halliday 3 - cap 30

8/9/2019 halliday 3 - Cap 30

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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:05 a.m.

Exerccios Resolvidos de Teoria Eletromagnetica

Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fsica teorica,

Doutor em Fsica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fsica

Materia para a TERCEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro

Fundamentos de Fsica, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conteudo

30 O Campo Magnetico 2

30.1 Questoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

30.2 Problemas e Exerccios . . . . . . . . . 3

30.2.1 Definicao de B 1/8 . . . . . . 3

30.2.2 A Descoberta do Eletron 9/13 6

30.2.3 O Efeito Hall 14/18 . . . . . . 6

30.2.4 Movimento Circular de uma

Carga 19/37 . . . . . . . . . . 7

30.2.5 Cclotrons e Sincrotons 38/42 9

30.2.6 Forca magnetica sobre fio trans-

portando corrente 43/52 . . . 9

30.2.7 Torque sobre uma Bobina de

Corrente 53/61 . . . . . . . . 10

30.2.8 O Dipolo Magnetico 62/72 . . 12

Comentarios/Sugestoes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br

(lista3.tex)

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30 O Campo Magnetico

30.1 Questoes

Q 30-1.

Dos tres vetores na equacao

, que pa-

res sao sempre ortogonais entre si? Que pares podem

formar um angulo arbitrario entre si?

Esta questao e apenas uma revisaode algebra vetorial:

o vetor que resulta de um produto vetorial de dois outros

vetores deve sempre ser ortogonal aos vetores dos quais

descende. Portanto os vetores

e

podem fazer um

angulo arbitrario entre si. Mas

sera necessariamente

perpendicular tanto a

quanto a

.

Q 30-3.

Imagine que voce esteja sentado numa sala com as cos-

tas voltadas para a parede, da qual emerge um feixe de

eletrons que se move horizontalmente na direcao da pa-

rede em frente. Se o feixe de eletrons for desviado paraa sua direita, qual sera a direcao e o sentido do campo

magnetico existente na sala?

Vertical, para baixo. Pois fazendo o produto vetorial

vemos que a forca magnetica aponta para a es-

querda, fornecendo a direcao para onde partculas carre-

gadaspositivamente sao desviadas. Eletrons desviam-se

para a direita.

Q 30-4.

Como podemos descartar a hipotese de as forcas exis-

tentes entre mas serem forcas eletricas?

Basta colocar os mas em contato e, depois separa-los:

as forcas nao se neutralizam e sua magnitude, direcao

e sentido nao se altera apos ter havido o contato e a

separacao.

Q 30-6.

Se um eletron em movimento for desviado lateralmente

ao atravessar uma certa regiao do espaco, podemos afir-

mar com certeza que existe um campo magnetico nessa

regiao?

Nao. Tal afirmativa sera valida apenas se o eletron

andar em crculos sem variar sua energia cinetica.

Q 30-11.

Quais sao as funcoes fundamentais do: (a) campo

eletrico e (b) campo magnetico no ciclotron?

(a) Estabelecer a ddp que acelera as cargas [i.e. au-

menta sua energia]; (b) Estabelecer movimento circu-

lar que permite a aceleracao das mesmas, ao serem re-

injetadas no campo eletrico.

Q 30-12.

Qual e o fato central que possibilita a operacao de

um ciclotron convencional? Ignore consideracoes rela-

tivsticas.

O fato central que permite a operacao de um ciclo-

tron e a chamada condic ao de ressonancia, expressa pe-

la Eq. (30-22):

circulacao

oscilador eletrico

Q 30-17.

Um condutor tem uma carga total nula, mesmo quando

percorrido por uma corrente. Por que, entao, um campo

magnetico e capaz de exercer uma forca sobre ele?

Numa corrente eletrica os eletrons possuem uma

mobilidade grande ao passo que os protons pratica-

mente nao se movem (porque estao rigidamente liga-

dos na rede cristalina). Portanto, surge uma forca

magnetica macroscopica em virtude destes movimentos

microscopicos dos eletrons.

Q 30-19.

Uma espira retangular ocupa uma posicao arbitraria

num campo magnetico externo. Que trabalho e ne-

cessario para girar a espira em torno de um eixo per-

pendicular ao seu plano?

Nenhum. Justifique!


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Dica: A energia potencial magnetica de um dipolo

magnetico

colocado num campo magnetico externo

e! " $ &

(

0

Q 30-21.

Mostramos, no exemplo 9, que o trabalho necessario

para inverter uma espira de corrente, num campo

magnetico externo, a partir da posicao em que esta ali-

nhada com o campo vale2

3 . Este resultado e valido

para qualquer rotacao de5 6 8 @

que parta de uma posicao

arbitraria?

Nao.

B

! " $ D F &

(

! " $ &

(

3 P R T

" $ D F &

( V (

3 P R T

" $ & X

2

3 P R T

" $ & `

pois P R T" $ D F &

P R T

" $ &

P R T

" F &

(

P R T

" $ &

Desta ex-

pressao vemos que o resultado final depende do angulo$

, do qual partimos, ao fazer a rotacao de5 6 8 @

.

Q 30-22.

Imagine que no aposento em que voce esta sentado exis-

ta um campo magnetico uniforme

apontando verti-

calmente para cima. Uma espira circular tem seu plano

horizontal. Para que sentido da corrente (vista de cima)

estara a espira em equilbrio estavel em relacao as forcas

e torques de origem magnetica?

Anti-horario, pois minimiza

! " $ &

.

30.2 Problemas e Exerccios

30.2.1 Definicao de B 1/8

E 30-1

Expresse a unidade de um campo magnetico 3 em ter-

mos das dimensoesg

,h

,i

ep

(massa, comprimento,

tempo e carga).

Uma maneira simples de se fazer isto e usando-se a

Eq. 30-6,

, que fornece

t

3 u

t w

u

t

u

t x

u

g h i

"

p

& "

h i

&

g

p i

E 30-2

Quator part culas seguem as trajetorias mostradas na

Fig. 30-28 quando elas passam atraves de um campo

magnetico. O que se pode concluir sobre a carga de

cada partcula?

O que podemos concluir sobre o sinal da carga e o

seguinte, considerando-se a atuacao da forca magnetica

: A partcula 1 tem carga positiva, pois

desloca-se no mesmo sentido em que atua

. Analoga-

mente, as partculas 2 e 4 tem carga negativa.

Para a partcula 3 podemos concluir mais do que apenas

seu sinal: a partcula 3 nao tem carga pois, como se per-

cebe claramente da figura, a possibilidade do produtovetorial ser zero (isto e, termos

//

) esta excluida.

Em outras palavras, perceba que uma partcula carrega-

da poderia atravessar um campo magnetico sem sobre

deflexao, desde que viajasse paralelamente ao campo.

Isto e uma consequencia direta do produto vetorial que

define

.

E 30-3

Um eletron num tubo de TV esta se movendo a

2

5 8

m/s num campo magnetico de intensidade6

mT. (a)

Sem conhecermos a direcao do campo, quais sao omaior e o menor modulo da forca que o eletron po-

de sentir devido a este campo? (b) Num certo ponto a

aceleracao do eletron e

5 8 m/s

. Qual e o angulo

entre a velocidade do eletron e o campo magnetico?

(a) As forcas maxima e mnima ocorrem para

8 @e

8 @, respectivamente. Portanto

w

max

x

3 sen

8

@

"

5

5 8

& "

2

5 8

& "

6

5 8

&

j

5 8

N

w

min

x

3 sen8

@

8N

(b) Comon

w

o

"

x

3 sen

$ &

o temos que

$

sen

o

n

x

3

sen

"

5 5

5 8

& "

5 8

&

j

5 8

8

2

@


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E 30-4

Um protonque se movenum angulo de2 @

em relacao a

um campo magnetico de intensidade 2 mT experimen-ta uma forca magnetica de

j

5 8

N. Calcular: (a)

a velocidade escalar e (b) a energia cinetica em eletrons-

volt do proton.

(a) A magnitude da forca magnetica no proton e dada

porw

x

3 sen

, ondex

e a velocidade do proton,3 e a magnitude do campo magnetico, e

e o angulo

entre a velocidade da partcula e o campo. Portanto

x

w

3 sen

j

5 8

N

"

5

5 8

C

& "

2

5 8

T

&

sen2

@

5 8 zm/s

(b) A energia cinetica do proton e

{

5

2

o

x

5

2

"

5

5 8

kg

& "

5 8 zm/s

&

5

5 8

J

`

energia esta que equivale a

5

5 8

J

5

5 8

J/eV

6

j

eV

P 30-5

Um eletron que tem velocidade

"

2

5 8

m/s

& } D

"

5 8

m/s

&

penetra num campo magnetico

"

8

8 8 i

& } D "

8

5

j

i

&

. (a) Determine o modulo, direcao

e o sentido da forca sobre o eletron. (b) Repita o calculo

para um proton tendo a mesma velocidade.

(a) A equacao que fornece a forca e

.Portanto, basta calcular o produto vetorial:

}

2

5 8

5 8

8

8

8 8

(

8

5

j

8

(

"

8

5

j

& "

2

5 8

&

(

"

8

8 8

& "

5 8

&

`

onde (

5

5 8

C. Fazendo as contas,

obtemos,

D

5 8

(b) Neste caso o calculo e identico ao anterior, porem

usando-se agora

D

5

5 8

C:

(

5 8

P 30-6

Um eletron num campo magnetico uniforme tem uma

velocidade

"

8km/s

& } D "

j

km/s

&

. Ele experi-

menta uma forca (

"

2fN

& } D "

6fN

&

. Sabendo-

se que 3

8, calcular o campo magnetico [que da

origem a forca].

Nota: o prefixo

= femto =5 8

z

.

Como 3

8, escrevemos

3

D

3

e tratamos

de descobrir o valor das duas componentes desconheci-das, 3 e 3 . Com este campo obtemos para a forca

magnetica:

"

x

} D

x

&

"

3

D

3

&

w

} D

w

`

ondew

(

2

5 8

z

N ew

6

5 8

z

N.

Efetuando o produto e simplificando encontramos que

w

x

3

`

w

(

x

3

`

x

3

8

`

e, portanto, que3

8 . Assim sendo, temos

3

w

x

(

2

5 8

z

"

(

5

5 8

& "

j

5 8

&

"

8

j

&

i

Sera que a relacaow

x

3 , que nao foi usada nos

calculos acima, tambem fica satisfeita? E facil verificar

que tal relacao tambem e obedecida, consistentemente:

w

w

( 6

2

(6

( 8

j

(

x

x

P 30-7

Os eletrons de um tubo de televisao tem uma energia

cinetica de5

2keV. O tubo esta orientado de modo que

os eletrons se movam horizontalmente do sul magnetico

para o norte magnetico. A componente vertical do cam-

po magnetico da Terra aponta para baixo e tem modulo

dej j

T. (a) Em que direcao o feixe sera desviado?

(b) Qual a aceleracao de um eletron devida ao campo


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5/13


magnetico? (c) Qual sera o desvio sofrido pelo feixe

apos ter percorrido2 8

cm atraves do tubo de televisao?

(a) Desenhe uma linha reta vertical e, sobre ela, su-ponha que o o Sul magnetico (

norte geografico) es-

teja localizado na parte superior da figura e o Norte

magnetico

(

sul geografico) na parte inferior. Entao,

neste diagrama, o oeste esta a esquerda, o leste direita.

Conforme os dados do problema, o vetor velocidade

dos eletrons tera a mesma direcao da linha vertical,

apontando de cima para baixo (dado do problema), en-

quanto que o campo magnetico da Terra apontara sem-

pre para dentro da pagina onde estiver desenhada a li-

nha reta.

Isto posto, a regra da mao direita nos fornece que

aponta para a direita (Leste). Porem, como a carga do

eletron e negativa, a forca magnetica sobre ele apontara

para a esquerda (Oeste).

Esta resposta contradiz a resposta do livro. Mas a minha

resposta parece-me ser a correta.

(b) Usew

o n, onde

w

x

3 sen

. Nesta ex-

pressaox

e a magnitude da velocidade do eletron, 3 a

magnitude do campo magnetico, e

e o angulo entre

a velocidade do eletron e o campo magnetico, ou seja,

8 @. Portanto,

n

x

3 sen

8 @

o

x

3

o

Para podermos determinar o valor numerico destaaceleracao falta-nos ainda obter o valor de

x

, que pode

ser facilmente obtido da energia cinetica:

x

2

{

o

2

"

5 2

5 8

eV

& "

5

5 8

J/eV

&

5 5

5 8

kg

5 8

m/s

Portanto

n

x

3

o

"

5

8

5 8

& "

5 8

& "

j j

5 8

&

5 5

5 8

2'

5 8

m/s

(c) A orbita do eletron e circular. Como a aceleracao e

dada porx

, onde

e o raio da orbita, encontramos

que

x

n

"

5 8

&

2

5 8

2m

O pedaco de crculo percorrido pelo eletron subenten-

de um angulo

$

a partir do centro. O comprimento

8

2 8m que foi andado no tubo implica numa

reducao

(defleccao) do raio

. O triangulo curvo

cuja hipotenusa e a trajetoria curva do eletron, o lado

maior e

e o lado menor e a deflexao

nos fornece

P R T

$

(

`

e

sen

$

Elevando ambas equacoes ao quadrado e somando o re-

sultado obtemos

"

(

&

D

, ou seja,

(

O sinal mais corresponde a um angulo de5 6 8

@

(

$

. O

sinal menos corresponde a solucao fisicamente corre-ta.

Como

e muito menor que

, podemos usar o teorema

da expansao binomial e expandir

(

. Os dois

primeiros termos de tal expansao sao

(

"

2

&

de

onde obtemos finalmente que a defleccao (diminuicao

de

) e dada por

2

8

8 8 2

6m

2

6mm

P 30-8

Um eletron tem uma velocidade inicial

"

5 2km/s

& D

"

5

j

km/s

&

e uma aceleracao de

"

2

5 8 km/s

& }

nu-

ma regiao em que estao presentes um campo eletrico

e um campo magnetico uniformes. Sabendo-se que

"

8 8

T

& }

, determine o campo eletrico

.

Chamando a aceleracao de

e partindo-se da relacao

"

D

&

o

`

encontramos sem dificuldades que

o

D

`

onde o sinal negativo foi usado para trocar a ordem dos

fatores no produto vetorial.

"

(

5 5

}

(

8

D

6

&

V/m


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6/13


30.2.2 A Descoberta do Eletron 9/13

E 30-10

Umeletron com energia cinetica de2

j

keV se move ho-

rizontalmente para dentro de uma regiao do espaco onde

existe um campo eletrico direcionado para baixo e cujo

modulo e igual a5 8

kV/m. (a) Quais sao o modulo, a

direcao e o sentido do (menor) campo magnetico capaz

de fazer com que os eletrons continuem a se mover hori-

zontalmente? Ignore a forca gravitacional, que e bastan-

te pequena. (b) Sera possvel, para um proton, atravessar

esta combinacao de campos sem ser desviado? Se for,

em que circunstancias?

(a) Usamos a energia cinetica para determinar a velo-

cidade:

x

2

{

o

2

"

2

j

5 8

eV

& "

5

8

5 8

J/eV

&

5 5

5 8

kg

2

5 8

m/s

Usando a Eq. 30-10, obtemos:

3

x

5 8

5 8

V/m

2

5 8

m/s

5 8

T

O campo magnetico tem que ser perpendicular tanto ao

campo eletrico quanto a velocidade do eletron.

(b) Um proton passara sem deflexao caso sua velocidade

seja identica a velocidade do eletron. Devido a carga do

proton ter sinal positivo, observe que as forcas eletricas

e magneticas revertem suas direcoes, porem continuam

a cancelar-se!

E 30-11

Um campo eletrico de5

j

kV/m e um campo magnetico

de8

T atuam sobre um eletron em movimento de mo-

do a produzir uma forca resultante nula. (a) Calcule a

velocidade escalar mnimax

do eletron. (b) Desenhe

vetores

`

e

.

Como a forca resultante e nula, o modulo da forca

eletrica e igual ao modulo da forca magnetica:

x

3 . Portanto

(a)

x

3

5

j

5 8

8

j

5 8 m/s

(b) Uma possibilidade e: com

saindo perpendicular-

mente ao plano da pagina e

apontando para baixo,

temos um desvio para cima quando o eletron entrar da

esquerda para a direita, no plano da pagina. Faca este

desenho!

P 30-13

Uma fonte de ons esta produzindo ons de

Li (massa

=

u), cada um com uma carga

D

. Os ons sao acele-

rados por uma diferenca de potencial de5 8

kV e entram

numa regiao onde existe um campo magnetico unifor-

me vertical 3

5

2T. Calcule a intensidade do menor

campo eletrico, a ser estabelecido na mesma regiao que

permitira aos ons de Li a passagem sem desvios.

Para que a forca total

D

"

D

&

se anule, ocampo eletrico

tem que ser perpendicular a velocida-

de

dos ons e ao campo magnetico

. O campo e per-

pendicular a velocidade de modo que

tem magni-

tudex

3 , sendo a magnitude do campo eletrico dada por

x

3 . Como os ons tem carga

D

e sao acelerados

por uma diferenca de potencial

, temoso

x

2

,

ou sejax

2

o. Portanto,

3

2

o

"

5

2U i

&

2

"

5

8

5 8

-

& "

5 8

5 8

&

"

8

& "

5

5

5 8

&

6

5 8z

o

Note que a massa, dada em

, precisou ser convertida

para kg.

30.2.3 O Efeito Hall 14/18

E 30-15

Mostre que, em termos de do campo eletrico Hall e

da intensidade de corrente

, o numero de portadores de

carga por unidade de volume e dado por

3

Chamando o campo eletrico Hall de , temos quew

w

ou seja,

x

3 . Como a

velocidade de deriva e dada porx

"

&

, basta

substitui-la na equacao anterior para se encontrar que

3


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7/13


30.2.4 Movimento Circular de uma Carga 19/37

E 30-19.

Campos magneticos sao frequentemente usados para

curvar um feixe de eletrons em experimentos de fsica.

Que campo magnetico uniforme, aplicado perpendicu-

larmente a um feixe de eletrons que se move a5

5 8

m/s, e necessario para fazer com que os eletrons percor-

ram uma trajetoria circular de raio8

j

m?

Sabemos que

x

3

o

x

. Portanto

o

x

"

3

&

, donde tiramos que

3

o

x

"

5 5

5 8

Kg

& "

5

5 8 m/s

&

"

5

5 8

C

& "

8

j m

&

2

5 5

5 8 zT

E 30-20.

(a) Num campo magnetico com 3

8

j

T, qual e o

raio da trajetoria circular percorrida por um eletron a

5 8 da velocidade escalar da luz? (b) Qual a sua ener-

gia cinetica em eletrons-volt? Ignore os efeitos rela-

tivsticos.

(a) Use a Eq. 30-17 para calcular o raio:

o

x

3

"

5 5

5 8

& "

8

5

& "

8

5 8

&

"

5

8

5 8

& "

8

j

8

&

5 8

m

(b)

{ 5

2

o

x

"

5 5

5 8

& "

8

5 8

&

2

"

5

5 8

J/eV

&

2

5 8 eV

E 30-21.

Que campo magnetico uniforme deve ser estabelecido

no espaco de modo a fazer um proton, de velocidade

escalar5

5 8 m/s, mover-se numa circunferencia do

tamanho do equador terrestre.

Use a Eq. 30-17:

3

o

x

"

5

5 8

& "

5

8

5 8

&

"

5

8

5 8

& "

5 8

&

5

5 8

T

E 30-22.

(a)

x

2

{

o

2

"

5

2 8

5 8

& "

5

8

5 8

&

5 5

5 8

2

8

j

5 8

m/s

(b) Use a Eq. 30-17:

3

o

x

"

5 5

5 8

& "

2

8

j

5 8

&

"

5

8

5 8

& "

2

j

8

5 8

&

5 8

T

(c)

x

2

F

2

8

j

5 8

2

F "

2

j

8

5 8

&

5

5

5 8

Hz

(d)

i

5

5

5

5

5 8

5 8

s

E 30-24.

O perodo de revolucao do on de iodo ei

2

F

x

2

F

o

"

3

&

, o que nos fornece

o

3

i

2

F

"

5

8

5 8

& "

j

8

5 8

& "

5

2

5 8

&

"

2

F & "

5

5 8

kg/u

&

5 2 u

P 30-31.

O on entra no espectrometro com uma velocidadex

relacionada com o potencial porB {

, assim:


8/9/2019 halliday 3 - Cap 30

8/13


5

2

o

x

Dentro do instrumento, o on realiza um movimento cir-

cular com velocidadex

inalterada usando, entao, a Se-

gunda Lei de Newton:

o

x

x

3

Mas da primeira equacao,x

e

, substi-

tuindo estes valores, temos:

2

3

Portanto,

o

3

6

P 30-33.

(a) Resolvendo a equacao encontrada no Problema

30-31 para o campo 3 , substituindo

2m nela:

3

6 o

6

"

5 8 8

5 8

& "

2

5 8

z

&

"

2 8

5 8

-

& "

2

8 o

&

8

j

i

(b) Seja

o numero de ons separados pela maquina

por unidade de tempo. A corrente e entao

e

a massa que e separada por unidade de tempo eg

o , onde

oe a massa de um unico on.

gtem o valor

g

5 8 8 o

5 8 8

5 8

8 8

2

6

5 8

Como

g o

temos

g

o

"

2 8

5 8

-

& "

2

6

5 8

&

2

5 8

z

2

2

5 8

(c) Cada on deposita uma energia de

na taca, de

modo que a energia depositada num tempo

e dada

por

`

onde a segunda expressao foi obtida substituindo-se

no lugar de

. Para

5hora, temos

"

2

2

5 8

& "

5 8 8

5 8

& "

8 8

&

6

5

5 8

P 30-35.

(a) Ver o Exemplo 4. O perodo e dado por

i

2

F

x

sen

2

F

x

sen

o

x

sen

3

2

F

o

3

O positron e um eletron positivo, assim no SI

i

j

6

5 8

s

(b) O passo

"

x

P R T

&

i, entao, temos primeiro que

acharx

atraves da energia cinetica. Ou seja,

x

2

{

o

2

j

5

5 8

m/s

Portanto,

"

x

P R T

&

i

8

5

mm

(c) O raio e

o

x

sen

3

5

j

5

mm

P 30-37.

(a) O raio

da orbita circular e dado por

"

3

&

,

onde 3 e a magnitude do campo magnetico. A ex-

pressao relativstica

o

x

5

(

x

deve ser usa-

da para a magnitude

do momentum. Aqui,x

e a mag-

nitude da velocidade do proton,o

e sua massa, e

e a

velocidade da luz. Portanto

o

x

3

5

(

x

Elevando-se esta expressao ao quadrado e resolvendo-a

parax

obtemos

x

3

o

D

3

Subsitutindo-se

5 8 o(raio da terra),

5

8 2 2

5 8

-

(a carga do proton), 3

5

5 8

i,

o

5

2

5 8

(a massa de


8/9/2019 halliday 3 - Cap 30

9/13


um proton), e

2

5 8 o obtem-se, final-

mente,x

2

5 8

o

(b) Desenho dos vetores: veja no livro!

30.2.5 Cclotrons e Sincrotons 38/42

P 30-42.

Faca uma estimativa da distancia percorrida por um

deuteron no ciclotron do Exemplo 30-5 (pagina 169) du-

rante o processo de aceleracao. Suponha um potencial

acelerador entre os d es de 6 8 kV.

Aproxime a distancia total pelo numero de revolucoes

multiplicado pela circunferencia da orbita correspon-

dente a energia media. Isto e uma boa aproximacao pois

o deuteron recebe a mesma energia a cada revolucao e

seu perodo nao depende da sua energia.

O deuteron acelera duplamente em cada ciclo e, cada

vez, recebe uma energia de

6 8

5 8

eV. Comosua energia final e5

MeV, o numero de revolucoes

que ele faz e

5

5 8

eV

2

"

6 8

5 8

eV

&

5 8

Sua energia media durante o processo de aceleracao e

6

MeV. O raio da orbita e dado por

o

x

"

3

&

,

ondex

e a velocidade do deuteron. Como tal velocidade

e dada porx

2

{

o, o raio e

o

3

2

{

o

5

3

2

{

o

Para a energia media temos

{

"

6

5 8

eV

& "

5

5 8

J/eV

&

Portanto,

2

{

"

5 8

&

"

5

8

5 8

& "

5

j

&

8

j

m

A distancia total viajada e, aproximadamente,

2

F

"

5 8

& "

2

F & "

8

j

&

2

j

m

30.2.6 Forca magnetica sobre fio transportando

corrente 43/52

E 30-44.

Um condutor horizontal numa linha de forca transporta

uma corrente dej

8 8 8A do sul para o norte. O cam-

po magnetico da Terra (

8

T) esta direcionado para o

norte e inclinado para baixo de um angulo de 8

@ com

a linha horizontal. Determine o modulo, a direcao e o

sentido da forca magnetica devida ao campo da Terra

sobre5 8 8

m do condutor.

A magnitude da forca magnetica sobre o fio e dada

por

w

h

3 sen

`

onde

e a corrente no fio,h

e o comprimento do fio,3 e a magnitude do campo magnetico, e

e o angulo

entre a corrente e o campo. No presente caso,

8 @

.

Portanto

w

"

j

8 8 8

& "

5 8 8

& "

8

8

5 8

&

sen 8

@

29 6

2N

Aplique a regrada mao direita ao produto vetorial

para mostrar que a forca aponta para o oeste.

E 30-45.

Um fio de5

6 8m de comprimento transporta uma cor-

rente de5

A e faz um angulo de

j

@com um cam-

po magnetico uniforme 3

5

j

T. Calcular a forca

magnetica sobre o fio.

w

h

3

sen j

@

"

5

& "

5

6

& "

5

j

&

sen

j

@

2l 8

5

P 30-46.

Como

, a corrente tem que fluir da es-

querda para a direita. A condicao de equilbrio requer

que tenhamosw

`


8/9/2019 halliday 3 - Cap 30

10/13


isto e, que

h

3

o

Portanto

o

h

3

"

8

8 5 8

& "

6 o

&

"

8

2 8 o

& "

8

8 i

&

8

P 30-48.

A forca e dada por

, e aponta para o

lado esquerdo da figura, sendo esta a direcao da veloci-

dade. O modulo da forca ew

3

, sendo portanto a

aceleracao sofrida pelo fio dada porn

w

o. Como o

fio parte do repouso, sua velocidade e

x

n

w

o

3

o

P 30-52.

Uma barra de cobre de5

kg esta em repouso sobre dois

trilhos horizontais que distam5

m um do outro e per-

mite a passagem de uma corrente dej

8A de um trilho

para o outro. O coeficiente de atrito estatico e de8

8.

Qual e o menor campo magnetico (nao necessariamente

vertical) que daria incio ao movimento da barra?

Escolhendo uma orientacao arbitraria para o campo,

vemos que a forca magnetica tera tanto uma compo-

nente horizontal quanto uma componente vertical. A

componente horizontal devera atuar de modo a vencer

a forca de atrito

, onde

representa a forca

normal que os trilhos (parados) exercem sobre a barra e e o coeficiente de atrito estatico. A componente ver-

tical da forca magnetica atua no sentido de reduzir tanto

o peso da barra quanto a forca de atrito.

Seja

$

o angulo que 3 faz com a vertical. A forca

magnetica ew

h

3 , pois 3 faz

8 com a barra

horizontal. Como a barra esta prestes a deslizar, usando

a Eq. 1 do Cap. 6, obtemos para as componentes hori-

zontais:

h

3 P R T

$

(

8

Equilibrando as componentes verticais, obtemos:

D

h

3 sen

$

(

o

8

Eliminando

das duas equacoes, encontramos:

h

3 P R T

$

(

"

o

(

h

3 sen

$ &

8

`

ou seja,

3

P R T

$ D

sen

$

O menor valor de 3 ocorre quando o denominador da

expressao acima for maximo. Para determina o valor de$

que maximiza tal denominador basta calcular a deri-vada em relacao a

$

do denominador e iguala-la a zero:

8

$

P R T

$ D

sen

$

(

sen

$ D

P R T

$

Portanto, o denominador tera um extremo [que e um

maximo. Verifique isto!] quando

sen

$

P R T

$

tg

$ `

ou seja, quando$

8

8

5

@

Substituindo este valor de

$

na expressao para 3 , acima,

encontramos o valor mnimo pedido:

3

min

8

8

"

5

8kg

& "

6m/s

&

"

j

8A

& "

5

8m

& "

P R T

5

@

D

8

8sen

5

@

&

8

5 8T

30.2.7 Torque sobre uma Bobina de Corrente

53/61

E 30-54.

A Fig. 30-39 mostra uma bobina de retangular, com2 8

voltas de fio, de dimensoes5 8

cm [prj

cm. Ela trans-

porta uma corrente de8

5 8A e pode girar em torno de

um lado longo. Ela esta montada com seu plano fa-

zendo um angulo de 8 @

com a direcao de um campo

magnetico uniforme de8

j

8T. Calcular o torque que

atua sobre a bobina em torno do eixo que passa pelo

lado longo.


8/9/2019 halliday 3 - Cap 30

11/13


No plano de uma folha de papel, escolha um sistema

de coordenadas XY com o eixo

na horizontal, cres-

cendo para a direita, e o eixo na vertical, crescendo

para baixo. Com tal escolha, o eixo de giro estara sobre

a vertical8

, enquanto que o campo estara na mesma

direcao horizontal de

.

Chame den

e

os comprimentos curtos e longos que

formam o retangulo da bobina. Seja

$

o angulo de 8 @

entre o ladon

e o campo (suposto ao longo do eixo8

).

Na bobina atuarao quatro forcas, uma sobre cada um

dos lados do retangulo. Porem, a unica forca que pode

produzir um torque em relacao ao eixo vertical e aquela

exercida sobre o lado de comprimento

oposto ao eixo

de apoio. O modulo de tal forca e:

w

3

sen 8

3

`

estando ela dirigida ao longo do eixo (isto e, para bai-

xo).

De acordo com a figura indicada na solucao deste pro-

blema, vemos que a menor distancia entre a forcaw

e o

eixo de giro (oo seja, o chamado braco de alavanca) e

(n

P R T

$

). Portanto, o torque para

espiras sera:

"

3

& "

n

P R T

$ &

5 8 N 0 m

Pela regra da mao direita o sentido e(

, ou seja, o tor-

que esta orientado de cima para baixo.

Uma outra maneira (mais formal porem bem maisdireta) e calcular o torque a partir da sua definicao

3 , onde

"

n

&

. Nes-

ta definicao e preciso cuidar para usar o angulo correto!

Notando-se que o angulo entre 3 e

(cuja direcao e a

da normal a espira) e de

8

(

$

graus, temos

3 sen

"

8

(

$ &

3 P R T

" $ &

"

n

&

3 P R T

" $ &

5 8

N 0 m

Perceba que as duas expressoes usadas para contem

exatamente os mesmos elementos, porem ordenados de

modo diferente, com interpretacoes um pouco diferen-tes: num caso o fator

n

P R T

$

da o braco de alavanca, no

outro o P R T$

aparece devido ao produto escalar.

P 30-56.

Se

espiras completas sao formadas por um fio

de comprimentoh

, a circunferencia de cada volta e de

h , e o raio e de

. Portanto, a area de cada espira

vale:

F "

h

2

F

&

h

F

Para o torque maximo, orientamos o plano de espiras

paralelamente as linhas do campo magnetico; assim, se-

gundo a Eq. 27,

$

8 , temos:

3

h

F

3

h

3

F

Como aparece no denominador, o torque maximo

ocorre quando

5 :

h

3

F

P 30-59.

A Fig. 30-40 mostra um anel de arame de raio n per-pendicular a direcao geral de um campo magnetico di-

vergente, radialmente simetrico. O campo magnetico no

anel tem em todos os seus pontos o mesmo modulo 3 e

faz um angulo

$

com a normal ao plano do anel. os fios

de ligacao, entrelacados, nao tem efeito algum sobre o

problema. Determine o modulo, a direcao e o sentidoda

forca que o campo exerce sobre o anel se este for per-

corrido por uma corrente

como mostra a figura.

Considere um segmento infinitesimal do laco, de

comprimento

. O campo magnetico e perpendicular

ao segmento de modo que a forca magnetica sobre ele

tem uma magnitude w

3

. O diagrama abaixomostra a direcao da forca para o segmento na extrema

direita do laco:

A componente horizontal da forca tem magnitude

w

"

3 P R T

$ &

e aponta para dentro do centrodo laco. A componente vertical tem magnitude

w

"

3 sen

$ &

e aponta para cima.

Agora, somemos as forcas em todos segmentos do laco.

A componente horizontal da forca total anula-se pois ca-

da segmento do fio pode ser pareado com outro segmen-

to, diametralmente oposto. As componentes horizontais

destas forcas apontam ambas em direcao ao centro do

laco e, portanto, em direcoes opostas.

A componente vertical da forca total e

w

3 sen

$

3 sen

$ "

2

F

n

&


8/9/2019 halliday 3 - Cap 30

12/13


Note que, 3 , e

$

tem o mesmo valor para cada segmen-

to e portanto podem ser extraidos para fora da integral.

P 30-60.

(a) A corrente no galvanometro deveria ser de5

2

mA quando a ddp atraves da combinacao resistor-

galvanometro e de5

V. A ddp atraves do galvanometro

apenas e

"

5

2

5 8

& "

j

&

8

57 2 ' 2 V

de modo que o resistor deve estar em serie com o gal-

vanometro e a ddp atraves dele deve ser

5

8

(

8

5 2 2

8

6 6

V

A resistencia deve ser

8

6 6

5

2

5 8

j

2

(b) A corrente no galvanometro deveria ser de5

2

mA quando a corrente atraves da combinacao resistor-

galvanometro e dej

8mA. O resistor deve estar em pa-

ralelo com o galvanometroe a corrente atraves dele deve

ser

j

8

(

5

2

6

6mA

A ddp atraves do resistor e a mesma que a ddp atraves

do galvanometro,8

5 2 2V, de modo que a resistencia

deve ser

8

57 2 ' 2

6

6

5 8

2

j

2

P 30-61.

A Fig. 30-41 mostra um cilindro de madeira com mas-

sao

8

2

j

8kg e comprimento

h

8

5 8m, com

5 8

voltas de fio enrolado em torno dele longi-tudinalmente, de modo que o plano da bobina, assim,

formada, contenha o eixo do cilindro. Qual e a corrente

mnima atraves da bobina capaz de impedir o cilindro

de rolar para baixo no plano inclinado de

$

em relacao

a horizontal, na presenca de um campo magnetico uni-

forme vertical de8

j

T, se o plano dos enrolamentos for

paralelo ao plano inclinado?

Se o cilindro rolar, tera como eixo instantaneo de

rotacao o ponto

, ponto de contato do cilindro com

o plano. Nem a forca normal nem a forca de atrito exer-

cem torques sobre

, pois as linhas de acao destas duas

forcas passam pelo ponto

. As duas unicas forcas que

exercem torque em relacao a

sao (i) o peso e (ii) a

forca devida ao campo magnetico.

Da definicao de torque [Eq. 12-21 da quarta edicao Hal-

liday] temos

`

onde

o no caso gravitacional em questao. Por-

tanto, o modulo do torque devido a acao gravitacional

vale

o

o

sen

$ `

onde

representa o raio do cilindro. O torque devido

ao campo magnetico sobre a espira vale:

3 sen

$

3 sen

$

"

2 h

&

3 sen

$

Para que nao haja rotacao, os dois torques devem ser

iguais (ou, equivalentemente, a soma dos torques deve

ser nula):

m 2 l h

3 sen

$

o

sen

$

Portanto,

o

2l

3

h

2

j

A

30.2.8 O Dipolo Magnetico 62/72

E 30-62.

(a) A magnitude do momento de dipolo magnetico e

dada por

, onde

e o numero de voltas,

e a

corrente em cada volta, e e a area do laco. Neste caso

os lacos sao circulares, de modo que

F

, onde

eo raio de uma volta. Protanto,

F

2

j

8

"

5

8

& " F & "

8

8 5

8

&

5 2

A

(b) O torque maximo ocorre quando o momento de di-

polo estiver perpendicular ao campo (ou o plano do laco

for paralelo ao campo). O torque e dado por

3

"

2

8

& "

j

8

5 8

&

6

8

j

5 8

N 0 m


8/9/2019 halliday 3 - Cap 30

13/13


P 30-63.

O momento de dipolo da Terra vale6

J/T. Suponha

que ele seja produzido por cargas fluindo no nucleo der-

retido da Terra. Calcular a corrente gerada por estas car-

gas, supondo que o raio da trajetoria descrita por elas

seja

j

8 8km.

Da equacao

F

obtemos sem proble-

mas

F

6

8

5 8

F "

j

8 8

5 8

&

2

8 6

5 8

A

P 30-67.

Uma espira circular de corrente, de raio6

cm, transpor-

ta uma corrente de8

2A. Um vetor unitario, paralelo ao

momento de dipolo

da espira e dado por8

8

}

(

8

6 8

.

A espira esta imersa num campo magnetico dado por

"

8

j

i

& } D "

8

i

&

. Determine (a) o torque

sobre a espira (usando notacao vetorial) e (b) a energia

potencial magnetica da espira.

Conforme dado, o vetor momento de dipolo

magnetico e

"

8

8

}

(

8

6 8

& `

onde

F

5

"

8

2 8

& " F & "

8

8 6 8

&

8 2 5 2

5 8 A 0 m

Nesta expressao,

e a corrente na espira,

e o numero

de espiras, a area da espira, e

e raio da espira.

(a) O torque e

"

8

8

}

(

8

6 8

&

"

8

2

j

} D

8

8

&

V

"

8

8

& "

8

2

j

& " }

} &

D "

8

8

& "

8

8

& " }

&

(

"

8

6 8

& "

8

2

j

& "

} &

(

"

8

6 8

& "

8

8

& "

& X

V

(

8

5 6

D

8

2l 8

(

8

2

}

X

`

onde usamos o fato que

}

(

`

}

(

`

} ` }

}

8

Substituindo o valor de obtemos

t

(

8

j

}

(

2

D

6

8

u

5 8

N 0 m

(b) A energia potencial do dipolo e dada por

!

(

0

3

(

"

8

8

}

(

8

6 8

&

0

"

8

2

j

} D

8

8

&

(

"

8

8

& "

8

2

j

&

(

8

5

j

(

8

5 8

J

`

onde usamos

}

0

}

5,

}

0

8e

0

8.


halliday 3 - cap 30

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