trigonometria exercícios resolvidos
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�
Resolução das atividades complementares
MatemáticaM1 — Trigonometria no ciclo p. 7
1
1 Expresse:a) 45°emradianos c) 225°emradianos e) 11
12p rademgraus
b) 330°emradianos d)p3 rademgraus f) 33
24p rademgraus
p4
rad
116
radp
54
radp
60°
165°
247°30’
Resolução:a) 180° prad 45° x
180 45°45° x
°180° 4
rad5 5?
5p → p → px x
b) 180° prad 330° x
180 330°330° x
°180°
116
rad5 5?
5p → p → px x
c) 180° prad 225° x
180°225° x
225°180°
54
rad5 5?
5p → p → px x
d) 180° prad
x p3
rad
180°x
3
x 180°3
60°5 5 ? 5pp
→ p p → x
e) 180° prad
x 11p12
rad
180°x 11
12
x 180° 1112
165°5 5 ? 5pp
→ p p → x
f) 180° prad
x 33p24
rad
180°x 33
24
x 180° 3324
247,5° 247° 305 5 ? 5 5pp
→ p p → x ’’
�
4 Determineocomprimentodeumarcodeângulocentral85°,cujoraiodacircunferênciaé5cm.Usep53,14.
3 Umarcodecircunferênciamede210°eseucomprimentoé2km.Qualamedidadoraioemmetros?Usep53,14.
2 (Mackenzie-SP)Oponteirodosminutosdeumrelógiomede4cm.Supondop53,adistância,emcentímetros,queaextremidadedesseponteiropercorreem25minutosé:a) 15 c) 20 e) 10b) 12 d) 25
aproximadamente546m
aproximadamente7,41cm
Resolução:Em60minutosoponteirodáumavolta,queéocomprimentodacircunferênciaC52pr,emquep53er54.60’ 2pr25’ x
x x x5?
5? ? ?
52 r 25
60 6010 cmp → →2 3 4 25
Resolução:
a 5rad ,r
,52km52000m180° prad210° x
x
rr
5?
5
5 5?
210 7
7 6 2000
°180° 6
rad
62000
75
p p
p →p
445,9
Amedidadoraioé,aproximadamente,546metros.
Resolução:
a 5rad ,r
r55cm180° prad85° x
x 5?
5
5 5?
85 17
175
5 17
°180° 36
rad
36 367,
p p
p → p, , 441
Ocomprimentodoarcoé,aproximadamente,7,41cm.
�
5 Aomeio-dia,oponteirodosminutosdeumrelógiocoincidecomoponteirodashoras.Aquehorasaconteceapróximacoincidência?
6 Umcircuitodekarttemumapistacircularderaio500m.Umpiloto,paratestarapistaeokart,desenvolveumavelocidadeconstantede80km/h.Determineonúmerodevoltasqueeledeunapista,após15minutos.
7 Anapretendecolocarrendaemtodooperímetrodeumatoalhacircularderaio1m.Quantosmetrosderendaeladevecomprar?
13h5min27s
6,3voltas
6,30m
Resolução:Em3600”,oponteirodashoraspercorre30°,eodosminutos,360°.ponteirodashoras:3600” 30° x a
a 5 x120
(I)
ponteirodosminutos:3600” 360° x 360°1a
x x5? 1 a
5 ? 1 a3600 360 10 360( ) ( )
360(II)→
Substituindo(I)em(II),temos:
x x x x x5 ? 1 5 1 2 510 360012
3600
1
360120
10x120( ) → → →
→ 2212
3600 3927x x x25 5 5
5
→ →11x 43200 ”
392760
65’ 27”” 1h 5’ 27”5
Portanto,apróximacoincidênciaaconteceráàs13h5min27s.
Resolução:C52pr52 ? 3,14 ? 500→C53140m
Comoavelocidadeé80km/h,em15minutoseleandou 804
5 520 km 20000 m.
númerodevoltas5 20 0003 140
6,35
Após15minutos,opilotodeu6,3voltasnapista.
Resolução:C52pr52 ? 3,14 ? 1→C56,28mEladevecomprar6,30metrosderenda.
�
9 (Unesp-SP)Emumjogoeletrônico,o“monstro”temaformadeumsetorcircularderaio1cm,comomostraafigura.Apartequefaltanocírculoéabocado“monstro”,eoângulodeaberturamede1rad.Operímetrodo“monstro”,emcentímetros,é:a) p21 c) 2p21 e) 2p11b) p11 d) 2p
8 ConsiderandooraiodaTerraiguala6370km,qualamedidadocomprimentodalinhadoequador?aproximadamente40003,6km
Resolução:C52pr52 ? 3,14 ? 6370→C540003,6kmAlinhadoequadortem,aproximadamente,40003,6km.
Resolução:
OcomprimentodoarcomenorAB�é1cm.Operímetrodo“monstro”ép52pr21111152p11.
1 cm
O
A
B
1 rad 1 rad (1 cm)
�
10 Calculeomenorânguloformadopelosponteirosdeumrelógioqueestáassinalando:a) 2hb) 2h15minc) 2h50min
60°22°30’145°
Resolução:a) 2h
Em60’oponteirodosminutospercorre360°,eoponteirodashoras,30°.Então,às2horas,omenorânguloformadoé2 ? 30°560°.
b) 2h15min
Em60’oponteirodashoraspercorre30°;em15’,percorrerá: 60’ 30° 15’ a
a 5
?a 5
15 3060
→ 7° 30
530°2a530°27°30’→522°30’
c) 2h50min
Em60’oponteirodashoraspercorre30°;em50’,percorrerá: 60’ 30° 50’ a
a 5
?a 5
50 3060
→ 25°
5120°1a5120°125°→5145°
121
2
11
10
6
9 3
4
5
8
7
121
2
11
10
6
9 3
4
5
8
7
�
�
121
2
11
10
6
9 3
4
5
8
7
��
�
12 Umgrado(1gr)éumângulocentralquedeterminanacircunferênciaumarcodecomprimento
iguala 1400
dacircunferência.Quantosradianostemumângulode50gr?
13 Umciclistaleva5minutosparadarumavoltanumapistacircularderaio150m.Qualocomprimentodapistaequalavelocidadedociclistaemmetrosporminuto?
11 Nafiguraabaixo,osarcos AMB ADC e CEB� � �, têm,respectivamente,raios30cm,10cme20cm.Determineoscomprimentosdessesarcos.Oquepodemosconcluir?
942mev560pm/min
AMB 94,2 cm; ADC 31,4 cm e
CEB 62,8 cm
� �
�5 5
5
Resolução:
arco AMB 2 r2
3,14 94,2 cm� 5 5? ?
5p 2 302
aarco ADC 2 r2
3,14 31,4 cm
arco CEB
�
�
5 5? ?
5p 2 102
55 5? ?
52 r2
3,14 62,8 cm
Podemos concluir q
p 2 202
uue AMB ADC CEB� � �5 1 .
p4
rad
Resolução:2prad 400gr x 50gr
x x5?
550 2
400 4radp → p
Resolução:C52pr52 ? 3,14 ? 150→C5942m
v s v5 5 ? 5t
2 60 m/minp → p1505
�
p. 10
15 Determineasmedidasdex,emradianos,associadasaoarcode p8 nastrêsprimeirasvoltas
negativas.
14 Determineasmedidasdex,emgraus,associadasaoarcoea45°,nasquatroprimeirasvoltaspositivas.
16 Construaumciclotrigonométricoemarqueospontoscorrespondentesa:
03 3 3 3
;3
; 23
; 3 ; 4 ; 5 ; 6 2 .p p p p p p p p5 5
a) Qualéosimétricodep3 emrelaçãoàorigem?
b) Qualéosimétricode 43p emrelaçãoaoeixodasordenadas?
45°,405°,765°,1125°
Resolução:x1545°x2545°1360°5405°x3545°1720°5765°x4545°11080°51125°
2 2 2p p p8
, 178
, 338
Resolução:
x8
x8
2 178
x8
4 3
1
2
3
5 2
5 2 2 5 2
5 2 2 5 2
p
p p p
p p 338p
Resolução:
a) Osimétricode p3
emrelaçãoàorigemé 43p .
b) Osimétricode 43p emrelaçãoaoeixodasordenadasé 5
3p .
43p
53p
B
E
A
C
F
0 m 2π
2π3
π3
π
4π3
5π3
D
�
17 Sejaoarcodeexpressãogeral:a 5 1p p4
2k ,kB.a) Qualovalordaexpressãoparak50? b) Qualovalordaexpressãoparak57?
18 a) Escrevaemgrausaexpressãogeraldosarcosde20°.b) Qualéaimagemdoarcosek522?
19 Emquequadranteseencontraaextremidadedosarcosde:a) 21690°b) 2490°
c) 3238
p
Resolução:a) a520°1360°k,kBb) a520°1360° ? (22)52700°
a 5 p4
a 5 574p
Resolução:
a 5 1
5 a 5
5 a 5
p p
→ p
→ p
42k , Z
a) k4
b) k4
k ⁄
0
7 11 ? ? 52 574
7 p p
a520°1360°k,kBa52700°
Resolução:a) 21690°5(24)?360°2250°→aprimeiradeterminaçãoéiguala2250°,queseencontrano
2oquadrante.b) 2490°5(6)?360°1330°→aprimeiradeterminaçãoéiguala330°,queseencontrano
4oquadrante.
c) 3238
(20) 2 38
p p p5 ? 1 →aprimeiradeterminaçãoé 38p ,queseencontrano1oquadrante.
2oquadrante4oquadrante
1oquadrante
�
20 Descubraaprimeiradeterminaçãopositivaeescrevaaexpressãogeraldosarcoscongruentesaoarcode2310°.
21 Determineoraiodocírculopercorridoporumponto,sabendoqueemumavoltaemeiapercorreuumadistânciade9,420km.
22 DetermineamedidadosarcosAB e AC� �,emradianos,sabendoqueestãoorientadosnosentidohorário.
a5150°ea5150°1360°k,kB
1km
med (AB) 116
e med (AC) 56
� �5 2 5 2p p
Resolução:2310
150
° 360°
° 6
2310°5(6) ? 360°1150°Aprimeiradeterminaçãoé150°.a5150°1360°k,kB
Resolução:umavoltaemeia52pr1pr53pr59420
r 9 4203,14
1 000 m 1 km5?
5 53
→ r
Resolução:prad 180° x 30°
x 306
rad5 5p → p180
x
Observandoosentidohoráriodosarcos,temos:
med (AB) 26
116
med (AC)6
56
�
�
5 2 1 5 2
5 2 1 5 2
p p p
p p p
�0
p. 11
23 Nasfigurasaseguir,determineemgrausosarcosAB, AC, AD e AE.� � � �
a)
b)
med (AB) °
med (AC) °
med (AD °
me
�
�
�
5
5
5
38
142
218)
dd (AE) °� 5 322
med (AB) °
med (AC) °
med (AD) 202°
me
�
�
�
5
5
5
22
158
dd (AE) °� 5 338
Resolução:
a) med (AB) °
med (AC) ° °
�
�5
5 2
38
180 38 55
5 1 5
5
142
180 38 218
°
med (AD ° ° °
med (AE) 360°
�
�)
22 5
5 2 5
38 322
2 180 22
° °
b) med (AB) 02° ° °
med (AC
�
�)) ° ° °
med (AD ° ° °
med
5 2 5
5 1 5
180 22 158
180 22 202�)
((AE) 360° ° °� 5 2 522 338
��
24 Ospolígonosaseguirsãoquadrados.Determineemradianososarcoscorrespondentesaosvértices.a)
b)
med (AB)2
med (AC)
med (AD)2
�
�
�
5
5
5
p
pp3
med (AB)4
med (AC)4
med (AD)4
med (
�
�
�
5
5
5
p
p
p
3
5
AAE)4
� 5 7p
Resolução:
a) AB�éumarcode90°,equivalentea p2
rad;então:
med (AB)2
med (AC)2 2
med (AD)2
�
�
�
5
5 1 5
5 1
p
p p p
p p 55 32p
b) BDeCEsãodiagonaisdoquadrado;portanto,oarcoAB�mede45°eosarcosBC, CD e DE� � �são
arcosde90°ou p2
rad.Assim:
med (AB)4
med (AC)4 2
34
med (AD)4
�
�
�
5
5 1 5
5
p
p p p
p 11 5
5 1 ? 5
p p
p p p
54
med (AE)4
32
74
�
��
p. 16
25 Associeosvaloresdasegundacolunaaosvaloresdossenosdaprimeiracoluna:a) sen270° 1. 0
b) cos315° 2.2 32
c) cos 56p 3. 21
d) sen 76p 4. 2
2
e) sen2p 5.2 12
f) cos4p 6. 1
a:3,b:4,c:2,d:5,e:1,f:6
Resolução:Observandoociclotrigonométricoabaixocomosânguloseseusrespectivossenosecossenos,temos:
a) sen 270° (3) c) cos 56
(2) e) sen 2 (5 2 5 2 51 32
0p p 11)
b) cos 315° (4) d) sen 76
(5) f) cos 45 5 222
12
p p 55 5cos 2 (6)p 1
��
26 Determineosvaloresde:
a) sen 194p d) sen150° g) cos 3
2p
b) sen675° e) cos 23p h) cos1000p
c) sen5p f) cos1305°
27 Determineovalordaexpressão:A cos 10 sen 152
sen 32
5 1 2 2p p p( ) ( )
Resolução:
a) 194
4 34
sen 194
sen 34
p p p → p p5 1 5 5 22
b) 675°5360°1315°→sen675°5sen315°5222
c) 5p5p14p→sen5p5senp50
d) sen 150°
e) cos 23 2
5
5 2
121p
f) 1305°5(3) ? 360°1225°→cos1305°5cos225°5222
g) cos 32p 5 0
h) 1000p5(500) ? 2p→cos1000p5cos2p51
2 22
12
22
2 22
2 12
0
0
1
21
Resolução:10p5(5) ? 2p→cos10p5cos2p5115
2(3) 2 3
2sen 15
2sen 3
2
sen 32
p p p → p p
p
5 ? 1 5 5 2
2
1
(( )( ) ( )
5 5
5 1 2 2
sen2
A cos 10 sen 152
sen 32
p
p p p
1
55 1 2 2 5 21 1 1 1( )
��
29 Simplifique:A5sen(11p2x)1cos(7p1x),parax3
5 p .
28 Calculesen(260°)ecos(245°).
30 Sea1b5270°ea2b5210°,determineovalordecosa1cosb.
Resolução:
sen(2a)52sena→sen(260°)52sen60°52 32
cos(2a)5cosa→cos(245°)5cos45°522
s ° e ° 22
en ( ) cos ( )2 5 2 2 560 32
45
Resolução:11p5(5) ? 2p1p;7p5(3) ? 2p1p;x 5 p
3
A sen3
cos3
sen 23
cos 43
5 2 1 1 5 1p p p p → p p →( ) ( ) A A 55 2
52
32
12
3 1
→
→ A2
sen ° e cos °( ) ( )2 5 2 2 560 32
45 22
Resolução:
a 1 b 5
a 2 b 5
a 5 a 5
270210
2 480 240
°°
° °
→Substituindoa,temos:a1b5270°→240°1b5270°→b530°
Então:cos240°1cos30°52 1 521
232
3 12
.
3 122
3 122
��
31 Sea51380°,determineovalordesena?cosa.
32 Calculeovalordaexpressão:A sen x cos xsen 9x
515 10 ,parax530°.
33 Sesen 518
a,p 5 qualosinaldea?Qualovalordosen 1318
p emfunçãodea?
Resolução:1380°5(3) ? 360°1300°
sen 300° cos 300°
sen cos
? 5 2 ? 5 2
a ? a 5 2
32
12
34
3
44
2 34
21
Resolução:p 180°518
p x
pp
→p
p→
518
518 °5 5
?5180 180
50x
x x
Portanto,éumângulodoprimeiroquadranteeseusenoépositivo.
Se 1318
518
e sen x sen ( ), então:
se
p p p p5 2 5 2 x
nn 518
sen 518
sen 1318
a
Então, é
p p p p5 2 5 5( )a ppositivo e sen 13
18a.p 5
Resolução:
A 51
5? 1sen 5x cos 10x
sen 9xsen 5 30 coos 10
sen 9
sen 150° cos 300°sen 2
??
51
3030
→
→ A770°
12
12 A5
1
25 2
11→
aépositivoe sen 1318
a.p 5
��
34 Sesen x 5 13
,determine:
a) sen(p2x) c) sen(2p2x)
b) sen(p1x) d) sen(2p1x)
35 (Unesp-SP–modificado)Dosolo,vocêobservaumamigonumaroda-gigante.Aalturaemmetrosde
seuamigoemrelaçãoaosoloédadapelaexpressão: h(t) 11,5 10 sen12
t 265 1 2p ( )
, emqueotempo
édadoemsegundoseamedidaangularemradianos.Aquealturaseuamigoseencontravadosoloquandoarodacomeçouagirar(t50)?
Resolução:Observandoociclotrigonométricoabaixo,temos:
a
b
c
)
)
)
sen ( x)
sen ( x)
sen (2 x)
p
p
p
2 5
1 5 2
2 5 2
13
13113
13
d) sen (2 x)p 1 5
2 13
13
2 13
13
6,5m
Resolução:
h(t) 11,5 10 sen12
(t5 1 ? 2p 26)
hh(0) 11,5 10 sen12
h(0) 11,5 1 ? 2 5p →( )0 26
55 10 sen 136
h(0) 11,5 10 sen6
1 2
5 1 2
p →
→ p
5 2 511,5 6,5 m5
x(π � x) N
(π � x) P Q (2π � x)
M (x) 2π � x
13
�13
��
36 Paraquevaloresdextemossenx5cosx,se0°<x,360°?
37 Ofenômenodamaréemdeterminadopontodacostabrasileirapodeserobtidopelaexpressão:
P(t) 212
2 cos6
t 54
5 1 ? 1p p( ) , emquetéotempodecorridoapósoiníciodaoperação(t50),eP(t)é
aprofundidadedaáguanoinstantet.Qualéaprofundidadedaáguanoiníciodaoperação?
Resolução:
Pelociclotrigonométrico,podemosconcluirquesenx5cosx,parax545°eparax5225°.
45°e225°
Resolução:
P(t) cos6
54
P(0) cos6
5 1 ? 1 5 1 ? ?212
2 212
2p p → pt( ) 00
212
2 212
2 2
1
5 1 ? 5 1 ? 2
54
P(0) cos 54 2
p →
→ p →
( )( ) ( ) PP(0) 9,05
Aprofundidadedaáguanoiníciodaoperaçãoé9metros.
9m
��
38 Construaográficodasfunçõesaseguir,dandoodomínio,aimagemeoperíodo.
a) y522cosx b) y 3 cos x3
5 2 p( ) c) y 3 cos x2
5 1 p( )
p. 22
Resolução:a) y522cosx Fazendoatabelacomosvaloresprincipaisdaprimeiradeterminaçãopositiva,temos:
x cos x � 2 cos x
0 1 1
p2
0 2
p 21 3
3p2
0 2
2p 1 1
Esboçandoográficodafunção,temos:
D5V Im(f)5[1,3] P52p
b) y 3 cos x3
5 2 p( ) Fazendoatabelacomosvaloresprincipaisdaprimeiradeterminaçãopositiva,temos:
x3
2p x cos x
32
p( ) 3 cos x3
2p( )
0 p3
1 3
p2
5p6
0 0
p 4p3
21 23
3p2
11p6
0 0
2p 7p3
1 3
�o quadrante → crescente
�o quadrante → crescente
�o quadrante → decrescente
�o quadrante → decrescente
��
Esboçandoográficodafunção,temos:
D5VIm(f)5[23,3]
P 73 3
25 2 5p p p
c) y 3 cos x2
5 1 p( ) Fazendoatabelacomosvaloresprincipaisdaprimeiradeterminaçãopositiva,temos:
x2
1p x cos x
21
p( ) 3 cos x2
1p( ) 3 cos x
21
p( )0 2 p
21 3 3
p2
0 0 0 0
p p2
21 23 3
3p2
p 0 0 0
2p 3p2
1 3 3
D5VIm(f)5[0,3]P5p
5π6
4π30
1
2
3
�4
�3
�2
x
02,5π �2π �1,5π �π �0,5π π3
11π6
7π3
y4
0
1
2
3
�4
�2
y
x
4
�2,5π �2π �1,5π �π �0,5π 0,5π0 π 1,5π 2π 2,5π
�0
39 Determineoperíododafunção: f(x) sen x2 3
5 1 p( ).
40 Sejaafunçãorealf(x)52cosax.Qualovalordeaparaqueoperíododessafunçãoseja6p?
41 (FGV-SP)Paraquevaloresdem,aequaçãonaincógnitax,2senx2153m,admitesolução?
p54p
a 13
5
Resolução:f(x)52cosax
0 0
0
1
5 2 5
5 5 5
ax 2 2a
2a
2a
6 2a
6
p → p
p → p
p → p p →
x
p p
p a33
Resolução:
f(x) sen x2 3
0 x2 3
23
x2
5 1
1 2
p
p p → p
( ) 2 2
5 2 2 5 1 5
23
23
x 103
103
23
103
23
1
p p → p p
p p p pp ( ) 223
4p → pp 5
2 1 m 13
Resolução:2senx2153m
sen x 3m5
1 12
Como21<senx<1,então:
2 1
2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 3 1 13m2
3m 3m 13
→ → → m
��
42 Sejaafunçãof:V→Vdefinidapory 1 sen x5
21 . Qualéodomíniodafunçãonointervalo[0,2p]?
43 Qualéaimagemdafunção f(x) 3 cos x5 2 1 22 p4
?( )
44 Sejaafunçãof:V→Vdefinidaporf(x)52cosx.Considere as afirmações: I. f(x) é uma função par. II. f(x) é uma função periódica de período 2p. III. A imagem de f(x) 5 [21, 1].
Podemosafirmarque:a) IeIIsãoverdadeiras,eIIIéfalsa. d) todassãoverdadeiras.b) Iéfalsa,eIIeIIIsãoverdadeiras. e) todassãofalsas.c) IeIIIsãoverdadeiras,eIIéfalsa.
D x x2
5 IR p{ }Resolução:
1 0 12
2 sen x sen x
Então, D(f)
→ → px
55 x IR x | .p2{ }
Im5[25,1]
Resolução:
2 2
2 2
2 2 2 1
1
3
2 2
cos4
1
3 cos4
3
3 3 c
x
x
p
p
( )( )
oos4
3 cos4
x
x
2 2 1
2 2 1 2
p
p
( )( )
2 3
5 2 1
Im(f)5{xV|25<y<1}5[25,1]
Resolução: I. (Verdadeira)→2cosx52cos(2x);portanto,afunçãoépar. II. (Verdadeira)→2cosx52cos(x12kp);então,p52p.III. (Falsa)→21<cosx<1→22<2cosx<2→Im(f)5[22,2]
��
45 Ocustodexdezenasdecertoprodutoédadopelafunção:C( ) senx x5 233p( )emmilharesde
reais.Qualéovalordocustomínimodessesprodutos?Quantasdezenaspodemserfabricadasporessecusto?
46 Sesenxseny, 0 x p2
eainda 0 y2p , podemosafirmarque:
a) x5y c) senx,0 e) cosx,seny,0b) x,y d) cosx,cosy
2000reais;1,5dezena
Resolução:
2 1 1sen3
xp( )Portanto,ovalormáximodesen
3xp( )é1,eocustosóserámínimoquandosen
3xp( )formáximo.
C(x) 33
x5 2 sen p( )C(x)532152→ovalordocustomínimoé2000reais.
23
x3
x3
x5 2 5 53 1sen sen sen senp → p → p( ) ( ) ( ) pp → p p →2 3
x2
1,55 5 5x 32
OcustomínimodessesprodutoséR$2000,00epodeserfabricada1,5dezenaporessecusto.
Resolução:
Nocicloacimaverificamosquesesenxseny,então:xyecosycosx.
sen
x
y
cos
��
47 Afunçãof:V→Vdadaporf(x) 2 cos x3
é:5
a) decrescentepara0<x<3p c) decrescentepara0<x<6p e) crescentepara 3p p2
3 xb) crescentepara0<x<3p d) crescentepara0<x<6p
Resolução:Fazendoatabelacomosvaloresprincipaisdaprimeiradeterminaçãopositiva,temos:
x3
x cos x3
2 cos x3
0 0 1 2
p2
32p 0 0
p 3p 21 22
32p 9
2p 0 0
2p 6p 1 2
Esboçandoográficodafunção,temos:
Portanto,arespostacertaéaalternativaa,poisafunçãoédecrescentepara0<x<3p.
�6
�4
�2
0
2
4
6
x
y
�5π �4π �3π �2π �π π 2π 3π 4π 5π0
��
49 Afiguraaseguirrepresentaográficodafunçãoy5acosbx.
Os valores de a e b são, respectivamente:
a) –1e2 c) 21 12
e e) 1 12
e
b) –1e1 d) 1e2
48 Ovalormáximodafunçãof(x) 3 sen x2
é:5
a) 3 c) 1 e) 0b) 2 d) 21
Resolução:
2 2 1 1 3 3sen x2
3 sen x2
→
Portanto,ovalormáximoé3.
Resolução:Observandoográfico,temos:Sebx50→x50
Se bx 2 2b
p 2b
2b
4
5 5
5 2 5 5 5
p → p
p p p →
x
b0 2
Comoaimagemdafunçãoé[21,1],entãoa51.
��
51 (FGV-SP)Considereafunção f(x) 3 cos x2
5 224
. Osvaloresmáximoemínimodef(x)são,respectivamente:
a) 1e–1 c) 2 34
e 2 e) 2 e 54
b) 1e0 d) 2e0
50 (ITA-SP)Sejamfegduasfunçõesdefinidaspor:
f(x) e g(x) , x R3 sen x
3 sen x2
5 52
2
2 12
11
( ) ( ) I
A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a:
a) 0 c) 14
e) 1
b) 2 14 d) 1
2
Resolução:
f(x) ; g(x)3 sen x
3 sen x2
5 52
2
2 12
11
( ) ( )fserámínimosesenx521,egserámínimosesen2x51.
f
g
f g
min
min
min min
5 5
5 5
1 5 1
2 2
2
214
12
14
14
3 1
3 1
( )
( )114
12
5
Resolução:
f(x) 3 cos x4
cos x cos x 3 c
2
2
5 2
2
2
1 1 0 1 0→ → oos x cos x
cos x
2 2
2
2 2
3 0 34
34
0 34
34
2
→ →
→ → 2 2 2 2 34
2 34
2 2 34
54
cos cos2 2x x→
Portanto,ovalormáximoé2,eovalormínimoé 54
.
��
52 Determineosvaloresde:a) tg(2420°) c) tg4000p e) tg 15
6p
b) tg420° d) tg7001p
53 Dêosinaldosnúmeros:
a) tg6
c) tg 23
e) tg 74
b) tg3
d) tg 43
p p p
p p
p. 28
2π3
π3
π6
7π4
4π3
2 33
0 nãoexiste0
positivo
positivo
negativo
positivo
negativo
Resolução:a) tg(2420°)5tg(260°)52tg60°52 3 tg(2420°)52 3b) tg420°5tg60°→tg420°5 3c) tg4000p5tg2p→tg4000p50d) tg7001p5tgp→tg7001p50
e) tg 156
tg 52
tg2
(não existe)p p p5 5
Então:
tg6
sinal positivo
tg3
sin
a
b
)
)
p →
p →
0
0 aal positivo
tg 23
sinal negativo
tg 4
c
d
)
)
p →, 0
pp →
p →
3sinal positivo
tg 74
sinal negati
,
0
0e) vvo
Resolução:Observe,nociclo,osvaloresdastangentesdosreferidosarcos:
��
54 Qualéodomíniodafunçãoy tg 3x3
5 1 p( )?
55 Esboceográficoedêodomínio,aimagemeoperíododafunçãoy tg x4
5 2 p( ).
D(f) k3
Z5 1x IR x k | ,p p18
⁄{ }Resolução:
y tg 3x
3x k 3x
5 1
1 1 2 1
p
p p p → p p3
3 2 2 3
( )kk 3x k k , k Z
D(f)18
p → p p → p p
p
1 1
5
6 18 3x
x IR x
⁄
| 11 k , k Zp3
⁄{ }
Resolução:Fazendoumatabelacomosvaloresprincipaisdaprimeiradeterminaçãopositiva,temos:
x 2p4
x tg4
x 2p( )
0 p4
0
p2
34p nãoexiste
p 54p 0
32p 7
4p nãoexiste
2p 94p 0
Esboçandoográficodafunção,temos:
x x
x IR x
2 1 1
5 1
p p p → p p
p p
4 2k 3
4k
D(f) 34
k , k Z | ⁄{{ }Im(f)
p 54 4
5
5 2 5
IR
p p p
�2,5π �2π �1,5π
�2
0
2
0 x
4 y
�4
�0,5π 0,5π 1,5π 2ππ�π 2,5π
��
56 Setg x m 5m 3
512
,paraquevaloresdemexisteessafunção?
57 DetermineA5sen(p2x)?cos(p1x)1tg(p2x)?tg(p1x),para x4
5 p .
58 Resolvaasexpressões:a) A 3 tg tg 25 1p p
4 b) B tg 5 tg 2
32 25 1p p
6
m3
Resolução:Aúnicarestriçãoparam,nestecaso,équeodenominadorsejadiferentedezero;portanto,m3.
Resolução:A5sen(p2x) ? cos(p1x)1tg(p2x) ? tg(p1x);x
45 p
sen(p2x)5senxcos(p1x)52cosxtg(p2x)52tgxtg(p1x)5tgxEntão:
A sen4
cos4
tg4
tg4
A 22
22
5 ? 2 1 2 ?
5 ? 2
p p p p( ) ( ) ( )(( ) 1 2 ? 5 2 2 5 2( )1 1
21 3
2(1) → →A A
2 32
103
3
Resolução:
a) tg4
A 3 tg4
tg 2
p
p p → →
5
5 1 5 ? 1
1
3 1 0A AA 5
5 2 5 2
5 1
3
33
3b) tg 56
; tg 23
B tg 56
tg 22 2
p p
p p33
33 3 3 10
3
22→ → →B B B5 2 1 5 1 5( ) ( ) 3
9
��
59 Sef(x)5tgx,paraquevaloresdex,x[0,2p],temosf(x)51?
60 Qualoperíododafunçãoreal y tg 2x2
5 1 p( )?
61 Localizeosarcosnociclotrigonométricoecoloque-osemordemcrescente:tg30°,tg135°,tg240°etg330°.
135°
330°
30°
240° tg 135°
tg 330°
tg 30°
tg 240°
Resolução:Afunçãotgtemperíodop,então:
2x2 4
e 2x2 4
p4 4
p2
1 5 5 2 1 5 5
5 2 2 5
p → p p p → p
p p → p
0 x x
( )
Resolução:Comosdados,temos:
Então,tg135°,tg330°,tg30°,tg240°.
x ou x 55 5p p4 4
Resolução:
Para x 0, 2 ], tg x 1; para x [ p p5 544
ou4
54
x 5 1 5p p p .
p2
tg135°,tg330°,tg30°,tg240°
�0
62 Resolvaasequaçõesnointervalo0<x,2p.a) senx51 c) tgx51 e) tgx50b) cosx50 d) senx5 2
12
p. 31
S 5 p2{ }
S 35 p p2 2
,{ }S 55 p p
4 4,{ }
S 7 , 115 p p6 6{ }
S5{0,p}
Resolução:a) sen x
sen x sen2 2
S
5
5 5 5
1
2p → p → px { }
bb) cos x
cos x cos2 2
cos x cos 2
5
5 5
5 2
0p → p
p p
x ou
22cos 3
232 2
, 32
c) tg x
tg x
( ) { }5 5 5
5
5
p → p → p px S
1
ttg4 4
tg x tg4
54 4
, 54
p → p
p p → p → p p
x ou
x S
5
5 1 5 5( ) {{ }d) sen x
sen x sen 76
76
sen x se
5 2
5 5
5
12
p → px ou
nn 26
sen 116
116
S 76
, 116
e) t
p p p → p → p p2 5 5 5( ) { }x
gg xtg x tg 0 0 outg x tg S {0, }
5
5 5
5 5 5
0→
p → p → pxx
��
63 Resolvaasequaçõesreais.
a) cosx52 22
b) tgx52 3
c) senx52 32
d) senx524
e) cosx53
S5{}
S x IR x5 5 1 5 1 | 3 2k ou x 54
2k , k Zp p p p4
⁄{ }S x IR x5 5 1 | 2 k , k Zp p
3⁄{ }
S x IR x5 5 1 5 1 | 4 2k ou x 53
2k , k Zp p p p3
⁄{ }
S5{}
Resolução:
a) cos x
cos x cos 34
34
2
5 2
5 5 1
22
p → px kk
34
2k
34
2k 2k
Zp
p p
p p p
x
ou
x
k
S x IR x
5 1
5 2 1 5 1
5
( )
|
⁄
55 1 5 1
5 2
34
2k ou x 54
2k , k Z
b) tg x
tg x
p p p p ⁄{ }3
55 5 1
5 5 1
tg 23
23
k
23
k , k Z
c) s
p → p p
p p
x
S x IR x | ⁄{ }een x
sen x sen 43
43
2k
43
5 2
5
5 1
5 2 5 2
32
p
p p
p p p
x
ou
x33
53
2k
Z
43
2k ou x 53
2
5 1
5 5 1 5 1
p p
p p p
( )
|
k
S x IR x
⁄
kk , k Zp ⁄{ }d) senx524;nãoexistextalquesenx524,pois21<senx<1. S5{}e) cosx53;nãoexistextalquecosx53,pois21<cosx<1. S5{}
��
64 ResolvaaequaçãoemV:23
cosx521.
65 Determineoconjuntoverdadedaequação2sen2x51,para0<x,2p.
66 Determineasomadasraízesdaequaçãotg2x53nointervalo0<x,2p.
S x IR x x5 5 1 5 1 | 5 2k ou 76
2k , k Zp p p p6
⁄{ }Resolução:
23
1 32
cos x cos x cos x cos 55 2 5 2 5→ → pp → p p
p p p p
6 6
6
x 5 2k
56
2k ou x 7 2k , k Z
5 1
5 1 5 1 x
S
⁄
55 5 1 5 1x IR x x | 5 2k ou 76
2k , k Zp p p p6
⁄{ }
S , 34
, 5 , 74
5 p p p p4 4{ }
Resolução:
2 sen x 1; 0 2
sen x 12
sen x
2
2
5 ,
5
x p
→ 55
5 5 5 5
22
Se sen x sen x sen x ou x 34
22 4 4
→ p → p p
SSe sen x sen x sen 5 x 5 ou x 74
5 2 5 5 522 4 4
→ p → p p
SS , 34
, 5 , 74
5 p p p p4 4{ }
4p
Resolução:
tg x 3; 0 2
tg x 3 tg x 3
Se
2
2
5 ,
5 5
x p→
ttg x tg x tg3
x ou x 43
Se tg x
5 5 5 5
5 2
33
3
→ p → p p
→ ttg x tg 2 x 2 ou x 53
soma 43
2
5 5 5
5 1 1 1
p → p p
p p p3 3
3 3553
4p p5
��
67 Resolvaaequação2sen2x521noconjuntodosnúmerosreais.
68 Resolvaaequação2cos2x51,nointervalo0<x<p. S6
, 56
5 p p{ }
Resolução:
2 sen 2x
sen 2x2
sen 2x sen
5 2
5 2 5
1
1 → 77 2x 7 2k 7 ou
2x 11 2k 1
p → p p → p p
p p →
6 6 12
6
5 1 5 1
5 1 5
x k
x 116
k
7 k ou x 1112
k , k Z
p p
p p p p
1
5 5 1 5 1S x IR x |12
⁄{ }}
Resolução:2 cos 2x 1; 0
cos 2x cos 2x
5
5
x p
→12
55
5 1 5 1 5 1
5 2
cos
2x3
2k 2x3
2k6
k
2x3
p
p p → p p → p p
p3
x
11 5 1 5 1
5
2k 2x 53
2k 56
k
656
p → p p → p p
p p
x
S ,{ }
S x IR x5 5 1 5 1 | 7 k ou x 1112
k , k Zp p p p12
⁄{ }
��
69 Resolvaaequaçãocos4x5cos2x,nointervalo0<x,2p.
70 Resolvaaequaçãotrigonométrica(4sen2x22)?(2cosx21)50,nointervalo0<x,2p.
S 0, , 23
, , 4 , 55 p p p p p3 3 3{ }
Resolução:cos 4x cos 2x; 0 24x 2x 2k
4x
5 ,
5 1
x pp
55 1 5 5
5 5
5 5
5 5
2x 2k 2x 2k x k0 012 2
p → p → p→→ p→ p
k xk xk x ((não convém)
4x 2x 2k 6x 2k x k
5 2 1 5 5p → p → p3
k 55 5
5 5
5 5
5 5
5 5
5
0 0
13
2 23
3
4 43
5
→
→ p
→ p
→ p
→ p
x
k x
k x
k x
k x
k →→ p
→ p
x
k x
5
5 5
53
6 2 (não convém)
SS 0, , 23
, , 4 , 53
5 p p p p p3 3{ }
Resolução:cos4x5cos2x;0<x,2p(4sen2x22) ? (2cosx21)50,temos:4sen2x2250ou2cosx2150.
Se 4 sen x 0 sen x 12
, e sen x 22
x2 22 5 5 5 524
→ → p ;; x 34
; x 5 ou x 7
Se 2 cos x 0 cos
5 5 5
2 5
p p p
→
4 4
1
.
x ; x ou 5
S ,3
, 3 , 54
,
5 5 5
5
12 3 3
4 4
p p
p p p p
x .
55 , 7
4p p3{ }
S 3 5 5 75 p p p p p p4 3 4 4 3 4
, , , , ,{ }
��
71 Resolvaaequaçãosenx?cosx2senx2cosx1150emV.
72 DeterminexVtalque2sen3x27sen2x13senx50.
Resolução:senx ? cosx2senx2cosx1150senx ? (cosx21)2(cosx21)50(senx21) ? (cosx21)50→senx2150oucosx2150
Sesenx2150→senx51→x 2k5 1p p2
Secosx2150→cosx51→x52kp
S x x2
2k ou x 2k , Z5 5 1 5 IR | p p p k ⁄{ }
S x x2
2k ou x 2k , Z5 5 1 5 IR | p p p k ⁄{ }
S x x k ou x 2k ou x 5 2k , Z5 5 5 1 5 1 IR p p p p p6 6
k ⁄{ }Resolução:
2 sen x 7 sen x 3 sen x
sen x
3 22 1 5
?
0
((2 sen x 7 sen x 3)sen x
2 sen x 7 se
2
22 1 5
5
2
00
nn x 3
Se sen x k
Se 2 sen x 72
1 5
5 5
2
0
0
ou
x→ p
sen x 3 sen xsen x 3 (não convé
1 5 5 2
50
7 49 244
→mm)
ou
sen x
sen x sen x sen6
x6
2k
5
5 5 5 1
12
12
→ p → p pp p p p
p p p
ou x6
2k
k ou x6
2k
5 2 1
5 5 5 1
( ) S x IR x | oou x 5
62k Z5 1p p, k ⁄{ }
��
73 Calculeasomadasraízesdaequação tg x2 2 13( ) ?(senx21)50nointervalo0<x,2p.
74 Resolvaosistemacos x y
x y
1 5 2
2 5
( )
1
2p .
92p
3 ,p p4 4( ){ }
Resolução:
tg x (sen x ) 0; 0 2
tg
2
2
2 ? 2 5 ,13
1( ) x p
x (sen x ) 0 tg x 0 ou sen x22 ? 2 5 2 5 2 51
31 1
31( ) → 00
13
0 33
Se tg x tg x x6
k ou x 56
k2 2 5 5 5 1 5 1→ → p p p pp
→ → p pSe sen x sen x2
2k
Então, as ra
2 5 5 5 11 0 1 x
íízes são:6
, 76
, 56
, 116
ou2
.
soma6
p p p p p
p5 11 1 1 1 576
56
116 2
92
p p p p p
Resolução:
cos (x y) cos (x y) cos1 5 2 1 5 1 51 → p → x y ppp →
pp
p → p
x2
x2
2x 32 4
S
2 5
1 5
2 5
5 5
y
x y
y
x
3
uubstituindo , temos:34
34
xp p → p p → p1 5 5 2 1 5y y y
4
S 5 34
,4
p p( ){ }
��
75 (Unesp-SP)Umaequipedemergulhadores,dentreelesumestudantedeCiênciasExatas,observouofenômenodasmarésemdeterminadopontodacostabrasileiraeconcluiuqueeraperiódicoepodiaseraproximadopelaexpressão:
P(t) 212
2 cos6
t 54
5 1 1p p( ) ,
emquetéotempo(emhoras)decorridoapósoiníciodaobservação(t20)eP(t)éaprofundidadedaágua(emmetros)noinstantet.
Resolvaaequaçãocos6
t 54
1,p p1 5( ) parat0.
76 Calculecotgx,secxecossecxpara:
a) x4
5 p b) x5150°
p. 37
2 23 33
2, 2 ,1, 2 , 2
Resolução:
cos6
t 54
1; t
cos6
t 54
p p
p p
1 5
1
( )( )
0
55 1 5 1
1 5 11
5
cos 26
t 54
2 2k
2k 2t
p → p p p p
→t6
54
2 1512
122 24 15
9 92
? 15 1 2
51
5 1
(2 2k)12
2t 24k
t 24k2
12k
→ →
→ → t
SS t IR t5 5 1 | 92
12k, k IN{ }
Resolução:
a x) 5
5 5 5
p
pp
→
4
cotg4 tg
4
cotg x
s
1 11
1
eec4 cos
4
sec x
cossec4 sen
4
pp
→
pp
5 5 5
5
1 122
2
1 55 5
5
5 5
122
2
150
150 1
→ cossec x
b) °
cotg °tg 150°
x
11 3
150 1 1
2
5 2
5 5
2
33
cotg 150°
sec °cos 150° 3
2
s
→
→ eec 150°3
cossec °sen 150°
coss
5 2
5 5
2 3
150 1 112
→ eec 150° 5 2
S t IR t5 5 1 | 92
12k, k IN{ }
��
77 Sejax6
5 p .Determineosvaloresde:a) senx c) tgx e) secx
b) cosx d) cotgx f) cossecx
78 Determineodomíniodafunçãoreal:y cotg 2x5 2 p4( ).
79 Paraquevaloresdexexisteafunçãoy sec 3x2
?5 2 p( )
12
32
33
3
2 332
Resolução:
a)
sen sen x
b) cos
x 5
5 5
5
p
p 1 →
p
6
6 212
633 cos x
c) tgsen
costg x
232
66
6
1232
→
pp
p→
5
5 5 5 333
61
6
3
61
d) cotgtg
cotg x
e) seccos
pp
→
pp
5 5
5
66
132
2 33
61 1
12
5 5
5 5
→
pp
→
sec x
f) cossecsen
6
cosssec x 5 2 D(f)8
k2
Z5 1x IR x k | ,p p ⁄{ }
Resolução:
a)
sen sen x
b) cos
x 5
5 5
5
p
p 1 →
p
6
6 212
633 cos x
c) tgsen
costg x
232
66
6
1232
→
pp
p→
5
5 5 5 333
61
6
3
61
d) cotgtg
cotg x
e) seccos
pp
→
pp
5 5
5
66
132
2 33
61 1
12
5 5
5 5
→
pp
→
sec x
f) cossecsen
6
cosssec x 5 2
Resolução:
y 5 2
2 1
cotg 2x4
2x k 2x k x
p
p p → p p →
( )4 4
1
5 1
p p
p p8
k2
, Z
D(f)8
k2
Z
k
x IR x k
⁄
⁄ | ,{ }
Resolução:
y 5 2
2 1 1
sec 3x2
3x2 2
k x k
p
p p p → p p →
( )3 xx k 1
1
p
p3
(1 k), Z
A função existe para x (1
⁄
kk3
, Z.) k ⁄
��
80 Determinemparaqueafunçãoy cotg mx5 1 p4( )tenhaperíodo p
2.
81 Determinemparaqueafunção y sec mx2
5 2 p( ) tenhaperíodo 23
.p
82 Calculemdemodoquecosseca52m17ea p p, 32
.
m52
m53
m<24
Resolução:
mx4 4m
mx4
34m
p 34
1 5 5 2
1 5 5
5
p → p
p p → p
p
0 x
x
mm 4m 2m2 2 5 5p p →( ) 2
Resolução:
mx2 2m
mx2
2 52m
p 52
2 5 5
2 5 5
5
p → p
p p → p
p
0 x
x
mm 2m23
m2 5 5p p → 3
Resolução:
Entre e 32
, a cossecante é menp p oor ou igual a 1, então:
2m
2
1 2 27 1 4→ m
�0
83 Qualosinaldef(x)5senx?(2secx)nointervalo 32
, 2 ?p p
84 Determineosinaldoproduto:A5tg122°?sec213°?cossec2317°.
85 Resolvaaexpressão:A55cossec2174
cotg 214
4 sec 10 cotg 23
2p p p p? 2 ? .
positivo
positivo
263
Resolução:
f(x) sen x sec x); 3 , 2
f(x)
5 ? 2
5
( p p2
ssen x 1cos x
tg x
A função tangente no
? 2 5 2( )iintervalo 3 , 2 é negativa; então,p p
2
f(x) é positiva.
Resolução:tg122°,0
sec 213° 1cos 213°
5 , 0
cossec2317°0A5tg122° ? sec213° ? cossec2317°0Então,osinaldoprodutoépositivo.
Resolução:
A 5 ? 25 cossec 174
cotg 214
4 sec2 p p 110 cotg 23
cossec 174
cossec4 sen
4
2p p
p pp
?
5 5 1 55 5
5 5
2 2
1
→ p
p p
cossec 174
cotg 214
cotg4
sec 10
2
pp pp
p → p
5 5 5
5 2 5
sec 2cos 2
cotg 23
cotg 23
2
1 1
33
133
5 2 1 4 1 13
10 43
263
A A5 ? ? 2 ? ? 5 2 5→
��
86 Considereafunçãof(x)5x32xcossec2a.Resolvaaequaçãof(x)50,para a 5 p3
.
87 ResolvaaequaçãoemV:cotg x 33
.5
88 Resolvaaequaçãocossec x 5 12
nointervalo[0,2p].
S , ,5 22 3
30 2 3
3
S5{}
Resolução:
f(x) x cossec
x x cossec
2
3 2
5 2 a
2
x3
p33
x x cossec3
0 ou x 0 2 32 2 2
5
2 5 5 2 5 5
0
0 43
p → →( ) x x33
2 33
, 0, 2 33
S 5 2
S x IR x k5 5 1 | p p3
k , Z⁄{ }Resolução:
cotg xtg x
tg x tg x tg3
5 5 5 51 33
3→ → p →→ p p
p p
x k
S x IR x
5 1
5 5 1
3k , Z
k , k Z
⁄
⁄|3{ }
Resolução:
cossec x2 sen
sen x 2 (nã5 5 51 1 12
→ →x
oo existe que satisfaça essa condição)
{
x
S 5 }
��
89 Resolvaaequaçãosec2x 2 33
1 secx50nointervalo[0,2p].
p. 40
90 Sesen x 36
e2
5 p ,x,p,determineasdemaisfunçõestrigonométricas.
S 56
, 76
5p p{ }
Resolução:
sec x sec x
sec x sec x
2 1 5
1
2 33
0
2 33
5 5
5 2
0
2 33
1
→
→
sec x 0 (não existe) ou
sec xccos x
cos x cos x cos 5 56
5 2 5 2 5 5 2 3
332 6
→ → p → px
x 55 5
5
56
ou x 76
56
, 76
p p
p p S { }
cos x , tg x , cotg x 11, sec x5 2 5 2 5 2 5 2336
1111
22 3311
, cossec x 2 35
Resolução:
xsen x pertence ao segundo qu5 36
→ aadrante.
sen x cos x cos x 336
2 2 21 5 5 2 51 1 3336
→ → nno segundo quadrante, cos é negativo.
cos
x
x 3336
cos x 336
tg x sen xcos x
36336
5 2 5 2
5 5
2
→
→ ttg x11
cotg x 1tg x
cotg x
sec x 1co
5 2
5 5 2
5
11
11→
ss xsec x
cossec x 1sen x
co
5 2 5 2
5 5
633
2 3311
63
→
→ sssec x 5 2 3
��
91 Sabendoquesen x cos x 15
,1 5 determineA5senx?cosx.
92 Setgx54,determiney 1cos x25 .
93 Determineovalordaexpressão:A5(senx2cosx)21(senx1cosx)2.
A 5 21225
y517
A52
Resolução:
sen x cos x elevando ao quadra1 5 15
→ ddo os dois membros, temos:
(sen x cos x)21 5 155
125
1
2( ) → →
→
sen x cos x 2 sen x
2 s
2 21 1 ? 5
1
cos x
een x cos x 2 sen x cos x? 5 ? 5 2 5 2
5
125
125
1 2425
→
A ssen x cos x? 5 2
5 2
1225
1225
A
Resolução:
y 5 51
51cos x
sen x cos xcos x
tg2
2 2
22 x 1 1
Comotgx54,tg2x516.Então:tg2x1151611517y517
Resolução:A5(senx2cosx)21(senx1cosx)2
A5sen2x12senx ? cosx1cos2x1sen2x22senx ? cosx1cos2xComosen2x1cos2x51,temos:A52.
��
94 Determineovalornuméricodaexpressãoy tg x cos x1 cos x25
?
2paracotg x e
25 2 7
24p ,x,p.
95 Dadosecx58,determineovalordaexpressãoy521senx?tgx1cosx.
y 5 2524
y510
Resolução:
y 5?
25 ?
tg x cos x1 cos x
tg x cos xse2 nn x sen x
tg x cotg x cossec x tg xtg x?
5 ? ? 5 ? ?1 ccossec x
cossec x 1 cotg x
cossec x 1 72
2 2
2
5 1
5 1 244
cossec x no terce
( )2
1 49576
625576
2524
5 1 5
5 → iiro quadrante, a cossecante é positiva; loggo, y 5 2524
.
Resolução:y sen x tg x cos x
y sen x sen
5 1 ? 1
5 1 ?
2
2 xcos x
cos x sen xcos x
cos x 2 sen x2 2
1 5 1 1 5 12 11
5 1 5 1 5 1 5
cos xcos x
y 1cos x
sec x
2
2 2 2 8 10→ y
��
96 (Fuvest-SP)Asomadasraízesdaequaçãosen2x22cos4x50queestãonointervalo[0,2p]é:a) 2p c) 4p e) 7pb) 3p d) 6p
97 Resolvaaequaçãocos2x2sen2x 5 12
nointervalo[p,2p[. S6
, 116
57p p{ }
Resolução:sen2x22cos4x5012cos2x22cos4x50Fazendocos2x5y,temos:2y21y2150.
y
y
you
x
52 1
5
5 2
5 5
1 1 84
12
1
12
22
Se cos x cos x2 → → 55 5 5 5
5 2
p p p p
→4
, 34
, 54
ou 74
Se cos x não2
x x x
1 existe
soma4
34
54
74
4
x
5 1 1 1 5p p p p p
Resolução:
cos x sen x
sen x sen x
2 2
2 2
2 5
2 2 5
12
1 122
14
12
12 6
→ →
→ p
sen x sen x
Se sen x x ou x
2 5 5
5 5 55 5 ; então, não pertencem ao intervalo [p p6
,, 2 [.
Se sen x x 7 ou x 11 ; então,
p
→ p p5 2 5 512 6 6
pertencem ao intervalo [ , 2 [.
Logo, S
p p
p5
766
, 116p{ }.
��
98 (Unemat-MT)Naexpressão sec x cos x cotg x sen xcossec x sen x se
2
2? 2 ?
? 2 cc x cotg x cotg x cos x? 1 ?,podemos afirmar:
1. O numerador é igual a sen x ? tg x. 2. O denominador é igual a cos x ? cotg x.
3. Podemos dizer que sec x cos x cotg x sen xcossec x sen x se
2
2? 2 ?
? 2 cc x cotg x cotg x cos xtg x.
? 1 ?5
4. Se considerarmos sec x ? cotg x 1 cotg x ? cos x isoladamente, então poderemos substituí-la por sen x. 5. O numerador é igual ao denominador, portanto a expressão é igual a 1 (um).
99 Paraquevaloresdemsen x m 2m 125 1 1 ecosx51?
VV
F
FF
m521
Resolução:
sec x cos x cotg x sen xcossec
2
2? 2 ?
xx sen x sec x cotg x cotg x cos xcos x2
? 2 ? 1 ?5
?1 ccos x cos xsen x
sen x
sen xsen x
cos x2
2 ?
? 21 1 ?? 1 ?5
52
cos xsen x
cos xsen x
cos x
cos xcos x1
ccos xsen x
cos xcos x
cotg x cos xsen
2
2
5
2
?5
1xx tg x
cotg x cos x
1. (Verdadeira)
2. (Verdade
??
iira)
3. (Falsa); sen x tg xcotg x cos x
sen2
??
5
xcos xcos xsen x
sen xcos x
tg x
4. (Fa
2
3
335 5
llsa); sec x cotg x cotg x cos x cotg x 1co
? 1 ? 5ss x
cos x cos xsen x
1 sen xcos x
1 s2
1 5 1 51( ) ( ) een xsen x
5. (Falsa)
2
Resolução:Secosx51,senx50;então, m 2m 12 1 1 5 0→m212m1150→(m11)250→m521
��
100 (Fuvest-SP)Seaestánointervalo 0,2p
esatisfazsen4a2cos4a 5 1
4,entãoovalordatangente
deaé:
a) c) e)
b) d)
35
37
57
53
73
101 (UFAM)Associeasexpressõesequivalentesdasduascolunaseassinaleaalternativacorrespondenteàassociaçãocorreta.
(A)1
2cos x (1)
sen x cos xcos x
2 21
(B) secx (2) tg2x11
(C) sec2x21 (3) 1
(D) cossec2x2cotg2x (4) tg2x
a) A2,B1,C3,D4 c) A2,B3,C4,D1 e) A2,B4,C1,D3b) A3,B1,C4,D2 d) A2,B1,C4,D3
Resolução:
sen cos
sen cos )
4 4
2 2
a 2 a 5
a 1 a ?
14
( (ssen cos )
cos cos 14
2 co
2 2
2 2
a 2 a 5
2 a 2 a 5 2
14
1 1→ ss cos cos 64
cosseno positiv
2 2a 5 a 5 a 514
38
→ → →
oo, pois pertence ao primeiro quadrante.sen22 2cos
sen seno também po
a 5 2 a
2 a 5
1
1 616
104
→ → ssitivo.
tg a 5 5106
53
Resolução:
(1) sen x cos xcos x cos x
sec2 21
5 51 xx (B)
(2) tg x 1 sen xcos x
sen x cos22
2
2 2
→
1 5 1 511 x
cos x cos x(A)
(3) cossec x cotg x 1
2 2
2 2
5
2 5
1 →
ssen xcos xsen x
sen xsen x
(D)
(4) s
2
2
2
2
22 5 5 1 →
eec x 1 1cos x
1 cos xcos x
sen xcos
22
2
2
2
2 5 2 52
51 222
xtg x (C)5 →
��
p. 42
102 Secos x 45
e 0 x2
,5 p determine:
a) senx c) t xg 2p 2( )b) cos
2xp 2( ) d) sec(p1x)
103 Sex y2
e sen x3
1 5 5p 1 ,ovalordecosyé:
a) c) e)
b) d)
0 13
2 23
1 23
104 Determine,emfunçãodesenx,cosxetgx:
a) tg2
c) sec2
x
b) cotg2
d) cosse
p p
p
1 1
1
x
x
( ) ( )( ) cc
2p 1 x( )
35
35
2 34
2 54
2 1tg x
2tgx
2 1sen x
1cos x
Resolução:
cos x ; 02
a) sen x cos x2
5
5 2 5
45
1
x p
11 16 35
2 5 2 5 2 5 2 5 225
c) tg (2 x) tg x sen xcos x
35p445
b) cos2
sen x d) sec ( x) 1co
5 2
2 5 5 1 5
34
35
p px( ) ss ( x) cos xp 15
25 21 5
4
Resolução:
x y
y x
1 5 5
5 2 5
p
p →
2; sen x
2cos y cos
13
pp2
sen x2 5 5x( ) 13
Resolução:
a) tg2
tg2
x) cotg xp p1 5 2 2 5 2x( ) ( )( ( )) cotgtg x
b) cotg2
cotg2
x)
5 2 5 2
1 5 2 2
x
x
1
p p( ) ((( )( ) ( )
5 2 5 2
1 5 2 2
tg x) tg
c) sec2
sec2
x)
(
(
x
xp p 55 2 52
5 2
1
cossec x)sen x) sen x
d) cossec2
((1 1
p xx( ) ( )5 2 2 5 2 52
5cossec2
x) sec x)cos x)
1c
p ( ((1
oos x
��
105 (UFOP-MG)Aexpressãocos x
sen x
p
p2
2
1
2
( )( ) éequivalentea:
a) tgx c) 2tgx e) 1b) cotgx d) 2cotgx
106 Secos x e x2
5 22
0 p ,determine:
a) sen 32
xp 1( ) b) cos2
x3p 1( )
107 Sesen x e x 32
,5 2 13
p p determineovalornuméricode:
Asen x) sen x) sen
2x
sec (2 x)5
2 1 1 1 2
2
( (.
p p p
p( )
22
2 22
89
Resolução:
cos2
sen2
cos2
x)p
p
p1
2
52 2x
x
( )( )
( ( ))cos x
sen x)cos x
sen xcos x
tg x52
52
5 2(
Resolução:
cos x ; 02
a) sen 32
co
5
1 5 2
22
x
x
p
p( ) ss x
b) cos 32
sen x
5 2
1 5 5
22
22
p x( )
Resolução:
Asen x) sen x) sen
2x
s5
2 1 1 1 2( (p p p( )eec (2 x)
A sen x sen x) cos x
cos (2 x)
p
p
2
51 2 1
2
(1
55 5 5 2cos x1
cos x
cos x sen x
Substituindo s
2 21
een x , temos: A5 2 5 2 513
1 19
89
→ A .
�0
108 SimplifiqueaexpressãoA tg x)
cossec2
x sec2
x5
1
2 ? 2
(pp p( ) ( ) 1 cos2 x.
109 Simplificandoaexpressão A14 sen x) 4 cos
2x
5 sen 2 x)5
2 2 2
2
(
(,
p p
p( )
obtemos:
a) 0 c) 21 e) 22b) 1 d) 2
110 Resolvaaequação sen 32
x cos xp 1 5( ) nointervalo[0,2p].
1
S2
, 32
5 p p{ }
Resolução:
A tg x)
cossec2
x sec2
x5
1
2 ? 2
(pp p( ) ( )) 1
5?
1 5
cos x
A tg xsec x cossec x
cos x sen x
2
2
ccos xcos x sen x cos x2? ? 1 5→ A 1
Resolução:
A14 sen ( x) 4 cos
2x
5 sen5
2 2 2p p( )((2 x)
14 sen x 4 sen x5 en x)
10 sen xp 2
52
25
( s 225 2
5 sen x→ A 2
Resolução:
sen 3 cos x
sen 3 sen
p
p2
2
1 5
1 5
x
x
( )( ) pp
p p p p p p p
2
2
2
1 5 2 1 1 5 2 2 1
x
x x x x
( )( )3
2 22k ou 3
22k ((não existe )
2x2
3 2k2
k
Se k
x
5 2 1 5 2 1
5
p p p → p p2
0
x
→→ p p
→ p
→ p
x
x
x
5 2
5 5
5 5
5
2[0, 2 ]
Se k2
Se k 32
Se k
1
2
33
2
→ p p
p p
x
S
5
5
52
[0, 2 ]
, 32
{ }
��
111 Resolvaaequaçãotg10x5 cotg xp2
2( ).
112 Asomadasraízesdaequaçãocos x2 p2
2( )2cos2x50nointervalo[0,2p]é:
a) p c) 3p e) 5pb) 2p d) 4p
113 Resolvaaequaçãotg x cotg x2 5 ? 23 p2( )nointervalo[0,2p].
S x IR x k5 5 | ,k9
Zp ⁄{ }
S 0, ,3
, 43
5 p p p{ }
Resolução:
tg 10x cotg2
tg 10x tg x10x
5 2
5
5
p x( )xx k
9x k
x k9
Z
k9
Z
1
5
5
5 5
pp
p
p
,
| ,
k
S x IR x k
⁄
⁄ { }
Resolução:
cos cos x
sen x cos x
2 2
2 2
p2
02 2 5
2
x( )55 2 2 5 5
5
0 1 0 1→ → →
→
sen x sen x 2 sen x
sen x
2 2 2
2
( )
112
sen x
As raízes são:4
, 34
, 54
ou
→
p p p
5 22
74
434
54
74
4
p
p p p p p
.
soma 5 1 1 1 5
Resolução:
tg x cotg
tg x tg x t
2
2
5 2
5
32
3
p
→
x( )gg x tg x tg x tg x tg x 0 ou tg2 2 5 2 5 53 0 3 0→ →( ) x
No intervalo [0, 2 ], temos:tg x tg 0
5
5
3
p→ xx 0 ou x
tg x tg3
x3
ou x 4
Então, S
5 5
5 5 5
pp → p p
3
55 0, ,3
, 43
p p p{ }.
��
114 (Fuvest-SP)Seaéumângulotalque0,a, p2
esena5a,entãotg(p2a)éiguala:
a)1 a
c)1 a
e) a
b)1 a
d)1 a
2
2 2
2
2
2
2
22
1
2
2 2
aa a
aa
1
p. 46
115 Determine:a) cos75° b) tg165° c) cotg105°
116 Usandoasfórmulasdeadiçãoesubtração,provequecos(p1x)52cosxesen(p1x)52senx.
3 226 224
3 22
Resolução:sena5a→sen(p2a)5asen2(p2a)1cos2(p2a)51→a21cos2(p2a)51→→ p →cos ( ) o cosseno no segundo quadr2 a 5 2 21 2a aante é negativo.
tg ( )sen ( a)cos (
p pp
2 a 52
2 a))tg ( ) a
1→ p 2 a 5
2
2 a2
Resolução:
a) cos 75° cos (30° °) cos 30° c5 1 5 ?45 oos 45° sen 30° sen 45°2 ? 5
5 ? 2 ? 5 2 532
22
12
22
64
24
66 24
30
2
5 1 51b) tg 165° tg (135° °) tg 135° tg 30°
11 tg 135° tg 30°2 ?5
52 1
22 ?
52 1
15
5
1 33
1 1 33
3 33 3( )
22 1 ? 2
1 ? 25
25 2
3 3 3 3
3 3 3 36 3 12
63 2
( ) ( )( ) ( )
c) cotg 1005° cotg (60° °)tg (60° 45°)
tg 60°5 1 5
15
2 ?45 1 1 ttg 45°tg 60° tg 45°1
5
52 ? ? 2
1 ? 2
1 3 1 3 1
3 1 3
( ) ( )( ) 11
42
3( ) 52
5 22 3 2
Resolução:cos(p1x)5cosp ? cosx2senp ? senx52cosxsen(p1x)5senp ? cosx1senx ? cosp52senx
��
117 Sex2y530°,determine(cosx1cosy)21(senx1seny)2.
118 (Unifesp-SP)Aexpressãosen(x2y)?cosy1cos(x2y)? senyéequivalentea:a) sen(2x1y) c) senx e) cos(2x12y)b) cos(2x) d) sen(2x)
119 Determineovalordesen6
xp 1( ) ,sabendoquesenx5 74
e x2
0 p .
2 1 3
3 1 218
Resolução:x2y530°(cosx1cosy)21(senx1seny)255cos2x12cosx ? cosy1cos2y1sen2x12senx ? seny1sen2y55212(cosx ? cosy1senx ? seny)5212cos(x2y)5
5 1 5 1 5 12(1 cos 30°) 2 1 32
2 3( )
Resolução:
sen6
x , sen x4
; 02
sen2
p p1 5 ( ) 7 x
xx cos x cos x
cos x coss
2 21 5 5 2 5
5
1 1 716
916
34
→ →
→ → eeno positivo, pois 02
sen6
sen
1 5
x
x
p
p p
.
( ) 66cos x sen x cos
6
sen6
? 1 ? 5 ? 1 ?
1
p →
→ p
12
34
74
32
x(( ) 513 21
8
Resolução:sen(x2y) ? cosy1cos(x2y) ? seny5sen(x2y1y)5senx
��
120 Determineovalordesen(a1b)?sen(a2b)emfunçãodesenaesenb.
121 Determineovalordaexpressão:A 5 sen 70° ? cos 25° 2 sen 25° ? cos 70°.
122 Secotga 5 12
ecotgb 5 15
,determinetg(a1b).
sen2a2sen2b
22
279
Resolução:A5sen70° ? cos25°2sen25° ? cos70°5sen(70°225°)5sen 45° 5 2
2
Resolução:
cotg a tg acotg a
cotg b
5 5 5
5
12
1 2
15
→
→→ tg bcotg b
tg (a b) tg a tg b1 tg a tg
5 5
1 51
2 ?
1 5
b 95
12 ?
5 22 5
1 2 57
Resolução:sen(a1b) ? sen(a2b)55(sena ? cosb1senb ? cosa) ? (sena ? cosb2senb ? cosa)55sen2a ? cos2b2sen2b ? cos2a5sen2a(12sen2b)2sen2b(12sen2a)55sen2a2sen2a ? sen2b2sen2b1sen2a ? sen2b5sen2a2sen2b
��
123 Resolvaaequaçãosenx1cosx 5 2.
124 Resolvaaequaçãocosx 1 3 senx51nointervalo0<x,2p.
S x x4
2k Z5 5 1 IR p p, k ⁄{ }
S 0, 23
5 p{ }
Resolução:
sen x cos x multiplicando a equ1 5 2 → aação por 22
, temos:
22
sen x cos x 22
S
? 1 ? 5 ?22
2
aabendo que 22
cos4
sen4
, temos:
cos4
5 5
?
p p
p ssen x sen4
cos x
sen x4
sen x4
1 ? 5
1 5
1
p
p
p
1
1( )( ) 55 1 5 1 5 1
5
sen2 4 2
2k4
2k Z
S x x
p → p p p → p p
x x k,
⁄
IR 55 1p p4
2k Z, k ⁄{ }
Resolução:
cos x sen x 1; 0 2
Multiplica
1 5 ,3 x p
nndo a equação por 12
, temos:
12
cos x 32
se1 nn x
Sabendo que sen6
e 32
cos6
, t
5
5 5
12
12
p p eemos:
sen6
cos x cos6
sen x 12
sen6
p p
p
? 1 ? 5
1x( )) ( )5 1 5
1 5 1
1 5 2
12
→ p p
p p p
p p psen x
6sen
6
6 62k
6 6
x
x 11
5 5
5 2 1 5
5
2k
2k
56 6
2k 23
S 0, 23
p
p →p p p → p
p
ou
x x
x x
0
{ }}
��
125 Resolvaaequaçãosen2
x cos 32
x cosp p2 5 2 1( ) ( ) 0no intervalo 0 < x , 2p.
126 (FGV-SP)Conhecidasasrelaçõestrigonométricascos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b e sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a,a) obtenha,justificando,aexpressãodecos2xemfunçãodecosx;b) obtenha,justificando,aexpressãodatg(a1b)emfunçãodetgaetgb.
S ,2
5 0 p{ }
2cos2x21tg (a b) tg a tg b
1 tg a tg b1 5
12 ?
Resolução:
sen2
cos 32
cos 0; 0p p2 5 2 1 x x x( ) ( ) ,,
? 2 ? 5 ?
2
sen2
cos x sen x cos2
cos 32
cos
p
p p p x 11 ? 1sen 32
sen xp 1
cosx20502senx11cosx1senx51→elevandoosdoismembrosaoquadrado,temos:sen2x12senx ? cosx1cos2x51→2senx ? cosx50→sen2x5sen0→
→ p p p → p p p2x 0 2k ou 2x 2k k ou2
k
Então,
5 1 5 1 5 5 1x x
x 55 5
5
0 ou2
0,2
x
S
p
p
.
{ }
Resolução:a) cos(a1b)5cosa ? cosb2sena ? senb;sen(a1b)5sena ? cosb1senb ? cosa cos2x5cos(x1x)5cosx ? cosx2senx ? senx5cos2x2sen2x5 5cos2x2(12cos2x)52cos2x21
b) tg (a b) sen (a b)cos (a b)
sen a cos b s1 5
11
5? 1 een b cos a
cos a cos b sen a sen bDividindo
?? 2 ?
o numerador e o denominador por cos a cos? b, temos:sen a cos b sen b cos a
cos a cos? 1 ?
? bcos a cos b sen a sen b
cos a cos b
sen a
? 2 ??
5ccos a
sen bcos b
sen a sen bcos a cos b
t1
2??
51
gg a tg b1 tg a tg b
Então, tg (a b) tg a tg
12 ?
1 51 b
1 tg a tg b2 ?
��
p. 48
127 Secossecx52e p2
<x<p,determinesen2x.
128 Sesenx2cosx5a,determinesen2xemfunçãodea.
129 Sea52cos30°?cos60°,determine4a2.
2 32
12a2
3
Resolução:
cossec x (2 quadrante)
1sen x
o_5
5
2
2 → ssen x sen x cos x cos x
cos
2 2 25 1 5 5 212
1 1 14
→ → →
→ xx cos x (2 quadrante)
sen 2x 2 sen
o_5 5 2
5
32
32
→
xx cos x sen 2x? 5 ? ? 2 5 22 12
32
32( ) →
Resolução:senx2cosx5a→elevandoosdoismembrosaoquadrado,temos:(senx2cosx)25a2→sen2x22 ? senx ? cosx1cos2x5a2→→122senx ? cosx5a2→22 senx cosx5a221→2senx?cosx512a2
Resolução:a
a
5 ?
5 ? ? 5
?
2 cos 30° cos 60°
2 12
32
32
4 aa2 5 ? 54 34
3
��
130 (FGV-SP)Nointervalo[0,2p],aequaçãotrigonométricasen2x5senxtemraízescujasomavale:a) p c) 3p e) 5pb) 2p d) 4p
131 (Fuvest-SP)Determinetodososvaloresdexpertencentesaointervalo[0,2p]quesatisfazemaequação:
cos2 2x 5 12
2 sen2 x. S 5 p p p p p p p p4
, 3 , 5 , 7 , , 5 , 7 , 1164 4 4 6 6 6{ }
Resolução:Nointervalo[0,2p],temos:sen2x5senx→2senx ? cosx2senx50→senx(2cosx21)50→→senx50ou2cosx2150Sesenx50→senx5sen0→x50,x5p,x52p
Se 2 cos x cos x cos x cos3
x3
,2 5 5 5 51 0 12
→ → p → p xx 53
23
53
5
5
5 1 1 1 1 5
p
p p p p psoma 0
Resolução:
cos 2x sen x 1 2 sen x 12 2 25 2 2 512
2→ ( ) 22
2 2 2 5
2 sen x
2 sen x 12
2 sen x
2
2 2
2
1 1 02
→
→ ( ) ( ) →→
→ →1 1 12
0 12 2 2 5 22 sen x 2 sen x 22 2( ) ( )
ssen x 1
22 sen x 0
2 sen 0 2 s
2 2
2
( ) ( )? 2 5
2 5
→
→ →1 x een x sen x
sen x4
, x 3 , x
2 25 5
5 5 5
1 12
22 4
→ →
→ p px 55 5
2 5 5
5 , x4
2 sen 0 2 sen x sen2 2 2
p p
→ →
47
12
12
x xx sen x
6, x 5 , x 7 , x 11
6
5 5
5 5 5 5
14
12
6 6
→ →
→ p p p px
SS 5 p p p p p p p p4
, 3 , 5 , 7 , , 5 , 7 , 1164 4 4 6 6 6{ }
��
132 (Fuvest-SP)Setg52,entãoovalorde cos 21 sen 2
é:1
a) 23 c) 13
e) 34
b) 2 13
d) 23
133 Resolvaaequaçãosenx?cosx 12
5 .
134 Sesen2x5m,determinesen4x.
S x IR x k5 5 1 | p p4
k , Z⁄{ }
2m 1 m22
Resolução:
tg sencos
sen 2 cos 5
5 5 2 2→ →
ssen cos (2 cos ) cos cos2 2 2 2 2 1 5 1 5 1 1→ → 55 5
5 2 5 2 5
15
45
15
45
e sen
cos 2 cos sen
2
2 2 22
5 ? 5 ? ? 5
35
2sen 2 2 sen cos 2 cos 4cos ccos
cos 2sen 2
2 5 ? 5
1
52
15
2
4 15
45
1
35
1 45
35
95
55 213
Resolução:
sen x cos x 2 sen x cos x se? 5 ? 512
1→ → nn 2x sen2
2x2
2k
4k , k Z
5 5 1
5 1
5 5
p → p p
p px
S x IR x
⁄
| pp p4
1 k , Zk ⁄{ }
Resolução:sen2x5m→sen22x1cos22x51→m21cos22x51→cos 2x 5 21 2msen4x52sen2x ? cos2x→sen 4x 2m5 21 2m
�0
135 Expressesen3aemfunçãodesena.
136 (UFAL)Oângulodovérticedeumtriânguloisósceleséumânguloagudo.Seatangentedesseânguloéigualaodobrodoquadradodeseuseno,determineocossenodasomadosângulosdabase.
3sena24sen3a
2 22
Resolução:sen3a5sen(2a1a)sen3a5sen2a ? cosa1sena ? cos2a
sen3a52sena ? cos2a1sena(122sen2a)sen3a52sena ? cos2a1sena22sen3asen3a52sena(12sen2a)1sena22sen3asen3a52sena22sen3a1sena22sen3asen3a53sena24sen3a
Resolução:
tg 2 sen sencos
2 sen2 2 5
5 → →→ → →
→ →
1 1
1
cos2 sen 2 sen cos
sen 2
5 ? 5
5 ssen 2 sen2
22 4
Se4
, a soma do
5 5 5
5
p → p → p
p ss ângulos da base é4
34
, ou seja, cosp p p2 5 3 22
p4
5 2 .
137 (ITA-SP)Sendoaebosângulosagudosdeumtriânguloretângulo,esabendoquesen22b22cos2b50,entãosenaéiguala:
a) 22
c) 82
4
e) zero
b)22
4
d)84
4
Resolução:sen22b22cos2b50(2senb ? cosb)222(2cos2b21)504sen2b ? cos2b24cos2b12504cos2b(sen2b21)125024cos2b(12sen2b)125024cos4b1250
cos cos 8
Sendo o t
4 b 5 b 5 5 ? 512
12
12
22 24 4
34
34
4
→
rriângulo retângulo, 90° e sen cos ;a 1 b 5 a 5 b então, sen cos 8a 5 b 54
2.
�
B C
A
��
138 (Unicamp-SP)Considereaequaçãotrigonométricasen2 2 2 cos2 1 12 sen 2 5 0.
a) Mostrequenãosãosoluçõesdessaequaçãoosvaloresdeparaosquaiscos50.b) Encontretodososvaloresdecosquesãosoluçõesdaequação.
p. 50
139 Determine:a) sen67°30 b) cos67°30 c) tg67°302 2
21 2 2
22 3 2 21
Resolução:
sen 2 cos sen 2
sen
2 2
2
2 1 5
12
0
22 1 ? ? 52 cos 2 sen cos2 12
0
sen222cos21sen ? cos50a) Secos50→sen51 Substituindonaequação:(1)222 ? 01(1) ? 051.(nãoanulaaexpressão)b) sen222cos21sen ? cos50 Dividindoaigualdadeporcos20,temos:
tg tg tgtg
tgou
s
2 2 1 5 52 1
5
5 22 0 1 1 8
2
1
2→
eec tg sec cos cos2 2 2 2 5 1 5 1 5 5 1 1 1 2 12
→ → → 55
5 1 5 1 5 5
22
1 1 4 5 1
ou
sec tg sec cos2 2 2 2→ →55
55
22
5
→ cos
Portanto, cos ou cos
5
5 5 55
.
Resolução:
a) sen 67° 30 135°2
sen 67° 30 5 5→ 1 22 52 2
5 1cos 135°2
22
2sen 67° 30 2
2
b)
12
→
ccos 67° 30 cos 135°2
22
2cos 6 5 1 5
1 21
1
→ 77° 30 2
2
c) tg 67° 30 cos 135°2
5 2
5 1 5 1
2
2
1 2 22 2
551 ? 1
2 ? 1 5 1
2 2 2 2
2 2 2 23 2 2
( ) ( )( ) ( ) → tg 67° 30
22
ou 55
��
140 Sesen x 45
,5 determineA cos x sen x2
5 ? 1 ?53
5 para0,x, p2
.
141 Sejaxumarcodo1oquadranteecos x m2
5 .Determinecos x2
.
142 Setg x ,2
156
determinesenx.
A52
Resolução:x é arco do primeiro quadrante.
senn x 45
cos x 125
sen x2
1 cos x2
5 52
5
52
52
→ 16 35
1 35
22 5 5
A 53
cos x sen x2
53
5 15
A 2
5 5
5 ? 1 ? 5 ? 1 ? 5
1 1
5 35
→
221 m ,m22
1237
Resolução:x é arco do primeiro quadrante.
coss x2
1 cos x2
cos x2
m , m51
51
51
21
22
22
2
m
→
Resolução:
sen x2 tg x
2
1 tg x2
sen x2
5
1
5
?
1
→2 1
6
1 1136
1237
5 5
133736
��
143 Se tg x ,2
152
determinetgx.
144 Sesen x2
17
,5 determinecosx,sabendoquexéumarcodo1oquadrante.
145 Determineoconjuntoverdadedaequação 4 sen x2
4 cos x2 1 5 3 no intervalo [0, 2p].
43
4749
S3
, 53
5 p p{ }
Resolução:
tg x2 tg x
2
1 tg x2
14
25
2
5
?
2
5 5
2 12
1
134
443
Resolução:
sen x2
cos x
2elevando ao quadr5
21→ aado os dois membros, temos:
cos x
2149
115
22→ ccos x cos x5 52
494749
→
Resolução:
4 sen x2
4 cos x
cos x2
4 c
2 1 5
?2
1
3
4 1 oos x 2(1 cos x 4 cos x
2 cos x 4 c
5 2 1 5
2 1
3 3
2
→ →
→
)
oos x 2 cos x cos x
cos x cos3
x
5 5 5
5 5
3 1 12
→ →
p → p33
x ou x 5
3, 5
3
→ p p
p p
5 5
5
3 3
S { }
��
146 OvalornuméricodaexpressãoA 5 4 sen x2
cos x2
cos x,? ? para x4
5 p , é:
a) 0 c) 2 e) 22b) 1 d) 21
147 Determinesen x2
notriângulodafiguraaseguir.
Resolução:
A 4 sen x2
cos x2
cos x, para x5 ? ? 5 p44
sen 2x 2 sen x cos x sen x 2 sen x2
cos x5 ? 5 ?→22
A 2 sen x cos x sen 2x sen 24
sen2
5 ? 5 5 ? 5→ p p →A AA 5 1
2 32
2
Resolução:
O triângulo é retângulo; então, x 11 5 5 5
52
52
2x ° 3x ° °
sen 30°2
cos 30°
90 90 30
12
1
→ → x
332
22 3
2
2 32
52
52Portanto, sen x
2.
��
148 Secossecx 53
e2
5 p ,x,p,determinetg x2
p 2
.
149 Sesen x2
cos x2 3
2 22 5 1 ,determineovalordesenx,sabendoquexéumarcodo2oquadrante.
13
Resolução:
Se cossec x sen x cos x25 5 5 53
35
1→ → 22
,
sen x
No segundo quadrante, cos x 0; port
2
aanto, cos x
tg x2
cos ( x
5 2 2 5 2
25
2 2
1 925
45
1p p( ) ))cos ( x)
cos x cos ( x) cos x
t
1
45
45
1 2
5 2 2 5 2 5
p
→ p
gg x2
p 25
2
15( ) 1 4
5
1 45
13
2 23
Resolução:
sen x2
cos x2
cos x2
2 22 5
22
13
1 12
115
22
15 2cos x
2cos x2
cos x2
2 co
213
1 1 13
→ → ss x2
cos x sen x 89
No segund
5
5 2 5 2 5
13
13
1 19
→
→
oo quadrante, o seno é positivo; portanto, ssen x 52 2
3.
��
150 Se tg2 5senecos0,determineovalordetg.
151 Determineasomadasraízesdaequaçãosenx5 sen x2
nointervalo[0,2p].
0
Resolução:
tg2
sen ; cos 0
tg2 tg
2
1
5
5
22 5
2 5
5
tg2
2 sen 2 sencos
2 tg2
21 2sensec
2 tg sec tg 0 tg (2 sec
?
? 2 5 2→ 11 0 0
12
) tg
0 e sec (não existe
tg
5 5
5 5
→
)
5 0
4p
Resolução:
sen x sen x2
; [0, 2 ]
2 sen x2
cos
5
?
p
x2
sen x2
sen x2
2 cos x2
sen x2
0 o
5 2 5
5
→ 1 0( )uu 2 cos x
2
Se sen x2
sen x2
sen 0 x 0
2 5
5 5 5
1 0
0 → → ou x 2
Se 2 cos x2
0 cos x2
12
cos x2
c
5
2 5 5 5
p
→ →1 oos3
x2 3
2k
x 23
4k 23
ou x 23
p → p p
p p → p p
5 1
5 1 5 5 2 5x 443
2 23
43
4
p
p p p psoma 5 1 1 1 50
��
152 Transformecos8x1cos4xemproduto.
p. 53
153 Simplifiqueaexpressão: cos 50° cos 0°sen 50° sen 0°
12
11
.
154 Fatorandoaexpressãosen22x2sen2x,obtemos:
a) 2senx?sen3x c) 2 sen x2
sen 3x2
? e) 2 sen x2
cos x2
?
b) senx?sen3x d) 2 sen 3x2
sen 3x2
?
2cos6x?cos2x
cotg20°
Resolução:
cos 8x cos 4x 2 cos 8x 4x2
cos 8x1 5
1?
225 ?
4x2
2 cos 6x cos 2x
Resolução:
cos 50° cos 10°sen 50° sen 10°
212
5ccos 50° °
2cos 50° °
2
2 sen 50° °2
co
1?
2
2?
10 10
10 ss 50° °2
2 cos 30° cos 20°2 sen 20° cos1
5??10 330°
cotg 20°5
Resolução:
Lembrando que: sen m sen n 2 sen2 5mm cos m e
sen m sen n 2 sen m cos
2?
1
1 51
?
n n
n2 2
2mm , teremos:
sen 2x sen x (sen 2x sen x2 2
2
2 5 2
n2
)) (sen 2x sen x)
2 sen 2x x cos 2x x? 1 5
52
?1
?2 2( ) 22 sen 2x x cos 2x x
2 sen x2
cos 3x2
1?
25
5 ? ?
2 2( )22 sen 3x
2cos x
22 sen x
2cos x
22 sen 3x
2? 5 ? ? ?? 5
5 ? ? ? 5 ?
cos 3x2
sen 22
sen 2 3x2
sen x sen 3xx
��
155 TransformeemprodutoasomaA5cosx1cos3x1cos5x1cos7x.
156 AotransformarmosemprodutoasomaA 5 cos 3x 2 cos x, obtemos:a) 2sen2x?senx c) 22sen2x?cosx e) 24sen2x?cosxb) 2sen2x?cosx d) 24sen2x?senx
157 Assinaleaalternativacorreta:a) sen40°1sen20°5sen60° d) sen40°1sen20°5sen10°b) sen40°1sen20°52sen10°?cos10° e) sen40°1sen20°5cos10°c) sen40°1sen20°5sen80°
Resolução:A5cosx1cos3x1cos5x1cos7x
A 2 cos 3x x cos 3x x 2 cos 7x x cos 7x5
1?
21
1?
2 25
222 5x2
A52cos2x ? cosx12cos6x ? cosxA52cosx(cos2x1cos6x)
A 2 cos x 2 cos 6x x cos 6x 2x5
1?
222 2( )
A52cosx ? (2cos4x ? cos2x)A54cosx ? cos2x ? cos4x
4cosx?cos2x?cos4x
Resolução:A5cos3x2cosx
A x5 2
1?
22 sen 3x sen 3x x22
522sen2x ? senx522 ? 2senx ? cosx ? senx
A524sen2x ? cosx
Resolução:Alternativae sen40°1sen20°52sen30° ? cos10°52 ?
12 ? cos10°5cos10°
��
158 Fatoreaexpressão: A sen 3x sen xsen 2x
51 .
159 Fatoreaexpressão:A5sen24x2sen22x.
160 Resolvaaequaçãosen5x5senxnointervalo[0,2p].
2cosx
S 0,2
, , 32
, 2 ,6
, 56
, 7 , 115 p p p p p p p p6 6{ }
A5sen6x?sen2x
Resolução:
A 51
5
1?sen 3x sen x
sen 2x
2 sen 3x x2
ccos 3x x
sen 2x2 sen 2x cos x
sen 2x2 cos
2
5?
52 x
Resolução:A5sen24x2sen22x
A5(sen4x1sen2x) ? (sen4x2sen2x)5 2 sen4x 2x
cos4x 2x
2 sen4x 2x
cos4x 2x1
?2
?2
?1
2 2 2 2
A52sen3x ? cosx ? 2senx ? cos3xA52 sen3x ? cos3x ? 2senx ? cosxA5sen2(3x) ? sen2x 5 sen6x ? sen2xA5sen6x ? sen2x
Resolução:sen5x5senx;[0,2p]sen5x2senx502sen2x ? cos3x50sen2x50oucos3x50
Se sen 2x sen 2x sen 0 2x k k2
x 0,
5 5 5 5
5
0 → → p → p →
→
x
xx2
, x , x 32
, x 2
Se cos 3x cos 3x c
5 5 5 5
5 5
p p p p
→0 oos2
3x2
2k x6
2k
6, 5
6,
p → p p → p p →
→ p p
5 1 5 1
5 5
3
x x xx x5 5
5
76
, 116
S 0,2
, , 32
, 2 ,6
, 56
,
p p
p p p p p p 76
, 116
p p{ }
�0
162 OvalordaexpressãoA 2 sen 1124
sen 724
5 2 ?p p é:
a)2 3
21
c) 222 32
e)3 2
42
b)3 2
22
d)2 3
42
161 Resolvaaequaçãosen7a12sen3a2sena50. S a a k3
ou a4
k2
, k Z5 5 5 1 IR p p p ⁄{ }Resolução:sen7a12sen3a2sena502sen3a ? cos4a12sen3a502sen3a(cos4a11)50sen3a50oucos4a1150
Se sen 3a sen 3a sen 0 3a k k3
, Z
Se
5 5 5 50 → → p → pa k ⁄
cos 4a cos 4a cos 4a cos 4a 2k1 5 5 2 5 5 11 0 1→ → p → p pp → p p
p p p
a4
k
k3
ou a4
k2
, Z
5 1
5 5 5 1
2
S a IR a k | ⁄{ }
Resolução:
A 5 2 ? 5 22 sen 1124
sen 724
cos p cosp p q
Fazendo p 1124
e p 724
, temos o15
25
q q2 2
p p ssistema
1112712
2p 1812
3
p q
p q
p
1 5
2 5
5 5
p
p
p →
pp
p → p
4Substituindo , temos:
p 1112
p
1 5 5 2q q 1112
334 6
cos p cos q
A cos 34
cos6
p → p
p p
q
A
5
5 2
5 2 5 2 222
332
2 32
5 22
��
163 Considereafunçãof(x)5senx?cosx112 (senx2sen5x).
a) Resolvaaequaçãof(x)50nointervalo[0,p].b) Ográficodefpodeinterceptararetadeequaçãoy 5 8
5?Expliquesuaresposta.
p. 55
164 Demonstreaidentidade:sen2x?tgx5222cos2x,sendoxkp.
a) S 0,2
, ,9
, 59
, 75 p p p p p9{ }
Resolução:
f(x) sen x cos x 12
(sen x sen 5x5 ? 1 2 ))
f(x) sen 2x2
2 sen x 5x2
cos x 5x
f(
5 12
?11
2 2( )xx) sen 2x
2sen 2x cos 3x sen 2x 1
2cos 3x5 2 ? 5 2( ))
( )a) f(x) sen 2x cos 3x sen 2x 0 ou5 2 5 50 12
0→ → 12
cos 3x 0
Se sen 2x 0 sen 2x sen 0 k
2 5
5 5 5→ → p2x →→ p → p p
→
x x5 5 5 5
2 5
k2
0, x2
, x
Se 12
cos 3x 0 cos 3x 55 5 5 1
5 1 5
12
3→ p → p p
p p → p
cos 3x cos3 3
2k
x9
2k3
x
x99
, x 59
, x 79
0,2
, ,9
, 59
, 79
b
5 5
5
p p
p p p p pS { })) f(x) sen x cos x 2 cos 3x sen 2x5 ? 2 51 1
21( ) 22 2 cos 3x( )
Aimagemdafunçãosenoéointervalo[21,1],eadafunção1 2 2cos3xéointervalo[21,3].Assim,aimagemdoprodutoseráointervalo[23,3],quemultiplicadopor12
resultará no intervalo , 32
2 32
.
Ovalormáximoserá 32
menorque 85
.Logo,ográficonãointerceptaaretadeequaçãoy 5 85
.
Resolução:sen2x ? tgx5222cos2x,sendoxkpDesenvolvendooprimeiromembro,temos:
sen 2x tg x 2 sen x cos x sen xcos x
? 5 ? ? 5
52sen2x52(12cos2x)5222cos2x(igualao2omembro)
��
165 Mostrequesec x x
cossec x sen x2
2cos
5tg3x,comsenx0.
166 Demonstreaidentidade:cotgx1tgx5cotgx?sec2x.
167 Podemosdizerqueafunçãoy 1 sen xcos x
cos xsen x
51
111
éidênticaa:
a) secx c) cossecx e) tgxb) 2secx d) 2cossecx
Resolução:
sec x cos xcossec x sen x
tg x,322
5 ccom sen x 0
Desenvolvendo o primeiro membro
,, temos:
sec x cos xcossec x sen x
cos xc
22
521 oos x
sen xsen x
cos xcos x
1 sen xsen
2
21
1
25
2
2xx
sen xcos xcos xsen x
sen xcos x
sen x
2
2
2
5 5 ?ccos x
tg x (igual ao 2membro)
23 o_5
Resolução:cotgx1tgx5cotgx ? sec2xDesenvolvendooprimeiromembro,temos:
cotg x tg x cos xsen x
sen xcos x
cos x se2
1 5 1 51 nn x
sen x cos x sen x cos xsec x cossec
2
?5
?5 ?1 xx
Desenvolvendoosegundomembro,temos:
cotg x sec x cos xsen x
1cos x sen x cos
22? 5 ? 5
?1
xsec x cossec x5 ?
Osdoismembrosrepresentamumaigualdade;então,aidentidadeseverifica.
Resolução:
y 51
11
511 1sen x
cos xcos x
1 sen x2 seen x sen x cos x
cos x(1 sen x)2 sen x2 21 1
15
12ccos x(1 sen x)
2(1 sen x)cos x(1 sen x)
15
51
15 2
ccos x2 sec x5
��
169 Aexpressão sen xsen x
cos 2xcos x
2 2 éidênticaa:
a) senx c) tgx e) cossecxb) cosx d) secx
168 Sejamasidentidades: I. (sen x ? cos x) ? (tg x 2 cotg x) 5 1
II. (sen x ? cos x) ? (tg x 1 cotg x) 5 1
III. (sen x ? cos x) ? (tg x ? cotg x) 5 1
cossec x sec x?
Podemosafirmarque:a) IeIIsãofalsas,eIIIéverdadeira. d) todassãoverdadeiras.b) Iéverdadeira,eIIeIIIsãofalsas. e) todassãofalsas.c) Iéfalsa,eIIeIIIsãoverdadeiras.
Resolução: I. (Falsa);(senx ? cosx) ? (tgx2cotgx)5(senx ? cosx) ? sen x
cos xcos xsen x
2 5( ) 5 sen2x2cos2x1.
II. (Verdadeira);(senx ? cosx) ? (tgx1cotgx)5(senx ? cosx) ? sen xcos x
cos xsen x
1 5( ) 5 sen2x1cos2x51.
III. (Verdadeira);(senx ? cosx) ? (tgx ? cotgx)5(senx ? cosx) ? sen xcos x
cos xsen x
? 5
5 ? 5
?sen x cos x
cossec x sec x1 .
Resolução:
sen 2xsen x
cos 2xcos x
2 sen x c2 5
? oos xsen x
2 cos x 1cos x
2 cos x 2 cos x2 2
22
5 222
5
52 1
5 5
1
1 1
cos x
2 cos x 2 cos xcos x cos x
s2 2
eec x
��
p. 56
171 Desenvolvendoafunçãoy5sen4x2cos4x,obtemos:a) sen2x c) tg2x e) 2cos2xb) 2sen2x d) cos2x
172 Demonstreaidentidade:(cossecx2cotgx)251 cos x
sen x2
2( )2
.
170 Aexpressão(cotgx2senx)21(11cosx)2equivalea:a) cotg2x c) cossec2x e) sec2xb) cotg2x11 d) cossec2x11
Resolução:y5sen4x2cos4x55(sen2x1cos2x) ? (sen2x2cos2x)512cos2x2cos2x55122cos2x52cos2x
Resolução:
(cossec x cotg x) cos xsen
222 5
2( )1 2
xDesenvolvendo o primeiro membro, temos:
(ccossec x cotg x) 1sen x
cos xsen x
1 c22 5 2 52( )2 oos xsen x
(1 cos x)sen x
(igual ao 22
2o( )2
52 __ membro)
Resolução:(cotgx2senx)21(11cosx)25
5 2cotg x 2 cos xsen x
2 ? senx1sen2x1112cosx1cos2x5
5cotg2x22cosx12cosx1sen2x1cos2x115cotg2x1255cossec2x21125cossec2x11
��
173 Aexpressãotg(45°1x)?cotg(45°2x)éidênticaa:
a)tg xtg x
12
11 c)
1 sen x1 sen 2x
12
2 e) 11sen2x
b)1 cos x1 cos x
12
d)cos 2x
1 cos 2x2
174 Provequecos4a58cos4a28cos2a11.
Resolução:
tg (45° ) tg (45° ) tg (45°1 ? 2 5 1x co x x))tg (45° )
tg 45° tg x1 tg 45° tg x
1
?2
5
51
2 ??
1
1x
ttg 45° tg xtg 45° tg x
tg xtg x
tg x?
25
1
2?
111
111
11
25
1
25
51 1
tg x(1 tg x)(1 tg x)
2 tg x tg x
2
2
2
22 15
1
25
2 tg x tg xsec x 2 tg xsec x 2 tg x2
2
2
1ccos x
2 sen xcos x
cos x2 sen x
cos x
2
2
1
2
5
5
1
1 11 ?
2 ?5
1
2
2 sen x cos x2 sen x cos x
sen 2xse1
11 nn 2x
Resolução:cos2a5cos2a2sen2acos2a5cos2a2(12cos2a)52cos2a21Então:cos4a52cos22a21→cos4a52(2cos2a21)221→→cos4a52(4cos4a24cos2a11)21→→cos4a58cos4a28cos2a11(igualao2omembro)
��
175 Mostreque 11 1
?12
5sec x
1 cos x1 cos x
cotg x.
Em questões como a 176, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I, e as falsas, na II.
176 (UFPE)Analiseasidentidadesabaixo:I – II
0 – 0 sen2 x 1 cos2 (2x) 5 2
1 – 1 1 1 sen4 x 5 2 sen2 x 1 cos4 x
2 – 2 sen x
1 cos 2xtg x
22
15 11
3 – 3 sen x ? tg x 1 sen x 5 sec x
4 – 4 1 sen x cotg x1 cotg x
22
22 51
F
V
F
F
V
Resolução:
11 sec x
1 cos x1 cos x
cotg x
Des
1?
12
5
eenvolvendo o primeiro membro, temos:
sec1
1 1 xcos xcos x sec x
(1 cos x (1 co?
12
51
?1 ? 11
11
1) ss x
(1 cos x (1 cos x
1 sec x(1 cos x
)) )2 ? 1
5
51
?11 ))2
11
1
1 1
25
1?
15
51
cos x 1 sec x1 cos x
sen x
cos
2
xx
cos xsen x
cos xcos x
cos xsen x
c?1
51
?1
51
11 ootg x (igual ao 2 membro)o_
Resolução:0–0 (Falsa);sen2x1cos2(2x)52;parax50→011511–1 (Verdadeira);11sen4x52sen2x1cos4x 11(12cos2x)2511122cos2x1cos4x52(12cos2x)1cos4x52sen2x1cos4x
2–2 (Falsa); sen x1 cos 2x
1 tg x2
2
15 1
Sex50→0513–3 (Falsa);senx ? tgx1senx5secx Sex50→01051
4–4 (Verdadeira);1 2 51
sen x cotg x1 cotg x
22
2
cos x
cos xsen x
cos xsen x
cos xsen2
2
2
2
2
2
5
1
5
1
22
2 2
2
2xsen x cos x
sen x
cos x1
5
��
p. 60
177 Resolvaainequação0<cosx< 12
.
178 Quaisnúmerossatisfazem
sen x
e ?
cos x
12
12
S x6
2k x3
2k , k Z5 1 , , 1 IR p p p p ⁄{ }
S x3
2k x2
2k ou
32
k x 53
2k ,
5 1 1
1 1
IR p p p p
p p p p
{2 kk Z ⁄ }
Resolução:
0 cos x
S x3
2k x2
2k o
5 1 1
12
IR p p p p uu 32
k x 53
2k Z{ }p p p p1 12 , k ⁄
Resolução:
sen x 12
; cos x 12
Os números que
ssatisfazem as duas inequações estão entre pp p
p p p p
6e
3
62k 2k , Z
.
| S x IR x k5 1 , , 1 3
⁄{ }
π2
1cos x2
0
π3
3π2
5π3
π6
12
sen x
5π6
π3
12
5π3
cos x
��
179 Resolvaainequaçãotg x3
2 p( ) 33
, sendo0,x,2p.
S x2
x 56
ou 32
x 116
5 , , , , IR p p p p{ }Resolução:
tg x3
33
tg x3
tg x3
2
2 2
p
p → p
( )
( ) (33 )) , 2 ,
, 2 , 1 , ,
tg6 6 2
ou
76 3
32 6 3
p → p p p
p p p → p p
x
x x
3pp p
p p p p → p p
p
2 3ou
76 3
32 3 2
56
ou
32
1
1
1 , , 1 , ,
, ,
x x
x 116
S x2
x 56
ou 32
x 116
p
p p p p5 , , , , IR{ }
7π6
3π2
π2
π6
tg x
33
��
181 Resolvaainequaçãosenx1cosx< 22
nointervalo[0,2p].
180 Quaisosnúmerosquesatisfazem(senx1cosx)2,1?
S x 712
x 2312
5 IR p p{ }
S x2
k x k Z5 1 , , 1 IR p p p p, k ⁄{ }Resolução:(senx1cosx)2,1sen2x12senx ? cosx1cos2x,1→2senx ? cosx,0→sen2x,0
p12kp,2x,2p12kp→ p2
1kp,x,p1kp
S5{xV| p2
1kp,x,p1kp,kB}
Resolução:
sen x cos x 22
; [0, 2 ]
sen x sen
1
1
p
pp →2
22
transformando em produto, temos:2 x( )22 sen
4cos x
4cos x
4p p → p →? 2 ? 2 ( ) ( )2
22 2
222
22 cos x4
cos x4
cos x4
c
2
2 2
p →
→ p → p
( )( ) ( )
1
12
oos3
3 453
712
2312
S x 712
p
p p p → p p
p
2
5
x x
x IR 2312
p{ }
sen x
0 z 2ππ
cos x
π3
12
5π3
�0
183 Determineosarcosquesatisfazemainequaçãosen x , 2 32
.
182 Determineosnúmerosquesatisfazem
sen x
e
cos x2
32
1
nointervalo[0,2p].
S x 43
2k x 53
2k , Z5 1 , , 1 IR p p p p k ⁄{ }
S3
5 p{ }
Resolução:
sen x ; cos x 12
; [0, 2 ]
O únic
32
p
oo ponto em comum é3
.
S3
p
p 5 { }
Resolução:
sen x
43
5
S x 43
2k
, 2
, ,
5 1 ,
32
3p p
p p
x
IR xx 53
2k , Z, 1p p k ⁄{ }
sen x
cos x
π3
2π3
32
π3
12
5π3
sen x
�32
5π3
4π3
��
185 Quaisosarcosquesatisfazemainequação2 , ,22
12
cos x situados na primeira determinação positiva?
184 Resolvaainequação2cosx2sen2x<cos2x.
cos x
π3
12
5π3
5π4
3π4
�22
S x3
x 34
ou 54
x 53
5 , , , , IR p p p p{ }
S x3
2k x 53
2k , k Z5 1 1 IR p p p p ⁄{ }Resolução:
2 cos x sen x cos x2 cos x sen
2 2
2
2
2 x cos x 2 cos x (sen x cos x)
2 c
2 2 22 2 1 0 0→ →
→ oos x 1 cos x
35
S x3
2k x 5
2
5 1
0 12
3
→
p p
p p
x
IR pp p3
2k , Z1 k ⁄{ }
Resolução:
2 , ,
5 , , ,
22
12
cos x
S x3
x 34
ou 54
IR p p p xx 53
, p{ }
cos x
π3
12
5π3
��
186 Resolvaainequação sen3
x sen3
xp p1 2 2 ( ) ( ) 0.
S x 0 2k x 2k Z5 1 1 IR p p p, k ⁄{ }Resolução:
sen3
sen3
sen3
cos
p p
p
1 2 2
?
x x( ) ( ) 0
x cos3
sen x sen3
cos x cos3
sen x1 ? 2 ? 1 ? p p p 00
0
12
→
→ p
p
2 cos3
sen x
Como cos3
, temos s
?
5 een x
S x 0 2k x 2k , Z
5 1 1
0.
IR p p p k ⁄{ }
0π
sen x
��
187 Resolvaainequação2?(12sen2x)15senx240.
S x6
2k x 56
2k , k Z5 1 1 IR p p p p ⁄{ }Resolução:2?(12sen2x)15senx240222sen2x15senx2402sen2x25senx120zerosdef:
sen x sen x e sen x5 2
5 55 25 16
42 1
2→
Afunçãosenoestádefinidaentre21e1.
S x6
2k x 56
2k , k Z5 1 1 IR p p p p ⁄{ }
21
12
� �
�
sen x
5π6
1
π61
2
��
188 (Fuvest-SP)Determineosvaloresdexnointervalo]0,2p[paraosquaiscosx 3 3sen x 1 .
S x 32
x 116
5 IR p p{ }Resolução:
cos x sen x ; ]0, 2 [
cos x s
1
2
3 3
3
p
een x
Multiplicando a equação por 12
, temo
3
ss:
12
cos x sen x cos3
e 32
sen2 5 532
32
12
→ p pp
p p →
3, então:
cos3
cos x sen3
sen x cos? 2 ? 32 3
62k
3 62k
22k
x
x x
1
2 1 1 1 2 1 2
p
p p p p p → p p p
( ) 32
662k
32
2k 116
2k
Como x ]0, 2 [, e
1
1 1
p →
→ p p p p
p
x
nntão: 32
116
S x 32
x 116
p p
p p
5
x .
IR{ }
cos x
π6
�π6
32