exercícios resolvidos-halliday 4

LISTA 3 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 3 deDezembrode2005, as16:24

ExercıciosResolvidosdeOptica Fısica

JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,

Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica

MateriaparaaTERCEIRAprova. Numerac¸aoconformeaSEXTA edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.

Estaeoutraslistasencontram-seem:http://www.if.ufrgs.br/� jgallas

Conteudo

36 Interfer encia 236.1 A luz comoumaonda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 O experimentodeYoung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Intensidadedasfranjasdeinterferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.4 Interferenciaemfilmesfinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.5 O interferometrodeMichelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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(listaq3.tex)

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36 Interfer encia

36.1 A luz comouma onda

E 36-1 (40-1/4�

edicao)

O comprimentodeondada luz amarelado sodio no are de

��nm. (a) Qual e a frequenciada luz? (b) Qual

e o comprimentodeondada luz emum vidro comumındicede refracao de �� ? (c) Useos resultadosdositens(a)e(b) paracalcularavelocidadedaluz novidro. (a) �� Hz �(b) �"! �$# �% �&(' � �' � ��

nm�� nm�(c) # � �"! � ) � �� * ) � � � � � �� *� �� + � �� m/s�P 36-7 (40-11/4

�edicao)

Na Fig. 36.3, duasondasluminosasno ar, de compri-mentodeondade ,�� nm, estao inicialmenteemfase.A primeiraatravessaum blocodevidro deespessura-e ındicede refracao ' � � �� .�� . A segundaatravessaum bloco de plasticocom a mesmaespessurae ındicederefracao '0/ � �� . (a) Qual e o (menor)valor de -paraqueasondassaiamdosblocoscomumadiferencadefasede

� � . � rad?(b) Seasondasforemsuperpostasemumatela,qualserao tipo deinterferenciaresultante? (a) Suponhaa fasede ambasondascomosendoze-ro antesdeatingir a superfıcie dosmeioscomdiferen-tesındicesdedifracao. A fasedaprimeiraondanasu-perfıcie de trasdo vidro e dadapor 1 � �32 � -547698 ,onde

2 � ):� ��; & � � * e o numerodeondae� � e o com-

primentode ondano vidro. Analogamente,a fasedasegundaondana superfıcie de trasdo plasticoe dadapor 1 / �<2 / -=4>698 , onde

2 / ):� ��; & � / * e o numerodeondae

� / e o comprimentodeondanoplastico.As frequenciasangularessaoasmesmaspoisasondastemo mesmocomprimentodeondanoareafrequencia

daondanaomudaquandoela entraemoutromeio. Adiferencadefasee

1 � 4>1 / �?)@2 � 4 2 / * - � �A;CB�� 4 �� /�D -E�Temosque

� � � �ar &A' � , onde

�ar e o comprimentode

ondano ar e ' � e o ındicederefracaodo vidro. Analo-gamente,

� / � �ar &(' / , onde ' / e o ındicederefracao

doplastico.Isto tudofornece-nosumadiferencadefase

1 � 4>1 / � �A;�ar

) ' � 4 ' / * -E�O valorde - quetornatal diferenca iguala

� � . � e

- � ) 1 � 4=1 / * � ar�A; ) ' � 4 '0/ *� � � . � ) ,�� *�A; ) �� .F4G�� * � � � . � �� IH m �(b)

� � . � rad e menordo que�A; � .�� rad, que e

a diferenca de fasepara interferencia completamenteconstrutiva,emaiordoque

; � � �J��, rad,adiferencadefaseparainterferenciacompletamentedestrutiva. A in-terferenciaeportantointermediaria,nemcompletamen-te construtiva,nemcompletamentedestrutiva. Ela esta,entretanto,maispertodesercompletamenteconstrutivadoquedesercompletamentedestrutiva.

P 36-8 (40-12/4�

edicao)

As duasondasna Fig. 36.3 tem um comprimentodeondade

� �� nm no ar. Determinea diferenca de faseem comprimentode onda,depoisde asondasatraves-saremos meios � e

�, se (a) ' � � �� e '0/ � �� . e- � � � �LK

m; (b) ' � � �� . � e '0/ � �� +�� e - � � � �LKm;

(c) ' � � �� e '0/ � �� +�� e - � � � ��MKm; (d) Su-

ponhaqueem cadaumadestastressituacoesasondassejamsuperpostasnumatela. Descreva os tipos de in-terferenciaresultantes. A solucao do problemabaseia-sena seguinte ex-pressaoparaa diferencadefase:N 1 � �A;OQPPP -# / 4 -# � PPP � �A;OQPPP - �&(' / 4 - �&(' � PPP� �A; -� R '0/ 4 ' � R �(a) N 1 ��A; � � � � � �� H� �� ) �� .F4G�� * � �� +



(b) N 1IS�A; � � � � � �� H� �� ) �� +�� 4G�� . � * � �� +(c) N 1IT�A; �Q� � �� H� �� ) �� +A� 4U�� * � �� (d) Como

N 1IS � N 1 � , a intensidadedeveseramesmanassituacoes(a)e (b). Poroutrolado,como

N 1IT & ) �A; *e

N 1 � & ) ��; * diferemambasde um numerointeiro por�� , a intensidadeno caso(c) tambem coincide comaquelade(a)e (b).Surpreendentea interpretac¸ao e utilidadeda partefra-cionariadosnumeros,nao?Poise!... :-)

P 36-9 (40-14/4�

edicao)

Duasondasluminosasno ar, de comprimentode on-da .�� nm, estao inicialmenteem fase. As ondaspas-sampor camadasdeplastico,comonaFig. 36.28,com- � � , K

m, - / � � � �FKm, ' � � �� , e '0/ � �� . . (a)

Qualsera a diferenca defase,emcomprimentosdeon-da,quandoasondassaıremdosdoisblocos?(b) Seasondasforem superpostasnumatela, que tipo de inter-ferenciasera observada? (a) O comprimentode onda

��V � .�� nm fora dascamadasde plastico(i.e. no ar ou, aproximadamente,novacuo)esta relacionadocomo comprimentodeonda�"W

num meio com ındicede refracao ' atravesda ex-pressao

�"W � � V &A' . Portanto,a diferenca de faseemtermosdocomprimentodeondaedadapor

1 � BX- /�YV &A' /[Z - � 4\- /��V D 4 BX- ��YV &A' � D� �� V B - / ) ' / 4G� * Z - � ) �L4 ' � * D� � Km.�� nm ] ) � � � * ) �� .F4U� * Z ) , * ) �E4U�� , *_^� �� H.�� I� ) �� * � �. � �Y� � � �

(b) A interferenciaobservadasera intermediaria, maispertodedestrutiva,umavezquea diferenca defaseemtermosdocomprimentodeondae �Y� � � , queemaisper-to de � (interferenciaconstrutiva pura) do que de �� (interferenciadestrutivapura).

P 36-10 (40-13/4�

edicao)

Na Fig. 36.3, duasondasluminosasde comprimentodeonda . � � nm estao inicialmentedefasadasde

;rad.

Os ındicesde refracao dos meios sao ' � � �� , � e'0/ � �� . � . (a) Qual o menorvalor de - paraqueasondasestejamem fasedepoisde passarempelosdoismeios?(b) Qualo segundomenorvalor de - paraqueistoacontec¸a? (a) Para resolver esteproblemausamosa mesmaformuladerivadana solucao do problema36-8 acima.Seja N 1 � �A; -� R ' � 4 '0/ R �?) � ' Z � * ;a`' � � ` � `b�c` �d�� , quefornece

- min� - R W�e V � �� R ' � 4 '0/ R� . � �� R �� , � 4U�� . � R� � �� nm

� �� fKm �

(b) O proximo valor paraestaremem faseocorrepara' � � , o quefornece

- � � � �� R ' � 4 ' / R � � ) �� fKm* � ,"� . �fK

m �36.2 O experimentodeYoung

E 36-11 (40-15/4�

edicao)

Duasfendasparalelas,a+ � +gK

m dedistanciaumadaou-tra,saoiluminadascomumaluz verdemonocromatica,decomprimentodeondade

�� nm. Calculea posicaoangular( h naFig.36.8[40-9]) dafranjaclaradeterceiraordem( i � � ) (a)emradianose(b) emgraus. (a) DaEq.36.14[40-12]obtemosparai � �

h �sen� � B"i �j D�sen� � B � ) �� *+ � + � ��H D � �� . rad�

(b)

h �?) �Y� � ��. rad* Bf� � ��k;radD � � � � � + k �



E 36-13 (40-18/4�

edicao)

O experimentode Young e executadocom luz azul-esverdeadade comprimentode onda de

� �� nm. Adistancia entre as fendase de �� mm e a tela deobservacao esta a

� � , m das fendas. Qual e oespaçamentoentreasfranjasclaras? A condicaodemaximoe

jsenh � i �

, ondej

e aseparaçaodasfendas,

�o comprimentodeonda,i eum

inteiro,e h eo angulofeitopelosraiosqueinterferemeoeixoperpendicularasuperfıciecontendoasfendas.Sehe pequeno,senh podeseraproximadopor h , emradia-nos. Nestecasotemosh j � i �

e a separaçaoangulardosmaximosadjacentes,umassociadoaointeiro i e ooutroassociadoaointeiro i Z � , edadapor

N h � � & j .Comisto,aseparaçaosobreumatelaaumadistanciale dadaporN[m � l N h � � lj � ) � �� I� * ) � � , *�� c�In� � � �� In m

� � � �� mm�E 36-14 (40-21/4

�edicao)

Em um experimentodeYoung,a distanciaentreasfen-dase de �� vezeso valor do comprimentodeondadaluz usadaparailumina-las. (a) Qual e a separaçao an-gularemradianosentreo maximodeinterferenciacen-tral e o maisproximo? (b) Qual e a distanciaentrees-tesmaximossea teladeobservacaoestiver a

� � cm dedistanciadasfendas? (a) O maximoadjacenteao maximocentrale o quecorrespondea i � � demodoque

h � �sen� � B"i �j D PPP o e ��sen� � B ) � * ) � *�� D � �� rad�

(b) Comom � � l sen h � �<) � � cm* sen) �Y� �Y� rad* � �

mm

a separaçaoeNpm � m � 4 m VC� m � 4\� � �mm�

P 36-19 (40-24/4�

edicao)

Em um experimentodeYoung,a distanciaentreasfen-dase

�mmeasfendasestaoa � m dateladeobservacao.

Duasfigurasde interferenciapodemservistasna tela,umaproduzidapor umaluz comcomprimentodeondade , � � nmeoutraporumaluz decomprimentodeondade .�� nm. Qual e a distanciana tela entreasfranjasde terceiraordem( i � � ) dasduasfigurasde inter-ferencia? Osmaximosdeum padraode interferenciadefendaduplaaparecememangulosh dadospor

jsen h � i �

,onde

je a separaçao dasfendas,

�o comprimentode

onda,e i um nunerointeiro. Se h for pequeno,sen hpodesersubstituidopor h emradianos.Nestecaso,te-mosmaissimplesmenteque h j � i �

.[PercebaqueEVITAMOS escrever

j h � i �paramini-

mizara possibilidadedeconfusaocomalgumelementodiferencialdeangulo

j h . Umanotacaocoerenteeapro-priadasalvamuitagentenahoradaprova....:-) ]A separaçaoangulardosdoismaximosassociadoscomcomprimentosdeondadiferentesmascomo mesmova-lor de i e N h � i j ) � / 4 � � *easeparaçao

Npmobservadanumatelalocalizadaauma

distancial eNpm � l tanN h[q5l N h � B"i�lj D ) � / 4 � � * �

Comousamosa aproximaçaotan h�q N h , observe queN h deveestaremradianos.Emnumeros,temos,Npm � ] � ) �� *� � ��c��n ^ ) .��F4r, � � * � �� + � � � �� Is m

� �� +�� mm� +��LK

m �P 36-20 (40-27/4

�edicao)

Na Fig. 36.29, t � e t / sao fontesqueproduzemondasemfase,demesmaamplitudee como mesmocompri-mentodeonda

�. A distanciaentreasfontese

j � � � .Determinea maiordistanciaa partir de t � , aolongodoeixo u , paraa qualasduasondasseanulamtotalmentepor interferenciadestrutiva. Expresseestadistanciaemcomprimentosdeonda. Chamemostal distanciade u . Entao

R N 1 R � ��;�wvyx j / Z u /o 4ru oFz �{) � i Z � * ;a`http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina4 de10


ondei � � ` � `|�c` �d�d� . Consequentemente,

u o � j /) � i Z � * � 4 ) � i Z � * �, �O maiorvalorde u o e obtidoparai � � :

u VC� j /� 4 � , � ) � � * /� 4 � , � � � +�� P 36-21 (40-28/4

�edicao)

Um fino floco de mica ( ' � �� ) e usadoparacobrirumadasfendasemum experimentodeYoung. O pon-to centralda tela passaa ser ocupadopelo que era asetimafranjaclara( i � +

) quandoa fendaestava livre.se

� � �� nm, qual e a espessurado floco de mica?(Sugestao: Considereo comprimentodeondadaluz nointeriordoflocodemica.) Considereasduasondas,umadecadafenda,quepro-duzema setimafranjaclaranaausenciada mica. Elasestao em fasenasfendase viajam distanciasdiferen-tesate a setimafranjaclara,ondea diferenca de fasee�A; i � �d, ; . Quandoum floco demicadeespessuraue colocadana frentedeumadasfendase asondasnaoestao maisem fasenasfendas.Nasfendas,suasfasesdiferemde1 � �A; u� o 4 �A; u� � �A; u� ) ' 4U� * �onde

� o eo comprimentodeondanamica, ' eo ındicede refracao da mica, e usamosrelacao

� o � � &(' ,�

sendoo comprimentodeondanovacuo.Comoasondasestaoagoraemfasenatela,devemoster�A; u� ) ' 4U� * � �d, ;a`dondetiramosque} � + �' 4G� � + ) �� *�� 4U�� .�� .�, � �� IH m

� .Y� .�, Km �

P 36-22 (40-32/4�

edicao)

A luz deum lasercomcomprimentodeondade . � � � �nmpassaporduasfendaslocalizadasemumtelanapar-te da frentedeumasaladeaula,e refletidapor um es-pelhosituadoa

� � m de distancia,no fundo da sala,eproduzumafigura de interferenciana mesmatela que

contem as fendas. A distanciaentreduasfranjascla-ras adjacentese �� cm. (a) Qual e a distanciaentreas fendas? (b) O queacontececom a figura de inter-ferenciaquandoo professorcobreumadasfendascomum pedac¸o de celofane,aumentandode

� � � o numerodecomprimentosdeondapercorridospelaluz no traje-to quepassapelocelofane? (a) Aqui, use

N[m � l � & j obtendoj � � lNpm � ) . � � � � � �� * ) � � � � *��~�� Y� �� mm�Observe o fator

�acima:ele e devido ao fatoda luz ir

e voltar atravesda sala! O “D” refere-seao caminhoopticototal.(b) Nestecasoa figurade interferenciasera deslocado.Porexemplo,comono localdomaximocentraloriginaladiferenca defaseeagoraN 1 � N ):2 - * ��2 N - � ��;� ) � � � � * � �A;a`existira ali ummınimoemvezdeummaximo.

36.3 Intensidade das franjas de inter-ferencia

E 36-24 (40-41/4�

edicao)

Determineasomam ) 8 * dasseguintesfuncoes:m � ) 8 * � �� sen698 e

m / ) 8 * � �sen

) 698 Z � � k * �[Nota: percebaquenesteenunciadoescrevemosexplici-tamentea dependenciatemporaldecadagrandeza,como intuito dedistinguirmaisclaramenteasgrandezasquevariamno tempodaquelasquenaovariam.] Seguimosaquio problemaresolvido36.3. Num ins-tantedetempo8 qualquertemosm ) 8 * � m � ) 8 * Z m / ) 8 * �Escolhendo

m � ) 8 * comoreferencia,para8 � � temosasseguintescomponenteshorizontale verticalde

m ) � *m�� 9��c� k Z � �� k � �� Z .�� .�� `m�� sen� k Z �sen� � k � � Z , � ,"�

A ondaresultantetem umaamplitudem��

[que e cons-tanteno tempo]dadaporm�� x ) ��.�� * / Z , / � � + � , `



e um angulode fase � em relacao ao fasorm � ) 8 * dado

por

� �tg � � B m��m � D �

tg � � B�,��.�� D � � � � �� k �Portanto,a somadesejadaem ) 8 * � � + � , sen

) 698 Z � � � �� k * �P 36-27 (40-40/4

�edicao)t � e t / naFig. 36.29sao fontespuntiformesdeondas

eletromagneticascomumcomprimentodeondade � m.As fontesestao separadaspor umadistancia

j � , me as ondasemitidasestao em fasee tem intensidadesiguais.(a)Seumdetectorfor colocadoparaadireitaaolongodo eixo u a partir dafonte t � , a quedistanciadet � seraodetectadasostresprimeirosmaximosdeinter-ferencia? (b) A intensidadedo mınimo maisproximoe exatamentezero? (Sugestao: O queacontececom aintensidadeda ondaemitidapor umafonte puntiformequandonosafastamosdafonte?) (a) Paraatingiro detector, aondaquevemde t � via-ja umadistanciau , enquantoquea ondaquevemde t /viaja � j / Z u / . A diferenca defasedasduasondaseN 1 � �A;� B x j / Z u / 4\u D ònde

�e o comprimentode onda. Para se ter um

maximo de intensidade,talN 1 deve ser um multiplo

de�A;

, o quenosfornecea condicaox j / Z u / 4\u � i � ònde i e um numerointeiro. Escrevendoa equaçaoacimasoba forma � j / Z u / � u Z i �

, elevando-aaoquadradoe simplificandoo resultado,obtemos

u � j / 4\i / � /� i � �O maiorvalorde i queproduzumvalorde u positivo ei � � . Tal valorcorrespondeaomaximomaisproximode t � , localizadoem

u � , / 4 � / ) � * /) � * ) � * ) � * � +. � ��~� + m �O proximo maximo( i � �

) estalocalizadoem u � �m. O maximo seguinte ( i � � ) estalocalizadoemu � + � � m.

(b) Mınimosde intensidadeocorremondea diferencadefasee

;rad.A intensidadenolocaldomınimonaoe

nulapoisasamplitudesdasondassaodiferentes.Embo-ra asamplitudessejamasmesmasnasfontes,asondasviajamdistanciasdiferentesparachegaraopontodein-tensidademınima,comcadaamplitudedecrescendonaproporcaoinversadadistanciaviajada.

36.4 Interfer enciaemfilmesfinos

E 36-31 (40-47/4�

edicao)

Umaondaluminosadecomprimentodeondade��

nmincide perpendicularmenteem uma pelıcula de sabao( ' � �� ) de espessura�� K

m, suspensano ar. Aluz refletidapelasduassuperfıciesdo filme sofreinter-ferenciadestrutivaouconstrutiva? A reflexaonasuperfıcieanteriormudaafasede

;, en-

quantoquea reflexaonasuperfıcieposteriornaomuda-a. Portantoanaturezadainterferenciadependeraapenasdamudançadefasesofridadentro dapelıculadesabao.Sabemosquea naturezada interferenciae regidapelasequaçoes:

construtiva � � - � v i Z �� z �"� `destrutiva � � - � i �� `

onde��

e o comprimentode ondadentrodo filme desabao, queobedece

�� &A' , onde ' e o ındice derefrecao da pelıcula de sabao e

�e o comprimentode

ondano vacuo. Em outraspalavras, equivalentemen-te asexpressoesacima(e ja emtermosdasquantidadesqueo problemanosfornece),temosque

construtiva � � - ' � v i Z �� z � `destrutiva � � - ' � i � `

Destasexpressoesvemosclaramentequea naturezadainterferenciae determinadapelovalordaquantidade� - '� � � ) �� H * ) �� *�� f`quenosdiz ser i � �

e a interferenciaconstrutiva. Eisaquiumamaneiratalvezumpoucomaistrabalho-sadeobtero mesmoresultado.A onda refletida pela superfıcie anterior sofre ummudança defasede

;pois incidedo ar sobreum meio

de maior ındice de refracao. A faseda ondarefletida



pelasuperfıcieposteriornaomudanareflexao,umavezqueo meioforadelaeo ar, cujoındicederefracaoeme-nor doqueo ındicedapelıculadesabao.Chamandode- a espessuradapelıcula, tal ondaviaja umadistancia� - amaisdoqueaondarefletidanasuperfıcieanterior.A diferencadefasee

� - ) ��; & � � * 4 ;, onde

� �eo com-

primentodeondano filme. Sendo�

o comprimentodeondano vacuoe ' o ındicede refracao da pelıcula desabao,entao

� � � � &A' e adiferenca defasee

1 � � ' - B �A;� D 4 ;� � ) �� * ) �� H * B ��;�� D 4 ;� �� ; rad�

Comoa diferenca defasee um multiplo parde;

, a in-terferenciae completamenteconstrutiva.Noteque �� ; � � � ) ��; * , fornecendo-nosi � �

, comoacimaobtido.

Percebaque as duas maneirasde tratar o problemaprovem de podermoscolocara enfaseou na diferencadefaseou nadiferenca entre asdistanciaspercorridas,conformea Eq.36.28[Eq. 40-25]do livro texto:�

diferencadefase � � �A;� �

diferenca entreasdistanciaspercorridas� �

E 36-33 (40-48/4�

edicao)

Umaondaluminosadecomprimentodeondade . � , nmincide perpendicularmenteem uma pelıcula de sabao(com ' � �� ) suspensano ar. Quaisasduasmeno-resespessurasdo filme paraasquaisasondasrefletidaspelofilme sofreminterferenciaconstrutiva? ParainterferenciaconstrutivausamosaEq.36.34[40-27]: � '0/ - �{) i Z �� * � �Os dois menoresvaloresde - sao aquelescorrespon-dentesa i � � e i � � , ouseja,

- V � � & �� '0/ � . � , nm, ) �� * � �� + nm� �Y�J�� +�K

m`

e,parai � � ,- � �Q� � & �� ' / � � - V�� ) �Y�J�� +�K

m* � �� Km �

Percebaa utilidade e conveniencia de estabelecer-seanaliticamenteque - � � � - V

: evita-se refazercon-tasja feitas,reduz-sea possibilidadedeerrar, e ganha-senocaodamagnituderelativa dasgrandezasemjogo.Acostume-sesemprea fazeralgebra(treinarseusneu-ronios!!) antesdeprecipitar-separaa calculadora!

E 36-34 (40-50/4�

edicao)

Uma lentecom ındicede refracao maior do que �� erevestidacom um filme fino transparentede ındicederefracao �� paraeliminarpr interferenciaareflexaodeumaluz decomprimentodeonda

�queincideperpen-

dicularmentea lente. Quala menorespessurapossıvelparao filme? Comoa lentetemum ındicederefracaomaiorqueofilme fino, existeum deslocamentode fasede

;na re-

flexaoda interfacelente-filme,quecancelacomo des-locamentode fasede

;devido a reflexao da interface

filme-ar. Portantonaoexiste nenhumdeslocamentodefaseefetivoe a condicaoparainterferenciadestrutiva e� ' / - �?) i Z �� * � �O menorvalorde - e obtidoparai � � :- min

� �, '0/ � �, ) �� * � �Y� � � �E 36-35 (40-52/4

�edicao)

Osdiamantesdeimitacaousadosemjoiassaofeitosdevidro com ındicede refracaode �� . Paraquereflitammelhora luz, costuma-serevesti-loscom umacamadademonoxido desilıcio de ındicede refracao igual a

�.

Determinea menorespessurapossıvel da camadaparaqueumaondadecomprimentodeondade

� .�� nme in-cidenciaperpendicularsofrainterferenciaconstrutivaaoserrefletidapelassuasduassuperfıcies. A reflexaonasuperfıcieanteriormudaafasede

;, en-

quantoquea reflexaonasuperfıcieposteriornaomuda-a. Portantoanaturezadainterferenciadependeraapenasdamudanc¸a defasesofridadentro dapelıculadereves-timentocujo ındicede refracao e ' � �

, menorqueoındice �� do ‘diamante’.Reconhecemosque o problemae semelhanteao pro-blema36-31 (40-47) acima,com a naturezada inter-ferenciasendoregidapelasexpressoes

construtiva � � - ' � v i Z �� z � `http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7 de10


destrutiva � � - ' � i � `Paratermosinterferenciaconstrutiva, com i � � ve-mosquea espessuradorevestimentodeveserdadopor

- � �, ' � � .�� , ) � � � * � + � �� m� + � nm�

Percebaquea situacaomudariaradicalmenteseemvezde lidar com um diamantefalso, com '�� , esti-vessemoslidandocomum diamantereal,paraosquais'\� � � � . A luz refletidapelasuperfıciefrontaldorevestimentosofreumamudançadefasede

;rad,enquantoquealuz

refletidapelasuperfıciedetrasnaomudaa fase.Sendo- a espessurado revestimento,a luz refletidapelasu-perfıcie de trasviaja umadistancia

� - a maisdo quealuz refletidapelasuperfıcie frontal.A diferenca de fasedasduasondase

� - ) ��; & �"� * 4 ;,

onde�"�

eo comprimentodeondadaluz norevestimen-to. Se

�for o comprimentode ondano vacuo,entao� �C� � &(' , onde' e o ındicederefracaodorevestimen-

to. Portantoadiferenca defasee� - B �A; '� D 4 ; �Parainterferenciatotalmenteconstrutivataldiferencadefasedeveserummultiplo de

�A;, ouseja,� - B �A; '� D 4 ; � � i ;a`

onde i e um numerointeiro. Estaequaçao e um rear-ranjodaEq.36.34[40-27]. A solucaoprocuradae

- � ) � i Z � * �, ' �Paradeterminaramenorespessuradorevestimentobas-ta tomar i � � . Nestecaso,obtemos

- � �, ' � � .�� , ) � � � * � + � �� m� + � nm�

Percebaque as duas maneirasde tratar o problemaprovem de podermoscolocara enfaseou na diferencadefaseou nadiferenca entre asdistanciaspercorridas,conformea Eq.36.28[Eq. 40-25]do livro texto:�

diferencadefase � � �A;� �

diferenca entreasdistanciaspercorridas� �

P 36-43 (40-65/4�

edicao)

NaFig.36.33,umafontedeluz (decomprimentodeon-dade . � � nm) ilumina perpendicularmenteduasplacasdevidrode � � � mmdelarguraquesetocamemumadasextremidadeseestaoseparadasporumfio de �Y� ��, � mmdediametronaoutraextremidade.O ar entreasplacassecomportacomoum filme fino. Quantasfranjascla-rassao vistaspor um observadorque olha parabaixoatravesdaplacasuperior?[Nota: na , � edicaodo livrousa-se

� � . � � nm.] Considerea interferenciadasondasrefletidaspelassuperfıciessuperiore inferior do filme de ar. A ondarefletidapelasuperfıciesuperiornaomudaa fasenare-flexao,masaondarefletidapelasuperfıciedebaixomu-daafaseem

;rad.Numlugarondeaespessuradofilme

dear e - acondicaoparainterferanciatotalmentecons-trutivae

� - �?) i Z � & � * � , onde�

eo comprimentodeondae i e umnumerointeiro.O maiorvalorde i parao qual - emenordoque �Y� ��, �mm (

� , �MKm) e i � �d,�� , pois paratal valor de i

encontramos

- � ) i Z � & � * �� ) ��,�� * ) . � �p� �� *�� ,Y� +A� � �� Is m� , + � �EK

m �Para i � ��,Y� ja encontramosmais que �� , � mm(� , �EK

m):

- � ) i Z � & � * �� ) ��,Y�� * ) . � �p� �� *�� ,Y� � �M� �� Is m� , � � � K

m �Naextremidademaisfinadofilmedearexisteumafran-ja brancaassociadacom i � � e,assimsendo,no totaltemos��,�� Z � � �d,"� franjasclaras.

P 36-49 (40-72/4�

edicao)

A Fig. 36.34amostraumalentecomraio de curvatura�pousadaemumaplacadevidro e iluminadadecima

por umaluz decomprimentode onda�. Associadasa

espessuravariavelj

dofilme dear, aparecemfranjasdeinterferenciacirculares(oschamadosaneisdeNewton),comomostraaFig.36.34b. Determineosraios� doscir-culosquecorrespondemaosmaximosde interferencia,supondoque � & �� . Considereo padrao de interferenciaformadopelasondasrefletidasnassuperfıciessuperioreinferiordacu-nhadear. A ondarefletidadasuperfıcie debaixosofreumamudança defasede

;radenquantoquea ondare-

fletida pelasuperfıcie superiornao mudaa fase. Num



localondeaespessuradacunhaej, acondicaoparaum

maximodeintensidadee� j �?) i Z � & � * � , onde

�e o

comprimentodeondano ar e i e um inteiro. Portanto,j �<) � i Z � * � & , .Da geometriadaFig. 36.34temos

j � � 4 � � / 4r� / ,onde

�e o raio decurvaturadalentee � e o raiodeum

aneldeNewton. Portanto) � i Z � * �, � � 4 x � / 4\� / òu,rearranjando,x � / 4\� / � � 4 ) � i Z � * �, `dondeobtemosfinalmenteque

� �<� ) � i Z � * � �� 4 ) � i Z � * / � /��. �Quando

�e muito maior do queum comprimentode

onda,o primeirotermodominao segundoe temos

� �?� ) � i Z � * � �� P 36-53 (40-84/4

�edicao)

Na Fig. 36.35,um transmissordemicroondassituadoaumaaltura � acimado nıvel da aguadeum lago trans-mitemicroondasdecomprimentodeonda

�emdirecao

a um receptorna margemoposta,situadoa umaalturau acimado nıvel da agua. As microondasquesao re-fletidasna aguainterferemcom asmicroondasquesepropagamdiretamenteatravesdoar. Supondoquealar-gura l dolagosejamuitomaiorque � e u , eque

�� ,paraquevaloresde u o sinalquechegaaoreceptortemomaximodeintensidadepossıvel? (Sugestao: A reflexaoproduzumamudança defase?)

Considereo diagramaacima. Comoseve, dois cami-nhosconduzemdafonte t ate o receptor

�: o caminho

� , direto de t para�

, e o caminho�, quesofre uma

reflexao num ponto � sobrea superfıcie da agua. Talreflexaocausaumamudança de

;nafase,demodoque

acondicaopararecepçaomaximae dadapor

- / 4>- � � v i Z �� z � ` i � � ` � `|�c` ��d� ònde - � � R t � R � x l / Z ) �p4ru * / e - / � R ta� R ZR � � R . Da figura vemosque R ta� RC��R � � R , onde � ea imagemda fonte t quandorefletidadentroda agua.Obviamente,ospontos� , � e

�estaotodossobreuma

mesmalinhareta.Portanto,- / � R � � R Z R � � R � R � � R ,onde R � � R pode ser calculadousando-seo trianguloretangulo“dentro da agua”, com catetosl e u Z � ehipotenusaR � � R :R � � R � x R �� pR / Z R � MR / � x l / Z ) � Z u * / �Quandol%¡ ) �£¢¤u * podemosusara aproximaçao

x l / Z ) �F¢¤u * / q¥l ] � Z �� B��F¢=ul D / ^ `demodoqueacondicaopararecepçaomaximareduz-sea

- / 4\- � � l ] � Z �� B"� Z ul D / ^4El ] � Z �� BY�[4rul D / ^

q � ��ul � v i Z �� z � `dondeobtemosque

u � v i Z �� z � l� � �36.5 O interfer ometro deMichelson

E 36-55 (40-78/4�

edicao)

Se o espelho¦ / de um interferometrode Michelson(Fig. 36.17)e deslocadode �� mm,isto fazcomqueasfranjassedesloquemde

+A��posicoes.Qualeo com-

primentodeondadaluz usada? Um deslocamentodeumafranjacorrespondea umamudança de um comprimentode ondano tamanhodocaminhooptico. Quandoo espelhoe deslocadodeuma



distanciaj, ocaminhoopticomudade

� jpoisaluzatra-

vessaduplamenteo braco quecontemo espelho.Cha-memosde § a quantidadedefranjasdeslocadas.Entao� j � § �

, dondetiramos� � � j§ � � ) �� p� �� n *+A�� ¨ m� ��

nm�P 36-57 (40-80/4

�edicao)

Umacamaraselada,com�

cm decomprimentoe jane-lasdevidro e colocadaemum dosbracosdeum inter-ferometrodeMichelson,comonaFig. 36.36. Umaluzde comprimentodeonda

� � � �� nm e usada.Quan-do a camarae evacuada,asfranjassedeslocamde .��posicoes. A partir destesdados,determineo ındicederefracaodoar a pressaoatmosferica. Seja1 � adiferencadefasedasondasnosdoisbracosquandoa camaracontiver ar e 1 / a diferenca de fasequandoacamaraeevacuada.Estasquantidadessaodis-tintaspoiso comprimentodeondano ar e diferentedo

comprimentono vacuo.Sendo�

o comprimentodeon-danovacuo,o comprimentodeondano ar e

� &(' , onde' e o ındicederefracaodoar. Istosignificaque

1 � 4>1 / � � - ] �A; '� 4 �A;� ^ � , ; ) ' 4G� * -� `onde - e o comprimentodacamara.O fator

�aparece

poisa luz atravessaacamaraduplamente,primeiroindoparao espelhoe depoisvoltando,aposa reflexao.Cada deslocamentode � franja correspondea umamudanc¸a na fasede

�A;rad. Assim,seo padraode in-

terferenciadesloca-sede § franjasquandoa camaraeevacuada,temos, ; ) ' 4U� * -� � � § ;a`dondetiramos

' 4G� � § �� - � .�� ) � �� *� ) � � ��c� / * � �� Portanto' � �� .









Conteudo

37 Difrac ao 237.1 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 Difracaoporumafenda:posicoesdosmınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Determinac¸aodaintensidadedaluz difratadaporumafenda— metodoquantitativo . . . . . . . . 337.4 Difracaoporumaaberturacircular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.5 Difracaoporduasfendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.6 Redesdedifracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.7 Redesdedifracao:dispersaoeresolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.8 Difracaoderaios-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7


(listaq3.tex)



37 Difrac ao

37.1 ProblemaseExercıcios

37.2 Difrac ao por uma fenda: posicoesdosmınimos

E 37-1 (41-3/4�

edicao)

Um feixedeluz decomprimentodeondade��

nmin-cideemumafendaestreita.O anguloentreo primeiromınimo dedifracaodeum ladodo maximocentrale oprimeiromınimo do outroladoe �� . Quale a larguradafenda?� Bastausara formula � sen �� , com �� e �� . Portanto

�� sen �

��! �"�$#&%sen �� ')( m �

E 37-4 (41-5/4�

edicao)

A distanciaentreo primeiroe o quintomınimo deumafiguradedifracaodeumafendae �� * mm, coma telaa '�� cm dedistanciadafenda,quandoe usadaumaluzcomumcomprimentodeondade

*�* � nm. (a)determinea largurada fenda. (b) Calculeo angulo do primeiromınimodedifracao.� (a) Chamandode + a posicao do primeiro mınimo( ��,-�.� ) na tela, e de +0/21�+ a posicao do quintomınimo( �435� * ), temosque

687�9 , � +:<; 687�9 3 � +�/=1�+: �quenosfornecem

6>7�9 3@? 687�9 , � 1A+: �Como +CBD1A+ , podemosaproximar

687�9 3 � +E/F1A+: G 1�+: � �� *'H�� I��KJ *� �L� #NM �Estenumeropequenonosinformaquevaleaaproxima-cao687�9 35G 3 e,como ,@O 3 , que

687�9 ,@G , .Nestasaproximac¸oespodemosescrever

6>7�9 P3 ? 6>7�9 �, G P3 ? �,)��1� �� 1�+:Q�

Poroutrolado,sabemosque

� sen �,@�<��,R� e � sen P35�S�43)� ;dondetiramosfacilmente

sen 3R? sen ,@G 3@? , �T1� A� U � 3@? � ,WV �� Comparandoasduasexpressoespara 1� vemosque

1�+: � U � 3@? � ,�V �� U 1�� V �� Portanto

�!� : � U � 3)? � ,�V1�+ � U '�� V U *�* � �"�$#&X V U * ? � V�Y� �H*� �� * mm�

(b) Para �Z�2�sen A� �� U � V U *�* � �"�$#&X V�$� * �T�$�� "� #[M ;

e,portanto,o angulopedidoe

A� sen# , U �$�� L� #[M V �� "� #NM rad�P 37-6 (41-9/4

�edicao)

Ondassonorascomumafrequenciade� �� Hz e uma

velocidadede� ' � m/spassampelaaberturaretangular

deumacaixadesome seespalhampor um grandeau-ditorio. A abertura,quetemumalargurahorizontalde� � cm, esta voltadaparaumaparedequefica a �"�� mde distancia(Fig. 37.32). Em quepontodestaparedeum ouvinte estara no primeiro mınimo de difracao e,portanto,tera dificuldadeparaouvir o som?(Ignoreasreflexoes.)� Suponhaque o primeiro mınimo esteja a umadistancia + a partir do eixo central, perpendicularaoalto-falante.Nestecaso,para�Z�� temos

sen E� +\ : 3 /=+ 3 � �4�� Resolvendoestaequac¸aopara+ obtemos

+�� :\ U �� V 3 ? � � :\ U �$]^�`_�a V 3 ? �� L��\ b U �� V U � �� V � � ' ��c 3 ? �� '[�� m �



37.3 Determinacao da intensidadeda luzdifratada por uma fenda — metodoquantitati vo

E 37-9 (41-13/4�

edicao)

Quandoa largurade uma fendae multiplicadapor � ,a intensidadedo maximo centralda figura de difracaoe multiplicadapor ' , emboraa energia quepassapelafendasejamultiplicadapor apenas� . Expliquequanti-tativamenteo quesepassa.�E 37-10 (41-12/4

�edicao)

Uma luz monocromaticacom um comprimentode on-dade

*�� I nmincideemumafendacomumalargurade�� * mm. A distanciaentrea fendae a tela e� � * m.

Considereum pontona tela a ��d� cm do maximo cen-tral. (a) Calculeo valor de nesteponto. (b) Calculeovalor de e . (c) Calculea razaoentrea intesidadenestepontoe a intensidadenomaximocentral.� (a)

�� sen# ,[f ��d�� *hg ��d�"I �(b) DaEq.37.6temosque

ei� f�j �� g sen � j U �Y� �H� * V*�� I sen �Y�k�LI � �� ' * I rad�

(c) DaEq.37.5tiramosquel U VlWm � f sen ee g 3 � f sen �� ' * I�Y� ' * I g 3 �S�� n � �$�

37.4 Difrac aopor uma abertura circular

E 37-15 (41-18/4�

edicao)

Osdoisfaroisdeumautomovel queseaproximadeumobservadorestaoseparadosporumadistanciade �� ' m.Quale (a) a separaçaoangularmınimae (b) a distanciamaxima paraque o olho do observadorsejacapazderesolve-los?Suponhaqueo diametrodapupilado ob-servadorseja

*mme queuseumcomprimentodeonda

deluzde*�* � nmparaaluzdosfarois.Suponhatambem

que a resolucao seja limitada apenaspelosefeitosda

difracaoe portantoqueo criterio deRayleighpossaseraplicado.� (a) Useo criteriodeRayleigh,Eq.37.14.Pararesol-verduasfontespuntiformeso maximocentraldafiguradedifracaodeumpontodevecairsobreoualemdopri-meiromınimo dafiguradedifracaodo outroponto. Is-to significaquea separaçaoangulardasfontesdeve serpelomenos Pop�q�� &�Pr , onde� e o comprimentodeondae r e o diametrodaabertura.Portanto

òs� �� U *�* � �"�$#&% V*! �L� #&t �u�� ' �L� #NM rad�(b) Sendov a distanciados farois ao olho quandoosfarois puderemserpelaprimeiravez resolvidos,e

:a

separaçaodosfarois,entao: �<v 687�9 Posw<vx Po ;onde foi feita a aproximaçao de angulos pequenos687�9 Poyw� Po , valida se Po for medidoem radianos.Portanto

v=� : o � �� '�� ' �L� #[M �u�"�Y� ' km �

E 37-19 (41-23/4�

edicao)

Estimea separaçao linear de dois objetosno planetaMartequemal podemserresolvidosemcondicoesini-ciais por um observadorna Terra. (a) a olho nu e (b)usandoo telescopiode �� polegadas(=

* �k� m) doMon-tePalomar. Useosseguintesdados:distanciaentreMar-te e Terra= I �L��z km; diametroda pupila =

*mm;

comprimentodeondadaluz =*�* � nm.� (a) Useo criterio de Rayleigh,Eq. 37.14: dois ob-

jetospodemserresolvidossesuaseparaçaoangularnaposicao do observador for maior que o �{��&�Pr ,onde� eo comprimentodeondadaluz e r eo diametrodaabertura(doolhoouespelho).Se v for adistanciadoobservadoraosobjetos,entaoa menorseparaçao + queelespodemter e aindaserresolvidose +|�Tv 6>7�9 òpwv} Po , onde Po e medidoemradianos.Portanto,

+~� �� v��r � �� U I �L� ,�� V U *�* � �"��#N% V*! �"� #Nt� ��d� �L� z m �u��d� �"� M km �Estadistanciaemaiordoqueo diametrodeMarte.Por-tanto, nao e possıvel resolver-se totalmentea olho nudoisobjetosdiametralmenteopostossobreMarte.



(b) Agora r�� * �d� m e

+�� v��r � �� U I �"� ,�� V U *�* � �"��#N% V* �d�� d� �"� M m �� km �Estae a separaçao mınimaentreobjetosparaquepos-samserperfeitamenteresolvidoscomo telescopio.

E 37-20 (41-25/4�

edicao)

O sistemade radarde um cruzadoremitemicroondascomum comprimentodeondade �� cm, usandoumaantenacircularcom �$� � m dediametro.A distanciade� �� km, qual e a menorseparaçao entreduaslanchasparaquesejamdetectadascomoobjetosdistintospeloradar?�+ min � v} o ��v f ��r g

� U � �� L� t V �� U �� ! �L�$# 3 V�� *�� m �

P 37-22 (41-29/4�

edicao)

Em junho de 1985, a luz de um laser foi emitida daEstacao OpticadaForca Aerea,em Maui, Havaı, e re-fletida pelo onibus espacialDiscovery, que estava emorbita a uma altitude de

�H* ' km. De acordocom asnotıcias,o maximocentraldo feixe luminosotinhaumdiametrode n��d� m na posicao do onibus espaciale ocomrpimentode ondada luz usadafoi

* �� nm. Qualo diametroefetivo da aberturado laserna estaçao deMaui? (Sugestao: O feixedeumlaserso seespalhaporcausadadifracao;suponhaqueasaıdadolasertemumaaberturacircular.)� A equaçao queo primeiro mınimo de difracao paraaberturascircularese

sen A�u�� ronde� eo comprimentodeondadaluz e r eo diametrodaabertura.A largura + do maximo central e definida como adistanciaentreosdoisprimeirosmınimos.Portanto,te-mos

687�9 A� +Y��: ;

onde:

e a distanciaentreo lasere o onibusespacial.Como ~B�B�� , podemosaproximar

687�9 !w sen �w� o quenosfornece

+Y��: �2�� r ;dondetiramos

r � �� :+Y�� U * �� "�$#&% V U ��* ' �L��t VnY�k�P�� S'Y�KJ cm�

37.5 Difrac aopor duasfendas

E 37-27 (41-35/4�

edicao)

A envoltoria central de difracao de uma figura dedifracao por duas fendascontem �� franjas claraseosprimeirosmınimosdedifracaoeliminam(coincidemcom) franjasclaras. Quantasfranjasde interferenciaexistementreo primeiro e o segundomınimosda en-voltoria?� Franjasclarasde interferenciaocorremparaangulos dadospor � sen -��4� , onde r e a separaçao dasfendas,� e o comprimentodeonda,e � e um inteiro.Paraasfendasdesteproblemar��2��"�� , demodoque� sen E�T�P��&�� .O primeiro mınimo do padrao de difracao ocorrenumangulo , dadopor � sen , �� e o segundoocorreparaum angulo 3 dadopor � sen 3 �� , onde � e alarguradafenda.Desejamoscontaros valoresde � paraos quais , B �B� 3 ou,o quee amesmacoisa,osvaloresde � paraosquaissen , B sen �B sen 3 . Isto implica termos

��B �� BD� ;quee satisfeitapara

�Z� � ; J ; I ; n ; �"� ;fornecendo-nosumtotaldecinco franjasclaras.

P 37-31 (41-40/4�

edicao)

(a) Quantasfranjasclarasaparecementreos primeirosmınimosdaenvoltoriadedifracaoadireitae aesquerdado maximo centralem umafigura de difracao de duasfendasse �� *�* � nm, r!��d� * mme �~� � �)( m? (b)



Qual e a razao entreas intensidadesda terceirafranjaclarae dafranjacentral?� (a) A posicao angular dasfranjasclarasde inter-ferenciaedadapor r sen ��D�� , onder e aseparac¸aodasfendas,� e o comprimentodeonda,e � e umintei-ro.O primeiromınimo dedifracaoocorreparaum angulo �, dadopor � sen �,0�� , onde � e a largurada fen-da. O pico de difracao extende-sede ? �, ate /� �, , demodoqueprecisamosdeterminaro numerode valoresde � paraos quais ? �,SB� qB�/� �, ou, o que e amesmacoisa,o numerode valoresde � paraos quais? sen , B sen ~BD/ sen , .Estaultima relacao significa termos ? �P�P�<B��Pr�B�`�� , ouseja,

? r� B��B r� ;onde

r� � ��d�*! �"�$#&t� � �"� #NX � * �

Portanto,osvalorespossıveisde � sao

�Z� ? ' ;�? � ;�? � ;"? � ; � ; /�� ; /�� ; / � ; /�' ;perfazendoumtotaldenove franjas.

(b) A intensidadenatelae dadapor

l � l m��W�� 3h��0f sen ee g 3 ;onde

e�� j �� sen ; � � j r� sen ;el m

e a intensidadenocentrodopadrao.Para a terceira franja clara de interferencia temosr sen 0� � � , demodoque

� � � j rade�W�H� 3 � �� .

Analogamente,e�� j ��PrS� � j � * �� j rad, demodoquellWm � f sen ee g 3 � f sen �� j�� j g 3 �<�� *�* �

P 37-32 (41-41/4�

edicao)

Umaluz decomprimentodeondade '�'H� nm passaporduasfendas,produzindouma figura de difracao cujograficodeintensidade

lemfuncaodaposicaoangular

aparecenaFig. 37.36.Calcule(a)a larguradasfendase

(b) a distanciaentreasfendas.(c) Calculeasintensida-desdasfranjasdeinterferenciacom �� e �� ecompareosresultadoscomosqueaparecemnafigura.

� (a) Da figura vemosqueo primeiro mınimo do pa-draaodedifracaoocorrepara

* , demodoque

�!� �sen � �Y� '�'��@( m

sen* � * � � * ( m �

(b) Da figura vemostambem quea quartafranja claraestaausentee,portanto,

r��S'H��<' U * � � * ( mV �T��R( m �(c) Paraa franja claracom �� temos D�� * (vejaa figura),ea Eq.37.18nosdiz que

e � j �� sen A� j U * � � * V�� '�' sen�� * ��KJPIHJ rad;� � j r� sen �� j U �� V�� '�' sen�� * � � �k�"' �� rad�

NOTE:paramaximossempreteremosU �� V 3 �u� pois

entao r sen T�Q�� , de modo que� �� j , isto e,�� U ? � V m e,portanto,

U �� V 3 �� qualquerquesejao valor de � . Na verdade,poderıamosusaro fa-to que

U �W�H� � V 3 �� paradeterminarcom precisao nograficoo valorde ondeocorremosmaximosdeinten-sidade.Percebaqueacimaobtivemos

� � � �k�"' �� emvezde

� � j � � �d��'Y� * por havermosusado !�q�� * emvezdovalorexatodaposicaodomaximonografico.

Da figuravemosquea intensidadel m

do maximocen-tral vale

l m �TJ mW/cm3 , demodoquea intensidadel

dafranjacom �Z�� e dadapor

l � l m U �� 3h� V f senee g 3 � U J V U � V f sen��KJPI�J�Y�J�IHJ g 3� * �KJ mW/cm3 ;

queconcordacomo quea Fig. 37.36mostra.

Analogamente,para � � � a figura nos diz que q��$� * , de modo que e�� * J � , [� � � ��nY�� ,�� ] e

l �� I � mW/cm3 , tambem de acordocoma Fig. 37.36.



37.6 Redesdedifrac ao

E 37-33 (41-43/4�

edicao)

Uma redede difracao com �� mm de largura possui� �� ranhuras. (a) Calculea distancia r entreranhu-rasvizinhas.(b) Paraqueangulos ocorreraomaximosdeintensidadeemumateladeobservacaosea radiacaoincidentenaredededifracao tiver um comprimentodeondade

* I�n nm?� (a)

r�� S�� mm � � � �� ( m �(b) Para determinaras posicoes dos maximos de in-tensidadeusamosa formula r sen F��4� , determi-nandotodosos valoresde � queproduzemvaloresde� � � �N��r|BT� . Explicitamente,encontramos

para�Z��!� ��<� para�Z�u�� sen# ,~� �r� sen# ,~� �� * I�n� � � � � �L�� para�Z�T�� sen# , � � U �Y� * I�n V� � � � � ��KJ para�Z� � � �� sen# ,~� � U �Y� * I�n V� � � � � � �$�� para�Z�<'�� sen# ,~� ' U �Y� * I�n V� � � � � ' * para�Z� * � �� sen# , � * U �Y� * I�n V� � � � � � �$��

Para �� obtemos� � � �&�PrT �� , indicandoqueos

maximosacimasaotodosospossıveis.

E 37-37 (41-49/4�

edicao)

Uma luz de comprimentode ondade� �� nm incide

normalmente(perpendicularmente!!)em umaredededifracao. Dois maximosdedifracaosaoobservadosemangulosdadospor sen S�� e sen D�� . Osmaximosde quartaordemestao ausentes.(a) Qual e adistanciaentreranhurasvizinhas? (b) Qual e a menorlargurapossıvel destaredededifracao?(c) Queordensde maximosde intensidadesao produzidaspela rede,supondoqueosparametrosdaredesejamoscalculadosnositens(a)e (b)?� (a) Os maximosde um padrao de interferenciadeduasfendasocorremparaangulos dadospor r sen A�� , onde r e a separaçaodasfendas,� o comprimento

de onda,e � em inteiro. As duaslinhassao adjacen-tes,demodoquesuasordensdiferemdeumaunidade.Seja � a ordemda linha com sen ��Z�� e �Z/2� aordemda linha comsen 4�� . Entao �Y� ��r4�� e�Y� � r0� U �¡/�� V � . Subtraindoambasequaçoesencon-tramos��d�"r�� , ou

r�� d� �� "� #&%��d� � � ( m �

(b) Mınimosdeum padraodedifracaopor fendaunicaocorremparaangulosdadospor � sen ~�T�4� , onde �e a largurada fenda. Comoo maximode interferenciadequartaordemencontra-seausente,eledevecair numdestesangulos.Se� e a menorlargurada fendaparaaqual estaordemestaausente,o angulodeve ser dadopor � sen A�� , sendotambemdadapor r sen ��S'H� ,demodoque

�� r' �� "�$#&X' �2�� * ( m �

(c) Primeiro,coloque p�Zn��H paraencontraro maiorvalorde � parao qual ��4B�r sen . Estaeamaioror-demdifratadanatela. A condicaoequivalea ��BTr$��e como r��-� U �0 �"�$#&X V � U � �� "��#N% V �¢�L� , a or-demmaisalta quesepodever e ��yn . A quartaea oitava ordemestao ausentes,de modoqueasordensobservaveissaoosordens

�¢�<� ; � ; � ; � ; * ; � ; J ; n��37.7 Redesde difrac ao: dispersao e reso-

lucao

E 37-47 (41-62/4�

edicao)

Uma fonte contendouma mistura de atomosde hi-drogenioe deuterio emiteluz vermelhacomdoiscom-primentos de onda cuja media e

�H*�� nm e cujaseparaçao e ��d�"I nm. Determineo numeromınimo deranhurasnecessariasparaqueumaredededifracaopos-saresolverestaslinhasemprimeiraordem.� Seagradeapenasconsegueresolverdoiscomprimen-tosdeondacujamediae � ecujaseparaçaoe 1�� , entaoseupoderderesolucaoedefinido(vejaEq.37.28)comosendo£2��&��1�� . Sabemos(Eq.37.29)que £��¤�� ,onde ¤ e a quantidadederanhurase � e a ordemdaslinhas.Portanto�N��1��C�<¤�� , dondetiramos

¤�� 1�� H*�� U � V U ��d�"I V � ��* � ranhuras�



E 37-48 (41-61/4�

edicao)

Umaredededifracaotem� �� ranhuras/mme

*mm de

largura. (a) Qual e o menorintervalo decomprimentosde ondaquea redee capazde resolver em terceiraor-dempara �<� * �� nm? (b) Quantasordensacimadaterceirapodemserobservadas?� (a) Usandoo fatoque �&��1��C��¤�� , obtemos

1!�0� �¤�� * �� "�$#&%U � V U � �� V U * V � *�* � *� �L� # ,�3 m �(b) A posicaodosmaximosnumaredededifracaoede-finidapelaformula

r sen ��S�4� ;deondeobtemosque

sen �� r �Naoobservarmosdifracaodeordem� equivalea dizerqueparatal � obtemos ��Sn�� , ouseja,quetemos

sen n�� w � max�r �Isolando-se� max, esubstituindoosdadosdoproblemaemquestaoencontramosque

� max � r� � �"�$#&t"� � ��* �� "� #N% � � � � �Tal resultadonosdiz queamaiorordemobservavelcomtal gradeeaterceira,poisestaeaultimaordemquepro-duzumvalorfisicamentesignificativo de .Portanto,naosepodeobservar nenhumaordemsupe-rior a terceiracomtal grade.

37.8 Difrac aoderaios-X

E 37-53 (41-70/4�

edicao)

RaiosX de comprimentode ondade ��d�L� nm sofremreflexaodesegundaordememum cristaldefluoretodelıtio paraumangulodeBraggde ��I� . Qualeadistanciainterplanardosplanoscristalinosresponsaveispelare-flexao?

� A lei de Bragg fornece a condicao de maximo,Eq.37.31,comosendo

��r sen ��D�� ;onde r e o espac¸amentodosplanosdo cristal e � e ocomprimentode onda. O anguloe medidoa partir danormalaosplanos.Parareflexaodesegundaordemusa-mos �Z�� , encontrando

r�� sen �U � V U �Y�k�`� �"��#N% V� sen ��I �S�� nm�

P 37-60 (41-80/4�

edicao)

Na Fig. 37.40,um feixe deraiosX decomprimentodeonda��d�L� * nmincideemumcristaldeNaCla ' * coma facesuperiordo cristal e comumafamılia de planosrefletores.O espac¸amentoentreosplanosrefletoreseder0�2�� * � nm. De queanguloo cristaldeve sergiradoemtornodeumeixoperpendicularmenteaoeixodopa-pel paraqueestesplanosrefletoresproduzammaximosdeintensidadeemsuasreflexoes?� Os angulosde incidencia que correspondema in-tesidademaxima do feixe de luz refletida satisfazem��r sen E�<�� , ou

sen �� r � �U ��d�L� * V� U �� * � V � �'[� � � � �

Comoe precisoter�sen � Bu� , vemosqueosvalores

permitidosde � sao

�Z�u� ; � ; � ; ' ;aosquaiscorrespondemosangulos

A�2�"'Y� ' ; ��n��KJ ; '�IY�k� ; I�� I �Portantoo cristaldevesergiradono

sentidoanti-horariode � '�IY�k� ? ' * � � �d� ;I�� I ? ' * � � J$� I ;sentidohorariode � ' * ? ��'[� ' � � �Y� � ;' * ? ��nY�J �� * � � �









Conteudo

37 Relatividade 237.1 A relatividadedo tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 A relatividadedasdistancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Algumasconsequenciasdasequac¸oesdeLorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.4 A relatividadedasvelocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.5 O efeitoDopplerparaa luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.6 Umanova interpretac¸aodaenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5


(listaq3.tex)



37 Relatividade

37.1 A relatividadedo tempo

E 38-3 (42-5/4�

edicao)

O tempomediodevidademuonsestacionariose��

s.O tempomedio de vida dosmuonsde alta velocidadeproduzidospelosraioscosmicose �� s no referencialdaTerra.DetermineavelocidadeemrelacaoaTerradosmuonsproduzidospelosraioscosmicos. Usamo a equaçao da dilatacao temporal � �� , onde � �� e o intervalo de tempoproprio, � �� , e ��! . Portanto,�"�#� �"�� deondetiramosque�$� % ��'& �"� ��"�)( � �O intervalo de tempoproprio e medidopor um relogioemrepousoemrelacaoaomuon.Ouseja,�"� � � �� *� se � �+�,�� s. Istonosforneceentao��,- �� & �� !�� ( � �/. � 0102�Portantoa velocidadedomuone 3�� 3��. � 040 5�768. � 04049 68:<;=�>.1? 9 ��:@;��.4? m/s

�37.2 A relatividadedasdistancias

E 38-11 (42-13/4�

edicao)

Umaespaçonavecujocomprimentoderepousoe �:4. mpassaporumabaseespacialaumavelocidadede . �BA�C .(a) Quale o comprimentodanave no referencialdaba-se?(b) Quale o intervalodetemporegistradopelostri-pulantesdabaseentreapassagemdaproaeapassagemdapopadaespaçonave? (a) O comprimentode repouso D+�E�F�:4. m daespaçonave e seu comprimento D medido pela baseestaorelacionadosatravesdarelacaoDG� D �� /D+� � �� 4H

onde� �'�I� � ��=� � , e ��J��I . PortantoDK�76L�>:1. 9 � ��M68. �NAICO9 � �/P A�� C m�

(b) O intervalodetempoparaapassagemdaespaçonavee �"��Q� D � � P A�� C68. �NAICO9 6R:<;=�>. ? 9 �/: � 0!C ;��.�SUT s

�P 38-12 (42-16/4

�edicao)

(a) Uma pessoaseriacapaz,emprincıpio, deviajar daTerraate o centrodagalaxia(queesta a cercade

� :1.4.1.anos-luzde distancia)em um tempode vida normal?Expliqueporque,levandoemcontaadilatacaodostem-posou a contracao dasdistancias. (b) Com quevelo-cidadeconstantea pessoateria queviajar parafazeraviagemem :1. anos(tempoproprio)? (a) Em princıpio sim. Sea pessoamover-sesuficien-tementerapido,pelo argumentoda dilatacao temporal,seutempodeviagemmedidonaTerraemuitomaiordoque um tempode vida usual. Por outro lado, usandoo argumentodacontracaodo comprimento,a distanciaquea pessoanecessitapercorrer(medidaem relacao asuaespaçonave) e muito menordo que

� :1.4.1. anos-luz.Deambosmodos,concluimosqueepossıvel paraapes-soaalcancar o centroda galaxiano perıodo normaldeduracaodeumavidahumana.(b) Sabemosque �<� D� �� D ��"� Honde o subındice . indica tempo e comprimentosproprios(quenaosaomedidosnomesmosistemadere-ferenciainercial!), ou seja D � � � :1.1.4.+ e �"� � �V:4.anos.Sabemostambemque �"�W� � � � � , demodoque�@� D ��"� � �� Substituindoosdadosobtemos�@� � :4.1.1.# :4. % �� Hou,equivalentemente,� � � � � :1.4. �: � & �� ( �



Destaexpressaoobtemosque� � - ��X Y[Z� Y �[� Z� % \ �!0 .1.1.4.\ �!0 .1.1. 0� . � 01040101040 � CO0 :4: 0WC \ 04A!�4A : A P \ 0IC<�]��]�Estee o resultadodasolucaoexatadoproblema. E possıvel obter-seumarespostaaproximadaaopro-blemaque,porem,jamaisdevera seraceitacomosubs-titutivo para o resultadoexatoacima.Comomostradonoexercıcio 38-3acima,temos�$� % ��'& �"� ��"� ( � �O enunciadodo problemanosdiz que �"��^�_:1. anos.Sesoubessemoso valor de � � , bastariasubstitui-lonaformula acima para determinar � , i.e. a relacao en-tre � e . Determinar � � exatamentefoi o que fize-mosacima,ao resolver o problemacorretamente,semaproximac¸oes.Podemosobterumaaproximacao do resultadosesupu-sermosqueavelocidadedesconhecidadanavepodesertomadacomosendoa velocidadeda luz. Tal hipotese(incorreta!)nosinduza considerar�"�5` � :1.1.4. e,por-tanto,obterdaformulaacimaque�� % �� & :1.� :1.1.4. ( �� % \ � P 01040 �\ �!0 .1.4.1.� . � 01040104010 � C40 :4:1P+.�� C3��a�L�A diferenca aparecena � �1� casadecimal.Masisto ja eumadiferenca grandeem tratando-sedavelocidadedaluz.Problema:determineexplicitamentea expressao exatade �"� quenospermiteobtera respostacorretapartindodarelacao �$� % �� & �"� ��"� ( � �Problema: usandoo teoremada expansao binomial(ApendiceE):6L��XKb 9dc �'��X,e b�1f X'e 6 e �g� 9 b �� f X ��]� H

valido quandob ��h � , (a) percebaa relacao entreovalor exato e o valor aproximadoacimaderivados(b)mostrequea aproximac¸aoseguintefornece-nos� � % �OAI0 P C . \ � : 0 .4.1P��OAI0 P C �>.1.1.4.1.4.1.!.� . � 01010401040 � CO0 :1: 0*C \ 0iAI�!0 P C .!P4: �5�]��L�P 38-13 (42-14/4

�edicao)

Um astronautaparteda Terrae viaja com umaveloci-dadede . � 040 emdirecao a estrelaVega,queesta a

� �anos-luzde distancia. Quantotempotera passado,deacordocom os relogiosda Terra? (a) quandoo astro-nautachegara Vega e (b) quandoos observadorester-restresreceberema notıcia dequeo astronautachegouaVega?(c) Qualea diferenca entreo tempodeviagemdeacordocomosrelogiosdaTerraeo tempodeviagemdeacordocomo relogiodebordo? (a) A distanciaentrea Terrae Vegae D � � � � anos-luz. Portanto� �#� D �� anos . � 040 � � � �N� � anos

�(b) Supondoque“asnotıcias”sejamondasderadio,queviajamcomavelocidade daluz,elasdemoram

� � anosparaalcancar a Terra. Portantoo tempototal, no refe-rencialdaTerra,e� � �N� �3X � �j� \ �� anos

�(c) O relogio de bordomedeo tempoproprio � � � ��"�k� � , onde� �'�I�1l ��. � 040 � � Ai� . 0 . Portanto,�"� � � � � �N� �Ai� . 0 �/: �BA anos

�A diferenca e que enquanto no relogio da Terrapassaram-se

\ �� anos,no relogiodebordopassaram-seapenas: �BA anos.

Percebaclaramentequea palavra “diferenca”, no item(c) doenunciadodoproblema,demodoalgumpedepa-ra fazermosalgumasubtracao entreos dois intervalosdetempo,coisaquenaotemsentidofazer-se.



37.3 AlgumasconsequenciasdasequacoesdeLorentz

E 38-17 (42-20/4�

edicao)

Um experimentador dispara simultaneamenteduaslampadasdeflash,produzindoumgrandeclaraonaori-gemde seureferenciale um pequenoclarao no pontobK�7:4. km. Um observadorqueesta semovendocomumavelocidadede . �N� \ no sentidopositivo do eixo btambem observa os claroes. (a) Qual e o intervalo detempoentreosdois claroes,deacordocomo observa-dor? (b) De acordocom o observador, qual dos doisclaroesocorreuprimeiro? (a) Suponhao primeiro flash em repousono re-ferencial m e chamede mon o referencialde repousodo segundoobservador. Os relogios de nenhumdes-tes referenciaismedemo intervalo de tempo proprioentre os flashes,de modo que precisamosusar umatransformaçaodeLorentzcompleta.Usamosflashesco-loridos parafixar ideias. Seja � � o tempoe b � a coor-denadado flash azul, como medidono referencial m .Nestecaso,o tempodoflashazulmedidonoreferencialmon e � n � � � &a� � � �pb � V( Honde�$��I ��. � � \ e� � �� =�� q6R. �N� \ 9 � �'� � .4: �OAI0��Analogamente,seja �Lr o tempoe bsr a coordenadadoflashverde,comomedidono referencialm . Nestecaso,o tempodoflashverdemedidono referencialmon e� nr � � & �Lrt� �pbsr ( �Agora,subtraiaa primeiratransformaçaodeLorentzdasegunda. Comoos flashesdisparam simultaneamente,temos � � �u� r . Seja � b��ub r �qb � �V:4. km e seja�"�LnU��Lnr ��Ln� . Entao�"� n �'� � �v� b � � 6L� � .1: �4A!049 6R. �N� \ 9 68:4.j;��. Y 9:@;��. ?� � �� \ P<;��.�SUw s

�(b) Como �"�Ln e negativo, �Ln� e maiordo que �Lnr . O flashverdedisparaantesno referencialmon .

37.4 A relatividadedasvelocidades

E 38-24 (42-29/4�

edicao)

A partir demedidasdo deslocamentoparao vermelho,os astronomoschegarama conclusao de queum certoquasarx y esta se afastandoda Terra a umavelocida-de de . � P1 . O quasarx � , queesta na mesmadirecaoque x y , masseencontramaisproximodaTerra,esta seafastandoa umavelocidadede . � C . Qualseriaa velo-cidadedeafastamentode x � medidaporumobservadorlocalizadoem x y ? Chamede z o referencialfixo naTerraede z n o refe-rencialfixo no quasarx y , movendo-secomvelocidade��{. � P1 em relacao a Terra. Desejamosencontraravelocidade|}n noreferencialz+n , fixo em x y , quecorres-pondaa umavelocidade|~��. � C em relacao a Terra(velocidadeestaque,e claro,vema sera velocidadedoquasarx � comomedidanaTerra).Portanto,usando-sea transformaçao INVERSA da Eq. 38.28,vemosque avelocidade|}n de x � medidaem x"y e| n � |��O|��! a� � . � C 5��. � P4 ��M68. � P4 9 6R. � C 9 �I a�� 3. � \ P1P+ Hondeo sinalnegativo indicaque x � estaafastando-sedex"y (i.e.movendo-seemdirecaoa Terra).

NOTA: leia o livro-texto e aprendacomo, a partir daEq. 38.28,obtera expressaoda transformaçao INVER-SA, acimausada.

37.5 O efeitoDoppler para a luz

P 38-31 (42-36/4�

edicao)

Uma espaçonave esta seafastandoda Terraa umave-locidadede . � � . Umafonteluminosanapopadanavepareceazul( �� C \ . nm) paraospassageiros.Quecorteriaa fonteparaum observadorterrestrequeestivesseassistindoa partidadanave? Comoa espaçonave esta seafastandodaTerratemosque,deacordocomaEq.38-30,� � � � - ��=��X�� Honde

� � e a frequenciano referencialda espaçonave,��! , e � e avelocidadedaespaçonaveemrelacaoa



Terra.A frequenciaeo comprimentodeondaobedecemarelacao

� �� , demodoquese � � for o comprimentodeondavisto naespac¸onave e � o comprimentodetec-tadonaTerra,entao

� � � � � � � , deondetiramosque��~� � � �� - ��XK�� 6 C \ . 9 % ��XG. �N��. �N�� \1\ . nm�

Este comprimentode onda correspondea uma coramarelo-esverdeadanoespectrovisıvel.

37.6 Uma nova interpretacaoda energia

P 38-38 (42-46/4�

edicao)

Qual e o trabalhonecessario parafazera velocidadedeum eletron aumentar(a) de . � �>P1 para . � � 0 e (b) de. � 0 P4 para . � 010 ? Observe queo aumentodevelocida-dee o mesmo( . � .�� ) nosdoiscasos. (a) O trabalhoe dado pela diferenca das energiascineticas calculadaspara cada uma das velocidadesmencionadas.DaEq.38.49sabemosque�� 6 � �� 9 . Portanto,� � � �� & �l ��. � � 0 � � �l ��. � �P4� (� �� 6L� � .2�P1�Q�q� � .��4� 9 ��. � .4. � �� (b) �� & �l ��. � 040 � � �l ��. � 0 P � (� �� 6 A�� .4P1P1P�� \ � . � \ �19 � �� .4�1:4�W�� Vemosclaramenteque

� � ��.1:2� � P � � . Ou seja,quandoestivermosandandocomvelocidadesmaisele-vadas,custabemmaismudaravelocidadedeumames-maquantidade( . � .2� noproblemaemquestao).

P 38-44 (42-55/4�

edicao)

O tempodevidamediodosmuonsemrepousoe�� 5�

s.As medidasdos muonsproduzidosem um aceleradorde partıculasmostramqueelestem um tempode vidade � � 0�� s. Determine(a) a velocidade,(b) a energiacineticae (c) o momentodestesmuonsno referencialdo laboratorio. A massadeummuone

� . A vezesmaiorquea doeletron. (a) Da Eq. 38.9vemosqueintervalosmediosde vi-da [ou seja,queo tempodevida media � � emrepousoe � , viajandocomvelocidade� ] estao relacionadosdoseguintemodo: � � �� Portanto,temos�� % �� % ��,& � ��^( �� - �� & ��N�Q� s� � 0�� s ( � �/. � 0!C P �Portanto,a velocidadepedidae �<�/. � 0!C P+ .(b) DaTabela38.3vemosqueaenergiaderepousodumeletronvale

\ �1� keV. Portanto,parao muonaenergiaderepousoe��Q � �76 � . A19 6 \ �1��;=�>. Y 9 � �>. \ �BA ;=�>.1�� >.1� MeV

�Consequentemente,� � 6 � �q� 9 ��t �� & � � 0��N� �g� ( 6L�.4� MeV

9 � �1� � MeV�

(c) DasEqs.38.51e 38.52temosque� � � � � �q68� � � 9 � � � 6R��X�� 9 � �q68��o � 9 � � � 6 �1� ��X��.4� 9 � �g�>.1� � ��:�� C MeV �I �


LISTA 3 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 23deJaneirode2004, as12:07







Conteudo

37 Relatividade 237.1 A relatividadedo tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 A relatividadedasdistancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Algumasconsequenciasdasequac¸oesdeLorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.4 A relatividadedasvelocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.5 O efeitoDopplerparaa luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.6 Umanova interpretac¸aodaenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5


(listaq3.tex)



37 Relatividade

37.1 A relatividadedo tempo

E 38-3 (42-5/4�

edicao)

O tempomediodevidademuonsestacionariose��

s.O tempomedio de vida dosmuonsde alta velocidadeproduzidospelosraioscosmicose �� s no referencialdaTerra.DetermineavelocidadeemrelacaoaTerradosmuonsproduzidospelosraioscosmicos. Usamo a equaçao da dilatacao temporal � �� , onde � �� e o intervalo de tempoproprio, � �� , e ��! . Portanto,�"�#� �"�� deondetiramosque�$� % ��'& �"� ��"�)( � �O intervalo de tempoproprio e medidopor um relogioemrepousoemrelacaoaomuon.Ouseja,�"� � � �� *� se � �+�,�� s. Istonosforneceentao��,- �� & �� !�� ( � �/. � 0102�Portantoa velocidadedomuone 3�� 3��. � 040 5�768. � 04049 68:<;=�>.1? 9 ��:@;��.4? m/s

�37.2 A relatividadedasdistancias

E 38-11 (42-13/4�

edicao)

Umaespaçonavecujocomprimentoderepousoe �:4. mpassaporumabaseespacialaumavelocidadede . �BA�C .(a) Quale o comprimentodanave no referencialdaba-se?(b) Quale o intervalodetemporegistradopelostri-pulantesdabaseentreapassagemdaproaeapassagemdapopadaespaçonave? (a) O comprimentode repouso D+�E�F�:4. m daespaçonave e seu comprimento D medido pela baseestaorelacionadosatravesdarelacaoDG� D �� /D+� � �� 4H

onde� �'�I� � ��=� � , e ��J��I . PortantoDK�76L�>:1. 9 � ��M68. �NAICO9 � �/P A�� C m�

(b) O intervalodetempoparaapassagemdaespaçonavee �"��Q� D � � P A�� C68. �NAICO9 6R:<;=�>. ? 9 �/: � 0!C ;��.�SUT s

�P 38-12 (42-16/4

�edicao)

(a) Uma pessoaseriacapaz,emprincıpio, deviajar daTerraate o centrodagalaxia(queesta a cercade

� :1.4.1.anos-luzde distancia)em um tempode vida normal?Expliqueporque,levandoemcontaadilatacaodostem-posou a contracao dasdistancias. (b) Com quevelo-cidadeconstantea pessoateria queviajar parafazeraviagemem :1. anos(tempoproprio)? (a) Em princıpio sim. Sea pessoamover-sesuficien-tementerapido,pelo argumentoda dilatacao temporal,seutempodeviagemmedidonaTerraemuitomaiordoque um tempode vida usual. Por outro lado, usandoo argumentodacontracaodo comprimento,a distanciaquea pessoanecessitapercorrer(medidaem relacao asuaespaçonave) e muito menordo que

� :1.4.1. anos-luz.Deambosmodos,concluimosqueepossıvel paraapes-soaalcancar o centroda galaxiano perıodo normaldeduracaodeumavidahumana.(b) Sabemosque �<� D� �� D ��"� Honde o subındice . indica tempo e comprimentosproprios(quenaosaomedidosnomesmosistemadere-ferenciainercial!), ou seja D � � � :1.1.4.+ e �"� � �V:4.anos.Sabemostambemque �"�W� � � � � , demodoque�@� D ��"� � �� Substituindoosdadosobtemos�@� � :4.1.1.# :4. % �� Hou,equivalentemente,� � � � � :1.4. �: � & �� ( �



Destaexpressaoobtemosque� � - ��X Y[Z� Y �[� Z� % \ �!0 .1.1.4.\ �!0 .1.1. 0� . � 01040101040 � CO0 :4: 0WC \ 04A!�4A : A P \ 0IC<�]��]�Estee o resultadodasolucaoexatadoproblema. E possıvel obter-seumarespostaaproximadaaopro-blemaque,porem,jamaisdevera seraceitacomosubs-titutivo para o resultadoexatoacima.Comomostradonoexercıcio 38-3acima,temos�$� % ��'& �"� ��"� ( � �O enunciadodo problemanosdiz que �"��^�_:1. anos.Sesoubessemoso valor de � � , bastariasubstitui-lonaformula acima para determinar � , i.e. a relacao en-tre � e . Determinar � � exatamentefoi o que fize-mosacima,ao resolver o problemacorretamente,semaproximac¸oes.Podemosobterumaaproximacao do resultadosesupu-sermosqueavelocidadedesconhecidadanavepodesertomadacomosendoa velocidadeda luz. Tal hipotese(incorreta!)nosinduza considerar�"�5` � :1.1.4. e,por-tanto,obterdaformulaacimaque�� % �� & :1.� :1.1.4. ( �� % \ � P 01040 �\ �!0 .1.4.1.� . � 01040104010 � C40 :4:1P+.�� C3��a�L�A diferenca aparecena � �1� casadecimal.Masisto ja eumadiferenca grandeem tratando-sedavelocidadedaluz.Problema:determineexplicitamentea expressao exatade �"� quenospermiteobtera respostacorretapartindodarelacao �$� % �� & �"� ��"� ( � �Problema: usandoo teoremada expansao binomial(ApendiceE):6L��XKb 9dc �'��X,e b�1f X'e 6 e �g� 9 b �� f X ��]� H

valido quandob ��h � , (a) percebaa relacao entreovalor exato e o valor aproximadoacimaderivados(b)mostrequea aproximac¸aoseguintefornece-nos� � % �OAI0 P C . \ � : 0 .4.1P��OAI0 P C �>.1.1.4.1.4.1.!.� . � 01010401040 � CO0 :1: 0*C \ 0iAI�!0 P C .!P4: �5�]��L�P 38-13 (42-14/4

�edicao)

Um astronautaparteda Terrae viaja com umaveloci-dadede . � 040 emdirecao a estrelaVega,queesta a

� �anos-luzde distancia. Quantotempotera passado,deacordocom os relogiosda Terra? (a) quandoo astro-nautachegara Vega e (b) quandoos observadorester-restresreceberema notıcia dequeo astronautachegouaVega?(c) Qualea diferenca entreo tempodeviagemdeacordocomosrelogiosdaTerraeo tempodeviagemdeacordocomo relogiodebordo? (a) A distanciaentrea Terrae Vegae D � � � � anos-luz. Portanto� �#� D �� anos . � 040 � � � �N� � anos

�(b) Supondoque“asnotıcias”sejamondasderadio,queviajamcomavelocidade daluz,elasdemoram

� � anosparaalcancar a Terra. Portantoo tempototal, no refe-rencialdaTerra,e� � �N� �3X � �j� \ �� anos

�(c) O relogio de bordomedeo tempoproprio � � � ��"�k� � , onde� �'�I�1l ��. � 040 � � Ai� . 0 . Portanto,�"� � � � � �N� �Ai� . 0 �/: �BA anos

�A diferenca e que enquanto no relogio da Terrapassaram-se

\ �� anos,no relogiodebordopassaram-seapenas: �BA anos.

Percebaclaramentequea palavra “diferenca”, no item(c) doenunciadodoproblema,demodoalgumpedepa-ra fazermosalgumasubtracao entreos dois intervalosdetempo,coisaquenaotemsentidofazer-se.



37.3 AlgumasconsequenciasdasequacoesdeLorentz

E 38-17 (42-20/4�

edicao)

Um experimentador dispara simultaneamenteduaslampadasdeflash,produzindoumgrandeclaraonaori-gemde seureferenciale um pequenoclarao no pontobK�7:4. km. Um observadorqueesta semovendocomumavelocidadede . �N� \ no sentidopositivo do eixo btambem observa os claroes. (a) Qual e o intervalo detempoentreosdois claroes,deacordocomo observa-dor? (b) De acordocom o observador, qual dos doisclaroesocorreuprimeiro? (a) Suponhao primeiro flash em repousono re-ferencial m e chamede mon o referencialde repousodo segundoobservador. Os relogios de nenhumdes-tes referenciaismedemo intervalo de tempo proprioentre os flashes,de modo que precisamosusar umatransformaçaodeLorentzcompleta.Usamosflashesco-loridos parafixar ideias. Seja � � o tempoe b � a coor-denadado flash azul, como medidono referencial m .Nestecaso,o tempodoflashazulmedidonoreferencialmon e � n � � � &a� � � �pb � V( Honde�$��I ��. � � \ e� � �� =�� q6R. �N� \ 9 � �'� � .4: �OAI0��Analogamente,seja �Lr o tempoe bsr a coordenadadoflashverde,comomedidono referencialm . Nestecaso,o tempodoflashverdemedidono referencialmon e� nr � � & �Lrt� �pbsr ( �Agora,subtraiaa primeiratransformaçaodeLorentzdasegunda. Comoos flashesdisparam simultaneamente,temos � � �u� r . Seja � b��ub r �qb � �V:4. km e seja�"�LnU��Lnr ��Ln� . Entao�"� n �'� � �v� b � � 6L� � .1: �4A!049 6R. �N� \ 9 68:4.j;��. Y 9:@;��. ?� � �� \ P<;��.�SUw s

�(b) Como �"�Ln e negativo, �Ln� e maiordo que �Lnr . O flashverdedisparaantesno referencialmon .

37.4 A relatividadedasvelocidades

E 38-24 (42-29/4�

edicao)

A partir demedidasdo deslocamentoparao vermelho,os astronomoschegarama conclusao de queum certoquasarx y esta se afastandoda Terra a umavelocida-de de . � P1 . O quasarx � , queesta na mesmadirecaoque x y , masseencontramaisproximodaTerra,esta seafastandoa umavelocidadede . � C . Qualseriaa velo-cidadedeafastamentode x � medidaporumobservadorlocalizadoem x y ? Chamede z o referencialfixo naTerraede z n o refe-rencialfixo no quasarx y , movendo-secomvelocidade��{. � P1 em relacao a Terra. Desejamosencontraravelocidade|}n noreferencialz+n , fixo em x y , quecorres-pondaa umavelocidade|~��. � C em relacao a Terra(velocidadeestaque,e claro,vema sera velocidadedoquasarx � comomedidanaTerra).Portanto,usando-sea transformaçao INVERSA da Eq. 38.28,vemosque avelocidade|}n de x � medidaem x"y e| n � |��O|��! a� � . � C 5��. � P4 ��M68. � P4 9 6R. � C 9 �I a�� 3. � \ P1P+ Hondeo sinalnegativo indicaque x � estaafastando-sedex"y (i.e.movendo-seemdirecaoa Terra).

NOTA: leia o livro-texto e aprendacomo, a partir daEq. 38.28,obtera expressaoda transformaçao INVER-SA, acimausada.

37.5 O efeitoDoppler para a luz

P 38-31 (42-36/4�

edicao)

Uma espaçonave esta seafastandoda Terraa umave-locidadede . � � . Umafonteluminosanapopadanavepareceazul( �� C \ . nm) paraospassageiros.Quecorteriaa fonteparaum observadorterrestrequeestivesseassistindoa partidadanave? Comoa espaçonave esta seafastandodaTerratemosque,deacordocomaEq.38-30,� � � � - ��=��X�� Honde

� � e a frequenciano referencialda espaçonave,��! , e � e avelocidadedaespaçonaveemrelacaoa



Terra.A frequenciaeo comprimentodeondaobedecemarelacao

� �� , demodoquese � � for o comprimentodeondavisto naespac¸onave e � o comprimentodetec-tadonaTerra,entao

� � � � � � � , deondetiramosque��~� � � �� - ��XK�� 6 C \ . 9 % ��XG. �N��. �N�� \1\ . nm�

Este comprimentode onda correspondea uma coramarelo-esverdeadanoespectrovisıvel.

37.6 Uma nova interpretacaoda energia

P 38-38 (42-46/4�

edicao)

Qual e o trabalhonecessario parafazera velocidadedeum eletron aumentar(a) de . � �>P1 para . � � 0 e (b) de. � 0 P4 para . � 010 ? Observe queo aumentodevelocida-dee o mesmo( . � .�� ) nosdoiscasos. (a) O trabalhoe dado pela diferenca das energiascineticas calculadaspara cada uma das velocidadesmencionadas.DaEq.38.49sabemosque�� 6 � �� 9 . Portanto,� � � �� & �l ��. � � 0 � � �l ��. � �P4� (� �� 6L� � .2�P1�Q�q� � .��4� 9 ��. � .4. � �� (b) �� & �l ��. � 040 � � �l ��. � 0 P � (� �� 6 A�� .4P1P1P�� \ � . � \ �19 � �� .4�1:4�W�� Vemosclaramenteque

� � ��.1:2� � P � � . Ou seja,quandoestivermosandandocomvelocidadesmaisele-vadas,custabemmaismudaravelocidadedeumames-maquantidade( . � .2� noproblemaemquestao).

P 38-44 (42-55/4�

edicao)

O tempodevidamediodosmuonsemrepousoe�� 5�

s.As medidasdos muonsproduzidosem um aceleradorde partıculasmostramqueelestem um tempode vidade � � 0�� s. Determine(a) a velocidade,(b) a energiacineticae (c) o momentodestesmuonsno referencialdo laboratorio. A massadeummuone

� . A vezesmaiorquea doeletron. (a) Da Eq. 38.9vemosqueintervalosmediosde vi-da [ou seja,queo tempodevida media � � emrepousoe � , viajandocomvelocidade� ] estao relacionadosdoseguintemodo: � � �� Portanto,temos�� % �� % ��,& � ��^( �� - �� & ��N�Q� s� � 0�� s ( � �/. � 0!C P �Portanto,a velocidadepedidae �<�/. � 0!C P+ .(b) DaTabela38.3vemosqueaenergiaderepousodumeletronvale

\ �1� keV. Portanto,parao muonaenergiaderepousoe��Q � �76 � . A19 6 \ �1��;=�>. Y 9 � �>. \ �BA ;=�>.1�� >.1� MeV

�Consequentemente,� � 6 � �q� 9 ��t �� & � � 0��N� �g� ( 6L�.4� MeV

9 � �1� � MeV�

(c) DasEqs.38.51e 38.52temosque� � � � � �q68� � � 9 � � � 6R��X�� 9 � �q68��o � 9 � � � 6 �1� ��X��.4� 9 � �g�>.1� � ��:�� C MeV �I �


exercícios resolvidos-halliday 4

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