"aIntroduçãoDinâmica

ções que nos remetem ao conceito de força.

ações como uma luta de boxe, uma formiga carregando uma folha, uma construção imponente, umamergulhando, um tornado e um avião em voo nos remetem ao conceito de força.

ORÇA E SEUS EFEITOS_- rmalmente relacionamos força a uma ativi--; muscular necessária para praticar uma ação,

.evantar, empurrar ou puxar algo.e capítulo, veremos que as forças estão pre-

em várias situações do nosso cotidiano - aín-__ => de maneira não explícita - e compreendere-

=:: zuns de seus principais efeitos.erve as várias situações ilustradas pelas foto-

=- acima:

uma luta de boxe, o soco dado por um lutador""ederrubar o adversário;

formiga é capaz de erguer uma folha compeso maior que o dela própria;

estruturas de um prédio ou de uma ponte de-=-- dar as condições para que a construção se--enha em equilíbrio;

- pessoa submersa em uma piscina parece- - leve que quando está fora dela;

acão ou um vendaval podem derrubar ca-destelhá-las;

• uma falha em um dos reversos de um aviãopode íazê-lo girar na pista.

Reverso: equipamento que inverte a pressão nasturbinas do avião para ajudar a aeronave a frear.

Em todas essas situações, há a ação de forças.Podemos concluir que a força é capaz de:

1. Manter equilíbrio ou causar desequilíbrio (entrarem movimento).

2. Acelerar um objeto ou frear um objeto.3. Fazer um corpo se mover (translação) ou fazer

um objeto girar (rotação).4. Atuar em contatos ou agir a distância.

Agora vamos exemplificar, na página seguinte,cada um desses efeitos:1. Um quadro colocado em uma parede e sustentado

por dois fios, como sugere a figura seguinte, estáem equilíbrio.

Cortando um dos fios, ocorre um desequilíbrio eo quadro se move.

2. Chutando uma bola, você a coloca em movi-mento.

;' -, , ,.,.,.'•• •• 1'- *_ ••

Após certo deslocamento, a bola perde velocida-de até parar.

~\))

3. A bola chutada possui movimento de translação.

E também possui rotação.

'jlll!!~4. Você pode dar um empurrão em um prego de

ferro.

E pode atraí-Ia com um imã.

Em todos os casos descritos, podemos perceber q c.

uma força é capaz de alterar (por excesso ou por falta velocidade de um corpo e que ela surge justamenrsda interação entre esse corpo e sua vizinhança.

2. REFERENCIAL INERCIALo movimento retilíneo e uniforme satisfaz a uma

condição de equilíbrio, que está relacionada ao fatode que, nesse movimento, o corpo não possui ace-leração - lembre-se daquela situação em que nãonecessitamos segurar em algum apoio para não cairquando o trem ou o ônibus em que viajamos se movecom velocidade constante e em linha reta.

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tanto, possui aceleração diferente de zero, mas nósnão percebemos esses movimentos que podem serdesprezados, quando analisamos eventos que duremmenos de um dia. Assim, a Terra pode ser conside-rada um referencial inercial para a maioria dos casosem nosso dia a dia.

Um sistema de referências livre de forças, no qualos os corpos, estão em repouso ou em movimento

;:mmeo e uniforme é chamado de referencial inercial.As estrelas distantes são normalmente adotadaso referenciais inerciais, pois:

a distância entre elas não se altera;a interação entre elas e a vizinhança é desprezível.Dado um referencial inercial, qualquer outro sis-a de referências, que não possua aceleração em

::!açãoa ele, também será inercial.

• O planeta Terra é umgferencial inercial?

Em 1851, o cientista francês Leon Foucault realizouexperiência para demonstrar os efeitos da rota-

- da Terra. Ele construiu um pêndulo suspenso por~ fio de aproximadamente 70 m, e o pendurou na

_ula de uma igreja, em Paris. Esse pêndulo possuíaponteiro metálico que varria uma porção de areia

- cada sob ele. Foucault observou que a varredura-~ areia era mais rápida no lado sul dessa porção que- lado norte. Esse fato demonstrava que a Terra não é

referencial inercial (a Terra é como um carrossel).

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tótipo do pêndulo de Foucault, no Museu das~-éncias Príncipe Felipe, em Valência (Espanha).

.ATerra possui movimento de rotação, em tornoseu eixo, e de translação, em torno do Sol. Por-

LEIS DE NEWTON

NÃO MANDEI vocÊ SEMOVIMENTAR UM POUCO HOJE?

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OBVIAMENTE JON NÃO ESTÁ ;;:LEVANDO EM CONTA A S

ROTAÇÃO DA TERRA

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leis da Mecânica que vamos estudar a partir de agora são válidas em refe-iais inerciais e foram elaboradas pelo físico inglês Isaac Newton (1642-172 7) .siderado um dos maiores cientistas de todos os tempos, Newton desenvolveu~eias relacionadas ao estudo do movimento em três leis, conhecidas como leis_-ewton, que foram publicadas na obra conhecida como Principia (Principiaiiematica philosophiae naturalis).

rodução da capa de exemplar da primeira edição, em 1687, da obra Principia (Philo-_':.iaeNattiralis Principia Mathematica), de Isaac Newton.

PHlLOSOPNIJENATURALIS

PRINCIPIAMATHEMATICA

A_e~E'O!. T~s..!!~Soc.~tlooftw

lMPRIMATUR·s, P E P r S, ,,\:Sot. I' tt . .t;, ES

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• Inérciao vazamento de óleo em auto estradas é res-

ponsável por vários acidentes. O motorista tentafrear, não consegue e acaba colidindo com o carroda frente. Às vezes, ele não consegue fazer umacurva e continua em linha reta.

Veículo usando correntes nas rodas para se movermelhor no gelo.

Em países de inverno rigoroso, esses acidentessão ainda mais corriqueiros, não devido ao óleo,mas por causa do gelo depositado pela neve, quedeixa a rua escorregadia e a roda do carro girasem tirá-I o do lugar, assim como a roda travadanão é suficiente para parar o carro. Nessas con-dições, é comum que um carro em repouso tenhadificuldade para se mover e que um carro em mo-vimento possua dificuldade para parar.

I Essa _ dificuldade está relacionada aoconceito físico de mercia, que é umapropriedade que todo corpo tem de se opor àvariação de sua velocidade.

Quando ocorre um acidente, em que o carrobate de frente contra um obstáculo, os passagei-ros tendem a continuar em movimento em rela-ção à Terra: os que estão no banco da frente po-dem sofrer sérios traumatismos, principalmentena cabeça e no tórax; os passageiros do bancode trás também ficam sujeitos a traumas, comoluxações no pescoço e na coluna. O uso corretode cintos de segurança e de air bag (colchão dear) minimiza as consequências de acidentes au-tomobilísticos.

a) Nesse carro de prova, o boneco simula um passageiro sem cinto de segurança, que é arremessado contrapara-brisa quando o carro se choca contra um anteparo. (b) Já nessa outra situação, o carro se choca contraanteparo e o passageiro (boneco), usando cinto de segurança, se mantém sentado e não se fere no para-bri

Primeira lei de Newton (lei da inércia)

Se uma caixa de fósforos for lançada horízontalmen-bre o solo, ela se deslocará durante certo intervalo

-- :anpo até parar, mas, se o solo estiver sufícientemen-30, a distância percorrida pela caixa será maior. .Existe, portanto, alguma coisa na vizinhança da

Zxa que interage com ela fazendo-a perder velo--"de. Se conseguíssemos eliminar essa interaçãozre a caixa e sua vizinhança, ela continuaria es-

:-::egando indefinidamente com velocidade COllS-

--::e e em linha reta.Esse fato é conhecido como princípio da inércia,

__~ pode ser assim enunciado:

Todo corpo livre de forças externas possuioeidade constante.

_>- velocidade é uma grandeza vetorial, portanto,

•

para ser constante, o corpo deve estar em repousoou em movimento retilíneo e uniforme.

Quando dizemos que um corpo está livre de for-ças, estarnos dizendo que o efeito global das forçasque atuam sobre ele é nulo.

Se a força resultante sobre um corpo for nula,então sua aceleração também o será.

F =Õ{=}â=Õres.

Como vimos, força é o agente necessário para alte-rar a velocidade de um corpo, mas não para mantê-loem movimento. Esse fato é importante e muitas vezescontradiz nosso senso comum. Por isso perdurou pormais de 1.700 anos a falsa ideia de que, se cessassemas forças sobre um corpo, este pararia.

• Um corpo encontra-se em movimento retilíneo e uniforme, em relação a um referencial fixo na Terra.É correto afirmar que há uma força aplicada na direção do movimento do corpo? Justifique sua resposta.ResoLuçãoA afirmação não é correta. Não há necessidade de tal força, pois o movimento retilíneo e uniforme podeser mantido por inércia.

Considere um ônibus em movimento em linha reta e com velocidade constante em relação a um referen-cial fixo na Terra: Se o motorista frear bruscamente, o que acontecerá com seus passageiros?ResoLuçãoPor inércia, a tendência é que cada passageiro mantenha seu movimento em linha reta no mesmo sentido ecom o mesmo módulo de velocidade verificado antes do início da freada.

• Uma partícula encontra-se sob ação de duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. Oque se pode afirmar a respeito de seu estado cinemático?ResoLuçãoComo as forças se anulam, a força resultante aplicada é igual a zero, portanto a partícula se encontra emrepouso ou em movimento retilíneo e uniforme.

Exercícios propostas

-. uando uma toalha que está sobre uma mesa é puxada rapidamente, os objetos que se encontram sobre a mesa nãosão arrastados com a toalha. Explique por que isso acontece.Professor, veja a resposta no manual.- agine que um objeto se desloca sob a ação de uma força constante e paralela à direção de seu movimentoe no mesmo sentido dele. Em determinado instante, outra força, de mesmo módulo e direção que a anterior,

orém em sentido oposto, é aplicada sob o corpo. O que acontece com o movimento do corpo?Professor, veja a resposta no manual.

3. (Unirio adap.)

A qual lei física os quadrinhos acima se referem? Explique sua resposta.Professor, veja a resposta no manual.

4. Um carro Se desloca em linha reta com velocidade constante e igual a 80 km/h em relação à estrada onde seencontra. Uma criança sentada no banco traseiro joga um objeto verticalmente para cima. Ao cair, o objetovolta para as mãos da criança? Explique seu raciocínio.Professor, veja a resposta no manual.

_ Exercícios complementares de 1 a 4.

• Segunda lei de Newton

Em rodovias de grande porte, os caminhões,além de se manterem à direita, possuem um limitede velocidade inferior ao dos demais veículos.

11. Se esses veículos pararem de funcionar, qual de-les é mais facilmente empurrado para o acosta-mento?Percebemos que é mais complicado parar o cami-

nhão, assim como colocá-lo em movimento, ou seja,a mesma força não produz o mesmo efeito nos doisveículos. Isso se deve ao fato de o caminhão exerceruma dificuldade maior que o carro para alterar suavelocidade. Em outras palavras, a inércia do cami-nhão é maior que a do carro.

Quanto mais pessoas ajudarem a empurrar o car-ro, mais rapidamente ele é levado ao acostamento. Po-demos verificar que a relação entre o módulo da forçaresultante sobre o corpo e a intensidade da aceleraçãoadquirida por ele é constante e igual à massa do corpo.

VELOCIDADE MÁX. PERMITIDA

AUTOMÓVEISCAMINHONETES

MOTOS

CAMINHÕESÔNIBUS

DEMAIS VEícULOS

Fm = ~ = constante

aNas rodovias brasileiras, é comum as placas infor-marem velocidades diferentes para veículos leves eveículos pesados. Além da segurança dos que tra-fegam por essas estradas, a velocidade diferenciadavisa a melhor conservação da pavimentação.

Um objeto com massa de 10,0 kg tem inérciamaior que um de 5,0 kg, que tem inércia maior qUEum de 1,0 kg.

Podemos concluir: A massa do corpo é uma me-dida de sua inércia.Pense nestas duas situações envolvendo um ca-

minhão e um carro de passeio:I. É mais fácil parar um caminhão ou um carro de .'

passeio que estejam transitando a uma mesmavelocidade?

A força resultante sobre um corpo é diretamenteproporcional à aceleração por ele adquirida.

Esse fato é conhecido como segunda lei de Newtonou princípio fundamental da Dinâmica.

A unidade de força adotada pelo Sistema Interna-cional é o newton (N).

Preso = m . a1 N é a intensidade da força resultante que,

aplicada sobre um corpo de massa 1,0 kg, produzuma aceleração de 1 rn/s".Da segunda lei de Newton, vem:

P =Õ<=?ã=Õres.

:::rueestá de acordo com a lei da inércia.o Sistema Internacional a unidade adotada para a

sa é o quilograma (kg) e para a aceleração é m/s- .

Concluindo: 1 N = 1 kg . rn/s-Note que a unidade de força é dada pelo produto

da unidade de massa (kg) pela unidade de acelera-ção (rn/s-l.

•.Considere um automóvel de massa igual a 1.000 kg, inicialmente em repouso. Após sua partida, verifica-seque o motor aplica uma força única constante e paralela ao movimento, de módulo igual a 5.000 N. Nessascondições, determine:a) a aceleração adquirida pelo carro;b) a distância que ele percorre após 4 segundos de movimento.ResoLuçãoa) Se a força de 5.000 N é a única aplicada, ela será também a resultante. Aplicando-se a segunda lei de

Newton, temos:

F = m . ü=» 5.000 = 1.000 . a =>a = 5.000 :. a = 5 m/s"res. 1.000

b) Como o módulo da força aplicada é constante, a aceleração adquirida pelo carro também o será, e omovimento é uniformemente variado. Assim, temos:

a 5,is = v . t + -. f =>,is = - . 42=>,is = 2,5 . 16:. ,is = 40 mo 2 2

Um corpo de massa igual a 1,0 kg se desloca em movimento retilíneo e uniforme com velocidade igual a72 krn/h, quando, subitamente, uma força constante e aplicada no sentido contrário ao movimento passa a agirno corpo, provocando uma desaceleração de módulo igual a 2,0 m/s". Nessas condições, determine:2.) o módulo da força aplicada;_) a distância percorrida pelo corpo até a parada completa.

esolução2.) Usando a segunda lei de Newton:

Fres. = m . a =>F = 1,0 . 2,0:. F = 2,0 N

Observe que aqui a aceleração é usada sem levar em conta o sinal negativo.Primeiramente vamos converter o módulo da velocidade inicial do corpo para o SI:VO = ~ =:. v = 20 rn/s

3,6 o

O movimento do corpo é uniformemente variado, pois, se a força aplicada para frear o carro é constante, aesaceleração aplicada também o será. Note que, nas equações que envolvem cinemática escalar, devemos

usar o sinal da aceleração. Assim, usando a equação de Torricelli:

400li = V01 + 2 . a . ,is =>01 = 202 + 2 . (-2,0) . ,is :. 4,0 . ,is = 400 =>,is = - .. ,is = 100 m

4

Exercícios propostos

5. Considere as forças aplicadas nos blocos a seguire a respectiva massa de cada um deles, indicadasnas figuras. Determine, em cada caso, o módulo daaceleração adquirida pelo bloco.

a)§-F=4,5N

m = 1,5 kga) a = 3 m/52

b) F2 = 2,0 N~l = 4,0 N

m = 2 kg

b) a = 1 m/52

c)Fl=3'0~. 900

• F2= 4,0 N

m=5,Okgc) a = 1 m/52

d) Fl=5,ON~ 1200

F2= 5,0 N

m= 2,5 kgd) a = 2 m/52

_ Exercícios complementares de 5 a 8.

6. Um móvel de massa igual a 200 g, inicialmenteem repouso, passa a se deslocar em movimento re-tilíneo e uniformemente variado, com aceleraçãoconstante e de módulo igual a 2 m/s'. Após percor-rer 100 rn, determine, nessas condições:a) o módulo da resultante das forças aplicadas no

móvel; a) FR

= 0,4 N

b) a velocidade que ele adquire após 100 m per-corridos; b) v = 20 m/s

c) a duração do movimento. c) t = 10 5

7. Umcorpo de massa igual a 1kg se desloca em linha retacom velocidade de módulo constante e igual a 10 m/s,quando uma força de módulo igual a 5 N é aplicada nadireção em que o corpo se move, porém em sentidocontrário, tal como mostra a figura a seguir.

••5 N

Determine quanto tempo o corpo leva até invertero sentido de seu movimento. t = 25

• Corpo em queda

No capítulo 4, estudamos que, desprezando oefeito do ar, quando um corpo é abandonado de cer-ta altura, ele possui uma aceleração chamada deaceleração da gravidade.

Mas, se um corpo possui aceleração, em relaçãoa um referencial inercial, como estamos consideran-do o planeta Terra, então ele deve estar, conforme asegunda lei de Newton, sujeito a uma força resul-tante não nula, dada pela expressão:

Vimos, também, que a intensidade da aceleraçãoda gravidade, para pequenas altitudes, é pratica-mente constante e é indicada por g. Podemos, então,concluir que a força resultante, que atua sobre essecorpo, tem intensidade diretamente proporcional aomódulo dessa aceleração, logo:

I

Essa força resultante, que atua sobre um corpoem queda livre, é chamada de força peso, ou sim-plesmente peso. Assim, o peso de um corpo é defi-nido como o produto entre sua massa e a aceleraçãda gravidade local.

No nosso dia a dia, o termo "peso" é mais difun-dido que o termo "massa", mas os conceitos físic :dessas grandezas são bem diferentes.

Por exemplo, se uma pessoa possui massa de 50 -=e está em algum lugar do planeta Terra, então estssujeita a uma aceleração da gravidade, que varia

de 9,78 m/s- a 9,83 m/s-. (Esse valor é comumenteaproximado para 9,8 m/s")

Assim, a intensidade da força peso ou, simples-mente, o peso dessa pessoa será:

P = m . g ~ P = 50 ' 9,8 ~ P = 490 NVocê pode manter a linguagem coloquial, mas é

importante saber diferenciar a linguagem do dia adia da linguagem científica.

Justamente por ser a aceleração da gravidadeconsiderada constante, o peso de 1 kg de arroz emMacapá é praticamente igual ao peso de 1 kg de ar-roz no polo Norte.

Como peso é força, então ele possui direção esentido, como qualquer vetor.

A força peso de um corpo na Terra tem a mesma di-:eção e sentido que a aceleração da gravidade, ou seja, évertical e dirigida para o centro de gravidade do planeta.

Representação sem escala, cores- fantasia.

_-:.unidade usual do peso em atividades industriais,c na indústria pesada, é o quilograma-força (kgf),

im definida:

: gf é a intensidade do peso de um corpo- -;: sa 1 kg em um local onde a aceleração da

_ ~ -::ade vale 9,8 m/52•

Podemos concluir que:

1 kgf = 9,8 N

• Massa gravitacional e massa inercialA massa de um corpo medida por meio de uma

balança, na qual as forças gravitacionais são equili-bradas, é chamada de massa gravitacional.

oÕ.c

~o§

Balança de dois pratos.

Podemos também medir a massa de um corpopor meio da segunda lei de Newton, quando aplica-mos uma força resultante sobre o corpo para colocá--10 em movimento e determinamos a aceleração porele adquirida. Nesse caso, a massa medida informasobre a dificuldade de variar a velocidade do corpoe é chamada de massa inercial.

Vamos usar indiscriminadamente o termo massa,pois, apesar de conceitualmente diferentes, o valorda massa inercial de um corpo é igual ao valor desua massa gravitacional.

os corpos é mais pesado: o corpo A, de massa 5 kg, ou o corpo B, cujo peso vale 5 N? (Adote: g = 10 m/s")luçõo

calcular a massa de B:--------------------------------------------------~~

o corpo A é o mais pesado, ou seja, a massa de A é igual a dez vezes a massa de B.

7. Usando uma balança graduada, em newtons, um astronauta encontra, para o peso de determinado objeto, osvalores 29,4 N e 4,8 N, respectivamente na Terra e na Lua. Considere o valor da aceleração da gravidade nasuperfície da Terra igual a 9,8 rn/s' e determine:a) a massa do objeto;b) o valor da aceleração da gravidade na superfície da Lua.Resoluçãoa) A massa do objeto é a medida de sua inércia, portanto seu valor é o mesmo na Terra e na Lua. Assim, para

determinar seu valor, temos:

_ PB _ 5 NmB ------g 10 m/s2

5 kg . m/s2•• m = 0,5 kg

10 m/s2

m = 3 kgP = m . g => 29 4 = m . 9 8 => m = 29,4Terra Terra I I 9 I 8 ..

4,8b) P =m·g =>48=3'g =>g =- ..Lua Lua' Lua Lua 3

Exercícios propostos

8. o que pesa mais, um corpo A, de massa 1 kg, ou umcorpo B, cujo peso vale 100 N? (Adote: g = 10 rn/s")

o corpo B pesa mais.9. Determinado objeto possui peso igual a 19,6 N na

superfície da Terra, onde a aceleração da gravidadeé igual a 9,8 m/s", Enviado para Júpiter, por meiode uma sonda espacial com uma balança graduada

em newtons, o valor encontrado para o seu peso foi52,8 N. Determine: a) mTerra = 2 kga) o valor da massa do objeto na Terra e em Júpiter;b) o valor da aceleração da gravidade na superfí-

cie de Júpiter, gJúpiI" = 26,4 m/s-

_ Exercícios complementares de 9 a 11.

• Terceira lei de Newton (lei da ação e reação) _

Em um barco a remo, as pessoas empurram a água para trás e o barco se desloca para a frente.Os canhões de guerra tinham de ser presos por correntes porque, logo após o disparo, eles recuavam,

machucando os atiradores.

Esses fatos estão relacionados à terceira lei de Newton, que pode ser assim enunciada:

IiA toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade e direção, porém com sentido oposto.

11

Em outras palavras, se um corpo A exerce umaforça sobre um corpo B, então o corpo B exerce so-bre A uma força, de mesma intensidade e direção,mas de sentido oposto.

Um foguete lança para fora, com enorme velocidade,jatos que são produzidos por explosões; esses jatosreagem e aplicam no foguete uma força que vai mo-vimentá-Ia. Na foto, vemos o ônibus espacial Ailaruis,que decolou em 2 de agosto de 1991 com uma equipede cinco tripulantes.

De acordo com a terceira lei de Newton, não háum corpo que "age" e um que "reage", mas umainteração mútua e simultânea entre os corpos, ouentre o corpo e sua vizinhança.

Note que os pares ação e reação nunca se equi-libram, pois as forças estão aplicadas em corposdistintos.

Um homem aplica uma força sobre a caixa; estaaplica uma força sobre o homem. Essas forças estãoaplicadas em corpos diferentes e, portanto, não secancelam .

• Analisando as forças de um corpo

Para analisarmos as forças sob as leis de Newton, é::ecessário que saibamos de que maneira o corpo emzuestão interage com sua vizinhança.

I. Corpo em repouso sobre um plano horizontal.(O corpo interage com o plano e com o planeta

-erra.)O corpo está em repouso, logo, a força resultan-

:: FR sobre ele é nula. Para que FR seja igualada azero, deve existir uma força vertical, para cima e_~m a mesma intensidade da força peso. Essa força

compressão entre duas superfícies em contato:::chamada de força normal N. Em linguagem ma-- ática, "normal" é sinônimo de perpendicular,_ .esse caso, perpendicular à mesa.)

- íorça normal equilibra a força peso .

.ale salientar que a força normal e a força pesono mesmo corpo e não constituem um par

'= e reação. A força normal surge da interação

plano-corpo, logo, uma força está no plano (-N) ea outra, no livro (N).

A força peso surge da interação Terra-corpo, logo,uma força está no corpo (P) e a outra, na Terra (-P) .Lembre-se de que o sinal negativo se refere ao fatode um vetar ser o oposto do outro. Nesse caso, todasas forças têm a mesma intensidade.

11. Corpo em repouso sobre um plano inclinado.(O corpo interage com o plano e com o planeta

Terra.)Nessa situação, a força resultante FR sobre o cor-

po também é nula, mas, como o corpo não escorrega,podemos perceber que o plano interage com o corpopor meio de duas componentes de força: uma é a forçanormal N , perpendicular ao plano, e outra é a forçade atrito FaL' que se opõe ao deslizamento do corpo.

A força peso é equilibrada pela soma da força nor-mal com a força de atrito.

Note que a força normal de compressão é per-pendicular ao plano e que a resultante entre ela e aforça de atrito tem a mesma intensidade que a forçapeso, mas em sentido oposto.

Observe estas forças reposicionadas, formando otriângulo de forças.

Fato

IV. Corpo pendurado em um suporte, por meiode um fio inextensível.

(O corpo interage com o fio e com o planetaTerra.)

Vamos considerar o fio ideal: a massa é desprezí-vel se comparada à massa do corpo.

O corpo está em repouso, logo, a força resultanteFR sobre ele é nula. Para que FR seja igual a zero, deveexistir uma força vertical, para cima e com a mesmaintensidade da força peso. Essa força que sustenta oobjeto e deixa o fio tenso é comumente chamada deforça de tração t: A palavra tração, em geral, estáassociada a movimento (No começo do século XX,havia bondes movidos a tração animal.)

IH. Corpo sendo empurrado horizontalmente so-bre um plano perfeitamente polido (sem atrito).

(O corpo interage com a mão, com o plano e como planeta Terra.)

A força normal N equilibra a força peso P ea força resultante é força FR que a mão aplica nolivro.

r

f

•.

A força FR é a força resultante.

A força de tração nofio existe em razãodo peso do objeto.

De maneira análoga à força normal, o corpo puxao fio para baixo (-f) e o fio sustenta o objeto (f) .

Concluindo:Para analisarmos as forças que agem em ut;

corpo, é recomendável isolar o corpo de estudo ecompreender como ele interage com a vizinhança(contato, atrito, mola, fio etc.).

Sir Isaac NewtonIsaac Newton nasceu em 25 de dezembro de 1642, em Woolsthorpe (Inglaterra), e faleceu em 20 de março de

1727, em Londres. E foi um dos maiores colaboradores da ciência. Apesar de haver desenvolvido diversos traba-lhos em diferentes áreas do conhecimento - como Filosofia, Alquimia e Teologia -, suas obras mais conhecidasestão relacionados às ciências naturais. A principal dessas obras, Principia Philosophiae naturalis principia mathe-matica (Principios matemáticos de filosofia natural), explicava com precisão e coerência, em três volumes, as leique regem a natureza dos movimentos dos corpos e as órbitas dos planetas, ampliando, assim, as ideias de Galilee Kepler. Seu pensamento era consistente e tinha por base a visão de que a natureza poderia ser interpretada p •meio da racionalidade, sendo assim considerado um expoente do pensamento iluminista nas ciências.

Newton era introspectivo e tinha temperamento forte - diz-se que passava seu tempo observando a naturezae criando objetos, como um relógio de sol que construiu quando tinha apenas 9 anos. Com tal vocação, estud _no Trinity College, em Cambridge, graduando-se em 1665. Com o surgimento da peste negra e as consequêncizsda epidemia, Newton retirou-se para o lugar onde havia nascido. Esse período, entre 1665 e 1667, é considera-do o mais criativo de sua vida, quando desenvolveu boa parte daquilo que só publicaria mais tarde, como,exemplo, a lei da gravitação universal. Em 1669, aos 26 anos, tornou-se o mais jovem professor de Matemá . -do Trinity College. Em 1672, Newton foi convidado a ingressar a Royal Society, um círculo de pensadores que tin ~

11

como objetivo discutir ciência. Foi nessa época que Newton conheceuum de seus principais oponentes, Robert Hooke, que se tornaria, algunsanos depois, secretário na Royal Society. Como a forma com a qualabordavam ciência era muito distinta, as diferenças logo se transfor-maram em rivalidade, o que fez com que Newton, temeroso de que lheroubassem as ideias, se convencesse a publicar o que já vinha desen-volvendo desde o período do retiro em Woolsthorpe. Mesmo assim, suainsegurança foi superada apenas por meio da influência de seu amigoe também cientista Edmund Halley. Assim, em 1687, publicou PrincipiaPhilosophiae naturalis principia mathematica, com enorme repercussãona comunidade científica.

Nos anos seguintes, suas publicações, embora importantes para 2desenvolvimento de vários modelos científicos, não causaram o mesmoimpacto. Novamente após ser persuadido, publicou, em 1704, Opticks,que expõe suas teorias acerca do comportamento corpuscular da luz,o que lhe permitiu concluir que a velocidade da luz em um meio mais"denso" era maior do que em meio de menor "densidade", o que nãose verifica. Ainda assim, seu modelo foi recuperado, cerca de duzentose cinquenta anos mais tarde, na elaboração da teoria da relatividade,que admitia a dualidade entre onda e partícula para a luz.

Newton viveu os últimos anos de sua vida como membro do par-lamento britânico e desenvolveu importante função como diretor daCasa da Moeda. Faleceu em 1727, aos 84 anos, vítima de problemasrenais. Seu legado persiste até hoje, e seu modelo científico serviu debase para o desenvolvimento de modelos mais abrangentes, que só passaram a vigorar cerca de duzentos anosapós sua morte.

Retrato de Isaac Newton (1642--1727)."A natureza e as suas leis jaziamna noite escondida. Disse Deus'Faça-se Newton' e houve luznas jazidas. "Esses versos foram gravados notúmulo de Isaac Newton, naabadia de Westminster, em Lon-dres.

8. Considere um livro em repouso apoiado em uma mesa horizontal, tal comomostra a figura ao lado. Represente as forças aplicadas no livro e suasrespectivas reações.

ResoluçãoO livro encontra-se em equilíbrio, o que significa que a =?P-_força normal fJ, aplicada pela mesa, e a força peso P,aplicada pela Terra, se anulam.As reações a essas forças estão aplicadas na mesa (reaçãoà força normal fJ) e no centro da Terra (reação à forçapeso P).

l-R --p

Representação sem escala, cores-fantasia.

--------------------------------------------------~~

11

r ~·~i

9. Considere dois blocos, A e B, de massas iguais a 3 kg e 4 kg, apoia-dos em uma superfície horizontal sem atrito, e encostados um nooutro, tal como mostra a figura. Aplica-se, no bloco A, uma forçahorizontal F constante de módulo igual a 14 N e paralela à super-fície de apoio. Desse modo, determine:a) a aceleração dos blocos;b) o módulo da força de contato entre A e B.Resoluçãoa) Neste caso, para uma análise completa, devemos isolar os blocos e representar as forças aplicadas em

cada um deles:

r fiB

./ ./

r .~. ~.Ar;

8t>

lp; jp,

Observe que as forças normal fJ e peso P se equilibram em ambos os blocos, pois não existe movimentono eixo vertical, o que significa que, nesse tipo de situação, não é necessário representar essas forças.A força f é aplicada no bloco A por um corpo externo, e a reação a f está aplicada justamente nestecorpo externo.As forças FBoA e FAoB correspondem ao par de forças do tipo ação e reação troca das entre A e B. Portan-to, em A existem duas forças aplicadas em sentidos opostos: a ação f aplicada pelo corpo externo e areação FBoA de B à força FAoB que A aplica em B.Aplicando a segunda lei de Newton (FR = m . a) para cada um dos blocos e resolvendo o sistema deequações, temos:

{Bloco A: F - FBoA = mA . a (I)Bloco B: FAoB = mB . a (II)

Substituindo (II) em (I), temos:F - mB . a = mA . ü=« F = mA . a + m-s . ü=» F = (mA + mB) . aque nos dá uma equação para o sistema de corpos.

Então: 14 = (3 + 4) . a => a = 14:. a = 2 m/s"7

b) A força de contato entre A e B é obtida substituindo-se em qualquer uma das equações anteriores o valorda aceleração determinada. Na equação (II), por exemplo:

FA.B = mB . a = 4 . 2 :.

10. Três blocos, A, B e C, de massas respectivamente iguais a 3 kg,4 kg e 5 kg, encontram-se apoiados em um plano horizontalperfeitamente liso. No bloco A, é aplicada uma força F para-lela à superfície de apoio, cujo módulo é igual a 12 N. Nestecaso, determine:a) a aceleração dos blocos;b) o módulo da força de contato entre A e B;c) o módulo da força de contato entre B e C.

8r-A

11. A figura 1 mostra dois corpos, A e B, de massas iguais a 1 kg e 2 kg, respectivamente, apoiados no solo hori-zontal sem atrito, unidos por um fio inextensível e de massa desprezível. Aplica-se ao bloco A uma força Fparalela ao piso, constante e de módulo igual a 9 N. Assim, determine:a) a aceleração adquirida pelo conjunto;b) o módulo da força de tração aplicada pelo fio.

~------------------------------------------------~~

ResoLuçãoa) Limitaremo-nos a representar apenas as forças aplicadas nos blocos e na direção horizontal, pois, no eixo

vertical, em todos os blocos, as forças normal N e peso fi se equilibram. Assim, isolando os blocos,temos:

f F?l ~B-~ ...-- ~,~-LJ1~.A t:B- A.•

Aplicando a segunda lei de Newton (FR = m . a) para cada um dos blocos e resolvendo o sistema de equações,temos:

{

Bloco A: F - F8 A = mA' a (I)Bloco B: FA,8 - F(,B = m8 . a (II)Bloco C: F8,e = me . a (III)

Somando todas as expressões e fazendo os cancelamentos convenientes, vem:F= (mA+mB+mC)' a

Então: 12 = (3 + 4 + 5) . a :. a = 12:. a = 1 m/s'12

b) Substitui ndo o valor da aceleração na equação (I), temos:

12 - FB.A= 3 . 1 ~ FB.A = 12 - 3 ..

c) Usando a equação (III), temos:

ResoLuçãoa) Não representaremos as forças normal N e

peso fi aplicadas em cada bloco, pois elasse equilibram. No bloco A, as forças aplica-das são f e a tração r, aplicada pelo fio, en- Bquanto no bloco B, a única força aplicada é atração r, de mesmo módulo que a tração aplica-da em A, por tratar-se do mesmo fio. Ao separar-mos os blocos e representarmos as tais forças, temos:

Aplicando-se o princípio fundamental da dinâmica para cada bloco e resolvendo o sistema de equações,temos:

{Bloco A: F - T = mA' a (I)Bloco B: T = mB • a (II)

Substituindo (II) em (I), temos:

F - me . a = mA . a ~ F = mA . a + me . a ~ F = (mA + me) . a ~ 9 = (1 + 2) . a ~ a = ~ .. a = 3 m/s2

b) Podemos substituir o valor encontrado para a aceleração em qualquer equação, por exemplo, na equação (II):

T = 2 . 3 :. T= 6 N

12. Um objeto encontra-se pendurado por um fio inextensível ede massa desprezível no teto de um vagão de um trem, quese desloca em movimento retilíneo com aceleração õ cujomódulo é constante, tal como mostra a figura. Como a portalateral do trem permanece aberta, um observador externo vêque o fio se inclina 30° em relação ao eixo vertical.Determine, para esse observador fixo na Terra, a aceleraçãoadquirida pelo conjunto.

[AdOI" g = 10 m/s' e 19300= ~ - 0,57)

ResoluçãoQuando pensamos no observador que está fixo naTerra, admitimos que ele é um referencial inercial,ou seja, um tipo de referencial em que são válidasas leis de Newton. A figura 1, representa as forçasaplicadas no objeto.Na figura 2, usamos o método da decomposição deveto~es para obter as componentes fx e fy da tra-ção T aplicada pelo fio. A decomposição da traçãof nos permite inferir que a força peso P do objeto~ equilibrada pela componente vertical '[y da traçãoT, enquanto a componente horizontal Tx da traçãof corresponde à resultante das forças aplicadas nocorpo, na direção de seu movimento horizontal. A figura 3 representa o triângulo de forças. Assim:

Representação sem escala, cores-fantasia.

F;gura 1

0°:IIIIIII,

)

F;gura 3f ty

T F. m·a atg 30° = ....!...- = ....!i. = -- ~ tg 30° = -Ty P m· 9 9

Então: a =9 . tg 30° ~ a == 10 . 0,57 :. a == 5,7 m/s'

tx

13. No esquema ao lado, são desprezíveis o atrito entre o fio e apolia, o atrito entre o bloco A e o plano horizontal, a massa dofio e a inércia da polia. As massas dos blocos A e B valem, res-pectivamente, 4 kg e 1 kg. (Adote: 9 = 10 rn/s") Determine:a) a aceleração dos blocos;b) a tração exerci da pelo fio.

Observe que, no bloco A, as forçasnormal NA e peso PA não precisamser representadas, pois, como o blo-co está apoiado na horizontal, nãoexiste movimento na direção verti-cal. Contudo, isso não ocorre com o

P bloco B, que se encontra suspenso,B portanto não existe força normal

aplicada a ele. Como não existe atrito entre A e o plano horizontal, independentemente do valor damassa de B, o sistema estará acelerado, portanto, o bloco A acelera para a direita e o bloco B descecom a mesma aceleração de A, pois o fio é inextensível. "Assim, aplicando o princípio fundamental dadinâmica para os dois blocos, temos:

{Bloco A: T = mA . a (I)Bloco B: PB - r = mB • a (II)

Substituindo (I) em (II), vem: 10P - m . a = m . ü= P = (m + m ) . ü= m . s= (m + m ) . a= 1 . 10 = (1 + 4) . a => a = - . a = 2 rn/s'B A B B A B B A B 5"

=> mB . 9 - mA . 9 = (mA + mB) . ü=» 9 . (mB - mA) = (mA + mB) . ü=»

=> a = 9 . (ma - mA) = 10· (3 - 1) 10·2 => a = 20 .. a = 5 m/s'(mA+ma) (3+1) 4 4

--------------------------------------------------~~

Resoluçãoa) Separando os blocos, temos:

r

~_T __ •.B

b) Usando, por exemplo, a equação (I), temos: r = 4 . 2 :. r = 8 N

4. No dispositivo ao lado, conhecido como "máquina de Atwood". nãoexiste atrito entre o fio e a polia, e as massas do fio e da polia podemser desprezadas.Considere que o conjunto estava inicialmente em repouso, e as massas dos blo-cos A e B valem, respectivamente, 1 kg e 3 kg. Calcule: (Adote: 9 = 10 m/s')a) a aceleração adquirida pelo sistema;b) a tração no fio que une os blocos;c) a tração no fio que sustenta o conjunto.

Resolução

a) Ao separarmos os blocos e representarmos as forças que neles estão aplicadas, temos(observe as figuras 1 e 2):Nesse dispositivo, devemos prestar atenção no corpo cuja massa possui maiorvalor. Assim, como a massa de B é maior que a massa de A, o peso PB de B tam-bém será maior que o peso PA de A, o que significa que o bloco A sobe aceleradoe o corpo B desce com a mesma aceleração.A tração no fio também é igual nos dois blocos, pois o fio que conecta os blocosé ideal.Assim, aplicando a segunda lei de Newton para cada bloco, temos:

{Bloco A: r - PA = mA' a (I)Bloco B: PB - T = mB • a (II)

Somando as duas expressões e fazendo os cancelamentos convenientes, vem:

~Ú?u\~:~Ó

"" ~",-,,,"

- B

A

Figura 1 Figura 2f f

B

11

b) Substituindo a aceleração em uma das equações anteriores, por exemplo na equação (I), temos:

T - mA . g = mA . a => .T - 1 . 10 = 1 . 5 => T = 5 + 10:. T = 15 N

c) Como a polia está em repouso, a tração no fio que sustenta o conjunto é igual a T' = 2 . T, j Qtal como mostra a figura ao lado:Portanto:T' = 2 . T => T' = 2 . 15:. T' = 30 N

f f

15. Na figura, os corpos ao lado, A, B e C possuem massasiguais a 5 kg, 3 kg e 2 kg, respectivamente. Despreze o atri-to entre o bloco B e o plano de apoio, bem como os atritosentre os fios e as polias. Sabendo que os fios são inexten-siveis, e suas massas podem ser desprezadas, determine:(Adote: g = 10 m/s")a) a aceleração do conjunto;b) a tração no fio que liga os corpos A e B;c) a tração no fio que liga os corpos B e C.

Resoluçãoa)' No bloco B as forças normal NB e peso PB se equilibram, pois para esse bloco não há movimento no eixo

vertical; portanto não há necessidade de representá-las. Para as demais forças, separando os blocos, temos arepresentação da figura à esquerda.Para um mesmo fio, sempre manifesta a mesma inten-sidade da força de tração, portanto a mesma tração TIé aplicada pelo fio 1 nos blocos A e B, enquanto o fio2 aplica a tração T2 nos blocos B e C, tal como mostra afigura anterior. Como a massa de A é maior que a massa

T2 de C, isso faz com que o bloco A desça acelerado, o blocoB acelere para a esquerda e o bloco C suba acelerado.Aplicando o princípio fundamental da dinâmica, temos:

lBlOCOA~ PA - Ti : mA . a (I)Bloco B. Ti - T2 - mB • a (II)Bloco C: T2 - Pc = me . a (III)

C

Somando todas as expressões e fazendo os cancelamentos convenientes, vem:PA - Pe = (mA + ma + me) . a => mA . g - ma . g = (mA + ma + me) . a= g . (mA - mB) = (mA + ma + me) . ü=

=> 10 . (5 - 2) = (5 + 3 + 2) . a > 10 . 3 = 10 . a:. a = 3 m/s'

b) Usando a equação (I), temos:

c) Podemos usar as equações (II) ou (III). Usando, por exemplo, a equação (II), temos:

35 - T2 = 3 . 3 => T2 = 35 - 9:. T2 = 26 N

16. Um homem de massa igual a 60 kg encontra-se no interior de um elevador e em cima de uma balança cujacalibração foi feita em newtons. A balança indica 780 N. (Adote: g = 10 m/s")

a) Determine a intensidade da aceleração do conjunto (homem + elevador) para um observador externo.b) É possível saber se o elevador está subindo ou descendo? Justifique sua resposta.Resoluçãoa) A balança indica a força que o homem aplica

nela, que é a reação da força que costumamoschamar de força normal. Neste caso, a força pesoP da pessoa vale:P = m . g = 60 . 10 = 600 NEssa força possui valor menor que a indicação dabalança, que é igual a 780 N, o que nos permi-te concluir que, para um observador externo, oelevador está acelerado para cima. Aplicando-se,portanto, a segunda lei de Newton para as forçasque atuam no homem, temos:N - P = m . a=> 780 - 600 = 60 . a =>

Elevador

Il__===:::==:::t Balança=>180 = 60 . a :. a = 3 m/s"

b) Aceleração e velocidade possuem mesma direção de movimento, mas não é possível saber se o ele-vador está subindo ou descendo, pois o sentido da aceleração não é suficiente para determinarmoso sentido da velocidade. Esse elevador está subindo, então seu movimento é acelerado, pois, nestecaso, aceleração e velocidade possuem o mesmo sentido, que é o sentido do movimento do eleva-dor, mas, caso o elevador esteja descendo, seu movimento é retardado, pois a aceleração possui,neste caso, sentido oposto ao movimento do elevador.

Exercícios propostos

b) a força que A aplica em B.10. Considere um livro em repouso apoiado em umamesa horizontal, tal como mostra a figura a seguir.Represente em seu caderno as forças aplicadas nolivro, na mesa e suas respectivas reações.

b) f = 9 N

~rljJ---I.... BA

12. Os três blocos da figura a seguir estão apoiados emuma superfície horizontal sem atrito. Aplica-se aobloco C uma força horizontal F, cujo módulo éigual a 20 N. Se as massas de A, B e C são iguais,respectivamente, a 4 kg, 3 kg e 1 kg, calcule:a) a aceleração adquirida pelo conjunto;b) a força que A aplica em B;c) a força que B aplica em C.

Professor, veja a resposta no manual.1. Na figura a seguir o bloco A está encostado no

bloco B e ambos estão apoiados em um plano ho-rizontal perfeitamente liso. Aplica-se no bloco Auma força horizontal, cuja intensidade é igual a 15 N,que faz com que os blocos adquiram uma acelera-ção igual a 3 m/s'. Se a massa do bloco A é igual a2 kg, determine:a) a massa do bloco B; a) mB = 3 kg

a) a = 2,5 m/s2 b) f2 = 10 N c) fI = 17,5 N ~

13. Considere que os corpos da figura estejam apoiadosem um plano horizontal sem atrito e conectadospor um fio inextensível e de massa desprezível.As massas dos corpos estão indicadas na figura.Aplica-se a um dos blocos uma força horizontalcujo módulo é igual a 9 N. Quanto vale, nesse caso,a tração no fio que une os corpos?

T=3N

14. O arranjo da figura adiante é composto de dois blo-cos apoiados em um plano horizontal sem atrito eum bloco pendurado. Todos os fios são inextensíveise suas massas podem ser desprezadas. As massas doscorpos 1, 2 e 3 são iguais a 0,5 kg, 1 kg e 1 kg, res-pectivamente. Os blocos se encontram inicialmenteem repouso por causa do fio que prende o bloco 1 àparede. Determine: (Adote: g = 10 m/s")a) a tração no fio que une os blocos 2 e 3, en-

quanto os blocos se encontram em repouso;b) a tração que une os blocos 1 e 2, após o fio

que une o bloco 1 à parede ser cortado.a) T, = 10 N (tração no fio ue une os blocos 2 e 3)

b) T, = 2 N (tração no fio que une os blocos 1 e 2)15. A figura a seguir mostra três corpos, 1, 2 e 3, conec-

tados a fios inextensíveis e de massas desprezíveis,que passam por polias sem atrito. O atrito entre ocorpo 2 e o plano de apoio também pode ser despre-zado. Considere os corpos inicialmente em repouso.As massas dos corpos 1 e 3 valem, respectivamen-te, 1kg e 3 kg. Após o início do movimento, a ace-leração que os corpos adquirem é igual a 2 m/s'.Nesta situação, determine: (Adote: g = 10 m/s")

a) a massa do corpo B;b) as trações nos fios.

a) m, = 6 kg

b) T, = 24 N e T, = 12 N

A@Icb

16. No arranjo experimental da figura, os blocos A eB, inicialmente em repouso, estão conectados pormeio de um fio de comprimento constante (inex-tensível). No contato existente entre o fio e a po-lia, não se considera atrito, e a massa do bloco A éigual a 1,5 kg. (Adote: g = 10 m/s")

©ioo

Se a tração no fio que une os corpos é igual a 12 N,determine:a) a aceleração dos blocos; a) a = 2 m/s~b) a massa do bloco B; b) mB = 1 kg

c) a tração no fio que sustenta o sistema.c) T' = 24 N

17. Uma pessoa, cuja massa é igual a 80 kg, encontra--se dentro de um elevador e em cima de uma ba-lança calibrada em newtons. (Adote:g = 10 m/s")Quando a balança indicar 680 N, determine:a) o módulo da aceleração do conjunto (pessoa +

elevador) para um observador externo;b) se é possível saber se o elevador está subindo

ou descendo. Justifique sua resposta.Professor, veja a resposta no manual.

_ Exercícios complementares de 12 a 22.

Curiosidades sobre Newton• Os registros das datas de nascimento e morte de Newton costumam variar, dependendo do calendário. N2

ocasião de seu nascimento, a maior parte dos países europeus já havia adotado o calendário gregoriano,enquanto a Inglaterra ainda adotava o calendário juliano. Portanto, pelo calendário juliano, Newton nas-ceu em 25 de dezembro de 1642 e morreu em 20 de março de 1727, e pelo calendário gregoriano, nasceem 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727.

• Conta-se que uma maçã caiu na cabeça de Newton ou próxima a ele quando descansava nos jardins da Uni-versidade de Cambridge e, a partir desse fato, ele teria elaborado a lei da gravitação universal. Essa histórianão é confirmada. Ela foi contada apenas por Voltaire, que foi quem divulgou a obra de Newton na França.Especula-se que Voltaire teria obtido a informação por intermédio de uma sobrinha de Newton, que havia ditoque o tio interessou-se pelo fenômeno quando. observou a queda de uma fruta em sua fazenda.

• Frases de Newton: ."Se enxerguei mais longe que meus antecessores é porque me apoiei em ombros de gigantes"."O que sabemos é uma gota, o que ignoramos é um oceano"."Construímos muros de mais e pontes de menos".

Adaptado de: WESTFALL,Richard S. A vida de Newtan,São Paulo: Nova Fronteira; Isaac Newtan,

Coleção "Personagens que mudaram o mundo", São Paulo .

.MEDINDO FORÇASHá vários aparelhos que são usados para medir for-

- muscular em academias de musculação, parque de~ ersões e em exames médicos.

Brinquedo de parques de diversãoconhecido como martelo.

Esses aparelhos são genericamente chamados deômetros (do grego dynamis, força, e métron,

-~;ção).~ es instrumentos são construídos basicamentecma mola presa em uma das extremidades e uma

acoplada ao longo do comprimento da mola.'a-se um valor da escala que relaciona a dis-

-- da mola com a massa do corpo ou a força de: aplicada.

Dinamômetro: instrumento usado para medir força ..

Outra unidade de força é a dina, cujo símbolo é dyn.

1 dyn é a intensidade da força resultante que,atuando sobre um corpo de massa 1 grama, produzuma aceleração de 1 crn/s".

Concluindo: 1 dyn = 1 g . cm/s'(Note que 1 kg = 103 g e que 1 m 102 em e,

portanto, 1 newton equivale a 105 dyn.)

A indicação de um dinamômetro corres-ponde à intensidade da força que tracionasua mola. Essa indicação será a mesma seele for preso a um suporte fixo e puxadopela outra extremidade com urna força de100 N, ou se ele for puxado pelas duasextremidades com forças de 100 N em cadauma das extremidades.

Um dispositivo bem simples, que podemos usarpara medir a intensidade de uma força, baseia-se emuma lei verificada pelo cientista inglês Robert Hooke(1635-1703) .

Uma mola, presa a uma parede, ao ser puxada sofreuma deformação, que corresponde à diferença entre ocomprimento final t e o comprimento inicial fo da mola.

5. LEI DE HOOKEA intensidade da força aplicada é diretamente

proporcional à deformação (ou elongação) sofridapela mola.

TIDO N

x

f

III

I_.------------------------~e

Fe1ást. k . x

A função Fe1ást. = k . x é de primeiro grau; assim,a curva representada no gráfico será linear.

Cotidiano e tecnologia

Força (N)

2·FF

o 2 . x Deformação (m)x

Se a intensidade da força dobrar, a deformação sofri-da pela mola também dobrará .

• Comentários sobre a lei de Hooke• A constante de proporcionalidade k é chamada de

constante elástica e mede a rigidez da mola. Emuma mola muito rígida, precisamos aplicar umaforça maior que a que aplicaríamos em uma molamais maleável para deformá-Ia do mesmo compri-mento.

• A unidade de medida da constante elástica no SIé Nym,

• Se aplicarmos uma força de 30 N a uma mola,e a deformação medida for de 2 em, então, aoaplicarmos uma força de 60 N, a deformação seráde 4 em, e assim sucessivamente. Nesse caso, aconstante elástica da mola será de 15 Nzcm oul.500 N/m.

• É válida para molas ou elásticos.• Existe um limite de validade para a lei de Hooke.

Em uma deformação elástica, se deixarmos de apli-car a força que causou a deformação, a mola de-verá voltar a ter o seu comprimento inicial, mase forçarmos demasiadamente a mola, esta- poderáperder essa condição (de restauração).

• Nas situações que envolvem deformações elásti-cas, a lei da ação-e-reação é válida: a força elásticaé restauradora, então se puxarmos com a mão uIIl.Cmola com uma força de 20 N, ela puxará, em senti-do oposto, nossa mão com 20 N.

• A lei de Hooke é válida quando a mola é tracionada(puxada) e quando é comprimida (empurrada).

PontesA necessidade humana de se deslocar por grandes distâncias, em terrenos acidentados, transpondo vales e

cruzando rios, é bastante antiga. Para isso, a construção de pontes permite solucionar problemas relativos a essastransposições.

Vários tipos de pontes têm sido construí das por diferentes civilizações nos últimos 4.000 anos. Vejamoalguns desses tipos:

Pontes de vigaDe estrutura simples, porém funcional, consiste em estender plataformas de madeira ou de metal ou lajes

de concreto entre as margens de um rio, as bordas de um vale ou entre pilares. A força de compressão aplicadana parte superior da plataforma faz com que a parte inferior "aumente de tamanho".

( í

nte de viga Ponte sobre o rio Anil, em São Luís (MA).

tura possui a vantagem de distribuir o peso que está sobre o arco para os pilares de sus---::: eficiente para se construírem pontes que cubram quaisquer distâncias; contudo, os pilares

~,,--,=-=-.- := em ser assentados em terrenos secos. Isso faz com que esse tipo de construção não possaue não sejam represadas, tal como braços de mar.

mpressão

:Ji"3e::. •.~"-Essa ponte sobre o rio Cotiguiba, na cidade de Laranjei- 2

ras (SE), foi construída por escravos, sem uso de argamassa. ~

J nte de arco são resolvidas nesse caso. O peso da estrutura da ponte é suportado por_ =s:ras ancoradas no solo, próximas às margens do rio ou vale a ser atravessado. Os cabos

~ outro da ponte são responsáveis por suportar toda a tração do peso da estrutura.

Suspensoressob tração

TorresA ponte Hercílio Luz, na cidadede Florianópolis (SC), une o con-tinente à ilha de Santa Catarina.

sob compressão

Ponte suspensa

Exercícios resolvidosD

17. Qual é a indicação do dinamômetro ideal D da figura ao lado?Despreze a massa do fio e da polia, considere o fio inextensívele os blocos A e B com massa de 2 kg. Não há atrito entre o blocoA e o plano horizontal. (Adote: g = 10 m/s') .

ResoLuçãoO dinamômetro mede forças. Colocado junto a um fio ideal,deverá medir a tração T no fio. Aplicando a segunda lei de Newton nos blocos A e B, temos:

{Bloco A: T = », . a (I)Bloco B: PB - T = mB • a (lI)

Substituindo (I) em (Ir), vem:P - m . a = m . a => P = m . a + m . a => P = (m + m ) . a => m . g = (m + m ) . a =>

B A B B B A B A B B A B

=> 2 . 10 = (2 + 2) . a => 20 = 4 . a:. a = 5 m/s'

Assim:T = mA . a=> T = 2 . 5:. T = 10 N (que é a indicação da escala do dinamômetro D)

18. A situação mostrada na figura ao lado representa o equilíbrio após um corpo de massa iguala 4 kg ser pendurado à extremidade de uma mola de constante elástica igual a 200 N/m.Determine, em cm, a deformação sofrida pela mola. (Adote: g = 10 m/s")

ResoluçãoPara que o corpo se mantenha em equilíbrio, a força peso deverá ser equilibrada pela força elás-tica aplicada pela mola. Assim, a figura da esquerda representa essa situação.Portanto:Felást. = P => k . x = m . g => 200 . x = 4 . 10 =>

40 1=> x = - = - => x = 0,2 m:. x = 20 cm200 5

19. A força que uma mola aplica em um corpo para levá-lo de volta para a posição de equilíbrio é representadano diagrama a seguir.

Força (N)Determine:a) a constante elástica da mola;b) a deformação sofrida pela mola, quando a força

elástica é igual a 80 N.

20 .-----------------------

10 .-----------

5 10 Deformação (cm)o

Resoluçãoa) Pela análise do gráfico, temos:

x = 10 cm = 0,1 m

F[, t 20F = k . x "'" k = ~ = - . . k = 2.00 N/mx 0,1

b) x = Felást = 80 "'" x = 0,4 m:. x = 40 cmk 200

Exercícios propostos

18. Um corpo de massa 2 kg encontra-se conectadoa uma das extremidades de um fio ideal, preso aoteto de um elevador pela outra extremidade, talcomo mostra a figura a seguir.

Se a indicação no dinamômetro instalado junto aofio é igual a 16 N, determine: (Adote: g = 10 rn/s")a) a intensidade da aceleração adquirida pelo

conjunto; a) a = 2 m/s!

b) O sentido do movimento.b) Professor, veja a resposta no manuaL

19. A força que uma mola aplica em um corpo paratrazê-lo novamente para a posição de equilíbrioestá representada no diagrama a seguir. Deter-mine:a) a constante elástica da mola; a) k = 3 Nzcm

b) a força elástica aplicada pela mola, quando adeformação sofrida vale 40 cm. b) Felá" = 120 N

•

Força (N)

30 ----------------

15

o Deformação (em)5 10

20. No dispositivo a seguir, desconsidere o atrito exis-tente entre o fio e a polia, e as massas do fio e dapolia podem ser desprezadas. Considere que o con-junto estava inicialmente em repouso, e as mas-sas dos blocos A e B valem, respectivamente, 2 kge 3 kg. Determine a constante elástica da mola,quando a deformação aplicada pela mola vale õcm.(Adote: g = 10 m/s')

k = 400 Nyrn

_ Exercícios complementares de 23 a 25.

Atenção!Este experimento deve ser feito em grupo e sob a supervisão do professor.

Objetivos:Construir um dinamômetro.Calibrar um dinamômetro.

Procedimento:Determinem a massa da moeda correspondente ao valor usado. No site da

Casa da Moeda do Brasil (www.casadamoeda.gov.br). é possível obter as mas-sas, em gramas, das moedas.

Anotem uma referência na régua que corresponda à situação da mola não de-formada. Considerem que, para essa referência, a força deformadora seja nula.

Coloquem uma moeda por vez no copinho e verifique se, ao retirar a moeda,o copinho retorna à posição de referência.

Se isso não ocorrer, é necessário alterar a mola (trocá-ia ou diminuir seu comprimento).

Verificar a relação entre a força aplicada e a deformação sofrida pela mola.

Material necessário:• borracha escolar• calculadora• caneta• lápis preto• papel sulfite• copinho de plástico de café, que será usado como suporte• fita adesiva para fixar o dinamômetro na vertical• 10 cm de uma mola fina de metal ou de plástico, que pode ser retirada de

um caderno velho ou comprada em papelarias que fazem encadernação• moedas que serão usadas como peso• papel milimetrado• percevejo para fixar a mola• régua de madeira de 30 cm

Montagem:Prendam o percevejo em uma das extremidades da régua e pendure a mola

nesse percevejo.Prendam a extremidade livre da mola no copinho de café.Fixem com fita adesiva o "dinamômetro" em uma posição verti-

cal na beira de uma mesa, conforme a figura ao lado.

0=------..,-

Beiradada mesa

~~~--=-=--Referência=

•.•=0=

•.•=•.•=

..•=N=

...=w=

...=-1>--

Parte experimental e análise dos resultados:1. Coloquem moedas idênticas, uma de cada vez, e façam uma tabela que relacione a força aplicada (pesos das

moedas), em newtons, com a deformação sofrida pela mola, em cm. (Adote: g = 9,8 m/s")2. Em um papel milimetrado, construam o gráfico da força deformadora (em newtons) em função da deformação

sofrida (em cm).3. Qual o significado físico da inclinação da reta obtida no gráfico do item anterior?4. Como deveria ser o gráfico se fosse usada outra mola mais rígida que a primeira?5. Determinem a constante elástica da mola em N/cm.6. Determinem as massas das moedas de outros valores e comparem os valores obtidos com aqueles fornecidos

pelo sítio da Casa da Moeda.

Cur,iosidades físicasCabo de guerra

Cabo de guerra ou jogo da corda é uma atividade esportiva na qual duas equipes competemem um teste de força. De acordo com as regras internacionais estabelecidas pela Federação Inter-nacional de Cabo de Guerra (Tug oi War Internatianal Federation, TWIF), cada equipe deverá ser

formada com oito participantes, cuja mas-sa total definirá a categoria em que deverãocompetir.

Os membros das equipes são posiciona-dos ao longo de um cabo de cerca de 10 .centímetros de diâmetro. Entre os dois qru-DOS, há uma linha central. O cabo é marcadoem seu ponto central e em dois outros pon-os distantes quatro metros de seu centro.

As duas equipes iniciam a competição coma marca central do cabo coincidindo com alinha central. Quando a disputa começa, aequipe tem a função de puxar o grupo rivalde modo que faça cruzar a linha central comsua marca de quatro metros do cabo. Outramaneira de vencer a disputa é forçando oadversário a cometer uma falta, como acontece quando este escorrega e cai no chão. Esse esportefez parte da Olimpíada de 1900 a 1920.

Atletas em uma competição de cabo de guerra.

Respondam às questões, justificando suas respostas:Professor, veja as respostas no manual.

1. Alguns objetos são colocados sobre uma toalha de mesa. Se você puxarvagarosamente a toalha, os objetos caem, mas; se a toalha for puxadaviolentamente, ela será retirada e os objetos permanecem sobre a mesa.Expliquem por que isso acontece.

2. Por que é perigoso pisar violentamente nos freios do carro ao se fazer umacurva?

Pessoa puxando toalha demesa. (Não é necessárioque vocês façam essa ex-periência.)

4. Considerem esta situação: amarrem, em um tijolo, uma linha de costura, com aproximadamente 1,5 m.Vocês conseguem arrastar o tijolo puxando vaqarosamente essa linha?O que acontece se vocês derem um "puxão" na linha com violência?Expliquem o que ocorre em cada situação.

3. Discutam a seguinte afirmação: Se a força resultante sobre um carrinho énula, então ele está em repouso.

5. A força normal de compressão tem mesmo módulo e direção, mas sentido oposto ao da força peso de umcorpo. A força normal e a força peso constituem um par ação-e-reação?

6. Um prego é atraído por um ímã. Qual das seguintes afirmações é correta?a) O ímã é responsável pela força de ação e o prego pela força de reação.b) O prego é responsável pela força de ação e o ímã pela força de reação.c) As forças são simultâneas e ocorrem da interação prego-ímã, portanto não há uma relação temporal de

causa-efeito.

7. Completem corretamente esta frase: "Para andar, vocês empurram o chão para trás e, simultaneamente, ochão ... vocês para ... . ••••...

------------------------------------------------~~

8. Por que é mais difícil andar de meias do que descalço em um chão muito liso?

9. Qual o valor do seu peso em newton, dina e em kgf? (Adote: g = 9,8 m/s")

11. Ao carregarmos uma sacola pesada no interior de um elevador, percebemos que, quando ele acelera paracima, a sacola parece mais pesada e, quando ele acelera para baixo, a sacola parece mais leve. Expliquempor que isso ocorre.

12. Em qual das seguintes situações a força normal sobre uma caixa no interior de um elevador é mais intensa:a) Quando o elevador está em repouso?b) Quando o elevador começa a descer?c) Quando o elevador se movimenta com velocidade constante?d) Quando o elevador começa a subir?e) Quando o elevador que está subindo começa a parar?

10. A força normal sempre equilibra a força peso?

F.ísica, ética e cidadania

Boa viagem!Segundo a legislação brasileira, crianças com até 10 anos de

idade devem viajar no banco de trás e, como qualquer passa-geiro, independentemente da idade, usando o cinto de segu-rança. A intensidade da força trocada entre um passageiro dobanco de trás com o do da frente em uma colisão frontal podecorresponder ao peso de um elefante.

Criança com até 7 anos de idade deve usar cadeirinha, com-patível com seu tamanho, que deve estar presa ao cinto nobanco de trás.

As cadeirinhas para bebês de até 1 ano de idade devem serinstaladas de costas para o motorista e no meio do banco detrás. Deve-se ajustar a altura da cadeirinha para que o cintopasse pelo meio do ombro da criança e pelo quadril.

O cinto de segurança de três pontos dá mais segurança queos abdominais e seu uso reduz as consequênciasmais graves de um acidente frontal em mais de70% dos casos.

Os testes de segurança realizados pelas monta-doras com bonecos em carros a 50 krn/h em coli-sões frontais fazem parte da exigência da legislaçãobrasileira.

Os automóveis fabricados até a década de 1960eram considerados robustos devido à lata ria rígi-da. Ela protegia o carro, mas não a vida de seusocupantes. A força deformadora em um choquediminui a intensidade da desaceleração e as conse-quências da inércia. A ideia é proteger a vida, por-tanto é normal que os carros possuam latarias maismaleáveis e vidros que se estilhaçam facilmente,sem espalharem.

o'Õ-"~bl~J:'"~-§.

'"ü5As crianças sempre devem sertransportadas no banco de trás.

Teste de colisão frontal em campo de prova.

11

1. Um ônibus se desloca em linha reta e em movimen-to uniforme, quando, subitamente, entra em umacurva. Alguns passageiros são atirados para a fren-te, como se não acompanhassem o movimento doônibus. Explique por que isso acontece.Professor, veja a resposta no manual.

2. Quando os foguetes lançados atingem certa alturada superfície da Terra, os motores são desligados eo movimento do foguete se mantém com velocidadeconstante e em linha reta. Como isso é possível?Professor, veja a resposta no manual.

3. Analise a seguinte situação: você está caminhan-do com uma vasilha completamente cheia de água.Subitamente você tem de parar, pois seu cachorroentrou na sua frente. Diante da parada brusca, avasilha acaba derramando parte da água. Esse der-ramamento pode ser explicado:a) pela lei de Snell-Descartes.b) pelas leis de Newton.c) pelo princípio de Pascal.d) pela lei de Coulomb.e) pelas leis de Ohm. Alternativa b

4. De acordo com a primeira lei de Newton, a resultan-te de forças que atua sobre determinado corpo ézero. Sendo assim, esse corpo:a) realizará um movimento uniformemente va-

riado.b) apresentará velocidade constante.c) apresentará velocidade constante em módulo,

mas sua direção varia.d) será desacelerado. Alternativa be) realizará um movimento circular uniforme.

5. (PUC-MG) Um carro está movendo-se para a direitacom determinada velocidade, quando os freios sãoaplicados. Indique a opção que dá, respectivamen-te, o sentido correto para a velocidade v do carro,sua aceleração a e a força resultante F que atua nocarro enquanto ele freia.

•

Sentido original do movimento

a) EJEJB

b)

C18BBd1EJBEJ

Alternativa b6. (UFPI) A figura a seguir mostra a força em função da

aceleração para três diferentes corpos, 1, 2 e 3.

Força (N) Corpo 1

6

4

Corpo 2

Corpo 3

o 2 4 6 8 10 Aceleração (m/s')

Sobre esses corpos, é correto afirmar que:a) o corpo 1 tem a menor inércia.b) o corpo 3 tem a maior inércia.c) o corpo 2 tem a menor inércia.d) o corpo 1 tem a maior inércia.e) o corpo 2 tem a maior inércia. Alternativa d

7. Determinado corpo de massa m = 2 kg está sob aação de três forças constantes e coplanares, cujosmódulos são:Fl = 1,4 N; F2 = 0,50 N; F3 = 1,5 N.

Determine o módulo da aceleração em m/s' do cor-po que está na direção da linha tracejada.

a ~ 0,1 m/s"8. Um carrinho de brinquedo de massa 10,0 kg é pu-

xado por dois garotos representados por suas forças~ e ~. O carrinho encontra-se sobre o chão bastan-te liso e guiado por dois trilhos metálicos. Determine

o módulo da aceleração do carrinho, sendo que osgarotos exercem forças de módulos iguais a 20 Ncada uma.

a = 3,16 m/52

9. Analise as afirmações abaixo e indique a alternativacorreta:

I. Massa e peso representam uma mesma quan-tidade física expressa nas mesmas unidades.

11. A massa é a mesma para um corpo em qual-quer lugar onde esteja.

Ill. O peso de um corpo é a força que a Terraexerce sobre o corpo puxando-o para ela.

a) Apenas a afirmativa I é correta.b) Apenas a afirmativa H é correta.c) Apenas a afirmativa IH é correta.d) As afirmativas I e IH são corretas.e) As afirmativas II e III são corretas.

Alternativa e10. (UFSC) No livro Viagem ao céu, Monteiro Lobato

afirma que, quando jogamos uma laranja para cima,ela sobe enquanto a força que produziu o movimen-to é maior que a força da gravidade. Quando a forçada gravidade se torna maior, a laranja cai.Julgue as proposições a seguir como falsas (F) ouverdadeiras (V).

I. Realmente na subida, após ser lançada pelamão de alguém, haverá uma força maior doque o peso para cima, de modo a conduzir alaranja até uma altura máxima.

11. Quando a laranja atinge sua altura máxima, avelocidade é nula e todas as forças tambémse anulam.

HI. Supondo nula a resistência do ar, após a la-ranja ser lançada para cima, somente a forçapeso atuará sobre ela.

IV. Para que a laranja cesse sua subida e inicie suadescida, é necessário que a força da gravidadeseja maior que a mencionada força para cima.

V. Supondo nula a resistência do ar, a aceleraçãoda laranja independe de sua massa.

F-F-V-F-V11. Um astronauta pesa 980 N na Terra, onde a acele-

ração da gravidade vale 9,8 m/s'. Determine:a) a massa do astronauta; a) m = 100 kg

b) O peso do astronauta na Lua, onde a aceleraçãoda gravidade vale 1,6 m/s' . b) P = 160 N

12. (U. F. Varginha-MG) Em 13 de janeiro de 1920, ojornal New York Times publicou um editorial atacan-do o cientista Robert Goddard por propor que fo-guetes poderiam ser usados em viagens espaciais.O editorial dizia:

"É de estranhar que o professor Goddard, apesarde sua reputação científica internacional, não co-nheça a relação entre as forças de ação e reaçãoe a necessidade de ter alguma coisa melhor que ovácuo contra a qual o foguete possa reagir. É claroque falta a ele o conhecimento dado diariamenteno colégio."

Comente o editorial, indicando quem tem razão epor quê, baseando sua resposta em algum princípiofísico fundamental.Professor, veja a resposta no manual.

13. (UEGOadap.) Antes de Newton ter formulado a Me-cãnica, pensava-se que, para manter um corpo emmovimento com velocidade constante, era necessá-ria uma força e que o "estado natural" de um corpoera o repouso. Para que um corpo pudesse se movercom velocidade constante, ele teria de ser impulsio-nado, puxado ou empurrado. Uma vez interrompidaa influência externa, o corpo naturalmente pararia.Sobre esse assunto, é correto afirmar:a) A primeira lei de Newton diz que, se nenhuma

força atua sobre um corpo, sua velocidade nãopode mudar, ou seja, o corpo não pode acelerar.

b) Com base na terceira lei de Newton, (ação-e--reação), o movimento com velocidade cons-tante é uma reação à ação de uma força exter-na aplicada.

c) O movimento com velocidade constante impli-ca uma aceleração não nula e, pela segunda leide Newton, é necessária uma força para produ-zir aceleração.

d) O "estado natural" de um corpo é aquele comvelocidade constante devido ao fato de não sepoder afirmar que um corpo está em repousosem se conhecer o referencial considerado.

Alternativa li

14. (UFCE) Um pequeno automóvel colide frontalmentecom um caminhão cuja massa é cinco vezes maiorque a massa do automóvel. Em relação a essa situação,indique a alternativa que contém a afirmativacorreta.a) Ambos experimentam desaceleração de mesma

intensidade.b) Ambos experimentam força de impacto de mes-

ma intensidade.c) O caminhão experimenta desaceleração cinco

vezes mais intensa que a do automóvel.

o automóvel experimenta força de impactocinco vezes mais intensa que a do caminhão.

_ O caminhão experimenta força de impacto cin-co vezes mais intensa que a do automóvel.

Alternativa b '

5. (Unifesp) Na figura está representado um lustrependurado no teto de uma sala.

essa situação, considere as seguintes forças:I. O peso do lustre, exercido pela Terra, aplicado

no centro de gravidade do lustre.II. A tração que sustenta o lustre, aplicada no

ponto em que o lustre se prende ao fio.lII. A tração exercida pelo fio no teto da sala, apli-

cada no ponto em que o fio se prende ao teto.IV. A força que o teto exerce no fio, aplicada no

ponto em que o fio se prende ao teto.Dessas forças, quais configuram um par ação e rea-ção, de acordo com a terceira lei de Newton?a) I e Il.

) II e III.) III e IV.) I e III.

?) II e IV. Alternativa c

nalise as afirmativas a seguir e indique a alterna-iva correta.

I. A força que a Terra exerce sobre a Lua é exa-tamente igual, em intensidade, à força que aLua exerce sobre a Terra e tem mesma dire-ção.

II. A força magnética que um ímã atrai um pregotem a mesma direção e sentido contrário àforça com que o prego atrai o ímã.

lII. A força que possibilita um cavalo puxar a car-roça tem a mesma intensidade em relação àforça que a carroça exerce sobre ele, diferindono sentido.

Podemos afirmar que:a) somente as proposições I e II estão corretas.b) somente as proposições I e III estão corretas.c) somente as proposições II e III estão corretas.d) as proposições I. II e III estão corretas.e) somente a proposição II está correta.

Alternativa d17. Na configuração abaixo, as massas das caixas são,

m1 = 20 kg, m2 = 10 kg e m3 = 5 kg, 'e estão todassobre um plano horizontal e sem atrito.

a) Qual a intensidade da força horizontal F ne-cessária para empurrar as caixas para a direita,com uma aceleração de 0,4 m/s'? a) F = 14 N

b) Qual a intensidade da força que a massa m2

exerce em m3? b) fz = 2 N

18. (U. F. São Carlos-SP) Com motores mais potentes,caminhões com duas carretas têm se tornado muitocomuns nas estradas brasileiras. O caminhão es-quematizado a seguir acelera uniformemente comaceleração de valor o. (Adote: g = 10 rn/s")Nessas condições:• o motor do cavalo aplica sobre o conjunto uma

força constante de intensidade F;• a interação entre as partes unidas pelos en-

gates 1 e 2 tem intensidades respectivamenteiguais a F1 e F2;

• as massas do cavalo, da carreta número 1 e dacarreta número 2 são, nessa ordem, m, m1 e m2;

• a resistência do ar ao movimento da carretapode ser considerada desprezível.

Carreta 1 Carreta 2Cavalo,......-------

Engate 1 Engate 2a) Engate I: F. = F - fi

a) Construa a expressão, em termos das forçasindicadas, que determina a intensidade daforça resultante no primeiro engate, en-quanto a carreta é mantida sob aceleraçãoconstante.

b) Alguns motoristas arriscam muito quando se tratade segurança. Uma ação perigosa é "andar na ban-guela", isto é, com as rodas livres, sem marcha en-gatada. Supondo desprezível o atrito nos mancaisdo caminhão durante uma "banguela", determine-a velocidade que uma dessas carretas atingiria noponto mais baixo de um vale, após ter iniciado adescida, a partir do repouso, de um ponto a 45 mde altura, relativamente ao fundo do vale.

b) v = 108 km/h19. Na figura, observamos um rapaz em uma balança.

Antes de se apoiar no cabo de uma vassoura, a ba-lança indica 36 kg. Depois, ele se apoia firmementeno cabo, que está em contato com a balança. Sobreessa situação, podemos afirmar:

a) A lei da gravitação universal que rege o funcio-namento da balança.

b) A balança marcará um valor menor que 36 kg.c) A balança marcará um valor maior que 36 kg.d) Nada se pode concluir, pois o valor da força

que o cabo de vassoura faz sobre a balança édesconhecido. Alternativa e

e) A balança marcará exatamente 36 kg.

20. Na montagem da figura, os blocos 1 e 2 têm massasrespectivamente iguais a 1 kg e 3 kg. Considere ofio inextensível e de massa desprezível. Não há atri-to na polia e no plano onde se encontra o bloco 2.(Adote: g = 10 m/s") Diante dessa situação, pode-mos afirmar que:

a) o sistema permanece em repouso.b) o sistema se move com aceleração de 1 m/s".c) o bloco 1 desce com aceleração de 2,5 m/s'.d) o bloco 2 se move para a esquerda com acele-

ração de 1 m/s",e) o sistema se move com aceleração de -1 m/s".

Alternativa c21. O sistema da figura é mantido em repouso por meio

do fio 3. As massas dos blocos A e B são, respecti-vamente, iguais a 4 kg e 1 kg. (Adote: g = 10m/s2)Nessas condições:

. 1

~)

oI

31

2

A

a) A que tensão está submetido o fio 3?b) Cortando o fio 3, determine a aceleração do

sistema.a) T, = 30 N b) a = 6 m/s-

22. (UFMS) Uma lâmpada está pendurada vertical-mente em uma corda no interior de um elevadorque está descendo. O elevador está desaceleradoa uma taxa igual a 2,3 m/s'. Se a tensão na cordafor de 123 N, qual a massa da lâmpada em kg?(Adote: g = 10 m/s") m = 10 kg

23. O cabo de guerra é uma brincadeira muito comumem gi ncanas estudantis. Numa situação parecida,substituímos a corda por um dinamômetro. Se emcada extremidade um garoto puxar o dinamômetrocom uma força de 80 N, a indicação do dinamôme-tro será de:

a) Ob) 50 Nc) 80 N

d) 100 Ne) 160 N

Alternativa. e24. (UFRJ) Um trem está se deslocando para a direita

sobre trilhos retilíneos e horizontais, com movi-mento uniformemente variado em relação à Terra.Uma esfera metálica, que está apoiada no piso ho-rizontal de um dos vagões, é mantida em repousoem relação ao vagão por uma mola colocada entreela e a parede frontal, como ilustra a figura. A molaencontra-se comprimida.

Sentido do movimento do tremem relação à Terra

Suponha desprezível o atrito entre e esfera e o pisodo vagão.a) Determine a direção e o sentido da aceleração

do trem em relação à Terra.b) Verifique se o trem está se deslocando em re-al Professor, veja a resposta no manual.

lação à Terra com movimento uniformementeacelerado ou retardado, justificando sua res-posta.

b) Professor, veja a resposta no manual.25. (Cefet-CE) A figura mostra uma mola, em cuja extre-

midade livre está presa um ponteiro, colocada ao ladode uma escala graduada em centímetros. Três diferen-tes pesos são pendurados na mola, como indicado nafigura. .

=-0

::: 40

::: 60110 N:::

(~

240 N

~ 20::: 30::: 40

? ~ 60

Determine:a) a indicação do ponteiro, se não for pendurado

nenhum corpo na mola; a) 23 emb) O valor do peso do corpo C. b) Pc ~ 45,5 N

1. (U. E. Londrina-PR) Duas forças, uma de módulo 30 Ne outra de módulo 50 N, são aplicadas simultanea-mente em um corpo. A força resultante FR vetorialcertamente tem módulo R tal que: .a) FR> 30 Nb) FR> 50 Nc) FR = 80 Nd) 20 N ",; F

R",; 80 N

e) 30 N ",; FR

",; 50 N Alternativa d

d)

R

..Alternativa a

2. Sobre o plano de uma mesa, encontra-se um obje-to que está sujeito à ação de duas forças, comomostra a figura. Dentre as alternativas, indiqueaquela que mostra adequadamente a resultantevetorial.

3. Sobre um plano horizontal, um objeto está sujeitoa três forças existentes no mesmo plano. Conside-rando-se que a consequência dessa ação de forçasfaz com que o objeto adquira uma aceleração de2,0 m/s", determine a massa do objeto, em gramas.(Adote: sen 37° = 0,6 ecos 37° = 0,8)

y

x

8,0 N

A - 5,0 N-----y..----- ---------

2,0 Na)

..m = 1.600 g

R

4. (UFRJ) Um sistema é constituído por um barco de100 kg, uma pessoa de 58 kg e um pacote de 2,0 kgque ela carrega. O barco é puxado por uma corda demodo que a força resultante sobre o sistema sejaconstante, horizontal e de módulo 240 newtons.

r,,,,,II,

R

b) ,- -- ------- --

Supondo que não haja movimento relativo entre aspartes do sistema, calcule o módulo da força hori-zontal que a pessoa exerce sobre o pacote. f = 3 N

c)

R

5. Em um experimento em que foi usado um trilho dear, um carrinho acelera a 10 m/s". Se dobrarmos aforça e reduzirmos a massa do carrinho a um quartoda inicial, qual será a nova aceleração? a = 80 m/s'

.. 6. (Vunesp) Um bloco de massa mA desliza no solo hori-zontal, sem atrito, sob ação de uma força constante,quando um bloco de massa mB é depositado sobre ele.Após a união, a força aplicada continua sendo a mesma,

porém a aceleração dos dois blocos fica reduzida àquarta parte da aceleração que o bloco A possuía.

Pode-se afirmar que a razão mA entre as massas é:mB

a) d) 1

b) e) 2

c) Alternativa a

7. Na tentativa de mover três caixas ao mesmo tempo,um operário aplica uma força de 10 N na primeiracaixa, conforme mostra a figura. Apoiadas em umplano horizontal e extremamente liso, as caixas A,B e C, respectivamente de massas 1 kg, 3 kg e 8 kg,terão que aceleração final?

a"" 0,83 m/52

8. Um menino amarra um barbante em um caminhão debrinquedo e puxa-o com uma força horizontal de 3 N.Após iniciar a brincadeira, ele amarra uma espéciede segunda carreta ao caminhão com uma linha fina.As massas do caminhão e da carreta são respectiva-mente iguais a.OA kg e 0,2 kg. Dessa forma, saben-do que a linha suporta uma tensão de 1,5 N, e quea força que o menino faz no barbante é mantida,verifique se a linha suportará puxar a carreta.A linha não arrebentará quando o menino puxar a carreta.

FI••

. (UFPB) Uma locomotiva, desenvolvendo uma acele-ração de 2 rn/s', puxa três vagões ao longo de umaferrovia retilínea, conforme a figura.

Se o vagão 3 pesa 2 . 104 N, a força exercida sobreele pelo vagão 2 é:a) 4· 104 N

) 1· 104 Nc) 1· 103 N

d) 2· 103 Ne) 4· 103 N

Alternativa e

10. (PUC-MG adap.) Um homem que pesa, na Terra, no-venta quilogramas-força (90 kgf), na Lua, pesaráapenas 15 kgf. Considerando-se a gravidade na Ter-ra como 10 m/s' e 1 kgf = 10 N, é correto afirmarque a gravidade na Lua será:a) nula, a pessoa estaria sujeita apenas aos efei-

tos de sua própria massa.b) aproximadamente de 1,6 m/s'.c) aproximadamente 10 m/s'. o que mudaria para

o emigrante terrestre na Lua é sua massa, quediminuiria.

d) aproximadamente 10 m/s' e estaria na verticalpara cima, facilitando a flutuação e o desloca-mento dos objetos. Alternativa b

11. Analisando as configurações de um pêndulo no in-terior de um vagão ferroviário em movimento, jul-gue (Vou F) as seguintes afirmações:

1::O1~lc:JI. O vagão 1 está em movimento uniformemente

variado.lI. O vagão 2 move-se para a direita em movi-

mento acelerado.IH. O vagão 2 move-se para a direita em movi-

mento retardado.IV. O vagão 3 move-se para a esquerda -em movi-

mento acelerado.V. O vagão 3 move-se para a direita em movi-

mento retardado., F - V - F - V - V

12. (UFPE) Um bloco A homogêneo, de massa igual a3,0 kg, é colocado sobre um bloco B, também ho-mogêneo, de massa igual a 6,0 kg, que por sua vezé colocado sobre o bloco C, o qual apoia-se sobreuma superfície horizontal, como mostrado na figuraa seguir. Sabendo-se que o sistema permanece emrepouso, calcule o módulo da força que o bloco Cexerce sobre o bloco B, em newtons.

C90 N

13. Um rapaz segura em uma das mãos uma bolinha detênis com um barbante amarrado a ela, conformemostra a figura. Com a outra extremidade do bar-

bante presa em seu dedo, ele solta a bolinha. En-quanto a bolinha permanecer caindo e o barbantenão estiver completamente esticado, qual será atensão no barbante? (Adote: g = 10 m/s". massa dobarbante = 0,1 kg, massa da bolinha = 0,2 kg) .

T = o

14. Ao tentar levantar uma caixa de massa 5 kg, umapessoa aplica sobre o barbante uma força de 8 N.Determine a intensidade da força de reação da mesa(apoio) em relação à caixa. (Adote: g = 10 rn/s")

N = 42 N

15. (Unifesp) Suponha que um comerciante inescrupu-leso aumente o valor assinalado pela sua balança,empurrando sorrateiramente o prato para baixocom uma força F de módulo 5,0 N, na direção esentido indicados na figura. (Adote: sen 37° = 0,60ecos 37° = 0,80)

Com essa prática, ele consegue fazer com que umamercadoria de massa 1,5 kg seja medida por essabalança como se tivesse massa de:a) 3,0 kg d) 1,8 kgb) 2,4 kg e) 1,7 kgc) 2,1 kg Alternativa d .

16. (UFPE) Uma vassoura, de massa 0,4 kg, é deslocadapara a direita sobre um piso horizontal, como indi-cado na figura. Uma força, de módulo Fcabo = 10 N,é aplicada ao longo do cabo da vassoura. Calculea força normal que o piso exerce sobre a vassoura,em newtons. Considere desprezível a massa do cabo,quando comparada com a base da vassoura.

A~1'5m1,2 m

0,9 m, . Piso

N = 12 N

17. Em uma montagem experimental temos o conjuntode blocos ligados por um fio inextensível. As mas-sas de A e B são, respectivamente, 10 kg e 40 kg.Considerando g = 10 rn/s", determine:

a) o módulo da aceleração dos blocos nesta mon-tagem, desprezando os atritos; a) a = 8 m/52

b) O módulo da força de tração no fio.b) T = 80 N

18. Na extremidade de um fio, encontra-se pendurada umaesfera de massa m. Na outra extremidade, está ligadoum bloco de massa M = 3 . m, apoiado sobre uma mesahorizontal. Sem o fio estar esticado, a esfera é largadae, após percorrer uma distância Ho' atinge uma veloci-dade vo' sem ainda movimentar o bloco, Após o fio seresticado, a esfera se move de uma mesma distância Ho'Calcule a velocidade, em função de vo' atingida pelaesfera neste último trecho da descida.

v == 1,1 . v19. (Fuvest-SP) Os corpos A, B e Ctêm massas iguais. Um

fio inextensível e de massa desprezível une o corpo [ao B, passando por uma roldana de massa desprezível.

o corpo A está apoiado sobre o B. Despreze qualquerefeito das forças de atrito. O fio f mantém o sistemaem repouso. Logo que o fio f é cortado, as aceleraçõesaA, a8 e ac dos corpos A, B e Cserão:

a) a = O· a = fL· a = fLA '8 2' c 2

b) a = fL· a = fL· a = fLA 3' 8 3' c 3

c) a = O· a = fL· a = fLA '8 3' c 3

d) aA = O; a8 = g; ac = g.

e) a = fL. a = fL. a = fLA 2' 8 2' c 2

Alternativa a

• Observe os três modelos experimentais a seguir queusam blocos de mesma massa. Quando abandonado,cada sistema adquire as acelerações a1, a2 e a3• Para

a aessas situações, encontre a razão entre ~ e ..l...aI aI

ã1-

- 2--=- = -- 3

43

21. (ITA-SP) Dois blocos de massa M estão unidos por umfio de massa desprezível que passa por uma roldanacom um eixo fixo. Um terceiro bloco de massa m é co-locado suavemente sobre um dos blocos, como mostraa figura. Com que força esse pequeno bloco de massa mpressionará o bloco sobre o qual foi colocado?

a) 2~m·M·g d) m·g2· M + m 2· M + m

b) m· g e) Outra expressão.c) (m - M) . g Alternativa a

22. Uma corrente com dez elos, de massas iguais, estáapoiada sobre uma mesa horizontal extremamentelisa. Ao puxar um dos elos para fora da mesa, o sis-tema é abandonado e adquire movimento acelerado.Qual a aceleração do sistema (em função g) quando oquarto elo da corrente perde contato com a mesa?

a = 4 . g

23. (Fuvest-SP) Um sistema mecamco é formado porduas polias ideais que suportam três corpos, A, Be C, de mesma massa m, suspensos por fios ideaiscomo representado na figura. O corpo B está sus-penso simultaneamente por dois fios, um ligado aA e outro a C.

)~~!~;;~I-i i gm~GA B C

Podemos afirmar que a aceleração do corpo 8 será:

a) zero. d) 2g para baixo.3

b) g para baixo. e) 2g para cima.3 3

c) s para cima. Alternativa c3

24. Ao andar de elevador temos algumas sensações quepodem ser avaliadas no campo da física. Por exem-plo, se P é o peso de uma pessoa e N é a força nor-mal exercida pelo piso do elevador sobre a pessoa,podemos afirmar que, se o elevador inicia a subida:a) P e N aumentam.b) P e N diminuem.c) P e N não se modificam.d) P não se modifica e N aumenta.e) P aumenta e N não se modifica. Alternativa d

25. (Unifei-MG) Um caixote encontra-se no interior deum elevador que sobe com movimento uniforme,conforme mostrado na figura adiante. Sejam P opeso do caixote, Fj o rnódulo da força exercida pelopiso do elevador sobre o caixote e F2 o módulo daforça com que o caixote comprime o piso do eleva-dor. Considere as seguintes afirmações:

I. F> P, porque o elevador está subindo.11. Fj = F2' porque elas formam um par ação e

reação.IIl. Fj = P, porque o elevador está subindo com

movimento uniforme.IV. F2 = P, porque elas formam um par ação e

reação.

Subindo

Elevador

.e Caixote

Estão corretas apenas as alternativas:a) I e 11. c) II e m.b) L II e m. d) m e IV. Alternativa c

26. (UFRJ) Quando o cabo de um elevador se quebra, osfreios de emergência são acionados contra trilhos la-terais, de modo que esses passam a exercer, sobre oelevador, quatro forças verticais constantes e iguais aJ, como indicado na figura. (Adote: g = 10 m/s')

Trilhos\--Suponha que, em uma situação como essa, a massatotal do elevador seja M = 600 kg e que o módulode cada força J seja I J I = 1.350 N. Calcule o mó-dulo da aceleração com que o elevador desce sob afrenagem dessas forças. a = 1 m/52

27. Em uma construção, é comum pedreiros subirem edescerem latas com reboque de um ponto a outro naobra. Na figura 1, temos a situação que a lata descerapidamente com aceleração constante; na situaçãoda figura 2, a lata sobe rapidamente com acelera-ção constante, ambas de módulo a. Sendo T e T' asforças de tração nas figuras 1 e 2, respectivamente,determine a razão entre elas em função de a e g.

Figura 1 Figura 2

T T'I-~a-gT' a + g

28. (UFR-RJ) Em uma obra, realizada na cobertura deum prédio, há um sistema para subir e descer ma-terial entre o térreo e o último andar por meio debaldes e cordas. Um dos operários, interessado emFísica, colocou um dinamômetro na extremidade deuma corda. Durante o transporte de um dos baldes,ele percebeu que o dinamômetro marcava 100 Ncom o balde em repouso e 120 N quando o baldepassava por um ponto A no meio do trajeto.

Dinamômetro

a) a == 1,67 m/s-a) Determine a aceleração do balde nesse instan-

te em que ele passa pelo ponto A.b) É possível concluir se, nesse instante, o balde está

subindo ou descendo? Justifique sua resposta.b) Professor, veja a resposta no manual.

29. (U. F. Santa Maria-RS) Durante os exercícios de for-ça realizados por um corredor, é usada uma tirade borracha presa a seu abdome. Nos arranques, oatleta obtém os seguintes resultados:

Semanatu (em)

1 2 3 4 520 24 26 27 28

em que Sx é a elongação da tira.O máximo de força atingido pelo atleta, sabendo-seque a constante elástica da tira é de 300 N/m e queobedece à lei de Hooke, é, em N:a) 23.520 d) 840b) 17.600 e) 84c) 1.760. Alternativa e

30. Na montagem a seguir, vemos dois blocos, A e B,interligados por um fio inextensível. Próximo aobloco B é colocado um dinamômetro D. Abandona-do, o sistema passa a se mover em movimento uni-formemente acelerado. Desprezando os eventuaisatritos e verificando que a indicação do dinamôme-tro é 40 N, estime a massa do bloco B, sabendo quea massa do bloco A é de 10 kg.

mB

~ 2,5 kg31. Preso ao teto de um elevador, um dinamômetro

sustenta um pequeno bloco de massa 2 kg. Essesistema é avaliado por um técnico para verificar seo elevador está funcionando adequadamente, prin-cipalmente ao iniciar subidas e descidas. Ao fazer aleitura do dinamômetro, o técnico verifica o valorde 25 N. Julgue (Vou F) as seguintes afirmações arespeito do elevador: (Adote: g = 10 m/s")

,.'• •

L Ele está em repouso.U. Ele está descendo com velocidade constante.

m. Ele está descendo em queda livre.IV. Ele está descendo com movimento acelerado

de aceleração de 2,5 m/s'.V. Ele está subindo com movimento acelerado

de aceleração de 2,5 m/s'. F - F - F - F - V

32. (UFRJ) Uma mola de constante elástica k e compri-mento natural e está presa, por uma de suas extre-midades, ao teto de um elevador e, pela outra extremi-dade, a um balde vazio de massa M que pende navertical. Suponha que a mola seja ideal, isto é, quetenha massa desprezível e satisfaça à lei de Hooke.

Figura 1 Figura 2+ Aceleração

)I:! ek ~.~;:e-

t' MO XO

I>

a) Calcule a elongação Xo da mola supondo que tan-to o elevador quanto o balde estejam em repou-so, situação ilustrada na figura 1, em função deM, k e do módulo g da aceleração da gravidade.

b) Considere, agora, uma situação na qual o- ele-vador se mova com aceleração constante paracima e o balde esteja em repouso relativamen-te ao elevador. Verifica-se que a elongação damola é maior do que a anterior por um valor d,como ilustra a figura 2. Calcule o módulo daaceleração do balde em termos de k, .M e d.

a) M . g b) _ k . dx=-- a- M

k33. (Cefet-CE) O cursor A pode deslizar livremente sobre

o eixo horizontal, sem atrito. A mola presa ao cur-sor tem corrstante elástica 80 N/m e elongação nula,quando o cursor está diretamente embaixo do supor-te B. Determine a intensidade da força F necessáriapara manter o e91lilíbrio, quando c ~ 305 mm. (Adote:g = 10 m/s' e -../2= 1,41)

c

B j---------~- -

, : 305mm

--..--===--_GJ---!.