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Fundamentos de Controlo

6a Série

Projecto de Compensadores: Avanço/atraso de fase, moldagem do ganho de malha.

S6.1 Exercícios Resolvidos

P6.1 Considere o sistema de controlo com retroação unitária representado na Figura 1 em que

G(s) =105

s(s+ 10)(s+ 100).

Dimensione um controlador de avanço de fase de modo a que o sistema em cadeia fechada

��- - - -

6

C(s) G(s)R(s) Y (s)

+ −

Figura 1cumpra as seguintes especi�cações:

• Margem de fase MF ≥ 40o;

• Largura de banda do sistema controlado LB ≥ 20 rad/s.

Resolução:

A resposta em frequência do sistema não controlado é

G(jω) =105

jω(jω + 10)(jω + 102)

cujo diagrama de Bode está representado na Figura 2 (o diagrama real a azul e o assimptóticoa vermelho).

Figura 2

Vamos começar por calcular a frequência de corte a 0 dB, i.e., a frequência ωc tal que:

|G(jωc)|=105

ωc√ω2c + 102

√ω2c + 104

=1⇒ ω6c + 1.01 104ω4

c + 106ω2c − 1010=0⇒ ωc'30 rad/s.

1

A margem de fase do sistema não compensado é (em graus)

MF = 180o + argG(jωc) = 180o − 90o − arctanωc10− arctan

ωc100' 0o .

Estes valores podiam ter sido obtidos directamente a partir do diagrama de Bode.

A largura de banda do sistema compensado situa-se normalmente no intervalo LB ∈ [ωc, 2ωc].Como ωc já é superior à LB requerida e o compensador de avanço vai conduzir a um aumentoadicional na frequência de corte a 0 dB, é de prever que a especi�cação relativa à largura debanda seja satisfeita.

A função de transferência do compensador de avanço é

C(s) =1

α

s+1

T

s+1

αT

(0 < α < 1) .

O avanço de fase φm que é necessário adicionar ao sistema a controlar é

φm = MFreq −MF+ ε = 40o − 0 + 5o = 45o

em que se adoptou um factor de segurança ε = 5o. O parâmetro α obtém-se de

sinφm = sin 45o =1− α1 + α

⇒ α =2−√2

2 +√2' 0.17 .

A frequência de corte a 0 dB com o controlador de avanço é a frequência ωm tal que

|G(jωm)| =√α ⇒ 105

ωm√ω2m + 102

√ω2m + 104

=√0.17 ⇒ ωm ' 46 rad/s.

Esta frequência podia ter sido obtida directamente a partir da característica de amplitude dodiagrama de Bode do sistema não compensado procurando a frequência para a qual

|G(jωm)|dB = 10 log√α ' −7.7 dB

O parâmetro T obtém-se de

ωm =1

T√α⇒ 1

T= ωm

√(α) ' 19 ,

pelo que

C(s) =1

0.17

s+ 19

s+19

0.17

' 5.9s+ 19

s+ 112.

Na Figura 3 representa-se o diagrama de Bode do sistema em anel aberto com o controladordimensionado. É fácil de veri�car que a frequência de corte a 0 dB é ωm ' 46 rad/s, mas quea margem de fase é inferior a 40o. Calculando o valor exacto veri�ca-se que

MF=180o+argC(jωm)G(jωm)=−90o−arctanωm10−arctan ωm

100+arctan

ωm19−arctan ωm

112'33o.

2

Figura 3

Como a frequência de corte a 0 dB é bastante superior aos 20 rad/s pretendidos para largurade banda mínima do sistema controlado, pode-se aumentar a margem de fase deslocando afrequência de corte a 0 dB para valores inferiores, o que se consegue através de um simplesajuste do ganho. Por exemplo, para ω = 30 rad/s tem-se

|C(j30)G(j30)| =

∣∣∣∣5.9 j30 + 19

j30 + 112

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 105

j30(j30 + 10)(j30 + 100)

∣∣∣∣ ' 1.8→ 5.2 dB

arg[C(j30)G(j30)] = arg(j30 + 19)− arg(j30 + 112)

− 90o − arg(j30 + 10)− arg(j30 + 100) ' −136o

Assim, dividindo o ganho do controlador por 1.8, i.e., tomando para controlador

C(s) =5.9

1.8

s+ 19

s+ 112' 3.3

s+ 19

s+ 112,

a frequência de corte a 0 dB do sistema em malha aberta passa a ser de 30 rad/s conduzindo auma margem de fase de MF ' 180o− 136o ' 44o, como se pode veri�car no diagrama de Bodedo sistema em malha aberta com este controlador que se representa na Figura 4.

Figura 4

3


G(s) =250

s(s+ 5)(s+ 50).

Dimensione um controlador de atraso de fase de modo a que o sistema em cadeia fechadacumpra as seguintes especi�cações:

• Erro em regime estacionário a uma referência de entrada rampa unitária e(∞) ≤ 0.01;

• Margem de fase MF ≥ 40o.

Resolução:

A função de transferência do controlador de atraso é

C(s) = KC̃(s) = K1

β

s+1

T

s+1

βT

(β > 1) .

Vamos começar por dimensionar o ganho K do controlador de modo a satisfazer a especi�caçãorelativa ao erro estático de velocidade

e(∞) = ev =1

Kv

≤ 0.01⇒ Kv ≥ 100 .

Tendo em conta a função de transferência do sistema a controlar, o coe�ciente de erro estáticode velocidade é

Kv = lims→0

sKG(s) =250K

250= K ⇒ K ≥ 100 .

Escolhendo K = 150, obtém-se para função de transferência em anel aberto sem o controladorde atraso C̃(s)

KG(s) =37500

s(s+ 5)(s+ 50),

cujo diagrama de Bode está representado na Figura 5 (o diagrama real a azul e o assimptóticoa vermelho).

Figura 5

4

Vamos começar por calcular a frequência de corte a 0 dB, i.e., a frequência ωc tal que:

|KG(jωc)| =37500

ωc√ω2c + 52

√ω2c + 502

= 1⇒ ωc ' 26 rad/s.

A margem de fase do sistema KG(s) é (em graus)

MF = 180o + argKG(jωc) = 180o − 90o − arctanωc5− arctan

ωc50' −17o .

Estes valores podiam ter sido obtidos directamente a partir do diagrama de Bode, como se in-dica na Figura 5. Repare-se que MF < 0o o que indica que o sistema em anel fechado é instável.

Como se pretende obter uma margem de fase MF ≥ 40o, vamos escolher para nova frequênciade corte a 0 dB a frequência ωc tal que

arg[KG(jωc)] = −180o +MFreq + ε = −180o + 40o + 5o ' −135o .

A partir da característica de fase do diagrama de Bode veri�ca-se que a fase de −135o ocorrepara ωc = 4 rad/s. Determina-se β tal que

|KG(j4)| =∣∣∣∣ 37500

j4(j4 + 5)(j4 + 50)

∣∣∣∣ = β ⇒ β ' 29 .

O zero do controlador de atraso é colocado uma década abaixo da frequência ωc, i.e.,

1

T=ωc10

= 0.4 .

Desta forma, obtém-se

C̃(s) =1

29

s+ 0.4

s+0.4

29

⇒ C(s) =150

29

s+ 0.4

s+0.4

29

' 5.2s+ 0.4

s+ 0.01.

O diagrama de Bode do sistema em anel aberto com este controlador é o representado na Figura6. A margem de fase obtida é

MF = 180o + arctan4

0.4− arctan

4

0.01− 90o − arctan

4

5− arctan

4

50' 41o

que satisfaz a especi�cação dada.

Figura 6

5

P6.3 Considere o sistema de controlo da Figura 7 onde

G(s) =s+ 100

s+ 1

representa o sistema a controlar, C(s) é um controlador, e r, n e y representam respectivamentea entrada de referência, o ruído no sensor e a saída do sistema.

- - - -

?6 �

C(s) G(s)��

��

r e

n

y

−

+

+

+

Figura 7

a) Projecte um controlador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável esatisfaça as seguintes especi�cações:

1. Erro em regime permanente nulo para uma entrada r escalão unitário;2. Erro em regime permanente menor ou igual a 0.1 para uma entrada r rampa unitária;3. Seguimento de sinais de referência r na gama de frequências [0,0.1] rad/s com erro

menor ou igual a −60 dB;4. Atenuação do ruído n na gama de frequências superior a 100 rad/s de pelo menos

20 dB;5. Margem de fase MF superior a 40o.

Justi�que as condições a impor ao �ganho de malha� e a escolha do controlador. Tracecom rigor os diagramas de Bode assimptóticos e con�rme a estabilidade do sistema usandoo critério de Nyquist.

b) Suponha que existe um atraso τ na transmissão de informação entre o controlador C(s) eo sistema a controlar G(s). Calcule, a partir do diagrama de Bode do ganho de malha, ovalor máximo de τ tolerado tal que o sistema em malha fechada permaneça estável.

Resolução:

a) Para garantir que o erro estático de posição é nulo e o erro estático de velocidade é �nito,especi�cações 2 e 3, o sistema em anel fechado tem de ser de tipo 1, i.e., como a retroacçãoé unitária, a função de transferência em cadeia aberta tem de ter 1 polo na origem. ComoG(s) não tem polos na origem, este terá de estar no controlador. Assim, a versão maissimples de controlador é

C1(s) =K

s.

O ganho K vai ser dimensionado de modo a satisfazer a especi�cação relativa ao erroestático de velocidade, i.e.,

ev =1

Kv

≤ 0.1⇒ Kv = lims→0

sC1(s)G(s) = lims→0

Ks+ 100

s+ 1= 100K ≥ 10⇒ K ≥ 0.1

Para satisfazer a especi�cação 3 é preciso garantir que∣∣∣∣E(jω)R(jω)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1

1 + C(jω)G(jω)

∣∣∣∣ω∈[0,0.1]

≤ −60 dB⇒ |C(jω)G(jω)|ω∈[0,0.1] ≥ +60 dB .

A condição para o ganho de malha foi obtida admitindo que em unidades lineares|C(jω)G(jω)| >> 1 para ω ∈ [0, 0.1].

6

Para satisfazer a especi�cação 4 é preciso garantir que∣∣∣∣Y (jω)

N(jω)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣− C(jω)G(jω)

1 + C(jω)G(jω)

∣∣∣∣ω>100

≤ −20 dB⇒ |C(jω)G(jω)|ω>100 ≤ −20 dB .

A condição para o ganho de malha foi obtida admitindo que em unidades lineares|C(jω)G(jω)| << 1 para ω > 100.

Na Figura 8 representa-se a característica de amplitude do diagrama de Bode do sistemaem malha aberta com o controlador C1(s) de�nido com K = 0.1, i.e., da função detransferência

C1(s)G(s) =0.1

s

s+ 100

s+ 1,

a que se sobrepuseram as zonas de exclusão determinadas pelas especi�cações 3 (zona A)e 4(zona B). Para que a caracteristica de amplitude da resposta em frequência do sistema

Figura 8

em malha aberta não intersecte as zonas de exclusão, é preciso aumentar o ganho docontrolador entre 20 dB e 40 dB. Optando por aumentar o ganho de 20 dB, obtém-se

C2(s) = 10C1(s) =1

s.

Na Figura 9 representa-se o diagrama de Bode do sistema em malha aberta com o con-trolador C2(s), i.e., da função de transferência

C2(s)G(s) =1

s

s+ 100

s+ 1.

Figura 9

7

A frequência de corte a 0 dB do sistema é ωc = 10 rad/s, e a margem de fase do sistema,indicada na característica de fase, é praticamente zero pelo que vai ser necessário intro-duzir fase positiva, i.e., um zero no controlador. Repare-se que se tivessemos optado poraumentar o ganho do controlador em 40 dB (em vez de 20 dB), a frequência de corte a0 dB descia para aproximadamente 3 rad/s, mas a margem de fase, embora um poucosuperior, continuava a ser inferior a 40o.

O zero a introduzir no controlador não deverá alterar o diagrama de Bode na baixafrequência de modo a garantir o cumprimento das especi�cações em regime permanente ede baixa frequência. Consequentemente, o novo controlador terá de ser da forma

C3(s) = C2(s)s+ z

z=

1

z

s+ z

s.

Além disso, tendo em conta que a contribuição de um zero para a característica de am-plitude do diagrama de Bode é, na alta frequência, uma recta de declive +20 dB/dec, eque com o controlador C2(s) em ω = 100 rad/s a amplitude está quase 20 dB abaixo dazona de exclusão de alta frequência (na realidade, 17 dB devido ao zero em s = −100do sistema a controlar), o zero do controlador terá de se situar no intervalo de frequência[10, 100] rad/s, i.e., 10 ≤ z ≤ 100. Como a contribuição de um zero para a fase varia de0o até 90o desde uma década antes até uma década depois da sua frequência, para maxi-mizar o avanço de fase introduzido pelo zero sem alterar signi�cativamente a frequênciade corte a 0 dB, vamos colocar o zero em s = −10. Desta forma, o acréscimo de faseintroduzido pelo zero na frequência ω = 10 rad/s é de 45o. Como a contribuição do zeropara a característica de amplitude passa em 3 dB na sua frequência (ω = 10 rad/s), afrequência de corte a 0 dB do sistema com o controlador

C3(s) = 0.1s+ 10

s

será ligeiramente superior a 10 rad/s, pelo que o acrécimo na margem de fase também seráligeiramente superior a 45o. Na Figura 10 representa-se o diagrama de Bode do sistemaem malha aberta

C3(s)G(s) = 0.1s+ 10

s

s+ 100

s+ 1.

Figura 10

8

Como se esperava, a especi�cação 4 não é satisfeita para frequências próximas de 100 rad/s.Para que esta especi�cação fosse completamente satisfeita seria necessário descer de 3 dB aamplitude na frequência ω = 100 rad/s, o que se consegue deslocando o zero do controladorpara uma frequência ligeiramente superior, por exemplo, colocando o zero em s = −15.Na Figura 11 representa-se o diagrama de Bode do sistema em malha aberta

C4(s)G(s) =1

15

s+ 15

s

s+ 100

s+ 1.

Figura 11

A especi�cação 4 é agora totalmente satisfeita. A frequência de corte a 0 dB é ωc '10 rad/s (na realidade, ligeiramente superior) e a margem de fase é MF ' 45o (tambémligeiramente superior), pelo que o controlador que permite satisfazer todas as especi�caçõesé

C(s) =1

15

s+ 15

s

Analisando o contorno e o correspondente diagrama de Nyquist do sistema em anel abertocom este controlador (ver Figura 12), veri�ca-se que o número de polos da função de

Figura 12

transferência em anel aberto dentro do contorno é P = 0 e o número de voltas do diagrama

9

de Nyquist em torno do ponto crítico −1 é N = 0. Consequentemente, Z = N + P = 0,i.e., o sistema em anel fechado é estável pois não tem polos no semiplano complexo direito.

b) O atraso τ traduz-se na existência de um bloco com função de transferência e−sτ entre ocontrolador C(s) e o sistema a controlar G(s). Assim, a função de transferência em anelaberto do sistema com atraso é C(s)G(s)e−sτ . Consequentemente,

|C(jω)G(jω)e−jωτ | = |C(jω)G(jω)|arg[C(jω)G(jω)e−jωτ ] = arg[C(jω)G(jω)]− ωτ (em radianos) ,

i.e., o atraso τ apenas afecta a característica de fase do sistema em anel aberto. Assim, afrequência de corte a 0 dB não se altera. A margem de fase do sistema com atraso é

MFcom atraso = π + arg[C(jωc)G(jωc)e−jωτ ] = MFsem atraso − ωcτ (em radianos) .

Para que o sistema em anel fechado se mantenha estável

MFcom atraso > 0⇒ ωcτ < MFsem atraso ⇒ τ <MFsem atraso

ωc.

Para o sistema com o controlador dimensionado na alínea anterior em que ωc ' 10 rad/se MF ' 45o conclui-se que

τ <π

40seg .

S6.2 Exercícios Propostos


G(s) =25

s(s+ 1)(s+ 5).

Pretende-se que o sistema em anel fechado tenha MF ≥ 30o.

a) Dimensione um controlador de avanço de fase C(s) com ganho estático unitário de modo asatisfazer a especi�cação dada. Qual é, aproximadamente, a largura de banda do sistema?

b) Dimensione um controlador de atraso de fase C(s) com ganho estático unitário de modo asatisfazer a especi�cação dada. Qual é, aproximadamente, a largura de banda do sistema?


G(s) =1000

s(s+ 5)(s+ 200).

Dimensione um controlador de avanço de fase de modo a que o sistema em cadeia fechadacumpra as seguintes especi�cações:

• Erro em regime estacionário a uma referência de entrada rampa unitária e(∞) ≤ 0.01;

• Polos dominantes do sistema em anel fechado com coe�ciente de amortecimento ξ ≥ 0.4.

10


G(s) =250

s(s+ 5).

Projecte um compensador de modo a que o sistema em cadeia fechada satisfaça as seguintesespeci�cações:

• Erro em regime estacionário a uma referência de entrada rampa unitária e(∞) < 0.005;

• Resposta a um escalão com sobre-elevação S < 20%;

• Largura de banda do sistema compensado não inferior à do sistema não compensado.


G(s) =1

s(s+ 1).

Pretende-se que o sistema em cadeia fechada satisfaça as seguintes especi�cações:

• Coe�ciente de erro estático de velocidade Kv = 20;

• Margem de fase MF ≥ 40o.

a) Dimensione um controlador de avanço de fase C(s) de modo a satisfazer as especi�caçõesdadas.

b) Dimensione um controlador de atraso de fase C(s) de modo a satisfazer as especi�caçõesdadas.


G(s) =100

s(s+ 1)(s+ 10).

Dimensione um controlador de atraso de fase C(s) com ganho estático unitário de modo a queo sistema em cadeia fechada tenha margem de fase MF ≥ 40o. Qual é, aproximadamente, alargura de banda do sistema?

P6.9 Considere o sistema de controlo representado na Figura 13.

��- - - - -

6

K C(s)1

(s+ 1)(s+ 10)

r y

+ −

Figura 13O compensador C(s) tem uma função de transferência da forma

C(s) =1

γ

s+1

T

s+1

γT

.

Pretende-se que o sistema em cadeia fechada cumpra as seguintes especi�cações:

11

• Erro em regime permanente para a entrada escalão e(∞) ≤ 0.01;

• Margem de fase MF = 45o.

Nesta condições

a) Calcule o valor de K para satisfazer a especi�cação relativa ao erro permanente.

b) Dimensione um compensador C(s) de avanço de fase de modo a satisfazer a especi�caçãorelativa à margem de fase.

c) Dimensione um compensador C(s) de atraso de fase de modo a satisfazer a especi�caçãorelativa à margem de fase.


G(s) =1

s− 10

representa o sistema a controlar, C(s) é um controlador, e r, d, n e y representam respectiva-mente a entrada de referência, a perturbação na cadeia de acção, o ruído no sensor e a saídado sistema.

- - - - -

?6 �

?

C(s) G(s)��

��

��

r e

d

n

y

−

+ +

+

+

+

Figura 14

Dimensione um compensador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável esatisfaça as seguintes especi�cações:

i) Erro em regime permanente nulo para um escalão na referência r;

ii) Efeito da perturbação d sobre a saída y atenuado de pelo menos 40 dB na gama defrequências [0,1] rad/s;

iii) Efeito do ruído n na gama de frequências superior a 1000 rad/s atenuado de pelo menos20 dB;

iv) Margem de fase MF superior a 45o;

Justi�que as condições a impor ao �ganho de malha� e a escolha do controlador. Trace comrigor os diagramas de Bode assimptóticos e con�rme a estabilidade do sistema usando o critériode Nyquist.

Sugestão: Considere o controlador composto pelos seguintes termos:

C(s) = K1

s`C̃(s)

em que K é um ganho, ` é o número de integradores e C̃(0) = 1.

Nota: Por simplicidade, baseie o projecto nas aproximações assimptóticas.

12


G(s) =100

s(s+ 100)


Projecte um controlador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável e satisfaçaas seguintes especi�cações:

1. Erro em regime permanente inferior a 0.1 para uma entrada r parábola unitária;

2. Seguimento de sinais de referência r na gama de frequências inferior 1 rad/s com erromenor ou igual a −40 dB;

3. Atenuação do ruído n na gama de frequências superior a 1000 rad/s de pelo menos 60 dB;

4. Margem de fase MF superior a 40o.




G(s) =1

s+ 10


Projecte um controlador C(s) de modo a que o sistema em malha fechada seja estável e satisfaçaas seguintes especi�cações:

1. Erro estático de posição nulo;

2. Seguimento de sinais de referência r na gama de frequências inferior a 0.1 rad/s com erromenor ou igual a −60 dB;

3. Atenuação do ruído n na gama de frequências superior a 100 rad/s de pelo menos 20 dB;

4. Margem de fase MF superior a 40o.



S6.3 Soluções dos Exercícios Propostos

P6.4 a) Para um avanço de fase φm = 45o, obtém-se C(s) = 5.8s+ 1.3

s+ 7.5; A largura de banda

ωm ≤ LB ≤ 2ωm ⇒ 3.1 ≤ LB ≤ 6.2 rad/s.

13

b) Para um factor de segurança ε = 5o, obtém-se C(s) = 0.15s+ 0.06


ωc ≤ LB ≤ 2ωc ⇒ 0.6 ≤ LB ≤ 1.2 rad/s.

P6.5 Erro estático de velocidade e(∞) ≤ 0.01⇒ K ≥ 100; Polos dominantes com ξ ≥ 0.4⇒ MF ≥40o; Para ganho K = 150 e avanço de fase φm = 60o, obtém-se C(s) = 2079

s+ 14

s+ 194.

P6.6 Para não reduzir largura de banda, compensador de avanço de fase. Erro estático de velocidadee(∞) ≤ 0.005 ⇒ K ≥ 4; Sobre-elevação S < 20 % ⇒ ξ > 0.46 ⇒ MF > 46o; Para ganho

K = 5 e avanço de fase φm = 60o, obtém-se C(s) = 70s+ 18

s+ 254.

P6.7 a) Para um avanço de fase φm = 35o, obtém-se C(s) = 74s+ 3.2

s+ 11.8.

b) Para um factor de segurança ε = 5o, obtém-se C(s) = 1.4s+ 0.1

s+ 0.007.

P6.8 Para um factor de segurança ε = 5o, obtém-se C(s) = 0.11s+ 0.08


ωc ≤ LB ≤ 2ωc ⇒ 0.8 ≤ LB ≤ 1.6 rad/s.

P6.9 a) K ≥ 990; nas alíneas a) e b) tomou-se K = 1000.

b) Para um avanço de fase φm = 30o, obtém-se C(s) = 3s+ 23.6

s+ 70.9.

c) Para um factor de segurança ε = 5o, obtém-se C(s) = 0.146s+ 1.02

s+ 0.149.

P6.10 C(s) = 102s+ 10

s.

P6.11 C(s) = 10s+ 10

s.

P6.12 C(s) = 102s+ 1

s(s+ 0.1).

Bibliogra�a

1. Gene F. Frankline, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Sys-

tems, Sixth edition.

2. Eduardo Morgado, Controlo-problemas, 1999.

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