2 Avaliao a Distncia de Mecnica, 2014 1

GABARITO

Q.1. (a) Uma partcula de massa m move-se num campo central de fora . Mostre que a equao que d as distncias apsidais da rbita

onde E a energia total e l o momento angular da partcula. (As distncias de maior aproximao, , e de maior afastamento, , so chamadas distncias apsidais).(b) Quando E < 0, a equao acima em geral tem duas razes (a rbita uma elipse). Neste caso, mostre que

(c) Sejam a e b os semieixos maior e menor da elipse, respectivamente. Mostre, ento, para uma elipse que

Soluo:

(a) A energia potencial da partcula, tomando ,

Se l o momento angular da partcula, o potencial efetivo

As distncias apsidais so dadas pelos pontos de retorno, que satisfazem a condio . Logo, as distncias apsidais so dadas por

(b) A soluo da equao de segundo grau para r

Quando E < 0, a equao tem duas razes positivas (rbita elptica):

Destas equaes, segue que

(c) Para uma rbita elptica (veja, por exemplo, a Figura 8.5 da Aula 8 e as equaes 8.45), temos que

Assim,

onde a e b so o semieixo maior e o semieixo menor da elipse, respectivamente. Comparando essas equaes, tiramos, finalmente, que

Q.2. Um basto de beisebol de massa M e momento de inrcia Mk2 em torno de um eixo perpendicular ao seu eixo de simetria e que passa por se centro de massa CM. O basto est em repouso quando uma bola de massa m, movendo-se com velocidade u, incide ao longo de uma linha reta normal ao seu eixo de simetria a uma distncia b do CM.

(a) Mostre que, seja o impacto elstico ou no, existe um ponto no eixo de simetria do basto que ficar instantaneamente em repouso logo aps o impacto e que a distncia c deste ponto ao CM dada por .(b) No caso da coliso ser elstica, encontre a velocidade do basto aps o impacto.Ateno: A gravidade (e o batedor!) deve ser ignorada nesta questo.Soluo:(a) Como a resultante das foras externas na direo zero, o momento linear do sistema se conserva durante a coliso. Tambm no h torques externos ao longo do eixo perpendicular ao eixo de simetria do basto e que passa por se centro de massa CM e, portanto, o vetor momento angular do sistema na direo desse eixo se conserva. Temos, ento,

onde a velocidade de rotao do basto em torno do CM. Multiplicando a primeira equao por b e comparando com a segunda, obtemos

Seja C um ponto sobre o eixo do basto a uma distncia c do CM. Veja a figura. A velocidade de C imediatamente aps o impacto

O ponto C estar instantaneamente em repouso aps o impacto se , ou seja, quando .(b) Considerando a coliso elstica, temos a conservao da energia cintica

que podemos escrever como

Da conservao do momento linear, temos

Substituindo na expresso logo acima, obtemos

onde substituimos o valor de encontrado acima e rearranjamos os termos. As duas ltimas equaes podem ser resolvidas para as duas incgnitas v e V. Chamando de a constante

encontramos

Q.3. Usando coordenadas cartesianas, encontre o Hamiltoniano para um projtil de massa m movendo-se num campo gravitacional uniforme g. Obtenha as equaes de Hamilton e identifique quaisquer coordenadas cclicas.Soluo:Sabemos que o movimento do projtil plano e vamos tomar esse plano como o plano xy. Consideremos que o vetor campo gravitacional est na direo y apontando para baixo. A Lagrangiana do projtil ser, portanto,

Obtemos o Hamiltoniano fazendo

onde e so os momentos conjugados.As equaes de Hamilton so

A coordenada cclica x que no aparece explicitamente na Lagrangiana (Hamiltoniano). Seu momento conjugado, conservado.

Q.4. Uma partcula de massa m desliza na superfcie lisa interna de um cone circular de semi-ngulo . O eixo de simetria do cone vertical com o vrtice O apontando para baixo. (a) Mostre que a Lagrangiana do sistema dada por

(b) Diga por que o momento angular e a energia da partcula so quantidades conservadas.(c) Em t = 0 a partcula est a uma distncia a de O e projetada horizontalmente ao longo da superfcie interna do cone com uma velocidade escalar u. Usando as leis de conservao, mostre que no movimento subsequente a distncia da partcula ao vrtice O obedece a equao

(d) Para o caso em que , encontre o valor de u para que r oscile entre a e 2a no movimento subsequente.Soluo:(a) As componentes da velocidade da partcula j se encontram indicadas na figura e temos para a energia cintica

Tomando o zero da energia potencial no vrtice O, a energia potencial . A Lagrangiana L = T - V

(b) Como a superfcie do cone lisa, no h foras dissipativas e a energia mecnica da partcula conservada. A coordenada cclica e logo, seu momento conjugado, , que o momento angular ao longo do eixo do cone, conservado.(c) A energia da partcula num instante qualquer

Seu momento angular conservado

Dos dados do problema, em Assim, a conservao da energia e a conservao do momento angular ficam

Substituindo o valor de na expresso da conservao da energia, obtemos, finalmente,

(d) Para que a partcula oscile entre r = a e r = 2a, devemos ter que . A frmula para j igual a zero quando r = a. Ento, resta exigir que . Para isso, devemos fazer

ou seja,

Para , .Q.5. Um cilindro circular uniforme (um ioi) de raio a tem um fio leve e inextensvel enrolado sobre ele de modo a no deslizar. A extremidade livre do fio est amarrada a um suporte e o ioi move-se numa linha reta vertical com a parte reta do fio tambm vertical. Ao mesmo tempo o suporte move-se verticalmente, tendo um deslocamento para cima Z(t) no tempo t. (a) Mostre que a Lagrangiana do ioi pode ser escrita como

Lembre-se de que Z(t) no uma coordenada, mas uma funo dada do tempo.(b) Encontre a acelerao do CM do ioi. Que acelerao deve ter o suporte para que o CM do ioi permanea em repouso?(c) Suponha que o sistema partiu do repouso. Mostre que no instante t a energia total do ioi ser

Soluo:(a) A energia cintica do ioi

onde v a velocidade do CM do ioi e a velocidade angular em torno do eixo passando pelo CM. Como o fio no desliza, a velocidade do ponto C . Assim,

Temos tambm que o momento de inrcia . Ento, podemos escrever

A energia potencial do ioi (relativa posio na qual )

Logo, a Lagrangiana do ioi

(b) Temos que

Da equao de Euler-Lagrange, obtemos a equao do movimento,

A acelerao do CM do ioi

Quando , e se o CM do ioi estava inicialmente parado, ele permanecer parado.(c) Se o sistema parte do repouso, integrando a equao do movimento, encontramos

Ento,

e

Portanto, a energia total, E = T + V fica