perpectiva em fisíca vol. 1 cap. 4 a 6

o..J:Jt-'5:«u

Movimento retilíneouniformementevariado [MUVl

Paraquedistas em queda, antes de os paraquedas abrirem.

Em Física, o movimento realizado por um paraquedista durante o salto pode ser considerado unifor-memente variado?

1.INTRODUÇÃOGrandes personagens da história da Física dedicaram-se ao estudo da queda dos corpos; um desses es-

tudos foi o da queda de um corpo, de dimensões pequenas e aproximadamente esféricas, de uma razoávelaltitude.

Essa queda pode ser considerada um movimento uniformemente variado, pois a aceleração escalar emuma queda desse tipo é praticamente constante.

A queda de corpos pesados (ou a queda de graves) foi estudada por Galileu.Esse cientista percebeu que, na queda, em quaisquer intervalos de tempos iguais, esses corpos adquirem

aumentos iguais de velocidade, ou seja, a velocidade dos "graves" varia de maneira uniforme.O fato de a velocidade do corpo variar uniformemente originou o nome desse movimento: movimento

uniformemente variado.

Graves: que têm peso, pesados, que tendem ao centro de gravidade da Terra.

e.FUNçÕES HORÁRIAS DO MUVNo estudo do movimento uniformemente variado (MUV), vamos trabalhar com duas funções horárias:

das velocidades e dos espaços.Essas funções permitem descrever como essas grandezas variam em relação ao tempo.

cão horária das velocidades: v = f(t;)"

- a aceleração escalar é constante, então;:- calculada pela expressão da aceleração

iia:

v - Vob.Va=--=>a=-

t - to M

~~ mos no capítulo anterior, com o exern--=;:"inhos, vamos zerar o cronômetro no ins-- ar, fazendo to = O; assim:

:=0 t•

I •5 5 (m)

- v-v= __ 0 =>a= __ O =>v-v =a.t =>--O t o

=> v = Vo + a . t

- cos da função v = f(t)-~ horária das velocidades é de primeiro

•.....•._<,....._•.•-....~_LO o gráfico da função que relaciona a ve-o tempo é uma reta oblíqua aos eixos.

Aceleração positiva

v (mjs)

Aceleração negativa

v (mjs)

v --- -------

Vm

o ~-~-~---o t t (s) t (s)

Note que: entre os instantes to = O e t, a veloci-dade escalar média vm pode ser calculada pela mé-dia entre as velocidades ve vo'

u + Vov =--m 2

Isso nos leva a concluir que:

A distância percorrida por um carro que acelerade Oa 100 km/h em movimento uniformemente va-riado é igual à distância percorrida por um móvel,nesse mesmo intervalo de tempo, com velocidadeescalar constante de 50 km/h.

: o gráfico de velocidade x tempo, podemos encontrar o deslocamento realizado por um corpo, tal como'IIr'C~_- -::: I guras abaixo.

Área

t

Área de um triângulo acimado eixo dos tempos

Área ~ fls(Acima do eixo: fls> O)

v

Área

Ot

v ----------------.--2

Área de um triânqulo-abaixodo eixo dos tempos

Área ~ fls(Abaixo do eixo: fls < O)

Exercícios resolvidos

1. Um veículo em movimento uniformemente variado inicia seu movimento com Vo = O e após um intervalo de6 s atinge a velocidade de 30 rn/s. Para essa situação, a aceleração do veículo, em m/s-. é de:a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 8ResoluçãoSão dados:Vo = O m/st = 6 sv = 30 rn/sEmpregando v = Vo + a . t, vem:30 = O + a . 6 ~ 6 . a = 30 :. a = 5 m/s'Alternativa d

2. Um corpo, partindo do repouso, desloca-se ao longo de uma trajetória retilínea, com aceleração constante eigual a 4 rn/s'. Após 10 segundos de movimento do corpo, determine:a) a função horária da velocidade dele;b) a velocidade que ele ati nge.Resolução

a) v = Vo + a . t ~ v = O + 4 . t:. v = 4 . t (SI)

b) v = 4 . 10:. v = 40 m/s

Exercícios propostos

1. Julgue (Vou F) as afirmações a seguir referentesaos movimentos retilíneo uniforme e retilíneo uni-formemente variado:

I. No MRU, a velocidade é constante. No mo-vimento retilíneo uniformemente variado, aaceleração é constante e diferente de zero.

11. No Sistema Internacional de Unidades, medi-mos a velocidade em m/s e a aceleração emm/s",

m. Na função horárias = 10 - 3 . t (SI), a posi-ção inicial vale 10 m.

IV. Quando a velocidade é negativa, o móvelestá andando de marcha à ré.

V. No MRUV,a velocidade varia em razão de aaceleração ser variável. v - v - v - F - F

2. Um carro que se deslocava com velocidade constan-te e igual a 54 km/h freia uniformemente, levando10 segundos até parar totalmente. Nessa situação,determine:a) a aceleração de freada do carro; a = -1,5 m/s-b) O gráfico da velocidade do carro em função do

tempo; b) Professor, veja a resposta no manual.c) a distância que ele percorre. c) ~s = 75 m

3. Em uma ultrapassagem, um motorista acelera seuveículo. A variação de velocidade desse movimentoestá representada no gráfico a seguir.

v (rn/s)

30

.10

O t (s)5

Dessa forma, determine:a) a aceleração desse veículo; a) a = 4 m/s-b) O deslocamento após 5 segundos; b) ~ = 100 mc) a velocidade adquirida após 8 segundos.

c) v = 42 m/s_ Exercícios complementares de 1 a 5.

çao horária dos espaços: s = f(C)

- ezomar a expressão da velocidade média:t!,.5 = V + vot!.t 2

• Gráficos da função 5 = f(t)A função horária dos espaços é de segundo grau,

portanto os gráficos cartesianos são representadospor parábolas.

O, vem:

~ v + vo v + vo--=--~t!,.5=---t:-0 2 2

Aceleração positiva(concavidade para cima)

5 (m)

= o + a· t, temos:-c+v 2-v +a-t____ --"-0 _ t ~ Ss = ° - t ~

22v . t + a- t2~ Ss = --'0'-- _

2

o H.-~-_+----t (s)

= a 2 a 2+ - - t ~ 5 = 50 + Vo - t + - - t2 2 Aceleração negativa(concavidade para baixo)

5 (m):::>..---:;:, ..:......Ll,e este exemplo: a função horária dos

móvel é dada por:5=1O-3-t+S-t2

~===ç~ - a 2 d. _ araçao com 5 = 50 + Vo - t + "2 - t , po e-

t (s)o

= -3 m/s: t

-~ = -, ua aceleração escalar vale 10 m/s'.

equação 5 = 50 + Vo - t + % - t', que o coeficiente (%) é o coeficiente do termo em t'. portanto indica

a parábola: se a > O, a concavidade é para cima; se a < O, a concavidade é para baixo.inal da aceleração determina a concavidade da parábola .

.: ãcos, note que, no instante t indicado (vértice da parábola), o movimento do móvel "muda de senti-- __- eiro gráfico, o espaço decresce (retrógrado) até o instante t e cresce (progressivo) a partir desse ins-_-- segundo, o espaço cresce (progressivo) até o instante t e decresce (retrógrado) a partir dali. Podemos

===::=::rr. rão, que o móvel inverte o sentido de seu movimento no instante t; logo, nesse instante: v = o.

--- Ia realiza um movimento retilíneo uniformemente variado e seu espaço varia com o tempo sequn-" i.: ~ 5 = 10 - t - 5 . t2•

:: ::::....-ão inicial, a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar;

.=-----------------------------------------------~.

I ----

b) a função horária das velocidades v = f(t);c) o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento;d) a posição da partícula no instante em que ela inverte o sentido do movimento;e) a classificação do movimento nos instantes t = 0,5 s e t = 2,0 s.ResoLuçãoa) Por comparação com 5 = 50 + Vo . t + ~ . t2

r temos:2

5 = O+ 10 . t - 5 . t2.

Assim:50 = O e Vo = 10 m/s

~=-5 .. a=-10mjs22

b) Como v= Vo + a . t, vem:v = 10 - 10 . t.

c) Na inversão de sentido, v = O (Você pode imaginar essa situação quando se lança um corpo verticalmentepara cima. O corpo para (v = O) imediatamente antes de iniciar a queda.):

o = 10 - 10 . t ~ 10 . t = 10:. t = 1,0 s

d) A posição da partícula no instante t = 1,0 s é determinada por substituição.

5 = 10 . t - 5 . t2 ~ 5 = 10 . 1 - 5 . 12 •• 5 = 5,0 m

e) Para t = 0,5 s:v = 10 - 10 . t ~ v = 10 - 10 . 5 ~ v = 10 - 5 :. v = + 5,0 rn/s

A velocidade escalar é positiva, então o movimento é progressivo. A aceleração escalar é negativa(a = -5,0 m/s") e a velocidade escalar, nesse instante, é positiva. Como a aceleração e a velocidadetêm sinais contrários, o movimento é retardado.Para t = 2,0 s:v=10-10· t~v=10-10· (2)~v=10-20:. v=-10m/s

A velocidade escalar é negativa, então o movimento é retrógrado. A velocidade escalar e a aceleraçãoescalar (a = -5,0 m/s") são negativas. Como a aceleração e a velocidade têm sinais iguais, o movimentoé acelerado.

4. O gráfico ao lado representa a posição em função do tempo deum móvel, que possui aceleração escalar constante.Determine:a) a velocidade escalar inicial;b) a aceleração escalar.ResoLuçãoAnalisando o gráfico, temos:Posição inicial: 50 = 25 mA aceleração escalar é negativa, pois a parábola tem concavi-dade para baixo.No instante t = 3 s, em que o móvel se encontra na posição5 = 52 rn. encontramos o vértice da parábola, ou seja, esseponto representa-a inversão do movimento (v = O).Assim:

5 (m)

52 - -

25

O 3 t (s)

a) /).s = Vo + v ~ _52_-_2_5= _vo_+_O~ 27 = VoM 2 3 2 3 2

Vo = 18 m/s

b) v = Vo + a . t ~ O = 18 + a . 3 ~ -3 . a = 18 .. a = -6,0 m/s"

5. A função 5 = 5 - 8 . t + 2· t2 mostra como variam as posições de um móvel com o tempo de movimento.Determine:a) a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração do móvel;b) a função horária da velocidade;c) o instante em que o móvel inverte o sentido de seu moviménto;d) o esboço do gráfico das posições ocupadas em função do tempo.ResoLução ()a) Comparando a função horária das posições do MUV 5 = 50 + Vo . t + ~ . t2 com a função horária das

posições do móvel, temos:5=5-8· t+2· t2

50 = 5 mVo = - 8 rn/s

!!.. = 2 ~ a = 4 rn/s"2

b) v = Vo + a . t, portanto: v = -8 + 4 . t

c) No instante em que o móvel inverte o sentido de seu movimento, sua velocidade se anula, então:

o = -8 + 4 . t ~ 4 . t = 8:. t = 2 s

d) A função 5 = 5 - 8 . t + 2 . t2 é representada por meio de uma 5 (m)parábola.Vamos determinar alguns pontos para esboçá-la: 5

t (s)

t=0~5=5mt = 1 s ~ 5 = 5 - 8 . 1 + 2 . 12 = 5 - 8 + 2 ~ S1 = -1 mt = 2 s ~ 5 = 5 - 8 . 2 + 2 . 22 = 5 - 16 + 8 ~ S2 = -3 mt = 3.s ~ 5 = 5 - 8 . 3 + 2 . 32 = 5 - 24 + 18 ~ S3 = -1 mt = 4 s ~ 5 = 5 .• 8 . 4 + 2 . 42 = 5 - 32 + 32 ~ \ = 5 m

o r-~--~~~.------1

-3

6. Um carro, partindo do repouso, entra em movimento uniformemente variado, atingindo a velocidade escalarde 108 krn/h após 6 s. A seguir, o carro mantém movimento uniforme durante 44 s e, a partir daí, freia atéparar, desacelerando com aceleração escalar constante de módulo igual a 3 rn/s'.Determine:a) a aceleração escalar do carro nos dez primeiros segundos;b) a distância total percorrida pelo carro;c) a velocidade escalar média do carro em todo o percurso.ResoLuçãoEm geral, quando o movimento varia entre MUVe MU, é interessante construirmos o gráfico da velocidade esca-lar do móvel em fünção do tempo de acordo com a situação descrita no enunciado. Veja a seguir.Transformando krn/h em m/s. vem:108 : 3,6 = 30 m/s

.~------------------------------------------------~~

cz-

o deslocamento escalar é numericamente igual à área sob o diagrama, ou seja, a área do trapézio, assim:

& t:! Área:} ôs = (60 + 44) . 30 ..2

a) A aceleração escalar é dada pela inclinação dareta: a = tg 8

30a =-:} a = 5 m/s'6

b) Analogamente, durante a freada: a = -tg <p. Édado que a = -3 m/s'. na freada, assim:

-3 = -30 :} M = 10 sM

Portanto:M = t - 50 :} 10 = t - 50:. t = 60 s

Ss = 1.560 m

& 1.560v =-=-- ..

m M 60c) vrn = 26 rn/s

v (rn/s)30

cp

6 t t (5)o 50


r

11

4. Um móvel realiza um movimento retilíneo unifor-memente variado e seu espaço varia com o temposegundo a função 5 = 20 - 10 . t + 5 . t',a) Determine a posição do móvel no instante em

que inverte o sentido do movimento.b) Classifique o movimento nos instantes t= 0,5 s e

t = 2,0 s.Professor, veja as respostas no manual.

5. Ao decolar, um avião acelera uniformemente apartir do repouso, atingindo a velocidade escalarde 288 km/h após percorrer 640 m em trajetóriaretilínea.Determine em seu caderno:a) o intervalo de tempo gasto

percorrer os 640 m;b) a aceleração escalar do avião.

pelo avião paraa) t = 16 s

b) a = 5 rn/s-

6. Um trem de comprimento 100 m entra em um túnelde 75 m de comprimento com velocidade igual a72 krn/h e desacelera uniformemente até sair com-pletamente com velocidade igual a 54 krn/h. Nessasituação, determine:a) a duração da travessia; a) t = 10 s

b) O módulo da desaceleração do trem.b) a = 0,5 m/s-

7. O gráfico a seguir representa a posição, em funçãodo tempo, de um móvel que possui aceleração es-calar constante.

Determine a velocidade escalar do móvel no ins-tante t = 5 s. v = 5 m/s

8. A função horária da velocidade de um carro quese movimenta em uma autoestrada é dada porv = -3 + 6 . t. Sabendo que, no início da con-tagem dos tempos, o móvel se encontrava naorigem das posições, determine:a) a função horária das posições;b) a posição em que o móvel se encontra após

5 segundos de movimento;c) o instante em que a velocidade do móvel

vale 9 m/s. a) s = - 3 . t + 3 . t' (SI)b) s = 60 mc) t = 2 s ~

5 (m)

25

t (s)o

-15

9. Um motorista está viajando em linha reta comvelocidade escalar constante de 72 krn/h, quandoavista um congestionamento. Devido ao tempo dereação, ele gasta O,7s ainda em movimento uni-forme, antes de frear, desacelerando seu veículocom aceleração escalar de módulo igual a 2,5 m/s",até pará-lo completamente. Determine:a) quanto tempo, desde que avistou o congestio-

namento, o motorista gastou até parar;b) quaL a distância percorrida pelo veículo

durante o intervalo de tempo calculado noitem o. a) Gastou 8,7 s. b) 94 m

b) v = - 10 + 5 . t (SI)

b) a função horária da velocidade;c) a velocidade adquirida após 10 segundos de

movimento. c) v = 40 m/s

5 (m)

8,0

o• O diagrama horário a seguir representa o movi-

mento de uma partícula. Sabendo que o movi- -2,0 --------------mento se mantém uniformemente variado até oinstante t = 10 s. pede-se:a) a aceleração do corpo; a) a = 5 m/s- _ Exercícios complementares de 6 alO.

EGUAÇÃO DE TORRICELLI- equação de Torricelli nos permite calcular a ve-.:: de de um móvel, após percorrer certa distância,

ecessitarmos conhecer o intervalo de tempona viagem.

~- expressões:

- = v + vo- 2

,ó.v A

e a = -, vem:M

v-ve M= __ oa

Assim:2 . Ss v - Vo ( ) ( )--=--=> v+v . v-v =2·a·'ó'sv+v a o oo

Desse modo:

i Cu~iosidadesfísicasstersamericano Tony Schu-er, pilotando uma dto-

, atingiu, em 2005, apro-amente a velocidade de

/h (quase a metade da. ade do som) em uma

- e 400 m.

. idade- pregue o que você::; deu até agora e deter-~ a aceleração escalar

- a atingida pelo piloto,do que a distância defoi a final do processo

- leração.

-a~~~~.S

~~oS2.~;;;o.s~ ~ -J

Dragsters são carros de corrida destinados a atingir altíssimas ve-locidades em pequenas distâncias.

7. Um motorista conduz. seu veículo com velocidade constante e igual a 72 krn/h, quando avista um obstáculoe freia uniformemente, à razão de 4 rn/s a cada segundo de movimento. Determine qual deve ser a distânciaentre o veículo e o obstáculo para que o motorista consiga parar totalmente e evitar a colisão.ResoluçãoDo enunciado, temos:

72 a = .-4 rn/s = -4 m/s2vo = - = 20 m/s e3,6 1 s

A velocidade final é nula (v = O), pois o veículo para.Como o tempo de duração da freada não foi fornecido, é interessante utilizarmos a equação de Torricelli.Assim, temos: 'v2 = v~ + 2 . a . L1s => 02 = 202 + 2 . (-4) . L1s => O = 400 - 8 . L1s => 8 . L1s = 400 =>

400=> L1s = - .. L1s = 50 m

8

11. Um trem, ínicialmente em repouso, parte de umaestação e acelera por 200 m com aceleração iguala 1 rn/s'. Para o referido trecho, determine:a) a velocidade que o trem atinge; a) v = 20 m/s

b) a duração do movimento. b) t = 20 s

12. Ao avistar um semáforo que se encontrava a 140 mde distância, um motorista que conduzia seu veí-culo, com velocidade constante e igual a 72 krn/h,

Exercício resolvido


demora 2 s antes de começar a frear uniformemente,conseguindo parar totalmente o veículo ao chegarao local. Considerando esses dados, determine:a) a desaceleração imposta pelos freios;b) o intervalo de tempo decorrido desde o instan-

te em que o motorista avistou o semáforo atéa completa parada do veículo. a) a = -2 rn/s-

b) ttot" = 12 s_ Exercícios complementares de 11 a 13.

EvangeLista TorriceLliEvangelista Torricelli nasceu em 15 de outubro de 1608, em Faenza

(Itália). Em 1641, escreveu um tratado sobre Mecânica: Sobre o mo-vimento dos corpos pesados naturalmente descendentes e projetados.Ainda naquele ano, foi convidado para trabalhar como assistente deGalileu Galilei, em Florença (Itália).

Após a morte de Galileu, Torricelli foi nomeado matemático dogrão-duque da Toscana e professor de Matemática da AcademiaFlorentina. Torricelli realizou experimentos com um tubo conten-do mercúrio, concluindo que a variação da altura da coluna demercúrio era devida à variação da pressão externa. Esse experi-mento forneceu as bases para o funcionamento do barômetro demercúrio. Além de outras contribuições no campo da Física e daMatemática, raramente publicadas, ficou famoso pela equação querecebeu seu nome.

Torricelli faleceu em 25 de outubro de 1647, na cidade de Florença.

Retrato de Evangelista Torricelli(1608-1647).

UEDA LIVRE ENÇAMENTO VERTICAL

iia a dia e nos esportes radicais, é comum_ ararmos a queda livre com o movimento realiza-

; - um paraquedista antes da abertura do para-~__ """-"-".por exemplo.

\1:••.•.••""'-""""'-"'__queda, a paraquedista está sob efeito da resis-

- do ar.

Em Física, usamos o termo queda livre para a situaçãoem que o corpo cai exclusivamente por causa da gravi-dade. Desprezamos, assim, o efeito do ar, cuja resistên-cia depende do local da queda, do formato do corpo etc.

Nas proximidades do nível do mar, a aceleração dagravidade é praticamente constante e vale, aproxima-damente, 9,8 m/s-. Essa aceleração depende da massada Terra, da distância até o centro dela, da rotação e deoutros movimentos de nosso planeta em torno do Sol.•Normalmente se considera a simplificação g = 10 m/s-para o módulo da aceleração da gravidade.

Ao analisarmos um corpo em movimento vertical,podemos orientar a trajetória de duas maneiras:

a) para cima: o corpo é lançado para cima econsideramos a aceleração contrária ao movimento;

b) para baixo: o corpo está em queda livre econsideramos a aceleração a favor do movimento.

Assim, na subida, o movimento é retardado e, nadescida, acelerado.

Acompanhe os exemplos a seguir, de queda livree lançamento vertical para cima, que ilustram essesmovimentos.

Queda livre

- objeto de dimensões desprezíveis é abando-co alto de um edifício de altura H. Desprezan-

=-'"eitodo ar e adotando g para a intensidade da- acão da gravidade, vamos determinar:

-" po gasto pelo objeto para percorrer uma- --- cia h (com h < H);

-~ po de queda do objeto (intervalo de tem-ecorrido desde o instante em que o corpo é

-= donado até o instante em que ele atinge o

2..ocidade escalar do objeto após ele percorrer-;: distância h (com h < H);

.: c ocidade escalar do objeto no instante em_:O: ele atinge o solo.

H

Resolvendo:a) Podemos trabalhar diretamente com as equa-

ções do movimento uniformemente variado efazer a = g, Ss = h e Vo = O; assim:

a 2 a 2s = so + Vo . t + - . t => 6.s = Vo . t + - . t =>2 2g 2 (2.h

=> h = "2 . t => t = Vgb) O tempo de queda é determinado fazendo-se h = H:

t =)2 ~H

c) Conhecendo o instante t e sabendo que Vo = O (oobjeto foi abandonado), podemos utilizar:

v = Vo + a . t => v = g . tem que t corresponde ao determinado no item(a) ou por meio da equação de Torricelli:

v2 =v~+2 . a . 6.s => v2 =2 . g . h => v=~2 . g . h

d) A velocidade escalar no instante em que o objetoatinge o solo:

v = ~2. s H

L

• Lançamento vertical para cima

Um corpo é lançado, a partir do solo, vertical-mente para cima, com velocidade escalar Vo em umlocal em que a aceleração da gravidade vale g e aresistência do ar pode ser desprezada. Vamos de-terminar:a) o tempo de subida;b) o tempo de voo (intervalo de tempo que o corpo

permanece no ar);c) a altura máxima atingida pelo corpo;d) a velocidade escalar do corpo ao retomar ao

solo.Resolvendo:Aqui, é importante adotarmos um sentido como

positivo para a trajetória. Vamos adotar a trajetóriacrescente para cima:

Assim: a = - g, pois a aceleração da gravidadeé sempre para baixo, so= O, s = n.: (altura máxi-ma) e Vo > O.a) À medida que o corpo sobe, sua velocidade esca-

lar vai diminuindo (em módulo) até se anular naaltura máxima. Assim, para o tempo de subida:

vv = Vo + a . t ~ O = "o - g . tsubida ~ tsubida = ;

b) A aceleração da gravidade é constante em todoo percurso. Portanto, o tempo gasto para o cor-po ter sua velocidade variando de Vo até zero seráo mesmo que para variar de zero até vo' ou seja, otempo de subida é igual ao de descida (queda).Logo, o tempo de voo é igual ao dobro do tempode subida:

_ Votvoo - 2·-g

c) Ao atingir a altura máxima, sua velocidade seanula. Da equação de Torricelli, vem:

v2 = v~ + 2 . a . ~s ~ 02 = v~ + 2 . (-g . hmáx) ~

v2~h =_0_

máx. 2. g

d) Como a distância percorrida é igual na subida ena descida e a aceleração da gravidade é cons-tante, temos: vfinal = -vo

ou seja, o corpo retoma ao solo com velocidadeescalar de módulo igual à velocidade inicial. (Osinal negativo refere-se ao sentido contrário aoadotado como positivo.)

F.ísica, ética e cidadaniaSegurança e cuidados em edifícios

Além de pensarmosna segurança das criançasque moram em edifícios,devemos pensar que elaspodem visitar esses locais.As redes de proteção sãofundamentais nesses casos,mas é importante salientarque essas redes possuemprazo de validade e devemser inspecionadas, pois, alémdos desgastes naturais da própria rede, essas são presas às paredes por metais, geralmente oxidáveis,que também são danificados com o tempo.

Não é raro que vasos, copos e garrafas caiam de um apartamento e atinjam uma pessoa ou um auto-móvel que esteja passando embaixo do edifício. Na queda do sexto ou do sétimo andar de um prédio,um corpo desses pode chegar ao solo com uma velocidade de, aproximadamente, 70 km/h. Nessascondições, um vaso causaria estragos em um carro ou feriria gravemente uma pessoa.

AtividadeApós a leitura do texto, determine o tempo de queda de um objeto que cai do sexto andar de um

edifício.

-=,,_~"-'..;'o o que estudamos sobre o movimento uniformemente variado:

- _ ção horária:

~ = 5 + V . t + !!.. . t2o 2

+ a· t

Aceleração desconhecida: Tempo desconhecido:

!:ls = v + voM 2

v2 = v~ + 2 . a . !:ls

é deixado cair de uma altura h = 20 m em um local em que a aceleração da gravidade vale g = 10 m/s'.':c!;;::=::zandoa resistência do ar, determine:

-: ::empo de queda (o tempo gasto para o corpo atingir o solo);_ locidade escalar do corpo ao atingir o solo.

~~çã-oi. _~ expressão 5 = 50 + Vo . t +!!.- . t2 e fazendo ó.s = h, Vo = O (o corpo é abandonado, ou seja, deixado

2

. ) e a = g, vem:

02 g2 ~. ~r;= Vo . t +"2' t ~ h = "2. tqueda ~ tqueda = Vg; assirn: tqueda = VlO = ,,4 .. tqueda = 2 s

- - v = v + a . t ~ v = g . t temos: v = 10 . 2:. v = 20 rn/so queda'

-::e que o item (b) poderia ser resolvido por meio da equação de Torricelli; assim:

.: = v~ + 2 . a . !:ls ~ v = ~2 . g . h = ~2 . 10 . 20 = ~400 v = 20 m/s

é lançado verticalmente para cima a partir do solo e retoma ao ponto de lançamento aos 6 s. Con-o g = 10 m/s' para o módulo da aceleração da gravidade e desprezando o efeito do ar, determine:

_ locidade escalar de lançamento do corpo;- o ra máxima atingida pelo corpo.~ ão- .: é importante adotarmos um sentido como positivo para a trajetória. Vamos adotar a trajetória crescente

= - g, pois a aceleração da gravidade é sempre para baixo, 50= O,5 = h (altura máxima) e vo> o.o o corpo retoma ao ponto de lançamento, o tempo de subida é igual ao tempo de descida (ttotal = 6,0 s),: tsubida = tdescida = 3,0 s

l ura máxima, temos v = O, logo:= v + a . t ~ O = Vo - g . tsubida ~ Vo = g . tsubida ~ Vo = 10 . 3:. Vo = 30 m/s

equação de Torricelli, vem:l 302

= v~ + 2 . o . !:ls ~ v2 = v~ + 2 . a . h ~ h = _0_ ~ h = --:. h = 45 m2· g 2· 10

Note que o item (b) poderia ser resolvido por meio da função horária dos espaços, assim:

a 2 g 2 10 2S = So + Vo " t + - "t => h = O+ Vo " t - - -t bid => h = 30 " 3 - - " 3 .', h = 45 m2 "2 su 1 a 2


Atenção!Este experimento deve ser feito em grupo e sob a supervisão de seu professor.

Objetivos:Comparar o movimento uniforme com o movimento variado.Determinar a intensidade da aceleração escalar média no movimento variado.Introduzir o conceito de inércia.

Material necessário:• borracha escolar• calculadora• caneta• lápis preto• papel sulfite• régua de 30 cm• água colorida• carrinho de brinquedo• cronômetro ou relógio• eixo com as rodinhas de outrocarrinho. para ser usado como roldana• frasco com gotejador• fita adesiva

13. Um corpo é abandonado do alto de um edifício eatinge o solo após 5,2 s. Desprezando o efeito doar e adotando g = 10 m/s' para a intensidade daaceleração da gravidade, pede-se: a) h = 135,2 m

a) a altura do edifício em relação ao solo;b) a velocidade escalar do corpo ao atingir o solo.

b) v = 52 rn/s14. Um corpo é lançado, a partir do solo, verticalmente

para cima com velocidade escalar de 25 rn/s. Consi-derando g = 10 m/s' para o módulo da aceleração dagravidade e desprezando o efeito do ar, determine:a) a altura máxima atingida; a) hmh. = 31,25 m

b) O intervalo de tempo que o corpo gastou atéatingir a altura máxima. b) t = 2,5 s

15. Um helicóptero está descendo verticalmente e, quan-do está a 120 m de altura, um pequeno objeto se

solta dele e cai em direção ao solo, levando 4 spara atingi-lo. Despreze o efeito do ar, considereg = l0I11/s2 e determine a velocidade de descidado helicóptero, no momento em que o objeto sesoltou. Vo = 10 rn/s :

16. Dois corpos, A e B, são lançados do alto de umprédio, um para cima e outro para baixo, comvelocidades iguais a 72 krn/h, Se a altura do pré-

di ." l 2 d " - MA t10 e iqua a 5 m, eterrmne a razao - en reMB

os intervalos de tempo necessários para que oscorpos atinjam o solo. Despreze o efeito do ar eadote g = 10 m/s".

Professor, veja a resposta no manual._ Exercícios complementares de 14 a 22.

=_:_ - o Galileu, um corpo, que cai a partir do repouso, percorre em tempos iguais espaços que mantêmto si a mesma proporção que têm os números ímpares a partir da unidade. Essa afirmação é válida para

- =ovimento dado pela expressão s = t2? (Sugestão: Calculem M entre instantes sucessivos, como O s e_ :. : s e 2 s; até 5 s e 6 s.)

--------~------------------------------------------~

: - m de linha de costura resistente-33 (que servirá de plano inclinado)

~;:a-gem:-= levemente a mesa.

- -=_em a água colorida no recipiente com gote--- ~- enchê-lo completamente e tampem.=--"::1 com a fita adesiva o recipiente com

_ -~=or no carrinho, com o gotejador voltado- :::2. O.

com a fita adesiva o eixo do outro carrinho- ::à de uma mesa.

= uma extremidade da linha no carrinho e aemidade em uma borracha escolar.

::---=- ma pista para o carrinho fixando papel sulfite sobre a mesa.- =;_'à ao lado ilustra a montagem da atividade.

90 cmEixo de .,---------

carrinho .~S~~~~===~~~Borracha

50 cm

Ii=-·••.•••dimento:o carrinho e deixem a borracha suspensa.

toque no fundo do recipiente gotejador até que se inicie o gotejamento. Deixem algumas gotas

em o carrinho.

experimental e análise dos resultados:. -:-'" o cronômetro no instante em que o carrinho for abandonado.-- =- o cronômetro no instante em que a borracha atingir o solo.- .- uem as distâncias entre as marcas sucessivas deixadas pela água no sulfite.

ai e respondam:--:z5 de a borracha atingir o solo, as distâncias entre as marcas deixadas pelas gotas aumentam, diminuem_ ::ermanecem constantes?

e o carrinho continua em movimento após a borracha tocar o solo?

___ ocorre com as distâncias entre as marcas após a borracha atingir o solo?

-2'1lllinem a aceleração escalar (suposta constante) do carrinho dure-ite a queda da borracha.

-== inem a velocidade escalar do carrinho no instante em que a borracha atinge o solo.

~-: andam às questões, justificando suas respostas.r. veja as respostas no manuaL

_- : rpo pode, em um instante, possuir velocidade escalar igual a zero e aceleração escalar diferente- ::E'O?

~---- L

3. Um corpo é deixado cair de certa altura, em relação ao solo, no mesmo instante e local em que umcorpo é lançado, a partir do solo, verticalmente para cima. Sabendo que esse último atinge umaaltura máxima igual à altura de que o primeiro foi abandonado, comentem e comparem:a) o tempo de voo dos dois corpos;b) as velocidades com que os corpos atingem o solo;c) as velocidades dos corpos, quando eles se cruzam;d) a altura, relativamente ao solo, em que os corpos se cruzam.

4. Em qualquer movimento, a velocidade escalar média pode ser determinada pela média entre a velo-cidade inicial e a velocidade final?

5. Uma pessoa, no alto de um edifício, lança uma pedra para cima e outra para baixo com velocidades demesmo módulo. Desprezando o efeito do ar, comparem as velocidades das pedras ao atingirem o solo.

Cotidiano e tecnologiaPorta-aviões e guerraOs meios de comunicação mostram diariamente conflitos

que ocorrem em várias regiões do mundo, como África, OrienteMédio, região do Cáucaso, América Central etc. Esses conflitostêm um impacto direto na economia mundial, como no aumen-to do preço do barril de petróleo, por exemplo.

As imagens da última Guerra do Golfo Pérsico entre os Esta-dos Unidos e o Iraque, iniciada em 2003, mostraram a avançadatecnologia utilizada pelas forças armadas estadunidenses e des-tacaram a importância dos porta-aviões nesse conflito.

Para decolar, um avião necessita atingir certa velocidadepara conseguir sustentação. Mas como atingir essa veloci-dade em distâncias como as de um porta-aviões, que são muitomenores que as de uma pista de aeroporto?

Para que os aviões levantem voo. o porta-aviões é provi-do de catapultas que funcionam como um estilingue e lançama aeronave a uma velocidade de aproximadamente 270 krn/hem apenas dois segundos. Essas catapultas são acionadas porpistões que se movem bruscamente, por causa da alta pressãoproveniente de vapor gerado na embarcação.

Para o avião aterrissar, são apenas cerca de 150 m de pistae, portanto, é necessário novamente um sistema adicional comfreios para conseguir parar a aeronave. O avião utiliza ganchosem sua calda que se prendem em cabos de travamento. Essescabos também são ligados a cilindros e funcionam como elás-ticos presos ao avião, de modo que o pouso não seja extrema-mente brusco.

Um avião a aproximadamente 240 krn/h necessita demais ou menos 100 m para conseguir parar. Não é poracaso que essas acelerações são muitas vezes medidas emtermos de g.

Nos porta-aviões, existe pouco espaço parapousos e decolagens e a aceleração é intensa.

Esse tipo de avião possui cabos que se prendema ganchos existentes na pista do porta-aviões.

Adaptado de http://ciencia.hsw.uol.com.br/porta-avioesl.htm (acesso em novo2009)AtividadeConsiderando g = 9,8 rn/s'. no nível do mar, qual seria o valor da aceleração escalar média em termos de

g na decolagem desse avião? ~

de um carro, ao entrar em um túnel com-=.c_e escalar de 108 krn/h. freia uniforme-- zindo 10 s depois com velocidade escalar- =~r--.fh. Determine o comprimento do túnel.

/).5 ~ 200 mfunção da velocidade em relação ao

m ponto material em trajetória retilínea,= 5,0 - 2,0 . t. Por meio dela, pode-se afir-o instante t = 4,0 s. a velocidade desseerial tem módulo:

• /s e o mesmo sentido da velocidade ini-

/s e o mesmo sentido da velocidade ini-

- , ais o ponto material já parou e não se--.; enta mais.• /s e sentido oposto ao da velocidade ini-

_ /s e sentido oposto ao da velocidade ini-- Alternativa d

- -=5 randes promessas da indústria automo-__ ~_._-"'"-são os carros elétricos. Em função da

=.=:=""; ica elétrica, a resposta do motor é~ =:=e eração repentina e mais rápida, fazendo- __r o veículo atinja 108 krn/h. partindo do

__ -- em apenas 3 s. Nesse caso, a aceleração- _';"=2 será de aproximadamente:

Alternativa d

- corrida de arrancada, um automóvel apre-a eLeração constante de 2 m/s' durante 5 se-

pondo que o automóvel tenha partido do- calcule a velocidade que ele atingiu após

:::- undos. v ~ 10 rn/s

) Um carro se desloca com movimentoniformemente variado em uma estrada

- zassando em um determinado ponto com- - =e de 15 m/s, Sabendo-se que ele gasta

__ os para percorrer os próximos 50 metros,. ade no final do trecho, em m/s. é de:

Alternativa a

com as informações da figura e da tabela,---- às questões que seguem.

2 4

3 6

4 8

5 10

a) O que representa o aumento das distâncias mar-cadas com as motos representadas (tipo de movi-mento)? a) Professor, veja a resposta no manual.

b) Em que instante a velocidade da moto será de20 m/s? b) t = 10 s

c) Determine o deslocamento de O selO s.c) /).5 ~ 50 m

7. (Cefet-CE) A figura a seguir representa, fora de es-cala, as marcas das patas traseiras de um guepardoque, partindo do repouso no ponto A, faz uma in-vestida predatória, a fim de garantir sua refei-ção. O intervalo entre as marcas é de 1 segundo.

~:') .-: ~: .-:•.~.) •.~ •.~ •.~5m 15 m 25 m 35 m

I I I

A B C

Determine:a) a aceleração escalar do guepardo;b) a velocidade do guepardo, ao passar pelo pon-

to B da trajetória. a) a = 10 m/s-b) v = 3 m/s

8. Uma das provas mais tradicionais do atletismo é aprova dos 100 m rasos. Nela, a aceleração de umcompetidor que percorre os 100 m em aproximada-mente 10 s. atingindo a velocidade máxima ao finaldos 100 m, é de:a) 1,0b) 2,0c) 3,0d) 4,0e) 5,0 Alternativa b

9. Um veículo move-se com velocidade constante de54 krn/h por uma avenida onde existe um semáfo-ro com fiscalização eletrônica. Estando o veículoa 60 metros do semáforo, o sinal muda de verdepara amarelo, permanecendo nele por um tempode 2,0 segundos. Sendo assim, qual deve ser amenor aceleração constante que o carro deve terpara passar pelo semáforo e não ser multado?

a = 15 m/s-10. (Cefet-SC) Um móvel efetua um movimento retilí-

neo uniformemente variado, obedecendo à funçãohorária 5 = t2 + 5, em que o espaço 5 é medido emmetros e o instante i, em segundos. A velocidadedo móvel no instante t = 10 s vale:a) 15 m/sb) 10 m/sc) 5 rn/sd) 2 m/se) 20 m/s Alternativa e

11. (UFPE) Um gato, que deseja agradar sua dona,tocaia um rato que tem o costume de se escon-der em um buraco na parede. O rato encontra-sea uma distância de 2,40 m do buraco e, obser-vando a situação perigosa da presença do gato,desloca-se no sentido do buraco, desenvolvendouma velocidade constante de 3,00 m/s. Inicial-mente o gato está em repouso, a uma distânciade 1,76 m do rato.

,~-------_. _.---3,10 m 1,76 m

A aceleração mínima do gato, para que ele alcanceo rato, antes que este se esconda no buraco, vale,em rn/s":a) 13,00b) 10,00c) 8,00d) 15,00e) 7,00 Alternativa a

12. Sempre antes de uma viagem mais longa, é importan-te que seja feita uma revisão no veículo. Dirigindo emuma estrada, completamente horizontal e reta, a umavelocidade constante de 30 m/s. subitamente vocêvê um cachorro parado no meio da pista, a 50 m doponto em que você se encontra. Ao acionar os freiosdo veículo, desacelerando constantemente, à razão de

36 km/h a cada segundo, será possível você passar atempo de não atingir o cachorro? Além disso, calculeo tempo, em segundos, entre o instante em que ofreio foi acionado até a parada do veículo.

Sim, será possível. ils = 45 m13. (Unicamp-SP) Uma possível solução para a crise

do tráfego aéreo no Brasil envolve o emprego deum sistema de trens de alta velocidade conec-tando grandes cidades. Há um projeto de umaferrovia de 400 km de extensão que interligará ascidades de São Paulo e Rio de Janeiro por trensque podem atingir até 300 km/h.•a) Para ser competitiva com o transporte aéreo,

estima-se que a viagem de trem entre essas duascidades deve durar, no máximo, 1 hora e 40 mi-nutos. Qual é a velocidade média de um tremque faz o percurso de 400 km nesse tempo?

b) Considere um trem viajando em linha retacom velocidade constante. A uma distânciade 30 km do final do percurso, o trem iniciauma desaceleração uniforme de 0,06 m/s".para chegar com velocidade nula a seu desti-no. Calcule a velocidade do trem no início dadesaceleração. a) v = 239,5 km/h

b)v, = 60 m/s ou Vo = 216 krn/h14. Considerando a equação horária h = 180 - 5 . t2

(SI) da altura, em relação ao tempo t, para o movi-mento de um vaso que se desprendeu de um apar-tamento, encontre, para essa queda livre:a) a altura do prédio; a) ho = 180 m

b) tempo que o vaso leva para atingir o solo.b) t = 6 s

15. (Vunesp adap.) Segundo se divulga, há um brin-quedo em um parque de diversôes na região Sul dopaís que possui uma torre radical com 100 m de altura.Caso o elevador esteja em queda livre por todo essetrecho, e considerando o valor da aceleração dagravidade como sendo 10,0 m/s'. e que o elevadorparte do repouso, conclui-se que sua velocidade aofinal dos 100 m será de:a) 33,2 rn/sb) 37,4 m/sc) 44,7 rn/sd) 49,1 m/se) 64,0 rn/s Alternati a c

16. Em um parque de diversões, uma das atrações é oelevador que despenca de uma altura aproximada de60 m. No movimento de queda livre, cuidados sãonecessários para a máxima segurança da pessoa.Considerando g = 10 rn/s'. encontre a altura má-xima a partir do momento que se inicia o procedi-mento de frenagem, com desaceleração constante3 g, até o repouso no solo. 15 m

17. Uma pessoa descuidada está lendo um livro em umajanela de um prédio; de repente, o livro escapa desuas mãos. Ao tentar pegá-lo, o leitor acaba lan-çando-o com velocidade de 10 m/s vertical e parabaixo. Sabe-se que o livro tem massa aproximadade 200 g e que atinge o solo com a velocidade de15 rn/s. Baseando-se nessa situação, encontre:a) o tempo que o livro leva para atingir o solo;b) a altura da janela em relação ao solo.

a) t = 0,5 s b) h = 6,25 m18. Em uma apresentação circense, uma das bolinhas

arremessadas verticalmente para cima por um ma-labarista atinge a altura de 20 m. Nessas condi-ções, podemos dizer que a velocidade inicial dolançamento e o tempo para se atingir os 20 m,respectivamente, é: (Adote: g = 10 m/s')a) 10 m/s e 1 sb) 20 rn/s e 2 sc) 30 rn/s e 3 sd) 40 m/s e 4 se) 50 m/s e 5 S Alternativa b

o texto seguinte se refere às questões 19 e 20:

Em um jogo de voleibol, denomina-se tempo devoo o intervalo de tempo durante o qual um atletaque salta para cortar uma bola está com ambos ospés fora do chão, como ilustra a fotografia.

i!-a;'2.[;:~:;:

I<Jl

-""~ '---------------------------Atletas de voleibol bloqueando o corteda adversária.

Considere um atleta que consegue elevar seu cen-tro de gravidade a 0,45 m do chão e a aceleraçãoda gravidade igual a 10 m/s'.

19. (UERJ) A velocidade inicial do centro de gravidadedesse atleta ao saltar, em metros por segundo, foida ordem de:a) 1b) 3c) 6d) 9 Alternativa b

20. (UERJ) O tempo de voo desse atleta, em segundos,corresponde aproximadamente a:a) 0,1b) 0,3c) 0,6d) 0,9 Alternativa c

21. (UFAM) A figura representa o gráfico da veloci-dade em função do tempo do movimento de umcorpo lançado verticalmente para cima com ve-locidade inicial Vo = 12 m/s, na superfície de umplaneta.

v (rn/s)

12

12

° 6 t (s)

-12 --- ------------ -------- - ---

A altura máxima atingida pelo corpo vale:a) 72 mb) 36 mc) 144 md) 64 me) 24 m Alternativa b

22. (Unimontes-MG) Um objeto é lançado a partir dosolo, verticalmente para cima, com velocidade ini-cial de 10 rn/s. O tempo decorrido desde o lança-mento até o retorno do objeto ao solo e a alturamáxima atingida por ele valem, respectivamente:(Adote: g = 10 m/s")a) 2,Ose5mb) 3,Ose15mc) 2,0 selO md) 1,0 s e 5 m Alternativa a

1. Uma pessoa em sua caminhada matinal percor-re os primeiros 20 minutos com velocidade de2,0 m/s. A seguir, inicia uma corrida, aceleran-do 1 m/s2 durante 8,0 segundos. Sendo 'assim.determine:a) a distância percorrida nos 20,0 min iniciais;b) a distância percorrida nos 28,0 s finais;c) a velocidade final do caminhante.

a) Dos= 2.400 m b) M = 48 m c) v = 10 m/s2. (PUC-RJ) Dois objetos saem no mesmo instante de

dois pontos, A e B, situados a 100 m de distânciaum do outro. Os objetos vão se encontrar em algumponto entre A e B. O primeiro objeto sai de A em di-reção a B, a partir do repouso, com uma aceleraçãoconstante igual a 2,0 m/s'. O segundo objeto saide B em direção a A com uma velocidade constantede v = 15 m/s.a) Determine o tempo que levam os objetos para

se encontrar; a) t = 5 sb) Determine a posição onde ocorre o encontro

dos dois objetos, medido a partir do ponto A;c) Esboce o gráfico da posição versus tempo para

cada um dos objetos. b) SA = 25 mc) Professor, veja resposta no manual.

3. Dois gráficos apresentam informações sobre a ve-locidade e a posição de um veículo em função dotempo.

v (rn/s)

20

10

o t (s)5

5 (m)

5 --------------c--

o 6 t (s)

De acordo com as informações disponibilizadas nosgráficos, determine a posição correspondente aoinstantet=6s. s=96m

4. (U. F. Santa Maria-RS) Ao preparar um corredor parauma prova rápida, o treinador observa que o de-sempenho dele pode ser descrito, de forma aproxi-mada, pelo seguinte gráfico:

v (m/s)

12,5 ----- - ----".......------

o 4 10 t (s)

A velocidade média desse corredor, em m/s. é de:a) 8,5b) 10,0c) 12,5d) 15,0e) 17,5 Alternativa b

5. Dois ciclistas, A e B, iniciam uma corrida de um mes-mo ponto e percorrem a mesma trajetória. O gráficomostra como as velocidades variam com o tempo.

v (rn/s)

A

16+---------~--B

o t (s)10

Sobre o movimento de ambos, julgue verdadeiro oufalso as seguintes afirmações:

I. Ambos descrevem movimento uniforme.11. Eles se encontram no instante t = 10 s.III.No instante do encontro, a velocidade de A

será 32 rn/s.Deve-se afirmar que apenas:a) I é correta.b) II é correta.c) III é correta.d) I e II são corretas.e) II e III são corretas. Alternativa c

6. (UEP1) Um carro A inicia seu movimento retilíneo apartir do repouso, no instante t = O, com uma ace-leração constante igual a 0,5 m/s'. Nesse mesmoinstante, passa por ele um carro B, quese deslocana mesma direção e no mesmo sentido do carro A, po-rém com velocidade escalar constante igual a 3,0 m/s.Considerando tal situação, qual é o tempo necessá-rio para que o carro A alcance o carro B?a) 6 s d) 15 sb) 10s e) 20sc) 12 S Alternativa c

7. (U. Fortaleza-CE) O gráfico velocidade versus temporefere-se ao movimento retilíneo de um corpo que, noinstante t = O, encontra-se na origem dos espaços.

v (m/s)

6 -----------:r-;-----.

4

2

O 8 t (s)4 6

Analise as afirmações:I. No intervalo de tempo de 1 s a 5 s. a acelera-

ção média é 1 m/s'.II. No intervalo de tempo de 2 s a 4 s, o movi-

mento não é uniformemente variado.III. No instante t = 8 s, o móvel encontra-se no-

vamente na origem dos espaços.Está correto o que se afirma somente em:a) 1 e III. d) 11.b) 1 e II. e) I.c) lII. Alternativa b

8. O gráfico a seguir apresenta a evolução das posiçõesde dois veículos em função do tempo:

s (cm) AB10

8

O t (s)5

Qual a velocidade de A ao alcançar B? VA = 2 rn/s

9. Próximo a uma estação de embarque, um trem (A)viaja em alta velocidade. Seu maquinista, muitoatento, percebe outro trem (B) parado à sua fren-te, nos mesmos trilhos. Com muita rapidez, aplicaos freios para tentar evitar a colisão. Após 2 s. osinal abre e o trem B parte em movimento unifor-memente acelerado. O gráfico apresenta a evoluçãodo movimento dos dois trens.

v (m/s)

30

20 B

10A

O 1 2 3 4 5 6 7 t (s)

Ao iniciar o processo de frenagem em t = O s, atraseira do trem B posicionava-se 100 m à frenteda dianteira do trem A. A colisão foi evitada porpouco. A partir dos gráficos, qual a distância maispróxima que os trens estiveram um do outro? 15 m

10. Observando o gráfico a seguir, vemos o desenvolvi-mento da velocidade em função do tempo de umapatinadora em um supermercado. De acordo com asobservações que ele nos apresenta, determine quedeslocamento foi realizado de O a 4 s.

v (rn/s)

1,0 -1----'"

O 1 2 3 4 t (s)~s = 3 m

11. (UFPE) Em t = O, um objeto parte do repouso a partirda posição x = 1,0 m, executando um movimentoretilíneo, com aceleração em função do tempo mos-trada no gráfico a seguir. Dos gráficos apresentadosem seguida, indique qual representa corretamente adependência da velocidade com o tempo.

a (rn/s')

2,0 .-- - - -, - - - - -..,-- - - - - r - - - --,I I I I

1,5 ------+-----~------~-----~I I I I1,0 ------~-----~------r - -- - -~I I I I0,5 +---'--~I------~-----~, , ,

, ,

O 1,0 2,0 3,0 4,0

a)

v (m/s)

2,0 -- --- --, -- -1,51,00,5 -

° 1,0 2,0 3,0 4,0 t (s)

b)

v (rn/s)

2,0 -

1,5 .r=:':1,00,5 /'

° 1,0 2,0 3,0 4,0 t (s)

c)

v (rn/s)

2,01,51,0 /0,5 -

° 1,0 2,0 3,0 4,0 t (s)

d)

v (mjs)

2,01,51,0 -0,5

°e)

v (rn/s)

2,01,51,00,5

°

12. O engavetamento é um tipo comum de acidente queocorre quando motoristas deliberadamente mantêmseus carros a pouca distância do carro que se en-contra à sua frente e que repentinamente diminui avelocidade. Em um trecho retilíneo de uma estrada,um automóvel e o caminhão que o segue trafegamno mesmo sentido e na mesma faixa de trânsito,desenvolvendo, ambos, velocidade de 108 krn/h.Em dado momento, os motoristas veem um cava-lo entrando na pista. Assustados, os motoristasdo carro e do caminhão pisam simultaneamenteos freios de seus veículos aplicando, respectivamen-te, desàcelerações de intensidades 3 m/s' e 2 m/s",Supondo desacelerações constantes, a distância ini.cial mínima de separação entre o parachoque docarro (traseiro) e o do caminhão (dianteiro), sufi-ciente para que os veículos parem, sem que ocorrauma colisão, é de:a) 50 mb) 75 mc) 100 md) 125 me) 150 m Alternativa b

13. (Cefet-CE) Um esquiador, partindo do repouso doponto A da rampa, passa pelo ponto B com veloci-dade de módulo 5 rn/s. Considerando constante aaceleração do esquiador, sua velocidade, no ponto C,será:

..•

c

IA

1,5 m 14,5 m

- - - - - ~ 1

, a) fi5 rn/s, , b) 10 mjs.. - J

c) 15 m/s1,0 2,0 3,0 4,0 t (s) d) 20 mjs

e) 25 mjs Alternativa b

14. (UFGO adap.) A pista principal do aeroporto deCongonhas, em São Paulo, media 1.940 m de com-primento no dia em que ocorreu um acidente comum avião de grande porte, cuja velocidade tantopara pouso quanto para decolagem é 259,2 krn/h.Após percorrer 1.240 m da pista, o piloto verificouque a velocidade da aeronave era de 187,2 kmjh.Mantida essa desaceleração, a que distância do

1,0 2,0 3,0 fim da pista a aeronave deveria ser arremetida,

-- aceleração máxima de 4 m/s". para se tentar_ ~,. o acidente?_ _2 m

30m388 m48mOOm Alternativa c

- --- . ere que o tempo de queda de um objeto,=-=~-onado do alto de um prédio de altura H, é t

- egar ao solo. Se esse objeto for abandona-= _~uma altura 4 vezes menor, chegará ao solo

_ intervalo (t - 3) s. (Adote: g = 10 m/s")lcule o valor de t. Sugestão: compare as

e ações para o objeto cair de uma altura H e

ra cair de uma altura li.4

a) t = 6 s

lcule a altura H. b) h = 180 fi

ndo o movimento dos pingos de água de uma_ eira mal fechada, observamos que eles caem em

tos de tempo iguais. De acordo com o apre-. _ A

-"= o na imaqern. encontre a razao -.B

v/

A

, ~=4B

_=-RJ adap.) Um bloco cai, a partir do repou-Entro de um recipiente cheio de gelatina.

---c o-se que a altura do bloco em relaçãocerficie da gelatina é de h = 0,2 m e que

: :: (O para completamente após atingir umaidade de y = 0,4 m dentro da gelatina,

- - ine o modulo da aceleração total sofrida:=- - loco durante a frenagem, em m/s", toman-

o aceleração da gravidade g = 10 m/s",

e) 5,0 Alternativa e

18. Um objeto é abandonado e cai de uma altura H apartir do instante t = o. Outro objeto é arremes-sado, também de uma altura H, com velocidadede 80 m/s após 4 s do primeiro ser abandonado.Verifica-se que os dois atingem o solo no mesmoinstante. Determine a altura H, da qual ambos ini-ciaram seus movimentos. 180 fi

19. (Furg-RS) Uma pedra é solta de um penhasco e levaMj segundos para chegar ao solo. Se M2 é o temponecessário para a pedra percorrer a primeira metadedo percurso, então podemos afirmar que a razãoentre ht

je t..t

2vale:

a) 1 d) 1-2

b) 1 e) .fi.fi

c) 2 Alternativa e

20. Considerando duas possibilidades de queda para ummesmo corpo, temos a seguinte sequência:

I. Intervalo de tempo M, abandonado de umaaltura H.

Il. Intervalo de tempo 1 segundo menor que M,abandonado de uma altura 4 vezes menorque H.

Nessas condições, qual foi a altura da queda? (Ado-te: g = 10 rn/s") H = 20 fi

21. Há aproximadamente 28 anos, o jogador da sele-ção brasileira de nome Nelinho, dono de um chutemuito potente, fez com que uma bola atingisse aaltura máxima do estádio do Mineirão, em BeloHorizonte. Seu chute colocou a bola para fora doestádio, com uma velocidade inicial de 114 km/h,Encontre o tempo de voo da bola até retornar aosolo. (Adote: g = 10 rn/s") tiO'" == 6.4 s

22. Da janela do 5Q andar de um prédio de aparta-mentos, uma pessoa arremessa, verticalmentepara cima, uma bolinha de gude com velocidadede 20 m/s, Sabe-se que a razão entre o tempo de

subida e o de descida é 2 Determine a altura3

dessa janela. h = 2S fi

23. (U. F. São Carlos-SP) Um pequeno objeto, quandolançado verticalmente para cima, retorna ao lo-cal de partida após ter decorrido o tempo 2t. Dosconjuntos de gráficos apresentados, aquele que sepode adequar perfeitamente à situação descrita,supondo desprezível a ação resistiva do ar, é:

a)

Velocidade AceleraçãoPosição

Ol------r~---,----- o 1---,--,---- 01---.>,.,----,-----2t Tempo t 2t Tempo2t Tempot t

b)

Posição Velocidade

t 2t Tempo

Aceleração

O~ o ~-,----,------ 01-----,----,-----2t Tempo2t Tempot

c)


Olo'---,--->v----- Ol"---,------T---- o I---+--~---2t Tempo 2t Tempo t 2t Tempott

d)


O~-...,-.--,.L;----- 01------,,(---+---- o 1---+---+----Tempo 2t Tempo t 2t Tempo

e)

Velocidade Aceleração

tiI

2t TempoI

Posição

01-------""'";-"""'--+---- o 1-----,--,---- o 1---,----,------2t Tempo 2t Tempot

Alternativa d

Cinemáticavetorial

o...J::JI-'a.«o

Atleta em prova de lan nto de dardo, uma das modalidades olímpicas.

Em uma prova olímpícáfde lançamento de peso, de martelo, de disco ou de dardo, como vemos na fi-gura, o corpo (projétil) lançado irá descrever uma trajetória parabólica e o objetivo do atleta é alcançar amaior distância.

Neste capítulo, entre outros assuntos, estudaremos os fatores que influenciam na obtenção do alcancemáximo de um projétil lançado.

1.INTRODUÇÃOOs cruzeiros marítimos sempre foram vistos

como viagens maravilhosas, cercadas de luxo, commuita pompa, festas e diversão. As rotas seguidaspor esses navios de cruzeiro são determinadas deforma que proporcionem uma viagem mais rápi-da e com segurança. Contudo, imprevistos acon-ecem.

Um dos navios mais famosos da história da nave-gação foi o RMS Titanic. Passados muitos anos, pes-cuísadores e exploradores promoveram buscas aosdestroços desse navio.

Para encontrarem o local exato, no fundo doeano Atlântico, esses exploradores usaram equí-

;amentos de última geração que têm como base a__resentação vetorial, que considera três informa-- s básicas, a partir de um ou mais pontos de refe-

•~ cia (atualmente obtidos por satélite):medida de comprimento;direção;entido.

o Titanic apresentava dimensões muito grandespara a época. O acidente ocorrido com ele em 14 deabril de 1912, quando o transatlântico afundou apósse chocar com um iceberg, ficou conhecido como amaior tragédia marítima.

Essas informações são representadas na Físi-ca por meio de um segmento de reta orientadodenominado vetor. Essa linguagem representa-tiva é muito útil na determinação da posição dequalquer objeto em qualquer referencial adotado.A evolução dessa representação deu origem ao GPS(global positioning system), que nos possibilita car-regar um desses dispositivos no bolso e nos orien-tarmos para ir de determinado local a outro, com amínima possibilidade de errarmos o caminho, comoo que Marina deveria fazer.

Para chegar a uma festa, Marina não possuía umGPS, mas apenas um convite e um mapa, sem o en-dereço, mas com alguns pontos de referência. Umdesses pontos (A, B, C, D ou E) representava o localda festa.

Para indicar o local da festa, ela dispunha de ummapa e do convite, em cujo verso havia um roteiro.

RoteiroPartindo do ponto P, siga:

• 1.000 m para o leste;• 800 m para o norte;• 400 m para oeste;• 200 m para o sul;• E, finalmente, 200 m para o leste.

Colocando-se no lugar de Marina, que conheceo local representado pelo ponto P, você seria capazde encontrar o local da festa com as indicações domapa e do roteiro?

Se você seguiu as orientações corretamente, en-controu o local procurado no ponto D, após percor-rer 2.400 m.

A distância em linha reta entre esse ponto e o pon-to P pode ser determinada pelo teorema de Pitágoras:

d2 = 8002 + 6002 ~ d2 = 1.000.000

E

A c-- D-- :. d = 1.000 m

que representa a distância que você percorreria sepudesse ir diretamente ao ponto D.

Para chegar ao local correto, você precisou co-nhecer, além das distâncias percorridas, as dire-ções e os sentidos do movimento.

Hoje, podemos encontrar sites da internet commapas de localização que trazem as mãos de di-reção das ruas e mostram os melhores caminhosentre dois locais e a distância percorrida.

200 m

p 200 m

PedraAv. Dom

,'"<=...- I\l- _

~ Belo,-- ····la...;--"-----,~

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I~i 8e~'~ ~ ----J~~-- _~'

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I .! I..~c:::L._ .._._

R. Santos

A rota indica o melhor caminho a ser seguido.

2. GRANDEZAS ESCALARESE GRANDEZAS VETORIAIS

Existem dois tipos de grandezas físicas:Uma grandeza escalar fica definida se conhecer-

mos sua intensidade (valor numérico e unidade).Por exemplo, a medida da temperatura de João

indicou 39°C, e a de Pedra indicou 36,5 OCoPodemosconcluir que João está com febre, mas Pedra não.

Termômetro clínico.

Para definirmos uma grandeza vetorial, além domódulo ou intensidade, é necessário conhecermos adireção e o sentido.

Por exemplo, Ana e Paula partem, simultaneamen--<2 de um edifício C, para irem sem interrupções até a

e ma padaria P. Ana caminha mais rapidamente que?aula. Quem chegará primeira à padaria?

cflil~j'-i-·-iil-------:I I: ..... :I •• rr • • I

I •• :: ..... :: ~T~'

:! +... ----~.p.

Se elas seguissem a mesma trajetória, Ana certa-mente chegaria antes, mas ela pode ter seguido umcaminho mais longo e chegar junto ou depois dePaula, ou seja, não podemos concluir quem chegaráprimeira à padaria.

Na cinemática escalar, já comentamos que deslo-camento, velocidade e aceleração admitem valorespositivos ou negativos, conforme a orientação datrajetória.

Quando o movimento não é unidimensional, es-sas grandezas devem necessariamente ser tratadascomo vetoriais.

Concluindo, há dois tipos de grandezas físicas:

Grandezas escalares, que ficam definidas simplesmente por meio da medida da grandeza. Exemplo:~empo, temperatura, massa, comprimento, volume, energia etc.

Grandezas vetoriais, que, além do módulo ou da intensidade, necessitam da direção e do sentido em que:> am, para serem bem definidas. Exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração, força etc.

~ língua inglesa, para evitar ambiguidade, usam-se termos diferentes para velocidade: speed (rapidez),para a velocidade escalar, e velocity (velocidade), para a velocidade veto ria!.

VETOR--ma grandeza vetorial é representada por meio

vetor (segmento de reta orientado)..etor representado na figura tem direção per-

":'cular à reta r e sentido para a direita de r.comprimento do vetar é proporcional a seu módulo.

- zrandeza vetorial é representada por uma- := :obre a letra correspondente à grandeza (ou,

;: auns casos, em negrito). Por exemplo, Li, ã

e F representam os vetores velocidade, acelera-ção e força, respectivamente.

r

Origem--------------_o Extremidade-,Módulo

------ IL

o vetar resultante tem módulo igual à diferençaentre os módulos dos vetares v2 e VI' ou seja:

v2•• •. ,II -- ....• __

: v = V1 + V2: .•Vetor nulo:Õ é o resultado da adição de um vetar V e seu

oposto -v ..•

v + (-v) = Õ

-v •.• Regra do paralelogramoRepresentamos os vetares colocando suas ori-

zens em um mesmo ponto P.

8

p

Traçamos, então, uma reta paralela a cada ve-- r pela extremidade do outro.

,,---------------------------------~----,,,,,,,,,,,,,

,,,,

,

p

o vetar resultante (soma) tem origem no ponto P= extremidade no cruzamento das linhas traçadas.

,,,,---------------------------------- ~-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,p

o módulo do vetar resultante v depende, além dosmódulos dos vetares VI e v2' do ângulo e entre eles.

Assim:Para e = 0°: Os vetares têm a mesma direção e

o mesmo sentido.

• •.

O vetar resultante tem módulo igual à soma dosmódulos'dos vetares VI e v2' ou seja:

Para e = 180°: Os vetares têm a mesma direçãoe sentidos opostos.

.• •

O vetar resultante tem módulo igual à diferençaentre módulos dos vetares VI e v2' ou seja:

Para e = 90°: Os vetares são perpendiculares en-tre si.

O módulo do vetar resultante pode ser determi-nado pelo tearema de Pitágoras: v2 = v; + vi.

I

Para outros valores de 8:

v,

P v,• Subtração de vetares

Queremos, agora, representar o vetor !lv = V2 - VI'Como já vimos, o vetar L1v é o resultado da

adição do vetar v2 e oposto de VI'

• Regra do polígonoRepresentamos os vetares colocando suas ori-

gens em um mesmo ponto P. Traçamos, então,uma seta, que tem início na extremidade de VI efim na extremidade de v2•

M=v,-v,v,

p

o módulo do vetar resultante pode serdeterminado por esta expressão:

o vetor v2 - VI aponta para a extremidade dovetar, que é o primeiro termo da subtração. No casode nosso exemplo: v2 •

o módulo do vetar diferença pode ser determi-nado por esta expressão:

v2 = v2 + v2- 2 . v . v2 . COS 81 2 1

• Regra do paralelogramoRepresentamos o vetar v2 e o oposto de VI co-

locando suas origens em um mesmo ponto P, e usa-mos o mesmo procedimento da adição de vetares.

I'1v= V, - v,v,

-v, p

1. Dados os vetares X, y e z, determine graficamen-te:a)b)

s = x + Y~ = y + z

c)

~-----r-----,-----,------r-----r-----r-----,---I I I I I I II I I I I I I: : : : : : : :r-- ---] -- ---1- ----r----T -----r - - - - - r - - - - -r-----I _ I I , I I I

L __ -X- -----+-----~------------~-----~-----~------I I I I I II I I I I I

: :: :: I

~-----, -----t-----t------------~-----!'-~---t------I I I I _ I I

~-----~-----~-----~-------~---~----- -~---~------I I I I I I II I I I I I II I I I I I IL ~ ~ ~------------~-----~-----~ _I I I I I I I I, I I I I I I I: : : : : : : :~----_-.! I I_- _! -'- -' , -

ResoluçãoUtilizaremos, em todos os casos, a regra do polígo-no. Então, temos:

a) b) c)-----r-----,,,,_____ 1. _,

,,I ,L- L _, ,, ,, ,, I, I~----- -r---'

I '

_J +~::z ~ ,

I '

-L--

r----- -IIIIL. _II

i Yt------IIII

~-----IIII

r----- -----1~----- -----1

i J

·------r----- ..,,

,I,,,-----------

,,,,I-----------

2. Considere os vetores i.\, V2 e v3 da figura 1, que representam avelocidade de uma partícula em três instantes diferentes. (Adote:J2 = 1,4)

Determine:a) o módulo, a direção e o sentido do vetor

5 = v1 + v2;

b) o módulo, a direção e o sentido do vetorr = v1 - v2 + v3 •

Resoluçãoa) Para determinarmos a direção e o sentido de 5 = v1 + v2' uti-

lizaremos a regra do paralelogramo:o módulo do veto r 5 é determinado pela expressãoS2 = vi + v~ + 2 . v1 . v2 . cos 90° . Ocorre, porém, que o ân-gulo entre os vetores v1 e v2 vale 90°. Veja figura 2.Como cos 90° = 0, temos S2 = vi + v~ , que equivale ao teo-rema de Pitágoras. Finalmente:S2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 ~ S = .fi5

Figura 1----,, ,I ,, ' ,~~~~;~~~~:-~l-----t---j- -~--~----I I I I

r- --~----t--- 1__ -. --

: : : : V2. .. -~----- , ,V1 ! :

1 m/s {~_- ---~----l---T-- 1 ---

___ L J .&. ••

~1 m/s

.. T----r-

Figura 2,-- ~---;---'-, , I

~---~--- ~ .;I I I II I I I

I : : :.. ----r---~, ,, ,, ",.. __ ~ L '_

: v I 5 :2 ':----- ---- ..,

--T- r, ,, I, ,

__ J. L,,

+-- ..,,,--+---- •..

S = 5 m/s

,,1 -I,,, -

,1 m/s {~--~~ _

~1m/s

i7,],

b) A direção e o sentido do vetor r serão determinados pela regra do polígono. Observe a figura 3.Observe que o vetor r é a hipotenusa de um triângulo com catetos cujos módulos valem 4 e 5 m/s (cadaquadradinho, tal como indicado, vale 1 m/s). Veja figura 4.

Figura 3.---.,----r- '----r- ..,, ,,

_1- __ J_I I, ,

I

I

-t

Figura 4..---r----'-----,-----~I I I I, ,I, ,I

, ,I

L__ __~-----~-_~: ::I I [II I I I It-----. j.... •• --' ..1 •• -'I I I I: r I : :

, ", ,I

-----:--- ~ --~-- :: I [:

" 'I I I I:-----~-- ,----T~,L L L ,. ~:

.--- ---r---'----T----r---'--- r----I I' I I I II I I I I~ I I I Ii--- ~- __w --- I _ : •••. ~

I I I I: d2 : I~- ----r --~-- -T----r--- 1--- ~---~

- I' I I I I

I d1: : 1 :~ •• _L J L ~ ~___ ~1 1 I I I I II I I I I I

I' :::: Ii--' :8- -r---r--r --r- r--~ :,}1m1 __L ~ ! _~ ~__

~1m

3. Considere agora os vetores 131 e 132, cujos módulos são iguaisa 5 m e 3 m, respectivamente, e que representam os deslo-camentos exercidos por uma partícula em dois instantes dis-tintos. Determine o módulo, a direção e o sentido: (Adote:sen 8 = cos (180° - 8) = 0,8 ecos 8 = sen (180° - 8) = 0,6)

a) do vetor soma: 5 = 131 + 132

b) do vetor subtração: 13 = 131 - 132

--------------------------------------------------~~

: / V3:-- -,

_J,II-- ..•III

.j

------ ~L

,--/----,.----r

I,,~- - - -!--, --;-~-;-, --'---

: v1:---t"----I---,,,

__ L I _,I ,, ,, I--_&.._-_ ....•_--

1 rn/s {: -~1m/s

- -! - - -

Assim:r2 = 42 + 52 = 16 + 25 ~ r =.J41 m/s ~ 6,4 rn/s

Figura 1Resoluçãoa) Utilizaremos, nesse caso, a regra do paralelogramo

para determinarmos a direção e o sentido do vetors. Assim, temos a representação da figura 1:

o módulo de 5 será determinado pela expressão:S2 = d; + di + 2 . di . d2 . COS 8que resulta:S = 52+ 32+ 2 . 5 . 3 . 0,6 = 25 + 9 + 18 ~ S = 52 ~

~ S = .J52 ~ S = .J2 . 2 . 13 = 2.JU m

S == 7,2 m

b) Procedendo de um módulo análogo, vamos obter ovetor a, representado na figura 2.

Note que o módulo do veto r a vale 4 rn, pois estáprojetado sobre o eixo vertical, em que cada quadrí-cula, tal como indicado, vale 1 m.d2 = d; + d; + 2 . di . d2 . cos (180° - 8)= 52 + 32 + 2 . 5 . 3 . (-0,6) ~~ d2 = 25 + 9 - 18 = 16 ~ d = .J16

d= 4 m

.----,-----'-----r-----r----'-----T-----r-----,, I I I I 1 I I II I I I I I I I II I I , I , I t II I I I I I I I I~ J l L J L I

I I I I I I I1 I I I I ~ I I II I I I I, I I II I 1 I ~" II I I I , I,' I I I~----~-----~- ---~-----~- -~-r---~-----~-----II I I I _ I I1 I I I::a I 5 ,,,r : : :: : 1 I : I;' : : : :r----...,-- --,-----. -----1""'--1--;-----.,.-----1""-----,I I I I I~' I , I II I I I 'I I I I II I I I I, I I I II I I <4 I I I I~--- --~-----~---7~~----~-----{-----~----~I I I I I I I I II I I" I I I I II I I,' I I 1 I II I '" I I I I I~ __ ~ -L __ ~~. ~ L J ~ I

~1m

Figura 2r----'-----'-----r-----r----'-----T-----'I I I I I I I I1 I I I I I I II I I I I I I II I I I I I , I~----~-----i-----~----, ----~-----~-----II I I I, 1I I I I / 1

I : : :,/ : 1 I

~----~-----~-----~~---- ----~-----.- II I I" I I I

I : : I'; : :I I I , I 1 II I I (I _ I _, 1i----~-----~-?I.--i----- ü=v : -a~-----:I I I, I 1 1 1I , ,,, I I I 1I I .f I I I

}------:---iL"~-----r-C1..-- i-----f-----: } 1mI I' I I I I 1: :,,/:: 8:::I 1/ I I I I, ..t.:' .1 1. 1

'----,--'

1m


1. Considere dois vetores, â e li, cujos módulos se-jam iguais a 6 u e 8 u, respectivamente. Determi-ne os valores mínimo e máximo que o módulo dovetor soma 5 = õ + li pode assumir, nesse caso.s. = 14 u e S. = 2 u

2. D~adosos vetores ir li e t, determine em seu cadernoos vetores 51' 52 e 53 (módulo, direção e sentido), sa-bendo que cada quadrícula tem módulo igual a 1 cm.a) 51 = ã + li c) 53 = ã + êb) 52 = li + êProfessor, veja a resposta no manual.:----~-----1-----r-----~----~-----1---- ~----~I I , I I I I I• 1 I I I I I II I I I I ! I I~ J J L L J l L _I I • I I I I II I I I I I I

: : Ô : : : : :I i I I L I I It-- -- ! li I ----- •...-----;/----- .•-----1------I I I I , I II I 1 I I I I

:: :::: C :I I I I I I Ir- --4-----1-----~-----~----;-----~-----I I I I I I I I

lI: li l : : : :~- ---'.. : : I ----,-----{-----r-----I I I I I I II I I I I I II I I I I I II I , I I 1 I I

_L J ~ L _ ~__ ~_

3. Os vetores a seguir representam a aceleração deum corpo em três instantes distintos. Determineem seu caderno o módulo, a direção e o sentido:

a) do vetor soma: 5 = ãl + ã2

b) do vetor subtração: a = 2 . ã3 - ã2a) S = 10 m/s- b) D = 10 m/s-

-----r----'-----T-----'I I I II I I rI I , II I I I_____L J ~ I

1 I I II I I II I I II I I J-a.f--~----~-----+-----:I 1 I II 1 1 II I 1 I

~----~-----~----- -----~----~-----I'-----:1 I I I I IJ 1 I I J I

l- ----l- - - - -~ - -- - - r - - - - -i- - --- ~- - -- - - -ã- - - i, 1 I I I 1 3,I I I I I I 1I 1 I I I I I1 I I I I I 1'.. I I I J .1 1

r----'-----j-----, , ,, , ,, I ,, , ,~----~-----i-----I I ,I , I, I ,, , IL ~ ~ _

, , II I II , ,I , I

} 2 m/s'

4. Considereos vetores di e d2, cujos módulos são iguaisa 10 m e 8 rn, respectivamente, e que representam osdeslocamentos exercidos por uma partícula em doisinstantes distintos. Determine o módulo, a direção e osentido: (Adote: sen 8 = 0,6 ecos 8 = 0,8)a) do vetor soma s = di + d2

b) do veto r subtração d = di - d2

Professor, veja as respostas no manual.~----I-----,-----r-----í----'-----T-----II I I i I I I II I I I I I I II I I I I I I IJ I F I I I I I~----~-----i-----~-----~----~-----t-----~I I I f I I t I

! I I I I I I; I I I I r I

I i I I I I I IL __ ~~~ 4 ~ ~ ~ I

I I I I I I I II j I I I I I I

! I I I , I II I I r I I I II I _ I I I I I I

~----;---d-li--- -~-----i----i-----;-----:I I 1 I I I I II I I I I I II I I I I I I II I J 1 I I I Ir- ---"1- - ---1-- --- r-- ---,--- --"1--- --1 -----,I I I I I I II I [ ! I I I I

~8: : : : : :~_-'-_-'-_---" .l 1. 1

}2m

5. Para os vetores ã1, ã2 e ã3 a seguir, cujos módu-los são iguais a 5 rn/s'. 3 m/s' e 4 rn/s'. respecti-vamente, determine:a) o môdulo, a direção e o sentido do veto r

ã1 + ã2b) o modulo, a direção e o sentido do veto r

ã2 - ã1 + o,Professor, veja as respostas no manual.

~----I-----,-----r-----r----'-----T----~II I I I I I I II I I I I I I ;I I I I I I ! II I I ! I I I Ir---- -----:- : : : : :: ::: â1: : :I I I I I I IL ~ ~ ~ ~ • I

I I I I I I !I I I I 1 I II -o. I I f I I I

L__qz. - --- -1- --- - ~ : : ••~-- - - -'1I I I __ I I

: :: Q2 : :I I! I II I I I I I I

1m/s

{r: i-----r---T----:-----r---T----iI .1 I I I I t II I I I I I I II J L L ~ ~ L I

'-y-l

1m/s

_ Exercícios complementares de 1 a 5.

'-y-l

2m

.VELOCIDADE VETORIAL EACELERAÇÃO VETORIAL

Quando falamos em velocidade, estamos nos-=--erindo à rapidez com que se realiza um movi-zzento. Na Cinemática, não nos preocupamos com-- características vetoriais dessa velocidade, pelo-- o de analisarmos movimentos unidimensionais._- entanto, com a representação vetorial, podemos- alisar um movimento de forma mais ampla.

o deslocamento vetorial resultante é a distân-cia em linha reta orientada desde o ponto de partidado movimento até seu ponto de chegada.

Assim, em uma pista de automobilismo como nocircuito oval, representado a seguir, o deslocamentovetorial em cada volta completa é nulo, apesar de adistância percorrida ser diferente de zero.

---' -.;;Vista aérea do circuito de automobilismo da Ca-rolina do Norte (EUA).

~~ Em um circuito fechado, em que o ponto de partida coincide com o de chegada, ° deslocamentoc ~ vetorial é nulo.~~

• Veíocidade escalar


Em uma corrida, geralmente é informada a veloci-dade média do carro mais veloz em certa volta. Essavelocidade média é determinada pelo quociente entre adistância percorrida (comprimento do circuito) e o. in-tervalo de tempo gasto naquela volta. Esse valor medea rapidez do movimento, assim como a velocidade es-calar média.

A velocidade vetorial média é, por definição, oquociente entre o deslocamento vetorial e o intervalode tempo gasto.

d!'lt

Concluindo: em um circuito fechado, a velocidadevetorial média é, em cada volta, nula.

Analogamente à velocidade escalar, quando o in-tervalo de tempo tende a zero, temos um instante detempo (um momento) e a velocidade vetorial é cha-mada de velocidade vetorial instantânea .

• Aceleração vetorial

Para determinar da aceleração vetorial média,vamos usar uma aplicação da diferença entre ve-tares. Por exemplo, considere um carro que entra emuma rotatória e a percorre com velocidade escalar cons-tante, confarme representa a figura:

A velocidade vetorial instantânea tem, em cadaponto, a direção tangente à trajetória e o sentidocoincidente com o deslocamento do carpa nessa tra-jetória.

Assim, se um corpo se desloca com velocidade es-calar constante por meio da trajetória indicada de Apara B, podemos representar suas velocidades, comosegue:

A

B

A velocidade vetarial em três instantes.

Podemos, por meio da regra do polígono, represen-tar a velocidade inicial (entrada) e a final (saída), quesão perpendiculares entre si.

v

A aceleração vetorial média é dada pelo quocienteentre o vetar variação da velocidade e o intervalo detempo, e tem direção e sentido iguais ao do vetor éü •

!

4. Um móvel se desloca 12 m para o norte, e em seguida 5 m para o leste, gastando 10 s nesse percurso.Determine:a) a distância total percorrida;b) a velocidade escalar média;c) o módulo do deslocamento vetorial;d) o módulo da velocidade vetorial média.

ResoluçãoRepresentamos a situação na figura ao lado:a) A distância percorrida é dada pela soma de todas as distâncias,

assim:A5 = 12 + 5:. A5 = 17 m

A5 17b) v = - = - .. vm = 1,7 rn/s

m M 10

c) O deslocamento vetorial tem módulo que pode ser determinadopelo teorema de Pitágoras:d2 = 122+ 52=> d2 = 144 + 25 = 169

5m

3Cl..,

d = 13 m

d) O módulo da velocidade vetorial média é dado por:

IVm 1= ~ = ~:. IVm 1= 1,3 m/sM 10

Um corpo, em movimento uniforme, percorre três quartos de uma circunferência de raio 10 metros em 5 se-gundos. Para esse intervalo de tempo,calcule os módulos:a) do deslocamento escalar; d) da velocidade vetorial média;b) do deslocamento vetorial; e) da aceleração escalar média;c) da velocidade escalar média; f) da aceleração vetorial média.

Resoluçãoa) O comprimento de uma circunferência é dado por C = 2 . 1t . r, então temos:

A5 = i .2 . 1t. r=> A5 = i .2 . 1t. 10 = ~ . 1t. 10442

:. A5 = 151t m,,,,,,,,: 10 m,,,,,,,,,-------------------~-------------------

b) O módulo do deslocamento vetorial corresponde ao módulodo vetor que une o ponto de partida ao ponto de chegada,como representado na figura ao lado.Nesse caso, aplicando o teorema de Pitágoras, vem:

Id 21= 102 + 102 = 2 . 102:. Id I = 10/2 m

c) Da definição de velocidade escalar média, temos: 10 m

v = Lls = 15· 1t = 31t m/sm M 5

d) Da definição de velocidade vetorial média, temos:

_ Idl 10· /2IVm 1= M = -5- = 2/2 m/s

e) Da definição de aceleração escalar média, temos:Ma =-m M

Como o módulo da velocidade não varia, então temos: ilv = O, que resulta:f) Da definição de aceleração vetorial média, temos:

lã 1= IMIm M

Sabemos que a velocidade é um vetor cuja direção é tangente à trajetória do movimento do corpo, talcomo representamos na figura 1, adiante.--------------------------------------------------~~

a = Om

Figura 2

Portanto, Av = v - Vo é o vetor representado na figura 2, cujo módulo é determinado por meio do teoremade Pitágoras (as direções de v e Vo são, nesse caso, perpendiculares).

IM12=1V12 + I-vo 12=>IMf= (3· rt)2 + (3· rt)2 => IAvI2= 2· (3· rt)2 => IMI= 3rt·.J2 rn/sAssim, o módulo da aceleração vetorial média vale:

lã 1= IMI = 3·rt·.J2 :. lãml= 0,6·rt·.J2 m/s2m M 5


6. Um carro realiza os sucessivos deslocamentos indi-cados na figura a seguir, sendo 100 km entre A e B,40 km entre B e C e 70 km entre C e D, totalizando2,5 h de movimento.Dessa maneira, determine:a) o módulo do vetor deslocamento entre os pon-

tos A e D; I a I= 50 krn

b) o módulo da velocidade escalar média entreesses pontos; Um = 84 krri/h

C) O módulo da velocidade vetorial média entreesses pontos. I D 1= 2 krn/h

7. Um caminhão, orientado por meio de um GP5, des-loca-se 30,0 km, de sul para norte, e 40,0 km deleste para oeste. Podemos dizer que o módulo doveto r deslocamento é igual, em unidades do 51, a:a) 50.000 d) 80.000b) 60.000 e) 90.000c) 70.000 Alternativa a

••

8. Um corpo realiza um movimento circular com velo- .cidade de módulo constante, percorrendo um quar-to de uma circunferência de raio 2 m em 2 segun-dos. Determine, para esse intervalo de tempo, osmódulos:a) do deslocamento vetorial;b) da velocidade vetorial média.a) d = i-I: m b) Ivl =.fi m/s

9. Uma partícula em movimento uniforme percorremetade de uma circunferência de raio 50 metrosem 10 segundos. Para esse intervalo de tempo, cal-cule os módulos:a) do deslocamento escalar;b) do deslocamento vetorial;c) da velocidade escalar média;d) da velocidade vetorial média;e) da aceleração escalar média;f) da aceleração vetorial média.

ss = 50rr mI a 1= 100 mUm = 5rr m/s

I D I = 10 rn/sam = O m/s-

I li 1= 2rr rn/s!


I

•D

•

- ~~~ - ~~~- -- -~-- ~- - -

Cotidiano e tecnologiaSistema global de posicionamento (GPS)

O GPS (sigla em inglês paraglobal posiiioninq system) éum sistema de posicionamentofeito por meio de satélites, de-senvolvido pelo depa rta mentode defesa dos Estados Unidos,no início na década de 1960,originalmente para fins milita-res. Trata-se de um sistema quepermite determinar a posiçãode alguém em qualquer lugar nasuperfície da Terra, que estejaportando um aparelho receptorde sinais.

O receptor portátil de sinaisé capaz de identificar os sinaisemitidos por 4 satélites, dos 24que orbitam em torno da Terra,12 deles em cada hemisfério.Cada um desses satélites, posi-cio nado a 20.200 km da super-fície terrestre, completa umavolta em torno da Terra a cada12 horas, com uma velocidade de7.000 milhas por hora, o que dá,aproximadamente, 11.625 quilô-metros por hora.

Os satélites GPS transmitem sinais digi-tais com ondas de rádio para os aparelhosreceptores na Terra, com informaçôes sobrea localização e hora exata. Como o relógiodo receptor está em sintonia com o relógiodo satélite, é possível determinar o intervalode tempo entre a emissão e a recepção do si-nal. Ao multiplicar-se esse valor pela veloci-dade da onda emitida (o valor da velocidadeda luz no vácuo, 3 . 108 m/s). obtém-se adistância entre o receptor e o satélite. Des-sa forma, utilizando um processo chamadode triangulação, é possível determinar com

astante precisão a posição da pessoa. Vejacomo funciona:

Ao emitir o sinal para o satélite, o re-ceptor pode estar em qualquer posição nacircunferência que possui como centro o

róprio satélite. O sinal enviado para o se-gundo satélite faz com que a circunferênciacentrada no segundo satélite intercepte acircunferência do primeiro, caracterizandoagora uma região onde a pessoa que enviou os sinais pode estar posicionada, e a intersecção das duas primeirascom a circunferência centrada no terceiro satélite caracteriza os dois únicos pontos em que a pessoa pode estar.~--------------------------------------------------~

Veículo equipado com receptor portátil de sinais (GPS).

Representação sem escala, cores-fantasia.

11

~----------------------------------------------------Satélite no centroda esfera

20.000 km

Com duas medidas, -t:-=-~====----tl5'?1

você estaria aqui ~~=====-==~~=~==:;

5. COMPOSiÇÃO E DECOMPOSiÇÃODE MOVIMENTOS

Com três medidas, -\:::::===;;::2~~~::;====~um destes dois pontos

é o local preciso

Há, porém, um problema na determinação da posição de onde os sinais foram emitidos - é a diferença entreos relógios atômicos dos satélites, munidos com precisão de bilionésimos de segundos, e os relógios de quartzodos receptores, bem menos precisos. Essa diferença de precisão ocasiona erros na determinação de distâncias.Para se ter uma ideia, enquanto os erros de posicionamento variam entre 7 e 15 metros nos navegadores GPS, nasestações-base, responsáveis pelo monitoramento dos satélites, a margem de erro é de apenas 30 centímetros, poisos equipamentos disponíveis nessas estações são muito mais sofisticados. A utilização do quarto satélite eliminaas diferenças entre os relógios, minimizando o problema.

Atualmente, há diversas aplicações do GPS, e a cada dia se descobrem mais utilidades, como navegaçãode vários tipos (marítima, fluvial. espacial, aérea, terrestre), detecção de movimentos de placas tectônicas,aumento da produtividade em áreas de cultivo, localização de incêndios, levantamentos topográficos, es-portes etc.

O acesso ao sistema GPS por civis acontece desde 1980. Nessa época, os militares estadunidenses estavamreceosos com a possibilidade de as pessoas usarem o sistema inadequadamente e, então, criaram duas possibi-lidades de precisão: uma para os civis, com precisão de 200 metros, e outra para os militares, com precisão de1 metro. Em 2000, o uso desse sistema foi liberado sem limitações para qualquer pessoa.

~Estapessoa está em repouso ou em movimento?

NC.0;:>:o

A figura mostra pessoas correndo em esteiras de aca-demia de ginástica.

Em relação ao solo, ela está em repouso, porque nãohá variação de posição, mas podemos identificar algunsmovimentos relativos nessa situação. Apesar de não sairdo lugar, ela se movimenta em relação à esteira (movi-mento relativo) e a esteira também se move em relaçãoà Terra (movimento de arrastamento).

O efeito global desses dois movimentos é chamado demovimento resultante, que é o movimento da pessoa emrelação à Terra.

Analisando sob o aspecto das velocidades relativas,podemos generalizar:

A velocidade resultante é dada pela somavetorial entre a velocidade relativa e a velocidadede arrastamento.

• Descendo o rioEm 1953, o poeta pernambucano João Cabral de

Melo Neto escreveu o poema "O rio", em que relatauma viagem que fez da nascente do Capibaribe, naerra de Jacarará, até a cidade do Recife (Pernam-

buco).

o rio Capibaribe é um rio totalmente pernambuca-o. Nasce no sertão desse estado e, após percorrer

_-!O km, deságua no oceano Atlântico. Esse rio é in-termítente, ou seja, alguns de seus trechos secamem determinados períodos do ano.

A passagem a seguir mostra um trecho da viagemcescrita por João Cabral de Melo Neto:

De Apolinário a Poço FundoPara o mar vou descendopor essa estrada da ribeira.A terra vou deixandode minha infância primeira.'ou deixando uma terra

reduzida à sua areia,terra onde as coisas vivema natureza da pedra.

Descer o rio: deslocar-se no sentido da correnteza.ir o rio: deslocar-se no sentido oposto ao da

::::.:-enteza.

Suponha que, em um dia, a correnteza do Capiba-- po sua uma velocidade em relação às margens

-- :.3 mjs e você quer atravessá-lo com um barco mo-

torizado, percorrendo a menor distância possível entresuas margens, como mostra a seta vermelha tracejadana figura a seguir. A seta azul mostra o sentido da cor-renteza.

Rioacima

Rioabaixo

•.Ao tentar atravessar o rio perpendicularmente à

correnteza, você acabará chegando a um lugar (P2)

do outro lado do rio, porém mais distante da posi-ção desejada e, quanto menor for a velocidade dobarco, mais longe de Pj você chegará (P3).

Então, para conseguir seu objetivo, você preci-sará conhecer, além da velocidade da correnteza, avelocidade do barco e a inclinação dessa velocidadeem relação à linha tracejada.

No caso do barco, sua velocidade deveria teruma direção oblíqua, voltada para o rio acima e comsentido que apontasse para a outra margem do rio,conforme indica a seta verde.

Vres.Rio

abaixo

Varr,

Suponha que a velocidade relativa do barco sejade 5,0 m/s e que a distância entre as margens seja de60 m. Quanto tempo duraria a travessia e qual deve-ria ser a inclinação da velocidade relativa em relaçãoà velocidade resultante para que o barco percorressea menor distância entre as margens?

Aplicando a regra do polígono, teríamos a se-guinte configuração:

Varr.

V;eL Vres.

e

o módulo da velocidade resultante pode ser de-terminado por meio do teorema de Pitágoras, logo:

v2 = v2 + v2 "* v2 = v2_ v2 "*reI. res. arr res reI. arr.

"* v:es. = 52 - 32"* v:es. = 25 - 9 = 16

:. Vres. = 4,0 m/s

Ainda:As 60

f..t=~"*M=-Vres. 4

:. M = 15 sEsse intervalo de tempo é o mesmo para o movi-

mento relativo e para o movimento de arrastamentoe poderia ser utilizado para calcular o deslocamento ••do barco em relação às águas do rio, assim como odeslocamento das águas do rio em relação às mar-gens do rio Capibaribe.

Na análise do movimento composto, cada umdos movimentos relativos pode ser avaliado inde-pendentemente do outro sem prejuízo do resultadoglobal.

A inclinação da velocidade relativa pode ser de-terminada por uma função trigonométrica (seno,cosseno ou tangente) do ângulo 8.

Assim:

Principio de Galileu daindependência dos movimentos

Os movimentos relativos, de arrastamentoe resultante, têm a mesma duração e podem serestudados separadamente.

v 3tg 8 = --ª!L. "* tg 8 = - :. tg 8 = 0,75vres. 4

o ângulo 8 é tal que sua tangente vale 0,75. Emuma linguagem comumente aceita na matemática,8 = arctg 0,75 (lemos "arcotangente", que significa"8 é o arco cuja tangente vale 0,75").

Por meio de uma tabela trigo no métrica, determi-namos, ainda, que 8 == 37°.

Resoluçãoa) Nesta situação, o barco será deslocado pela correnteza para

um ponto B rio a seguir em relação ao local de partida, talcomo representado na figura ao lado.Assim, o módulo da velocidade em questão pode ser calcu-lado por meio do teorema de Pitágoras:

6. Um barco desenvolve, em relação às águas de um rio, velocidade constante e igual a 4 krn/h. Se a correntezase move, em relação às margens do rio, com velocidade constante e igual a 3 krn/h, determine a velocidadedo barco em relação às margens do rio, quando ele:a) se desloca mantendo seu eixo perpendicular às margens;b) se desloca atingindo um ponto em frente ao local de partida, na margem oposta;c) se desloca na direção paralela à correnteza e no mesmo sentido dela;d) se desloca na direção paralela à correnteza e no sentido contrário ao dela.

b) Para que o barco consiga atravessar o rio em uma direção perpendicular às margens, deverá posicionar-sede modo oblíquo em relação à correnteza, tal como representado na figura a seguir.

2 2 2 2 2Vres. = Vrel. + Varro = 4 + 3 == 16 + 9 = 25 "*

"* Vres. = .J25

:. vres. = 5 km/h

A BI ": v ": res. ", ...._-_ ..._---,


liarr.

li harr. => Vres. = ,,7:. Vres. == 2,64 km/h

lires.

lires.--

,li\re.s.,,,,,,,,,,

\,\,

Novamente, utilizaremos o teorema de Pitágoras para calcular o mó-dulo da \ires .• Assim:

2 z: 2 + 2 => 42 _ 2 + 32 =>Vrel: - Vres. Varro - Vres.2 2 2

=> 16 = Vres. + 9 => 16 - 9 = Vres. => Vres. = 7 =>

M= 3 min

) O deslocamento do barco ao longo das margens(deslocamento "rio abaixo") é simultâneo à tra-vessia.

Portanto: x = Varro • M = 3 . 0,05 = 0,15 km

:. x = 150 m

c) Se agora o barco se movimenta "a favor" (mesma direção e'sentido) dacorrenteza, o módulo da \ires. é dado por: vres. = vrel. + varro

.•

0=,,--) ---_:

Se agora o barco se movimenta "contra" (mesma direção e sentido oposto) àcorrenteza, o módulo da \ires. é dado por: vres. = vrel. - varroDe onde concluímos que:

liarr.

liarr. L = 200 m = 0,2.km

,:-

x ,.'

liarr. L = 200 m = 0,2 km

v = 4 - 3 => v = 1 krn/hres. res.

etome o exercicio resolvido 6 e considere a distância entre as margens do rio iguala 200 metros. Determine:a) o tempo necessário para que o barco atravesse o rio;b) o deslocamento "rio abaixo".Resoluçãoa) O tempo de travessia do rio independe da velo-

cidade da correnteza, pois os movimentos sãoindependentes (de acordo com o princípio de Ga-lileu).Assim, a duraçâo da travessia só dependeráda velocidade do barco em relação às águas(Vrel). Entâo:

L 0,2 h .f..t = - = - = 0,05 => f..t = 0,05·60 mmvrel. 4

Vres. = 4 + 3 => vres. = 7 krn/h

,,.- IV ,-

res. II

I

8. Uma pessoa se desloca com velocidade de 3 krn/h em relação ao solo em uma rua horizontal, em um diachuvoso, onde a chuva cai verticalmente (despreze a ação do vento) em relação ao solo com velocidade iguala 4 krri/h. Determine o módulo velocidade da chuva em relação à pessoa.ResoluçãoA velocidade da chuva em relação ao solo representa a vres.' a velocidade da pessoaem relação ao solo representa a varr.' e a velocidade da chuva em relação à pessoaé a vrel.' conforme figura ao lado:Aplicando o teorema de Pitá goras, temos:

2 2 2 2 2Vrel. = Vres. + Varr. = 4 + 3 = 16 + 9 = 25

Varr.

Vres.

:. Vrel. = 5 krn/h

9. Um pneu rola sobre uma pista horizontal, mantendo-se sempre no'mesmo plano vertical, tal como representado na figura a seguir. Seucentro possui velocidade v constante e igual a 5 krn/h em relação àTerra. Despreze quaisquer atritos e determine a velocidade, em rela-ção à Terra, dos pontos A, B, C e D.ResoluçãoA velocidade v do centro do pneu representa a varr.. Como o pneuestá girando em relação a seu centro 0, a velocidade dos pontos queestão em sua periferia, cujo módulo é o mesmo de V, representaa vrel.. As velocidades dos pontos A, B, C e D representam as vres.'

como mostra a figura ao lado:Os pontos A e C possuem velocidades vA e v( de mesmo módulo, eiguais a v

A= v( = v·..fi = 5..fi krn/h,

No ponto B, a velocidade va tem módulo igual a 2 . v, que dáva = 2 . 5 = 10 krn/h.No ponto D, o módulo da velocidade Vo é igual a zero, pois é jus-tamente isso que garante que o pneu não escorregue em relaçãoao solo.

A

D

B ,- vB

V

A v

vc

D


Sabendo que a velocidade da correnteza em relaçãoàs margens do rio é igual a 5 km/h, determine avelocidade do barco em relação às margens do rioquando ele:a) se desloca mantendo seu eixo perpendicular às

margens; a) vb/r = 13 km/h

b) se desloca na direção paralela à correnteza, eno sentido contrário ao dela.

10. Um barco se desloca com velocidade constante eigual a 12 km/h em relação às águas de um rio.

b) Vb1r = 7 km/h11. Retome o item a do exercício proposto 10. Se a

distância entre as margens do rio é igual a 240metros, determine:a) o tempo necessário para que o barco atravesse

o rio; a) 0,02 h ou 1,2 minb) O deslocamento "rio abaixo".

b) 0,1 km ou 100 m

Passeio pelo rio Amazonas.

alileu GalileiGalileu Galilei nasceu em Pisa, na Itália, no ano de 1564. Ainda jovem, interessou-se por estudar o mo-

vimento. Em 1604, elaborou a lei da queda dos corpos, tendo concluído que, independentemente da massa,soltos de uma mesma altura, corpos semelhantes, mas de massas diferentes, gastam o mesmo tempo paraztinqir o solo. Realizou diversas "experiências de pensamento", nas quais idealizava situações, e propôs umsistema de fazer ciência, que ficou conhecido como

étodo científico. Já professor na Universidadeae Pádua, aperfeiçoou a luneta astronômica e ob-servou as crateras da Lua, os satélites de Júpiter eas fases de Vênus. Essas descobertas foram divul-

adas em seu livro Sidereus Nuntius (Mensageiroas Estrelas), em 1610. Foi por meio da observaçãoas fases de Vênus que Galileu confirmou a visãoeliocêntrica de Copérnico em detri mento da con-epção geocêntrica de Ptolomeu.

Em 1632, foi convocado a comparecer ao tribu-al do Santo Ofício, acusado de heresia. Foi con-

::enado pelo Tribunal da Inquisição e obrigado ase retratar, sob pena de morrer queimado. Ele seretratou e continuou vivo, mas manteve-se em pri-são domiciliar.

Faleceu em 1642. No fim do século XX, o papaoão Paulo II, em nome da Igreja católica, o ab-

solveu.Leia um trecho da obra Ópera do malandro, de

Chico Buarque de Holanda:

12. Caminhando horizontalmente com velocidade iguala 1,5 m/s em relação ao solo, uma pessoa inclinaseu guarda-chuva a 37° em relação à vertical parase proteger da chuva que cai verticalmente em re-

lação ao solo. Considere tg 37° = 2 e determine:4

a) o módulo da velocidade da chuva em relaçãoao solo;

b) o módulo da velocidade da chuva em relação àpessoa.

a) vres. = 2 rn/s b) vrel. = 2,5 m/s13. Um antigo disco de vinil, mais conhecido como LP,

foi posto a girar no solo horizontal, sempre no mes-mo plano vertical. Seu furo central translada-se comvelocidade constante e igual a 2 rn/s. Determinea velocidade, em relação a um ponto fixo na Terra,

"O cadáver do indigenteÉ evidente que morreuE no entanto ele se moveComo prova o Galileu."

dos pontos A, B e C representados na figura a seguir.

B

A

"Furo" central

-- __ L

CV

A= 2.fi m/s vB = 4 m/s Vc = O m/s


Galileu Galilei (1564-1642).

• Decomposição de vetaresEm algumas situações, é necessário decompor

um vetor e identificar suas componentes, que repre-sentam os movimentos relativos separadamente. Emgeral, essas componentes têm direções ortogonaisentre si.

Observe a decomposição do v nas componentesVx (na mesma direção do eixo Ox)e vy (na mesmadireção do eixo Oy).

y

Para determinarmos os módulos das componen-tes ortogonais de V, empregaremos conceitos de tri-gonometria:

v vcos e = .2... e sen e = ....l...v v

Assim:

v =v· sen ey

8Conhecendo os módulos das componentes orto-

gonais, podemos determinar o módulo do veto r v,por meio do teorema de Pitágoras:

o lix

x

• Lançamento de projéteisNos esportes, muitas vezes, o corpo humano desempenha o papel de projétil. Observe estas duas mo-

dalidades esportivas: no salto em distância, o atleta lança seu corpo para chegar o mais distante possívele, no salto em altura, o atleta se lança para atingira maior altura possível e ultrapassar a barra hori- Projétil: objeto que se pode arremessar.zontal.

oõftuo~

(a) No salto a distância, podemos medir o alcance horizontal máximo obtido pela atleta; (b) e, no salto emaltura, podemos medir a altura máxima obtida pelo atleta. Na foto da esquerda, a atleta brasileira MaurrenHiga Maggi alcançou 7,04 m e conquistou a medalha de ouro na prova final feminina do salto a distância naOlimpíada de Pequim, em 2008.

• Lánçamento horizontalUma análise interessante de composição de mo-

vimentos é a queda de objetos abandonados de ele-mentos em movimento.

Por exemplo, considere um avião que, voandoparalelamente à superfície da Terra, deixa cair umpacote contendo alimentos. Se a resistência do ar fordesprezível, a trajetória do pacote será um arco deparábola, conforme a figura:

H

""'~ -"ü-~I I---- .•..---------J _ ~ ~

I II II II II II I

.•• I :

....,""", i" I

-, I

'~,,.~..-------------------------------~'

Mx

o movimento do pacote pode ser decomposto emum movimento horizontal, no qual o pacote mantém avelocidade escalar com que saiu do avião (movimentoaniforme), e em um movimento vertical de queda livre,com velocidade escalar inicial igual a zero (VOy = O).

Dessa maneira, se o avião está a uma altitude H,em relação ao solo, com velocidade escalar v, pode-::::lOS determinar o tempo de queda (intervalo de tem-.?O decorrido desde que o pacote é abandonado até

instante em que ele toca o solo) e o alcance hori-zontal (distância entre a vertical que passa pelo pontoem que o pacote é solto e o local em que ele atinge o= 10).

Lançamento oblíquoOutra análise interessante de composição de

ovimentos refere-se aos lançamentos de objetosando uma inclinação em relação à horizontal.Por exemplo, considere que um pequeno ca-ão dispara um projétil com velocidade escalaricial vo' formando um ângulo e com a horizcn-

- . Desprezando o efeito do ar e chamando de g~ intensidade da aceleração da gravidade, vamosce erminar:_ as componentes horizontal e vertical da veloci-

dade vo;~. a altura máxima Hmáx atingida;- a velocidade escalar na altura máxima v;::1 o tempo de voo t;z: o alcance horizontal Llsx;

o ângulo e de tiro, para que o alcance horizon-tal seja máximo (mantendo-se o valor da velo-cidade vo).

Pela componente vertical do movimento, pode-mos determinar o tempo de queda (t d):

que a

a 2 a 2S=S +V ·t+-·t =*Lls=v ·t+-·to o 2 o 2

Como Ss = H, VOy = O e agravidade), vem:

g (aceleração da

g 2 2' 2·HH=-·t =*t =----=*2 g

= ~2 g' Htqueda

Pela componente horizontal, determinamos o al-cance horizontal (LlsJ:

A velocidade do pacote ao tocar o solo tem umacomponente horizontal, que é igual à velocidade doavião, Vx = v, e uma componente vertical, que podeser determinada pela expressão: v = Vo + a . tqUedaou, simplesmente: vy = g . tqueda

Assim, a velocidade escalar do pacote pode serdeterminada pelo teorema de Pitágoras. Em qual-quer ponto da trajetória:

vy

--- ~._-

~t~1v o I max.Oy I

8 I

xI-,

Resolvendo:a) Os módulos das componentes ortogonais de

Vo são assim determinados:v = v· cos 8 e v = v· sen 8x y

b) Na altura máxima, temos vy

meio da equação de Torricelli:O; logo, por

2 2V =v +2·g·H~y Oy

~ 02 = v2 + 2 . (- g . H . ) ~ H .Oy max. max.

2Voy

2·g

Ou, ainda:

v2. sen ' 8_0 _

2·g(Altura máxima)

c)

y lix li• x

li lix xH.max.

I

O li'x

No ponto em que a altura é máxima, existe ape-nas a componente horizontal da velocidade, que éconstante; logo, v = vx' ou seja:

u = Vo . cos 8 (Velocidade escalar na alturamáxima)

d) O tempo gasto para o corpo atingir a alturamáxima é também chamado de tempo de subida:

vy = VOy + a . t ~ O = Vo . sen 8 - g . tsubida ~

Vo . sen 8g (Tempo de subida)

Como o intervalo de tempo gasto na subida éigual ao da descida, vem:

Vo . sen 8tvoo = 2· (Tempo de voo)g

e) O alcance horizontal é determinado pelomovimento uniforme. Lembrando que o tempo éo mesmo nos movimentos horizontal e vertical,vem:

v2. 2 . sen 8 . cos 8

~ I:!.s = ---"-o -------x g

Na trigonometria, estuda-se que sen (a + b) =

sen a . cos b + sen b . cos a; logo: sen (2 . 8) =

2 . sen 8 . cos 8, portanto o alcance horizontalpode ser determinado pela expressão:

v~ . sen (2 . 8)g

(Alcance horizontal)

f) Para determinado vo' o alcance será máximopara o maior valor de sen (2 . 8), ou seja, para 1,pois este é o maior valor que o seno de um ângulopode assumir.

Assim, o alcance máximo vale:

v2

_0_ (Alcance horizontal máximo)2·g

x

Sabemos que sen 90° = 1; portanto, o alcance ho-rizontal será máximo (para dada velocidade inicial) se2·8 = 90°, então: 8 = 45°

o atleta lança o dardo em ângulo de aproximada-mente 45° para obter mais alcance horizontal.

Por exemplo, se um mesmo projétil for lançadocom ângulo de tiro de 30° e com ângulo de tiro de60°, atingirá o mesmo alcance horizontal. Ou seja,

I = 30° e 82 = 60° são ângulos complementares,pois 81 + 82 = 90°; logo, o sen (2 . 8) é o mesmo=-ara esses ângulos.

yPara uma mesma velocidade inicial,

o alcance horizontal será o mesmo paraângulos de tiro complementares (ânguloscuja soma vale 90°).

o x

De fato: sen {2 . 30°) = sen (2 . 60°) porque

J32

sen 60° sen 120° =

Como na composição de movimentos, aqui também é válido o princípio de Galileu da independêncía dosmovimentos; assim, o tempo de duração do movimento em relação ao eixo x é o mesmo em relação ao eixo y.

Cur.iosidades físicasBalística

Atirador em baia de treino para competição esportiva. O tiro é uma das modalidadesdos Jogos Olímpicos.

Balística é a ciência que estuda o lançamento de projéteis por armas de fogo. Esse estudo é normal-mente feito em três partes distintas: as balísticas interior, exterior e terminal.

A balística interior analisa as variáveis de estado (pressão, volume e temperatura) dos gasesemitidos pela explosão da pólvora durante o disparo; a balística exterior estuda a relação entre oprojétil e a resistência que o ar oferece à sua passagem, mais conhecida como aerodinâmica; a ba-lística terminal analisa as consequências do impacto do projétil com o alvo, tais como seu poderde penetração e sua eventual fragmentação.

Adaptado de www.algosobre.com.br (acesso em novo2009)

-- L

y


11

10. Uma bola é chutada com velocidade inicial igual a 20 m/s e em uma direção que forma com o eixo horizontalum ângulo igual a 30°. Determine o módulo das componentes horizontal e vertical da velocidade da bola.Resolução .A figura ao lado representa essa situação:Assim:

/3v = v . cos 30° = 20 . -:. Vx = 10/3 rn/sx 2

11. Uma bola é lançada horizontalmente, a 36 krn/h. do topo de um muro de altura H igual a 5 m. Determine:(Adote: g = 10 m/s")a) o tempo necessário para que a pedra atinja o solo;b) a distância horizontal percorrida pela pedra.Resoluçãoa) Os deslocamentos vertical e horizontal são simul-

tâneos, portanto o tempo de queda tqueda da bolaé igual ao intervalo de tempo M para que ela sedesloque na horizontal.Como o movimento vertical é uniformemente ace-lerado, temos:

tqueda = ~2 ~H ~ tqueda = )21.05 :. tqueda = 1 s

b) O módulo da velocidade deve ser convertido para as unidades do SI. Portanto: Vo = ~ = 10 m/s3,6

O movimento horizontal da bola é uniforme, portanto:

12. Um goleiro bate o tiro de meta e lança a bola com os pés com velocidade inicial igual a 72 krn/h, em uma di-reção que forma um ângulo igual a 30° com a direção horizontal. Sabendo que a bola toca o solo sem ser in-terceptada por nenhum jogador, desprezando-se o efeito do ar e adotando-se g = 10 m/s'. calcule:a) as componentes horizontal e vertical da velocidade vo;b) a altura máxima atingida;c) a velocidade escalar na altura máxima;d) o tempo de voo;e) o alcance horizontal.Resoluçãoa) O módulo da velocidade de lançamento

deve ser convertido para as unidades do SI.Portanto:

72Vo = - = 20 m/s

3,6

:1-~--5------, H .~v I max.Oy 8: ---

1vy = v . sen 30° = 20 . "2 :. v = 10 rn/s

y

D = Vo . M ~ D = 10 . 1:. D = 10 m

A componente horizontal da velocidade delançamento é dada por Vx = Vo . cos 8.Então, teremos:

/3vOx = 20 . -:. vOx = 10/3 rn/s2

v

vy

vx

x

-- ..•-

H=5m

D

x,-;

A componente vertical da velocidade de lançamento é dada por:

1vOy = vo' sen 8 =20'"2:' VOy= 10 m/s

b) A altura máxima que a bola atinge é calculada por:v2 2

H. = ~ = ~ = 100:. H. = 5 mmax, 2 . g 2 . 10 20 max.

c) No ponto mais alto, temos v = O, então a velocidade escalar da bola é igual à componente horizontal davelocidade vx' o que nos dá:

Yv = Vx = 1013 rn/s

d) O tempo total em que a bola permanece no ar até tocar o solo é calculado pela expressão. Então, temos:

tvoo

= 2 . VOy

~ t = 2 . 10:. t = 2 sg voo 10 voo

e) O alcance horizontal, ou distância percorrida pela bola na horizontal. é dado pela expressão:

vg . sen (2 . 8)Lls = => Ss

x g x202 . sen 60°

10

400. 13_---=2'-.. ..

10


14. Um avião desce com velocidade de 100 m/s. de talmodo que o ângulo formado com o eixo horizontalé igual a 30°, como mostra a figura. Determine ascomponentes horizontal e vertical da velocidade do

avião. (Adote: sen 30° = 0,5 ecos 30° = ~)

y

~,~oom/s

300( <,

--- -----------------

o xV

x~ 50.J3 m/s v

y~ 50 m/s

15. Um avião, deslocando-se horizontalmente a 540 krn/h,lança um pacote que atinge um alcance máximo de450 m na horizontal até atingir o solo. Desprezeo efeito do ar, considere g = 10 m/s2 e calcule:a) o tempo que o pacote demora para atingir o chão;b) a altura em que o avião se encontrava quando

o pacote foi lançado.a) t ~ 3 s b) h ~ 45 m

16. Um projétil é lançado horizontalmente de uma alturade 45 m com velocidade inicial de 200 m/s. Desprezeo efeito do ar e adote g = 10 m/s'. Determine:a) o tempo de queda do projétil; a) t ~ 3 s

b) O alcance horizontal.b) D ~ 600 m

17. Um jogador de golfe dá uma tacada, lançando abola com velocidade inicial igual a 90 krn/h, emuma direção que forma um ângulo igual a 37° coma direção horizontal. Sabendo que a bola tocao solo sem ser interceptada por nenhum joga-dor, desprezando-se o efeito do ar e adotando-seg = 10 m/s'. sen 37° = 0,6 ecos 37° = 0,8, calcule:a) as componentes horizontal e vertical da velo-

cidade vo;b) o tempo de subida;c) a velocidade escalar na altura máxima;d) a altura máxima atingida;e) o alcance horizontal.Professor, veja a resposta no manuaL

18. Ojogador de futebol, ao bater uma falta, imprimiuà bola uma velocidade inicial formando 45° com ahorizontal. A bola percorreu uma distância hori-zontal de 28 m em um intervalo de tempo de 2,0 saté passar pela linha do gol. Despreze o efeito doar e considere g = 10 m/s". Determine, em relaçãoao solo: (Adote: sen 45° = cos 45° = 0,7)a) o módulo da velocidade inicial da bola; 20 m/sb) a altura da bola quando ela passou pela linha do

gol. 8 m


~~- --L

Atividade ex~er,imentalAtenção!Este experimento deve ser feito em grupo e sob a supervisão de seu professor.

Objetivos:Analisar as características de um lançamento horizontal: trajetória, alcance horizontal e a veloci-

dade de lançamento.

Material necessário:• borracha escolar• calculadora• caneta• lápis preto• papel sulfite• régua de 30 cm• bolinhas de gude (vidro), que serão usadas como projéteis• livros para a plataforma de lançamento• papelão (caixa de produtos encontrada em supermercados) para montagem do trilho• tapete para proteção do piso• trena ou fita métrica para medir distâncias

Montagem:Recortem o papelão para fazer um trilho de aproximadamente 50 cm de comprimento.Façam paredes no trilho para que a bolinha não escape.Deixem uma aba em uma das extremidades para prender sob um dos livros, conforme mostra a

figura.

Papelão

Curvem o trilho e, sobre uma mesa na horizontal, façam a montagem, como sugere a figura:

Livros

H

Tapete

, .,I d

. :,

~----------------------------------------------~.

Procedimento:Abandonem a bolinha de alturas diferentes do trilho.Verifiquem a trajetória e meçam o alcance horizontal obtido pelo projétil em cada caso.Lembrem-se de que o lançamento horizontal começa no instante em que a bolinha abandona a mesa.

Parte experimental e análise dos resultados:1. Qual a trajetória descrita pela bolinha?2. O alcance horizontal depende da altura da qual a bolinha é abandonada?3. No mesmo instante em que a bolinha, que desce o trilho, abandona a mesa, soltem outra bolinha da

mesma altura e verifiquem se o tempo de queda é o mesmo ou não no lançamento horizontal e naqueda livre. (Repitam algumas vezes o procedimento para confirmar seu resultado.)

4. O efeito do ar pode ser considerado desprezível nessa experiência? Justifiquem a resposta.5. Considerem g = 9,8 m/s2 e usem seus conhecimentos em cinernática para determinar a velocidade da

bolinha no instante em que ela abandona a mesa a partir da altura máxima do trilho.

Respondam às questões, justificando suas respostas:Professor, veja as respostas no manual.

1. Um carro com velocidade escalar constante pode possuir aceleração?

2. Um carro com velocidade vetorial constante pode possuir aceleração?

3. A direção do vento interfere em uma partida de futebol?

Movimento do carro..4. A figura ao lado representa a janela lateral de umautomóvel, que se desloca para a direita. Chove ver-ticalmente lá fora. Representem a trajetória da águano vidro, quando vista pelo motorista do carro.

j ~hUya

~ ~IL

5. Ainda em relação à questão 4, identifiquem os três movimentos (relativo, de arrastamento e resul-tante).

6. A aceleração da gravidade, que é considerada constante em um local, admite valores diferentesem locais distintos. Sabemos, por exemplo, que a intensidade da aceleração da gravidade é menor emLa Paz, na Bolívia, que no Rio de Janeiro. O valor depende da altitude em relação ao centro de massado planeta.Suponham que em dois arremessos de peso (em La Paz e no Rio de Janeiro) um atleta consiga impri-mir ao peso a mesma velocidade inicial.Com base no texto e em seus conhecimentos de cinemática, comparem os alcances nessas duas cida-des. É mais fácil quebrar um recorde em La Paz ou no Rio de Janeiro?

7. A cápsula de um projétil cai da mão do atirador da mesma altura e no mesmo instante em que outroprojétil é disparado horizontalmente e com velocidade de 200 rn/s. Qual das duas cápsulas atingeo solo antes? (Considerem que o projétil se desloque sem atingir nenhum obstáculo e que caia namesma horizontal que a cápsula.)

Cotidiano e tecnologia

Avião solta bomba guiada.

Uma bomba comum é constituída por material explosivo embrulhado em uma embalagem resistente comum mecanismo para detonação, que possui um dispositivo de gatilho e um sensor de impacto, que dispara abomba. Quando o gatilho é disparado, o detonador faz o material explosivo entrar em ignição, o que resultaem uma explosão que destrói as estruturas das proximidades. Uma bomba comum, que possui apenas esseselementos citados, liberada por um avião, simplesmente cai no solo sem direcionar-se de maneira mais preci-sa. É muito difícil que ela consiga atingir um alvo com precisão, portanto, um avião bombardeiro deve soltarvárias dessas bombas para acertar um alvo de maneira eficiente.

Quando um avião solta uma bomba inteligente, ela se torna um planador, por não possuir nenhum tipo desistema de propulsão próprio, mas apenas a velocidade de movimento, pelo fato de ser solta por um avião emmovimento, e aletas de voo, que estabilizam seu caminho de voo.

O sistema de controle e as aletas ajustáveis conferem direção à bomba enquanto ela plana no ar. Du-rante o tempo em que ela está "em voo", os sistemas de senso r e controle rastreiam o alvo desejado nosolo. O sensor alimenta o sistema de controle quanto à posição relativa do alvo, e o sistema de controleprocessa essas informações e calcula como a bomba deve virar para que se direcione ao alvo.

Para virar a bomba, efetivamente, o sistema de controle envia uma mensagem aos ativadores que ajustamas aletas de voo. Estas funcionam da mesma maneira que os diferentes flapes de um avião. Inclinando as aletasem uma direção específica, o sistema de controle aumenta a resistência atuando no lado da bomba. Comoresultado, a bomba vira naquela direção.

Esse processo de ajuste continua até que a bomba inteligente atinja seu alvo e o mecanismo detonador acioneo explosivo. As bombas inteligentes costumam ter detonadores de proximidade, que disparam o explosivo umpouco antes de elas atingirem o alvo, ou detonadores de impacto, que disparam o explosivo quando a bombaatinge algo.

Adaptado de www.hsw.uol.com.br (acesso em dez. 2009)

1. Os vetores â, li e c representam os desloca-mentos realizados por uma pessoa que, saindode sua casa, percorreu algumas ruas e avenidase chegou ao seu trabalho. Represente, vetorial-mente, em uma malha quadriculada o desloca-mento total realizado pela pessoa, ou seja, en-contre o vetor soma R = õ + li + c.

r--r--T--'--~---r--r--T--,--,---r-- --T--'--'---~--! I I I I I I I I I I I I I I II I I I I r I I I I I I I l.. I I:---r--i--i-- I---;--;--~-- C --:---i--r-- J --b---:---:---I I '..--.. I I I I I I I I I I I I I:---t-_Ja-- I---:---~--:": : : I --~--~-- I--~---i--1 li! I I I I I I I I I I I IL __ L J __ ~ L __ L __ ~ __ J __ ~ L __ L __ L __ J __ " L __

I I I ! I I I I I I I I I I I I! I I r I J I I I I I I I I I fL _ _ _ _ 1.__ J 1 , L __ ! __J , L __ L __ 1.__ .1__ J , _I I I I I I I I I 1 I I I I I! I I I I I I I I I I I I J IL__t __!__J __ ~ L __ L__! __J __ ~ L __L__! __l__~ L __

Professor, veja a resposta no manual.

a) 8b) 26c) 34

d) 40e) 52 Alternativa c

m/s

2. (UEGO) Considerando que os vetores ã, li e csatisfazem à equação vetorial õ + li = c , e seusmódulos estão relacionados pela equação escalara + b = c, responda ao que se pede.a) Como está orientado o vetor â em relação ao

veto r li? Justifique seu raciocínio.b) Considere que a relação entre os seus módulos

seja dada por a2 + b2 = c', Qual seria a novaorientação do vetor li em relação ao vetor ã?Justifique seu raciocínio.

Professor, veja a resposta no manual.3. (U. F. Triângulo Mineiro-MG) A figura apresenta

uma árvore vetorial cuja resultante da soma de to-dos os vetores representados tem modulo. em em,igual a:

4. Com as representações vetoriais de Ã e 8 aseguir determine, dentre as alternativas, aquelaque represente corretamente o vetor diferençaÃ - 8.

A / B •.

a) / c) \b) \ d) ..

Alternativa c

5. Dados os vetores v1 e v2, cujos módulos são,respectivamente, iguais a 10 rn/s e 6 m/s, querepresentam as velocidades de um corpo emdois instantes distintos. (Adote: sen 8 = 0,8 ecos 8 = 0,6)

~----T----,----,-----r----r----'----'-----lI I I I I I I I 1I I I I I I I I II I I I I I I I 1I I I I I I I I I----T----;----~-----~----y----;----~-----j

I I I I I I I II I I I I I I j

I I I I I I I II I 1 I I I I 1~----~- --~----~-----~----~----~----~-----!I I I""" I I I I I j

I I I V I I I I I !

: : I 1: : : : v2: :~----t----~--- .-:-----~----:- I : I

I I I I! II I I I I II I I I I II I I I I I I I It"----r----'----. ----I ----T---~'----I-----I}I I I I I I I I I

~ J L l j J L l j 2'----.---J

2 m/s

Determine o módulo, a direção e o sentido:a) do vetor v = v1 + 2 . v2

b) do vetor x = -2· v1 + 0,5· v2Professor, veja as respostas no manual.

6. (Unicamp-SP) A figura a seguir representa um mapada cidade de Vectoria, o qual indica a orientaçãodas mãos do tráfego. Devido ao congestionamento,os veículos trafegam com velocidade escalar médiade 18 km/h. Cada quadra dessa cidade mede 200 mpor 200 m (do centro de uma rua ao centro da ou-tra rua). Uma ambulância localizada em A precisapegar um doente localizado no meio da quadra emB, sem andar na contramão.

1 cm

1 cm

,,,,, , ,----'-----r----', , ,, , ,, , ,, , ,----~-----~----~, , ,, , ,, , ,, , ,----~-----~----{, , ,1 , ,, , ,

______ " ._:.. L_ __ _ __ _ _ _ _ _ ..! ~ ~

a) 106 kmb) 34 kmc) 154 km

d) 284 kme) 217 km Alternativa c

10. Observando a figura, podemos verificar a variaçãovetorial da velocidade de um carro em uma estradaqualquer. Para to = O, sua velocidade é de Vo = 20 m/s.Em função da sua trajetória, o carro acelera e desa-celera entre O s e 8 s. Encontre para esse intervaloo módulo da aceleração vetorial média.

!1 1

11 ~ 1-~-111

••)

B

t = O"''' t = 2 s

" t = 4 s""

" " t = 6 s"

<,

a) Qual o menor tempo gasto (em minutos) nopercurso de A para B?

b) Qual é o módulo do vetor velocidade média(em km/h) entre os pontos A e B?

a) t = 1805 b) I Um 1:= 10 km/h7. Atualmente, cada vez mais pessoas se tornam adep-

tos do Bumerang. Campeonatos de construção e lan-çamento de Bumerang são cada vez mais comuns. Nolançamento, esse dispositivo é capaz de percorrerlongas distâncias e retornar após alguns instantes àsmãos do lançador. Digamos que, em um lançamentode 30 s, o Bumerang tenha percorrido uma distância,em sua trajetória, de 68 m. Podemos dizer que omódulo da velocidade vetorial dele foi de:a) zero d) 15 rn/sb) 6 m/s e) 22 rn/sc) 12 m/s Alternativa a

8. (U. E. Santa Cruz-BA) Um móvel desloca-se 40,0 krn,na direção norte-sul, indo do sul para o norte. Emseguida, passa a percorrer 30,0 krn. na direção les-te-oeste, dirigindo-se do leste para o oeste. Nes-sas condições, o módulo do vetor deslocamento éigual, em krn, a:a) 50b) 60c) 70

d) 80e) 90

Alternativa a

9. (PUC-RJ) Um veleiro deixa o porto navegando70 km em direção leste. Em seguida, para atin-gir seu destino, navega mais 100 km na direçãonordeste. Desprezando a curvatura da Terra eadmitindo que todos os deslocamentos são co-planares, determine o deslocamento total doveleiro em relação ao porto de origem. (Adote:J2 = 1,40 e 15=2,20)

30°' ","""'=------------.L..- __J = 8 s'.

"sfi / 2-fi 54

11. (UFRN) Considere que uma tartaruga marinha estejase deslocando diretamente do atol das Rocas para ocabo de São Roque e que, entre esses dois pontos,exista uma corrente oceânica dirigida para Noroes-te. Na figura a seguir, vres. e vcorr. são vetores demódulos iguais que representam, respectivamente,a velocidade resultante e a velocidade da correnteoceânica em relação à Terra.

Cabo de São Roque

• Atol das Rocas4

Fernando de .Noronha

NWEO~LSO S SE

Dentre os vetores a seguir, aquele que mais bemrepresenta a velocidade Vtart. com que a tartarugadeve nadar, de modo que a resultante dessa veloci-dade com vcorr. seja vres.' é:

a) v" Jc) ' tart, 1

d) ~~

Alternativa a

12. Um avião de médio porte voa horizontalmente afavor do vento com velocidade de 180 km/h emrelação ao solo, em sua viagem de ida. Na volta, de"cara para o vento", o avião voa com velocidadede 150 km/h em relação ao solo. Considerando es-sas velocidade constantes, a alternativa que mostraas velocidades do avião (própria) e do vento, res-pectivamente, é:a) 145 krn/h e 35 km/hb) 150 km/h e 30 km/hc) 155 krn/h e 25 km/hd) 160 km/h e 20 km/he) 165 km/h e 15 km/h Alternativa c

13. (FEI-SP) Sabe-se que a distância entre as mar-gens paralelas de um rio é de 100 m e que avelocidade da correnteza, de 6 m/s. é constante,com direção paralela às margens. Um barco par-te de um ponto X da margem A com velocidadeconstante de 8 m/s, com direção perpendicularàs margens do rio. A que distância do ponto X obarco atinge a margem B?a) 100 mb) 125 mc) 600 md) 750 me) 800 m Alternativa b

14. Para realizar a travessia de um rio de 4 km de largura,um pequeno barco tem de enfrentar uma velocidadede 6 km/h da correnteza do rio. A travessia deve serfeita por meio da menor distância e dura no máximo30 minutos. Nessas condições, com que velocidade obarco deverá se mover em relação à correnteza?

Q

Correnteza

p

u. = 10 km/h5. Um senhor de 50 anos de idade resolve fazer um

check-up. No dia marcado, o médico pede para elerealizar um teste ergométrico. Em uma primeiraetapa, o senhor caminha pela esteira durante 5 mincom velocidade de 4 krn/h. Na segunda etapa, apósum breve descanso, ele corre durante 10 min comuma velocidade de 8 km/h. Em ambas as etapas, asvelocidades são medidas em relação à esteira. Indi-que a alternativa que indica o número aproximadode passadas, de 1 m de distância, que o senhorrealizou no teste.

a) 850b) 1.050c) 1.400d) 1.670e) 3.200 Alternativa d

16. (UFMS) Um carro move-se com velocidade constan-te de 60 km/h. Começa a chover e o motorista ob-serva que as gotas de água da chuva caem forman-do um ângulo de 30° com a vertical. Considerandoque, em relação à Terra, as gotas caem verticalmen-te, qual a velocidade em que as gotas de água caemem relação ao carro?a) 30:./3 krn/hb) 60 krn/hc) 120 krn/hd) 30 krn/h Alternativa ce) Nenhuma das respostas anteriores.

17. (Fuvest-SP) Um disco roda sobre uma superfícieplana, sem deslizar. A velocidade do centro O évo·

A

Em relação ao plano:a) qual a velocidade do ponto A?b) qual a velocidade do ponto B?

I [iA I = oI[iBI=2uo

Este enunciado e a figura referem-se aos exercícios18 e 19.

Na imagem representada, podemos observar as tra-jetórias de duas bolinhas, A e B, em movimentode queda. A bolinha A é solta da borda de umamesa horizontal de altura H e cai verticalmente; abolinha B é lançada da borda da mesma mesa comvelocidade horizontal de 2,0 rn/s.

h

f~~~,I

'AI,,I

,\,

\,,,

,,

B \\

x

(Adote: g = 10 m/s' e despreze os efeitos da resis-tência do ar.)

18. Em relação ao tempo de queda da bolinha A, de 0,8 s,a alternativa que representa o tempo de queda dabolinha B é:a) 0,2 sb) O,4sc) 0,6 s

d) 0,8 se) 1,0 s

Alternativa d

19. A alternativa que indica corretamente o alcancehorizontal da bolinha B é:a) 0,4 mb) 0,6 mc) 0,8 md) 1,0 me) 1,6 m Alternativa e

20. (U. F. Triãngulo Mineiro-MG) Ainda usada pelos ín-dios do Amazonas, a zarabatana é uma arma de caçaque, com o treino, é de incrível precisão. A arma,constituída por um simples tubo, lança dardos im-pelidos por um forte sopro em uma extremidade.

Suponha que um índio aponte sua zarabatana a umângulo de 60° com a horizontal e lance um dardo,que sai pela outra extremidade da arma, com velo-cidade de 30 rn/s. Se a resistência do ar pudesseser desconsiderada, a máxima altitude alcançadapelo dardo, relativamente à altura da extremidadeda qual ele sai, seria, em m, de aproximadamente:

[Adote: g = 10 rn/s", sen 60° = ~, cos 60° = %)

a) 19 d) 41b) 25 e) 47c) 34 Alternativa c

21. Em uma partida de sinuca, uma bola, após umatacada incorreta, acaba saindo da mesa horizon-

talmente e com velocidade de 3 rn/s. A altura damesa é de 1,20 m. Para essa situação, considerandog = 10 m/s', determine:a) o tempo de queda da bola;b) . o alcance horizontal relativo ao ponto onde ela

toca o chão.a) t = 0,49 s b) D = 1,47 m

22. Um técnico, ao analisar o funcionamento de umcanhão, verifica que a bala foi lançada com velo-cidade de 120 rn/s, formando um ângulo de 60°em relação à superfície. Para o ponto mais elevadoda trajetória da bala, a alternativa que indica, res-pectivamente, a velocidade no ponto mais alto e aaceleração da bala é:a) v = 15 m/s e a = 10,0 m/s"b) v= 18 rn/s e a = 10,0 m/s'c) v = 25 rn/s e a = 12,0 m/s'd) v = 40 m/s e a = 12,0 m/s'e) v = 60 rn/s e a = 10,0 m/s' Alternativa e

23. (UFAM)Um canhão dispara um projétil com velocidadeinicial Vax = 4 m/s (direção x) e VOy = 3 rn/s (direção y).O alcance horizontal atingido pelo projeto em metrosé: (Adote: aceleração da gravidade g = 10 m/s')a) 1,2 d) 1,8b) 1,4 e) 2,3c) 2,4 Alternativa c

24. (UECE)Uma bola é lançada verticalmente para cima,com velocidade de 18 m/s, por um rapaz situado emum carrinho que avança segundo uma reta horizontal,a 5,0 m/s. Depois de atravessar um pequeno túnel, orapaz volta a recolher a bola, a qual acaba de descre-ver uma parábola, conforme a figura. Despreza-se aresistência do ar e adote: g = 10 m/s", A altura máxi-ma h alcançada pela bola e o deslocamento horizontalx do carrinho valem, respectivamente:

... ------

':l//",//~h~~~ ------'---_"

~ ITúnel @,

li :

x

a) h = 16,2 m; x = 18,0 mb) h = 16,2 m; x = 9,0 mc) h=8,lm;x=9,Omd) h = 10,0 m; x = 18,0 m Alternativa a

25. (Vunesp) O artilheiro de um navio de guerra emtreinamento, percebendo que por pouco não conse-

guia alcançar o alvo atirando da distância mínimadefinida para a realização do disparo, pensou du-rante um certo tempo em como atingir o alvo semque, no momento do tiro, o navio estivesse alémdaquela distância mínima. Considerando que, na si-tuação descrita, o ângulo de inclinação do' canhão,em relação à horizontal, era de 45°, o artilheirodeverá:a) aumentar o ângulo de inclinação do canhão

para 65°.b) diminuir o ângulo de inclinação do canhão

para 30°.c) ajustar o ângulo de inclinação a 0°, de tal for-

ma que o canhão esteja alinhado com o alvodiretamente à sua frente.

d) desistir, pois, como o ângulo de inclinação docanhão já é de 45°, não há mais o que fazer.

e) pedir ao piloto que imprima velocidade ao na-vio, para que este esteja se aproximando doalvo no momento do disparo.

Alternativa e26. Uma caminhonete se desloca em movimento retilíneo

e horizontal, com velocidade constante de 15 m/s,Em sua carroceria, um dispositivo lança verticalmen-te para cima pequenas esferas de tinta que, ao cairno chão, produzirão marcações na estrada. Para isso,após o lançamento, o dispositivo desloca-se para olado, produzindo uma abertura na carroceria, ondese pode ver o chão, e após tempo suficiente para aesfera cair, ele retorna à posição inicial. A origem dosistema de coordenadas coincide com a ponta dessedispositivo e, no instante t = O, ele dispara uma esfe-ra, com velocidade de 8,0 m/s, Despreze a resistênciado ar e considere g = 10 m/s'.

Determine em seu caderno o deslocamento horizon-tal do projétil, até ele retornar à altura de lançamen-to, em relação:a) ao caminhão; b) ao solo.a) d ~ O m b) d ~ 24 m

27. (U. F. São Carlos-SP) O submarino navegava comvelocidade constante, nivelado a 150 m de pro-fundidade, quando seu capitão decide levar lenta-mente a embarcação à tona, sem contudo aban-donar o movimento à frente. Comunica a intenção

ao timoneiro, que procede ao esvaziamento dostanques de lastro, controlando-os de tal modo quea velocidade de subida da nave fosse constante.

li'x.•

Se a velocidade horizontal antes da manobra erade 18,0 km/h e foi mantida, supondo que a su-bida tenha se dado com velocidade constante de0,9 km/h, o deslocamento horizontal que a naverealizou, do momento em que o timoneiro inicioua operação até o instante em que a nau chegou àsuperfície foi, em rn, de:a) 4.800b) 3.000c) 2.500d) 1.600e) 1.200 Alterriativa b

28. (Cefet-CE) Um jogador de vôlei, de altura H, paradoem relação ao solo horizontal, lança uma bola comvelocidade vb da altura de sua cabeça. No instan-te do lançamento, o vetor velocidade vb forma um ,ângulo e com a horizontal. Nesse mesmo instante,passa, pelo jogador, um garoto de altura h, cor-rendo com velocidade constante v r em relação aog .solo, no mesmo plano vertical da bola. Podemosafirmar corretamente que a bola atingirá a cabeçado garoto, se: (Despreze a resistência do ar.)a) H = hb) H=2·hc) vb = vg

d) v = v . cos eb g

e) v = v . sen e Alternativa ab g

29. Em uma manobra arriscada, um piloto voa com veloci-dade de 100 m/s em um mergulho de 30° em relaçãoà horizontal, para sobrevoar uma área onde pessoasestão isoladas por problemas de uma enchente. Emum momento, o piloto Libera uma caixa com remé-dios e mantimentos que cai a 700 m do ponto ondefoi abandonada. Podemos afirmar que a altura que oavião estava no momento da liberação da caixa era deaproximadamente: (Adote: g = 10 m/s')a) 530 mb) 630 mc) 730 md) 830 me) 930 m Alternativa c

1. Para finalizar sua aula sobre vetores, um professor olhapara o relógio que fica no interior da sala e elabora aseguinte atividade: "Faltam 15 para o meio-dia. Comos ponteiros do relógio de 3 cm e 4 em. para essehorário, encontrem o valor do módulo da soma veto-rial apresentada nessa configuração dos ponteiros dorelógio". Ajude os alunos desse professor a encontraro valor aproximado dessa soma.Professor, veja a resposta no manual.

2. (U. E. Londrina-PR) Um ciclista percorre as rotas 1e 2 para se deslocar do ponto A ao ponto 8, comomostrado no mapa abaixo, e registra em cada uma adistância percorrida. Indique a alternativa que apre-senta os valores aproximados da distância percorridana rota 1 e na rota 2. Considere como aproximaçãotodos os quarteirões quadrados com 100 m de lado.As rotas 1 e 2 encontram-se pontilhadas.

Fernando

Constanto-o:.oc:

""u8:::J

..Q

EroE~

o,roo....,

Paraná

CDPio

c.2XII

a) Rota 1 == 800 m; rota 2 == 800 mb) Rota 1 == 700 m; rota 2 == 700 mc) Rota 1 == 800 m; rota 2 == 900 md) Rota 1 == 900 m; rota 2 == 700 me) Rota 1 == 900 m; rota 2 == 600 mAlternativa d

3. (UFGO) O excesso de navegação no mundo virtualfez com que um cidadão (CI), ao se sentir obe-so, procurasse um contato físico com a realidadee, para tal, contatou um personal amigo (PA) parafazer parte de seus exercícios matinais. Suponhaque isso tenha ocorrido em uma praça quadradade Goiânia, de lado 300 rn, conforme esboçada nafigura a seguir.Previamente combinado, as duas pessoas, CI e PA,saíram no mesmo instante de suas posições ini-ciais, A e 8, representadas na figura, caminhandono sentido anti-horário. CI partiu do repouso com

aceleração de 5,0 . 10-3 rn/s", e PA andou desde oinício com velocidade constante de 1,0 m/s.

CI PAL- __ ---'----- _.

A 8 x

Determine, para a posição em que se encontraram:a) o vetor velocidade_média (rnódulo. direção e

sentido) do PA; Professor, veja a resposta no manual.b) a velocidade escalar média do CI. Um = 1,5 m/s

4. (C. Paula Souza-SP) Dois barcos idênticos, 81 e 82,

deslocam-se sobre as águas tranquilas de um rio,com movimento retilíneo e uniforme, na mesma di-reção e sentido, com velocidades v1 e v2 = 3 . v1 r

respectivamente, em relação às margens do rio.

,\

Barco B2 Barco B1

Nessas condições, pode-se afirmar que, em relaçãoao barco:a) 82, o barco 81 aproxima-se com velocidade do

módulo 2 v1•

b) 82, o barco 81 aproxima-se com velocidade domódulo 4 v1•

c) 81, o barco 82 aproxima-se com velocidade domódulo 2 v1.

d) B1' o barco 82 afasta-se com velocidade do mó-dulo 4 v1•

e) 81, o barco 82 afasta-se com velocidade do mó-dulo 4 v1 • Alternativa a

5. Considerando o esquema a seguir, qual das repre-sentações vetoriais indicará o sentido do desloca-

ento do barco II em relação ao barco I em umatravessia?

I,,-·.•------t----- -,

Representação P6. (UFPE) Os automóveis A e B se movem com velo-

cidades constantes vA = 100 krn/h e vB = 82 krn/h,em relação ao solo, ao longo das estradas EA e EBindicadas na figura. Um observador no automóvel Bmede a velocidade do automóvel A. Determine ovalor da componente dessa velocidade na direçãoda estrada EA, em krn/h.

EB

EA

VreL = 59 krn/h7. Uma embarcação de comprimento L = 60 m navega

no mesmo sentido da correnteza de um rio. Emcerto momento, passa sob uma ponte de largurad = 20 rn, como indicado na figura.

d, ' ,L .-, , ,, I," • I, ,

!!º,-r:lte Rio- -Representação sem escala. cores-fantasia.

A velocidade do barco em relação às águas do rio év8 = 15 krn/h, e a velocidade do rio em relação àsmargens é vR = 3 krn/h. Determine quanto tempo obarco levará para passar sob a ponte. I1t = 16 s

8. (UFAM) Um barco atravessa um rio com uma veloci-dade em relação à terra de 8 rn/s, formando um ân-gulo de 60° com a direção perpendicular à corrente-za. Sabendo-se que a largura do rio é de 600 metros,a distância percorrida pelo barco na travessia, em

metros é: (Adote: cos 60° = ~ e sen 60° = ~)

a) 1.000 d) 300b) 1.200 e) 1.500c) 800 Alternativa b

9. Apesar dos avisos, ainda existem crianças quebrincam em escadas rolantes. Uma dessas crian-ças sobe, em 15 s. uma escada rolante que estádescendo. No caminho inverso, essa mesmacriança desce a escada rolante e essa brinca-deira dura até que um dos seguranças do locala adverte sobre o perigo existente. Depois deadvertida, ela fica parada observando uma pes-soa que desce adequadamente a escada em quebrincava. A pessoa leva 10 s em seu trajeto.Indique a afirmativa que apresenta o tempo quea criança levou para descer a escada antes deser advertida.a) 3,75 sb) 5,00 sc) 7,50 s

d) 10,00 se) 15,00 s

Alternativa a

10. (UERJ) Um barco percorre seu trajeto de descidade um rio, a favor da correnteza, com a velocidade de2 rn/s em relação à água. Na subida, contra a cor-renteza, retornando ao ponto de partida, sua ve-locidade é de 8 m/s, também em relação à água.Considere que:• o barco navegue sempre em linha reta e na

direção da correnteza;• a velocidade da correnteza seja sempre constante;• a soma dos tempos de descida e de subida do

barco seja igual a 10 minoAssim, a maior distância, em metros, que o barcopode percorrer, neste intervalo de tempo, é igual a:a) 1.250 c) 1.750b) 1.500 d) 2.000 Alternativa b

11. Um atleta desce um rio, em um caiaque, com velo-cidade de 4 m/s em relação à margem. O rio apre-senta uma correnteza com velocidade de 0,50 m/sem relação à margem. Subitamente, o vento atirao boné do atleta, no rio, a uma distância de 15 mem linha reta, à sua frente. Determine o tempo emque o atleta alcançará o seu boné deslocando-seem linha reta. M = 3.75 s

12. (CPS/FGV-RJ) Na pista de corrida de Fórmula 1 dacidade de São Paulo, o piloto Rubens Barrichello,em determinado trecho, atinge a velocidade de280 krn/h. Sem deslizamento, a velocidade do pneuem relação à pista no ponto de contato A é:

c

v = 280 km/h .~

A

a) zero krn/hb) 100 km/hc) 140 krn/hd) 280 km/he) 560 km/h Alternativa a

13. (UECE)Uma foto com tempo de exposição relativamen-te longo mostra o movimento de um disco rolando semdeslizar, sobre uma superfície horizontal, de tal modoque o centro do disco descreve uma linha reta e hori-zontal. Duas lâmpadas foram colocadas no disco, umano centro e outra na periferia.

c G

A E I

A lâmpada da periferia descreve uma curva deno-minada cicloide. Sobre o módulo da velocidade dalâmpada da periferia, em relação à superfície, po-demos dizer corretamente que:a) é máximo nos pontos C e G.b) é máximo nos pontos A e E.c) é máximo nos pontos B e D.d) é constante. Alternativa a

14. (UFMS) Uma das leis sobre segurança no trânsito,principalmente para os caminhões que transitam car-regados com pedriscos, obriga que a carga seja co-berta com lona, para evitar a queda de pedras soltas,colocando em risco veículos que transitam atrás docaminhão. Considere que um caminhão, carregadocom essas pedras e sem a cobertura de lona, estátransitando em uma pista plana e horizontal e que,em um certo instante, cai uma pedra da traseira docaminhão de uma aLtura h com reLação ao solo. Con-sidere, também, que um observador em repouso, aolado da pista, vê o caminhão movimentando-se dadireita para a esquerda no momento da queda da pe-

dra. Indique corretamente qual dos esboços a seguirmais bem representa a trajetória da pedra vista peloobservador. Despreze efeitos de resistência do ar.

a) hr-cSolo

b)

Solo

c)

h 1\------Solo

d) r.:Solo

e)

SoloAlternativa d

15. No momento do saque, um jogador de voleibol im-prime à bola uma velocidade de 15 m/s, formandoum ângulo de 300 com a linha horizontal que passapela sua cabeça. Considerando 2 m a altura dessejogador, determine o alcance obtido pela bola atétocar o solo. !'J.sx '" 22,5 m

,,,, ,,

~'_(ª9_0___,

- ,~ ~1 i

6. Dois projéteis são lançados simultaneamente de umamesma altura e com o mesmo ângulo inicial. Sendoa relação entre as massas dos projéteis m2 = 2mI, arelação entre suas velocidades, para que o alcanceseja o mesmo é:

1 1a) v1 = -. v2 d) v1 = - . v22 3

b) VI = 2 . V2 e) VI = 3 . V2c) VI = V2

Alternativa c7. (Unimontes-MG) No instante t = O, uma partícula é

lançada, três vezes, do ponto O no solo, com velo-cidade inicial vo' formando, a cada vez, um ângulodiferente com a horizontal (desprezar os efeitos doar). O tempo i, gasto pela partícula para atingir osolo, nos casos I, II e Ill, está de acordo com arelação:

y (m)

O x (m)

a) t(l) = t(lI) > t(III)b) t(I) > t(II) > t(III)c) t(I) < t(lI) < t(III)d) t(I) > t(lI) < t(III)

Alternativa b18. Umjogador de futebol, ao bater uma falta, imprime

à bola uma velocidade de 6J2 rn/s. A trajetóriada bola foi de 45 o. A barreira de jogadores é posi-cio nada à frente do ponto de lançamento da bola,e exatamente abaixo do ponto de altura máximaatingida pela bola.Se a altura da barreira formada pelos jogadores for de2,50 rn, ela será encoberta pela bola? Justifique suaresposta.Professor, veja a resposta no manual.

19. (Vunesp) Umjogador de futebol deve bater uma falta.A bola deverá ultrapassar a barreira formada 10 m àsua frente. Despreze efeitos de resistência do ar e dasdimensões da bola. Considere um ângulo de lança-

mento de 45°, g = 10 m/s", cos 45° = sen 450 = J22

e uma vel'ocidade inicial de lançamento Vo = 5.J5 m/s,

Determine qual é a altura máxima dos jogadores dabarreira para que a bola a ultrapasse. h = 2 m

20. (Vunesp) Em uma partida de futebol, a bola échutada a partir do solo descrevendo uma traje-tória parabólica cuja altura máxima e o alcanceatingido são, respectivamente, H e S. Desprezan-do o efeito do atrito do ar, a rotação da bola esabendo que o ângulo de lançamento foi de 450

em relação ao solo horizontal, calcule a razão ~.H

(Adot:: g = 10 m/s' e sen 45° = (OS 45° = ~ 1Professor, veja a resposta no manual.

21. (UERJ, adaptada) À margem de um lago, uma pe-dra é lançada com velocidade inicial vo' No esque-ma a seguir, A representa o alcance da pedra, H,a altura máxima que ela atinge, e e, seu ângulode lançamento sobre a superfície do lago. (Adote:g = 10 m/s")

~. ,I" •., I

A

Sabendo que A e H são, em metros, respectivamen-te iguais a 10 e 0,1, determine a tangente do ân-gulo e de lançamento da pedra. tg 8 = 0,04

22. (UECE) Uma bola é chutada da superfície de umterreno plano segundo um ângulo <Po acima da ho-rizontal.

Se e é o ângulo de elevação do ponto mais alto da tra-

jetória, visto do ponto de lançamento, a razão tg e ,desprezando-se a resistência do ar, é igual a: tg <Po

a) 1 c) 1- -4 6

b) 1 d) 1- -2 8 Alternativa b

o..J:::JI-'ã:«o

Movimento circulare uniforme [MeU]

Rotaçãoa esferaem torno de si mesmame ensina a esperaa espera me ensinaa esperançaa esperança me ensinauma nova espera a novaespera me ensinade novo a esperançana esfera

Cassiano Ricardo

Fotografia da Terra feita pelo GoddardSpace Flight Center, um dos labora-tórios de pesquisa da Nasa.

1.INTRODUÇÃOEle precisou desse outro fenômeno que ocorre perio-

dicamente para fazer tal constatação, e a partir daí sur-gia o relógio de pêndulo, cuja oscilação completa tema duração relacionada ao seu comprimento. Em suma:a medida do tempo sempre esteve e está relacionada aalgum fenômeno, que se repete periodicamente.

/'

A necessidade de medir o tempo está originalmen-te relacionada à ocorrência de chuva, que marcava osperíodos de plantio e de colheita; nesse momento dahistória da humanidade, o ser humano deixou de sernômade.

Vários instrumentos já foram usados para mediro tempo: relógio de sol, reló-gio d'água (ou clepsidra) eampulheta.

Acredita-se que GalileuGalilei, ao observar a oscila-ção de um lustre na catedralde Pisa, notou que se tratavade um fenômeno periódico,independentemente da am-plitude de oscilação. Parasaber que a oscilação se tra-tava de um fenômeno perió-dico, Galileu teria usado suapulsação.

Terra

Sol

A trajetória da Terra em torno do Sol é aproximadamente circular. Um ciclotermina e outro começa, renovando-se a esperança de um ano melhor.

11

Na foto a, um relógio de sol e, na foto b, uma ampulheta. Dois dos primeiros instrumen-tos usados para marcar a passagem do tempo .

.GEOMETRIA NOMOVIMENTO PERiÓDICO

o movimento periódico mais simples que co-- cecemos é o movimento circular e uniforme que_ rre no relógio de ponteiros e no toca-discos de:::ill, CD e DVD.

Movímentos de rotação estão presentes no nosso- - a dia, desde a invenção da roda, em situações

o abrirmos uma porta, pedalarmos ou girarmosbotão para aumentar ou diminuir o som de um

-_arelho de CD. Podemos, ainda, encontrar o movi-

mento de rotação na medição do consumo de ener-gia em uma residência - esse consumo é medidopelo número de voltas dadas pelo disco do "relógio"de luz e, quanto maior a potência usada, maior seráa velocidade de rotação.

Todas essas grandezas estão relacionadas commedidas de ângulo que serão empregadas em váriosfenômenos oscilatórios e no estudo de ondas perió-dicas (rádio, TV etc).

o número 1t (pi)A razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é uma constante conhecida desde a

;mjguidade. Essa razão é representada pela letra grega 1t (pi).Para obter essa razão podemos, por exemplo, contornar a borda de um copo com um barbante e medir seu

mprimento, obtendo, assim, um valor que, dividido pelo diâmetro (dobro do raio) da borda, resultará em um,.,'mero próximo a 3. Atualmente, alguns computadores conseguem determinar esse número com centenas de:asas decimais. Usualmente, esse número pode ser aproximado para 3,14.

----------------IL

D = 2·R

c= 2·1t·RI I,~.~----------------------------------+.'

I

c-- =1t2·R

Na expressão:• C é o comprimento da circunferência;• R é o raio;• D é o diâmetro .

• Radiano

Existe uma relação de proporcionalidade entrea medida de um arco e a medida do ângulo por eledeterminado em uma circunferência.

R

R

Essa relação pode ser assim expressa:A Comprimento do arco A L1Su<p = ~ u<p = --

Rillo R

Na expressão:• L1S é o comprimento do arco;• R é o raio em que se define o arco;• L1<p é o ângulo determinado pelo arco em questão.

R

R1 rad

R

Decorre da definição que 1 radiano é o ângulocorrespondente a um arco de medida igual ao raio.

Em Física, comumente usamos o radiano paramedirmos a abertura de um ângulo.

As medidas feitas em radianos são adimensio-nais, pois são dadas pela razão entre dois compri-mentos em uma mesma unidade de medida.

Por exemplo, o arco de medida 8 em, que vemosna figura, determina na circunferência de raio 5 em,um ângulo cuja medida é 1,6 radiano.

5 cm

8 cm

,8;mi

L1<p = 5;mi = l,6 rad

Note que em 1, então podemos escrevercm

L1<p = 1,6.Assim, temos que, em radianos, 2 . 1t corresponde

a 360°, mas é recomendável escrever 2 . 1t rad, paraque não ocorra confusão entre grandezas, como ve-remos a seguir.

Note ainda que: 1t rad corresponde a 180° e 1 radcorresponde a aproximadamente 57°.

Da Geometria, sabemos que o perímetro de umacircunferência de raio R mede 21tR, e o ângulo cen-tral correspondente mede 3600

.

2nR

21tR..l<p = - :. L1<p = 21tR

Assim, o arco central mede 21t rad, ou 3600•

DefiniçãoI. O movimento circular uniforme é aqueLe emque a trajetória descrita pelo corpo é uma circunfe-rência e sua velocidade escaLaré constante.

Ao observarmos um objeto descrevendo umatrajetória circular, podemos avaliar duas grandezaspresentes nesse movimento: a rapidez com que oobjeto gira nos permite verificar o tempo de cadavolta completada e o número de voltas que o obje-to executa-em determinado intervalo de tempo deobservação. Essas duas grandezas são o período ea frequência.

Período (T)

Período é o tempo gasto pelo corpo para dar uma voLta compLeta na circunferência.

- uLe o período e a frequência do movimento de rotação do ponteiro de segundos de um relógio=-::; õqico.

----------------------------------------------~~

, Frequência (f)

requência apresenta quantas vezes por unidade-- :empo o móvel passa por determinada posição.

f = Número de voltasM

-;:rrnoo tempo gasto em uma volta completa cor-___de ao período, vem:

1f =-T

.dade de tempo no Sistema Internacional é o....;;.~.<J; assim, a unidade de frequência será o inverso

_ do (S-I). Essa unidade é conhecida por hertz020 1 Hz corresponde a "uma volta por segun-

a rotação por segundo (rps)"--' unidade usual de frequência é a rotação por

r;pm). Note que 1 Hz corresponde a 60 rpm .

•

.9o.c

~.9V>

--""""1,11I í~V>

~

Em um toca-discos de vinil, o prato giratório tem, namaioria dos casos, uma frequência de 33 rpm (sãodadas 33 voltas por minuto), podendo variar para45 rpm ou 78 rpm, dependendo do disco usado. Umdisco feito para tocar com 33 rpm, quando colocadoem 45 rpm, fornece um som mais agudo, ou seja, demaior frequência.

ResoluçãoO ponteiro de segundos demora 1 minuto para dar uma volta completa. Portanto: T = 1 minSua frequência é dada por:

2. Uma pessoa pedala em uma bicicleta ergométrica e, em cinco segundos, os pedais completam dez voltas. Determi-ne, para o movimento de rotação dos pedais:a) a frequência, em hertz;b) o período, em segundos.Resolução

f = Número de voltas = 10 .. f = 2 HzM 5

1 1f = T = 1= 1 rpm ou1f = -Hz60

a)

b) T = ..!.. = ~ .. T = 0,5 sf 2


3. Um satélite artificial gasta 1,5 hora para completarmeia volta ao redor da Terra.

1. Calcule o período e a frequência do movimento derotação do ponteiro de minutos de um relógio ana-lógico.Professor, veja a resposta no manual.

2. A roda de um carro gira com frequência igual a90 rpm. Determine:a) a frequência, em hertz; a) f = 1,5 Hzb) O período, em segundos. b) T;= 0,67 s

Determine:a) o período, em minutos;b) a frequência, em hertz.Professor, veja as respostas no manual.

4. Marte demora cerca de 687 dias para completaruma volta em torno do Sol. Determine em seucaderno:a) o período, em segundos; a) T = 5,94· 107 sb) a frequência, em hertz. b) f;= 1,68.10-8 Hz


• Velocidade escalar

Podemos analisar um movimento circular em re-lação às suas velocidades sob dois aspectos: linear eangular.

Ao analisarmos sob o aspecto linear, verificamosas velocidades em função da distância corresponden-te ao arco de circunferência percorrido pelo objetoem movimento. Na análise sob o aspecto angular,interessa-nos o ângulo varrido pelo objeto nesse mo-vimento.

• Velocidade escalar linearComo o movimento circular é uniforme, a veloci-

dade pode ser calculada pela expressão da velocidadeescalar média:

ósv =-rn M

Como, em uma volta completa, o móvel percor-re exatamente o comprimento da circunferênciaCós = 2 . 7t . R) em um intervalo de tempo igual aoperíodo, temos:

2·7t·Rv = ouT

v = 2·7t·R·{

•.Velocidade escalar angular

~\ velocidade angular média é definida pelo quo-=-' e entre a variação de ângulo e o intervalo de

o correspondente, mas, como o movimento::,aníforme, o corpo descreve o mesmo ângulo emnaísquer intervalos de tempo. Assim:

Como, em uma volta completa, o ângulo corres-ponde a 3600 ou 2n; rad, vem:

2·n;(0=--

Tou (O=2·n;·{

~----~------_L

~<p(0=-

M

Note que:v=(O'R

Embora possamos escrever a medida do ~<p sem a unidade (rad) , é importante que escrevamos a

unidade de velocidade angular (~~ ) em rad/ s, no SI, e 'não simplesmente s', para não confundir

com a unidade Hz, de frequência. (Essas medidas nos fornecem uma mesma informação: arapidez com que algo gira.)

-- - - .Exercícios resolvidas

3. Uma roda-gigante de raio igual a 10 m demora 10 segundos para completar uma volta inteira. Considere umapessoa sentada em uma de suas cadeiras e determine:a) a frequência de rotação do movimento;b) a velocidade angular da roda gigante;c) a velocidade linear da pessoa.Resoluçãoa) O período é o tempo para que a roda-gigante complete uma volta, o que, nesse caso, é igual a 10 segun-

dos. Então:

1 1f = T = 10 .. 0,1 Hz

2·n; 2·n;b) (0= -=- ..T 10

n;(O = - rad/s

5

c) v = (O . R = ~ . 10 :.5

v = 2 . n; m/s

4. Um disco de vinil, com 30 cm de diâmetro, é tocado em um toca-disco que possui frequência de 45 rpm.I. Determine:

a) a frequência, em Hz;b) o período do movimento;c) a velocidade angular do disco;d) a velocidade linear de um ponto P a 15 cm do centro do disco.

11. A velocidade linear do ponto em que ocorre a "leitura" da gravação é constante, aumenta ou diminui,enquanto o disco toca?

ResoluçãoI.

a) A frequência é dada pelo quociente entre número de voltas completadas e o respectivo intervalo de tem-po; assim:f = Número de voltas ==> f = 45 ==> f = i:. f = 0,75 Hz

M 60 4~------------------------------------------------~~

b) o período é o inverso da frequência:

1 1T=-=-:.

f 0,75

. 4T =-s

3

c) O) = 2 . 1t . f ~O) = 2 . 1t . 0,75:. O) = 1,5 1t rad/s

d) v = O) . R ~ v = 1,5 . 1t . 15:. v = 22,5 . 1t cm/s ou v = 0,225 . 1t rn/s

lI. A frequência é constante, portanto a velocidade linear é diretamente proporcional ao raio: v = 2 . 1t • f . R.À medida que o disco toca, a distância entre a agulha e o centro do disco (raio) diminui, entãoa velocidadelinear também diminui.

5. Um fio contendo dois objetos idênticos, A e B, é posto a girarem' um plano horizontal com frequência constante e igual a0,5 Hz. A figura a seguir representa a situação, com as dis-tâncias de cada objeto ao centro da circunferência descritapelo fio em torno de um eixo vertical imaginário que passapêlo seu centro.Determine:a) a velocidade angular para cada objeto;b) a relação entre as velocidades lineares de A e B.Resoluçãoa) Os dois objetos giram com a mesma frequência, que é a fre-

quência do movimento do fio, ou seja, a velocidade angular étambém a mesma para os dois objetos. Assim:

10 cm ,5 cm,

A B Centro

O) = 2 . 1t . f ~O) = 2 . 1t . 0,5

O) = 1t rad/s

b) A velocidade linear depende do raio da circunferência que cada objeto descreve. Assim:

vA = O) • RA = 1t • 15 :. vA = 15 . 1t cm/s

vB = O) • RB = 1t • 5 :. vB = 5 . 1t cm/s

v 15 . 1tTemos: -.A.= -- :.vB 5· 1t


Determine:a) a frequência do movimento circular, em rpm;b) a velocidade angular;c) a velocidade linear do carrinho.Professor, veja as respostas no manual.

5. Um carrinho de um parque de diversões executa ummovimento circular de raio 12 m. Uma mãe coloca-sepróxima à grade que circunda o brinquedo e nota queseu filho passa por ela a cada 20 s.

9. Considere a roda de uma bicicleta e dois pon-tos, 1 e 2, todos contidos em um plano verticaljunto ao aro dessa roda, tal como mostra a fi-gura.

6. Uma moto percorre uma pista circular de raioigual a 200 m com velocidade constante e iguala 72 km/h. Após 20 s de movimento, determine,nessa situação:a) a velocidade angular da moto;b) o ângulo descrito, em radianos.Professor, veja as respostas no manual.

7. A Terra possui raio aproximadamente igual a6.400 km na linha do Equador. Determine:(Adote: 1t = 3)a) a velocidade angular do movimento de rotação;b) a velocidade linear de um ponto situado nessa

linha.a) rn "" 6,9 . 10-5 rad/s b) v = 444 m/s

8. A velocidade linear de um disco de vinil é deaproximadamente 52 crn/s. Se o raio do discovale 15 cm, determine, em rpm, a frequênciadesse disco. (Adote: 1t = 3,14) f = 33 rpm

icolau CopérnicoO polonês Nicolau Copérnico foi professor de

atemática, Astronomia e Medicina em várias ci-::ades europeias. Apesar de suas obras terem sido:: Locadas no Index, a relação das obras proibidas~ela Igreja Católica na época da Inquisição, ele~cou conhecido por ser o grande divulgador, entre== comunidade científica, da teoria heliocêntrica.- a principal obra, Sobre as revoluções das ôrbi--- celestes, foi publicada somente no ano de sua

rte, mas acabou influenciando Galileu Galilei e:: annes Kepler. Para Copérnico, a Terra realizava

movimento circular em torno do Sol, que era ocentro do Universo, dando uma volta completa a:2 a ano e girando em torno de si mesma a cada2-e horas.

Aceleração centrípeta

No ritmo em que o ciclista pedala, o tempo neces-sário para que uma volta seja completada pela rodaé de dois segundos. Dessa maneira, determine:a) a frequência de rotação dos pontos 1 e 2;b) a velocidade angular dos pontos 1 e 2;c) a razão entre as velocidades lineares dos pon-

tos 2 e 1, nessa ordem.Professor, veja as respostas no manual.


Fotografia da estátua de Nicolau Copérnico (1473--1543),em memorial na cidadede Varsóvia(Polônia).

Im móvel em um Meu tem, com o centro da trajetória, um vínculo que o mantém sempre à mesma-~ cia desse centro. A aceleração centrípeta atua no sentido de reforçar esse vínculo._-o MeU, a direção do vetor velocidade varia continuamente, portanto a velocidade vetorial não é cons-

- '" A aceleração centrípeta é a responsável pela existência do MeU e, portanto, provoca a variação apenas': -- ção do vetor velocidade.

li

p

Na figura anterior, os triângulos destacados em(a) e em (b) são semelhantes (isósceles pelo ângu-lo 8), assim:

6.v. 6.5 6.v V . M-=-=>-=--=>v R v R

6.v v2

=>-=-M R

Para intervalos de tempo muito pequenos, o Mtende a um instante, e o módulo da aceleração ins-tantânea (ou centrípeta) acp é dado por:

•8

Como v = co . R, podemos ainda escrever:

A velocidade em dois instantes eo vetar variação da velocidade.

Note que, quanto menor for o intervalo de tempo,o arco entre P e P' tende a ser aproximadamente igualà distância entre esses pontos.

A direção da aceleração centrípeta é sempre ra-dial (do raio) e o sentido é para o centro.

PR

R

)8/

P'

Exercícios resolvidos,

6. Um veículo entra em uma curva de raio 50 m com velocidade cujo módulo é constante e igual a 54 km/h. Determine:a) a velocidade angular do veículo;b) a aceleração centrípeta do veículo.Resolução 54Convertendo a unidade do módulo da velocidade linear para o SI, temos: v = - = 15 m/s

3,6v 15a) co = - = - .. co = 0,3 rad/sR 50

v2 152 225b) a = - = - = - .. a = 4 5 rn/s'cp R 50 50 cp'

Uma criança gira em um carrossel com velocidade angular constante, completando uma volta a cada 4 se-gundos. A distância da criança ao eixo de rotação vale 2 m. (Adote: n2 =10)a) Represente os vetores velocidade linear v e aceleração centrípeta «, em uma posição qualquer da criança,

em sua trajetória circular.b) Determine as intensidades desses vetores.Resoluçãoa) Observe a figura ao lado:

Os vetores velocidade linear v e aceleração centrípetaãcp são ortogonais. O vetor velocidade linear v é tan-gente à trajetória, e o veto r da aceleração centrípetaãcp possui direção radial e aponta para o centro dacircunferência descrita.

,,,,,,,,

'.,,'.,,,b) 2·n·R 2·n·2 /v = = :. v = nm s

T 4v2 n2 10

G = - = - = -:.cp R 2 2 ,,

G = 5 rn/s'cp

. Dois ciclistas em um velódromo pedalam lado a lado e demoram o mesmo tempo para completar uma volta.O ciclista A, que faz a curva mais "aberta", a descreve com raio R, e o ciclista B, que faz o percurso interno,

descrevendo a curva mais "fechada", a descreve com raio li. Assim, determine a razão entre as acelerações2

centrípetas dos ciclistas A e B.ResoluçãoOs tempos que os ciclistas levam para concluir cada volta são iguais, então:

2· n 2· n(OA = -- e (08 = --

T T2·n 2·n

T=-- e T=--(OA (08

Portanto:(OA = (Oa = (O

GCPA

= (O~ . RA = (02 . R

2 2 RGCPB = (08 . RA = (O '"2

Gcp (02 . R 2__ A =--=R.- ..G 2 R RCPa (O. -

2

Temos:


- . Determine a intensidade da aceleração centrí-eta de uma moto que descreve uma curva deio 30 m, com velocidade constante e igual a

34 krn/h. a, = 7,5 m/s-

40 segundos para completar uma volta. (Adote:n2 =10)a) Represente os vetores velocidade linear v

e aceleração centrípeta ãcp em uma posi-ção qualquer da pessoa em sua trajetóriacircular.

b) Determine os módulos desses vetores. •••••.Professor, veja as respostas no manual. •••••..

- • Em uma roda-gigante de raio igual a 10 rn, umaessoa sentada em uma das cadeiras demora

I

A

B

12. Em uma competição automobilística, dois carrosdeslocam-se lado a lado e entram em uma curva,conforme vemos na figura ao lado.A circunferência descrita pelo carro A, que faz acurva mais "aberta", possui raio igual a 1,.5 vezmaior do que a do carro B, que faz a curva mais"fechada". Se os carros completam as curvas quedescrevem ao mesmo tempo, determine a razãoentre as acelerações centrípetas dos carros B eA, nessa ordem. _ Exercícios complementares de 12 a 14.

A experiência de GaLileuVocê vai precisar de uma pilha pequena, uma média, dois pedaços de linha de empinar pipa (ou linha de

costura bem resistente) com 1,0 m e 1,5 m e um cronõmetro (ou um relógio que meça segundos).I. Amarre a pilha pequena na extremidade da linha de 1,0 m e pendure-a pela outra extremidade em algum lugar

alto, para que a pilha possa oscilar livremente. Meça o tempo gasto em uma oscilação completa (O tempo gastopara a pilha ir e voltar à posição inicial). Despreze a primeira medição, pois pode ocorrer uma perturbação nofio devido ao manuseio. Agora, observe o tempo gasto em um ciclo completo. Responda aos seguintes itens:a) O que ocorre com a amplitude de oscilação com o passar do tempo? Justifique por que isso ocorre.b) O tempo gasto em um ciclo completo varia com a amplitude?

lI. Agora, proceda da mesma maneira que no item I:O que ocorre com o tempo gasto em um ciclo completo?

IH. Troque a pilha pequena pela média e repita o procedimento acima com os dois diferentes comprimentosdo fio.a) O tempo de oscilação depende da massa da pilha?b) O tempo de oscilação depende do comprimento do fio?

• Transmissão de movimento

o uso de engrenagens, polias e soldagem temsido de grande utilidade para o ser humano. Essasmáquinas permitem ampliar a capacidade de trans-missão de movimentos.

A primeira situação (bicicleta) é muito seme-lhante à segunda (engrenagens).

A corrente permite que um giro feito na coroa,pelo acionamento dos pedais, seja transmitido à ca-traca, que gira a roda.

e Note que a distância entre os eixos da coroa e~ a catraca é igual à distância entre as rodas da bi--;;;';; cicleta; portanto, se não fosse possível usar a cor-~ rente, seria necessário usar um número ímpar de~~ engrenagens.~o@e'"Ee!'~

Dois sistemas de transmissão de movimento: (a) as en-grenagens de uma bicicleta e (b) as de uma máquina. Observe que coroa e catraca giram no mesmo sentido.

9. A figura mostra duas engrenagens - a engrenagem menor,que gira no sentido horário com frequência de 15 rpm, pos-sui raio igual a 5 cm. Determine o sentido de rotação e afrequência da engrenagem maior, que possui raio de 15 cm.ResoluçãoDuas engrenagens em contato giram em sentidos opostos,portanto a engrenagem maior gira no sentido anti-horário.As duas engrenagens têm a mesma velocidade linear nospontos em contato. Assim:v2 = v1 => i .\ .R2 . h = i .\ .R1 . f1 =>=> 15 . f2 = 5 . 15 :.

:. t.= 5 rpm

_ • Duas polias de raios Rl = 12 cm e R2 = 6 em, respectivamen-te, estão acopladas entre si por meio de uma correia, talcomo mostra a figura ao lado.A polia menor, de raio R2' gira em torno de seu próprio eixo,gastando 3 segundos para completar uma volta. Supondo quenão haja deslizamento entre as polias e a correia, calcule:a) o módulo da velocidade linear de um ponto qualquer da correia;b) a frequência da polia maior.Resoluçãoa) Todos os pontos da correia giram com a mesma velocidade linear, uma vez que não há deslizamento.

Assim:

2·1t·Rv=v=>v= 21 2 T.

2

b) _ i .\. R1v1 - v2 =>T1

2 . 1t. 63

i· \. R 12 6- 2 => _ = _ :. Tl = 6 S

T2 T1 3

v = 4· 1t m/so,'....


. A figura mostra duas polias de raios Rl = 24 cme R2 = 18 em. respectivamente, unidas por umacorreia, que se move a 36 cm/s,

Determine:a) a velocidade angular de cada polia;b) o período de cada polia.Professor. veja a resposta no manual.---~ 14. As engrenagens El' E2 e E3 da figura a seguir pos-

/" 1~\ /~ suem, respectivamente, raios iguais a 12 em, 20 cml",_ ~J ~~:J e 16 cm. O sentido de rotação da engrenagem E2\"L \~ está indicado na figura. Sabe-se que a engrenagem

•. E2 demora 5 segundos para completar meia volta.--------------------------------------------------~.

-+ -- ~I-

Determine:a) o sentido de rotação das engrenagens El e

E3; a) E,: sentido horário E3: sentido horáriob) a velocidade de um ponto da periferia da en-

grenagem E2; b) v, ~ 0,08 1t rn/sc) as frequências das engrenagens E; e E3.

c) f, ~ 0,33 Hz e t, ~0,25 Hz_ Exercícios complementares de 15 a 20.

Cotidiano e tecnologiaMovendo o filme

Um filme de longa-metragem é grande o suficiente para ser e dividido em vários rolos. Antigamente, umoperador era obrigado a usar dois projetores e vários rolos de fita: enquanto um deles exibia um dos rolos, ooutro ficava aguardando o término da exibição para começar a funcionar. Então, o operador colocava o terceirorolo no primeiro projetor, que entrava em operação assim que o segundo rolo acabasse, e assim por diante.Com o tempo, passaram a usar bandejas, que são discos de aproximadamente 1,5 m de diâmetro, em pilhadosna vertical e estrategicamente separados. Instalados ao lado do projetor, os rolos são colocados e retiradosautomaticamente, o que facilita o trabalho do operador.

Assim, após a colocação do filme pela bandeja, começa a projeção. Durante esse processo, os furos locali-zados em ambos os lados das tiras de filme encaixam-se nos dentes das engrenagens, que desenrolam o filme.Dessa maneira, observa-se que o filme avança quadro a quadro, com uma pequena pausa entre eles. Para queisso aconteça, usa-se garra montada em uma barra perto do trilho do filme. O movimento circular da manivelaposicionada junto ao projetor faz a garra levantar e sair do furo do filme em que se encontra para depois bai-xar e entrar em outro furo, permitindo, assim, que o filme avance um quadro. A velocidade da roda dentada ésincronizada com o movimento da garra para que o filme avance.

O filme é colocado sobre duas barras, que servem para mantê-lo esticado e alinhado, à medida que passana frente da lente. A próxima etapa consiste em fazer o filme passar por um decodificador óptico de áudio.No caso, por exemplo, de som de cinema, o filme precisa ainda passar por outro tipo de decodificador especial, queé digital, e normalmente é preso na parte superior do projetor. Quando o filme abandona o projetor ou odecodificador de áudio digital, é levado por rolamentos de volta à bandeja e, finalmente, enrolado em outrabandeja de saída.

Adaptado de: www.hsw.uol.com.br (acesso em dez. 2009)

Respondam às questões, justificando suas respostas.Professor, veja as respostas no manual.

1. Se vocês possuírem um toca-discos, coloquem um pedaço de uma borracha escolar em dois pontosdiferentes, mas alinhados com o centro do disco.a) A velocidade linear da borracha, que gira com rotação constante, depende da distância?b) E a velocidade angular?

2. Por que o número de engrenagens deveria ser ímpar se usássemos várias engrenagens em vez de duasengrenagens e uma corrente?

3. Imaginem halteres, daqueles de levantamento de peso, em que em um lado colocamos um discomaior que no outro, conforme a figura:

a) Esbocem a trajetória do aparelho, se empurrado perpendicularmente ao seueixo.

b) Comparando as periferias dos halteres, qual dos lados tem uma velocidadelinear maior?

c) E qual tem maior velocidade angular?

F.ísica, ética e cidadaniaSequrança nos parques de diversão

Um passeio por um parque de diversões pode ser uma ótima maneira de compreender vários concei-físicos. Dependendo do parque, há vários brinquedos que giram, correm, flutuam, colidem etc.Brincando, o professor pode orientar seus alunos no estudo da cinemática do movimento circular,

c erminando velocidades, medindo frequências e períodos, além de introduzir conceitos como força,:rabalho, potência, quantidade de movimento e energia.

Brinquedo conhecido como chapéu mexicano.

É importante que esse passeio seja feito com toda a segurança: o número de professores envolvidos:.::o€nde da quantidade de alunos que vão participar da atividade.

Um parque de diversões deve ter alvará de funcionamento e cabe aos órgãos públicos a fiscalizaçãoanutenção de seus brinquedos. A responsabilidade dos proprietários passa pela rigorosa manuten-

- dos aparelhos, desde a parte elétrica (caixas de distribuição de energia e fiação), que não pode ser- ível aos usuários, até a parte mecânica, evitando-se os desgastes que ocorrem pela ferrugem e pelo

- po de uso. Dispositivos contra incêndios e pessoal capacitado fazem parte de um bom parque.Os brinquedos devem conter todos os itens de segurança necessários, como travas'écintos que de-

ser vistoriados frequentemente.Cada brinquedo deve, ainda, dispor de orientações que informem ao público as restrições quanto

,,~ anho, idade ou peso, além daquelas dirigidas a pessoas portadoras de problemas cardíacos ouos problemas de saúde.cidentes podem ocorrer em qualquer brinquedo, portanto, antes de entrar em um deles, observe

- cionamento e veja se parece bem cuidado. Muitas vezes, o aparelho pode estar "bem bonito", oumaquiado com uma camada de tinta nova, mas oferece uma série de riscos.se todos os itens de segurança: o exibicionismo, como colocar os braços para fora ou ficar em pébrinquedos, pode causar graves acidentes.

::m um parque desse tipo, uma criança fica maravilhada com tanta luz e movimento que, muitas==:5, acaba se separando dos pais e colocando-se em várias situações de risco.

Cur.iosidades físicas

Por que às vezes, em filmes, a roda do carro parece se mover no sentido contrário ao do movimentodo carro? .

A imagem de filmes é formada pela sucessão de fotos (em torno de 30 fotos por segundo). Essa con-tinuidade de fotos nos dá a sensação de movimento, pois não conseguimos perceber as fotos isolada-mente - acontece o que chamamos de efeito estroboscópico. (Em média, a visão é capaz de perceber24 quadros por segundo.)

Imagine um carro se deslocando para a esquerda, ao longo da página. Dependendo da velocidadedo carro, o ponto que estava em contato com o solo pode ser observado em diversas posições na pró-xima "foto" percebida.

Às vezes, a roda é sempre vista na mesma posição, apesar de esta ter dado certo número de voltas.Ela parece não girar! '

Movimento do carro

Outras vezes, o ponto individualizado parece estar um pouco à frente e a roda parece estar girandono sentido anti-horário.

Movimento do carro

Pode acontecer, também, de vermos o ponto um pouco atrás e a roda parece girar no sentido horário.

Movimento do carro

· F. Triângulo Mineiro-MG) Com um olhar atentoà esa de doces, um dos convidados de uma festa- ta a presença de um boneco do homem-aranha

ontado sobre uma base giratória. Nesse mornen-I inicia-se a canção do "Parabéns", que dura

tos 0,5 mino O convidado atento, observandoe durante a canção o boneco executara quinzeltas completas, pôde inferir que a frequência detação do super-herói, em Hz, foi de:

~) 0,3 d) 3,0) 0,5 e) 0,0) 2,0 Alternativa b

(UFPR)Recentemente, pesquisadores usaram a bactéria1ycoplasma móbile para girar microrrodas (rodas de ta-anho micrométrico). Uma parte de uma microrroda foi

escurecida com a intenção de marcá-la, possibilitandobservar o movimento de rotação. A figura a seguir é

a versão de uma sequência de fotos dessa microrro-a tiradas em intervalos de 5 s entre cada uma.

b) A frequência de rotação da Terra é diferente noEquador e em relação aos polos.

c) Uma pessoa, em algum lugar da América doNorte, terá um periodo de rotação maior queuma pessoa na cidade de Curitiba.

d) Uma pessoa no Ceará tem o mesmo período derotação que uma pessoa em Porto Alegre.

Alternativa d4. Um disco gira em um plano horizontal, ao redor de

um eixo vertical imaginário que passa pelo seu cen-tro, com frequência igual a 5 Hz. Situado a 80 cmde altura do disco, um pequeno objeto, inicialmenteem repouso, cai e se choca contra o disco. Determi-ne quantas rotações o disco realizou desde o instan-te em que o objeto se soltou até o instante em queatinge o disco. (Adote: g = 10 m/s") t ~ 2 voltas

5. (UFRS adap.) Em uma temporada automobilísticade Fórmula 1, os motores dos carros de corridaatingiram uma frequência de 18.000 rotações porminuto. Qual é o valor da velocidade angular, emrad/s. para essa frequência?a) 300· 1t d) 18.000· 1tb) 600· 1t e) 36.000· 1t Alternativa bc) 9.000· 1t

6. Uma engrenagem de relógio descreve um mo-vimento circular uniforme, em sincronia comoutras engrenagens, e realiza 80,0 voltas porminuto. Com relação à sua velocidade angular,podemos afirmar que seu valor, em rad/s. é maisaproximado de:

a) 1,3· 1tb) 2,7· 1tc) 3,4· rt

d) 3,8· 1te) 4,2· 1t

Alternativa b

o s 5 s 10 s

7. Um garoto está brincando em um carrossel que giracom velocidade angular de 0,02 . rt rad/s. Sua mãe,do lado de fora do carrossel, o chama para ir embo-ra. Prontamente o garoto diz "só mais três voltas".Descubra qual é a alternativa que apresenta o tem-po, em minutos, que a mãe aguardará o garoto.

15 s 20 s 25 sHIRATSUKA,Y.; MIYATA, M.; TADA, T.;

UYEDA, T. Q. P. PNAS, 37, 103 (2006) 13621.

Com base nessa figura, pode-se afirmar que a me-nor velocidade angular é:a) 2 rotações por minuto (rpm).b) 6 rotações por minuto (rpm).c) 4 rotações por minuto (rpm).d) 3 rotações por minuto (rpm). Alternativa a

3. Dentre as afirmações a seguir, descubra qual é acorreta:a) O periodo de rotação da Terra é de 24 horas

apenas na direção da linha do Equador.

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 8

Alternativa d

10. A roda de uma bicicleta tem, aproximadamente,30 cm de raio. Qual é o número de voltas dadaspela roda para que a bicicleta percorra uma dis-tância de 3 km? (Adote: 1t = 3)x = 1.667 voltas (aproximadamente)

11. Observando um ponto correspondente ao número12 de uma roleta, em que esta executa 300 voltasem 1minuto sem alterar sua velocidade, determine:a) a velocidade escalar do ponto (número 12);b) a velocidade angular.a) v = 15 m/s b) m = 30 rad/s

8. (U. F. Triângulo Mineiro-MG) A retífica manual éuma máquina que possui um engate especial parapequenas ferramentas de corte, desbaste ou poli-mento. Seu aspecto portátil esconde sua grandefrequência de rotação, que é de 12.000 rpm. (Ado-te: 1t = 3)

Ponta montada

=

a) Qual o tempo, em segundos, para que o eixodessa retífica dê uma volta completa?

b) Uma pequena ferramenta para desbaste (pontamontada), em forma de cilindro de raio 1 em.foi fixada nessa retífica. Determine a máximavelocidade linear com que a superfície do ci-lindro deve tocar a superfície a ser desbastada,em rn/s. quando a máquina for posta em fun-cionamento.

a) T = 0,005 s (uma volta) b) v = 12 m/s9. (UERJ) Uma das atrações típicas do circo é o equi-

librista sobre monociclo.

Monociclo.

O raio da roda do monociclo usado é igual a 20 em.e o movimento do equilibrista é retilíneo. Um equi-librista percorre, no início de sua apresentação, umadistância de 24 . 1t metros. Determine o número depedaladas, por segundo, necessárias para que elepercorra essa distância em 30 s, considerando o mo-vimento uniforme. f = 2 pedaladas por segundo

~2

12. Ao realizar uma curva plana em uma estrada, umveículo, a 108 krn/h. fica sujeito a uma força queo prende à trajetória. Essa força, por sua vez, temassociada a ela uma aceleração sentida pelo veícu-lo. Com raio de 200 rn, a curva produzirá no veículouma aceleração, em m/s'. de:a) O m/s' d) 6,0 m/s'b) 2,0 m/s2 e) 7,5 m/s'c) 4,5 m/s' Alternativa c

13. (UFRS)X e Y são dois pontos da superfície da Terra.O ponto X encontra-se sobre a linha do Equador, e oponto Y sobre o trópico de Capricórnio. Designando-sepor COx e coy' respectivamente, as velocidades angularesde X e Yem torno do eixo polar e por ax e ay as correspon-dentes acelerações centrípetas, é correto afirmar que:a) co < co e a = ax y x y

b) co>coea=ax y x y

c) co = co e a > ax y x yd) co = co e a = ax y' x y

e) co = co e a < a Alternativa cx y x y

14. (Vunesp) Pesquisadores têm observado que a capaci-dade de fertilização dos espermatozoides é reduzidaquando estas células reprodutoras são submetidas asituações de intenso campo gravitacional, que podemser simuladas usando centrífugas (equipamento quegira em alta rotação e separa os componentes de umasubstância, por exemplo, sólidos e líquidos). Em ge-ral, uma centrífuga faz girar diversos tubos de ensaioao mesmo tempo; a figura representa uma centrífugaem alta rotação, vista de cima, com quatro tubos deensaio praticamente no plano horizontal.

As amostras são acomodadas no fundo de cadaum dos tubos de ensaio e a distância do eixo dacentrífuga até os extremos dos tubos em rotaçãoé 9,0 cm. Considerando g = 10 m/s", calcule a ve-locidade angular da centrífuga para gerar o efeitode uma aceleração gravitacional de 8,1 . g.Iil = 30 rad/s

• (Enem-MEC) Na preparação da madeira em umaindústria de móveis, usa-se uma lixadeira cons-ituída de quatro grupos de polias, como ilustra

o esquema a seguir. Em cada grupo, duas poliase tamanhos diferentes são interligadas por umaorreia provida de lixa. Uma prancha de madeira é

empurrada pelas polias, no sentido A ~ B (como. dica do no esquema), ao mesmo tempo em que

m sistema é acionado para frear seu movimento,e modo que a velocidade da prancha seja inferior

à da lixa.

o equipamento anteriormente descrito funciona comos grupos de polias girando da seguinte forma:a) 1 e 2 no sentido horário; 3 e 4 no sentido anti-

-horário.b) 1e 3 no sentido horário; 2 e 4 no sentido anti-

-horário.c) 1 e 2 no sentido anti-horário; 3 e 4 no sentido

horário.d) 1 e 4 no sentido horário; 2 e 3 no sentido anti-

-horário.e) 1, 2, 3 e 4 no sentido anti-horário.

Alternativa c16. Um conjunto de engrenagens acopladas gira con-

forme indicado na figura. A engrenagem A gira comfrequência ia = 100 rprn. De acordo com a situação,responda em seu caderno:

a) Qual é o sentido de rotação da engrenagem C?b) Quanto vale a velocidade angular da engrena-

gem A, em rad/rnin?c) Qual é a velocidade tangencial da engrena-

gem B?Professor, veja as respostas no manual.

17. Um gerador faz girar uma roda por meio de umacorreia. Com uma frequência de 5 Hz, a roldana dogerador, com 2,5 cm de raio, coloca a roda em mo-vimento, com frequência de 1 Hz. Nessas condições,podemos dizer que o raio da roldana é, em cm:

Roda

Gerador

Roldanas

a) 0,5b) 2,0c) 2,5

d) 5,0e) 12,5

Alternativa a

• •

18. (UEMS) A figura mostra a polia A, de raio RA = 10 em,ligada à polia B, de raio R8 = 5 em, por uma correiaque não desliza enquanto gira.

Com base nesses direcionamentos, analise as afir-mativas:

I. A velocidade tangencial da polia A é exata-mente igual à metade da velocidade tangen-cial da polia B.

11. Se o período da polia A for igual ais, o pe-ríodo da polia B será 0,5 s.

III. A velocidade angular da polia A (COA) é igual àvelocidade angular da polia B (co8).

Indique a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s)correta(s):a) Apenas I.b) Apenas 11.c) Apenas III.d) Apenas I e III.e) I, 11 e 111. Alternativa b

19. Podemos observar que, em sistemas acoplados,envolvendo polias, sendo estas de raios diferen-tes, o número de vezes que cada uma gira podeser diferente. Observando a situação a seguir,temos três polias com raios Ra' Rb e Rc e respec-tivas velocidades angulares coa' COb e coco Não hádeslizamento da correia que as une. Enquantoa polia B realiza duas voltas, a polia C reali-za apenas uma. Considerando-se que o raio dapolia C é o triplo do raio da polia A, podemosafirmar que:

~ •

a) 3 4Rb=-·R eco =_·co2 a a 3 e

b) 3Rb = - . Ra e coa = 3 . COe

2

c) 3 4Rb=-·R eco =_·co2 a a 3 e

d) 4 4Rb=--R eco =--co3 a a 3 e

e) '3 2Rb=--R eco =--co2 a a 3 e

Alternativa c20. (Unicamp-SP) Em 1885, Michaux lançou o biciclo

com uma roda dianteira diretamente acionadapor pedais (figura A). Por intermédio do empregoda roda dentada, que já tinha sido concebida porLeonardo da Vinci, obteve-se melhor aproveita-mento da força nos pedais (figura B). Considereque um ciclista consiga pedalar 40 voltas por mi-nuto em ambas as bicicletas.

Figura A

10 cm

30 cm 25 cm

Figura B

a) Qual a velocidade de translação do biciclode Michaux para um diâmetro da roda de1,20 m? a) v~2,4m/s

b) Qual a velocidade de translação para a bicicletapadrão aro 60 (figura B)? b) VR ~ 3 m/s

1. (U. F. Pelotas-RS) Com base em seus conhecimentossobre Cinemática, analise as afirmativas a seguir.

I. Quando um corpo anda com movimento uni-forme, sua velocidade e sua aceleração sãoconstantes e diferentes de zero.

11.Quando dois corpos são lançados, no vácuo, si-multaneamente, de uma mesma altura, um paracima e outro para baixo, com mesma velocidadeinicial, chegarão ao solo com velocidades iguais.

IlI. Quando um corpo anda com movimento unifor-memente variado, a distância percorrida por eleé diretamente proporcional ao tempo gasto.

IV. Quando um corpo anda com movimento cir-cular uniforme, sua velocidade é constante esua aceleração é nula.

Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s):a) 11. d) IV.b) II e III. e) I e Il.c) I e IV. Alternativa a

2. Analisando o movimento de um ciclista em uma pistacircular (velódromo) de raio R = 30 m, vemos que eleexecuta com velocidade constante de 180 m/min boaparte dos testes. Avaliando sua velocidade angular nacondição citada acima, podemos afirmar que seu valor,em rad/s, é de:a) 0,1b) 0,3c) 0,4

d) 0,5e) 0,8

Alternativa a

3. Após a compra de algum presente, sempre acabamos nobalcão de embalagem para presente, onde uma empa-cotadeira retira rapidamente pedaços de fita adesiva.Devido a sua prática, ela precisamente puxa a fita qua-se sempre com a mesma velocidade de 0,6 rn/s.

Em um fim de semana movimentado, o consumo defita adesiva aumentou e fez com que fossem usadosquase todos os rolos de seu estoque. Após substituiro último, viu que o rolo a ser usado tinha diâmetroque era metade dos anteriores. Como este era me-nor, fez uma adaptação nele para fazê-lo girar coma mesma velocidade angular dos anteriores. Assim,quando ela puxar novamente a fita adesiva, a novavelocidade de retirada será de aproximadamente:a) 1,2 m/s d) 0,3 rn/sb) 0,6 m/s e) 0,2 m/sc) 0,4 m/sAlternativa d

4. (U. E. Santa Cruz-BA) Um projétil é disparado con-tra um cilindro que se encontra a 10 m de distân-cia, girando em torno do seu próprio eixo, com fre-quência de 180 rpm. Sabendo-se que o arco medidoentre o ponto visado no momento do disparo e oponto atingido é de 12°, a velocidade do projétil,em m/s. é, aproximadamente, de:a) 800 d) 1.100b) 900 e) 1.200c) 1.000 Alternativab

5. Preocepados com o aquecimento qlobal, pesquisado-res usam satélites para o monitoramento das calotaspolares. É importante que esses satélites girem emórbita passando pelos polos e, também, que perma-neçam sempre em um plano fixo em relação às estre-las. Esses satélites são capazes de detectar peque-nas variações de temperatura nessas regiões, alémde analisar o aspecto da radiação térmica delas.Especificamente para um satélite a 6.000 km acimada superfície da Terra, e com velocidade de 6.000 m/sem sua órbita, faça uma estimativa do número de ve-zes que ele passará sobre o polo Sul em um períodode 24 h. (Adote: raio da Terra = 6.400 km)x = 2 voltas (aproximadamente)

6. A Estação Espacial Internacional é um dos grandesavanços na exploração de nosso planeta. Ela se encon-tra a 400 km acima da superfície terrestre e orbita aoredor do planeta com uma velocidade de aproximada-mente 26.000 krn/h, Considere o raio da Terra igual a6.400 km e determine o número de voltas que a Esta-ção realiza ao redor da Terra em um período de 24 h.x = 15 voltas (aproximadamente)

7. (U. E. Londrina-PR) Os primeiros relógios baseavam--se no aparente movimento do Sol na abóboda celes-te e no deslocamento da sombra projetada sobre asuperfície de um corpo iluminado pelo astro. Consi-dere que: a Terra é esférica e seu período de rotaçãoé de 24 horas no sentido oeste-leste; o tempo gastoa cada 15° de rotação é de 1 hora; o triângulo Bra-sitia/Centro da Terra/Luzaka (Zâmbia) forma, em seuvértice central, um ângulo de 75°.

Centro •.__ '\da Terra \ . ;----------- \ Luzaka

~75°

Brasília

A hora marcada em Luzaka, em um relógio solar,quando o Sol está a pino em Brasília é:a) 5 horas d) 17 horasb) 9 horas e) 21 horas Alternativa dc) 12 horas

8. (Fuvest-SP) Uma regra prática para orientação nohemisfério Sul, em uma noite estrelada, consiste emidentificar a constelação do Cruzeiro do Sul e prolon-gar três vezes e meia o braço maior da cruz, obtendo--se assim o chamado polo sul celeste, que indica adireção sul. Suponha que, em determinada hora danoite, a constelação seja observada na posição I.

Posição I

Nessa mesma noite, a constelação foi (será) obser-vada na posição II, cerca de:a) duas horas antes.b) duas horas depois.c) quatro horas antes.d) quatro horas depois. Alternativa de) seis horas depois.

9. Interessado em medir a velocidade de sua bicicleta,um garoto usa um prendedor de roupas e um pedaçode papelão duro que prendeu em um ponto da roda.A cada volta completada, o papelão batia no garfo daroda e produzia um estalo. Considere o raio da roda, atéonde se encontra o pedaço de papelão, como 0,4 m.O garoto começou a medir quantos estalos ouvia acada 10 s. Após alguns testes, percebeu 15 estalosnesse período. Com essa informação e mantida sem-pre a bicicleta com velocidade constante, o valor en-contrado para a velocidade foi de aproximadamente:a) 1,0 rn/s d) 3,8 m/s Alternativa db) 2,4 m/s e) 4,0 m/sc) 3,2 m/s

10. (FGV-SP) Vendedores aproveitam-se da morosidadedo trânsito para vender amendoins, mantidos sempreaquecidos em uma bandeja perfurada encaixada notopo de um balde de alumínio; dentro do balde, umalata de leite em pó, vazada por cortes laterais, con-tém carvão em brasa (figura 1). Quando o carvão estápor se acabar, nova quantidade é reposta. A lata deleite é enganchada a uma haste de metal (figura 2)

e o conjunto é girado vigorosa mente sob um planovertical por alguns segundos (figura 3), reavivando achama. (Adote: Te = 3,1 e g = 10 rn/s")

Figura 1

Figura 2

Ao girar a lata com carvão, fazendo-a descrever ar-cos de circunferência de raio 80 em. o vendedorconcentra-se em fazer com que sejam dadas duasvoltas completas no tempo de um segundo. Nessascondições, a velocidade escalar média com que o ar,que relativamente ao chão está em repouso, toca ocorpo da lata, em m/s. é, aproximadamente:a) 6 d) 12b) 8 e) 14 Alternativa cc) 10

11. (Udesc adap.) Em fevereiro de 2008, começou afuncionar em Cingapura uma roda-gigante, com165 m de altura e 150 m de diâmetro, que, movendo--se com velocidade constante, leva aproximadamen-te 40,0 minutos para completar uma volta. A dis-tância percorrida pelas cabines dessa roda-gigante,após completar uma volta, e sua velocidade angularmédia são, respectivamente, iguais a:a) 165· Te m; 0,157 rad/rninb) 165· Te m; 40,0 rad/minc) 160· Te m; 0,157 rad/mind) 150· Te m; 0,157 rad/rnin Alternativa de) 150· Te m; 40,0 rad/rnin

12. A figura a seguir mostra um sistema em que são ge-rados pulsos de laser por meio de aberturas existen-tes em um disco. O ponto A do disco executa trêsvoltas completas em cada segundo. Considerando asáreas abertas e fechadas do disco de mesmo valor,o intervalo de tempo entre o início e o fim de cadapulso de luz é igual, em segundos, ao inverso de:

A

Laser de diodo

a) 3) 6

c) 9

d) 12e) 18

Alternativa e

- . (U. E. Ponta Grossa-PR) Duas polias, de raios RI e2' acopladas por meio de uma correia inextensi-

vel que não desliza em relação a elas, executamum movimento circular uniforme. Considerando

: = 2 . R2' ro = velocidade angular, v = velocidadeescalar, a, = aceleração centrípeta, e T = Período

e Rotação, assinale o que for correto a respeitoeste evento.

Polia 1 Polia 2

01) O valor da velocidade angular da polia 1 éa metade do valor da velocidade angular dapolia 2 (ro, = 2 . roJ

2) O valor da aceleração centrípeta da polia 1 éa metade do valor da aceleração centrípetada polia 2 (aC2 = 2 . acJ

.) O valor do período de rotação da polia 1 éa metade do valor do período de rotação dapolia 2 (T2 = 2 . TJAs velocidades escalares das duas polias têmos mesmos valores (VI = v2).

: a soma dos números dos itens corretos.a = 11 (01 + 02 + 08)

ponto de vista das associações de polias, veri-=;:affiOS que um trator que tem rodas dianteiras e~05eiras de diâmetros diferentes, podemos dizer-- re as velocidades das bandas de rodagem (vf)

- atal e (vt) traseira e também de suas velocida--- angulares (rof) frontal e (rot) traseira, que:- v< > vt e rof < rot.= V;: > vt e OOf > rot

< < vt e rof = rot- = vt e rof = rot

- v. = vt e rof > rot Alternativa e

-=- -SP) Sobre o teto da cabine do elevador, um- ~Enhoso dispositivo coordena a abertura das=: as da porta de aço. No topo, a polia engata--= :;::0 motor gira uma polia grande por intermé-

e uma correia. Fixa ao mesmo eixo da poliae, uma engrenagem movimenta a corrente

- da que se mantém assim devido a existênciara engrenagem de igual diâmetro, fixa na

extremidade oposta da cabine. As folhas da por-ta, movimentando-se com velocidade constante,devem demorar 5 s para sua abertura completa,fazendo com que o vão de entrada na cabine doelevador seja de 1,2 m de largura. (Adote: diâ-metro das engrenagens = 6 cm; diâmetro da poliamenor = 6 cm; diâmetro da polia maior = 36 cm;1t = 3)

. t.~-,,..Jj r I \c-

~ .. ~.;c. ••

Nessas condições, admitindo insignificante o tem-po de aceleração do mecanismo, a frequência derotação do eixo do motor deve ser, em Hz, de:a) 1 d) 4b) 2 e) 6 Alternativa bC) 3

16. (U. F. São Carlos-SP) Para possibilitar o transladoda fábrica até a construção, o concreto precisa sermantido em constante agitação. É por esse motivoque as betoneiras, quando carregadas, mantêm seutambor misturador sob rotação constante de 4 rpm.Esse movimento só é possível devido ao engate porcorrentes de duas engrenagens, uma grande, presaao tambor e de diâmetro 1,2 rn, e outra pequena,de diâmetro 0,4 rn. conectada solidariamente a ummotor.

Na obra, para que a betoneira descarregue seu con-teúdo, o tambor é posto em rotação inversa, comvelocidade angular 5 vezes maior que a aplicada du-rante o transporte. Nesse momento, a frequência derotação do eixo da engrenagem menor, em rpm, é:a) 40 d) 55b) 45 e) 60 Alternativa ec) 50

17. (UERJ) Uma bicicleta de marchas tem três engre-nagens na coroa, que giram com o pedal, e seisengrenagens no pinhão, que giram com a roda tra-seira. Observe a bicicleta a seguir e as tabelas queapresentam os números de dentes de cada engrena-gem, todos de igual tamanho.

Bicicleta de 18 marchas.

Engrenagens da Número de dentescoroaI -

2ª 393ª 27

49

Engrenagens do Número de dentespinhão

I 1'1 14:

2ª 163ª 184ª 20sª 226ª 24

Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente,entre uma engrenagem da coroa e uma do pinhão.

Suponha que uma das marchas foi selecionada paraa bicicleta atingir a maior velocidade possível. Nes-sa marcha, a velocidade angular da roda traseira é

COr e a da coroa é coco A razão cor equivale a:coe

a) 7 c) 27- -2 14 Alternativa a

b) 9 d) 49- -8 24

18. (Mackenzie-SP) Na ilustração a seguir, A e B sãopontos de uma mesma reta tangente à circunfe-rência no ponto B, assim como Ce D são pontos deuma outra reta tangente à mesma circunferênciano ponto C. Os segmentos BC e AD são paralelosentre si e a medida do ângulo e é 1,30 rad. (Adote:raio da circunferência = R; med(AB) = med(CD) =

= 2R; sen (0,65 rad) = 0,6; cos (0,65 rad) = 0,8;sen (1,30 rad) = 0,964; cos (1,30) rad = 0,267)

Superfície plana e horizontal

D

Dois pequenos corpos passam, simultaneamente, peloponto A e dirigem-se ambos para o ponto D. Sabe-seque um deles descreve a trajetória ABCD, com velo-cidade escalar constante v1' e que o outro segue atrajetória AD,. com velocidade escalar constante v2•

Se ambos chegam juntos ao ponto D, podemos afir-mar que a relação entre essas velocidades é:

a) d)

e)

Alternativa bc)

perpectiva em fisíca vol. 1 cap. 4 a 6

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