topodomontemaisbaixosemenergiacinetica,aener-giamecanicadissipadapeloatrito e igual adiferencadeenergia potencialentreos pontosinicial e final da tra-jetoria. Ouseja,Ê\Ë*7:9�}:�E��G¢q��7:9��_O - t�O / �EgdondetiramosÊ Ë :Ê Ë � O�-©t�O�/}@�]�!�G¢� #!��"�tu��"��I5� �'&T(K" + �'�E��'I!" J �$"�� "�I�U5�P 8-74 (

�na 6� )

Umadeterminadamolanao obedecea lei deHooke. Aforca (em newtons) que ela exercequandodistendidade umadistancia � (em metros)e de ��G� #�� 3 I!#�� Y�� ,no sentidoopostoaodadistensao. (a) Calculeo traba-lho necessario paradistendera molade �u��"5� � m ate�^�`(!� " m. (b) Com umadasextremidadesda molamantidafixa, uma partıcula de �G�H(�� kg e presaa ou-tra extremidadee a molae distendidadeumadistancia

�l�²(�� " . Em seguida,a partıcula e liberadasemvelo-cidadeinicial. Calculesuavelocidadeno instanteemque a distensao da mola diminuiu para ��w"5� � m.(c) A forca exercidapelamola e conservativa ou nao-conservativa?Expliquesuaresposta. (a) Paradistendera molaaplica-seumaforca, igualemmagnitudeaforcadamolaporemnosentidooposto.Comoa umadistensaono sentidopositivo de � exerceumaforcanosentidonegativode � , aforcaaplicadatemqueser � �B��G� #�� 3 I�#�� Y�� , no sentidopositivo de � .O trabalhoqueelarealizaeÏ � ½

{eÐ �� Ð · � �!�G� #�� 3 I�#5� Y!� � �L�� !�G� #� � � 3 I�#5� YI ��+ �{eÐ �� Ð · �=I5(�� " J�

(b) A mola faz I�( J de trabalhoe estedeve sero au-mentodaenergia cineticadapartıcula. Suavelocidadeeentao

>'� b ��,7 � b �5��I5(�� "!��G�H(�� =�� I�� m/s�(c) A forca e conservativa pois o trabalhoque ela fazquandoa partıculavai deum ponto � {

paraoutropon-to � � dependeapenasde � {

e � � , nao dosdetalhesdomovimentoentre� {

e � � .P 8-79 (8-61/6� )

UmapedradepesoÑ e jogadaverticalmenteparacimacomvelocidadeinicial >C� . SeumaforcaconstanteÉ de-vido a resistenciadoaragesobreapedradurantetodoopercurso,(a) mostrequea alturamaximaatingidapelapedraedadapor

O0� >��C9��L( 3 É|�CÑ�� (b) Mostrequea velocidadedapedraaochegaraosoloedadapor

> �R>C� � Ñ=tXÉÑ 3 É �{¿ � �

(a) Seja O a altura maxima alcancada. A energiamecanicadissipadanoarquandoapedrasobeateaaltu-ra O e,deacordocomaEq.8-26,

r � �^t4É©O . Sabemosque r � �B��,0/ 3 �2/��Pt��,.- 3 �1-��eg



onde ,.- e ,0/ saoasenergiascineticasinicial e final, e�1- e �2/ saoasenergiaspoetenciaisinicial efinal. Esco-lha a energia comosendozerono pontodelancamentoda pedra. A energia cineticainicial e ,.-��Ò7@>�� , aenergia potencialinicial e � - ��" , a energiacineticafi-nal e , / �8" e a energia potencialfinal e � / �ÎÑ�O .Portantot4É©O:��Ñ�O.t)7@> �J �� , dondetiramosO0� 7@>��Ñ 3 É©� � Ñv>��9©��Ñ 3 É©� � >��C9��L( 3 É|��Ñj� gondesubstituimos7 por Ñ?�*9 e dividimosnumeradoredenominadorpor Ñ .(b) Note quea forca do ar e parabaixo quandoa pe-dra sobee paracima quandoela desce.Ela e sempreopostaao sentidoda velocidade. A energia dissipadaduranteo trajetono ar todo e

r � �Ót4�!É©O . A ener-gia cineticafinal e , / �B7@>��C�� , onde > e a velocida-de da pedrano instantequeantecedesuacolisao como solo. A energia potencialfinal e � / �²" . Portantot4��É©O.�=7@>��5tv7:>�� . Substituindonestaexpressaoa expressaoencontradaacimaparaO temost ��É�>��C9��L( 3 É|�CÑ�� (� 7:> � t (� 7@> �� Desteresultadoobtemos> � �=> �� t ��É�> ��7:9��L( 3 É|�CÑ�� > �� t ��É�> ��Ñ��S( 3 É|�CÑ��

� > �� (zt �!ÉÑ 3 É �� > �� ÑRtXÉÑ 3 É �Fg

deondeobtemoso resultadofinal procurado:>'�=> � � ÑRtXÉÑ 3 É �{¿ � �

Percebaquepara ÉR�Î" ambosresultadosreduzem-seaoqueja conheciamos,comonaopodeiadeixardeser.

8.1.5 Massae Energia

E 8-92 (�

na 6� )(a) Qual a energia em Joulesequivalentea umamassade (*"!� g? (b) Durantequantosanosestaenergia aten-deriaasnecessidadesde umafamılia queconsomeemmedia ( kW? (a) Usamosa formula

� �R7ÍÔE� :� �f� "��H(K"!�!�E�_�G� %�%�#q&T(K" Ä � � �=%��H(��&)(*" { ·J�

(b) Usamosagora� �R¤ ® , onde¤ eataxadeconsumo

deenergiae ® e o tempo.Portanto,

® � � ¤ � %��H(��&T(K" { ·(D&)(*" +� %��H(��&T(K" { � segundos� �G� %�(?&T(K" ·anos!

P 8-96 (�

na 6� )

Os EstadosUnidos produziramcercade �G� I�(@&�(*" { �kW Ã h deenergia eletricaem1983. Quala massaequi-valentea estaenergia? Para determinartal massa,usamosa relacao

� �7ÍÔE� , onde Ô��B�� %!%�#�&l(K" Ä m/se a velocidadeda luz.PrimeiroprecisamosconverterkW Ã h paraJoules:�� I5(�&T(K" { � kW Ã h � �G� I�(?&T(K" { � �S(K" + W �E� I�U�"!" s�� #�� I!�q&T(K" { Ä J�Portanto

78� �Ô � � #5� I��&T(K" { Ä�_�G� %�%�#q&T(K" Ä � � �$%!�� kg �



9 SistemasdePart ıculas

9.1 Questoes

Q 9-2

Quala localizacaodo centrodemassadaatmosferadaTerra?9.2 Problemase Exercıcios

9.2.1 O Centro deMassa

E 9-1 (9-1/6� edicao)

(a) A quedistanciao centrodemassado sistemaTerra-Lua se encontrado centroda Terra? (Use os valoresdasmassasda Terra e da Lua e da distanciaentreosdoisastrosqueaparecemno ApendiceC.) (b) Expressearespostadoitem(a)comoumafracaodoraiodaTerra. (a) Escolhaa origem no centroda Terra. Entao adistancia;KÕPÖ docentrodemassadosistemaTerra-Luae dadapor ;*Õ<ÖÒ� 7 ¾ ;*×7 ¾ 3 7@Ø gonde 7 ¾ e a massadaLua, 7ÍØ e a massada Terra,a; × e a separac¸aomediaentreTerrae Lua. Taisvaloresencontram-senoApendiceC. Emnumerostemos,

; ÕPÖ � �� I�U'&T(K"��Ù�]�]��I��'&T(K" Ä �� I�U'&)(*" �Ù� 3 �� %!#'&)(*" � �� Y5� U�Y &)(*" Á m �(b) O raiodaTerrae

´ Ø��$U�� I��6&~(K" Á m, demodoquetemos ; Õ<Ö´ Ø � Y�� U�Y'&T(K" ÁU5� I��6&T(K" Á �="5��I��Observequea fracaoentreasmassase7 Ø7 ¾ � �� %!#q&T(K"!� ��G� I!Uq&T(K" �h� �=#�(!� �!�

E 9-3 (9-3/6� )(a)QuaissaoascoordenadasdocentrodemassadastrespartıculasqueaparecemnaFig. 9-22? (b) O queacon-tececomo centrodemassaquandoamassadapartıculadecimaaumentagradualmente? (a) Sejam �� { ghZ { �R�Ú��"�gÙ"!� , �� ghZ � �R�x�L(�ga�� e�� + gLZ + � �Û�_�GgK(*� ascoordenadas(em metros)dastrespartıculascujasrespectivasmassasdesignamospor 7 {

,7 � e 7 + . Entaoa coordenada� docentrodemassae

� Õ<Ö � 7 { � { 3 7 � � � 3 7 + � +7 { 3 7 � 3 7 +� " 3 ��#5� "��E�S(!� "�� 3 ��Y5� "!�]� �G� "!�I�� " 3 #5� " 3 Y5� " �^(��H( m �enquantoquea coordenadaZ e

Z ÕPÖ � 7 { Z { 3 7 � Z � 3 7 + Z +7 { 3 7 � 3 7 +� " 3 � #�� "!�E�_�G� "!� 3 ��Y�� "��E�S(!� "��I5� " 3 #�� " 3 Y�� " �f(!� I m �(b) A medidaquea massada partıcula de cima e au-mentadao centrodemassadesloca-seemdirecaoaquelapartıcula.No limite, quandoapartıculadecimafor mui-to maismassiva queasoutras,o centrodemassacoin-cidiracoma posicaodela.

E 9-12 (9-9/6� )Uma lata em forma de cilindro reto de massa¹ , al-tura ¬ e densidadeuniformeesta cheiade refrigerante(Fig.9-30).A massatotaldorefrigerantee 7 . Fazemospequenosfuros na basee na tampada lata paradrenaro conteudo e medimoso valor de O , a distanciaverti-cal entreo centrodemassae a basedalata,paravariassituacoes. Qual e o valor de O para(a) a lata cheiae(b) a latavazia? (c) O queacontececom O enquantoalataesta sendoesvaziada?(d) Se � e a alturado lıquidoquerestaemum determinadoinstante,determineo va-lor de � (emfuncaode ¹ , ¬ e 7 ) nomomentoemqueo centrodemassaseencontrao maisproximo possıveldabasedalata. (a) Comoa lata e uniformeseucentrodemassaestalocalizadono seucentrogeometrico, a uma distancia¬@�� acimada suabase. O centrode massado refri-geranteesta no seucentrogeometrico,a umadistancia�©�� acimadabasedalata. Quandoa lataesta cheiatalposicaocoincidecom ¬:�� . Portantoo centrodemassa



da latae como refrigerantequeelacontemesta a umadistancia O0� ¹��¬@�� 3 7��¬:��¹ 3 7 � ¬ �acimadabase,sobreo eixodocilindro.(b) Consideramosagoraa lata sozinha. O centrodemassaesta em ¬:�� acimadabase,sobreo eixo do ci-lindro.(c) A medidaque � decresceo centrode massado re-frigerantenalataprimeiramentediminui, depoiscresceate ¬:�� novamente.(d) Quandoa superfıcie superiordo refrigeranteesta aumadistancia � acimadabaseda lataa massarestante7ÍÜ do refrigerantenalatae 7ÍÜD��©�C¬��S7 , onde 7 ea massaquandoa lataesta cheia( �)��¬ ). O centrodemassado refrigeranteesta apenasa umadistancia ��dabasedalata.LogoO � ¹��¬@�� 3 7 Ü ��©��!�¹ 3 7@Ü� ¹��¬@�� 3 ��©�C¬��S7T��¹ 3 7@��C¬� ¹�¬ � 3 7@� ��_¹�¬ 3 7@�� (1)

Encontramosa posicao maisbaixado centrode massadalatacomrefrigeranteigualandoazeroaderivadade Oemrelacaoa � e resolvendoemrelacaoa � . A derivadae dadapor��O�!� � �C7@�� ¹�¬8tT7:�� t � ¹�¬~� 3 7:��*�S7�5� ¹�¬ 3 7:�� 7@�K�� 3 ��¹s7Í¬»� tX¹s7@¬~�� ¹�¬ 3 7:�� A solucaode 7Í�E�� 3 �!¹s7@¬»��tX¹s7Í¬~�v�=" e

�:� ¹�¬7 � tM( 3 b ( 3 7¹ � �Usamosasolucaopositivapois � e positivo.Substituindo-seagorao valor de � na Eq. (1) acimaesimplificando,encontramosfinalmenteque

O:� ¬�¹7 � b ( 3 7¹ tM( � �9.2.2 A segundalei de Newton para um sistemade

part ıculas

E 9-13 (9-10/6� )Doispatinadores,umcom U�� kg demassaeo outrocomY�" kg, estao depe em um rinquede patinacaono gelosegurandoumavarademassadesprezıvel com (K" m decomprimento.Partindodasextremidadesdavara,ospa-tinadoressepuxamaolongodavaraateseencontrarem.Qualadistanciapercorridapelopatinadorde Y�" kg? A faltadeatritocomo geloimplicaqueefetivamenteos patinadorese a varaformemum sistemamecanica-menteisolado, i.e. sobreo qualnaoatuamforcasexter-nas. Portanto,a posicao do centrode massanao podealterar-sequandoouum,ouo outroouambospatinado-respuxarema vara.Suponhaqueo patinadorde U!� kg encontre-seaesquer-daequeocentrodemassasejaescolhidocomoaorigemdo sistemade coordenadas(i.e. � ÕPÖ �Ò" ), e queseja� adistanciadesdeo centrodemassaateo patinadordeY�" kg. Entaotemos

��Õ<Ö8� tvU��L(K"�t)�� 3 Y�"��U�� 3 Y�" �$"��Portanto,temosU!�5�S(K"�tT��=Y!"�� , dondetiramos�:� U!��"(K"�� RU�� m �Notequeo fatodospatinadoresterminarememcontatoimplica quebastaum delespuxara varaparaqueAM-BOS semovamemrelacaoaogelo.Seambospuxarema vara, elesapenaschegam mais rapido a posicao fi-nal,sobreo centrodemassa.Masbastaumdelespuxara vara,queo outro sera necessariamentearrastadoemdirecaoaocentrodemassa,querqueira,quernao.Vocepercebeisto?

E 9-14 (9-11/6� )Um velhoGalaxycomumamassade �CY�"�" kg esta via-jandoporumaestradaretaa #�" km/h. Ele eseguidoporum Escortcom uma massade (*U�"!" kg viajandoa U!"km/h. Qual a velocidadedo centrode massadosdoiscarros? Sejam7ÍÝ e >�Ý a massae a velocidadedo Galaxye7ÍÞ e >�Þ a massae velocidadedo Escort. Entao,con-forme a Eq. (9-19),a velocidadedo centrode massaedadapor> Õ<Ö � 7ÍÝ1>�Ý 3 7ÍÞ1>�Þ7 Ý~3 7 Þ� �_�CY!"!"!�]��#�"�� 3 �S(*U�"!"!�E� U�"��CY!"!" 3 (KU!"�" �� km/h�



Notequeasduasvelocidadesestaono mesmosentido,demodoqueambostermosnonumeradortemo mesmosinal. As unidadesusadasnao saodo SistemaInterna-cional.

E 9-19 (9-18/6� )Ricardo,demassaiguala #!" kg,eCarmelita,queemaisleve,estaopasseandonoLagoTiticacaemumacanoadeI�" kg. Quandoa canoaesta emrepousonaaguacalma,elestrocamde lugares,queestao distantesI m e posi-cionadossimetricamenteemrelacaoaocentrodacanoa.Durantea troca,Ricardopercebequea canoasemoveY!" cmemrelacaoaumtroncodearvoresubmersoecal-culaa massadeCarmelita.Quala massadeCarmelita? Chamemosde ¹Xß e ¹ Õ asmassasdeRicardoeCar-melita. Suponhamosqueo centrodemassado sistemaformadopelasduaspessoas(supostomaispertodeRi-cardo)estejaa uma distancia � do meio da canoadecomprimentoV e massa7 . Nestecaso

¹Xß � V � tT� � �R7@� 3 ¹ Õ � V � 3 � � �Comonaoexiste forca externa,estaequac¸aopermane-ce igualmentevalida apos a trocade lugares,umavezqueasposicoesdeambossaosimetricasemrelacaoaomeiodo barco.A diferenca e queo centrodemassadosistemaformadopelasduaspessoasmudoude ladonobarco,ou seja,sofreuumavariacao de �� . Paradeter-minaro valorde � , bastausara observacaorelacionadaaotroncodearvoresubmerso,queandouumadistancia�C�:�=Y!" cm �$"�� Y m �Portanto,usando�X�^"5� � naequac¸aoacimaobtemosamassadeCarmelita:¹XÕ � ¹Xß��Vp��t)��Ft)7@�Vp�� 3 �� #�"5� I��vt�"��Pt��I!"!�E� "��I�� 3 "�� # kg �E 9-20 (9-15/6� )

Um projetil e disparadopor um canhaocomumavelo-cidadeinicial de ��" m/s. O angulodo disparoe U�"�J emrelacao a horizontal. Quandochega ao pontomaisal-to da trajetoria, o projetil explodeem dois fragmentosde massasiguais(Fig. 9-33). Um dosfragmentos,cu-ja velocidadeimediatamenteaposaexplosaoezero,cai

verticalmente.A quedistanciado canhaoo outro frag-mentoatingeo solo,supondoqueo terrenosejaplanoearesistenciadoarpossaserdesprezada? Precisamosdeterminarascoordenadasdo pontodeexplosaoe a velocidadedo fragmentoquenaocai retoparabaixo. Tais dadossao as condicoesiniciais paraum problemademovimentodeprojeteis,paradetermi-narondeo segundofragmentoaterrisa.Consideremosprimeiramenteo movimentodo projetiloriginal,ateo instantedaexplosao.Tomemoscomoori-gemo pontodedisparo,como eixo � tomadohorizontale o eixo Z vertical,positivo paracima. A componenteZ da velocidadee dadapor >M�Ì> �Ùà t£9 ® e e zeronoinstantedetempo ® ��> �aà �*9@��> � ��9G� sen ¢ � , onde> �e a velocidadeinicial e ¢ � e o angulode disparo. Ascoordenadasdopontomaisaltosao�:�=>C�eá ® � c >C�\�E��G¢�� d ®

� ��>C�C�S�9 sen ¢ � �E��G¢ �� "!�L�%�� # sen U�" J �E�!�5U�" J �^(��G�� m g

e Z � >C� à�® t {� 9 ® �

� {� > ��9 sen� ¢ �

� {� � ��"!�S�%�� # sen� U�" J �^(*�� I m �

Jaquenenhumaforcahorizontalatuanosistema,acom-ponentehorizontaldomomentoeconservada.Umavezqueum dosfragmentostemvelocidadezeroaposa ex-plosao,o momentodooutrofragmentotemqueserigualaomomentodoprojetil originalmentedisparado.A componentehorizontaldavelocidadedo projetil ori-ginal e > � �E��G¢ � . Chamemosde ¹ a massado projetilinicial e de È � a velocidadedo fragmentoquesemovehorizontalmenteaposaexplosao.Assimsendo,temos¹s>C�\�E��G¢�� ¹ � È ��gumavezquea massado fragmentoemquestaoe ¹=�� .IstosignificaqueÈ �â� ��>C�\�E��G¢�� 5� ��"��G�E��GU�" J ��" m/s�Agoraconsidereumprojetil lancadohorizontalmentenoinstante® �W" com velocidadede ��" m/s a partir dopontocomcoordenadas�� ghZ � �p�°�S(��G��Gg](��G� I!� m. Sua



coordenadaZ e dadapor Zf�WZ � tR9 ® �*�� , e quandoele aterrisatemosZX��" . O tempoate a aterrisageme® � A �CZ � �*9 e a coordenada� do pontodeaterrisageme

�Í�� 3 È �]® � � � 3 È � b �CZ��9� (��«� 3 ��" b �5�S(*�� I��%�� # �=��I m �

A que distanciao projetil cairia senao tivessehavidoexplosao?

E 9-21 (9-17/6� )Doissacosidenticosdeacucarsaoligadosporumacor-dademassadesprezıvel quepassaporumaroldanasematrito, de massadesprezıvel, com ��" mm de diametro.Os dois sacosestao no mesmonıvel e cadaum possuioriginalmenteuma massade ��"�" g. (a) Determineaposicao horizontaldo centrode massado sistema.(b)Suponhaque ��" g deacucarsaotransferidosdeumsacoparao outro, masos sacossao mantidosnasposicoesoriginais. Determinea nova posicaohorizontaldo cen-tro demassa.(c) Osdoissacossao liberados.Em quedirecao semove o centrode massa?(d) Qual e a suaaceleraçao? (a) Escolhao centrodo sistemade coordenadasco-mo sendoo centrodaroldana,como eixo � horizontale paraa direitae como eixo Z parabaixo. O centrodemassaesta a meiocaminhoentreossacos,em ��B" eZM�Î} , onde } e a distanciavertical desdeo centrodaroldanaate qualquerumdossacos.(b) Suponha��" g transferidasdo sacodaesquerdaparao sacodadireita.O sacodaesquerdatemmassaY�#�" g eesta em � { �^t4�� mm. O sacoa direitatemmassa��"g e esta em � � � 3 �� mm. A coordenada� do centrodemassae entao� Õ<Ö � 7 { � { 3 7 � � �7 { 3 7 �� Y�#�"!�]�St4�!�� 3 �_��"!�E� 3 ��!�Y��" 3 �!��" �^(�� " mm�A coordenadaZ aindae } . O centrodemassaesta a ��Ummdosacomaisleve,aolongodalinhaqueuneosdoiscorpos.(c) Quandosoltos,o sacomaispesadomove-separabai-xo e o sacomaisleve move-separacima,demodoqueo centrodemassa,quedeve permanecermaispertodosacomaispesado,move-separabaixo.

(d) Comoossacosestaoconectadospelacorda,quepas-sapelaroldana,suasaceleraçoestem a mesmamagni-tudemassentidosopostos.Se ¯ e a aceleraçaode 7 � ,entao tv¯ e a aceleraçaode 7 {

. A aceleraçaodocentrodemassae¯�Õ<Ö8� 7 { �Stv¯G� 3 7 � ¯7 { 3 7 � �$¯ 7 � tT7 {

7 { 3 7 � �Aplicandoa segundalei de Newton paracadasacote-mos

sacoleve ã 7 { 9�t ³ �ftz7 { ¯�gsacopesadoã 7 � 9�t ³ � 7 � ¯��

Subtraindoaprimeiradasegundae rearranjandotemos¯'� 7 � tT7 {7 { 3 7 � 9��

Portanto,substituindonaequaçaopara�Õ<Ö , vemosque¯ ÕPÖ � ��7 � t)7 { �L��7 { 3 7 � � � 9� �_��"?t)Y�#�"!�L��Y!#!" 3 �!��"!� � ��%�� #!�1�$"�� "�(*U m/s��

A aceleraçaoe parabaixo.

E 9-22 (9-19/6� )Um cachorrode � kg esta emum botede ��" kg queseencontraa U mdamargem(queficaaesquerdanaFig.9-34a).Eleanda�G� Y m nobarco,emdirecaoa margem,edepoispara.O atritoentreo boteeaaguaedesprezıvel.A quedistanciada margemesta o cachorrodepoisdacaminhada?(Sugestao: Vejaa Fig. 9-34b. O cachorrosemove paraa esquerda;o botesedeslocaparaa di-reita;e o centrodemassado sistemacachorro+barco?Seraqueelesemove?) Escolhao eixo � comosendohorizontal,coma ori-gemna margem,e apontantoparaa direita na Fig. 9-34a.Seja7»ä a massado botee ��ä_- suacoordenadaini-cial. Seja7»å amassadocachorroe ��å�- suacoordenadainicial. A coordenadainicial docentrodemassaeentao�\æ -oçÕ<Ö � 7ÍäL��ä_- 3 7»åh��å�-7Íä 3 7»å �Agora o cachorrocaminhaumadistancia � paraa es-querdado bote. Comoa diferenca entrea coordenadafinal dobote � ä�/ eacoordenadafinal docachorro� å¼/ e� , ou seja � ä�/ tT� å¼/ �f� , a coordenadafinal do centrodemassapodetambemserescritacomo� æ /KçÕPÖ � 7ÍäL��ä�/ 3 7»åS��å¼/7 äP3 7 å



� 7»äL��å¼/ 3 7»äL� 3 7»åS��å¼/7»ä 3 7»å �Comonenhumaforca horizontalexternaatuano siste-mabote-cachorro,a velocidadedo centrodemassanaopodemudar. Comoo botee o cachorroestavaminicial-menteem repouso,a velocidadedo centrode massaezero. O centrode massapermancena mesmaposicaoe,portanto,asduasexpressoesacimapara� ÕPÖ devemseriguais.Istosignificaque� æ -HçÕPÖ � � æ /*çÕ<Ö7ÍäL��ä_- 3 7»åL��å�-è� 7»äL��å¼/ 3 7»äL� 3 7»åh��å¼/5�Isolando-se��å¼/ obtemos� å¼/ � 7ÍäL��ä_- 3 7»åL��å�-©tT7Íäh�7Íä 3 7»å� � ��"��E� U!� 3 � ��]��U��FtM�_��"��E� �� Y��" 3 � �RY�� "!# m �Observe que usamos� ä - �è� å�- . E estritamentene-cessario fazer-seisto? Senao for, qual a vantagemdesefaze-lo?...Al em de uma escolhaconvenientedos pontosde re-ferencia,percebaqueum passocrucial nesteexercıciofoi estabelecero fatoque ��ä�/6t)��å¼/��=� .

9.2.3 O Momento Linear

E 9-23 (�

na 6� )

Qual o momentolinear de um automovel que pesa(KU5� "!"�" N e esta viajandoa #�# km/h? A “moral” desteproblemae cuidarcomasunidadesempregadas:é �R7@>'� (KU!"�"�"%�� # #!#'&)(*" +I!U�"�" �RI!U!��#�( kg m/sgnadirecaodomovimento.

E 9-24 (9-21/6� )Suponhaquesuamassae de #�" kg. Com queveloci-dadeteriaquecorrerparater o mesmomomentolinearqueumautomovel de (*U�"!" kg viajandoa (!� � km/h? Chamandode 7 å e > å amassae avelocidadedocar-ro, ede 7 e > a“sua” massaevelocidadetemos,gracasa conservacaodomomentolinear,> � 7Íåh>�å7 � �S(*U�"!"!�E�L(��6&T(K" + �� #�"��E��I!U�"!"!� �=U�� U�� m/s�

Poderıamostambemdeixara respostaemkm/h:> � 7 å > å7 � �S(*U�"�"��E�L(��#�" �$��Y km/h�Percebaa importanciade forneceras unidadesao darsuaresposta.Esteultimo valornaoestanoSI, claro.

E 9-25 (9-20/6� )ComquevelocidadedeveviajarumVolkswagende #�(*Ukg (a) parater o mesmomomentolinear que um Ca-dillac de ��U��" kg viajandoa (KU km/h e (b) parater amesmaenergiacinetica? (a) O momentosera o mesmose 7~ê1>!ê°�Î7 Õ > Õ ,dondetiramosque>!êu� 7 Õ7 ê > Õ � ��U��"#�(*U �S(*U!�1�$��(�� %�U km/h�(b) Desconsiderandoo fator (�� , igualdadede energiacinaticaimplica termos7~ê2>��ê ��7 Õ >��Õ , ouseja,

> ê � b 7 Õ7»ê >�ÕX� b ��U!��"#�(KU �L(KU��F��#5� #!I km/h�E 9-26 (

�na 6� )

Qual o momentolinear de um eletronviajandoa umavelocidadede "�� %�%!Ô ( �$�G� %��q&T(K" Ä m/s)? Comoa velocidadedo eletronnaoe demodoalgumpequenacomparadacom a velocidadeÔ da luz, faz-senecessario aquiusara equac¸ao relativisticaparao mo-mentolinear, conformedadapelaEq.9-24:é � 7:>� (zt �eëå�ë

� � %��H(�(?&)(*" k + { �]� �� %��q&)(*" Ä �A (zt��"5� %!%!� �� (!� %5(��6&)(*" k � { kg Ã m/s�Semo fatorrelativısticoterıamosachadoé � � � %��H(�(D&T(K" k + { �E�_�G� %��&)(*" Ä �� "!�q&T(K" k �h� kg Ã m/sgouseja,umvalor �6�_�^(�� A (zt��"�� %�%�� vezesmenor:é �� é � �



9.2.4 Conservacaodo Momento Linear

E 9-33 (9-27/6� )Um homemde (K"�" kg,depeemumasuperfıciedeatritodesprezıvel, da um chuteemumapedrade "��«�C" kg, fa-zendocomqueelaadquiraumavelocidadede I5� %!" m/s.Qualavelocidadedohomemdepoisdochute?Comonenhumaforca comcomponentehorizontalatuano sistemahomem-pedra,o momentototal e conserva-do. Comotantoo homemcomoapedraestaoemrepou-so no inıcio, o momentototal e zeroantesbemcomodepoisdochute,ouseja70ìC>*ì 3 7 � > � �$"�gondeo subındice é refere-sea pedrae o subındice Orefere-seaohomem.Destaexpressaovemosque>��^t 70ì*>*ì7»� � t ��"5��"!�]��I�� %�"��(K"!"� tv"�� "!�� m/sgondeo sinal negativo indicaqueo homemmove-senosentidoopostoaodapedra.Notequeo sentidodapedrafoi implicitamentetomadocomopositivo. Note aindaquearazaodasmassascoincidecomarazaodospesos.

E 9-36 (9-29/6� )Um homemde �� kg estaviajandoemumcarrinho,cujamassae I�% kg, a �� I m/s.Elesaltaparaforadocarrinhodemodoa ficarcomvelocidadehorizontalzero.Qualavariacaoresultantenavelocidadedocarrinho?

NOTA: na 4� edicao do livro (bemcomo em algumasedicoesanteriores)esqueceram-sede fornecera massado carrinho,no enunciadodesteexercıcio. Al em dis-to, traduziramchart comosendo“carroca”, termoquetambem aparecenasedicoesmaisantigasdo livro. Oenunciadona6� edicaoesta correto.Dificilmenteumacarroca poderiater METADE da massado passageiro,naoe mesmo? O momentolinear total do sistemahomem-carrinhoe conservadopoisnaoatuamforcasexternascomcom-ponenteshorizontaisno sistema. Chamemosde 7 å amassado carrinho, > a suavelocidadeinicial, e > å suavelocidadefinal (aposo homemhaverpuladofora). Seja7»� a massadohomem.Suavelocidadeinicial ea mes-madocarrinhoe suavelocidadefinal e zero.Portantoaconservacaodomomentonosfornece��7Í� 3 7»åa�¼>'�=7Íåh>�åKg

deondetiramosavelocidadefinal docarrinho:> å � >��7»� 3 7Íåa�7Íå� �_�G� I!�E�� 3 I�%��I!% �$U��«� m/s�A velocidadedacarrinhoaumentapor U5��Dtl�G� I��fY5� Ym/s. Parareduzirsuavelocidadeo homemfazcomqueo carrinhopuxe-oparatras,demodoqueo carrinhosejaimpulsionadaparaafrente,aumentandosuavelocidade.

E 9-38 (9-33/6� )O ultimo estagiodeum fogueteesta viajandocomumavelocidadede �CU!"�" m/s. Esteultimo estagio e feito deduaspartespresaspor umatrava: um tanquede com-bustıvel com umamassade ��%�" kg e uma capsuladeinstrumentoscomumamassade (*��" kg. Quandoa tra-va e acionada,uma mola comprimidafaz com que asduaspartesseseparemcomumavelocidaderelativa de%5(K" m/s. (a) Qual a velocidadedasduaspartesdepoisqueelasseseparam?Suponhaquetodasasvelocida-destemamesmadirecao.(b) Calculeaenergiacineticatotal dasduaspartesantese depoisde sesepararemeexpliquea diferenca (sehouver). (a) Suponhaquenenhumaforca externaatueno site-macompostopelasduaspartesnoultimoestagio.Omo-mentototal do sistemae conservado. Seja 7@í a massadotanquee 7Íå amassadacapsula.Inicialmenteambasestaoviajandocomamesmavelocidade> . Aposa travaseracionada,7:í tem umavelocidade>Cí enquantoque7»å tem umavelocidade>�å . Conservacaodo momentofornece-nos��7@í 3 7ÍåÙ�¼>��R7@í�>Cí 3 7»åS>�å*�Aposa travasersolta,acapsula(quetemmenosmassa)viajacommaiorvelocidadee podemosescrever>�å��>Cí 3 >�Üaî�ïSgonde >�Üaî�ï e a velocidaderelativa. Substituindoestaex-pressao na equac¸ao da conservacao do momentoobte-mos ��7 í©3 7 å �¼>��R7 í > í©3 7 å > åF3 7ÍÔe> Üaî�ï gdemodoque

>�åð� ��7@í 3 7»åÙ�S>�tT7Íåh>�Üaî�ï7 í|3 7 åhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina18 de26


� >�t 7 í7:í 3 7»å >�Üaî�ï� �CU�"!"jt (*��"��%!" 3 (��" � %�(K"��1��%�" m/s�

A velocidadefinal dacapsulae>�åº�=>Cí 3 >�Üaî�ï\�$��%�" 3 %�(*"?�$#!��"�" m/s�(b) A energiacineticatotalantesdasolturadatrava e, - � {

� ��7 í�3 7 å �S> �� {� � ��%�" 3 (��"��E�_��U�"!"!� � ��(!� ��(?&T(K" { �

J�A energiacineticatotalaposa solturadatrava e,:/ � {

� 7:í�> �í 3 {� 7»åh> �å� {

� � ��%�"!�]�_��%�"�� 3 {� �S(��"��E��#��"!"!� �� (!� ��&)(*" { �

J�A energiacineticatotalaumentoulevemente.Istodeve-seaconversaodaenergiapotencialelasticaarmazenadanatrava(molacomprimida)emenergiacineticadaspar-tesdo foguete.

E 9-39 (9-39/6� )Uma caldeira explode, partindo-seem tres pedaços.Dois pedaços, de massasiguais,sao arremessadosemtrajetoriasperpendicularesentresi, coma mesmavelo-cidadede I�" m/s. O terceiropedaço tem uma massatresvezesa deum dosoutrospedaços. Qualo modulo,direcao e sentidode sua velocidadelogo apos a ex-plosao? Suponhaquenaohajaforcaexternaatuando,demodoqueo momentolineardosistemadetrespecassejacon-servado.Comoo momentumantesdaexplosaoerazero,eletambemo e aposa explosao.Istosignificaqueo ve-tor velocidadedostrespedaçosestaotodosnummesmoplano.EscolhaumsistemadecoordenadasXY, como eixover-tical sendoo eixo Z , positivo paracima. A partir daorigemdestediagrama,desenhenadirecaonegativadoeixo X o vetor I�7:ñ , correspondenteao momentodapartıculamaispesada.Osdoisoutrosmomentossaore-presentadospor vetores7@Ç apontandonum angulo ¢ {noprimeiroquadrantee ¢ � noquartoquadrante,demo-doque ¢ { 3 ¢ � �=%�"�J (condicaodoproblema).

Comoa componenteverticaldo momentodeve conser-var-se,temoscomasconvencoesacima,que7@> sen ¢ { tT7:> sen ¢ � �R"5gonde > e a velocidadedos pedaços menores. Portan-to devemosnecessariamenteter que ¢ { �²¢ � e, como¢ { 3 ¢ � �R%!"!J , temosque ¢ { �R¢ � ��Y��J .Conservacaodacomponente� domomentoproduzI�7 È ��C7@>��E��G¢ { �Consequentemente,a velocidadeÈ dopedaço maiore

È � �+ >º�E��G¢ { � �+ ��I!"!�G�]�!�GY�� J ��(KY m/sgno sentidonegativo do eixo � . O anguloentreo vetorvelocidadedopedaço maiorequalquerumdospedaçosmenorese (*#�" J tTY�� J ��(KI�� J �9.2.5 SistemasdeMassaVari avel: Um Foguete

E 9-48 (9-41/6� )Uma sondaespacialde U�"�%!" kg, viajandoparaJupitercomumavelocidadede (K"�� m/semrelacaoaoSol,acio-nao motor, ejetando#�" kgdegasescomumavelocidadede ��I m/semrelacao a sonda.Supondoqueosgasessaoejetadosno sentidoopostoaodo movimentoinicialdasonda,qualasuavelocidadefinal? Ignorea forca gravitacionaldeJupitere useaEq.(9-47) do livro texto. Se >�- e a velocidadeinicial, ¹u- e amassainicial, >�/ e velocidadefinal, ¹u/ eamassafinal,e ò e a velocidadedogasdeexaustao,entao>�/��=>�- 3 ò�óoô ¹ -¹u/ �Nesteproblematemos¹u-��fU�"!%�" kg e ¹u/.�Û�"!%�"?t#!"6�RU�"5(K" kg. Portanto>�/��f(*"!� 3 ��I2óoô � U�"!%�"U�"5(K" � ��(K"!# m/s�E 9-49 (9-43/6� )

Um fogueteemrepousono espaço, emumaregiaoemquea forca gravitacionale desprezıvel, temumamassade �� !�2&�(K" ·

kg,daqual (!� #5(<&6(*" ·kg saocombustıvel.

O consumodecombustıvel do motor e de Y!#!" kg/se a



velocidadedeescapamentodosgasesede I��!� km/s.Omotor e acionadodurante��" s. (a) Determineo em-puxodo foguete.(b) Quale a massado foguetedepoisqueo motor e desligado?(c) Qual e a velocidadefinaldo foguete? (a) Comoseve no texto logo abaixoda Eq. 9-46,oempuxodofogueteedadopor

� � ´ ò , onde eataxade consumode combustıvel e ò e a velocidadedo gasexaustado.No presenteproblematemos �fY�#�" kg eò@�$I��!��&T(K" + m/s,demodoque� � ´ ò:�f��Y�#�"��E��I5� ��&)(*"�+]�2�^(��!��&T(K" Á N �(b) A massa do combustıvel ejetado e dada por¹uå J × ä�� ´ r ® , onde

r ® eo intervalodetempodaquei-madecombustıvel. Portanto¹uå J × ä2�B��Y�#�"��E� �!��"��P�^(��"'&T(K" ·

kg �A massadofogueteaposa queimae¹u/��=¹u-©t�¹lå J × äõ� � �G��tM(��"��p&)(*" ·

� (�� I!�q&)(*" ·kg �

(c) Comoa velocidadeinicial e zero,a velocidadefinale dadapor> / � ò�óoô ¹X-¹u/� � I��!��&T(K"�+K��óoô � �� !�q&)(*" ·(!� I��q&)(*" · �� "!#'&)(*" + m/s�

E 9-56 (9-47/6� )Duaslongasbarcaçasestaoviajandonamesmadirecaoe no mesmosentidoem aguastranquilas; uma comuma velocidadede (K" km/h, a outro com velocidadede ��" km/h. Quandoestao passandouma pela outra,operariosjogamcarvaodamaislentaparaamaisrapida,a razaode (K"�"!" kg por minuto; vejaa Fig. 9-38. Quala forca adicionalquedeve serfornecidapelosmotoresdasduasbarcaçasparaquecontinuema viajar com asmesmasvelocidades?Suponhaquea transferenciadecarvaosedaperpendicularmenteadirecaodemovimen-to dabarcaça maislentae quea forca deatrito entreasembarcaçoese a aguanaodependedoseupeso.9.2.6 SistemasdePart ıculas: Variacoesna Energia

Cinetica

E 9-60 (9-55/6� )Umamulherde �!� kg seagachaedepoissaltaparacimanavertical. Na posicaoagachada,seucentrodemassaesta Y�" cm acimado piso; quandoseuspesdeixamochao,o centrode massaesta %!" cm acimado piso; nopontomaisaltodosalto,esta (��" cmacimadopiso. (a)Qual a forca mediaexercidasobrea mulherpelo piso,enquantoha contatoentreambos?(b) Quala velocida-demaximaatingidapelamulher?



10 Colisoes

10.1 Questoes

Q 10-1

Expliquecomoaconservacaodeenergiaseaplicaaumabolaquicandonumaparede.10.2 ProblemaseExercıcios

10.2.1 Impulso e Momento Linear

E 10-3 (10-1/6� edicao)

Um taco de sinucaatinge uma bola, exercendoumaforca mediade ��" N em um intervalo de (K" ms. Seabola tivessemassade "��" kg, quevelocidadeela teriaaposo impacto? Se � for a magnitudedaforca mediaentaoa magni-tudedo impulsoe öl� � r ® , onde

r ® e o intervalo detempoduranteo quala forca e exercida(vejaEq.10-8).Esteimpulso iguala a magnitudeda troca de momen-tumdabolaecomoabolaesta inicialmenteemrepouso,igualaa magnitude7@> do momentofinal. Resolvendoa euqac¸ao � r ® ��7@> para> encontramos>'�� r ®7 � � ��"!�E�L(K"'&T(K" k + �"��" ��G�� m/s�E 10-9 (10-5/6� )

Umaforcacomvalormediode (*��"�" N eaplicadaaumaboladeaco de "�� Y!" kg, quesedeslocaa (]Y m/s,emumacolisao quedura �� ms. Sea forca estivesseno senti-do opostoao da velocidadeinicial da bola, encontreavelocidadefinal dabola. Considerea direcao inicial do movimentocomopo-sitiva e chamede � a magnitudedaforca media,

r ® aduracao da forca, 7 a massada bola, > - a velocidadeinicial da bola, > / a velocidadefinal da bola. Entao aforca atuanadirecaonegativa e o teoremado impulso-momentofornecet � r ® �R7:>�/6t)7@>�-L�

Resolvendopara>�/ obtemos

>�/ � >�-©t�� r ®7� (]Y?t �S(*��"�"��E� ��D&T(K" k + �"�� Y!" ��tvU�� m/s�A velocidadefinal dabolae U�� m/s.

P 10-12 (10-9/6� )Um carrode (KY!"!" kg, deslocando-sea �� I m/s,esta ini-cialmenteviajandoparao norte,no sentidopositivo doeixo Z . Aposcompletarumacurva a direitade %!" J parao sentidopositivo do eixo � em Y5� U s,o distraidomoto-rista investeparacimadeumaarvore,queparao carroem I!��" ms. Em notacao de vetoresunitarios,qual e oimpulsosobreo carro(a) duranteacurvae (b) duranteacolisao?Quala intensidadedaforca mediaqueageso-breo carro(c) durantea curva e (d) durantea colisao?(e)Qualeo anguloentrea forcamediaem(c) eo senti-dopositivo doeixo � ? (a) O momentoinicial docarroe÷ - �=7@Ç)�f�S(KY!"!"!�E�_�G� I!�oø4�f��Y��" kg Ã m/s�oøeo momentofinal e �_�CY��" kg Ã m/s�Sù . O impulsoqueneleatuae igual a variacaodemomento:ú � ÷ /Dt ÷ -\�B�_�CY��" kg Ã m/s�E� ù©t ø��E�(b) O momentoinicial do carroe ÷ -º�Î��Y��" kg Ã m/s�Lùe o momentofinal e ÷ /»��" , umavezqueelepara. Oimpulsoatuandosobreo carroeú � ÷ /Dt ÷ -\�ft6��Y��" kg Ã m/s�Lù(c) A forca mediaqueatuanocarroe

Æ � � � r ÷r ® � úr ®� ��Y��" kg Ã m/s�]��ù�t�øC�Y�� U� �L(KU�(*I N �E� ù�t ø��e sua magnitudee � � �°�x�S(KU!"�" N � ¡ �°�û��U��Bn��I�"!" N.(d) A forca mediae

Æ � �j� úr ® � �St��CY��" kg Ã m/s�SùI!��"'&)(*" k +http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina21 de26


� �St4�G(!(]Y�I N �1ù� �St4�G�H(D&T(K"�� N �Fùe suamagnitudee Æ � �?��G�H(?&)(*" � N.(e) A forca media e dadaacima em notacao vetorialunitaria. Suascomponentes� e Z tem magnitudesiguais. A componente� e positiva e a componenteZe negativa, de modoquea forca esta a Y��!J abaixodoeixo � .

P 10-13 (10-??/6� )A forca sobreum objetode (K" kg aumentauniforme-mentedezeroa ��" N em Y s. Quale a velocidadefinaldoobjetoseelepartiudo repouso? Tomeamagnitudedaforcacomosendo� �$¥ ® , on-de ¥ eumaconstantedeproporcionalidade.A condicaoque � �$��" N quando® �RY sconduza¥$�B� ��" N �h��Y s��(��G�� N/s�A magnitudedo impulsoexercidonoobjetoe

ö»� ½ �� ® � ½ �� ¥ ® � ® � {� ¥ ® ��üüü �� {� �S(��G��]��Y�� (*"�" N Ã s�

A magnitudedesteimpulso e igual a magnitudedavariacaodo momentodo objetoou, comoo objetopar-tiu do repouso,e igual magnitudedo momentofinal:ö»�=7@> / . Portanto

> / � ö7 � (*"�"(K" ��(*" m/s�P 10-14 (10-13/6� )

Uma armade ar comprimidoatira dezchumbinhosde� g por segundocom umavelocidadede ��"�" m/s, quesao detidospor uma parederıgida. (a) Qual e o mo-mentolineardecadachumbinho?(b) Qual e a energiacineticadecadaum? (c) Quale a forca mediaexercidapelo fluxo de chumbinhossobrea parede?(d) Seca-dachumbinhopermaneceremcontatocomaparedepor"�� U ms,qualsera a forca mediaexercidasobrea paredeporcadaum delesenquantoestiveremcontato?(e)Porqueestaforca e taodiferentedaforcaem(c)?

(a) Se 7 for a massadumchumbinhoe > for suave-locidadequandoele atingea parede,entaoo momentoe é �R7:>'�B� �'&T(K" k +]�]� ��"�"!�2�f( kg Ã m/sgnadirecaodaparede.(b) A energiacineticadumchumbinhoe,�� {

� 7:> � � {� �_�'&)(*" k +K�E� ��"�"�� =�!��" J�

(c) A forcanaparedeedadapelataxanaqualo momen-to e transferidodoschumbinhosparaa parede.Comoos chumbinhosnao voltam paratras,cadachumbinhotransfereé �B(�� " kg Ã m/s. Se

r À��^(*" chumbinhosco-lidem numtempo

r ® ��( segundo,entaoa taxamediacomqueo momentoe transferidoe

� � �D� é r Àr ® � �S(�� "!�]�S(*"!�( �f(*" N �A forca na paredetem a direcao da velocidadeinicialdoschumbinhos.(d) Se

r ® e o intervalo de tempoparaum chumbinhoserfreadopelaparede,entaoa forca mediaexercidanaparedeporchumbinhoe

� � � � ér ® � (�� ""5� U &T(K" k + �^(KU�U!U�� U�U N �A forca tema direcaodavelocidadeinicial do chumbi-nho.(e) Na parte(d) a forca foi mediadaduranteo interva-lo emqueumchumbinhoestaemcontatocomaparede,enquantonaparte(c) elafoi mediadaduranteo intervalodetemponoqualmuitoschumbinhosatingemaparede.Na maior partedo temponenhumchumbinhoesta emcontatocom a parede,de modoquea forca medianaparte(c) e muitomenorquea mediaem(d).

P 10-26 (10-15/6� )Umaespac¸onave e separadaemduaspartesdetonando-seasligacoesexplosivasqueasmantinhamjuntas. Asmassasdaspartessao (*��"!" e (*#�"!" kg; o modulodo im-pulsosobrecadaparteede I�"!" N Ã s. Comquevelocida-derelativaasduaspartesseseparam? Consideremosprimeiro a partemais leve. Suponhaqueo impulsotenhamagnitudeö eestejanosentidopo-sitivo. Seja7 {

, > {amassaeavelocidadedapartemais

leve aposasligacoesexplodirem. Suponhaqueambasaspartesestao em repousoantesda explosao. Entao,¹ý�R7 { > {

, demodoque> { � ö7 { � I!"�"(��"�" �$"�� m/s�http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina22 de26


O impulsonapartemaispesadatema mesmamagnitu-de masno sentidooposto,de modoque t?ö��Î7 � > � ,onde 7 � , > � sao a massae a velocidadeda partemaispesada.Portanto> � �ft ö7 � �ft I!"�"(*#�"!" �^tv"��H(KU�� m/s�A velocidaderelativadaspartesaposa explosaoe"��t��Stv"��H(KU��F�="5� Y�(�� m/s�P 10-28 (10-38/6� )

A espaçonave Voyager 2 (de massa7 e velocidade>relativaaoSol)aproxima-sedoplanetaJupiter(demas-sa ¹ e velocidadeÈ relativa ao Sol) como mostraaFig. 10-33. A espaçonave rodeiao planetae partenosentidooposto.Quale a suavelocidade,emrelacaoaoSol,aposesteencontrocomefeitoestilingue?Conside-ra >M�[(�� km/s e È �[(KI km/s (a velocidadeorbitaldeJupiter). A massadeJupiter e muito maiordo queadaespaçonave; ¹ýþÓ7 . (Parainformacoesadicionais,veja“The slingshoteffect: explanationandanalogies”,de Albert A. Bartlett e CharlesW. Hord, ThePhysicsTeacher, novembrode1985.) Considereo encontronumsistemadereferenciafixoem Jupiter. Quandoeventuaisperdasdeenergia foremdesprezıveis, o encontropodeser pensadocomo umacolisao elasticana qual a espaçonave emerge da “co-lisao” comumavelocidadedemesmamagnitudequeavelocidadequepossuiaantesdo encontro.Comoa ve-locidadeinicial daespaçonavee>�-P�R> 3 È �f(*� 3 (KI6�=�!� km/s

medidaapartirdeJupiter, elaseafastaradeJupitercom>�/Í�Q�!� km/s. Passandoparao sistemaoriginal dere-ferencianoqualo Solesta emrepouso,tal velocidadeedadapor > �/ �R>�/ 3 È �$�� 3 (KI6�$I�# km/s�10.2.2 ColisoesElasticasemUma Dimensao

E 10-29 (10-35/6� )OsblocosdaFig. 10-34deslizamsematrito. (a) QualeavelocidadeÇ doblocode (!� U kg aposacolisao?(b) Acolisaoe elastica?(c) Suponhaquea velocidadeinicialdoblocode �G� Y kg sejaopostaaexibida. Aposacolisao,

avelocidadeÇ doblocode (!� U kg podeestarnosentidoilustrado? (a) Seja 7 {

, > { - e > { / a massae a velocidadeiniciale final do bloco a esquerda,e 7 � , > � - e > � / ascorres-pondentesgrandezasdo blocoa direita. O momentodosistemacompostopelosdois blocose conservado, demodoque7 { > { -�3 7 � > � - �R7 { > { /j3 7 � > � / gdondetiramosque> { / � 7 { > { - 3 7 � > � -©t)7 � > � /7 {

� �� 3 �G� Y(�� U � �G��t)Y�� %��4��(!� % m/s�O blococontinuaandandoparaa direitaaposa colisao.(b) Paraverseacolisaoe inelastica,comparamososva-loresdaenergiacineticatotal antese depoisdacolisao.A energiacineticatotal ANTES dacolisaoe,.-è� {

� 7 { > �{ - 3 ® (� 7 � > �� -� ® (� �S(!� U��E� �� !� � 3 ® (� � �� Y��E�_�G�� =I�(!�� J�A energiacineticatotal DEPOIS dacolisaoe, / � {

� 7 { > �{ / 3 {� 7 � > �� /� {

� �L(�� U!�E�L(�� %!� � 3 {� � �� Y��E��Y�� %�� $I�(!�� J�

Como ,.-<�=,0/ , vemosquea colisaoeelastica,(c) Nestecasotemos> � -<�ft4�G�� m/se> { / � 7 { > { -�3 7 � > � - tT7 � > � /7 {

� �G�� 3 �� Y(!� U � t�� jtTY5� % � �^t4�G� U m/s�Comoo sinal indica,a velocidadedeve opor-seaosen-tido mostrado.

E 10-33 (10-37/6� )Um carrode I�Y!" g demassa,deslocando-seemum tri-lho dear linearsematrito, a umavelocidadeinicial de(!� � m/s, atingeum segundocarrode massadesconhe-cida, inicialmenteem repouso. A colisao entreeleseelastica.Aposa mesma,o primeirocarrocontinuaemseusentidooriginala "5� � m/s. (a) Qualeamassadose-gundocarro?(b) Qualeasuavelocidadeaposo impac-to? (c) Qualavelocidadedocentrodemassadosistemaformadopelosdoiscarrinhos?



(a) Seja7 {, > { - , > { / a massae asvelocidadesinicial

e final do carroqueoriginalmentesemove. Seja 7 � e> � / a massae a velocidadefinal do carrooriginalmenteparado( > � - �N" . Entao, de acordocom a Eq. 10-18,temos > { / � 7 { tT7 �7 { 3 7 � > { - �Destaexpressaoobtemospara7 � :7 � � > { -|tT> { /> { /�3 > { - 7 {

� (!� �jt�"�� U�U(!� � 3 "�� U�U � I�Y�" g��=%�% g �(b) A velocidadedosegundocarroedadapor> � /q� �C7 {

7 { 3 7 � > { -è� �5��"5� I�Y!"!�"�� I�Y�" 3 "�� "�%!% �L(�� (�� % m/s�(c) A velocidadedocentrodemassadosistemaformadopelosdoiscarrinhossatisfaza equac¸ao¤f�B��7 { 3 7 � �S> Õ<Ö ��7 { > { - 3 7 � > � -h�Lembrandoque > � -F�R" , temos> Õ<Ö � 7 { > { -7 { 3 7 � � ��I�Y�"!�]�S(��I�Y!" 3 %�% �="�� %�I m/s�Observequeusamosgramasemvezdekilogramas.

E 10-34 (10-41/6� )Um corpode �G� " kg demassacolideelasticamentecomoutro em repousoe continuaa deslocar-se no sentidooriginal comum quartodesuavelocidadeoriginal. (a)Qual e a massado corpoatingido? (b) Qual a veloci-dadedocentrodemassadosistemaformadopelosdoiscorpossea velocidadeinicial docorpode �G� " kg eradeY5� " m/s? (a) Sejam7 {

, > { - , > { / amassaeasvelocidadesantese depoisdacolisaodo corpoquesemove originalmen-te. Sejam7 � e > � / amassaeavolcidadefinal docorpooriginalmenteemrepouso.De acordocoma Eq.10-18temos > { / � 7 { tT7 �7 { 3 7 � > { - �Resolvendopara7 � obtemos,para> { / �=> { - �CY ,

7 � � > { - tT> { /> { / 3 > { - 7 { � (zt£(C��Y(��Y 3 ( ��7 { �

� I � �_�G� "!�2��(!� � kg �(b) A velocidadedocentrodemassadosistemformadopelosdoiscorpossatisfazaequac¸ao¤��B��7 { 3 7 � �¼>�Õ<Ö8��7 { > { -�3 7 � > � - �Resolvendopara>�ÕPÖ com > � - �$" encontramos>�ÕPÖÒ� 7 { > { -7 { 3 7 � � � �� "��E��Y�� "��G� " 3 (!� � �=�� m/s�E 10-37 (10-43/6� )

Duasesferasdetitanioseaproximamfrontalmentecomvelocidadesdemesmomoduloecolidemelasticamente.Aposa colisao,umadasesferas,cujamassae de I!"�" g,permaneceemrepouso.Qualeamassadaoutraesfera? Seja 7 {

, > { - , > { / a massae asvelocidadesantesedepoisdacolisaodeumadaspartıculase 7 � , > � - , > � / amassaeasvelocidadesantesedepoisdacolisao,daou-trapartıcula.Entao,deacordocomaEq.10-28,temos> { /q� 7 { t)7 �7 { 3 7 � > { - 3 �C7 �7 { 3 7 � > � -L�Suponhaqueaesfera( estejaviajandooriginalmentenosentidopositivo efiqueparadaaposacolisao.A esfera�esta viajandooriginalmenteno sentidonegativo. Subs-tituindo > { - �N> , > � - �ÿtz> e > { / �Û" na expressaoacima,obtemos"6�R7 { tTI�7 � . Ou seja,7 � � 7 {

I � I�"�" gI ��(K"!" g �10.2.3 ColisoesInelasticasemUma Dimensao

E 10-41 (10-23/6� )Acredita-seque a Cratera do Meteoro, no Arizona(Fig.10.1),tenhasidoformadapeloimpactodeumme-teorocoma Terraha cercade20.000anos.Estima-seamassado meteoroem � &�(K" { � kg e suavelocidadeem��"!" m/s.Quevelocidadeummeteoroassimtransmiti-ria a Terranumacolisaofrontal? Seja7 × amassadometeoroe 7@Ø amassadaTerra.Seja > × a velocidadedo meteoroimediatamenteantesda colisao e > a velocidadeda Terra(com o meteoro)aposa colisao. O momentodo sistemaTerra-meteoroe



conservadodurantea colisao. Portanto,no sistemadereferenciaTerraantesdacolisaotemos7 × > × �B��7 × 3 7ÍØF�¼>�gdemodoqueencontramospara>

>'� > × 7 ×7 × 3 7ÍØ � ��"�"!�]� �q&T(K" { � ��G� %�#'&)(*" � � 3 �'&T(K" { �� U &)(*" k {Ù{m/s�

Paraficar maisfacil de imaginaro quesejaestavelo-cidadenoteque,como I�U��&��CY@&~I�U!"�"0�°I5(*��I!U�"!"�" ,temosU &)(*" k {Ù{

m/s � U &)(*" k {Ù{ � I�(*��I�U!"�"�"�� m/ano� "�� "�"�(*#�% m/ano� (�� #�% mm/ano�E umavelocidadeMUITO difıcil desemedir, nao?...

E 10-42 (10-21/6� )Um treno emformadecaixade U kg estadeslocando-sesobreo geloa umavelocidadede % m/s,quandoumpa-cotede (*� kg e largadodecimaparadentrodele.Quale a novavelocidadedotreno? Precisamosconsiderarapenasacomponentehorizon-tal domomentodotreno edopacote.Seja7 í , > í amas-sae a velocidadeinicial do treno. Seja 7 ì , a massadopacotee > velocidadefinal do conjuntotreno 3 pacote.A componentehorizontaldo momentodesteconjuntoconserva-sedemodoque7@í¼>CíF�B��7@í 3 7 ì �¼>�gdeondetiramos>'� >Cí¼7:í7 í©3 70ì � ��%��E� U!�U 3 (�� $I m/s�P 10-53 (10-29/6� )

Um vagaodecargade I�� t colidecomumcarrinhoauxi-liar queestaemrepouso.Elesseuneme �� daenergiacineticainicial edissipadaemcalor, som,vibracoes,etc.Encontreo pesodocarrinhoauxiliar. Seja7Í� e >�� amassaeavelocidadeinicial dovagao,7»å a massado carrinhoauxiliar e > a velocidadefi-nal dosdois, depoisde grudarem-se.Conservacao do

momentototal do sistemaformado pelos dois carrosfornece-nos7@��>��?�^��7@� 3 7Íåa�¼> dondetiramos> � 7Í��>��7 ��3 7 å �A energia cinetica inicial do sistemae , - �²7 � >�� enquantoquea energiacineticafinal e, / � {

� ��7 �z3 7 å �¼> �� {

� ��7@� 3 7»åÙ� ��7 � > � � ��7@� 3 7»åa� �� {� 7@�� >��7 �p3 7 å �

Como �!�� daenergiacineticaoriginal eperdida,temos,:/6�="5��I2,.- , ouseja,{� 7Í�� >��7@� 3 7»å �$"��«�CI {

� 7 � > �� gque,simplificada,fornece-nos7 � �G��7 �z3 7 å �º�s"5��I .Resolvendopara7 å encontramos7Íå�� "��!�"��«�CI 7@�?�="5� I��7Í� � � "�� I��]��I�� (��G� %!� toneladas� (��G� %!�q&)(*" + kg �A razaodasmassase, obviamente,a mesmarazaodospesose,chamandode ¤P� o pesodo vagao,temosqueopeso¤ docarrinhoauxiliar e¤f�="5� I��C¤P� � ��"�� I��E� I!�q&)(*"�+]�]��%5� #�� (*��U5� %5(�&T(K"!+ N �Observequeo resultadofinal naodependedasvelocida-desemjogo.

10.2.4 ColisoesemDuasDimensoes

E 10-63 (10-49/6� )Em um jogo de sinuca,a bola brancaatingeoutra ini-cialmenteemrepouso.Aposacolisao,abrancadesloca-sea I�� m/saolongodeumaretaemangulode ��!J comasuadirecaooriginaldemovimento,eo modulodave-locidadeda segundabola e de � m/s. Encontre(a) oanguloentrea direcaodemovimentodasegundabolaea direcaodemovimentooriginal dabolabrancae (b) avelocidadeoriginaldabranca.(c) A energiacineticaseconserva?



(a) Usea Fig. 10-20do livro texto e considerea bo-la brancacomosendoa massa7 {

e a outrabolacomosendoamassa7 � . Conservacaodascomponentes� e Zdo momentototal do sistemaformadopelasduasbolasnosforneceduasequaçoes,respectivamente:7@> { -ý� 7@> { /��E�!��¢ { 3 7@> � /��E��G¢ �" � tz7@> { / sen¢ { 3 7:> � / sen¢ � �Observe queasmassapodemsersimplificadasemam-basequaçoes.Usandoa segundaequaçaoobtemosque

sen ¢ � � > { /> � / sen ¢ { � I5� �� " sen �� J �$"�� U!��U��Portantoo anguloe ¢ � �RY�( J .(b) Resolvendoaprimeriadasequaçoesdeconservacaoacimapara> { - encontramos> { -è� > { /��E��G¢ { 3 > � /2�]�!�G¢ �

� ��I5� �!�G�E��5�� J 3 �_�G� "!�G�]�!�GY�( J ��Y�� m/s�(c) A energiacineticainicial e,.-\� {

� 7@> �- � {� 7��Y�� ^(�(!� I�7)�

A energiacineticafinal e, / � {� 7:> �{ / 3 {

� 7@> �� /� {� 7$�� I�� 3 � �� "�� v�=#��H(]7T�

Portantoaenergiacineticanaoeconservada.

10.2.5 ProblemasAdicionais


gabarito cap. 8, 9 e 10 fundamentos de fisíca halliday

Engineering