1

GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA Professor: Robério Bacelar

EXERCÍCIOS DE SALA

1. Sejam a ≤ b ≤ c as notas das demais provas de Benedito. Para que a mediana das notas dele seja a maior possível, é necessário que as seis notas dadas sejam as menores possíveis. Portanto, as notas a, b e c são maiores ou iguais a 9. Assim, colocando em ordem crescente todas as notas, obtemos 3 – 5 – 5 – 7 – 8 – 9 – a – b – c. A mediana das notas é 8, independente dos valores de a, b e c. Desse modo, Benedito foi aprovado com mediana 8.

Resposta correta: E 2. Deve-se demitir 10 funcionários que ganham R$ 3 600,00, pois, assim, a mediana será a média do 10º termo com o 11º termo, ou seja,

10 11x + x 2 000 + 3 600 5 600Md = = = = 2 800.

2 2 2

Resposta correta: C 3. O equilíbrio hidrostático dos cinco primeiros reservatórios ocorrerá na altura média entre eles. Portanto:

m8 7 6 5 4

h 6 dm5

+ + + += =

Como o equilíbrio dos cinco primeiros tubos ocorre a 6 dm da superfície plana e a válvula de ligação entre o tubo E e o tubo F também está a 6 dm, não ocorrerá passagem de água entre estes dois tubos. Logo, o nível de água nos reservatórios de A a E é de 6 dm e o nível no reservatório F é de 3 dm. Segue a ilustração da situação final.

Resposta correta: A

4. Temos:

I. Média: 7 6 2 7 1 9x = = 6,5

7 2 1⋅ + ⋅ + ⋅

+ +

II. Variância:

2 2 27 (6 6,5) 2 (7 6,5) 1 (9 6,5)V =

7 2 17 (0,25) 2 (0,25) 1 (6,25)

V =7 2 1

1,75 0,5 6,25V = = 0,85

10

⋅ − + ⋅ − + ⋅ −+ +

⋅ + ⋅ + ⋅+ +

+ +

Resposta correta: E

5. Idades em P.A. de razão 2: x, (x + 2), (x + 4), (x + 6) e (x +8)

Média: x x 2 x 4 x 6 x 8x x 4

5+ + + + + + + +

= = + .

Variância: 2 2 2 2 2[(x 4) x] [(x 4) (x 2)] [(x 4) (x 4)] [(x 4) (x 6)] [(x 4) (x 8)]

5+ − + + − + + + − − + + − + + + − +

V = 16 4 0 4 165

+ + + +

V = 8 Desvio-padrão: DP = V 8= = 2 2

Resposta correta: C

2

GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA

6. ( )( )

m 2n 1m 2n m 2n m2 2

2 2n

1 1 a3 3 3 3 3 a

bb3

−− −= = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Resposta correta: D

7.

( )3x x

3x x

2 7 2 6 0

2 7 2 6 0

− ⋅ + =

− ⋅ + =

Fazendo x2 t,=

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

3

3

2

2

t 7t 6 0

t t 6t 6 0

t t 1 6 t 1 0

t t 1 t 1 6 t 1 0

t 1 t t 1 6 0

t 1 t t 6 0

− + =

− − + =

⋅ − − ⋅ − =

⋅ − ⋅ + − ⋅ − =

− ⋅ ⋅ + − =

− ⋅ + − =

De t 1 0,− = t 1=

De 2t t 6 0,+ − = t = 2 ou t = –3 Como 2x = t e t = 1 ou t = 2 ou t = –3,

x x 02 1 2 2 x 0= ⇒ = ⇒ =

Ou x2 2 x 1= ⇒ =

Ou x2 3= − (não há solução real)

Assim, as raízes inteiras da equação 3x x2 7 2 6 0− ⋅ + = são x 0= e x 1.=

Resposta correta: A

8. Para 0,0625 (0)t 0 V(0) 1 000 2 1 000⋅= ⇒ = ⋅ = . Logo, para t ? V(t) 2 000= ⇒ =

0,0625 (t)

0,0625 (t)

2 000 1 000 2

2 20,0625 (t) 1t 16

⋅

⋅

⇒ = ⋅

⇒ =⇒ ⋅ =⇒ =

Resposta correta: C

9. Determinando m0 = c ⋅ a-k.0 ⇔ m0 = c. Como em 10 anos m0 foi reduzido para 0,2 m0 , temos: 10k

0 0

10k

0,2 m m a1

a5

−

−

⋅ = ⋅

=

Em 10 anos: M(20) = ( )2220.k 10k

0 0 0 01

m a m a m 0,04 m .5

− − ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

Correspondendo a 4% de m0.

Resposta correta: C

10. Há dois pontos marcados no gráfico. Identificando-os com os valores assumidos na função, temos:

( ) ( )0

77 7 7 7 17

I. (0) 960 960 a b a 1 960 a 96075 75 1 1

II. (7) 7,5 7,5 960 b 960 b b b 2 b10 10 960 22

−

= ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ =

= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = = ⇒ = ⇒ =⋅

f

f

Calculando f(4), temos: 41 1

(4) 960 960 602 16

= ⋅ = ⋅ =

f .

Resposta correta: D

GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA

3

11.

( )

( )

b b b b b b

b b b

nlog m n log log m log n log n log m

mn

log m n log 2log nm

⋅ + = + + − ⋅ + =

Como blog n y,= ( )b bn

log m n log 2y.m

⋅ + =

Resposta correta: B

12. ( )4 41

n 4n n n n nn n n n n n n n4

1x log log n log log n log log n log log n x 4

n−

= = = = = ⇒ = −

Resposta correta: B 13. Do enunciado, temos:

24,1 24

logE 11,8 1,5 8,2logE 24,1

E 10 10

= + ⋅=

= ≅

Resposta correta: D

14. Tem-se que

R

0 0R

0

A AR log 10

A A

A A 10 .

= ⇔ =

⇔ = ⋅

Logo, se AJ e AA são, respectivamente, as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina, então

9

J 07

A 0

A A 10100.

A A 10⋅

= =⋅

Resposta correta: D 15. Desde que x é um número inteiro positivo, temos:

2 2

22

log ( x 32) 4 x 32 16

x 16.x 4.

− + = ⇔ − + =

⇔ =⇒ =

Resposta correta: B

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. + + + ⋅ + + + ⋅= = = =

23 19 16 13 3 12 10 9 2Média 13,7; Moda 13; Mediana 13.

10

Resposta correta: A 2. Inicialmente, colocaremos todas as alturas na ordem crescente (ROL)

1,48/1,52/1,60/1,61/1,62/1,64/1,66/1,66/1,66/1,68/1,69 Altura modal (Mo) ⇒ a altura que “mais aparece” é 1,66. Logo, Mo = 1,66

Altura mediana (Me) ⇒ a altura que “aparece no centro do ROL” é 1,64. Logo, Me = 1,64

Altura média (Md) ⇒ Md = alturas11

⇒

4

GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA

4020

2=

d1,48 1,52 1,60 1,61 1,62 1,64 3 1,66 1,68 1,69

M11

+ + + + + + ⋅ + +=

d d17,82

M M 1,62 *11

= ⇒ =

(*) Obs.: Uma simples observação das opções após o cálculo da altura modal (1,66) e da altura mediana (1,64) desobriga o candidato ao cálculo da altura média (1,62) por exclusão.

Resposta correta: E

3.

Jogador Número mínimo de pontos por partida

Número máximo de pontos por partida Variação

A 9 31 22 B 15 25 10 C 18 23 5 D 16 24 8 E 17 24 7

O jogador de maior regularidade é o C.

Resposta correta: C

4. A média de gols por jogo de cada jogador é mostrada na tabela.

Atacante 1º Jogo Teste 2º Jogo Teste 3º Jogo Teste 4º Jogo Teste 5º Jogo Teste Média de gols/Jogo A 2 2 0 3 2 1,8 B 3 2 3 1 2 2,2 C 4 3 2 1 1 2,2 D 0 3 0 4 3 2 E 3 3 3 2 1 2,4

O desvio médio absoluto de cada jogador é

( )

( )

( )

( )

( )

2 1,8 2 1,8 0 1,8 3 1,8 2 1,8DMA A 0,72

53 2,2 2 2,2 3 2,2 1 2,2 2 2,2

DMA B 0,645

4 2,2 3 2,2 2 2,2 1 2,2 1 2,2DMA C 1,04

50 2 3 2 0 2 4 2 3 2

DMA D 1,65

3 2,4 3 2,4 3 2,4 2 2,4 1 2,4DMA E 0,72

5

− + − + − + − + −= =

− + − + − + − + −= =

− + − + − + − + −= =

− + − + − + − + −= =

− + − + − + − + −= =

Os três jogadores com mais gols foram B, com 11 gols, C, com 11 gols, e E, com 12 gols. Porém, os três que apresentam menor desvio médio absoluto em relação à sua média são A, B e E. De acordo com o exposto no enunciado, esses devem ser os convocados para a Copa.

Resposta correta: C

5.

I. Mediana = 2,5 = (20º termo) + (21º termo)

2

II. ROL:

y6 34 x z0 ; ... ; 0 ; 1 ; ... ; 1 ; 2 ; ... ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; ... ; 4 ; 5 ; ... ; 5

Mediana = 2,5 = 2 3

2+

III. 4 + 6 + x = 20 ⇒ x = 10 IV. 4 + 6 + 10 + 3 + y + z = 40 ⇒ y + z = 17

20º termo

GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA

5

V. Média = 4 0 6 1 10 2 3 3 y 4 z 5

2,640

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

6 + 20 + 9 + 4y + 5z = 104 4y + 5z = 69 Daí,

4y 5z 69

z 1 e y 16y z 17

+ == =⇒ + =

Logo, a moda é 4 (aparece 16 vezes).

Resposta correta: D

6. Completando o quadrado, vem x 2 x x 2

x

x 2

x 0

(5 ) 26 5 25 0 (5 13) 144

5 13 12

5 5 ou

5 5

x 2 ou x 0

− ⋅ + = ⇔ − =

⇔ − = ±

=⇔

=

⇔ = = ⋅

Portanto, a resposta é 0 + 2 = 2.

Resposta correta: C

7. Pode-se reescrever a equação abaixo, utilizando as propriedades da potenciação:

x x xx

3 4

x x x x

x x x x

3 3 33 56

3 3 381 3 27 3 3 3 3 4 536

81 8181 3 27 3 3 3 3 4 536

− + − =

⋅ − ⋅ + ⋅ −=

⋅ − ⋅ + ⋅ − =

Fazendo x3 y,= pode-se escrever: 81y 27y 3y y 4 53656y 4 536y 81

− + − ==

=

Como x3 y,= tem-se:

xy 3 81

x 4= ==

Resposta correta: D

8. De acordo com as informações, temos:

0,2 (10)

2 000 0

vv(10) v 2 v 2 12 000 12 000 v (4) (12 000) 48 000.4v(10) 12 000

− ⋅− = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =

=

Resposta correta: A

9. A referida função seria uma exponencial decrescente do tipo f(x) = k ⋅ x1 .

2

Resposta correta: E

10. O número de unidades produzidas cresce segundo uma progressão geométrica de razão q = 1 + 0,5 = 1,5 e primeiro termo igual a 8 000. Portanto, a equação que determina o número de unidades produzidas, P em função de t, para t ≥ 1, é P(t) = 8 000 ⋅ (1,5)t–1.

Resposta correta: E

11. A população inicial é ( ) 3 0p 0 40 2 40.⋅= ⋅ = A população após 20 minutos 1h

3

será 1331p 40 2 80

3

⋅ = ⋅ =

. Portanto, a população duplicará.

Resposta correta: D 12. Como crescem 7,5 m após o plantio e a altura inicial é de 0,5 m, a altura no momento do corte será de 8 m.

6

GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA

I. ( ) ( )t 1 0 1 1y t a y 0 a 0,5 a a 2.− − −= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

II. t 1 3 t 18 2 2 2 t 4.− −= ⇒ = ⇒ = Resposta correta: B

13.

( )

0 00

tt t t

10

0,5

10

20 000N N 1 000

1 19 (0,5)20 000 4 3

N 5 1 000 1 (0,5)191 19 (0,5) 1 19 (0,5)

3log3 log3 log19 log19 log319t log t

519 log 5 1 1 log 5log10

= ⇒ =+ ⋅

= = ⋅ ⇒ = ⇒ =+ ⋅ + ⋅

− − = = = ⇒ = − −

Resposta correta: E

14.

t100

t100

t100

t100

40 36 10

4010

36

1010

9

10log10 log

9t

log10 log10 log9100

t1 1 0,95

100t 100 0,05t 5horas

= ⋅

=

=

=

⋅ = −

⋅ = −

= ⋅=

Resposta correta: A

15. Número inicial no visor = x

( )

( )( ) ( )10

210 10

TeclaB 5x

Tecla A log 5x

100TeclaB 5 log 5x 10 log 5x 2 5x 10 x 20

5

=

=

= ⋅ = → = → = → = =

Resposta correta: A

16. Lembrando que ca alog b c log b,= ⋅ com 1 a 0≠ > e b 0,> temos

2t2t

2t

1 QQ 15 10

10 15Q

log10 log15

Q2t log

151 Q

t log2 15

15t log .

Q

−

−

= ⋅ ⇔ =

⇔ =

⇔ − =

⇔ = − ⋅

⇔ =

Resposta correta: A

GABARITO – CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA

7

17. Seja a função p : R+ → R, dada por p(t) = p0 ⋅ (1,02)t, com p(t) sendo a população do país após t anos. Logo, como queremos calcular t para o qual se tem p(t) = 2 ⋅ p0, vem

t t0 02 p p (1,02) log(1,02) log2

t log(1,02) log2log2

tlog1,020,301

t0,0086

t 35.

⋅ = ⋅ ⇔ =⇔ ⋅ =

⇔ =

⇒ ≅

⇔ =

Resposta correta: E

18. A temperatura, T, da liga após t horas é dada por 2tT 3 000 (0,99) .= ⋅ Por conseguinte, o tempo necessário para que a temperatura da liga atinja 30 °C é tal que

2t22t

2

2t22

2

3 11 13 000 (0,99) 30

10010

3 11log log10

102t (2 log3 log11 2 log10) 2t (2 0,477 1,041 2) 1

1t

0,005t 200.

−

⋅⋅ = ⇔ =

⋅⇔ =

⇔ ⋅ ⋅ + − ⋅ = −⇒ ⋅ ⋅ + − ≅ −

⇒ ≅

⇒ ≅

Resposta correta: D

19. Tem-se que

0 03M2

03M2

0

2 E E 3MM log log

3 E E 2

E10

E

E E 10 .

= ⇔ =

⇔ =

⇔ = ⋅

Daí, como M1 = 9 e M2 = 7, vem 272

1 0E E 10= ⋅ e 212

2 0E E 10 .= ⋅ Portanto, segue que 272

1 021 62 2

1 03

1 2

E E 10

E E 10 10

E 10 E .

= ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅

Resposta correta: C 20.

00 0 0

3 3

11,19

2 E 2 E ER log 8,9 log log 13,35 logE logE 13,35

3 E 3 E E

logE 13,35 log(7 10 ) logE 13,35 log7 log10 logE 13,35 0,84 3log10

logE 13,35 0,84 3 logE 11,19 E 10 .

− −

= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔

⇔ = + ⋅ ⇔ = + + ⇔ = + − ⇔

⇔ = + − ⇔ = ⇔ =

Resposta correta: B

OSG 4585/19 - FAB-Rev.: EVE