retroacção linear de variáveis de estado · poincaré e lyapunov (que já consideravam problemas...

CEE – Realimentação Linear de Variáveis de Estado

J. Miranda Lemos IST-DEEC- AC Sistemas, Decisão e Controlo

1

Retroacção Linear de

Variáveis de Estado

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

J. Miranda Lemos

Professor Catedrático do IST

2012



2

Plano

1.Motivação para o controlo por retroacção linear de variáveis de estado

2.Controlabilidade e Observabilidade

3.Realimentação linear de variáveis de estado (regulação)

4.Observadores assimptóticos

5.Teorema de separação

6.Seguimento de referências e inclusão do efeito integral



3

1.Motivação para retroacção linear de

variávreis de estado

Objectivo:

Motivar o projecto de controladores com base no modelo de estado e

apresentar os principais problemas que esta abordagem coloca, relacionando-

os com os conceitos de controlabilidade e observabilidade.



4

Exemplo: O controlo da suspensão magnética revisitado

ku y1

s

+

-

r

2

Em cadeia fechada:

ks

ksY

2)(

O sistema em cadeia fechada com controlo proporcional fica sempre

oscilatório não amortecido.

kj

kj



5

Retroacção da velocidade

1s

u y+

-

r1s

K

k1

++

ku y1

s

+

-

r

2

1+k s1

)()1(

)(1

2sR

skKs

KsY

Equação característica da cadeia fechada:

01

2 KsKks

Por ajuste dos coeficientes podemos colocar os pólos arbitrariamente.



6

Por exemplo, se quisermos colocar os pólos em j1 , o polinómio

característico deve ser

221)1( 22 sss

Compare-se este polinómio com o que se obtém realimentando a velocidade:

KsKks 1

2

Igualando os coeficientes, obtém-se o seguinte sistema de equações que

permite calcular os ganhos que levam os pólos à posição desejada:

2

21

K

Kk

Questão importante: Será que este

sistema de equações tem sempre

solução?



7

Conclusão:

A retroacção linear de todas as variáveis de estado permite aumentar a

flexibilidade no projecto do controlador (pelo menos aparentemente), dado

que temos um procedimento sistemático para colocar os pólos da cadeia

fechada.

Levantam-se questões importantes:

Acessibilidade do estado. O estado nem sempre está acessível para

medida directa, por exemplo devido a limitações tecnológicas ou de custo

dos sensores;

Existência de solução das equações.

Isto levar-nos-á ao conceito de

controlabilidade



8

Estimação do estado

Quando o estado não está acessível uma possibilidade é substitui-lo por uma

estimativa. Estimador em cadeia aberta:

1s

u y+

-

r1s

K

1s

y1s

k1

++

v

v

Modelo

^ ^

Esta solução não é boa:

Leva-nos a um controlador

em cadeia aberta.

As perturbações e os erros

de modelação não são

atenuados.



9

Solução com observador assimptótico

1s

u y+

-

r1s

K

1s

y1s

k1

++

v

v̂ ^

+

-L L

2 1

Questões importantes:

Será sempre possível determinar

1L e 2L por forma a que o erro de

estimação tenda para zero?

OBSERVABILIDADE

Qual o efeito da incerteza no

modelo?

Limitações nos valores

de 1L e 2L



10

Um outro exemplo: Compensador em cadeia aberta de um sistema

instável

Kailath, Linear Systems, p. 31 (cap. 2)

u y1s-1

r s-1

s+1

Compensador Processo

Será que este controlador funciona quando o cancelamento é

matematicamente exacto?



11

Começamos por construir um modelo de estado do sistema. Para tal, repare-

se que

1

21

1

1

ss

s

O diagrama de blocos pode pois ser desenhado na forma seguinte, em que se

indicam as variáveis de estado 1x e 2x :

uy=x

1s-1

r -2

s+1

x1

2+

+

Modelo de estado:

)(

2

122

11

rxxdt

dx

rxdt

dx



12

A resolução destas equações (faça!) conduz a ( significa “convolução”):

)(2)( 101 trexetx tt

)()(2

1)( 1020 trexeexety tttt

Conclusão:

Mesmo quando o cancelamento é exacto, o sistema só é estável quando

02010 xx .

Repare-se que é frequente afirmar que o sistema não funciona porque, na prática, o

cancelamento não é nunca matematicamente exacto. Isto é verdade, mas mais importante ainda

é que, mesmo que haja cancelamento perfeito, há modos naturais (associados às condições

iniciais) que tendem para infinito.



13

A necessidade de uma descrição interna dos sistemas

Este exemplo ilustra a importância de termos uma descrição interna dos

sistemas, que clarifique as questões relativas ao cancelamento de pólos e

zeros.

Isto vai conduzir-nos uma vez mais aos conceitos de Controlabilidade e

Observabilidade.



14

Os métodos para o projecto de sistemas de controlo baseados no modelo de estado nasceram nos anos 60

nos USA, associados aos problemas postos pela Engenharia Aeroespacial (a célebre “aposta” de Kennedy

sobre a ida à Lua data desse período). Têm no entanto raízes mais antigas (e importantes) nos trabalhos de

Poincaré e Lyapunov (que já consideravam problemas não-lineares). Uma boa parte dos fundamentos da teoria

do controlo em espaço de estado é devida a R. Kalman (que viu muitos dos seus trabalhos rejeitados em

revistas de Electricidade, o que o levou a publicar em revistas de Mecânica).

Na Europa o problema era diferente: Após a destruição causada pela II Guerra Mundial a prioridade ia para o

desenvolvimento das indústrias de bens de consumo. Aqui, ao contrário da indústria Aeroespacial, é muito

difícil construir modelos de estado a partir de princípios básicos, o que levou a um maior desenvolvimento dos

modelos entrada/saída. Nomes como V. Peterka (na Checoslováquia, onde a indústria do aço adquiriu grande

importância) ou K. Astrom (na Suécia, com trabalhos ligados à indústria do papel) ilustram esta afirmação.

A partir dos anos 80 compreendeu-se progressivamente melhor (não sem que antes tivesse havido debates

acesos) que as duas abordagens são, de facto, as duas faces da mesma moeda, dando pontos de vista

complementares sobre virtualmente todas as questões.



15

2.Controlabilidade e Observabilidade

Objectivo:

Introduzir os conceitos de observabilidade, controlabilidade,

reconstrutibilidade e atingibilidade. Critérios de controlabilidade e

observabilidade. Relação das propriedades de controlabilidade e

observabilidade do modelo de estado com a função de transferência.



16

Questão (relacionada com a Controlabilidade):

Dado o sistema descrito pelo modelo de estado contínuo

)()()( tbutAxtx

será possível, partindo da origem ( 0)0( x ) levar o estado a um valor

especificado arbitrário por escolha conveniente das entradas?

A resposta a esta questão depende do par de matrizes ),( bA

Uma questão relacionada com esta é:

Como escolher a entrada por forma a levar o estado ao ponto especificado?

Pode colocar-se uma questão análoga para sistemas discretos.



17

Controlabilidade (definição – sistemas contínuos)

A realização de estado contínua

)()()( tbutAxtx

diz-se completamente controlável se, dado um estado inicial na origem

0)0( x , e qualquer fx , existir um instante finito ft e uma função de entrada

)(tu , ftt 0 tal que ff xtx )( .

x(0)=0

xf



18

Nota sobre o conceito de controlabilidade

Para sistemas contínuos a definição de controlabilidade é equivalente a

impôr que de qualquer estado se atinja a origem num intervalo de tempo finito

por escolha conveniente da entrada. É esta a definição dada em [Rugh]. A

definição dada no acetato anterior é normalmente referida como

atingibilidade. Para sistemas contínuos as duas definições são equivalentes

mas para sistemas discretos não.

Referências:

Rugh (1996). Linear System Theory.

Kailath (1980). Linear Systems.



19

Critério de controlabilidade (sistemas contínuos)

O sistema contínuo

)()()( tbutAxtx

é completamente controlável sse a matriz

bAbAAbbBAC n 12 ||||,

dita matriz de controlabilidade, tiver característica xn dim .

Este facto, que necessita demonstração, proporciona-nos um critério de

controlabilidade.



20

Exemplo de um sistema não completamente controlável

1/s 1/sx (t)x (t)

-1 -2

u(t)

2 1

Trajectórias

possíveis

x

x2

1

A partir do diagrama de blocos conclui-se, dado que a entrada não afecta a

variável 2x que não podem ser atingidos pontos do espaço fora do eixo 1x .

22

211 2

xdt

dx

uxxdt

dx

u

x

x

x

x

0

1

10

12

2

1

2

1



21

ux

x

x

x

0

1

10

12

2

1

2

1

00

21|),( AbbbAC

21),( nbACcar

Logo a realização de estado considerada não é controlável. Apenas podem

ser atingidos pontos num subespaço de dimensão 1),( bACcar do espaço de

estados (que tem dimensão 2).



22

Outro exemplo de um sistema não completamente controlável

1/s

x (t)

-1u(t)

21/s

x (t)

-1

1

Trajectórias

possíveis

x

x1

2

x1

x2=

Repare-se que os valores próprios são iguais.

uxdt

dx

uxdt

dx

22

11

Com condições iniciais nulas é

t

t duetxtx0

)(

21 )()()(

Apenas podem ser atingidos pontos sobre a recta 21 xx



23

Vejamos o que diz o critério de controlabilidade:

1

1

10

01bA

11

11),( bAC

Como 21),( nbACcar o critério permite pois concluir que o sistema é não

controlável e que apenas se podem atingir a partir da origem pontos do

espaço de estados que estão num subespaço de dimensão 1.



24

Interpretação em termos de sistemas diagonais (contínuo)

)()()( tbutztz ),,,( 21 ndiag

n

n

nnnnnn

n

n

bbbb

bbbb

bbbb

bC

12

2

1

22

2

2222

1

1

11

2

1111

),(

Para que esta realização de estado seja controlável, tem de ser iib 0

para que nenhuma linha se anule e ainda jiji para que não haja

linhas proporcionais.



25

Interpretação das condições de controlabilidade de sistemas diagonais:

1/s

z (t)

u(t)

21/s

z (t)1

z (t)n

1/s

b

b

b

1

1

2

2

n

n

Se houver ib nulo, a entrada não

afecta o respectivo estado, que não

sairá da origem.

Se houver valores próprios iguais, os

correspondentes estados serão

sempre proporcionais.



26

Definição de Controlabilidade (Sistemas discretos)

A realização de estado de ordem n :

)()()1( kbukAxkx

diz-se completamente controlável sse para para uma condição inicial 0)0( x

e fx qualquer, existe N finito e uma sequência de entradas

)1(,),1(),0( Nuuu

tal que

fxNx )(



27

Critério de controlabilidade (sistemas discretos)

O sistema contínuo

)()()1( kbukAxkx

é completamente controlável sse a matriz

bAbAAbbbAC n 12 ||||),(

dita matriz de controlabilidade, tiver característica xn dim .



28

Para demonstrar o critério de controlabilidade para realizações de estado de

sistemas discretos, precisamos do seguinte lema:

Lema

nN tem-se:

bAAbbcarbAbAAbbcar nNn 111 ||||||||

A demonstração é uma consequência do Teorema de Cailey-Hamilton.

(Tente fazê-la).



29

Demonstração do Lema

Seja n

nn asasAsIsa 1

1)det()( o polinómio característico da matriz A . Pelo

teorema de Cailey-Hamilton a matriz verifica a condição

01

1 IaAaA n

nn

Multiplicando à direita por b :

01

1 babAabA n

nn

ou seja, bAn é uma combinação linear de bbAn ,,1 . A demonstração de que

nibA in também é uma combinação linear dos mesmos vectores é feita por

indução.



30

Ajuda na demonstração do lema: O teorema de Cailey-Hamilton

Dada uma matriz quadrada A com polinómio característico

)det()( 2

2

1

1 AsIasasassa n

nnn

a matriz verifica a equação:

02

2

1

1 IaAaAaA n

nnn

Com abuso de linguagem diz-se que a matriz verifica a sua equação

característica.

Referência: Strang (1980). Linear Algebra and its Applications. Academic Press.



31

Demonstração do critério de controlabilidade (discreto)

Pela fórmula de variação das constantes e tendo em conta que a condição

inicial é nula, o estado ao fim de nN passos vem dado por

)1()1()0()( 21 NbubuAbuANx NN

Os pontos do espaço de estados que podem ser atingidos a partir da origem

são pois os que se podem obter como combinação linear de

bAbAAbb NN 12 ,,,,

Pelo lema, o subespaço gerado por estes vectores é igual ao gerado pelos

vectores

bAbAAbb nn 12 ,,,,



32

Problema

Considere o sistema discreto

)(0

1

)(

)(

00

11

)1(

)1(

2

1

2

1ku

kx

kx

kx

kx

a) Mostre que o sistema não é controlável, i.e. que nem sempre é possível

transferir a origem para um estado arbitrário;

b) Mostre que partindo de um estado genérico

)0(x , , dados, existe

uma lei de controlo que leva o estado à origem em 1 passo (i.e., existe

)0(u função de , tal que

0

0)1(x .



33

a) O sistema não é controlável. Com efeito:

00

11),( AbbbAC

2dim1),( xbACcar

De acordo com o critério de controlabilidade, há estados que não podem ser

atingidos partindo da origem.



34

b) Como:

)0(x

0

0)1(x

)0(u deve verificar o sistema de equações

)0(0

1

00

11

0

0u

Este sistema tem por solução

)0(u



35

Controlabilidade para a origem e Controlabilidade

Tal como o problema anterior mostra, nos sistemas discretos os conceitos de

controlabilidade para a origem (ser capaz de atingir a origem a partir de

qualquer estado) e controlabilidade (ser capaz de atingir a origem a partir de

qualquer estado) não são equivalentes. Isto leva a que a controlabilidade

como a definimos seja também designada por atingibilidade.

Nos sistemas contínuos os dois conceitos são equivalentes.

Repare-se que o critério relativo à característica da matriz de controlabilidade

se refere à atingibilidade (=controlabilidade) e não à controlabilidade para a

origem.



36

Influência de uma transformação linear do estado na Controlabilidade

Dado o modelo de estado

buAxx

Considere o modelo de estado nas coordenadas transformadas Tzx .

a) Sendo a matriz T invertível, mostre que se o par ),( bA é controlável, a

realização de estado nas novas coordenadas também é controlável.

Escreva a matriz de controlabilidade nas novas coordenadas, zC .

b) Relacione zC e ),( bAC .

c) Exprima T em zC e ),( bAC



37

Sugestão:

Obtenha o modelo de estado para z ;

Calcule a matriz de controlabilidade nas novas coordenadas

Relacione-a com a matriz de controlabilidade original.



38

Tzx zTx buTATzTbuAxTz 111 )(

buTATzTz 11

bTATTATTbTATTbTCz

111111 ))(()(

bAbAAbbTC n

z

121

),(1 bACTCz

1),( zCbACT



39

Provou-se o seguinte facto:

Dadas duas realizações de estado controláveis e com a mesma dimensão,

ubxAx xx e ubzAz zz

elas são semelhantes, sendo a transformação de semelhança T que leva de

uma para outra

Tzx

dada por

),(),( 1

zzxx bACbACT



40

Exemplo – Forma canónica do controlador

1s

1s

1s

u yxc2xc1 xc3

b2

b1

b3

-a2

-a1

-a3

321

3

32

2

1)(asasas

bsbsbsG



41

ubxAx cccc ccxcy

010

001

321 aaa

Ac

0

0

1

cb 321 bbbcc

Matriz de controlabilidade:

1

1

21

100

10

1

a

aa

Cc



42

Transformação que leva à forma canónica do controlador:

cTxx

1

0

1

1

1

11

a

aa

CT

n

x

Esta transformação será útil posteriormente para a dedução de uma fórmula

para o cálculo dos ganhos do controlador.



43

Questão (relacionada com a observabilidade)

Dado a realização de estado

)()( tAxtx )()( tCxty

00)( xtx condição inicial desconhecida

Será possível determinar a condição inicial 0x (e portanto ttx )( ) por

observação da saída?

A resposta depende de ),( CA

Uma questão relacionada é:

Como estimar o estado a partir das observações da saída?



44

Definição de observabilidade (sistemas contínuos)

O sistema contínuo


diz-se completamente observável se existir 10 t tal que o conhecimento

da saída )(ty para 10 tt é suficiente para determinar a condição inicial

do estado, )0(x .



45

Critério de observabilidade (sistemas contínuos)

A realização de estado


é completamente observável sse a matriz de observabilidade

1

2),(

nCA

CA

CA

C

CAO

tiver característica xn dim .



46

Interpretação em termos de sistemas diagonais

Dado o sistema

)()( tztz ndiag ,,1

)()( tCzty

a) Mostre que ele é observável sse

njiji ,,1

nici ,,10

b) Dê uma interpretação destas condições em termos de um diagrama de

blocos.



47

Controlabilidade e observabilidade conjuntas

Considere-se o sistema diagonal

)()()( tbutxtx ndiag ,,1

)()( tCxty

Função de transferência

n

i i

ii

n

n

ns

bc

b

b

s

s

ccbAsICsH1

11

1

1

100

00

001

)()(



48

Função de transferência:

n

i i

ii

s

bcsH

1

)(

O somatório terá menos de n termos se houver i para o qual:

0ib perda de controlabilidade;

0ic perda de observabilidade;

i repetido perda de controlabilidade e observabilidade

Conclusão: Haverá cancelamento de pólos e zeros se o sistema não fôr

controlável ou observável. Este facto, que demonstrámos para sistemas

diagonais, é válido em geral.



49

Decomposição de Kalman

Em geral, é possível levar um sistema à representação de estado:

)(

0

0)(

00

000

00

)(3

1

4442

34333231

22

1211

tub

b

tx

AA

AAAA

A

AA

tx

)(00)( 21 txccty

''''' cococooc xxxxx

A função de transferência depende apenas da parte controlável e observável:

1

1

111 )()( bAsIcsG

Soc

u y

Soc

Soc

Soc



50

Reconstructibilidade e Detectabilidade

Dois conceitos importantes relacionados com a observabilidade são:

Se a partir das observações da saída fôr possível obter o “último” valor do

estado (mas não necessariamente a condição inicial), a realização diz-se

reconstruível.

Se a parte não observável do estado fôr assimptoticamente estável, a

realização diz-se detectável.



51

Problema (Interpretação da controlabilidade e da observabilidade)

Considere o sistema definido pelo seguinte diagrama de blocos:

s+1

1s

-1x =y

u x +

+

12

Construa um modelo de estado, utilizando as variáveis indicadas.

Diga para que valores do parâmetro é que a realização de estado que

obteve é:

a) Controlável.

b) Observável

Dê uma interpretação em termos da função de transferência.



52

Solução

Equações de estado:

Us

X

UXsX

1

12

21

u

xdt

dx

uxdt

dx

)

1(22

21

10

10A

1

1

b

01c

11

11),( bAC

)1()1(1),(det 2 bAC



53

Repare-se que: 11

11

s

s

s

)1()1(1),(det 2 bAC

Há perda de controlabilidade para:

a) 20 x não é afectada por u e surge um zero na origem que cancela

o pólo na origem;

b) 0 Surge um zero em –1 que cancela um pólo.

10

01),( cAO

O sistema é sempre observável.



54

Problema (Interpretação da controlabilidade e da observabilidade)

Considere o sistema descrito pelo modelo de estado

)(0

)(

)(

1

10

)(

)(

2

1

2

1tu

tx

tx

tx

tx

)(

)(1)(

2

1

tx

txty

Para que valores de , e é que o sistema é:

a) Controlável;

b) Observável.

Dê uma interpretação em termos da função de transferência.



55

0),( bAC pelo que a realização é controlável sempre que 0 .

Este facto interpreta-se facilmente em termos da função de transferência:

bAsICsH 1)()(

s

s

sss

s

As

sAsI

T

11

)1(

1

1

1

)det(

1

1

1)(

1

1

ss

ssH

2

1)( Logo, para 0 o ganho da FT anula-se.

1

1O Como a matriz é quadrada, podemos testar a

observabilidade a partir do determinante. Quando 0)),(det( cAO a

realização deixa de ser competamente observável.



56

21)),(det( cAO Há perda de observabilidade se 01 2 ou seja se

2

1

. Nestas condições (i. e. quando há perda de observabilidade), os

pólos sáo as raízes de 01

2

2

ss . Esta equação é satisfeita por

1s

pelo que quando há perda de observabilidade há um pólo que cancela o zero.



57

3.Realimentação linear de variáveis de estado

Objectivos:

Projectar um regulador de colocação de pólos por realimentação linear de

todas as variáveis de estado. Demonstração da fórmula dxe Bass-Gura.



58

Problema (Projecto de um regulador por RLVE)

Dada uma realização de estado controlável e observável

)()()()( tCxytbutAxtx

com polinómio característico

n

nn asasAsIsa 1

1)det()(

Lei de controlo admissível:

)()( tKxrtu

Começaremos por considerar 0r (problema de regulação).

Determinar o vector de ganhos K de modo a que o polinómio característico

da cadeia fechada seja n

nn sss 1

1)(



59

b+

+

r +

-

K

C

A

yx(t)x.

)()()()()( tKxrtutbutAxtx

Sistema em cadeia fechada:

)()()()( tbrtxbKAtx



60

Polinómio característico do sistema em cadeia fechada:

)det()( bKAsIsak

Objectivo:

Determinar K por forma a que

)()( ssaK

Polinómio característico do

sistema realimentado.

Depende do ganho K

Polinómio característico

especificado

Podemos ajustá-lo

por escolha do

ganho K



61

Método dos coeficientes indeterminados

A equação a resolver é

)()det( sbKAsI

n

nnn

K

n

K

n ssasas 1

1

11

)(saK


que se obtém para um

dado K


especificado. Traduz a

dinâmica pretendida

para a cadeia fechada



62

n

nnn

K

n

K

n ssasas 1

1

11

Igualando os coeficientes dos monómios do mesmo grau em ambos os

polinómios obtém-se o sistema de equações lineares verificado pelo ganho

K :

n

n

K

K

a

a

1

1

Quando é que este sistema tem solução n ,,1 ?

Veremos que existe sempre solução se o par ),( bA fôr controlável.



63

Fórmula de Bass-Gura

Posicionamento arbitrário dos pólos da cadeia fechada sse ),( bA é

controlável. Nestas condições, o vector de ganhos é calculado por

1)( CMaK T

em que bAbAAbbbACC n 12 ||||),( é a matriz de controlabilidade associadsa

ao par ),( bA e

n 21

naaaa 21

1

0

1

001

11

1

aa

aM

n



64

Exercício (fórmula de Bass-Gura)

Considere o sistema definido pelo diagrama de blocos:

u2

1s

1s

xx 12

a) Obtenha uma realização de estado com variáveis de estado 1x e 1x .

b) Através da fórmula de Bass-Gura determine os ganhos de um controlador

de realimentação de variáveis de estado que coloque os pólos em j1 .

c) Resolva o mesmo problema pelo método dos coeficientes indeterminados.



65

ux

xx

22

21

u

x

x

x

x

2

0

00

10

2

1

2

1

02

20),( AbbbAC

02/1

2/10),(1 bAC

Polinómio característicop associado à matriz A :

2

0

1)det()( s

s

sAsIsa

(como era de esperar!)

Recorde-se a nomenclatura:

21

2)( asassa donde 0000 21 aaa



66

10

01

1

01

1aM

10

01TM

Polinómio característico desejado:

22)( 2 sss (pólos em j1 )

A aplicação da fórmula de Bass-Gura conduz aos ganhos

02

12

10

10

010022),()( 1 bACMaK T

11K



67

Problema (que nos conduzirá à demonstração da fórmula de Bass-Gura):

Há alguma realização de estado em que o cálculo do ganho seja trivial?

Sugestão: Considere a forma canónica do controlador

1s

1s

1s

u yxc2xc1 xc3

b2

b1

b3

-a2

-a1

-a3

321

3

32

2

1)(asasas

bsbsbsG

Desenhe sobre este o

diagrama de blocos com a

realimentação das variáveis

de estado.



68

1s

1s

1s

u yxc2xc1 xc3

b2

b1

b3

-a2

-a1

-a3

-k1

-k2

-k3

-1

-2

-3

Conclusão:

Na forma canónica do controlador

o cálculo dos ganhos é feito

simplesmente por

aKc



69

Realização

de estado

),,( cbA

Forma canónica

do controlador

),,( ccc cbA

Transformação de coordenadas

T

c MbACTTxx ),(

Ganhos na forma canónica

do controlador

Ganhos na

realização original

Como inverter a transformação para os ganhos?

Difícil (Objectivo) Fácil



70

Sugestão para relacionar os ganhos nas coordenadas originais x e da forma

canónica do controlador, cx :

Exprimir o controlo u como retroacção de x e exprimir x em cx para obter

uma relação entre K e cK .

cKTxKxu

cK



71

Realização

de estado

),,( cbA

Forma canónica

do controlador

),,( ccc cbA

Transformação de coordenadas

T

c MbACTTxx ),(

Ganhos na forma canónica

do controlador

aKc

Ganhos na

realização original

1 TKK c Transformação inversa aplicada aos ganhos

Difícil (Objectivo) Fácil



72

Fórmula de Ackerman

Alternativamente, o vector de ganhos do controlador pode ser cálculado pela

fórmula de Ackerman, que não necessita do conhecimento explícito do

polinómio característico do sistema em cadeia aberta:

)(),(100 1 AbACK

Última linha da inversa da

matriz de controlabilidade


desejado calculado para

As



73

Exemplo (integrador duplo)

Retome-se o problema do acetato 8.

A última linha da inversa da matriz de controlabilidade é 02/1 .

20

2222)( 2 IAAA

Os ganhos calculados pela fórmula de Ackerman são assim:

1120

2202/1

K

que (como era de esperar) coincidem com os obtidos com a fórmula de Bass-

Gura.



74

Questão (prática e da maior importância!)

Porque não podemos transformar um FIAT PUNTO num Ferrari por

retroacção da velocidade com um ganho muito elevado?

Infelizmente (!…) a fórmula de Bass-Gura mostra que os ganhos são tanto

maiores quanto o deslocamento dos pólos, o que para ganhos muito elevados

leva a uma saturação da entrada manipulada.

C V



75

4.Observadores assimptóticos

Objectivo:

Projecto de observadores assimptóticos de ordem completa.



76

Problema: Estimação do estado

Dada a realização de estado cbA ,, de um sistema:

)()(

)()()(

tcxty

tbutAxtx

Determinar uma estimativa )(ˆ tx de )(tx por observação da entrada e da

saída. Esta estimativa deve ser recursiva, i.e. definida por uma equação

diferencial cuja integração “produza “ )(ˆ tx para todo o t .

u(t)y(t)

x(t)OBSERVADORSISTEMA

^



77

1ª SOLUÇÃO: Observador em cadeia aberta

Réplica do sistema, excitada pela mesma entrada:

u(t)y(t)

SISTEMA

x(t)b

A

^

Será que funciona?



78

Erro de estimação no observador em cadeia aberta

Qual a equação satisfeita pelo erro de estimação xxx ˆ~ ?

Subtraindo a equação do estimador à do estado do sistema:

bubuxxAxx

buxAx

buAxx

)ˆ(ˆ

_____________________

ˆˆ

donde xAx ~~

Conclusão: Com o observador em cadeia aberta, o erro de estimação do

estado apenas tende para zero para sistemas estáveis em cadeia aberta e

com uma taxa que depende dos valores próprios de A .



79

2ª SOLUÇÃO: Observador em cadeia fechada (assimptótico)

u(t) y(t)SISTEMA

x(t)b

A

^

L

Cy(t)^

y(t)-y(t)^

+

-

++

+

Qual a nova equação satisfeita pelo erro?

Sugestão: Escreva as equações do sistema e do observador e subtrai-as usando a equação para y(t).

)(ˆ)()()(ˆ)(ˆ txCtyLtbutxAtx

Vector coluna com

dim L= dim x

Quando a estimativa é a correcta, o termo de

correcção xcy ˆ anula-se e a estimativa

segue a dinâmica do sistema verdadeiro.



80

xcyLbubuxxAxx

xcyLbuxAx

buAxx

ˆ)ˆ(ˆ

_______________________________

ˆˆˆ

Conclusão: Para o observador em cadeia fechada, a equação diferencial que

traduz a evolução no tempo do erro de estimação é

)(~)(~ txLcAtx

y=cx



81

Dinâmica do erro do observador assimptótico

)(~)(~ txLcAtx

Se o par ),( cA fôr observável, podemos posicionar arbitrariamente os valores

próprios da matriz LcA .

Pelo facto de (para realizações observáveis) o ganho L poder ser

dimensionado por forma a que o erro tenda assimptotiocamente para zero,

este tipo de observadores diz-se “assimptótico”.



82

Exemplo: Observador para o integrador duplo

Considere o sistema (integrador duplo):

u 1s

1s

x =yx 12

1. Desenhe um diagrama de blocos de um observador assimptótico do estado

dadas as observações da saída

2. Dimensione o vector de ganhos do estimador por forma a que a matriz da

dinâmica do erro tenha os valores próprios em –1.

Sugestão: Determine as matrizes A, b, c do sistema; Escreva a matriz A-Lc e determine o seu

polinómio característico para L genérico; Dimensione L aplicando o método dos coeficientes

indeterminados.



83

u 1s

1s

x =yx 12

1

2

21

xy

ux

xx

xy

ux

x

x

x

01

1

0

00

10

2

1

2

1

0

101

00

10

2

1

2

1

L

L

L

LLCA 21

2

2

1 1)det( LsLs

sL

LsLcAsI

Pretendemos os valores próprios da dinâmica do erro do observador nas

raízes do polinómio

22)1( 22 sss

Pelo método dos coeficientes indeterminados:

22 21 LL



84

Escolha dos valores próprios da dinâmica do erro

A escolha dos valores próprios de LcA resulta do seguinte compromisso:

Não podem ser muito pequenos, para que o erro não tenda lentamente para

zero;

Não podem ser muito grandes pois, se o estimador fôr muito rápido, pode

ser “enganado” pelos erros de modelação. Em particular, o ganho de malha

resultante quando se fecha a cadeia realimentando as estimativas do

estado deve respeitar a condição de estabilidade robusta.



85

Fórmula de Bass- Gura para o cálculo dos ganhos do Observador

Demonstre o correspondente à fórmula de Bass-Gura para o

dimensionamento dos ganhos do observador.

Sugestão: Escreva uma equação verificada pelo erro na estimativa do estado

com um observador assimptótico e faça a transformação de coordenadas que

a leve à forma canónica do observador:

xTxo ),( CAMOT

1

0

1

001

11

1

aa

aM

n



86

Os ai são os coeficientes do polinómio característico do sistema em cadeia

aberta. A forma canónica do observador é tal como se mostra na figura

seguinte:

b3 b2 b1

x1=yx2x31/s 1/s 1/s

-a3 -a2 -a1

u



87

5.Teorema de Separação

Objectivo:

Mostrar que o observador e o controlador por realimentação da estimativa do

estado podem ser projectados independentemente.



88

Quando o estado não está acessível para medida directa, uma ideia natural

consiste em realimentar a estimativa produzida por um observador

assimptótico. Tem-se a estrutura do compensador (a maneira correcta de

introduzir a referência será discutida posteriormente):

Sistema

Compensador

r +

-

Kx(t)

u(t)b

A

c

L

b

A

c

+

-

+

+

+

++

y(t)x(t)

^

Sistema:

)()()()()( tcxtytbutAxtx

Observador:

)()()(ˆ)()(ˆ tbutLcytxLcAtx

Lei de controlo:

)(ˆ)( txKtu

O sistema compensado é de ordem 2n.



89

Teorema de Separação

O polinómio característico do sistema global (sistema em cadeia aberta e

observador, com realimentação da estimativa do estado) é o produto dos

polinómios característicos de bKA e de LcA .

Este teorema diz-nos que podemos projectar o vector de ganhos K como se

realimentássemos o estado e não a sua estimativa, e o vector de ganhos do

observador L como se estimássemos o estado em cadeia aberta. O

observador e o controlador podem pois ser projectados separadamente.



90

Nota sobre o Teorema de Separação: Em geral, para sistemas não lineares,

o controlador e o observador não podem ser projectados separadamente. Isto

axcontece porque a variável de controlo tem um efeito chamado dual: Por um

lado, permite efectuar a acção de regulação da saída; por outro lado

proporciona a excitação suficiente para se estimar o estado. Estes dois efeitos

conflituam e a escolha do controlo deve ser feito como um compromisso entre

ambos. O efeito de dualidade é conhecido (no âmbito do Controlo Adaptativo)

desde os anos 50, pelos trabalhos de Feld’baum. No caso linear, o conflito

não existe, tendo lugar o teorema de separação. Há classes de sistemas não

lineares para os quais é possível demonstrar “teoremas de separação”. Isto

constitui um tema de investigação actual.



91

Lema

Sejam CA, matrizes quadradas. Então:

CAC

BA

0

Demonstração:

Tem-se: C

C

I

0

0

e ainda A

I

BA

0

Como

I

BA

C

I

C

BA

00

0

0 o resultado conclui-se por o determinante de um

produto de matrizes ser o produtos dos determinantes dos factores.



92

Demonstração do teorema de separação

Equações do sistema e do controlador/observador:

)()()()()( tcxtytbutAxtx

)()()(ˆ)()(ˆ tbutLcytxLcAtx

)(ˆ)( txKtu

Em termos do estado x do sistema a controlar e do estado x̂ do observador,

estas equações escrevem-se

)(ˆ)()( txbKtAxtx

)(ˆ)()()(ˆ txbKLcAtLcxtx



93

)(ˆ)()( txbKtAxtx

)(ˆ)()()(ˆ txbKLcAtLcxtx

Convém trabalhar com o erro de estimação )(ˆ)()(~ txtxtx e não com a

estimativa do estado. Isto corresponde a fazer uma transformação invertível

de coordenadas no estado, pelo que os valores próprios do sistema global

não são alterados. Subtraindo as duas equações anteriores, obtém-se

)(~)()(~ txLcAtx

O sistema global é pois descrito pelas equações

)(~)()(~

)(~)()()(

txLcAtx

txbKtxbKAtx



94

Equações do estado do sistema global:

)(~)()(~

)(~)()()(

txLcAtx

txbKtxbKAtx

Na forma matricial:

x

x

LcA

bKbKA

x

x~0~

Pelo lema anterior, o polinómio característico desta matriz (dinâmica do

sistema global) é:

observadorrcontrolado

LcAsIbKAsILcAsI

bKbKAsI)det(.)det(

0



95

Conclusão: As frequências naturais agrupam-se em dois tipos de termos:

Uma parte dependem apenas do ganho K do controlador, como se fosse

feita uma retroacção do estado e não da sua estimativa.

A outra parte pedende apenas do ganho L do observador, como se o

controlador estivesse ausente.



96

Exemplo: Pêndulo invertido

mLsin f

f

zx

)()()( tLttg fxf

)(sin)()(

)(sin)(

tLttz

tmgtzm

fx

f

Modelo linear válido para ângulos pequenos:

ff sin

)()()(

)()(

tLttz

tgtz

fx

f



97

)()()( tLttg fxf

Definam-se:

Variáveis de estado: ff 21 xx Entrada manipulada: Lu /x

Obtém-se o modelo de estado:

uxLg

x

1

0

0/

10

xy 01

Para concretizar toma-se 9/ Lg .



98

uxx

1

0

09

10

xy 01

Projecto do controlador supondo acesso ao estado:

21

219

10

1

0

09

10

kkkkbKA

)9(9

1)det( 12

2

21

ksksksk

sbKAsI

Polinómio característico especificado: 22)( 2 sss

Comparando os coeficientes dos dois polinómios, obtém-se

211 21 kk



99

A estrutura do observador é uma réplica do sistema com as derivadas dos

estados adicionadas do erro da saída amplificado pelos ganhos 1L e 2L :

9

1/s 1/s

9

+

-

xx

-

+

- +

+

1/s 1/s

L

L

xx yu

^^

1

1

2

2

1

2



100

Para o dimensionamento dos ganhos do observador, temos de posicionar os

valores próprios da matriz LcA .

09

101

09

10

2

1

2

1

L

L

L

LLcA

99

1)det( 21

2

2

1

LsLs

sL

LsLcAsI

Se desejarmos os valores próprios nas raízes de

3284)4()( 222 sssso

Os ganhos do observador devem ser

418 21 LL



101

O controlador é obtido realimentando as estimativas dos estados:

9

1/s 1/s

9

+

-

xx

-

+

- +

+

1/s 1/s

L

L

xx yu

^^

1

1

2

2

1

2

-

k k12



102

Resposta na regulação de uma condição inicial não nula

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12



103

Função de transferência do compensador

Modelo do processo em cadeia aberta:

cxy

buAxx

bAsIcsGp

1)()(

Modelo de estado do observador:

LybuxLcAx ˆ)(̂

LyxbKLcAx ˆ)(̂

xKu ˆ

xKu ˆ



104

LyxbKLcAx ˆ)(̂

xKu ˆ

O compensador (conjunto observador+retroacção da estimativa do estado) é

descrito, por estas equações, como tendo dinâmica bKLcA , entrada y e

saída u . A função de transferência do compensador é pois

LbKLcAsIKsGc

1)()(

G (s)

G (s)

u y

Processo

Compensadorc

p



105

Exemplo: Função de transferência do compensador

xy

ux

x

x

x

01

1

0

00

10

2

1

2

1

2

1)(

ssGp

Pólos da cadeia fechada desejados, dados pelas raízes do polinómio

12)( 2 sss Ganhos do controlador: 21K

Dinâmica do erro do observador:

12)( 2 sss Ganhos do observador

25

5L

Função de transferência do compensador: 77.421.3

)62.0(4.40)(

js

ssGc



106

Como se vê, a função de transferência do compensador e, por conseguinte o

ganho de malha, dependem dos ganhos K e L . Estes ganhos podem pois

ser encarados como “botões de ajuste” que permitem moldar o ganho de

malha por forma a satisfazer especificações.



107

6.Seguimento de referências e efeito integral

Objectivo:

Mostrar como é possível modificar o regulador de retroacção de variáveis de

estado por forma a seguir referências não nulas, incluindo ou não efeito

integral.



108

Seguimento de referências não nulas

Temos considerado até agora o problema de projectar controladores que

levem o estado do processo para zero, rejeitando assim perturbações que

tenham causado condições iniciais não nulas. Este problema é conhecido

como problema de regulação.

Em geral, no entanto, pretendem seguir-se referências não nulas,

eventualmente variáveis. Neste último caso o problema diz-se problema do

servomecanismo (isto é uma “herança dos tempos em que os controladores

visavam movimentar sistemas mecânicos, por exemplo lemes de navios –

anos 20 – ou canhões – anos 40).



109

Possibilidades de inclusão da referência

Modelo do processo:

cxybuAxx

Controlador:

MrLyxLcbKAx ˆ)(̂

NrxKu ˆ

Há várias possibilidades para a escolha de M (vector) e N (escalar).

De acordo com estas possibilidades resultam vários tipos de resposta à

referência. Vamos considerara duas hipóteses.



110

a) Escolher M e N por forma a que

a equação de erro não dependa da referência r

Com a lei de controlo incorporando a referência, o erro satisfaz

MrLyxLcbKA

NrxKBAxxx

ˆ)(

)ˆ(̂

ou seja

rMbNxLcAx

0

)(~)(~

Para que este termo se anule, deve escolher-se

bNM



111

Com esta escolha ( NbM ), tem-se:

NbrLyxLcbKAx ˆ)(̂

Reagrupando:

LyNrxKbxLcAx

u

)ˆ(ˆ)(ˆ

Ou seja, as equações do controlador podem escrever-se:

LybuxLcAx ˆ)(̂

NrxKu ˆ



112

Estrutura do controlador por forma a que o erro de estimação

do estado não dependa da referência

LybuxLcAx ˆ)(̂

NrxKu ˆ

rN

K

+

-

u y

x

Processo

Observador^



113

b) Escolher M e N por forma a que

o erro de seguimento yre seja usado no controlador

MrLyxLcbKAx ˆ)(̂

NrxKu ˆ

Escolhendo

LMN 0

O controlador fica definido pelas equações

LexLcbKAx ˆ)(̂

xKu ˆ



114

Estrutura do compensador por forma a usar o erro de seguimento

LexLcbKAx ˆ)(̂

xKu ˆ

Observador ProcessoKuxer +

-

y^



115

Inclusão de efeito integral

Uma maneira de introduzir o efeito integral é aumentar o estado x do

processo com o estado Ix do integrador do erro. Repare-se que derivando

t

I drytx0

))(()( para .constr , obtém-se )()( tCxtxI

O conjunto sistema+integrador é pois descrito pelo modelo de estado

aumentado:

rub

x

x

c

A

x

x

II

1

0

00

0



116

rub

x

x

c

A

x

x

II

1

0

00

0

A este modelo podem ser aplicadas as técnicas estudadas antes. Em

particular, se o estado fôr acessível e com 0r

I

Ix

xkKu 0

e tem-se a estrutura seguinte para o controlador

r -

+

1

s-k

-k

Processo

x

yxI

o

I

+

+



117

O modelo de estado aumentado

ub

x

x

c

A

x

x

II

00

0

é controlável mas não é observável (demonstre!).

Podemos no enatnto estimar apenas o estado x com um observador, e usar a

medida directa do estado do integrador Ix (dado que é gerado pelo

computador de controlo).

Nestas condições continua a ser válido o teorema de separação (demonstre!).



118

Um outra maneira de introduzir efeito integral: integrador em série

Incluir um integrador em série à entrada do sistema:

1

s

u=xIu yx=Ax+bu

y=cx

.

xxI

Modelo de estado aumentado (controlável e observável):

ux

xbA

x

x

II

1

0

00

Ix

xcy 0

Projectar o controlador usando o modelo de estado aumentado.

retroacção linear de variáveis de estado · poincaré e lyapunov (que já consideravam problemas...

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