henri poincaré cientista e matemático universalista

Quem e Poincare?Sistemas Dinamicos

Mecanica CelesteMuito mais Ciencia

Para saber mais

Henri PoincareCientista e Matematico Universalista

Marcelo Viana

IMPA - Rio de Janeiro

Bienal de Matematica 2012

Marcelo Viana Henri Poincare

Para saber mais

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1 Quem e Poincare?

2 Sistemas Dinamicos

3 Mecanica Celeste

4 Muito mais Ciencia

5 Para saber mais

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Jules-Henri Poincare (1854-1912)

“La pensee n’est qu’un eclair au milieu d’une longue nuit.Mais c’est cet eclair qui est tout.”

Henri Poincare

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Henri Poincare

Contribui para a maioria das disciplinas da Matematica ecria novas disciplinas: Teoria das Funcoes Automorfas,Topologia Algebrica, Sistemas Dinamicos.Abre o caminho para a Teoria das Funcoes de VariasVariaveis Complexas e para a Analise Assintotica.

Revoluciona a Mecanica Celeste, descobrindo o ‘caos’.Encontra novos equilıbrio dos astros e propoe um novomecanismo para a formacao das estrelas duplas.E um dos fundadores da Teoria da Relatividade Restrita,de cujas consequencias para o movimento dos planetasse apercebe.

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Henri Poincare

Influencia o desenvolvimento da Fısica do seu tempo,participando ativamente nos grandes debates, propondoexplicacoes e sugerindo novos experimentos.E professor excepcional. Ensina (na Sorbonne, na EcolePolytechnique etc) temas muito variados na vanguarda daMatematica e da Fısica.Seus cursos sao quase sempre redigidos e publicados,contribindo para aprimorar e divulgar as novas teorias deBoltzmann, Maxwell, Lorentz e outros.Atua frequentemente como perito cientıfico do governo eda justica (por exemplo, no famoso processo Dreyfus).

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Henri Poincare

Participa ativamente nos grandes debates filosoficos doseu tempo. Publica obras de Filosofia da Ciencia quealcancam grande popularidade entre o grande publico.E excepcional divulgador da Ciencia.

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Henri Poincare

Nasce em Nancy em 29 de abril de 1854. Seu pai edecano da Faculdade de Medicina.

Em 1860 nasce seu primo Raymond Poincare, que seraPrimeiro Ministro e Presidente da Republica da Franca.

Primeiro colocado no vestibular da Ecole Polytechnique,em 1873, e da Ecole des Mines, em 1875. Termina agraduacao em 1876.Em 1879 trabalha como Engenheiro de Minas, obtem odoutorado em Matematica pela Universidade de Paris etorna-se professor na Universidade de Caen.

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Henri Poincare

Casa em 1881 com Louise Poulain d’Andecy. O casal teraquatro filhos: Jeanne, Yvonne, Henriette e Leon.

Professor na Sorbonne, ensina Mecanica, FısicaMatematica, Calculo das Probabilidades, AstronomiaMatematica e Mecanica Celeste.Desde 1883 tambem e professor na Ecole Polytechnique.Ensina Analise e, mais tarde, Astronomia Geral.

A partir de 1902 ensina Eletricidade Teorica na EcoleProfessionelle Superieure des Postes et Telegraphes.Resolve a famosa ‘equacao dos telegrafistas’.

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Henri Poincare

Eleito membro da Academia das Ciencias em 1887 e doBureau des Longitudes em 1893. Nomeado EngenheiroChefe de Minas.Presidente da Sociedade Francesa de Matematica em1886 e 1900 da Sociedade Francesa de Fısica em 1902.Presidente do Bureau des Longitudes, tres vezes.Juntamente com Emile Zola, Anatole France, GeorgeClemenceau e outros intelectuais franceses, defendepublicamente o capitao Alfred Dreyfus.Morre em Paris em 17 de julho de 1912. Em 1928 e criadoo Institut Henri Poincare, em Paris. A Universidade deNancy 1 passa a ter o seu nome em 1994.

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Henri Poincare

Œuvres Scientifiques (Gauthier-Villars), 10 volumes:

1 Equacoes diferenciais2 Funcoes automorfas3 Integracao algebrica de equacoes diferenciais4 Funcoes analıticas de uma ou mais variaveis5 Aritmetica6 Geometria algebrica, topologia algebrica7 Mecanica analıtica, mecanica celeste8 Mecanica celeste e geodesia9 Fısica matematica, fısica teorica

10 Fısica matematica, fısica teorica

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Henri Poincare

A bibliografia de Henri Poincare listada por Felix Browder emThe mathematical heritage of Poincare, vol II contem 547trabalhos, entre livros, artigos, notas de cursos, coletaneas,discursos, apresentacoes etc.

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Teoria qualitativaAlgumas ferramentas

Equacoes diferenciais

= F (X ), X ∈ Rd

Antes de Poincare, a teoria das equacoes diferenciais seresume a:

‘receitas’ avulsas para resolver analiticamente certasequacoes erudimentos de teoria local: comportamento das solucoesperto de um ponto estacionario.

Poincare da importantes contribuicoes a teoria local na suatese de doutorado, realizada sob a orientacao de Hermite.Esse trabalho dara origem a Analise Assintotica.

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= F (X ), X ∈ Rd

Antes de Poincare, a teoria das equacoes diferenciais seresume a:

‘receitas’ avulsas para resolver analiticamente certasequacoes erudimentos de teoria local: comportamento das solucoesperto de um ponto estacionario.

Poincare da importantes contribuicoes a teoria local na suatese de doutorado, realizada sob a orientacao de Hermite.Esse trabalho dara origem a Analise Assintotica.

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Mas a grande maioria das equacoes diferenciais nao pode serresolvida analiticamente... E Poincare compreende que

o grande objetivo deve ser o estudo do comportamentoglobal das solucoes;a expressao explıcita de uma dada solucao (supondo queseja possıvel encontra-la) provavelmente nao tera muitautilidade para esse fim.

Por isso, ele defende que mais importante do que ‘resolver’uma equacao e descrever qualitativamente o comportamentodas suas solucoes.Em Memoire sur les courbes definies par une equationdifferentielle (1881) ele fornece diversas ferramentas para tal.

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Mas a grande maioria das equacoes diferenciais nao pode serresolvida analiticamente... E Poincare compreende que

o grande objetivo deve ser o estudo do comportamentoglobal das solucoes;a expressao explıcita de uma dada solucao (supondo queseja possıvel encontra-la) provavelmente nao tera muitautilidade para esse fim.

Por isso, ele defende que mais importante do que ‘resolver’uma equacao e descrever qualitativamente o comportamentodas suas solucoes.Em Memoire sur les courbes definies par une equationdifferentielle (1881) ele fornece diversas ferramentas para tal.

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Teorema de Poincare-Hopf

Equacoes diferenciais polinomiais no plano (ou na esfera)(dxdt,dydt

)= (P(x , y),Q(x , y))

tem 3 tipos genericos de pontos estacionarios:

FocoSelaNó

TeoremaN − S + F = 2, quaisquer que sejam P(x , y) e Q(x , y).

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Teorema de Poincare-Hopf

Esse teorema sera generalizado por Einz Hopf em 1926, paratodo campo de vetores diferenciavel numa variedadecompacta.

Antes disso, Poincare generaliza a formula de Euler paravariedades de qualquer dimensao (via numeros de Betti).

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Problema do centro

Poincare esta interessado em outro tipo de ponto estacionario,que e raro mas importante para sistemas com conservacao daenergia: o centro.

ProblemaQuais campos de vetores (conservativos) admitem centros?

O teorema de Poincare-Lyapunov da uma condicao necessariae suficiente, para campos de vetores analıticos.

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Problema do centro

Poincare esta interessado em outro tipo de ponto estacionario,que e raro mas importante para sistemas com conservacao daenergia: o centro.

ProblemaQuais campos de vetores (conservativos) admitem centros?

O teorema de Poincare-Lyapunov da uma condicao necessariae suficiente, para campos de vetores analıticos.

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Teorema de Poincare-Bendixson

(dxdt,dydt

)= (P(x , y),Q(x , y))

TeoremaSeja ω(x , y) o conjunto de acumulacao, quanto o tempo vaipara +∞, da solucao que passa por (x , y). Entao,

1 ω(x , y) = um ponto de equilıbrio2 ω(x , y) = uma solucao periodica (ciclo limite)3 ω(x , y) = um grafo

Generalizado por Ivar Otto Bendixson para campos de vetoresdiferenciaveis do plano ou da esfera.

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A demonstracao e uma combinacao de dois ingredientes:

o Teorema da Curva Fechada de Jordana nocao de ‘transformacao de Poincare’ de uma equacaodiferencial:

16o problema de HilbertQual e o numero maximo de ciclos limite de um campo devetores polinomial de grau d ≥ 2?

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A demonstracao e uma combinacao de dois ingredientes:

o Teorema da Curva Fechada de Jordana nocao de ‘transformacao de Poincare’ de uma equacaodiferencial:

16o problema de HilbertQual e o numero maximo de ciclos limite de um campo devetores polinomial de grau d ≥ 2?

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Estabilidade do Sistema SolarPremio de Oskar IIMethodes nouvellesCaos determinıstico

Estabilidade do Sistema Solar

Newton prova que, se ignorarmos a interacao gravitacionalentre os planetas, a Lei de Gravitacao implica que os planetasse movem em orbitas elıticas com o Sol num dos focos, talcomo proposto por Kepler.

Laplace, Leverrier, Adams e outros grandes astronomos obtemsolucoes cada mais precisas, incorporando sucessivamente asinteracoes entre os maiores planetas (Jupiter, Saturno, Urano).Assim e descoberto Netuno, por Johann Galle.

Isto conduz a tentar obter as solucoes do problema na formade expansao em series trigonometricas (‘series de Lindstedt’).E tomado como fato que estas series convergem.

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ProblemaO Sistema Solar e estavel?

Newton achava que nao: ele acreditava que o funcionamentodo Sistema Solar requer intervencao regular de Deus.

Na epoca de Poincare esse problema esta ligado a questao daconvergencia das series de Linstedt. Ele viria a se estender aolongo do seculo 20 e as respostas ainda sao parciais:

teoria de Kolmogorov, Arnold, Moser (1954-1962)simulacoes numericas de Jacques Laskar (1990).

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ProblemaO Sistema Solar e estavel?

Newton achava que nao: ele acreditava que o funcionamentodo Sistema Solar requer intervencao regular de Deus.

Na epoca de Poincare esse problema esta ligado a questao daconvergencia das series de Linstedt. Ele viria a se estender aolongo do seculo 20 e as respostas ainda sao parciais:

teoria de Kolmogorov, Arnold, Moser (1954-1962)simulacoes numericas de Jacques Laskar (1990).

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Premio do Rei Oskar II

Em 1885, o rei Oskar II da Suecia e Noruega anuncia umpremio para ‘uma descoberta importante no domınio da analisematematica superior’. A entrega sera em 21 de abril de 1889,aniversario de 60 anos do rei.

Por tras da proposta esta o matematico sueco Magnus GostaMittag-Leffler, que preside o juri. Os outros membros do jurisao Karl Weierstrass e Charles Hermite.

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O juri seleciona quatro temas. Instado a participar, Poincareescolhe o estudo do comportamento de um sistema formadopor um numero qualquer de corpos que se atraem mutuamentesegundo a lei de Newton, incluindo o problema da estabilidadedo Sistema Solar.

Mesmo sem resolver o problema (de fato, ele ‘so’ trata algumasquestoes do chamado problema restrito dos tres corpos), otrabalho de Poincare ganha facilmente o premio de Kr$ 2.500.

O artigo com os seus resultados, intitulado Sur le probleme destrois corps et les equations de la dynamique sera publicado narevista Acta Mathematica, dirigida por Mittag-Leffler.

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O erro de Poincare

Mas... ao final da revisao o jovem Lars Edvard Phragmendescobre um erro no artigo! Poincare confirma que o erro eserio e que ele compromete boa parte do trabalho.

Mittag-Leffler fica muito preocupado. A sua propria reputacao,que ele tanto preza, esta em risco...

Para piorar a situacao, Weierstrass faz questao que o erro sejamencionado no relatorio final do juri.

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O erro de Poincare

Mas... ao final da revisao o jovem Lars Edvard Phragmendescobre um erro no artigo! Poincare confirma que o erro eserio e que ele compromete boa parte do trabalho.

Mittag-Leffler fica muito preocupado. A sua propria reputacao,que ele tanto preza, esta em risco...

Para piorar a situacao, Weierstrass faz questao que o erro sejamencionado no relatorio final do juri.

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O erro de Poincare

Mittag-Leffler parte para recuperar (quase) todas as copias daActa Mathematica que ja tinham sido distribuıdas e informaPoincare de que ele tera que pagar a reimpressao.

Sem questionar, Poincare paga Kr$ 3.585 (Kr$ 1.000 mais doque o premio!). A edicao corrigida e impressa e divulgada.

O idoso Weierstrass nao encontra a ocasiao para escrever orelatorio final do juri e Mittag-Leffler ‘esquece’ de faze-lo.Poincare recebe enfim o premio.

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O erro de Poincare

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O erro de Poincare

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Methodes nouvelles

O artigo de Poincare vira a dar origem a obra em 3 volumesLes methodes nouvelles de la Mecanique Celeste, publicadaentre 1892 e 1899.

Poincare confirma que as series de Lindstedt sao divergentes,em geral, mas tambem explica que nem por isso elas deixamde ser uteis. O problema da estabilidade continua aberto.

As Methodes nouvelles contem muitos outros avancos que vaoincorporar a nova disciplina de Sistemas Dinamicos. E, ao finaldas contas, o erro conduz Poincare a descobrir o fenomenochamado caos determinıstico.

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Methodes nouvelles

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Teorema de recorrencia

Poincare prova que o seguinte teorema de estabilidade:

TeoremaQuase toda a trajetoria do problema restrito dos 3 corposregressa arbitrariamente perto da sua posicao inicial.

Esta conclusao vale para qualquer sistema que preserva umamedida finita (teorema de recorrencia de Poincare).

Embora a demonstracao seja bastante curta, trata-se de umresultado profundo, que esta na origem da Teoria Ergodica.

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Teorema de recorrencia

Poincare prova que o seguinte teorema de estabilidade:

TeoremaQuase toda a trajetoria do problema restrito dos 3 corposregressa arbitrariamente perto da sua posicao inicial.

Esta conclusao vale para qualquer sistema que preserva umamedida finita (teorema de recorrencia de Poincare).

Embora a demonstracao seja bastante curta, trata-se de umresultado profundo, que esta na origem da Teoria Ergodica.

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Solucoes periodicas

Poincare encontra diversas solucoes periodicas do problemarestrito dos 3 corpos. O assunto e classico (Newton, Euler,Jacobi, Hill) e continua sendo tema de pesquisa nos dias dehoje (Moore 1993, Chenciner e Montgomery 2001 etc).

Mas para Poincare ele e parte de uma proposta abrangente einovadora:Alias, o que torna estas solucoes periodicas tao preciosas e que elas sao,por assim dizer, as unicas brechas por onde podemos tentar penetrar numlocal que ate aqui pensavamos ser inatingıvel.

Hadamard: ... foi Poincare quem mostrou que as solucoes periodicas sao uminstrumento, um dos mais poderosos de que dispomos, para a pesquisa e oestudo das demais solucoes.

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Ultimo teorema de Poincare

Poincare desenvolve varios metodos para construir solucoesperiodicas. Alguns meses antes de morrer ele encontra:

Teorema (provado por George Birkhoff em 1913)

Seja f : A→ A um homeomorfismo do anel que preserva areae roda os dois bordos em sentidos contrarios. Entao f tem doisponto fixos, pelo menos.

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Existencia de geodesicas fechadas

Poincare interessa-se por este tema por ser ‘o mais simples detodos os problemas de Dinamica’: ele contem a ‘dificuldadeprincipal’ do teorema dos 3 corpos mas esta ‘livre de todas asdificuldades secundarias’.

Em Sur les lignes geodesiques des surfaces convexes (1905),ele prova que toda superfıcie convexa tem alguma geodesicasimples fechada.

George Birkhoff prova que qualquer metrica riemanniana numaesfera Sd possui pelo menos uma geodesica fechada (todasuperfıcie convexa e difeomorfa a esfera S2).

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Existencia de geodesicas fechadas

Poincare interessa-se por este tema por ser ‘o mais simples detodos os problemas de Dinamica’: ele contem a ‘dificuldadeprincipal’ do teorema dos 3 corpos mas esta ‘livre de todas asdificuldades secundarias’.

Em Sur les lignes geodesiques des surfaces convexes (1905),ele prova que toda superfıcie convexa tem alguma geodesicasimples fechada.

George Birkhoff prova que qualquer metrica riemanniana numaesfera Sd possui pelo menos uma geodesica fechada (todasuperfıcie convexa e difeomorfa a esfera S2).

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Infinitas geodesicas fechadas

Para variedades com grupo fundamental suficientemente rico,e possıvel provar a existencia de infinitas geodesicas fechadasusando Teoria de Morse (mınimos da funcao comprimento).

Em 1993, Victor Bangert – baseado em trabalhos de Poincare,Birkhoff, Lyusternik, Schnirelmann, Ballmann, Franks etc –prova que qualquer metrica riemanniana em S2 admite infinitasgeodesicas fechadas.

No caso das esferas Sd com d > 2 essa questao esta aberta.

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Infinitas geodesicas fechadas

Para variedades com grupo fundamental suficientemente rico,e possıvel provar a existencia de infinitas geodesicas fechadasusando Teoria de Morse (mınimos da funcao comprimento).

Em 1993, Victor Bangert – baseado em trabalhos de Poincare,Birkhoff, Lyusternik, Schnirelmann, Ballmann, Franks etc –prova que qualquer metrica riemanniana em S2 admite infinitasgeodesicas fechadas.

No caso das esferas Sd com d > 2 essa questao esta aberta.

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Pontos homoclınicos

Na busca para compreender o erro no seu trabalho, Poincaredescobre o fenomeno dos pontos homoclınicos. Sabemosagora que ele esta na origem do chamado caos determinıstico.

“E impressionante a complexidade desta figura, que eu nem mesmo tentotracar. Nada e mais adequado para nos dar uma ideia da complicacao doproblema dos tres corpos e, em geral, de todos os problemas de Dinamica...”

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MatematicaFısicaAplicacoesFilosofiaDivulgacao da Ciencia

Analise assintotica

Na sua tese, e em trabalhos posteriores, Poincare encontrainumeros exemplos em que expansoes assintoticas, ainda quedivergentes, sao uteis para aproximar solucoes de equacoesdiferenciais etc.

Duas funcoes f e g dizem-se assintoticas num ponto a se

limx→a

f (x)g(x)

Usualmente, consideramos a =∞ e entao escrevemos f ∼ g.

Exemplo: Formula de Stirling

n! ∼√

2πn(n

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Analise assintotica

Na sua tese, e em trabalhos posteriores, Poincare encontrainumeros exemplos em que expansoes assintoticas, ainda quedivergentes, sao uteis para aproximar solucoes de equacoesdiferenciais etc.

Duas funcoes f e g dizem-se assintoticas num ponto a se

limx→a

f (x)g(x)

Usualmente, consideramos a =∞ e entao escrevemos f ∼ g.

Exemplo: Formula de Stirling

n! ∼√

2πn(n

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Analise assintotica

Por vezes, dada f e possıvel encontrar funcoes gk , k ≥ 1 taisque f ∼ g1 e

f − (g1 + · · ·+ gk ) ∼ gk+1 para todo k .

Escrevemos f ∼∑∞

k=1 gk embora a serie assintotica∑∞

k=1 gkseja divergente, em geral.

Exemplo: Formula de Euler-MacLaurin

log n! ∼ log√

2πn(n

)n+∞∑

(2k)(2k − 1)n2k−1

onde os B2k sao os numeros de Bernoulli (a serie diverge).

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Funcoes automorfas

Poincare alcancou fama internacional em 1881-1882 com asua teoria das funcoes automorfas, que ele desenvolveu pararesolver certas equacoes diferenciais.

Uma funcao meromorfa ϕ numa superfıcie de Riemann Sdiz-se automorfa se

ϕ = ϕ g

para todo g num grupo discreto de automorfismos de S.

Poincare falava de funcao fuchsiana quando S e o disco e funcao kleiniananos demais casos.

Felix Klein nao gostou destas homenagens... e chamou todas de funcoesautomorfas. Poincare retrucou citando o grande poema Fausto de Goethe:Name is Schaull und Rauch. (Um nome nao passa de ruıdo e fumaca.)

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Funcoes automorfas

ϕ = ϕ g

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Funcoes automorfas

ϕ = ϕ g

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Funcoes automorfas

Poincare consegue calcular todos os grupos fuchsianos etodas as funcoes fuchsianas. A teoria das funcoes automorfastambem conduz ao

Teorema de Uniformizacao

Toda superfıcie de Riemann compacta conexa e isomorfa1 a esfera de Riemann ou2 ao quociente do plano por algum reticulado Zω1 + Zω2

3 ou ao quociente do disco por algum grupo fuchsiano.

Este resultado notavel foi descoberto (sem demonstracao) porPoincare e por Klein, cerca de 1881, e foi provado por Poincaree por Koebe, independentemente, em 1907.

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Funcoes automorfas

Inicialmente, Poincare acreditava que funcoes fuchsianas naoexistem:Durante quinze dias me esforcei para demonstrar que nao existiam [funcoesfuchsianas]. Eu era muito ignorante. Todo o dia eu me sentava a mesa detrabalho e aı passava uma hora ou duas, tentando varias combinacoes, enao chegava a nenhum resultado.

Mas “os matematicos transformam cafe em teoremas”:Um serao, contra o meu costume, tomei cafe preto e nao consegui dormir. Asideias afluiam sem parar. Eu as sentia chocando entre si, ate que duas delasse acomodavam, digamos assim, para formar uma combinacao estavel. Pelamanha, eu tinha provado a existencia de uma classe de funcoes fuchsianas[...]. So faltava redigir os resultados, o que tomou apenas algumas horas.

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Funcoes automorfas

Inicialmente, Poincare acreditava que funcoes fuchsianas naoexistem:Durante quinze dias me esforcei para demonstrar que nao existiam [funcoesfuchsianas]. Eu era muito ignorante. Todo o dia eu me sentava a mesa detrabalho e aı passava uma hora ou duas, tentando varias combinacoes, enao chegava a nenhum resultado.

Mas “os matematicos transformam cafe em teoremas”:Um serao, contra o meu costume, tomei cafe preto e nao consegui dormir. Asideias afluiam sem parar. Eu as sentia chocando entre si, ate que duas delasse acomodavam, digamos assim, para formar uma combinacao estavel. Pelamanha, eu tinha provado a existencia de uma classe de funcoes fuchsianas[...]. So faltava redigir os resultados, o que tomou apenas algumas horas.

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Varias variaveis complexas

Em 1883, Poincare obtem o seu primeiro resultado importantenesta area: Toda funcao meromorfa em C2 e quociente deduas funcoes holomorfas.

Weierstrass havia provado o caso de funcoes a uma variavel. Pierre Cousinestende o resultado para n variaveis em 1994.

Mas a contribuicao maior de Poincare e a Teoria dos Resıduos:Cabe a Cauchy a gloria de ter fundado a teoria das integrais entre limitesimaginarios; esta teoria duplicou o poder da Analise, por assim dizer [...]Parecia que nao terıamos mais que estender a teoria as integrais duplas eassim obter conquistas tao belas como se obtem das integrais simples [...]no entanto, ao cabo de quarenta anos estamos praticamente no mesmoponto onde comecamos.

Para saber mais

Em 1883, Poincare obtem o seu primeiro resultado importantenesta area: Toda funcao meromorfa em C2 e quociente deduas funcoes holomorfas.

Weierstrass havia provado o caso de funcoes a uma variavel. Pierre Cousinestende o resultado para n variaveis em 1994.

Mas a contribuicao maior de Poincare e a Teoria dos Resıduos:Cabe a Cauchy a gloria de ter fundado a teoria das integrais entre limitesimaginarios; esta teoria duplicou o poder da Analise, por assim dizer [...]Parecia que nao terıamos mais que estender a teoria as integrais duplas eassim obter conquistas tao belas como se obtem das integrais simples [...]no entanto, ao cabo de quarenta anos estamos praticamente no mesmoponto onde comecamos.

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Em Sur les residus des integrales doubles (1887), Poincare:comeca por formular a integral multipla (a ‘integral desuperfıcie’) de forma adequadacaracteriza quando a integral nao depende da superfıciede integracao (apenas do bordo) dω = 0descobre a formula de Stokes generalizada:∫

∂Ωω =

e obtem o teorema fundamental dos resıduos.

Este trabalho leva Poincare a descobrir a homologia, em 1895,e influenciara decisivamente o trabalho de Georges De Rhamsobre cohomologia (1932).

Para saber mais

Em Sur les residus des integrales doubles (1887), Poincare:comeca por formular a integral multipla (a ‘integral desuperfıcie’) de forma adequadacaracteriza quando a integral nao depende da superfıciede integracao (apenas do bordo) dω = 0descobre a formula de Stokes generalizada:∫

∂Ωω =

e obtem o teorema fundamental dos resıduos.

Este trabalho leva Poincare a descobrir a homologia, em 1895,e influenciara decisivamente o trabalho de Georges De Rhamsobre cohomologia (1932).

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Topologia Algebrica

Dificuldades encontradas por Poincare em diversos estudos oconvencem de queUm metodo que nos fizesse conhecer as relacoes quantitativas no espacocom mais de tres dimensoes poderia, numa certa medida, prestar servicosanalogos aqueles que nos prestam as figuras. Tal metodo so pode ser aAnalysis situs em mais que tres dimensoes.

O que Poincare vai fazer para responder a essa necessidade eimpressionante.

Para saber mais

Topologia Algebrica

Em Analysis situs (1895) e seus complementos (1899-1904):

da uma definicao de variedade (analıtica) por meio decartas locaistorna precisa a nocao de integral de uma forma diferencialsobre uma subvariedadedefine os espacos de homologia, cujas dimensoes elechama ‘numeros de Betti’prova a dualidade de Poincare para variedades fechadasorientaveisestuda as ‘triangulacoes’ de variedades, o que o conduz adefinir o grupo fundamental de uma variedade.generaliza a formula de Euler para poliedros quaisquer.

Para saber mais

Conjectura de Poincare

Poincare observa que o grupo fuchsiano na uniformizacao deuma superfıcie de Riemann e o grupo fundamental da mesma.

Duas variedades fechadas de dimensao 2 que tem os mesmosgrupos de Betti sao homeomorfas.

Mas Poincare encontra (1904) uma variedade de dimensao 3com homologia trivial e que nao e homeomorfa a S3.

Sera possıvel que o grupo fundamental de uma variedade dedimensao 3 se reduza ao elemento identidade e, no entanto, avariedade nao seja a esfera?

Poincare observa: Mas essa questao nos levaria longe demais.

Para saber mais

ConjecturaSe M e variedade de dimensao d com os mesmos grupos dehomotopia que a esfera Sd entao M ' Sd .

d ≥ 5 por Stephen Smale em 1960 (Medalha Fields 1966),d = 4 por Michael Freedman em 1982 (Medalha Fields 1986)d = 3 por Grigory Perelman em 2003 (Medalha Fields em 2006).

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Teoria da Relatividade

Em A Ciencia e a Hipotese (1902, tres anos antes do artigo em queEinstein cria a Teoria da Relatividade Restrita), Poincare escreve:

1 Nao existe espaco absoluto, nos apenas concebemosmovimentos relativos.

2 Nao existe tempo absoluto; dizer que duas duracoes sao iguaise uma afirmacao que nao tem qualquer sentido.

3 Nao temos sequer como comprovar a simultaneidade de doiseventos que tenham lugar em pontos distintos.

4 Ate a nossa geometria euclideana nao e mais que uma especiede convencao de linguagem.

Para saber mais

A contribuicao de Poincare para a relatividade do tempo vemde 1898 quando, motivado por sua experiencia no Bureau desLongitudes, ele aponta que a ideia de simultaneidade (logo, deduracao) de eventos longınquos nao tem sentido.

Na sua palestra no St. Louis Mathematics Congress, em 1904,ele formula o Postulado da Relatividade:

As leis dos fenomenos fısicos devem ser as mesmas para um observadorfixo e para um observador em movimento de translacao uniforme, de modoque nao temos, nem podemos ter nenhum meio para descobrir se nosmesmos estamos ou nao sujeitos a um tal movimento.

Ele insiste que este princıpio vale para todos os fenomenosfısicos, inclusive o eletromagnetismo.

Para saber mais

Poincare ajuda a encontrar a expressao correta das famosastransformacoes de Lorentz:

x ′ =x − vt√

1− v2/c2t ′ =

t − vx/c2√1− v2/c2

Ele insiste que tais transformacoes precisam formar um grupoe mostra que, entao, as transformacoes acima sao as unicaspossıveis, num universo homogeneo e causal.

Lorentz: Poincare, pelo contrario, obteve invariancia perfeita das equacoesdo eletromagnetismo e formulou o ‘postulado da relatividade’, termos que elefoi o primeiro a usar [...] Acrescentemos que, corrigindo as imperfeicoes domeu trabalho, ele nunca me censurou por elas.

Para saber mais

Poincare ajuda a encontrar a expressao correta das famosastransformacoes de Lorentz:

x ′ =x − vt√

1− v2/c2t ′ =

t − vx/c2√1− v2/c2

Ele insiste que tais transformacoes precisam formar um grupoe mostra que, entao, as transformacoes acima sao as unicaspossıveis, num universo homogeneo e causal.

Lorentz: Poincare, pelo contrario, obteve invariancia perfeita das equacoesdo eletromagnetismo e formulou o ‘postulado da relatividade’, termos que elefoi o primeiro a usar [...] Acrescentemos que, corrigindo as imperfeicoes domeu trabalho, ele nunca me censurou por elas.

Para saber mais

Estes e outros resultados aparecem em Sur la dynamique del’electron, submetido aos Comptes Rendus de l’Academie desSciences de Paris em 5 de junho de 1905.

O famoso artigo de Albert Einstein Zur Elektrodynamikbewegter Korper e submetido aos Annalen de Physik tressemanas depois, em 30 de junho de 1905.

Do ponto de vista pratico, as teorias Poincare e de Einstein sao equivalentes.Conceitualmente, a proposta de Einstein e muito mais inovadora.Alem disso, o ano de 1905 encerra a participacao de Poincare neste tema,enquanto que para o Einstein e o inıcio de uma trajetoria fantastica.Ainda assim, e claro que a contribuicao de Poincare a Relatividade estalonge de ser reconhecida como merece.

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Estes e outros resultados aparecem em Sur la dynamique del’electron, submetido aos Comptes Rendus de l’Academie desSciences de Paris em 5 de junho de 1905.

O famoso artigo de Albert Einstein Zur Elektrodynamikbewegter Korper e submetido aos Annalen de Physik tressemanas depois, em 30 de junho de 1905.

Do ponto de vista pratico, as teorias Poincare e de Einstein sao equivalentes.Conceitualmente, a proposta de Einstein e muito mais inovadora.Alem disso, o ano de 1905 encerra a participacao de Poincare neste tema,enquanto que para o Einstein e o inıcio de uma trajetoria fantastica.Ainda assim, e claro que a contribuicao de Poincare a Relatividade estalonge de ser reconhecida como merece.

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Equacao dos telegrafistas

Poincare trabalha em diversas questoes praticas da telegrafia,eletrotecnia, propagacao de ondas, propagacao do calor eoutras areas de aplicacao da Fısica e da Matematica.

Em 1893 ele resolve a equacao dos telegrafistas, que descrevea tensao V e a intensidade de corrente I num fio eletrico, emfuncao da posicao x e do tempo t :

∂V∂x

= −L∂I∂t− RI

∂I∂x

= −C∂V∂t−GV .

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Equacao dos telegrafistas

Poincare trabalha em diversas questoes praticas da telegrafia,eletrotecnia, propagacao de ondas, propagacao do calor eoutras areas de aplicacao da Fısica e da Matematica.

Em 1893 ele resolve a equacao dos telegrafistas, que descrevea tensao V e a intensidade de corrente I num fio eletrico, emfuncao da posicao x e do tempo t :

∂V∂x

= −L∂I∂t− RI

∂I∂x

= −C∂V∂t−GV .

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Transmissao de ondas

Em 12 de dezembro de 1901 Guglielmo Marconi faz a primeiratransmissao de radio atraves do Atlantico (mais de 2.500km).Sendo a Terra curva, como as ondas conseguiram chegar?

Poincare ataca esse problema em 1909, mesmo ano em queMarconi ganha o Premio Nobel. O seu trabalho invalida a teseda propagacao por difracao na Terra, dando forca a ideia dapropagacao por reflexao no oceano e na ionosfera.

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Transmissao de ondas

Em 12 de dezembro de 1901 Guglielmo Marconi faz a primeiratransmissao de radio atraves do Atlantico (mais de 2.500km).Sendo a Terra curva, como as ondas conseguiram chegar?

Poincare ataca esse problema em 1909, mesmo ano em queMarconi ganha o Premio Nobel. O seu trabalho invalida a teseda propagacao por difracao na Terra, dando forca a ideia dapropagacao por reflexao no oceano e na ionosfera.

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EDPs da Fısica Matematica

Poincare da muitas outras contribuicoes a teoria das EDPs:solucao do problema de Dirichlet (metodo da varredura);existencia da sequencia de autovalores do laplaciano numdomınio limitado de R3;desigualdade de Poincare.

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Filosofia da Ciencia

Poincare se interessa desde sempre pelas grandes questoesda Epistemologia (natureza do conhecimento) da Ciencia:

Como conhecemos: pela experiencia sensorial (empirismo)ou por meio da razao, pela via dedutiva (racionalismo)?

O que conhecemos: os objetos (realismo) ou apenas umarepresentacao mental dos mesmos (idealismo)?

O pensamento de Poincare, que e chamado de ocasionalismopragmatico e de intuicionismo matematico, combina de formaoriginal os papeis da experiencia, da razao e da linguagem nacomposicao do conhecimento cientıfico.

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Filosofia da Ciencia

Poincare se interessa desde sempre pelas grandes questoesda Epistemologia (natureza do conhecimento) da Ciencia:

Como conhecemos: pela experiencia sensorial (empirismo)ou por meio da razao, pela via dedutiva (racionalismo)?

O que conhecemos: os objetos (realismo) ou apenas umarepresentacao mental dos mesmos (idealismo)?

O pensamento de Poincare, que e chamado de ocasionalismopragmatico e de intuicionismo matematico, combina de formaoriginal os papeis da experiencia, da razao e da linguagem nacomposicao do conhecimento cientıfico.

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Ocasionalismo pragmatico

Ele acredita que a experiencia sensorial fornece a razao aocasiao para formular as hipoteses (‘axiomas’) a partir dasquais e construıdo o conhecimento.

“Tais convencoes sao obra da atividade livre do nosso espırito, o qual, nestedomınio nao aceita restricoes. [...] Tais decretos serao, entao, arbitrarios?Nao, pois nesse caso seriam estereis. A experiencia nos deixa livre escolhamas ela orienta essa escolha, nos ajudando a identificar o caminho maiscomodo.”

Os axiomas da Geometria nao sao dados a priori da razao,nem observacoes experimentais: eles sao apenas hipotesesconvenientes. A geometria euclideana nao e nem mais nemmenos verdadeira do que a geometria de Lobatchevsky.

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Ocasionalismo pragmatico

Ele acredita que a experiencia sensorial fornece a razao aocasiao para formular as hipoteses (‘axiomas’) a partir dasquais e construıdo o conhecimento.

“Tais convencoes sao obra da atividade livre do nosso espırito, o qual, nestedomınio nao aceita restricoes. [...] Tais decretos serao, entao, arbitrarios?Nao, pois nesse caso seriam estereis. A experiencia nos deixa livre escolhamas ela orienta essa escolha, nos ajudando a identificar o caminho maiscomodo.”

Os axiomas da Geometria nao sao dados a priori da razao,nem observacoes experimentais: eles sao apenas hipotesesconvenientes. A geometria euclideana nao e nem mais nemmenos verdadeira do que a geometria de Lobatchevsky.

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Intuicionismo matematico

Esta posicao conduz Poincare na direcao do intuicionismo(que afirma que a Matematica, e apenas uma construcaomental) e do idealismo:

“Quando enunciamos uma tal proposicao, estamos escolhendo a linguagemna qual nos propomos falar do universo, nao estamos fazendo nenhumaafirmacao sobre o universo em si mesmo.”

“... mas o que ela [a Ciencia] pode alcancar nao sao as coisas em simesmas, como pensam os dogmatistas ingenuos, sao apenas as relacoesentre as coisas; para alem dessas relacoes, nao existe outra realidade quepossa ser conhecida.”

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Intuicionismo matematico

Esta posicao conduz Poincare na direcao do intuicionismo(que afirma que a Matematica, e apenas uma construcaomental) e do idealismo:

“Quando enunciamos uma tal proposicao, estamos escolhendo a linguagemna qual nos propomos falar do universo, nao estamos fazendo nenhumaafirmacao sobre o universo em si mesmo.”

“... mas o que ela [a Ciencia] pode alcancar nao sao as coisas em simesmas, como pensam os dogmatistas ingenuos, sao apenas as relacoesentre as coisas; para alem dessas relacoes, nao existe outra realidade quepossa ser conhecida.”

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Natureza do raciocınio matematico

Se o raciocınio matematico e puramente dedutivo entao toda aMatematica esta contida nos axiomas? Senao, de onde vem origor da Matematica?

Poincare ve no metodo de inducao matematica um ingredientefundamental, que torna a Matematica fecunda sem com issotirar nada do seu rigor.

“Temos a faculdade de conceber que e possıvel acrescentar um elemento auma colecao [...] a partir disso sentimos que o nosso poder nao tem limites eque poderıamos contar indefinidamente, embora nunca tenhamos contadosenao numeros finitos de elementos.”

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Se o raciocınio matematico e puramente dedutivo entao toda aMatematica esta contida nos axiomas? Senao, de onde vem origor da Matematica?

Poincare ve no metodo de inducao matematica um ingredientefundamental, que torna a Matematica fecunda sem com issotirar nada do seu rigor.

“Temos a faculdade de conceber que e possıvel acrescentar um elemento auma colecao [...] a partir disso sentimos que o nosso poder nao tem limites eque poderıamos contar indefinidamente, embora nunca tenhamos contadosenao numeros finitos de elementos.”

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“Nao passara desapercebido que existe uma grande semelhanca [dainducao matematica] com os procedimentos habituais de inducao. Mas hatambem uma diferenca fundamental. A inducao aplicada as ciencias fısicas esempre incerta, porque ela se baseia na crenca numa ordem geral doUniverso, a qual e externa a nos. Pelo contrario, a inducao matematica, ouseja, a demonstracao por recorrencia, se impoe necessariamente, porqueela nao e mais que a afirmacao de uma propriedade do proprio espırito.”

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Divulgacao da Ciencia

Ainda em vida, Poincare alcanca status de celebridade comoinfatigavel divulgador da Ciencia junto da sociedade.

Sao mais de 150 obras nao tecnicas, das quais muitasdirigidas ao grande publico, incluindo:

La science et l’hypothese (1902)La valeur de la science (1905)Science et methode (1908)Ce que disent les choses (1911) (escrito para criancas doensino primario)Dernieres pensees (1913, publicacao postuma)

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Visite http://www.poincare.frConfira a magnıfica serie de artigos

Assista o vıdeo http://webdoc-hpoincare.univ-nancy2.fr/Visite http://poincare.univ-nancy2.fr/

henri poincaré cientista e matemático universalista

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