fundamentos matematica

ii

“fundamentos-matematica” — 2014/8/25 — 12:20 — page i — #1 ii

ii

ii

Fundamentos De MatemáticasUNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Esp. ANTALCIDES OLIVO

ii

“fundamentos-matematica” — 2014/8/25 — 12:20 — page ii — #2 ii

ii

ii

ii

“fundamentos-matematica” — 2014/8/25 — 12:20 — page iii — #3 ii

ii

ii

Índice general

1. Introducción a la Lógica 1

1.1 Introducción 2

1.2 Sistema axiomático 3

1.2.1 Modelos para un sistema axiomático formal 4

1.2.2 Concepto de lógica matemática 4

1.3 Enunciados y proposiciones 5

1.3.1 Enunciados 6

1.3.2 Proposición lógica 14

1.4 Conjunto y operaciones con proposiciones 18

1.4.1 Proposiciones abiertas 19

1.4.2 Conjuntos especiales 21

1.4.3 Operaciones entre proposiciones 32

1.4.4 Relaciones entre proposiciones 38

1.5 Inferencia y esquemas de razonamiento 41

1.5.1 Principales leyes lógicas o tautológicas 41

ii

“fundamentos-matematica” — 2014/8/25 — 12:20 — page iv — #4 ii

ii

ii

1.5.2 Esquemas de razonamiento 47

1.6 Problemas 55

2. Teoría de conjuntos y sistemas numéricos 1

2.1 Introducción 2

2.1.1 Un poco de historia 2

2.1.2 Teoría intuitiva de conjuntos 2

2.2 Relaciones y axiomas en la teoría de conjuntos 7

2.3 Operaciones entre conjuntos 10

2.4 Representación de conjuntos 12

2.5 Propiedades De los conjuntos 12

2.6 Problemas 12

ii

“fundamentos-matematica” — 2014/8/25 — 12:20 — page 1 — #5 ii

ii

ii

1 Introducción a la Lógica

Contenido Capítulo 1 Página

1.1 Introducción 2

1.2 Sistema axiomático 3

1.2.1 Modelos para un sistema axiomático formal 4

1.2.2 Concepto de lógica matemática 4

1.3 Enunciados y proposiciones 5

1.3.1 Enunciados 6

1.3.2 Proposición lógica 14

1.4 Conjunto y operaciones con proposiciones 18

1.4.1 Proposiciones abiertas 19

1.4.2 Conjuntos especiales 21

1.4.3 Operaciones entre proposiciones 32

1.4.4 Relaciones entre proposiciones 38

1.5 Inferencia y esquemas de razonamiento 41

1.5.1 Principales leyes lógicas o tautológicas 41

1.5.2 Esquemas de razonamiento 47

1

ii


ii

ii

Capítulo 1. Introducción a la Lógica

1.6 Problemas 55

* Interpreta correctamente las proposiciones.

* Clasifica correctamente las condiciones.

* Argumenta los diferentes métodos de demostración.

Objetivos

* Identifica proposiciones.

* Diferencia entre demostraciones directas e indirectas.

* Argumenta los distintos tipos de demostración indirectas.

Indicadores de Logros

1.1 Introducción

Este primer capítulo es una breve introducción a la lógica, que es la herramienta que usan las matemáticas

para desarrollarse.

El objetivo del mismo es describir en que consiste una teoría matemática. Para lograrlo, primero hay que

exponer sucintamente las reglas de la lógica de proposiciones, definir con precisión que es un razonamiento

lógico y, por ultimo, explicar en que consiste una teoría matemática (brevemente, una serie de axiomas,

definiciones y teoremas relacionados entre sí mediante argumentos lógicos, como veremos mas adelante).

La lógica es un esquema de reglas que permite deducir verdades a partir de o otras verdades. El medio

que lleva de las primeras verdades a las otras deducidas se llama razonamiento lógico. La lógica estudia,

precisamente, los razonamientos lógicos, estableciendo cuándo un razonamiento es valido, independientemente

del contenido de las verdades que se enuncien. Sólo le interesan las manipulaciones que se hacen con los

enunciados, no su contenido.

Todos los resultados mostrados en este capítulo se prueban rigurosamente. Sin embargo, no se usa para

ello el razonamiento lógico, que que se utiliza en un curso de lógica matemática sino el simple y eficaz camino

de las tablas introducidas en la sección 1.4.4 . Por supuesto, algunos resultados si se podrán demostrar a

partir de otros anteriores mediante las leyes del álgebra de proposiciones, que se exponen en la a sección 1.4.3.

Pero hemos preferido dejar todo el capítulo en manos de las tablas.

Por otra parte Uno de los aspectos fundamentales en cualquier interpretación rigurosa de la realidad es

la coherencia interna de la explicación. Es conveniente atender a este aspecto con toda la claridad que sea

2 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

1.2. Sistema axiomático

posible. y a aquí es donde echamos mano de la lógica que es la que se ocupa del estudio de las formas correctas

de pensar y sirve, por tanto, no sólo para comprobar la validez formal de los argumentos, sino que permite

también la elaboración formalmente rigurosa de las explicaciones teóricas.

En la medida en que las ciencias procuran interpretar la realidad física sin depender excesivamente de

implícitos no controlables, y en que la realidad que estudian es compleja y difícil de comprender intelectualmente;

necesitan aumentar el control sobre las propias formulaciones teóricas. Este dominio debe ejercerse en dos

campos principales:

El significado estricto de las nociones que emplea.

La validez formal de las teorías y leyes en que las ordena.

El método que permite dar cumplimiento a estas necesidades es el de la axiomatización.

El cual es aplicable en toda su pureza en las llamadas ciencias formales como, la lógica y las matemáticas,

pero proporciona grandes ventajas en la ciencias, y sigue siendo el ideal en otras ramas del saber.

No es posible alcanzar un control objetivo absoluto acerca del saber, es decir tenerlo todo explicitado sin

presupuestos.

No cabe alcanzar un dominio total de la objetividad. Pero sí merece la pena que lo objetivable se exprese

del modo más claro y formalmente riguroso que pueda alcanzarse, conscientes de las limitaciones inherentes al

intento y de la necesidad de presupuestos no sistematizables para que el conocimiento pueda cumplirse.

El conocimiento humano puede dividirse en inmediato y mediato.

Todo posible conocimiento debe alcanzarse desde aquel que ya se posee, y el modo de poseer con claridad

objetiva lo que se sabe se apoya en la posibilidad de expresarlo mediante enunciados con sentido.

Así pues, lo que se desconoce directamente habrá de poderse concluir desde los enunciados conocidos, con

la ayuda de una regla que nos permita comprender su validez.

El proceso avanza desde las premisas hacia la conclusión, según las reglas válidas de la demostración y de

la lógica .

Sistema axiomático 1.2

Toda teoría matemática tiene una estructura que la diferencia de las teorías presentadas en las otras

disciplinas.

A ésta estructura se le llama sistema axiomático.

Un sistema axiomático formal consta de los siguientes elementos:

* Un alfabeto S para construir expresiones formales que incluye:

* Un conjunto mínimo de elementos o términos propios de la teoría que no se pueden construir a partir

de otros. ( “Es decir no se pueden definir”).

* Un conjunto de términos construidos a partir de los elementos del conjunto anterior. (Definiciones)

Antalcides Olivo 3

ii


ii

ii


* Un conjunto de símbolos para conectivas lógicas y cuantificadores. (operaciones)

* Un conjunto de símbolos para designar variables.

* Un conjunto de símbolos para constantes (que tendrán en un modelo una interpretación fija).

* Un conjunto de símbolos que serán interpretados como funciones.

* Un conjunto de símbolos que serán interpretados como relaciones.

* Una gramática formal que incluirá:

* Reglas de buena formación, que reproducen la "morfología" del lenguaje formal.

* Reglas de inferencia que permitirán deducir unas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la

"sintaxis" del lengua formal.

* Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien formadas, que son el punto de partida de cualquier

deducción.

Para el conjunto de expresiones bien formadas expresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse

una S − estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor

dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serán conjuntos preasignados de la S− estructura).

Las funciones y relaciones serán definidas como funciones y relaciones matemáticas dentro de la S− estructura.

Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado

concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S − estructura.

1.2.1. Modelos para un sistema axiomático formal

Si un conjunto de proposiciones (fórmulas bien formadas) de un sistema axiomático formal admiten una

S − estructura donde se satisfacen, entonces se dice que dicha estructura es un modelo para el conjunto de

proposiciones.

Un sistema de axiomas que admite un modelo es un sistema de axiomas consistente. Un sistema formal

bien construido satisface "teorema de validez" que viene a afirmar que cualquier proposición deducible de los

axiomas o teorema del sistema axiomático, se satisface también, en todos los modelo que sean un modelo

en el que se satisfacen los axiomas. La propiedad recíproca no siempre se cumple, una proposición que se

satisface en todos los modelos de una teoría no tiene porqué ser deducible del sistema de axiomas. Este último

punto es ilustrado por los teoremas de incompletitud de Gödel, que viene a afirmar que una sistema formal de

ciertos sistemas matemáticos con un conjunto de axiomas que satisface determinada propiedad formal (ser un

recursivamente enumerables ) admitirá un modelo en el que algunas proposiciones serán ciertas pero no serán

deducibles. Es decir, la teoría asociada al sistema axiomático formal será esencialmente incompleta.

1.2.2. Concepto de lógica matemática

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos

intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

4 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

1.3. Enunciados y proposiciones

La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes

formales y las propiedades metalógicas de los mismos.

En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento

dado dentro de un determinado sistema formal.

En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas,

de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales.

La teoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los razonamientos más recientes de la

lógica matemática abstracta.

Debe señalarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes

en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es método de descubrir verdades del mundo físico

real, sino sólo una fuente posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la

matemática convencional.

La lógica matemática no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento humano general o del

proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero hechas

usando lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino sólo de demostraciones y razonamientos que

pueden ser completamente formalizados en todos sus aspectos.

Enunciados y proposiciones 1.3

Empezaremos el estudio de la lógica construyéndola como expondremos a continuación:

Lo primero es establecer un conjunto mínimo de términos, los cuales no se pueden definir, pero que de

forma natural se pueden conocer sus características o propiedades.

A partir de los elementos anteriores se construyen otros usando proposiciones en forma de equivalencia.

estas proposiciones se llaman definiciones.

Un conjunto de operaciones y relaciones.

Luego se establecen un conjunto de propiedades independientes, los cuales son ciertos por si solos , es

decir su validez es evidente. A este conjunto de propiedades se llaman axiomas y/o postulados.

Para terminar se construyen a partir de todo lo anterior un conjunto ilimitado de propiedades, las

cuales no son evidentes por si solas y por lo tanto es necesario demostrarlas a partir de proposiciones

verdaderas usando los métodos de demostración establecidos por la lógica.

Antes de empezar la construcción de la lógica estableceremos alguna ideas generales.

Por ejemplo:

Antalcides Olivo 5

ii


ii

ii


Término Es una palabra o propiedad que representa a un objeto o la relación entre varios objetos.

Término. 1.3. 1

En el lenguaje común existen conceptos como son los enunciados, oraciones y proposiciones que ayudan

construir la sintaxis del un idioma en particular, pero estos conceptos son muy amplios y permiten que una

expresión o termino pueda tener varios significados, lo cual es un problema para utilizarlo en la ciencia donde

cada termino debe tener una y solo una interpretación. A continuación expondremos estos conceptos de

acuerdo con el idioma Español.

1.3.1. Enunciados

Los enunciados están constituidos de manera diversa, según las palabras que lo forman y las relaciones

que se establecen entre ellas.

Llamamos enunciado a cada secuencia delimitada entre dos silencios, marcada por una determinada curva

entonativa, y que constituye un mensaje que ofrece sentido completo en una situación dada. El enunciado es,

por tanto, una unidad mínima de comunicación. Existen varios tipos de enunciados

* Enunciativos: este tipo de enunciados informan acciones que han ocurrido en el pasado, están ocurriendo

en ese preciso momento o pasarán en el futuro. Algunos ejemplos son:

1. Ayer estuve de visita en la casa de José.

2. Me estoy comiendo un helado de chocolate y vainilla.

3. Mañana mi tía entra al trabajo más tarde.

4. Miguel está enfermo desde la semana pasada. El viernes voy al cine con mis primas.

Ejemplos. 1.3. 1

* Dubitativos: en este caso las ideas expresadas tienen un carácter dudoso o solo existe la posibilidad de

que se hagan realidad. Algunos ejemplos de estos enunciados son:

1. Quizá llueva esta noche.

2. Es probable que mañana me levante muy temprano para hacer compras Posiblemente Romina

llegue tarde.

Ejemplos. 1.3. 2

6 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


3. Tal vez el viernes vamos a comer a la casa de Agustín.

4. Puede ser que salgamos en veinte minutos.

Ejemplos. 1.3. 2 (Continuación)

* Interrogativos: estos enunciados son utilizados para formular preguntas. Algunos ejemplos son:

1. ¿Qué hora es? ¿Cómo estás?

2. ¿Falta mucho para llegar?

3. ¿Has hablado con Esteban en los últimos días?

4. ¿Entendiste la última pregunta del examen de matemática?

Ejemplos. 1.3. 3

* Exhortativos: en este caso los enunciados son utilizados para dar órdenes, peticiones, consejos o ruegos.

Algunos ejemplos son:

1. ¿Podrías traerme un vaso de agua?

2. ¡No vayas por allá! Trata de no llegar tarde esta noche.

3. Me alcanzarías los papeles que están sobre la mesa por favor.

4. Cierra las ventanas de tu cuarto.

Ejemplos. 1.3. 4

* Exclamativos: estos enunciados son utilizados para expresar emociones, como alegría, dolor, nostalgia,

ira, etc. Por ejemplo:

1. ¡Cuánto me alegra que hayas podido venir!

2. ¡Estoy muy enojada con tu primo!

3. ¡Es un día precioso!

4. ¡Estoy muy feliz! ¡Siento mucho la muerte de tu gato!

Ejemplos. 1.3. 5

Antalcides Olivo 7

ii


ii

ii


1.3.1.1. Oración

Llamamos oración a un tipo particular de enunciados caracterizado por la presencia de una forma verbal:

Si el verbo establece con el sujeto una relación predicativa basada en la concordancia de persona y número,

se trata de una oración personal. Si la relación predicativa no es posible, la oración es impersonal.

En la escritura, una oración se reconoce porque comienza con grafía inicial mayúscula y termina con un

punto.

La oración es una unidad:

semántica, con sentido completo en sí misma;

fonética, con pausas orales delimitadas y marcadas; y

sintácticamente independiente.

Cuando una oración incluye uno o más enunciados pasa a ser compuesta. Si no es así, se trata de una oración

simple.

Es decir la oración es la unidad lingüística más pequeña que tiene sentido propio (sujeto y predicado),

sintácticamente independiente, donde :

Sujeto : Es la persona, animal o cosa de la que se dice algo. Para localizarlo se pregunta ¿Quién?, ¿Quiénes?

o ¿Qué cosa?, ¿Qué cosas? al verbo. El sujeto concuerda siempre en persona y número con el verbo: A Luis

le gustan las canciones de Bisbal. “Las canciones de Bisbal” es el Sujeto porque responde a la pregunta

¿qué cosas le gustan a Luis? Y porque concuerda en persona y número (ellos/ellas) con el verbo.

Predicado : Es lo que se dice del sujeto. Para localizarlo es fácil: "Lo que no es sujeto".

Clases de sujetos.

Sujeto expreso . Es el que aparece en la oración y lo llamaremos Sujeto

Sujeto omitido o elíptico . Es el sujeto que no aparece pero que nos descubre el verbo.

1.Alfonso corre mucho.

Sujeto Predicado

2.Corren mucho. (Ellos/as)

Predicado Sujeto omitido

Ejemplos. 1.3. 6

8 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


1.3.1.2. Frase

Los enunciados que carecen de una forma verbal personal son las denominadas frases . Los constituyentes

de las frases son siempre palabras de índole nominal, esto es, sustantivos, adjetivos o adverbios. Al no existir

un núcleo verbal del que dependan sus demás componentes, las relaciones internas no son idénticas a las que

se establecen en la oración. Por ello, las frases no deben clasificarse por analogía con las oraciones a las que

pudieran ser semánticamente equivalentes.

Las frases pueden ser constituidas por una sola palabra (¡Lástima!, ¡gracias!, ¡vaya!), (¡Mi alma!, ¡buenas

tardes!, ¡a estudiar mucho!, ¡gajes del oficio!). Por ejemplo:

1. Perro ladrador, poco mordedor.

2. Prohibida la entrada.

3. ¡Qué tiempos aquellos!

4. A mal tiempo, buena cara.

5. ¡A mi edad, hacer estas cosas!

6. De tal palo, tal astilla.

7. En casa del herrero, cuchillo de palo.

8. Vivir para ver.

Ejemplos. 1.3. 7

1.3.1.3. Proposición:

Es parecida a la oración, pero carece de un elemento y se puede interpretar como la unidad de lenguaje

que tiene sujeto y predicado, verbo en modo personal, pero cuyo sentido es incompleto.

Esta unidad de lenguaje depende de otra con sentido completo. También recibe el nombre de oración

subordinada, es decir.

La proposición es un sintagma más reducido que la oración. Y por lo tanto, cualquiera que sea su estructura,

estará siempre incluida en la oración.

Tanto la oración como la proposición son unidades semánticas, sintácticas y fonéticas. La diferencia estriba

en que la proposición es una unidad menor y formante de la oración compuesta, ya sea por coordinación o por

subordinación.

Por lo tanto, la proposición es también una unidad:

Antalcides Olivo 9

ii


ii

ii


* semántica, sin sentido completo en sí misma o si lo tiene, por ser un miembro de la oración a que

pertenece, será un sentido más restringido;

* fonética, sin pausas tan delimitadas, marcadas gráficamente por la coma o el punto y coma; y

* sintáctica, con enlaces gramaticales que la hacen dependiente de una oración principal o la relacionan

con otra u otras proposiciones.

Podemos clasificar las proposiciones de la siguiente forma:

* Proposición Sustantiva: Equivale a un sustantivo y funciona como tal en la oración compuesta. Funciona

sintácticamente como:

Sujeto:

1. Es necesario que te levantes temprano.

2. Lo racional es que continúes trabajando.

3. Parecía injusto que se olvidara de mí.

Ejemplos. 1.3. 8

Complemento directo:

1. Veo lo que dices.

2. Pide lo que quieras.

3. Olvidé decirle a Carlos lo que me habías encargado.

4. Dijeron que vendrían hoy.

Ejemplos. 1.3. 9

Complemento de un adjetivo:

1. Pedro está arrepentido de lo que hizo.

2. El jurado está convencido de que el reo es inocente.

3. El niño está cansado de que no lo tomen en serio.

Ejemplos. 1.3. 10

10 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


Complemento de un adverbio:

1. Ella está muy lejos de que la inviten.

2. El pueblo está más cerca de lo que imaginan.

Ejemplos. 1.3. 11

* Proposición Adjetiva: Equivale a un adjetivo. Cumple sus mismas funciones. Nada más que en lugar

de ser una sola palabra constituyen una oración subordinada. Hay proposiciones adjetivas de sujeto

y en el complemento indirecto. Cabe mencionar que el subordinante "Que" es el más empleado en las

proposiciones adjetivas.

* Proposición Adjetiva de sujeto: Modifican directamente al núcleo del sujeto. Fíjate en las siguientes

oraciones:

1. El marido que respeta a su mujer cumple con su deber.

2. El cuadro que adquirieron ayer no vale lo que pagaron.

3. Ese club, al cual se adhirieron ayer, cumple bien sus funciones.

4. El periódico cuyo director renunció, subirá de prestigio.

5. La silla donde te sentaste está rota.

Ejemplos. 1.3. 12

Está muy clara la función desempeñada por las proposiciones resaltadas: modifican al sustantivo, núcleo

del sujeto, que es su antecedente.

* Proposición Adjetiva en el complemento directo: Modifican directamente al núcleo del complemento

directo (El complemento directo es el nombre del objeto que se ve afectado por la acción del verbo).

Nota que inmediatamente después del sustantivo viene la proposición que se convierte en el complemento

directo.

1. Te escribí una carta en la que te informaba sobre el nuevo carro.

2. Deberías apreciar el regalo que te hizo Bertha.

3. Algún día visitarás la casa que tengo en El Valle.

Ejemplos. 1.3. 13

Antalcides Olivo 11

ii


ii

ii


4. Todavía estoy esperando la cena que me prometiste.

5. Me sacaron la muela que me dolía mucho.


* Proposición Adjetiva en el complemento indirecto: Modifican directamente al núcleo del complemento

indirecto (El complemento indirecto siempre va precedido de las preposiciones a y para). Analiza las

siguientes oraciones compuestas:

1. Regalé ropa y cobijas a la Cruz Roja, que necesita de todos nosotros.

2. Escogieron una bellísima canastilla para la joven que va a cumplir quince años.

3. Los distintos clubes sociales de la ciudad dieron su aportación para los niños que sufren poliomielitis.

4. Trajeron la tarjeta de crédito para el señor que vive al lado.

5. Llegó un telegrama para el hombre cuyo padre vive en Europa.

Ejemplos. 1.3. 14

Las proposiciones están modificando al sustantivo que es núcleo del complemento indirecto.

* Proposición Adjetivas en el complemento circunstancial: Modifican directamente al núcleo del comple-

mento circunstancial.

1. Juan está en la casa donde encontraron oro.

2. Te espero en el café que está en la calle Morelos.

3. Escuché la conferencia de Raiza en Pedasí, cuyas playas son formidables.

4. Me quedo con la carretilla que tiene más espacio.

5. No voy al cine que exhibe películas de guerra.

Ejemplos. 1.3. 15

* Proposiciones Adjetivas en el predicado nominal: Modifican al núcleo del predicado nominal, cuando es

un sustantivo o equivalente. Como en las siguientes oraciones:

12 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


1. Hortensia es la persona a quien he estado buscando.

2. Los niños son los seres que tienen mayor inocencia.

3. Apreciar esta pintura es la forma como se concilia uno con el mundo.

4. Estos son los poemas cuyos autores no los hubieran escrito sin sentirse realmente desolados en el

universo.

Ejemplos. 1.3. 16

En estos casos las proposiciones adjetivas están modificando directamente a los sustantivos que están

funcionando como núcleos del predicado nominal.

1. persona;

2. seres;

3. forma;

4. poemas.

Los subordinantes son respectivamente: quien, que, como, cuyos.

* Proposiciones Adjetivas explicativas: Añaden una cualidad al sustantivo que están modificando directa-

mente, van entre comas. De hecho las comas son la principal forma de diferenciarlas de las especificativas.

La proposición en sí no es indispensable para dar sentido cabal a la oración.

1. Socorrimos a la madre, que estaba gritando.

2. Escoge la corbata roja, que es la más fina de todas.

3. Los niños, que iniciaron el juego, llegaron primero.

Ejemplos. 1.3. 17

* Proposiciones Adjetivas especificativas: Limitan al sustantivo al cual están determinando; restringen

el sentido de lo enunciado. La proposición en si es indispensable para dar sentido cabal a la oración.

Ejemplos:

1. Los niños que iniciaron el juego llegaron primero.

Ejemplos. 1.3. 18

Antalcides Olivo 13

ii


ii

ii


2. Adquirimos los libros que estaban en oferta.

3. La alberca que estaba recién pintada fue inaugurada.


La madre creyó que el niño dormía en su cuna.

Ejemplo. 1.3. 1 Oración compuesta (por una proposición subordinada)

Oración compuesta en donde encontramos una frase subordinada: que el niño dormía en su cuna. El sujeto

de la oración es La madre y el predicado es creyó que el niño dormía en su cuna. El niño es el sujeto de la

proposición y dormía en su cuna es el predicado de la proposición.

1.3.2. Proposición lógica1

De acuerdo con lo expuesto anteriormente vemos la necesidad de establecer un concepto menos amplio de

enunciado y de proposición por lo que estableceremos un nuevo concepto determinado como

Un enunciado lógico es una oración o conjunto de oraciones con sentido completo.

Término no defnido. 1.3. 1 Enunciado lógico

En este concepto usaremos el concepto de oración en toda su dimensión, pero no así el de enunciado.

Presentaremos dos ejemplos de Enunciados lógicos

* Escuché la conferencia de Raiza en Pedasí, cuyas playas son formidables.

* Estos son los poemas cuyos autores no los hubieran escrito sin sentirse realmente desolados en el universo.

Ahora presentaremos un nuevo concepto como un término que se construye a partir de uno ya conocido.

Una proposición lógica es un enunciado lógico al cual se le puede asignar un valor de verdad, es decir

puede ser falso o verdadero, pero no ambas.

Definición. 1.3. 1 Proposición lógica

1Aquí empieza la construcción axiomática de la lógica.

14 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


Nota: De aquí en adelante a las proposiciones lógicas y a los enunciodos lógicos los llamaremos simplemente

proposiciones y enunciados, a no ser que no estemos en el contexto de la lógica matemática, por que en ese

caso debemos hacer la aclaración

Por ejemplo:

* 3 + 2 = 5. De acuerdo con la definición de adición entre naturales, este enunciado es verdadero, por lo

tanto es una proposición.

* Mañana llueve. esto es algo que no se puede saber antes de termine el día, por lo tanto no se le puede

asignar un valor de verdad, es decir este enunciado no es una proposición.

Notación: Las proposiciones lógicas serán denotadas generalmente con letras minúsculas p, q, r , t, etc.

A la veracidad o falsedad de una proposición se denomina valor de verdad.

Se llama valores de verdad de una proposición a sus dos valores posibles; verdadero o falso.

Definición. 1.3. 2 Valor de verdad

Estos posibles valores se puede esquematizar en una tabla, llamada tabla de verdad, en la forma.

Cuadro 1.1: Tabla de verdad

pfv

1.3.2.1. Clasificación de proposiciones

Proposiciones atomicas o simples

Las proposiciones atómicas ó simples, son las proposiciones que no utiliza conectivos lógicos.

Proposiciones Moleculares o compuestas

Cuando las proposiciones costan de una única oración es fácil especificar su valor de verdad, pero cuando

consta de varias oraciones, no lo es tanto; además debemos establecer la forma de conectar las oraciones para

que tengan sentido, completo, por lo que se hace necesario establecer una serie de términos para este fin,

estos términos son los llamados conectivos lógicos. Y las proposiciones que los usan se llaman proposiciones

compuestas o moleculares.

Conectivos lógicos

Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos

tenemos. La conjunción, disyunción, condicional, bicondicional, negación, esto mostraremos en la siguiente

tabla:

Antalcides Olivo 15

ii


ii

ii


Cuadro 1.2: Tabla de los conectivos lógicos

Símbolo lógico Expresión∧ p y q∨ o p o qY p ó q→ Si p, entonces q←→ p si y sólo si q∼o ¬ ni p, no p

Nota: Generalmente usamos el conectivo ∨ de la siguiente forma 2 es par o 3 es impar, en vez de o 2 es

par o 3 es impar. también se puede usar: 2 es par o/y 3es impar.

* Ejemplos de proposiciones atómicas.

1. 6 es par.

2. 2+5=7.

3.√

2 es un número real.

Ejemplos. 1.3. 19

* Ejemplos de proposiciones moleculares.

1. 6 es par y 5 es primo.

2. Si 3+5=8, entonces la suma de primos no es primo.

3. o√−2 no es un número real o

√2 es real.

Ejemplos. 1.3. 20

1.3.2.2. Tipo de proposiciones

Una tautología es una proposición que siempre es verdadera.

Término. 1.3. 2 Tautología

A las tautologías a veces en matemáticas se les llama verdades o afirmaciones. Las verdades generales de las

matemáticas se deducen a partir del razonamiento lógico, siendo las premisas o afirmaciones, las definiciones,

postulados o principios previamente establecidos. El razonamiento utilizado para establecer cualquier verdad

o principio es llamado una demostración.

16 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


Una falacia o contradicción es una proposición que siempre es falsa.

Término. 1.3. 3 Falacia

Las contingencia son proporciones compuestas que no son ni tautología ni contradicciones, es decir, son

proposiciones que en algunos casos es f , y en otros es v.

Término. 1.3. 4 Contingencia

1.3.2.3. Tipos de tautologías

Los siguientes términos son siempre tautologías

Una definición es una afirmación que explica el significado de un término o una palabra, en función de

palabras o términos conocidos.

Término. 1.3. 5 Definición

En caso de que un término no se pueda expresar en función de otros términos ya establecidos, se dice que

es un término no definido.

Un teorema es una verdad que requiere demostración.

Término. 1.3. 6 Teorema

Un axioma es una verdad auto-evidente.

Término. 1.3. 7 Axioma

Un PROBLEMA es una situación o proposición que requiere solución.

Un Postulado es un problema auto-evidente.

Término. 1.3. 8 Postulado

Antalcides Olivo 17

ii


ii

ii


Una hipótesis es una suposición hecha, bien en el texto de una proposición, o en el curso de una

demostración.

Término. 1.3. 9 Hipótesis

1.4 Conjunto y operaciones con proposiciones

Antes de seguir con la construcción de la lógica matemática debemos conocer los conceptos de conjunto,

producto cruz, relación y función.

Un conjunto es o la existencia o agrupación de objetos que poseen varias características en común, ó la ausencia

de objetos.

Término no defnido. 1.4. 1 Conjunto

Realmente un conjunto es una estructura mental con alguna de las siguientes características :

* No posee objetos.

* Posee sólo un objeto.

* Posee muchos objetos.

* Posee infinitos objetos

Nota: Los objetos que se encuentran en un conjunto se les llama elementos

Hasta ahora no hemos explicado como se representan los conjuntos , ya que recordemos que los conjuntos

son estructuras abstractas.

Los conjuntos se pueden representar de dos maneras por extensión y por comprensión.

Un conjunto esta representado por extensión cuando los elementos del conjunto se listan entre llaves.

Término. 1.4. 1 Conjuntos por extensión

Por ejemplo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }

Un conjunto esta representado por comprensión cuando los elementos del conjunto se clasifican especificando

una o varias propiedades que los identifica.

Término. 1.4. 2 Conjuntos por compresión

18 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

1.4. Conjunto y operaciones con proposiciones

* Los números pares.

* Los carros marca Ford.

Ejemplo. 1.4. 1 representación de conjuntos

Notación: A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, BC, . . . , etc. Y a los elementos se

les representa con lestras minúsculas a, b, c . . . etc. Cuando un elemento a se encuentra en un conjunto B se

denota a ∈ B. “ Se lee a pertenece a B.”

Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5,6} tenemos.

* 3 ∈ A, se lee 3 pertenece al conjunto A.

* 5 /∈ A, se lee 2 no pertenece al conjunto A.

Ejemplo. 1.4. 2 Notación de conjuntos

Nota: Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos

1.4.1. Proposiciones abiertas

Regresando al concepto de proposición lógica, donde las expresiones solo pueden ser falsas o verdaderas,

nos encontramos regularmente en matemáticas con expresiones como

* x2 − 5x+ 6 = 0.

* x+ 1 = 3.

* x2 − 9 = (x− 3) (x+ 3) .

* x2 = 25∧ x+ 1 = 6.

En estos enunciados no es posible deducir el valor de verdad, porque no conocemos el valor de x, pero si

por ejemplo en la expresión x+ 1 = 3 decimos que x = 3 entonces el enunciado es verdadero y es falso si

x 6= 3, por lo tanto la expresión es una proposición.

Para poder trabajar con este tipo de expresiones es necesario especificar que es x, lo que estudiaremos a

continuación.

Antalcides Olivo 19

ii


ii

ii


Una variable es un termino que representa cualquier elemento de un conjunto en particular y puede ser

sustituido por cualquier elemento del conjunto.

Definición. 1.4. 1 Variable

Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. x es par, para algúnx ∈ A.

En este caso la variable es x y la proposición es cierta si x = 2, ya que 2 ∈ A.

Ejemplo. 1.4. 3 Variable

Una constante es un termino que representa a un elemento fijo de un conjunto.

Definición. 1.4. 2 Constante

Notación: Las variables se representan generalmenta con las letras minúsculas l, · · · , u, v, w x, y, z y

las constantes generalmente con las letras minúsculas a, b c, · · · , k.

Nota: Las letras i, j, k, n y m, como variables, generalmente representan números naturales.

Una proposición abierta es aquella donde el sujeto o los sujetos son representados por variables

Definición. 1.4. 3 Proposiciones abiertas

* x2 − 5x+ 6 = 0, x ∈ IR.

* x+ 1 = 3, x ∈ IR.

* x2 − 9 = (x− 3) (x+ 3) , x ∈ IR.

* x2 = 25∧ x+ 1 = 6, x ∈ IR.

Ejemplos. 1.4. 1 Proposiciones abiertas

El dominio de una proposición abierta o una variable, es el conjunto de valores que puede tomar una

variable.

Definición. 1.4. 4 Dominio de una proposición abierta

20 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


En los ejemplos 1 el dominio de las proposiciones o de la variable es el conjunto de los números reales.

El conjunto solución de una proposición abierta el el conjunto de valores del dominio de una variable que

hacen que la proposición sea verdadera.

Definición. 1.4. 5 Conjunto solución

Dada la proposición x2 − 5x+ 6 = 0, x ∈ IR encuentre el conjunto solución.

Ejemplo. 1.4. 4 Conjuto solución

Solución: Tenemos que el conjunto solución es {−3, 2} ya que

*(−3)2 − 5 (−3) + 6 = 0 y,

* (2)2 − 5 (2) + 6 = 0.

Además −3, 2 ∈ IR.

Notación: Las proposiciones abiertas se denotan p (x)ó p(x, y, · · · , z) para indicar cuales son las variables.

Esta notación nos ayuda a representar mejor los conjuntos por extensión usando la estructura: A = {x :

p(x), x ∈ A}

Como por ejemplo A = {x : x es impar, x ∈ IN}

1.4.2. Conjuntos especiales

1.4.2.1. Conjunto vacío

El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos

Definición. 1.4. 6 Conjunto vacío

Notación: El conjunto vacío es único y se representa con los símbolos ∅ ó {}.

1.4.2.2. Conjunto unitario

Un conjunto unitario es aquel que posee un solo elemento.

Definición. 1.4. 7 Conjunto unitario

Antalcides Olivo 21

ii


ii

ii


* {1}

* {a}

* {∅}

Ejemplos. 1.4. 2 Conjuntos unitarios

1.4.2.3. Conjunto universal

Un conjunto es universal cuando es el conjunto referencia, es decir es el conjunto que contiene a todos los

elementos con las mismas propiedades.

Definición. 1.4. 8 Conjunto universal

Notación: Al conjunto universal se le representa con la letra U .

* El conjunto de los números naturales.

* El conjunto de las letras del alfabeto.

* El conjunto de todos los alumnos de la Universidad Del Atlántico.

Ejemplos. 1.4. 3 Conjuntos universales

1.4.2.4. Subconjunto

Se dice que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B. Si A contiene sólo elementos de B ó

ningún elemento.

Definición. 1.4. 9 Subconjunto

Esta definición nos asegura que el vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

Notación: Si A es subconjunto de B se denota A ⊆ B ó B ⊇ A.

22 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


Sea A = {x : x es una letra del alfabeto español} ¿Cuales de los siguientes conjuntos son subconjunto de A

1. B = {a, b, c, d}.

2. C = {∅}.

3. D = ∅.

4. E = {α, a, b}.

Ejemplo. 1.4. 5 Subconjunto

Solución: B y D ya que C�⊂A porque ∅ no es un elemento de A sino un subconjunto y D�⊂A porque α

no es una letra del alfabeto español.

Diagramas de Venn

anteriormente dijimos que los conjuntos podíamos representarlos por extensión y por comprensión, pero

en algunas ocasiones es mejor representarlos gráficamente, utilizando un rectángulo para el conjunto universal

y los conjuntos con figuras geométricas en su interior.

por ejemplo sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} el conjunto referencia de los conjuntos A = {1, 4, 5, 7} ,B =

{2, 4, 7, 6} y C = {3, 5, 6, 7} entonces podemos representarlos así.

U

1 2

3

8

A B

C

7

4

5 6

1.4.2.5. Producto cruz

Sean A y B conjuntos no vacíos, se llama producto cruz al conjunto de elementos que tienen la forma (x, y)

de tal manera que x ∈ A y y ∈ B. Es decir los elementos de A están en la primera posición y los elementos de

B están en la segunda posición del termino (x, y) .

Definición. 1.4. 10 Producto cruz

Notación: Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío, el producto cruz entre los conjuntos A y B se

denota A×B.

Antalcides Olivo 23

ii


ii

ii


Nota: Al elemento (x, y) se le llama pareja ordenada y a x se le llama primera componente y a y segunda

componente.

Sean A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6} hallar

a. A×B.

b. B ×A.

c. A×A

Ejemplo. 1.4. 6

Solución:

a. A×B = {(1, 4) , (1, 5) , (1, 6) , (2, 4) , (2, 5) , (2, 6) , (3, 4) , (3, 5) , (3, 6)}.

b. B ×A = {(4, 1) , (5, 1) , (6, 1) , (4, 2) , (5, 2) , (6, 2) , (4, 3) , (5, 3) , (6, 3)}.

c. A×A = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3)}.

Observe que A×B 6= B ×A.

1. ∅ × ∅=∅.

2. A× ∅ = ∅.

Definición. 1.4. 11 Productos cruz con el vacío

1.4.2.6. Relación binaria

Una relación binaria es un subconjunto del producto cruz diferente del vacío .

Definición. 1.4. 12 Relación binaria

Notación: Si una pareja (x, y) pertenece a una relación binaria R se denota xRy. Que se lee x está

relacionada con y.

Sean A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, indique cuales conjuntos son relaciones binarias,

Ejemplo. 1.4. 7 Relación binaria

24 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


1. R1 = {(x, y) : x = y, x ∈ A, y ∈ B}.

2. R2 = {(x, y) : x < y, x ∈ A, y ∈ B}.

3. R3 = {(2, 1) , (4, 1) , (6, 1) , (8, 1) , (10, 1)}.

4. R4 = {(1, 2) , (4, 5)}.

Ejemplo. 1.4. 7 (Continuación)

Solución:

1. R1 = {(2, 2) , (4, 4)} ⊆ A×B, entonces R1 es relación binaria .

2. R2 = {(2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (4, 5)} ⊆ A×B, entonces R2 es relación binaria.

3. R3 = {(x, y) : y = 1, x ∈ A, y ∈ B} ⊆ A×B, entonces R3 es relación binaria.

4. R4 no es relación binaria de A en B, ya que (1, 2) /∈ A×B.

Nota: De aquí en adelante a las relaciones binarias las nombraremos sólo relaciones.

Nota: En las relaciones a los conjuntos A y B se les llaman conjunto de partida y conjunto de llegada

respectivamente

1.4.2.7. Formas de representar una relación

Existen varias formas de representar una relación, estas son:

1. Diagrama sagital Los diagramas sagitales son representaciones donde los conjuntos de partida y de

llegada son ovalos y las parejas ordenadas se representan con flechas, como se indica en la figura1.1

A BR

1

2

3

4

a

b

c

Figura 1.1: Diagrama Sagital

Antalcides Olivo 25

ii


ii

ii


La figura 1.1 representa la relación R = {(1, a) , (2, a), (2, c), (3, b), (4, c)}

2. Tabla de datos en esta representación se colocan las parejas en una tabla de la forma

x x1 x2 x3 · · ·y y1 y2 y3 · · ·

Cuadro 1.3: Tabla de datos

Sean A = B = {1, 2, 3, 4}, indicar si la siguiente tabla representa una relación

x 1 2 2 3 4 4y 1 2 4 3 2 4

Cuadro 1.4: Ejemplo de una tabla de datos

Ejemplo. 1.4. 8

Como observamos la tabla representa un subconjunto de A×B, por tanto es una relación de A en B.

3. Una gráfica Esta forma de representar una relación su usa generalmente cuando los conjuntos de partida

y de llegada son números ordenados y para ello se usan las coordenadas rectangulares que se dibujan de

la siguiente forma

a) El conjunto de partida se representa con una linea horizontal llamada eje X, y en el se coloca un

punto por cada elemento del conjunto

b) El conjunto de llegada se representa con una linea vertical llamada eje Y , y en el se coloca un

punto por cada elemento del conjunto.

c) Para representar la pareja (x4, y5) se traza una paralela al eje X que pase por y5, luego se traza

una paralela al eje Y que pase por x4 y el punto de intersección de estas dos rectas representa a

(x4, y5).

x−1 x1 x2 x3 x4 x5y−1

y1

y2

y3

y4

y5

0 X

Y(x4, y5)

O

26 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


d) Utilizando el paso anterior se representan todas las parejas de la relación.

Sean A = B = (−1, 7), representar gráficamente la relación R = {(x, y) ∈ A×B : y ≤ x}

Ejemplo. 1.4. 9

−1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

0

Y

X

4. Una proposición abierta. Las proposiciones abierta o fórmulas como por ejemplo anterior y ≤ x.

5. Consideremos ahora las relaciones sobre el mismo conjunto es decir si A es un conjunto entonces la

relación R : A→ A, cuando Aes un conjunto finito. En este caso usamos un diagrama llamado grafo

dirigido.

Un grafo dirigido es un conjunto de puntos (llamados vértices) y un conjunto de flechas entre los vértices

como mostraremos en el siguiente ejemplo

Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y la relación R = {(1, 2), (2, 3)} ⊂ A×A construya su grafo dirigido.

Ejemplo. 1.4. 10

Solución:

1 2

34Figura 1.2: Grafo de una relación

La manera de asociarle un grafo a una relación R ⊂ A×A es poner como vértice los elementos del

conjunto A y luego una flecha por cada elemento de R.

Antalcides Olivo 27

ii


ii

ii


Si (x, y) ∈ R, la flecha asociada es la parte del vértice a y llega al vértice y. Por ejemplo

Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y la relación R = {(1, 1), (1, 3) , (3, 2) , (2, 4) , (4, 2)} ⊂ A×A construya

su grafo dirigido.

Ejemplo. 1.4. 11

Solución:

1 2

34Figura 1.3: Grafo de una relación {(1, 1), (1, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2)}

Nota: A los conceptos de igualdad y subconjunto se les llama relaciones de contenencia entre conjuntos.

1.4.2.8. Función

Se va a introducir el concepto de función, hablando libremente una función f de un conjunto A en un

conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo) que nos transporta de un conjunto a otro de manera

que asociamos cada elemento de A un único elemento en B.

Consideremos dos conjuntos cualquiera A y B no vacíos, al conjunto f le llamaremos función de A en B,

si y sólo si, se verifica:

i) f ⊆ A×B, es decir f es una relación de A×B.

ii) Si (x1, y1) ∈ f y (x1, y2) ∈ f , entonces y1 = y2.

Definición. 1.4. 13 Función

Nota: La segunda condición indica, que dos parejas ordenadas distintas no pueden tener la misma primera

componente.

Observaciones

28 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


* A una función f de A en B la denotaremos porf : A → B

x 7→ yó A f→ B y se lee “ f es una

función de A en B”, donde el conjunto A le llamamos conjunto de partida y el conjunto B le llamaremos

conjunto de llegada.

* Si el par (x, y) ∈ f , escribimos y = f (x) y se dice que y es imagen de x por f ó también, que y = f (x)

es el valor de f en x.

* También se puede decir que y = f (x) si y sólo si (x, y) ∈ f .

* Otra forma de representar una función es f = {(x, y) ∈ A×B : y = f (x)}

* Una consecuencia inmediata de la definición es que toda función es una relación pero no toda relación

es una función.

Dada la relación R = {(1, 2) , (2, 3) , (3, 4) , (2, 5)} indicar si R es una función.

Ejemplo. 1.4. 12 Función

Solución: R no es una función, puesto que para la componente 2 existen dos componentes 3 y 5 tales que

(2, 3) y (2, 5) ∈ R, lo que contradice la segunda condición de la definición de función.

Sean A = {1, 5, 7, 11} y B = {a, b, c, d}. Indique si el diagrama representa una función

1

5

7

11

a

b

c

d

A B

f

Ejemplo. 1.4. 13

Solución: El diagrama nos indica que 1fa y que 1fc, por tanto existen dos parejas diferentes de f con la

primera componente igual, lo que contradice la definición de función.

Nota: Sea f : Af→ B una función de A en B, llamaremos dominio de la función f , al conjunto de todas

las primeras componentes, el cual denotaremos por Df , es decir:

Antalcides Olivo 29

ii


ii

ii


Dom(f) =Df = {x ∈ A : tal que existe un y ∈ B ∧ (x, y) ∈ f} ⊆ A.

Llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de A, mediante f al

cual denotaremos por Rf es decir:

Im (f) = Rf = {y ∈ B : tal que existe un x ∈ A∧ (x, y) ∈ f} ⊆ B.

Sea f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6).(7, 8)} una función, entonces su dominio y rango son: Df = {1, 3, 5, 7};

Rf = {2, 4, 6, 8}.

Ejemplo. 1.4. 14

Aplicación

A una función f , le llamaremos aplicación de A en B, si y sólo si: Df = A.

Sean A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, calcule A×B

a) El conjunto f = {(1, 4), (3, 2)} es función, donde Df = {1, 3} y Rf = {4, 2} pero f no es una

aplicación de A en B puesto que Df 6= A.

b) El conjunto f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)} es una función donde: Df = {1, 3, 5} y Rf = {2, 4, 6}, como

Df = A entonces f es una aplicación de A en B.

Ejemplo. 1.4. 15

Función Compuesta

En matemáticas se conoce la composición como el anidamiento de dos o más funciones para formar una

nueva función única. La composición de dos funciones se denota como: (f ◦ g) (x)

En otras palabras entendemos la composición de funciones como la aplicación de dos o más funciones de

forma consecutiva, es decir primero se compone una, con el resultado obtenido se compone la segunda, con el

resultado de la segunda se compone la tercera y así sucesivamente.

El procedimiento que lleva a cabo la composición es denominado como la regla de la cadena.

Dadas dos funciones f(x) y g(x) , definimos la composición como la función que obtenemos en aplicarle

a la función f las imágenes de g(x). Es decir primero se aplica la función g(x) y después f(x) al resultado,

quedando f [g (x)].

30 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


Como vemos gráficamente, debemos seguir un orden inverso para aplicar la composición. Con orden

descendente, desde la función de más hacia la derecha hasta la función inicial

Consideremos tres conjuntos cualquiera A, B y C no vacíos y las funciones denotadas porg : A → B

x 7→ zy

f : B → C

z 7→ y, definimos la función f compuesta g al conjunto

(f ◦ g) = {(x, y) ∈ A×C : y = f [g (x)] , g (x) ∈ B}

o

(f ◦ g) = {(x, y) : ∃z ∈ B, que forma las parejas (x, z) ∈ g ∧ (z, y) ∈ f} .

Definición. 1.4. 14 Función Compuesta

El siguiente diagrama nos muestra la estructura la composición de funciones.

A B

C

f ◦ gf

g

Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 2, 3}, C = {1, 4, 5, 8} y las funciones g = {(1, 2) , (3, 2) , (4, 1) , (2, 1)} ,

f = {(2, 1) , (1, 4) , (3, 5)}. Determine f ◦ g

Ejemplo. 1.4. 16

Solución: Note que (1, 2) ∈ g y (2, 1) ∈ f , entonces (1, 1) ∈ f ◦ g de manera análoga se encuentran todos

los elementos del conjunto f ◦ g = {(1, 1) , (3, 1) , (4, 4) , (2, 4)}, ¿será f ◦ g función?, se podrá asegurar de

acuerdo con este ejemplo que dada dos funciones, la composición entre ellas existe y es función.

Antalcides Olivo 31

ii


ii

ii


Pregunta

Si suponemos que g : A → B y f : C → D. ¿ Que condición hay que pedirle a

f y g para poder hacer la composición f ◦ g?

Respuesta: Si queremos definir (f ◦ g) (a) = f [g (a)], entonces precisamos que g (a) ∈ C. Luego la

condición necesaria y suficiente para poder componer f con g es que Im(f) ⊂ C, o sea que la imagen de g

está contenida en el dominio de f .

1.4.3. Operaciones entre proposiciones

En en sistema axiomático son importantes las operaciones que se pueden realizar con sus elementos, pero

en este punto es necesario definir lo que es una operación.

Dados tres conjuntos A,B y C no vacíos, una operación binaria es una aplicación de la forma :

⊗: A×B → C

(x, y) 7→ z

Definición. 1.4. 15 Operación binaria

Notación: Si ((x, y) , z) ∈ ⊗ se denota x⊗ y = z.

Note que si tenemos las aplicaciones g : A → B , f : B → C. y h : A → C la

composición de aplicaciones es una operación binaria de{g : A → B

}×{f : B → C

}→{

h : A → C}.

Como ejemplos de operaciones veremos a continuación las operaciones entre proposiciones.

Si convenimos en considerar el conjunto U de todas las posibles proposiciones del lenguaje como conjunto

universo, y además el conjunto V = {v, f} el conjunto de los valores de verdad de una proposición. Entonces

podemos definir las siguientes aplicaciones :

P : U → V

p 7→ x,⊗ : V × V → V

(x, y) 7→ z,

R⊗ : U ×U → U

(p, q) 7→ ry

O⊗ : U ×U → V × V

(p, q) 7→ (x, y)

* La aplicación P establece que a cada proposición se le puede asignar un valor y sólo un valor de verdad,

lo que está de acuerdo con la definición, y que cada proposición tiene asignado un valor de verdad.

32 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


* La operación ⊗ establece que dados dos valores de verdad estos se pueden operar y obtener un único

valor de verdad

* La operación R⊗ establece que dadas dos proposiciones se pueden operar y obtener una única proposición.

* La operación O⊗ establece que dadas dos proposiciones se pueden operar y obtener una pareja ordenada

de valores de verdad.

Teniendo en cuenta las aplicaciones definidas podemos establecer las siguientes estructuras

U ×U U

V × V V

×

R⊗

O⊗ P

⊗

En el diagrama anterior se nos muestra dos caminos para realizar la composición × que necesitamos, el

camino que se muestra en rojo nos presenta la dificultad que sería una composición entre una operación binaria

y una aplicación, mientras que el camino que está en azul nos muestra la composición de dos operaciones

binarias por lo que escogeremos está para construir las operaciones entre proposiciones lógicas.

De acuerdo con lo anterior nos queda la siguiente estructura para la operación ×.

× : U ×U R⊗→ V × V O⊗→ V

Usando ésta estructura podemos definir las siguientes operaciones entre proposiciones.

Nota: En este curso no demostraremos que las operaciones están bien definidas, es decir que es una

función y el conjunto de partida es igual al conjunto de llegada, como tampoco la existencia y unicidad de

ellas.

1.4.3.1. Conjunción

La conjunción es la operación de la formaO∧ : U ×U → U

(p, q) 7→ p∧ qde tal forma que se pueden

operar sus valores de verdad usando la definición∧ : V × V → V

(x, y) 7→ z, obtenemos una estructura de

la forma: ∧ : U ×U O∧→ V × V∧→ V .

Antalcides Olivo 33

ii


ii

ii


La ley que establece la conjunción es la siguiente: la conjunción es verdadera, sólo si las dos proposiciones

son verdaderas.

Definición. 1.4. 16 Conjunción

Cuadro 1.5: Tabla de verdad de la conjunción

p q p∧ qv v v

v f f

f v f

f f f

Sí p : 4 < 7 y q : 6 es número par. Calcular el valor de verdad de p∧ q.

Ejemplo. 1.4. 17 Conjunción

Solución:


p q p∧ qv v v

1.4.3.2. Disyunción

La disyunción es la operación de la formaO∨ : U ×U → U

(p, q) 7→ p∨ qde tal forma que se pueden

operar sus valores de verdad usando la definición∨ : V × V → V


la forma: ∨ : U ×U O∨→ V × V∨→ V .

La ley que establece la disyunción es la siguiente: la disyunción es falsa, sólo si las dos proposiciones son

falsas.

Definición. 1.4. 17 Conjunción

34 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


Cuadro 1.7: Tabla de verdad de la disyunción

p q p∨ qv v v

v f v

f v v

f f f

Sí p : 7 > 9 y q : 4 < 5. Calcular el valor de verdad de p∨ q.

Ejemplo. 1.4. 18 Disyunción

Solución:


p q p∨ qf v v

1.4.3.3. Condicional

La condicional es la operación de la formaO→ : U ×U → U

(p, q) 7→ p→ qde tal forma que se pueden

operar sus valores de verdad usando la definición→ : V × V → V


la forma: → : U ×U O→→ V × V→→ V .

Nota: En la condicional a la proposición p se le llama antecedente y a q consecuente.

La ley que establece la condicional es la siguiente: la bicondicional es verdadera cuando las dos proposiciones

tienen el mismo valor de verdad.

Definición. 1.4. 18 Condicional

Cuadro 1.9: Tabla de verdad de la bicondicional

p q p←→ q

v v v

v f f

f v f

f f v

Antalcides Olivo 35

ii


ii

ii


Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p→ q

Ejemplo. 1.4. 19 Condicional

Solución:


p q p↔ qv f f

1.4.3.4. Bicondicional

La bicondicional es la operación de la formaO←→ : U ×U → U

(p, q) 7→ p↔ qde tal forma que se pueden

operar sus valores de verdad usando la definición↔ : V × V → V


la forma: ↔ : U ×U O↔→ V × V↔→ V .

La ley que establece la bicondicional es la siguiente: la bicondicional es verdadera cuando las dos proposi-

ciones tienen el mismo valor de verdad.

Definición. 1.4. 19 Bicondicional


p q p←→ q

v v v

v f f

f v f

f f v

Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p→ q

Ejemplo. 1.4. 20 Bicondicional

Solución:


p q p→ qv f f

36 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


1.4.3.5. Disyunción exclusiva

La disyunción exclusiva es la operación de la formaOY : U ×U → U

(p, q) 7→ p Y qde tal forma que

se pueden operar sus valores de verdad usando la definiciónY : V × V → V

(x, y) 7→ z, obtenemos una

estructura de la forma: Y : U ×UOY→ V × V

Y→ V .

La ley que establece la disyunción exclusiva es la siguiente: la disyunción exclusiva es falsa cuando las dos

proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

Definición. 1.4. 20 Disyunción exclusiva


p q p Y qv v f

v f v

f v v

f f f

Sea p : Cristóbal Colón descubrió América. ; q : 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p Y q

Ejemplo. 1.4. 21 Disyunción exclusiva

Nota: Ésta operación se llama excluyente porque porque sólo se puede dar ambas pero no una sola.

Solución:


p q p Y qv f v

1.4.3.6. Negación

Para la negación usamos las operaciones de la formaP : U → V

p 7→ xy

P∼ : V → V

x 7→ ytal

que x 6= y. para construir la composición ∼: U P→ VP∼→ V

Antalcides Olivo 37

ii


ii

ii


La ley que establece la negación es la siguiente: La negación cambia el valor de verdad de una proposición.

Definición. 1.4. 21 Negación

Su tabla de verdad es la siguiente

Cuadro 1.15: Tabla de verdad de la negación.

p ∼ pv ff v

1.4.4. Relaciones entre proposiciones

En esta sección trabajaremos con tautologías y falacias por lo que presentaremos algunos ejemplos para

aprender a determinar cuando una proposición es una tautología, contingencia ó falacia.

1. p∨ ∼ p (principio del tercio excluido)

2. [(p→ q) ∧ p]→ q

3. ∼ (p∧ ∼ p)

Ejemplos. 1.4. 4 Tautológias

Solución:

1. Vemos que en la última columna de la tabla de verdad (1.16) nos muestra que p∨ ∼ p es una tautología.

Cuadro 1.16: Tabla de verdad.

p ∼ p p∨ ∼ pv f vf v v

2. Si observamos en la tabla de verdad (1.17) nos queda demostrado que [(p→ q) ∧ p]→ q es una tautología.


p q p→ q (p→ q) ∧ p [(p→ p) ∧ p]→ qv v v v vv f f f vf v v f vf f v f v

38 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


3. Este queda de ejercicio al lector.

1. p∧ ∼ p (principio de contradicción)

2. (p→ q) ∧ (p∧ ∼ q)

3. ∼ (p∨ ∼ p)

Ejemplos. 1.4. 5 Falacias

Solución:

1. Vemos que en la última columna de la tabla de verdad (1.18) nos muestra que p∧ ∼ p es una falacia.


p ∼ p p∧ ∼ pv f ff v f

2. Si observamos en la tabla de verdad (1.19) nos queda demostrado que (p→ q)∧ (p∧ ∼ q) es una falacia.


p q p→ q p∧ ∼ q (p→ q) ∧ (p∧ ∼ q)v v v f fv f f v ff v v f ff f v f f

3. Este queda de ejercicio al lector

1.4.4.1. Implicación

Se dice que una proposición q se deduce de p o que una proposición p implica una proposición q cuando

p→ q es una tautología.

Definición. 1.4. 22 Implicación

Notación: Si una proposición p implica a una proposición q se denota p ⇒ q o p . : q que se lee q se

deduce de p, también se puede leer si tenemos p se deduce q.

Nota: El hecho que p implique q quiere decir que se puede obtener q a partir de de p o que si p es

verdadera q también lo es.

Antalcides Olivo 39

ii


ii

ii


Determinar si [(∼ p∨ q)∧ ∼ q]⇒∼ p

Ejemplo. 1.4. 22 Implicación

Solución:


p q ∼ p ∼ p∨ q ∼ q (∼ p∨ q)∧ ∼ q [(∼ p∨ q)∧ ∼ q]→∼ pv v f f v v vv f f f v f vf v v f v v vf f v f v v v

Determinar si (p∧ ∼ p)⇒ q

Ejemplo. 1.4. 23 Implicación

Solución:


p q ∼ p p∧ ∼ p (p∧ ∼ p)→ qv v f f vv f f f vf v v f vf f v f v

Cuando verificamos que p⇒ q en realidad estamos comparando el conjunto solución de p y el conjunto

solución de q. Desde ese punto de vista p⇒ q si y solo si el conjunto solución de p es subconjunto del conjunto

solución de q.

1.4.4.2. Equivalencia lógica

Se dice que una proposición q es equivalente a p, cuando p↔ q es una tautología.

Definición. 1.4. 23 Equivalencia lógica

Notación: Si una proposición p es equivalente a una proposición q se denota p⇔ q ó p ≡ q.

Nota: Que p ≡ q quiere decir que se puede intercambiar p y q sin afectar el valor de verdad de la

proposición. También expresa que los conjuntos soluciones de p y q son iguales y eso se verifica al observar

que si p ≡ q, p y q tiene la misma tabla de verdad.

40 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

1.5. Inferencia y esquemas de razonamiento

Analice el valor de verdad de la proposición compuesta (p→ q)↔ (∼ q →∼ p)

Ejemplo. 1.4. 24 Equivalencia lógica

Solución:p q p→ q ∼ q ∼ p ∼ q →∼ p (p→ q)↔ (∼ q →∼ p)

V V V F F V V

V F F V F F V

F V V F V V V

F F V V V V VEs decir las proposiciones: p→ q y ∼ q →∼ p son equivalentes.

Probar usando las tablas de verdad que las proposiciones (p → q) y (∼ q →∼ p), son lógicamente

equivalentes.

Ejemplo. 1.4. 25 Equivalencia lógica

Solución: Para probar que las proposiciones (p→ q) y (∼ q →∼ p) son lógicamente equivalentes debemos

probar que (p→ q) ↔ (∼ q →∼ p) es una tautología.


p q ∼ p ∼ q p→ q ∼ q →∼ p (p→ q) ↔ (∼ q →∼ p)v v f f v v vv f f v f f vf v v f v v vf f v v v v v

Nota: Para verificar si dos proposiciones son lógicamente equivalentes basta comprobar que las dos

proposiciones tienen la misma tabla de verdad. Como se observa en la tabla (1.22) al comparar las columnas 5

y 6.

Inferencia y esquemas de razonamiento 1.5

1.5.1. Principales leyes lógicas o tautológicas

Siguiendo las construcción axiomática de la lógica nos queda establecer los axiomas y los teoremas, cual

estableceremos en ésta sección.

Antalcides Olivo 41

ii


ii

ii


Dadas dos proposiciones p y q al término p ≡ q se le llama ley de inferencia.

Término. 1.5. 1 Leyes de inferencia lógica

En la lógica los teoremas son leyes de inferencia.

1.5.1.1. Axiomas

Estableceremos tres axiomas,

Identidad

Axioma. 1.5. 1 Toda proposición es idéntica a si misma, es decir p ≡ p

Contradicción

Axioma. 1.5. 2 una proposición no puede ser cierta y falsa a la vez, es decir ∼ (p∧ ∼ p) ≡ v.

Tercer excluido

Axioma. 1.5. 3 Toda proposición es cierta ó es falsa , es decir p∨ ∼ p ≡ v.

1.5.1.2. Leyes de inferencia básicas.

Trataremos de presentar las leyes de inferencia que se deben demostrar utilizando tablas de verdad. (no

son un conjunto mínimo de leyes de inferencias básicas)

∼ (∼ p) ≡ p

Leyes de inferencia. 1.5. 1 Involutiva

1. p∧ p ≡ p

2. p∨ p ≡ p

Leyes de inferencia. 1.5. 2 Indempotencia

42 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


1. p∧ f ≡ f

2. p∨ v ≡ v

Leyes de inferencia. 1.5. 3 falsos modulos o de la adición

1. (p∧ q) ≡ (q ∧ p)

2. (p∨ q) ≡ (q ∨ p)

3. p↔ q ≡ q ↔ p

Leyes de inferencia. 1.5. 4 Comutativas

1. p∧ (q ∧ r) ≡ (p∧ q) ∧ r

2. p∨ (q ∨ r) ≡ (p∨ q) ∨ r

3. p↔ (q ↔ r) ≡ (p↔ q)↔ r

Leyes de inferencia. 1.5. 5 Asociativas

1. p∧ (q ∨ r) ≡ (p∧ q) ∨ (p∧ r)

2. p∨ (q ∧ r) ≡ (p∨ q) ∧ (p∨ r)

3. p→ (q ∨ r) ≡ (p→ q) ∨ (p→ r)

4. p→ (q ∧ r) ≡ (p→ q) ∧ (p→ r)

Leyes de inferencia. 1.5. 6 Distributivas

Antalcides Olivo 43

ii


ii

ii


1. ∼ (p∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q

2. ∼ (p∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q

Leyes de inferencia. 1.5. 7 Morgan

1. p→ q ≡∼ p∨ q

2. ∼ (p→ q) ≡ p∧ ∼ q

Leyes de inferencia. 1.5. 8 Del condicional

1. p↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q → p)

2. p↔ q ≡ (p∧ q) ∨ (∼ p∨ ∼ q)

Leyes de inferencia. 1.5. 9 Del bicondicional

1. p∧ (p∨q) ≡ p

2. p∧ (∼ p∨ q) ≡ p∧ q

3. p∨ (p∧ q) ≡ p

4. p∨ (∼ p∧ q) ≡ p∨ q

Leyes de inferencia. 1.5. 10 De la absorción

1. (p→ q) ≡∼ q →∼ p contrareciproco

2. p↔ q ≡∼ q ↔∼ p

Leyes de inferencia. 1.5. 11 De transposición

44 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


1. (p∧ q)→ r ≡ p→ (q → r)

2. (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ · · · ∧ pn)→ r ≡ (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ · · · ∧ pn−1)→ (pn → r)

Leyes de inferencia. 1.5. 12 De exportación

1. p∧ v ≡ p

2. p∨ f ≡ p

Leyes de inferencia. 1.5. 13 De los modulos

1. (p∨ q) ∧ (p∨ ∼ q) ≡ p

2. (p∧ q) ∨ (p∧ ∼ q) ≡ p

Leyes de inferencia. 1.5. 14 De la simplificación

Nota: Estas Leyes son muy útiles para simplificar los problemas, puesto que es válido reemplazar una

proposición por su equivalente sin alterar el resultado.

Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas

1. (p∧ q)∧ ∼ (p∧ q) .

2. [(p∨ ∼ q) ∧ q]→ p.

3. ∼ [∼ (p∧ q)→∼ q] ∨ q.

4. [(∼ p∧ q)→ (r∧ ∼ r)]∧ ∼ q.

5. [(p∧ q) ∧ q]←→ [p∧ (q ∧ q)] .

6. (p→ q) ∨ [∼ (p←→∼ q)] .

7. (p→ q)↔ (p∧ ∼ q)→ q

Ejemplos. 1.5. 1

Antalcides Olivo 45

ii


ii

ii


Solución:

1. Apliquemos las leyes de inferencia

(p∧ q) ∧ [∼ (p∧ q)] ≡ (p∧ q) ∧ [∼ p∨ ∼ q]morgan

≡ [(p∧ q)∧ ∼ p] ∨ [(p∧ q)∧ ∼q]distributiva

≡ [(q ∧ p)∧ ∼ p]conmutativa

∨ [p∧ (q∧ ∼ q)]asociativa

≡ [q ∧ (p∧ ∼ p)]asociativa

∨ [p∧ f ]contadicción

≡ (q ∧ f)contradicción

∨ ffalso modulo

≡ ffalso modulo

∨ f

≡ f

2. Apliquemos las leyes de inferencia (indique las leyes aplicadas)

[(p∨ ∼ q) ∧ q]→ p ≡ ∼ [(p∨ ∼ q) ∧ q] ∨ p

≡ [∼ (p∨ ∼ q)∨ ∼ q] ∨ p

≡ [∼ (p∨ ∼ q)] ∨ (p∨ ∼ q)

≡ (∼ (p∨ ∼ q) ∨ p)∨ ∼ q

≡ ([∼ p∧ ∼ q] ∨ p)∨ ∼ q

≡ [(∼ p∨ p) ∧ (∼ q ∨ p)]∨ ∼ q

≡ [v ∧ (∼ q ∨ p)]∨ ∼ q

≡ (∼ q ∨ p)∨ ∼ q

≡ (p∨ ∼ q)∨ ∼ q

≡ p∨ (∼ q∨ ∼ q)

≡ p∨ ∼ q

46 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


3. Apliquemos las leyes de inferencia (indique las leyes aplicadas)

∼ [∼ (p∧ q)→∼ q] ∨ q ≡ [∼ (p∧ q)∧ ∼ (∼ q)] ∨ q

≡ [(∼ p∨ ∼ q) ∧ q] ∨ q

≡ [(∼ p∧ q) ∨ (∼ q ∧ q)] ∨ q

≡ [(∼ p∧ ∼ q) ∨ f ] ∨ q

≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ q

≡ ((∼ p∨ q) ∧ (∼ q ∨ q))

≡ (∼ p∨ q) ∧ v

≡ ∼ p∨ q

El resto de los ejemplos quedan de ejercicio para el lector.

1.5.2. Esquemas de razonamiento

Las leyes de inferencia nos ayuda a construir esquemas mentales que nos sirven para construir demostra-

ciones, es decir cada ley de inferencia es un esquema de razonamiento.

1.5.2.1. Método inductivo

El razonamiento inductivo es el proceso mediante el cual se obtienen conclusiones a partir de nuestras

propias observaciones o a partir de ejemplos particulares, es decir al observar que una acción o propiedad se

repite se concluye en general que esa acción o propiedad siempre es cierta

Es la conclusión que se obtiene a partir de un proceso inductivo

Término. 1.5. 2 Conjetura

Todas las proposiciones que tomamos como conjetura deben tener la forma de una implicación o de una

equivalencia, por tanto es necesario conocer las diferentes formas de representar una implicación.

Nota: Al utilizar el razonamiento inductivo debemos tener cuidado de no construir conjeturas o generali-

zaciones falsas, por lo siempre hay que tratar de encontrar casos donde no se cumpla la conjetura, en caso de

que no se consiga, no quiere decir que la conjetura es cierta, sólo nos indica que no hemos encontrado un

caso donde no se cumple. A continuación mostraremos un ejemplo para explicar paso a paso como podemos

obtener una conjetura a partir de una secuencia de casos o fenómenos. Aunque en ese ejemplo no trataremos

de verificar si la conjetura es siempre cierta, el objetivo es de aprender a construir conjeturas.

Antalcides Olivo 47

ii


ii

ii


Suponga que una persona mide los lados de cuatro triángulos como muestra la figura(1.4). Establezca una

conjetura sobre los lados de un triángulo

Ejemplo. 1.5. 1

Figura 1.4: Desigualdad triangular

A B0,77

C

0,770,59

D

E

0,76

F

0,75

0,58G

H

0,61

I

0,61

1,08

K

0,62J

L0,62

0,88

De acuerdo con la figura 1.4 tenemos que en ABC se tiene:

AC +AB = 1,54 > BC = 0,31 (1.1)

AB +BC = 1,36 > AC = 0,77 (1.2)

En el DEF se tiene que

DE +DF = 1,51 > EF = 0,58 (1.3)

DE +EF = 1,48 > AC = 0,75 (1.4)

En el IGH se tiene que

IG+GH = 1,22 > HI = 1,08 (1.5)

IG+ IH = 1,69 > GH = 0,61 (1.6)

En el JKL se tiene que

JK +KL = 1,29 > JL = 0,88 (1.7)

JK + JL = 1,50 > KL = 0,75 (1.8)

De los anteriores resultados , a pesar que los triángulos ABC, HIG y JKL son isósceles, podemos concluir.

" Que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo siempre es menor que la longitud de su tercer

lado"

Cuantificadores y otras formas de expresar la implicación

48 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


En algunos casos las condicionales, vienen expresadas de tal forma que cada proposición simple se puede

representar como un conjunto, por ejemplo

Los polígonos de cuatro lados son cuadriláteros. (1.9)

En este caso llamaremos Px = {x : x es un polígono} y Qx = {x : x es un cuadrilátero} y representamos la

proposición ((??)) como Px → Qx, pero a nosotros nos interesan son las implicaciones, por tanto veamos

cuando está proposición es verdadera. Para ello tomaremos otro conjunto Ux = {x : x es una figura plana}, a

este conjunto lo llamaremos universal o de referencia. Ahora realizaremos un diagrama de Venn mostrado en

la figura(1.5)

Ux

PxQx

x1

Px

Ux

x2

Qx

Diagrama 1 Diagrama 2

Figura 1.5: Proposiciones abiertas

Si tomamos un polígono, el cual representaremos con el símbolo x1, observamos en el diagrama 1 que x1

no está en el conjunto de los cuadriláteros, por tanto en este caso Px → Qx es falsa, mientras en el diagrama

2 tomaremos un polígono representado por x2 el cual está en Qx, por tanto Px → Qx es verdadera, de lo que

podemos concluir que para que Px → Qx sea una tautología debe cumplirse la relación.

Qx ⊆ Px

Para indicar que Px → Qx es una tautología utilizamos unos operadores lógicos de existencia, los cuales son:

* Existe algún: Se representa ∃x y se lee existe algún x.

* Para todo: se representa ∀x y se lee para todo x.

* Existe un único: Se representa ∃ !x y se lee existe uno y sólo un x.

* Ningún: Se representa ∼ ∃x y se lee no existe ningún x.

En nuestro caso la proposición quedaría:

∀x ∈ U , (px =⇒ qx)

De aquí en adelante el conjunto que representa a la proposición se representará con letras mayúsculas y las

proposiciones con letras minúsculas con la variable como subíndice:

Antalcides Olivo 49

ii


ii

ii


Analicemos nuevamente el diagrama 2 de la figura (1.5) Como, x2 está en el conjunto, entonces podemos

decir que P es condición suficiente para que x2 esté en el conjunto Q. En este sentido, se dice que px es

condición suficiente para qx. Además es claro que para que un elemento x2 esté en P se necesita que x2 esté

en en Q. De aquí que se diga que qx es condición necesaria para px. También se observa que un elemento x2

está en el conjunto Q si está en el conjunto P . Este análisis precedente sugiere otras maneras de expresar la

implicación

px =⇒ qx

éstas son:

1. px implica a qx

2. px es condición suficiente para qx

3. qx es condición necesaria para px

4. qx, si px

Negación de los cuantificadores

La regla general para construir la negación de una proposición abierta es la siguiente: Los ∀ se cambian

por o ∃ y los ∃ se cambian por ∀ y después se niega la proposición abierta.

La negación de la proposición se construye mecánicamente del mismo modo como se o a realiza la negación

de una proposición .

1.5.2.2. Método del contraejemplo

Hay ocasiones donde después de un razonamiento inductivo obtenemos una conjetura que no se cumple

para todos los casos, es decir obtenemos una generalización falsa, entonces para indicar que esa generalización

es falsa buscamos un ejemplo donde no se cumpla la acción o la propiedad.

Es el método que se usa para demostrar que una generalización es falsa, utilizando un ejemplo que la

contradiga.

Término. 1.5. 3 Contraejemplo

Nota: Los ejemplos sólo son validos para demostrar que una proposición es falsa, nunca demuestra que

una proposición es verdadera.

Si un cuadrilátero tiene sus diagonales perpendiculares, entonces es un rombo.

Ejemplo. 1.5. 2 Contraejemplo

50 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


Figura 1.6: Cometa

A

B

C

3,49

D

4,27

E

90◦

En el cuadrilátero podemos observar que AD = 6,29 y AC = 6 y por definición de rombo el cuadrilátero

ABCD no puede ser un rombo porque no tiene sus lados congruentes.

1.5.2.3. Razonamiento deductivo

El método deductivo consiste en partir de un número reducido de información (hipótesis) y mediante un

proceso lógico deducir otros conocimientos o proposiciones nuevas. Para profundizar y entender este método

explicaremos a continuación cuales son los procesos lógicos.

1.5.2.4. Prueba indirecta (Tollendo-tollens)

Es un razonamiento de la forma:

p −→ q

∼ q

∼ p

p→ q : Si dos rectas son paralelas, entonces no tienen puntos en común.

∼ q : Las rectas←→l1 y←→l2 tienen un punto en común.

∼ p : Las rectas←→l1 y←→l2 no son paralelas.

Ejemplo. 1.5. 3

Antalcides Olivo 51

ii


ii

ii


Como la condicional debe ser una implicación, entonces tenemos que para que ella sea una tautología, solo

existen dos posibilidades, que las dos proposiciones p y q tengan el mismo valor de verdad. Por tanto si q es

falsa se deduce que p también es falsa.

1.5.2.5. Modus ponendus ponens (Directa)

Este es un razonamiento de la forma:

p −→ q

p

p

La argumentación es la misma de la prueba indirectas decir para que p←→ q sea una implicación si p es

verdadera, se tiene que q también lo es.

p→ q : Si un triángulo tiene tres ángulos congruentes, entonces es equilátero.

p : El triángulo 4ABC tiene tres ángulos congruentes

q : El triangulo 4ABC es equilátero.

Ejemplo. 1.5. 4

1.5.2.6. Regla de la cadena

Este razonamiento es el más usado en matemáticas consiste en construir una cadena de implicaciones

partiendo de la hipótesis hasta obtener la conclusión y es de la forma:

p −→ r

r −→ q

p −→ q.

52 Antalcides Olivo

ii


ii

ii


p→ q : Si dos rectas son perpendiculares, entonces se intersecan.

q → r : Si dos rectas se intersecan, entonces no son paralelas.

p→ r : Si dos rectas son perpendiculares, entonces no son paralelas.

Ejemplo. 1.5. 5

Otra forma de interpretar este razonamiento es:

(p −→ r ∧ r −→ q) −→ (p −→ q) ,

mirándola de esta forma el razonamiento es equivalente si la conjunción es cierta entonces la conclusión

también lo es decir p −→ q es una tautología.

Sea ←→ED una mediatriz del segmento AB en el ABC, si el punto F es la intersección de lado AB y la

mediatriz, entonces AF ∼= FB.

Ejemplo. 1.5. 6

Figura 1.7: Regla de la cadena

A B

C

b

c d

F

E

D

Solución: Para demostrar que ésta proposición es una implicación vamos a utilizar el método de razona-

miento deductivo, de la siguiente manera:

Antalcides Olivo 53

ii


ii

ii


Figura 1.8: Solución

ED es mediatriz de AB F es el punto medio de AB

AF ∼= F B

Dato Definición de mediatrz

Definición de punto medio

La estructura para redactar una demostración que usaremos es la siguiente.

Prueba:

Afirmaciones Razones

1. ED es la mediatriz de AB Dado

2. F es punto medio de AB Definición de punto mediatriz

3. AF ∼= FB Definición de punto medio

Es decir en este ejemplo usamos la regla de la cadena.

1.5.2.7. Ley modus tollendo-ponens

Este razonamiento es de la forma:

p∨ q

∼ p

q.

1.5.2.8. Ley del silogismo disyuntivo

Es un razonamiento con la siguiente estructura

54 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

1.6. Problemas

p∨ q

p −→ r

q −→ s

r ∨ s.

Nota: Existen tres reglas básicas de validez que se aplican continuamente en una demostración.

Regla 1: las definiciones, los postulados y los teoremas demostrados pueden aparecer en cualquier paso de la

demostración.

Regla 2: las proposiciones equivalentes se pueden sustituir entre sí en cualquier parte de una demostración.

Regla 3: una proposición verdadera se puede introducir en cualquier punto de la demostración.

Nota: Antes de terminar la sección mostraremos, en la figura 1.9, como es el esquema que se debe

emplear en una demostración sin importar como la redactemos.

Figura 1.9: Esquema de una demostración

Términos no definidosDefinicionesPostuladosOtros teoremas

Hipótesis Razonamieto lógico Tesis

ConclusiónEsquemas derazonamiento

Problemas 1.6

1. Determine el valor de verdad de cada uno de lossiguientes enunciados:

a) Si 3 < 5, entonces −3 < −5.

b) Si 2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 7 si, y sólo si,1 + 1 = 4.

c)√

16 = 4, entonces 3 + 3 = 7 si, y sólo si,1 + 1 = 4.

d) 6 + 4 = 10 y√

2 ·√

2 = 2.

e)√

3 +√

2 =√

5y 4 + 4 = 8.

f ) 52 + 1 = 8 si, y sólo si, 5− 1 = 2.

2. Construya la tabla de verdad de:

a) (p→ q)→ (p∧ q) .

b) ∼ p→ (q → p) .

c) (p→ q) ∨ [∼ (p←→∼ q)] .

d) [(p→ q) ∧ p]→ q.

3. Determine en cada caso si la proposición es contin-gencia, falacia o tautología.

a) [(p∧ q) ∧ p]→ q.

b) [(p∧ q) ∧ s]←→ [p∧ (q ∧ s)] .

4. Construya la tabla de verdad para verificar si soncierto los siguientes enunciados:

a) [(p∨ q)∧ ∼ p] ≡ (∼ p∨ q) .

b) [p∨ (p∧ q)] ≡ p.

c) {[∼ (p∨ q)] ∨ (∼ p∧ q)} ≡∼ p.

Antalcides Olivo 55

ii


ii

ii


5. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son igua-les y entre cuáles se puede establecer una relación decontenencia.

a) A = {economıa, mercadotecnia, contadurıa} .

b) B = {cebada, trigo ajojolı} .

c) C = {x : xes una ciudad de Latinoamérica} .

d) D = {mercadotecnia} .

e) F = {2, 4, 6, 8} .

f ) E = {Quito, Cali, Caracas} .

g) G = {banano, cafe trigo, cebada} .

h) H = {x : xes un numero par menor que 10} .

i) J = {x : x es un numero dígito}

6. En el siguiente ejercicio escriba todos lo subconjun-tos del conjunto dado. ¿Cuáles son los subconjuntospropios?

a) {2, 9} .

b) {{2} , 9} .

c) {∅, {1} , 1}

d) {} .

7. Dados: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , A =

{1, 3, 6, 810} , B = {2, 4, 5, 6, 8} y C = {1, 4, 6, 10}hagaun diagrama de Venn para representar los conjuntosdados.

8. Sea A = {∅, {1, 2} , {1} , {∅} , 1, {2}} ¿Cuáles de lassiguientes afirmaciones son ciertas y por qué?

a) 1 ∈ A.

b) 2 ∈ A.

c) 2 ⊂ A.

d) {2} ∈ A.

e) {2} ⊂ A.

f ) ∅ ⊂ A y ∅ ⊂ A.

g) 1 ∈ A y {1} ∈ A.

h) {1, 2} ⊂ A.

9. Sean A = {−1, 0, 1, 2}y B = {0, 1, 2, 3, 4} indicar cua-les de los siguientes conjuntos son funciones de A enB.

a) R1 ={(x, y) ∈ A×B : y = x2

}b) R2 = {(x, y) ∈ A×B : y = x+ 1}

c) R3 = {(x, y) ∈ A×B : |y| = |x|}

d) R4 ={(x, y) ∈ A×B : y2 = x

}e) R5 = {(−1, 2) , (2, 3) , (0, 4) , (1, 1)}

f ) R6 = {(2, 4) , (1, 0) , (−1, 3)}

g) R7 = {(−1, 2) , (0, 2) , (1, 2) , (2, 2)}

h) R8 = {(1, y) : y ∈ B}

Justifique su respuesta.

10. Sean A = {−2,−1, 0, 1, 2} y IN , IR los conjuntos delos números naturales y reales respectivamente. Re-presentar en el plano cartesiano, usando coordenadasrectángulares los siguientes conjuntos

a)f : A → IN

x 7→ y = |x|+ 1

b)g : IR → IR

x 7→ −x+ 1

Indique cuales gráficos representan una función.

11. Sean A = {1, 2}y B = {1, 2, 3, 4} indique si el conjun-

tof : A×B → B

(x, y) 7→ z = f ((x, y)) = x+ y

es una función.

12. En los incisos del a) al e), escriba las proposicionescomo implicaciones, luego decida si es falso o verda-dero

a) Hipótesis p : Un hombre vive en Barranquilla,Conclusión q : Vive en Antioquía.

b) Hipótesis p : Algunas manzanas son rojas,Conclusión q : Los caballos tienen cuatro pa-tas.

c) Hipótesis p : Dos rectas se intersecan, Conclu-sión q : Las dos rectas no son paralelas.

d) Conclusión q : Dos rectas son perpendiculares,Hipótesis p : Las rectas se intersecan.

e) Hipótesis p : Dos ángulos tienen la misma me-dida, Conclusión q : Los ángulos son congruen-tes.

13. Analice la siguiente conjetura: Si un triángulotiene un ángulo recto, tiene dos lados congruentes.Comentario: Para demostrar que la conjetura esfalsa, debe presentar un contraejemplo, para explicarque es verdadera use las definiciones.

14. Demuestre la siguiente conjetura: Si dos ángulos soncongruentes sus complementos son congruentes.

15. En los incisos del a) al e) identifique la hipótesis y laconclusión y determine si es una implicación.

a) un número es par si termina en 4.

b) Dos rectas son perpendiculares si forman unángulo recto.

c) Un triángulo con dos lados congruentes, tienelos tres ángulos congruentes,

d) Si Un número es impar, termina en cinco.

56 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

1.6. Problemas

e) Una recta que biseca un segmento contiene supunto medio.

16. Formule la recíproca, contraria y contra-reciproca ,de las siguientes proposiciones.

a) Si una persona camina se acalora.

b) Si dos rectas se intersecan, son paralelas.

c) Si una persona es adinerada, entonces puedeviajar.

d) si a = 0 y b = 0, entonces a.b = 0, para todo ay b reales.

e) Si un polinomio es un triángulo, entonces unaregión plana.

f ) Dos planos paralelos si intersecan.

17. Determine en cada inciso si la proposición representauna equivalencia, en caso de no ser lo encuentre uncontra ejemplo.

a) Un triángulo tiene sus lados congruentes si ysólo si tiene sus ángulos interiores congruentes.

b) Un ángulo es recto si y sólo si es congruente auno que tiene medida igual a 90◦.

c) Dos rectas son paralelas si y solo si no se inter-secan.

d) Un cuadrilátero tiene sus lados opuestos para-lelos, si y sólo si un par de lados opuestos soncongruentes.

e) Dos ángulos son complementarios si y sólo si lasuma de sus mediadas es igual a 90◦

18. Incluya la información omitida para formular un es-quema de razonamiento correcto, además indique quetipo de prueba se esta realizando.

a)

p =⇒ q : Dos rectas perpendiculares se intersecan.

q =⇒ r : Las rectas no son paralelas

ni se intersecan.

b)

p =⇒ q : Si dos rectas son paralelas no

se intersecan.

∼ q : Las rectas no se intersecan.

c)

p =⇒ q : Si un punto está en la mediatriz de un

segmento, entonces equidista de sus

extremos.

El punto no está en la mediatriz.

d)p : ∠ABC mide más de 90◦

El ∠ABC es un ángulo obtuso

e)∼ q : La temperatura aumenta.

No llovió.

19. Compruebe la validez de cada uno de los siguientesargumentos:

Si trabajo no puedo tomar clases de música

trabajo o apruebo biología

aprobé biología.

Por tanto, tome clases de biología.

20. Compruebe la validez de cada uno de los siguientesargumentos:

Julio César, que siempre dice la verdad, le ha contadoa su amigo Iván lo siguiente:

”Me gusta Liliana o Victoria, pero no ambas. Además,si me gustara Liliana, me gustaría también Victoría”.¿ Quién le gusta realmenta a Julio César?

21. Probar la veracidad de la implicación

Si ab = 0, entonces a = 0 ∨ b = 0,

es equivalente a probar la veracidad de la implicación

Si ab = 0 ∧ a 6= 0, entonces b = 0.

22. Determine el valor de verdad de la siguiente afirma-ción. Si es falsa, dé un contraejemplo:

“Si AB ∼= BC, entonces B es el punto medio de AC”.

23. ¿Será condición suficiente que x2 = 81 par que x = 9?

Antalcides Olivo 57

ii


ii

ii


24. Dada la proposición “Una condición necesaria paraque B sea el punto medio de AC es que B está entrelos punto A y C”.

a) Escríbala de la forma si..., entonces... sin alterarsu significado y obtenga su valor de verdad.

b) Escríba el condicional en términos de condiciónsuficiente.

c) Haga el recíproco del condicional y determine suvalor de verdad. Si es falsa, dé un contraejemplo.

25. Dada la proposición “Si ab = 0, entonces a = 0 ob = 0”, escriba su recíproca, su contraria y su con-trarecíproca. Además determine sus correspondientesvalores de verdad.

26. ¿ Es posible que existan dos recta que no se interse-can y están en planos diferentes? Si la respuesta esafirmativa, dé un ejemplo.

27. Tomando como conjunto universal el conjunto de losnúmeros reales, determine si las proposiciones px :

x2 − 4 = 0 y qx : (x− 2) (x+ 2) = 0 son equivalentes.Argumente su respuesta.

28. Complete los siguientes esquemas de razonamiento:

a)

: Si un número entero termina en dos,

entonceses par.

: 32 es un entero que termina en dos.

: ......

b)

: Si dos tectas son paralelas,

entonces están en un

mismo plano y no se intersecan.

: .........

: Las rectas←→l1 y←→l2 no son paralelas.

c) : Dos rectas perpendiculares se

intersecan.

: Las rectas no son paralelas, si se

intersecan.

: ........

29. Demuestre que si x e y son enteros impares, entoncesxy también es un entero impar.

30. Haga una demostración por reducción al absurdo delsiguiente teorema: Si x2 es un entero par, entonces xes par. Sugerencia: Utilice el ejercicio anterior.

31. Siendo p : los precios son bajos y q : los precios nosuben, escribir en lenguaje corriente las siguientesexpresiones simbólicas :

a) ∼ q

b) p∧ q

c) p∧ ∼ q

d) ∼ p∧ ∼ q

e) ∼ (p∧ ∼ q)

32. Sean p : tengo un loro y q : tengo un gato, escribir enlenguaje corriente y luego simplificar,

∼ (∼ p∨ ∼ q)∧ ∼ (∼ p)

33. Pruebe que:

a) (p∧ q)⇔∼ (p→∼ q)

b) [p→ (q ∨ r)]⇔ [(p∧ ∼ q)→ r]

34. Pruebe que:

a) [(a→ b) ∧ (b→ c)]⇒ (a→ c)

b) (a→ b)⇒ [(c∨ a)→ (c∨ b)]

35. Siendo p y q proposiciones cualesquiera, la proposición,(p→ q)↔ [(p∨ q)↔ q] ,

a) ¿Es siempre verdadera?

b) ¿Es verdadera si y sólo si p lo es?

c) ¿Es verdadera si y sólo si q es falsa?

d) ¿Es verdadera si y sólo si p y q lo son?

36. Pruebe, sin hacer uso de tablas de verdad, que:

a) p∧ ∼ q → r ≡∼ p∨ (q ∨ r)

b) [(p∧ q) ∨ r]∧ ∼ q ≡ (r∧ ∼ q)

37. ¿ Cuál es la relación que existe entre las proposicionessiguientes?

p→ [p∧ ∼ (q ∨ r)] y ∼ p∨ (∼ q∧ ∼ r)

58 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

1.6. Problemas

38. Se define 4 como la conjunción negativa, es decir,p4q se lee ni p ni o q.

a) Construya la tabla de verdad de p4q.

b) Pruebe que:

1) ∼ p ≡ p4p

2) p∨ q ≡ (p4q)4 (p4q)

3) p∧ q ≡ (p4p)4 (q4q)

4) (p↔ q)∧ ∼ (p∧ q) ≡ p4q

39. Simplifique la expresión:

[∼ q ∨ (∼ q ↔ p)]→ q

40. Simplifique las siguientes expresiones

a) ∼ (p∨ q)→ (∼ p∧ ∼ q)

b) [(p∧ q) ∨ r]∧ ∼ p

c) [(p→ q)→ q]→ (p∨ q)

41. Sea A = 1, 2, 3, 4 el conjunto universal. Determinar elvalor de verdad de cada enunciado:

a) ∀x : x+ 3 < 6

b) ∀x : x2 − 10 ≤ 8

c) ∃x : 2x2 + x = 15

d) ∃x : x2 > 1→ x+ 2 = 0

42. Negar los siguientes enunciados

a) [∃y ∈ U : p (y)]→ [∀x ∈ U : (∼ q (x))]

b) [∃x ∈ U : (∼ p (x))] ∨ [∀x ∈ U : q (x)]

c) ∃x∀y ∈ U :[(p (x, y)→ q (x, y))]

43. Exprese en forma simbólica y niegue las siguientesproposiciones, utilizando el cuantificador adecuado:

a) Existen enteros tale que x2 − 1 = 0.

b) Ningún conjunto es subconjunto del vacío.

c) −5 es un número racional.

d) A todos los alumnos de secundaria les gustaFacebook.

e) En todos los números naturales x, −x es menorque cero.

f ) Existe un número de la forma abtal que a

b− 1

es negativo.

g) Algunos mamíferos son acuáticos.

44. Niegue la siguiente proposición [(p∨ q) ∧ r] →[s∨ (q ∧ t)].

45. Se sabe que: Si Pedro no es alumno de la U.A. o Juan

es alumno de la U.A., entonces Juan es alumno de laU. Costa. Si Pedro es alumno de la U.A. y Juan no

es alumno de la U. A., entonces Juan es alumno de laU.Costa. Se desea saber en que universidad estudia

Juan.

46. Negar la siguiente expresión:

(∀ε > 0) (∃δ > 0) (0 < |x− x0| < δ ∨ |f (x)− l| < ε)

47. A partir del álgebra proposicional, demostrar la vali-dez del siguiente a argumento: Si 2 es par, entonces 5

no es divisor de 9 por otra parte 11 no es primo o 5es divisor de 9. Además, 11 es primo. Por tanto, 2 esimpar.

48. Demuestre:

a) p Y q ≡ (p∨ q)∧ ∼ (p∧ q)

b) ∼ [p→∼ (qY ∼ p)]↔ (p∧ q)

49. Siendo p : José es estudioso y q : Juan es estudioso,escribir en forma e simbólica:

a) José es estudioso y Juan no es estudioso.

b) José no es estudioso y Juan es estudioso.

c) José y Juan, no son estudiosos.

d) No es cierto que Juan o José sean estudiosos.

50. En cual de sus significados está “o”(no excluyente)en las siguientes a proposiciones:

a) a) Si ganase mucho dinero o ganara la lotería,haría un viaje.

b) El lunes iré a la estación de trenes o al terminalde buses.

c) x = 3 ó x = 2

51. Verificar, utilizando tablas de verdad, cuáles de lassiguientes proposiciones son equivalentes:

a) pY ∼ q;

b) ∼ p∨ q;

c) (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p∨ q) ;

d) (p∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) ;

52. Encuentre el valor de verdad de

[∼ (p→ q) ∧ (∼ p∧ q)] ∨ (r →∼ p)

si p : el número e es par, q ≡ f y r : los gatos tienen

5 patas

Antalcides Olivo 59

ii


ii

ii


53. Construya las tablas de verdad de las siguientes pro-posiciones:

a) [(p→ q)→ (q → p)]↔ (p∨ ∼ q)

b) p Y (q ∨ r)

c) ∼ (∼ p↔ q)

d) ∼ (∼ q ↔ p)

e) (p∧ ∼ q)→ (∼ p∨ q)

f ) [p∧ (∼ q → p)] ∧ [(p↔∼ q)→ (q∨ ∼ p)]

54. Pruebe que son tautologías:

a) [p∨ (p∧ q)↔ p]

b) (p∧ q)→∼ (∼ p∧ ∼ q)

c) q → (p→ q)

d) (p∧ q)→ r ↔ (p→ r) ∨ (q → r)

e) p→ [q → (p∧ q)]

f ) ((p→ (q ∧ r)))↔ ((p→ q) ∧ (p→ r))

g) [p∨ (p∧ q)]↔ p

55. Probar las siguientes equivalencias:

a) p Y (q Y r) ≡ (p Y q) Y r

b) p∧ (q Y r) ≡ (p∧ v) Y (p∧ r)

c) p∨ q ≡ (p Y q) Y (p∧ q)

d) p∧ q ≡ p Y (p∧ ∼ q)

e) p∧ (p∨ q) ≡ p

f ) ∼ (p∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q

g) p∧ (q ∨ r) ≡ (p∧ q) ∨ (p∧ r)

56. Averiguar si son equivalentes las proposiciones: (p∧

q)→ r y (p→ r) ∧ (q → r)

57. Encuentre el valor de verdad de: [(p→ q) ∨ (∼ p∧ q)]∧(r → q)si

a) p es v, q es v, r es f

b) p, r son f , q es v

c) p es f , q es f y r es f

d) si todas son verdaderas

58. Simplificar las siguientes proposiciones:

a) p∧(q∧ ∼ p)

b) (p∧ q) ∨ p

c) (p→ q) ∨∼p

d) (p→ q) ∨ q

e) (p→ q) ∧ p

f ) (p→ q)→ p

g) (p→∼ q) ∨ q

h) p∧ ∼ (q → p)

i) [p∨ (q ↔∼ p)]→∼ q

j) [∼ (p→ q) ∧ (∼ p∧ q)] ∨ [r → (p∨ r)]

k) ∼ p∧ (q ∧ p)

l) {p→ (∼ p∨ r)} ∧ {r →∼ p}

m) {∼ (p→ q)→∼ (q → p)} ∧ (p∨ q)

59. Derive a partir de las equivalencias básicas, las si-guientes equivalencias:

a) ((p∧ q)→ r) ≡ ((p→ r) ∨ (q → r))

b) ((p→ q) ∧ q)→∼ p ≡ q →∼ p

60. Demostrar sin el uso de tablas de verdad:

a) p∨ (p∧ q) ≡ p

b) p∧ (p∨ q) ≡ p

c) ∼ (p∨ q) ∨ (∼ p∧ q) ≡∼ p

d) ∼ (p→∼ q)↔ (p∧ q)

e) (p∧ ∼ q)→ r ≡∼ p∨ (q ∨ r)

f ) [{(p→ q) ∧ (p→ t)} ∨ {(r → q) ∧ (r → t)}] ≡[(p∧ r)→ (q ∧ t)]

61. Exprese en símbolos lógicos y después niegue las si-guientes oraciones:

a) Todo múltiplo de 4 es número primo.

b) Si 2 es par entonces todos los números son pares.

c) Todo número mayor que 2 es la suma de dosnúmeros primos.

62. Sea A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Escribir en símbolos y averi-guar el valor de verdad de:

a) Hay un elemento que es mayor que todos.

b) Existe un único elemento cuyocuadrado es 4.

c) Para todos los elementos de A, sea x el elementoque sumado 1 unidad, siempre es mayor que ceroentonces su cuadrado es menor que 35.

d) Para cada elemento existe otro que es menor oigual qué él

63. Si las proposiciones a y b son tales que la proposición∼ (a ∧ b) → (a ∨ b) o es verdadera, determinar elvalor de verdad de (a∧ b) ∨ (a∨ b).

64. Sea A = 1, 2, 3, 4, 5. Negar hallar el valor de verdadde los siguientes enunciados

a) (∃x ∈ A)(x+ 3 = 10)

b) ∀x ∈ A)(x+ 3 < 10)

c) (∃x ∈ A)(x+ 3 < 5)

d) (∀x ∈ A)(x+ 3 ≤ 7)

e) (∃!x ∈ A)(x2−3x+ 2 = 0)

60 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

1.6. Problemas

65. Si el conjunto universal es conjunto de los númerosnaturales. Escribir en símbolos las siguientes expre-siones.

a) ) Todo número es mayor o igual que sí mismo.

b) Si el número x es menor que y, entonces no esmayor que 9.

c) Cualquier x sumado con algún número resultax.

d) El producto de x con y es mayor que x, y mayorque y.

66. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdade-ras?

a) Si p ∨ q ≡ F entonces [∼ (∼ q → p)∧ ∼ p] esuna tautología.

b) Es suficiente que p Y q sea falsa para que p y qsean equivalentes.

c) No es necesario que p sea verdadera y q sea falsapara que [p∨ (q∧ ∼ p)]∧ ∼ q sea verdadero.

67. Demuestre las siguientes equivalencias sin uso de ta-blas de verdad.

a) (p→ q) ≡ (p∧ ∼ q)→ q

b) (p↔ q) ≡ (∼ p↔∼ q)

c) p→ (q ∧ r) ≡ (p→ q) ∧ (p→ r)

d) (p∧ q)→ r ≡ (p∧ ∼ ∼r)→∼ q

e) p→ (p∧ ∼ (q ∨ r)) ≡∼ p∨ (∼ q∧ ∼ r)

f ) [(∼ p∨ q) ∨ (∼ r∧ ∼ p)] ≡ (q∨ ∼ p)

68. Indique en cuáles de los siguientes casos p es condiciónsuficiente para q; y en cuáles p es condición necesariay suficiente para q.

a) p : A es múltiplo de 4, q : Aes número par

b) p: A y B son pares, q: A+B es par.

69. Si las proposiciones compuestas

a) p↔ (∼ q∨ ∼ r) y

b) ∼ p∨ q son siempre verdaderas. Demuestre quela proposición [∼ r ∧ (p∨ s)]→ s∨ q es tambiénverdadera.

70. Negar las siguientes afirmaciones:

a) (∀x∃y ∈ IR) (x+ y = 5→ y = −x)

b) (∀x∀y ∈ IR) [(x + y es impar) → (x es impar ∨y es impar)]

c) (∃x∀y ∈ IR) (x < y ∧ x2 ≥ y)

d) (∃z∀y∀x ∈ IR) (x < y → x+ z = y)

71. Averiguar el valor de verdad siendo U = IR.

a) (x ∈ IR) (x < 0→ x < 3)

b) (∃x∈IR)(x2 ≥ 0→ x4 = x3)

c) (∀x∈IR, ∃y∈IR) (x2 + y2 = 1)

d) (∀x∈IR, ∀y∈IR) (y < x→ 2y < 10)

72. Dada la proposición, 8 no es impar divisible por 2,porque 9 no es o múltiplo de 3.Niegue la proposicióny Determine su valor de verdad .

73. Dadas las proposiciones abiertas p(x) : x2 ≥ x yq(x) : x ≥ 0. Determine el valor de verdad de lassiguientes proposiciones:

a) [p( 112 )→ q(1)]→ [p(x) ∧ q(x)]

b) ∀x∈IR : ∼p(x)→ ∼q(x)

74. Si la proposición (p ∧ ∼q) → (∼r → ∼t) es falsa,determine el valor o de verdad de la proposición(p∧ t)→ (r ∨ q)→ (u↔ v).

75. Demostrar:

a) Si n es par y m es impar, entonces (n+m) esimpar, n,m∈IN).

b) Si xy = 0 entonces x = 0∨ y = 0.

c) Si ab es impar, entonces a es par y b es impar.

76. Determine el valor de verdad de las siguientes propo-siciones:

a) ∀x∈IR : x2 ≥ x

b) ∃x∈IR : 2x = x

c) ∀x∈IR : 2x−14x−2 = 12

d) ∃x∈IR : x2 + 2x+ 1 ≤ 0

e) ∀x∈IR : −x2 + 4x−5 > 0

Antalcides Olivo 61

ii


ii

ii

ii


ii

ii

2 Teoría de conjuntos y sistemas numéricos

Contenido Capítulo 2 Página

2.1 Introducción 2

2.1.1 Un poco de historia 2

2.1.2 Teoría intuitiva de conjuntos 2

2.2 Relaciones y axiomas en la teoría de conjuntos 7

2.3 Operaciones entre conjuntos 10

2.4 Representación de conjuntos 12

2.5 Propiedades De los conjuntos 12

2.6 Problemas 12

* Interpreta correctamente los conceptos de conjunto y elemento.

* Argumenta los procedimientos para realizar operaciones entre conjuntos .

* Maneja con criterio las operaciones y sus propiedades en los diferentes sistemas numéricos.

Objetivos

* Identifica conjuntos.

* Clasifica conjuntos.

* Realiza operaciones entre conjuntos.

* Clasifica los conjuntos numéricos.

* Realiza operaciones aritméticas en los diferentes conjuntos numéricos.

* Aplica correctamente las propiedades de las operaciones definidas en los conjuntos numéricos

Indicadores de Logros

1

ii


ii

ii

Capítulo 2. Teoría de conjuntos y sistemas numéricos

2.1 IntroducciónLa teoría de conjuntos, es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento

formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operaciónde contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En suforma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras yprecisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.

2.1.1. Un poco de historiaEn el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de las matemáticas que las ligaría desde

entonces a la historia de la lógica.Primero, Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar la lógica como parte de las

matemáticas.Poco después Gottlob Frege (1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der

Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de la lógica, G. Cantor se habíaadelantado a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética.

Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no esnumerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantorcreó una nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos.

Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos.Desde entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse

estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas.Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra

percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”.Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar.En 1903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto

en la teoría de Cantor.Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von

Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual.Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas, es además, la teoría matemática

dónde fundamentar la aritmética y el resto de teorías matemáticas.Es también indiscutible que es una parte de la lógica y en particular una parte de la lógica de predicados.En esta historia cruzada de las matemáticas, la lógica y los fundamentos de ambas, la teoría de conjuntos permitiría por un

lado una fundación logicista de las matemáticas; pero por otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticasproporciona el metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas. Finalmente, puede ser completamente expresada enun lenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse losresultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer orden.

2.1.2. Teoría intuitiva de conjuntosLa definición inicial de Cantor es totalmente intuitiva:

un conjunto es cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos de nuestra percepción o nuestro pensamiento(objetos x que se denominan elementos de C), reunidos en un todo.

Definición. 2.1. 1 Conjunto según Cantor

2 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

2.1. Introducción

Igual que en Frege su idea de lo que es un conjunto coincide con la extensión de un predicado (la colección de objetos quesatisface el predicado). Esta idea sencilla y tan intuitiva resulta ser también ingenua porque produce enormes contradicciones deinmediato, como por ejemplo la paradoja de Russell.

Para poder mostrarlo es necesario empezar por formalizar esta teoría intuitiva que, aparte de los símbolos para los conjuntosy sus elementos (x, C, etc.), tendrá los símbolos de pertenencia, ∈ e igualdad = (de los objetos del lenguaje formal).

Que x es un elemento del conjunto C se expresa “ x pertenece a C” o bien x ∈ C.Que x no es un elemento de C se expresa “ x no pertenece a C” o bien x /∈ C.Tendremos en cuenta que no es necesario denotar siempre con mayúsculas a los conjuntos y con minúsculas a sus elementos,

ya que un conjunto puede ser a su vez un elemento de otro conjunto e incluso podemos considerar que en nuestra teoría no hayobjetos que no sean conjuntos.

El problema ahora el el siguiente:¿Cómo se determina una colección?De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto queda definido si es posible describir completamente sus

elementos.

* El procedimiento mas sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos, esta descripción se llama definiciónpor extensión; es conocida la notación de encerrar entre llaves los elementos del conjunto.

1. A = a, b, c. Donde A es el conjunto formado por la colección de objetos a, b y c.

2. B = {⊕,,⊗,�,�} Donde B es el conjunto formado exactamente por esos cinco círculos. Entonces es cierto queb ∈ A y que ⊕ ∈ B.

Ejemplos. 2.1. 1 Listar un conjunto

El inconveniente para este método de listado o enumeración de los elementos del conjunto es que éstos deben poseer unnúmero finito de elementos y, en la práctica, un número muy pequeño.

¿Entonces qué hacer cuando la colección es infinita, o cuando es finita pero numerosa?

* Cuando el número de elementos del conjunto es infinito (como el de los número impares) o demasiado numeroso (como elde todas las palabras que pueden formarse con el alfabeto latino) se utiliza el método de definición por extensión, queconsiste en la descripción de un conjunto como la extensión de un predicado, esto es, mediante una o varias propiedades(el predicado) que caracterizan a los elementos de ese conjunto.

En principio podría tomarse cualquier lengua natural para describir los objetos (español, inglés, italiano, vasco, catalán,etc), sin embargo es preferible utilizar un lenguaje formal que ofrezca rigor y precisión.

Dicho lenguaje debe ser suficientemente rico; esto es, lo suficientemente expresivo como para poder describir todas lascolecciones matemáticas. Pero también lo suficientemente restrictivo como para limitarse a sólo las colecciones de objetosmatemáticos.

Para expresar predicados utilizaremos el lenguaje formal de la la lógica de predicados de primer orden (el lenguaje dela lógica de proposiciones con los símbolos lógicos de las conectivas ∼,∧,∨,→,↔ más los cuantificadores universal ∀ yexistencial ∃) al que se añade variables, igualdad y el relator binario de pertenencia.

Este lenguaje puede ser ampliado con los símbolos propios de las operaciones, relaciones o funciones del lenguaje específicode teoría de conjuntos.

En la primera parte, al presentar la Teoría básica de conjuntos, utilizaremos con frecuencia el lenguaje natural paradescribir propiedades.

Estas propiedades pueden ser aritméticas (>,<, /, etc.) o matemáticas en general, pero también pueden ser propiedadesexpresadas en lenguaje natural (nombres, verbos,...) que describan colecciones no estrictamente matemáticas.

Antalcides Olivo 3

ii


ii

ii


1. C = x ∈ IN/0 < x < 230000∧ 2/x, donde IN es el conjunto de los números naturales con la ordenación habitual, <significa “menor que” y 2/x significa que “2 divide a x”.

2. D = {x/x es una palabra de 2 letras del alfabeto griego (pueden estar repetidas)}

3. E = x/P2(x) ∨ P3(x) ∨ · · · ∨ P10(x) . Donde Pi(x) significa “x es una palabra dei letras del alfabeto griego (puedenestar repetidas).

Ejemplos. 2.1. 2 Descripción de un conjunto por extensión

2.1.2.1. Problemas en la teoría intuitiva de conjuntos: la paradoja de Russell 1

Pero la definición intuitiva de conjunto como el de una colección de objetos ‘describible’ por un predicado conduceinevitablemente a ciertas contradicciones que se llaman paradojas, la más célebre es la conocida como paradoja de Russell:

Consideremos el conjunto A = x : x /∈ x, descrito mediante el predicado del lenguaje formal x /∈ x .Obviamente, para cualquier b, b ∈ A si y sólo si b /∈ b. Es decir, está en A cuando verifica las condiciones que definen a A.

Pero, ¿qué sucede con el propio A?Evidentemente, A ∈ A si y sólo si A /∈ A. Pero este resultado es contradictorio. En vano se debe intentar descubrir un error

en el razonamiento, más bien parece que el problema proviene de admitir expresiones como A ∈ A (o conjuntos como el conjuntode todos los conjuntos que produce también paradojas). Se ha visto claramente que el concepto de conjunto no es tan sencillo yque identificarlo sin mayor investigación con el de colección resulta problemático. Para evitar la paradoja de Russell, y otrasde esta naturaleza, es necesario tener más cuidado en la definición de conjunto, lo veremos en lo que sigue. Otras paradojas,de hecho las primeras en descubrirse, afectaban a colecciones grandes, como por ejemplo la de los ordinales, o la de todos losconjuntos. entonces estas colecciones no podrían ser conjuntos.

2.1.2.2. Solución de las paradojas

Una solución radical al problema de las paradojas es la propuesta en 1903 por Russell, su Teoría de Tipos.Observa que en todas las paradojas conocidas hay una componente de reflexividad, de circularidad. Técnicamente se evitan

las paradojas al eliminar del lenguaje las formaciones circulares.Se reconoce que nuestro universo matemático no es plano, sino jerarquizado, por niveles, y que el lenguaje más adecuado

para hablar de un universo debe tener diversos tipos de variables que correspondan a cada nivel; en particular, la relación depertenencia se dá entre objetos de distinto nivel.

En 1908 Zermelo da como solución la definición axiomática de la Teoría de Conjuntos, refinada más tarde por Fraenkel,Skolem, von Neumann y otros. En esta teoría se evita que las colecciones que llevaban a las paradojas puedan ser conjuntos.De hecho, en la solución de Zermelo-Fraenkel, una colección de objetos será un conjunto si los axiomas la respaldan. Dichosaxiomas permiten formar conjuntos a partir de conjuntos previamente construídos y postulan la existencia del Ø y de al menosun conjunto infinito. Sin embargo, en la solución de von Neumann se admiten colecciones que no son conjuntos, las denominadasclases últimas.

Se definen clases mediante propiedades, sin restricción, pero habrá que mostrar que se trata de conjuntos viendo quepertenecen a alguna clase. Las clases últimas, como la clase universal o la de los ordinales, no pertenecen a ninguna otra clase.

2.1.2.3. El Universo matemático

La idea intuitivamente más fructífera y también la más extendida es nuestro universo matemático, esto es, el que contienetodas las colecciones de objetos matemáticos, pero solamente los objetos matemáticos constituyen una jerarquía de conjuntos, ladenominada Jerarquía de Zermelo.

1La paradoja original era sobre el barbero de un pueblo que afeitaba a todos los del pueblo que no se afeitaban a sí mismos:¿Se afeita entonces el barbero a sí mismo?

4 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

2.1. Introducción

En la construcción de los conjuntos que formarán la jerarquía se parte de una colección inicial M0 de objetos dados y acontinuación se construye una colección M1 de conjuntos de elementos de M0 , después una colección M2 de conjuntos de objetosde M0 y M1 , etc. ??, el universo de conjuntos construídos es una jerarquía.

Para proporcionar mayor precisión debemos responder a las preguntas siguientes:

1. ¿Cual será nuestra colección de partida, ?M0

2. ¿Qué conjuntos de objetos de niveles inferiores se toman para formar nuevos niveles en la jerarquía?

3. ¿Hasta dónde se extiende esta jerarquía?.

Para responder a la primera pregunta debemos considerar si nos interesa tomar objetos que no sean conjuntos o si nos basta conpartir de un primer nivel que sea sencillamente el conjunto ∅.

Está claro que se toman sólo objetos matemáticos, pero habrá que ver que es suficiente y que podremos finalmente contar enla jerarquía con todos los objetos matemáticos.

Una respuesta a la segunda pregunta que parece razonable es, al ir tomando nuevos conjuntos, que éstos se puedan describircon nuestro lenguaje. Al tomar esta opción formamos la Jerarquía de conjuntos que se pueden construir. Otra posibilidad estomar como objetos de un nuevo nivel a todos los posibles. Veremos que esta es la opción de Zermelo.

Finalmente, la tercera de las preguntas es hasta donde se extiende la jerarquía.La respuesta es que la jerarquía de conjuntos no tiene fin, siempre se pueden construir nuevos niveles. Para precisar un poco

más esta imagen intuitiva de nuestro Universo matemático es conveniente contar con algunas nociones de teoría de conjuntosbásica y con el concepto de ordinal.

2.1.2.4. Teoría axiomática de conjuntos

Recordemos los componentes de una teoría axiomática:

1. El lenguaje o símbolos formales de la teoría.

2. Los axiomas, que son proposiciones acerca de los objetos de la teoría y que imponen el funcionamiento de dichos objetos.

3. Los teoremas, que son todas las proposiciones demostrables con herramientas lógicas a partir de los axiomas.

En la teoría de conjuntos axiomática de Zermelo Fraenkel se usará el lenguaje formal de la lógica de predicados de primer orden.Las variables de dicho lenguaje formal se referirán a conjuntos; es decir, en la interpretación usual todos los objetos son

conjuntos.Es decir, existir será sinónimo de ser un conjunto.El lenguaje básico sólo tiene el relator binario de pertenencia, pero se extiende, mediante definiciones pertinentes, para dar

cabida a operaciones.Los conceptos primitivos de esta teoría son el de conjunto y el de pertenencia.En realidad la mayoría de los axiomas sirven para garantizar la existencia de los conjuntos que nos interesa tener.Por ello la idea de construcción es esencial en la teoría axiomática de Zermelo-Fraenkel (que notaremos ZF). En la teoría

axiomática de conjuntos se respeta la idea fundamental de aceptar que una colección de objetos pueda ser un conjunto, pero seimpone la condición de que todos los objetos de una colección deben haberse formado antes de definir dicha colección, y de estamanera se evitarán los problemas que conducen a las paradojas.

Uno de los axiomas de la teoría (se verá más adelante) impondrá esta restricción: ”Si X es un conjunto ya construido existeun conjunto Y formado por los elementos de X que satisfacen un predicado P que los describe (o lo que es lo mismo, una fórmulacon al menos una variable libre)”. Así un predicado describirá un conjunto sólo si los objetos han sido ya construidos (son de otroconjunto X) y además satisfacen el predicado. Con esta restricción a la definición de conjunto de Cantor desaparece la paradojade Rusell ya que para que A = x : x /∈ x sea un conjunto se debería tener un conjunto X a partir del cual construirse; es decir,A = x ∈ X : x /∈ x. ¿Cómo se resuelve la paradoja?

Al construirse a partir de un conjunto ya construido desaparece el problema. Ahora, para cualquier b se verifica: b ∈ A si ysólo si b ∈ X y b /∈ b. En realidad, puesto que la condición b /∈ b la cumplen todos, A será el propio X. Además, es imposible queexista el conjunto de todos los conjuntos.

Antalcides Olivo 5

ii


ii

ii


Desgraciadamente, Bertrand Russell descubrió que la axiomática de Frege era contradictoria.En efecto, uno de los axiomas básicos de Frege afirmaba lo a siguiente:Para toda propiedad φ(X) definida en la teoría, existe un conjunto Y cuyos elementos son exactamente los conjuntos X que

cumplen φ(X). En otros términos, Frege postulaba la existencia del conjunto Y = X|φ(X).Lo que Russell observó fue que esto podía aplicarse a φ(X) ≡ X /∈ X, que era una propiedad trivialmente definida en la teoría

de Frege, de modo que debía existir un conjunto R = X : X /∈ X, que claramente nos lleva a la contradicción R ∈ R⇔ R /∈ R.A partir de aquí la minuciosa lógica de Frege permitía probar con el mismo rigor que 2 + 2 = 4 y que 2 + 2 = 5, por lo que su

teoría se volvía inservible. El mismo Russell, junto con A. N. Whitehead, presentó un tiempo después otra teoría axiomática que,al menos en apariencia, estaba exenta de contradicciones, si bien era tan inútil como la de Frege, esta u vez no por contradictoriasino por complicada. Se trata de los Principia Mathematica.

La primera teoría axiomática construida por un matemático a gusto de los matemáticos fue la de Zermelo. La forma en queZermelo evitó la paradoja de Russell fue debilitar el axioma de formación de conjuntos de Frege, reduciéndolo a:

Para toda propiedad φ(X) definible en la teoría y todo conjunto U , existe un conjunto Y cuyos elementos son exactamentelos elementos X ∈ U que cumplen φ(X).

Axioma. 2.1. 1 Zermelo

Así, lo que Zermelo postulaba era la existencia de

Y = {X ∈ U : φ (X)} .

Ahora bien, este axioma sólo permite definir conjuntos a partir de otros conjuntos, por lo que Zermelo tuvo que añadir otrosaxiomas que garantizaran la existencia de aquellos conjuntos necesarios que no podían obtenerse como subconjuntos de otrosconjuntos dados. Enseguida describiremos con detalle la axiomática de Zermelo, pero antes daremos a algunas indicaciones sobrela lógica matemática que subyace a toda teoría de conjuntos moderna.

2.1.2.5. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos

Un lenguaje formalizado está constituido por un conjunto de símbolos básicos y por reglas que nos permiten formar expresionesmás complicadas partir de esos símbolos originales.

A continuación presentamos el lenguaje formalizado L∈ con le cual escribiremos la Teoría de Conjuntos.Este lenguaje puede entenderse de dos maneras distintas: como lenguaje formal y como abreviaturas de expresiones en

español. Esta segunda interpretación será posiblemente la conveniente en un curso introductorio como este.Los símbolos del lenguaje formal de la teoría de conjuntos serán:

1. Los símbolos de conjuntos serán las letras del alfabeto, mayúsculas y minúsculas, es decir: Variables: x, y, z,X,Y ,Z,x1,x2, ...,en general, las últimas letras del alfabeto latino, minúsculas o mayúsculas con o sin subíndices. Su significado es el habitualen matemáticas y su rango son los conjuntos.

2. Constantes: a, b, c,A,B,C, ... , en general, las primeras letras del alfabeto latino. Sirven para referirnos a conjuntosespecíficos.

3. El símbolo de la relación de pertenencia entre conjuntos es ∈.

4. Los símbolos lógicos de la lógica de predicados: (∼negación), ∧(conjunción), ∨(disyunción),→(condicional),↔(bicondicional),⇒(implicación), ⇔o ≡ (equivalencia), ∀ (cuantificador universal) y ∃ (cuantificador existencial). Con estos signos básicos segeneran todas las fórmulas de la teoría de con juntos. Cualquier cadena finita formada por estos símbolos es una expresión

o del lenguaje, pero no toda expresión es aceptable o significativa. Sólo aceptaremos aquellas a las que llamaremos Fórmulasde L∈

6 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

2.2. Relaciones y axiomas en la teoría de conjuntos

5. (, ) (paréntesis). Usados como signos de puntuación

6. Las reglas de formación de fórmulas son las habituales en la lógica de primer orden. A saber:

a) x ∈ y y x = y son fórmulas. Para cualesquiera variables x, y.

b) Si φ y ψ son fórmulas, también lo son: ∼ φ, φ∧ψ, φ∨ψ, φ→ ψy φ↔ ψ.

c) Si φ es una fórmula, (∀x)φ y (∃x)φ también lo son.

Solamente aquellas expresiones obtenidas por la aplicación de (un o número finito de) estas reglas es una fórmula de L∈ .Entonces el lenguaje L∈ se generan mediante las reglas precedentes:

Relaciones y axiomas en la teoría de conjuntos 2.2

a ∈ B significa que el objeto a es un elemento del conjunto B

Definición. 2.2. 1 Pertenencia

a /∈ A significa que el objeto a no es un elemento del conjunto A.

Definición. 2.2. 2 No pertenece

Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4} entonces 1 ∈ A, porque 1 es un elemento de A.En cambio b /∈ A, porque b no es un elemento del conjunto A.

Ejemplo. 2.2. 1

Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Esto es: el conjunto A es igual al conjunto B si todoelemento de A es elemento de B y si todo elemento de B es elemento de A.

En el lenguaje L∈ se expresa.∀x(x ∈ A⇔ x∈B)⇒ (A = B).

Axioma. 2.2. 1 (Axioma de extensión)

Este axioma nos permite demostrar la unicidad de muchos conjuntos definidos de alguna forma concreta. Haremos un ejemplo,dejando el resto de casos de unicidad como ejercicio, explícito o implícito:

Por ejemplo A = { Los ríos de de América} y B = { Los Ríos de Colombia}.Es claro que en Colombia no están todos los ríos de América, por tanto A 6= B, Es decir que los conjuntos A y B no tienen

los mismos elementos.

Ejemplo. 2.2. 2 Igualdad de conjuntos

Antalcides Olivo 7

ii


ii

ii


Veamos otro ejemplo :El primer axioma de Zermelo, afirma que si dos conjuntos tienen los mismos elementos entonces son iguales (el recíproco es

un caso particular de un principio lógico: si X = Y entonces todo lo que vale para X vale para Y ).Según hemos comentado en la introducción , el problema que presenta la fundamentación de la teoría de conjuntos es que no

podemos permitirnos el lujo de postular que toda propiedad define un conjunto.En su lugar, la teoría de Zermelo postula la existencia de conjuntos definidos por ciertas propiedades inofensivas (no como

X /∈ X). Tal vez el conjunto más inofensivo de todos sea el que nos da el axioma del conjunto vacío

Existe un conjunto que no contiene ningún elemento.

(∃X∀x) x /∈ X

Axioma. 2.2. 2 Conjunto vacío

Este axioma afirma la existencia de un conjunto que no tiene elementos. Dicho conjunto es único, pues dos conjuntos sinelementos tendrían los mismos elementos, como lo probaremos mas adelante. Esto nos permite definir el término

∅ ≡ {X : (∀U)U /∈ X} .

Nota: Observe que ∅ no es un signo del lenguaje de la teoría de conjuntos, si no una abreviatura de un término que puedeeliminarse de cualquier expresión sin más que sustituirla por el miembro derecho de la definición.

. Existe un único conjunto que no contiene ningún elemento.

Lema. 2.2. 1 Unicidad del vacío

Demostración:Según el axioma de extensión, dos conjuntos A y B son iguales si y solo si

∀Z(Z ∈ A⇔ Z ∈ B).

Por otro lado, el axioma del conjunto vacío dice∃Y ∀Z∼(Z ∈ Y ) (2.1)

Si suponemos que existen conjuntos Y y Y ′ que satisfacen la condición (1); entonces es claro que, para todo Z, se satisface

Z ∈ Y ⇔ Z ∈ Y ′

pues ambas expresiones son falsas. Así, por el axioma de extensión resulta que Y = Y ′.�

8 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

2.2. Relaciones y axiomas en la teoría de conjuntos

Decimos que X es subconjunto de Y , en símbolos , X ⊆ Y , si y sólo si todo elemento de X es un elemento de Y . O sea,

X ⊆ Y ⇔ ∀x(x ∈ X ⇒ x ∈ Y ).

Definición. 2.2. 3 Subconjunto

Con la definición 3 puede escribirse más abreviado el axioma de extensión;

(∀X∀Y ) (X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X ⇒ X = Y ).

A todo conjunto A y a toda condición o fórmula ψ = S(x), corresponde un conjunto B cuyos elementos son precisamenteaquellos elementos de A que cumplen S(x). Este Axioma ayuda a construir subconjuntos de un conjunto dado.

Axioma. 2.2. 3 Especificación o separación

El axioma de especificación en el lenguaje L∈se escribe

(∀A∃B) (∀z) (z ∈ B ⇔ (z ∈ A∧ S (x))) ó B = {x ∈ A : ψ = S(x)} .

Este axioma nos dice que para cualquier propiedad (expresada por S(x)) y cualquier conjunto A existe el subconjunto de Aformado por los elementos que verifican esa propiedad. Obviamente este conjunto es único.

Si S(x) es una fórmula de L∈ y A un conjunto, el conjunto cuya existencia está garantizada por el axioma 3 se denotará conel símbolo x ∈ A : S(x) y se lee “el conjunto de los elementos de A tales que cumplen S(x)”.

Definición. 2.2. 4

Recordemos que la paradoja de Russell se produce al tratar de construir el conjunto de todos los conjuntos que verificanuna propiedad cualquiera S(x). Este axioma limita nuestra capacidad de formar conjuntos de objetos que verifican una ciertapropiedad, sólo podemos referirnos a aquellos elementos que perteneciendo a un cierto conjunto dado, verifican la propiedad encuestión. Veamos que esta restricción evita que se produzca la paradoja.

Para ello tratemos de formar la clase de Russell. Dado un conjunto A , el axioma de extensión nos permite formar el conjunto

R = {x ∈ A : x /∈ x}

En este caso tenemos que si R ∈ A y R /∈ R,lo cual es contradicción, luego R /∈ R, lo que, que a diferencia de antes, no es contradictorio, sólo implica que R /∈ A.

No existe el conjunto de todos los conjuntos.

Teorema. 2.2. 1 Conjunto de todos los conjuntos

Demostración:

Antalcides Olivo 9

ii


ii

ii


Por último, cabe destacar que este no es propiamente un axioma sino más bien un esquema. En efecto, para cada fórmulaS(x) de a o L tenemos un axioma distinto, o sea, hay una cantidad ilimitada de

Supongamos que si existe el conjunto de todos los conjuntos y llamaremos V . Entonces en virtud del axioma 3 podemosconstruir el conjunto de Russell R = x ∈ V : x /∈ x, lo cual es una contradicción.

�

Por último, cabe destacar que este no es propiamente un axioma si no más bien un esquema. En efecto, para cada fórmulaS(x) de L∈ tenemos un axioma distinto, o sea, hay una cantidad ilimitada de instancias para este axioma.

Dados dos conjuntos X e Y , existe un conjunto cuyos únicos elementos son X e Y .Su expresión en el lenguaje L∈es

(∀X∀Y ∃Z) ∀x (x ∈ Z ⇔ (x = X ∨ x = Y )) o Z = {X,Y } .

Axioma. 2.2. 4 Axioma de Pares

Resulta claro por el axioma 1 que este conjunto es único. Lo denotaremos

{X,Y }

y lo llamaremos par no ordenado X,Y .El axioma 1también garantiza de un conjunto cuyo único elemento es el conjunto X

{X,X} = X,

Tomando X = Y = ∅, llegamos a la conclusión de que {∅} es un conjunto no vacío, ya que contiene un elemento. Ahora sitomamos X = ∅, Y = {∅} , llegamos a la conclusión que {∅, {∅}} es un conjunto con dos elementos.

Ejemplo. 2.2. 3 conjunto {∅}

2.3 Operaciones entre conjuntos

En realidad, los axiomas que tenemos hasta ahora sólo garantiza la existencia del conjunto vacío, y la existencia de conjuntosmás pequeños a partir de conjuntos ya conocidos. los siguientes axiomas nos permitirán construir conjuntos más grandes.

El siguiente axioma nos permite construir uniones arbitrarias de conjuntos (siempre que los conjuntos que queramos anexarformen un conjunto: recordemos que no existe el conjunto de todos los conjuntos).

Para todo conjunto S, existe un conjunto, que denotaremos U =⋃S, tal que x ∈

⋂S si y sólo si x ∈ X para algún X∈S.

Axioma. 2.3. 1 Union de conjuntos

10 Antalcides Olivo

ii


ii

ii

2.3. Operaciones entre conjuntos

Si S = {X,Y } , entonces obtenemos la unión de X e Y , que denotamos X ∪ Y . Además, tomando S = {X ∪ Y ,Z} , podemosobtener (X ∪ Y ) ∪Z y en general, la unión de un número finito de conjuntos

Ejemplo. 2.3. 1

Aplicando el axioma de separación podemos demostrar la existencia del la intersección de conjuntos

Dados dos conjuntos, X,Y , existe un (único) conjunto Z tal que x ∈ Z si y sólo si x ∈ X y x ∈ Y .

Lema. 2.3. 1 Intersección de conjuntos

Demostración:Definamos la propiedad P (x) que sea x ∈ Y . Entonces, por el axioma de separación , existe el conjunto Z = {x ∈ X : P (x)}

, que es el conjunto buscado. La demostración de la unicidad se deja como ejercicio, esto se demuestra a partir del axioma deExtensión.

�

El conjunto Z cuya existencia acabamos de demostrar se llama intersección de X e Y ,y se denota Z = X ∩ Y .

Definición. 2.3. 1 Intersección de conjuntos

Dados dos conjuntos X,Y , existe un (único) conjunto Z tal que x ∈ Z si y sólo si x∈Xy x/∈Y . Dicho conjunto se llamadiferencia de los conjuntos X e Y .

Teorema. 2.3. 1 Diferencia de conjuntos

La demostración queda de tarea.

Dados dos conjuntos X,Y , se llama diferencia simétrica de X e Y al conjunto X 4 Y := (X − Y ) ∪ (Y −X)

Definición. 2.3. 2 Diferencia simétrica

Dado cualquier conjunto X, existe un conjunto, que denotaremos P (X) tal que x ∈ P (X) si y sólo si x es un subconjunto deX.

Axioma. 2.3. 2 Conjunto Potencia

Antalcides Olivo 11

ii


ii

ii


2.4 Representación de conjuntos

2.5 Propiedades De los conjuntos

2.6 Problemas

1. En los incisos del a) al e), escriba las proposicionescomo implicaciones, luego decida si es falso o verda-dero

a) Hipótesis p : Un hombre vive en Barranquilla,Conclusión q : Vive en Antioquía.

b) Hipótesis p : Algunas manzanas son rojas,Conclusión q : Los caballos tienen cuatro pa-tas.

c) Hipótesis p : Dos rectas se intersecan, Conclu-sión q : Las dos rectas no son paralelas.

d) Conclusión q : Dos rectas son perpendiculares,Hipótesis p : Las rectas se intersecan.

e) Hipótesis p : Dos ángulos tienen la misma me-dida, Conclusión q : Los ángulos son congruen-tes.

2. Analice la siguiente conjetura: Si un triángulotiene un ángulo recto, tiene dos lados congruentes.Comentario: Para demostrar que la conjetura esfalsa, debe presentar un contraejemplo, para explicarque es verdadera use las definiciones.

12 Antalcides Olivo

fundamentos matematica

Education