root-locus fundamentos de controlo deec/istisabel lourtie root-locus introdução equação...

Root-LocusFundamentos de Controlo

DEEC/ISTIsabel Lourtie

Root-LocusIntrodução

Equação característica; Condição de módulo e condição de argumento;

Regras para construção do root-locus para Regra 1: Número de ramosRegra 2: Ponto de partida dos ramosRegra 3: Ponto de chegada dos ramosRegra 4: Troços sobre o eixo realRegra 5: SimetriaRegra 6: Pontos de entrada/saída do eixo realRegra 7: Ângulos de entrada e de saída do eixo realRegra 8: Comportamento assimptóticoRegra 9: Soma dos polos da função de transferência em anel fechadoRegra 10: Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero

Regras para construção do root-locus para Mapa polos/zeros da malha fechada

Zeros da malha fechadaCancelamento polo/zero no root-locus

Root-locus em função de qualquer parâmetroProjecto apoiado no root-locus

0K

0K



equação característica

função de transferência em cadeia aberta

Função de transferência em cadeia fechada:

sHsKGsKG

1

Introdução K sG

sR sY

sH

cadeia de acção

cadeia de retroacçãoO root-locus consiste na representação gráfica dos polos de um sistema em cadeia fechada como função de um parâmetro do sistema (normalmente do ganho ) K

Polos da função de transferência em cadeia fechada: raízes de 01 sHsKG



Introdução Exemplo 1

1

ssKsHsKG

Equação característica:

00101

1 2

KssKssssK

K 11ss

sR sY

0K

Polos do sistema em cadeia fechada: Ks 4121

21

sRe

sIm

K 2s1s

2141

100

21

1 2321 j2321 j

0K 0K

41K

1K

1K

1

23j

23j

<

<

<

>



(permite determinar os pontos do plano complexo que pertencem ao root locus)

Introdução Equação característica: 01 sHsKG

Os pontos do plano complexo (plano s) que pertencem ao root-locus são aqueles que verificam a condição

1sHsKG

(permite calcular para cada ponto do root locus o correspondente valor de )K

Condição de módulo: 1sHsKG

Condição de argumento: ,2,1,0,12arg kksHsKG



Introdução

Exemplo 1

sRe

sIm

1

23j

23j

<

<

<

> 21

,2,1,0,12arg kksHsKG Condição de argumento:

P

1argargargarg ssKsHsKG

0K

0

121argarg kss

ss+11

2

12

1

1argarg

ss

21

Qualquer ponto do root locus satisfaz a condição de argumento

1

ssKsHsKG



Introdução

Exemplo 1

sRe

sIm

1

23j

23j

<

<

<

>21

,2,1,0,12arg kksHsKG Condição de argumento:

121argarg kss

P

12

12 21

Se o ponto não pertencer ao root locus a condição de argumento não é satisfeita e, portanto, não pode ser polo do sistema em anel fechado

P

P

0K



Exemplo 1

sRe

sIm

1

23j

23j

<

<

<

> 21

11

ssKsHsKG

Introdução 1sHsKGCondição de módulo:

0K

1 ssK

Qual o ganho que conduz ao par de polos complexos conjugados

para o sistema em anel fechado?

K

221 js

4

174412

212

211

221

jjssK

js

1

ssKsHsKG

Como pertence ao root-locus para ,

conclui-se que

221 js 0K

417

K



Introdução

'K 12ss

sR sY

Exemplo 20'K

K 11ss

sR sY

0KExemplo 1

'2K 11ss

sR sY

Apenas o ganho se alterou

sRe

sIm

1

23j

23j

<

<

<

> 21

Mesmo root-locus com '2KK

Polos em :221 js

817

2'

417

KKK



Root-Locus Caso geral

nm

ps

zs

sDsNsHsG n

ii

m

ii

;

1

1

polinómios mónicos

12argargarg11

kpszsKn

ii

m

ii

contribuição dos zeros

contribuição dos polos

Condição de argumento:

12argarg

1

1

kps

zsKsHsKG n

ii

m

ii

12arg ksHsKG





12argargarg11

kpszsKn

ii

m

ii

12argarg011

kpszsKn

ii

m

ii

nº ímpar de

kpszsKn

ii

m

ii 2argarg0

11

nº par de

A condição de argumento permite determinar os pontos do plano complexo que pertencem ao root-locus.

nm

ps

zs

sDsNsHsG n

ii

m

ii

;

1

1




nm

ps

zs

sDsNsHsG n

ii

m

ii

;

1

1

m

ii

n

ii

zs

psK

1

1

A condição de módulo permite calcular o valor de K correspondente a cada localização particular das raízes sobre o root-locus.

Condição de módulo:

1

1

1

n

ii

m

ii

ps

zsKsHsKG

1sHsKG



Equação característica do sistema em cadeia aberta 0sDEquação característica para :0K

Regras para construção do Root-Locus para 0K

Regra 1 – Número de ramos

O número de ramos do root-locus é igual ao número de polos da função de transferência em cadeia aberta.

Equação característica:

01 sHsKG 0 sKNsD

mnmn

sDsNKsHsKG

,zeros,polos

;

polinómio de grau n

Regra 2 – Ponto de partida dos ramos

Os ramos do root-locus começam nos polos da função de transferência em cadeia aberta.




Regra 3 – Ponto de chegada dos ramos

Os ramos do root-locus terminam ( ) nos zeros da função de transferência em cadeia aberta ou no infinito.

K

Condição de módulo: 1sHsKG

K

sHsG 1 01limlim

KsHsG

KK

A função de transferência em cadeia aberta só se anula quando toma o valor dos zeros ou de infinito ( )

smn




Regra 4 – Troços sobre o eixo real

Pertencem ao root-locus os pontos do eixo real que tenham à sua direita um número ímpar de polos mais zeros.

Condição de argumento: 12argarg11

kpszsn

ii

m

ii

sRe

sIm

s

f1

f2

Contribuição do par de polos ou zeros complexos conjugados: 0221 ff

f3

Contribuição de polos ou zeros reais: à direita do ponto : s f 3

à esquerda do ponto : s 04 ff4

12argarg11

kpszspz n

ii

m

ii

- nº zeros reais,zm pn - nº polos reais à direira de s

pz nm é ímpar



sRe

sIm

5

03

sRe

sIm

10


Exemplo 1 10

s

KsHsKG

Exemplo 2 53

sssKsHsKG




Regra 5 – Simetria

O root-locus é simétrico em relação ao eixo real.

Regra 6 – Pontos de entrada/saída do eixo real

Um ponto de saída do eixo real ocorre para um máximo relativo do ganho no domínio de real. Um ponto de entrada no eixo real ocorre para um mínimo relativo do ganho no domínio de real.

K

sKs

Exemplo 3

51

ssKsHsKG

sRe

sIm

5 1

Tem de haver um ponto de saída do eixo real




Exemplo 3 (cont.)

51

ssKsHsKG

Ks

Kssss

K

43

051051

1

Equação característica

No ponto de saída do eixo real existe uma raiz real dupla.

O ponto de saída corresponde ao maior valor de para o qual as raízes da equação característica ainda são reais

K

sRe

sIm

5 1

4;32,1 Ks



Exemplo 3 (cont.)

51

ssKsHsKG

sRe

sIm

5 1

condição necessária mas não suficiente


Os pontos de entrada/saída do eixo real satisfazem a equação:

0

sNsD

dsd

dsdK

sNsDK

sDsNK 01Equação característica:

3062 ssdsdK

51 ssK

Ganho no ponto de saída: 4513

s

ssK

(ponto de saída) 4;32,1 Ks




Exemplo 4

2

3

sssKsHsKG

32

sssK

33;3306603

231221

22

sssss

ssssdsdK

sRe

sIm

3 2 0

Tem de haver um ponto de entrada no eixo real

Tem de haver um ponto de saída do eixo real




Exemplo 4 (cont.) 2

3

sssKsHsKG

0

33

sRe

sIm

33

3 2

(ponto de entrada) (ponto de saída)




1

Quando a solução da equação correspondente a um ponto de entrada ou de saída do eixo real tem multiplicidade , o número de ramos que se cruzam nesse ponto é igual a .

0dsdK

Exemplo 5 jsjsssKsHsKG

112

jsjsssK 112

01334 23 sssdsdK

1s (raiz tripla)

31 4 ramos

Ponto de saída do eixo real:

sRe

sIm

2 1 0

j

j




Regra 7 – Ângulos de entrada e de saída do eixo real

O ângulo entre dois ramos adjacentes que se aproximam (ou se afastam) do mesmo ponto do eixo real é

O ângulo entre dois ramos adjacentes um chegando e outro partindo do mesmo ponto do eixo real é

( - número de ramos que se cruzam num ponto do eixo real)

2




Exemplo 5 (cont.) jsjsssKsHsKG

112

4

22

4

sRe

sIm

2 1 0

j

j




Exemplo 6 21

sssKsHsKG

1. Troços sobre eixo real

- ponto de saída do eixo real

2. Ponto de saída do eixo real

0,1

0,1331;

331

0263

21

2

1

21

2

ss

ss

ssdsdK

sssK

3. Ângulo de saída do eixo real (2 ramos)

2

sRe

sIm

12 0

2




Regra 8 – Comportamento assimptótico

Quando , ramos tendem para infinito.K mn

As assimptotas (rectas para que tendem os ramos do root-locus que vão para infinito) cruzam-se num ponto do eixo real (centro assimptótico)

mn

sHsGsHsGm

i

n

iA

11

de zeros de polos

O ângulo das assimptotas com o eixo real é dado por

1,,1,0;21

mnkmnk

A f




Exemplo 6 (cont.) 21

sssKsHsKG 3 mn

3

5;;33

21 f

k

A 13

2103

zerospolos

A

4. Assimptotas

assimptotas

sRe

sIm

2 1 0





sssKsHsKG

sRe

sIm

2 1 0

ponto de cruzamento com o eixo imaginário

Método 1: verifica a condição de argumento:js

2arg1argarg jjj

2arctanarctan

2

22arctanarctan

22 js

622122crit jjjK



raízes imaginárias puraslinha de zeros 03

6

K

6K



sssKsHsKG ponto de cruzamento

com o eixo imaginário

Método 2: é solução da equação característica:js

02321 23 KsssKssssKNsD

Critério de Routh-Hurwitz

Ks

KsKs

s

0

1

2

3

36

321

equação auxiliar: 0633 22 sKs

2js



sRe

sIm

2 1 0


Regra 9 – Soma dos polos da função de transferência em anel fechado

Se o excesso de polos-zeros da função de transferência da malha aberta for maior ou igual a 2 ( ), então a soma dos polos da função de transferência da malha fechada é independente de e igual à soma dos polos da função de transferência da malha aberta

2 mnK


sssKsHsKG

3

1

3

1

f.t.c.f da polosf.t.c.a da polosii

Para onde está o outro polo da f.t.c.f ?6K

?

322210 33 ppjj

2js 6K




Exemplo 7 611

sss

sKsHsKG

sIm

sRe116 2



Regra 10 – Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero

Determinados de modo a que a condição de argumento seja satisfeita.


1211

kn

ii

m

iiCondição de argumento:

sRe

sIm

1

2

?3

1

ponto que se admite pertencer ao root-locus

2113

3211

n

jiii

m

iij k

,11

12

Ângulo de partida do polo j :

Contribuição angular dos zeros

Contribuição angular dos restantes polos

n

ii

m

jiiij k

1,1

12

Ângulo de chegada ao zero j :

Contribuição angular dos restantes zeros

Contribuição angular dos polos




Exemplo 8 44444

jsjsssKsHsKG

sIm

sRe4

4j

4j

1. Troço sobre eixo real

2

2. Assimptotas 2

3;2

12 f

mn

kA

22

444440

zerospolos

jjmnA

3

1

2

1

3. Ângulo de saída do polo complexo3

443

221213




K sG

sR sY

sH


,2,1,0,2arg kksHsG

Condição de módulo:

1sHsKG (não depende do sinal de K)

sHsGK 1

Apenas são alteradas as regras nas quais intervém a condição de argumento: regras 4 (troços sobre o eixo real), 8 (comportamento assimptótico) e 11 (ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero).



Regras para construção do Root-Locus

Regra

1 Nº ramos = Nº polos f.t.c.a. ( )

2 Ponto de partida dos ramos = polos da f.t.c.a. ( )

3 Ponto de chegada dos ramos = zeros da f.t.c.a. ou ( )

4

Troços sobre o eixo real = pontos do eixo real que tenham à sua direita um número ímpar de polos + zeros.

Troços sobre o eixo real = pontos do eixo real que tenham à sua direita um número par de polos + zeros.

5 Simetria = simétrico em relação ao eixo real

6Pontos de entrada/saída do eixo real = pontos tais que

7Ângulo entre dois ramos adjacentes que se cruzam no eixo real =

( nº ramos que se cruzam)

0K 0Kn

0K

K

Rs0s

dsdK




Regra

8

Comportamento assimptótico =

Comportamento assimptótico =

9 Soma dos polos da f.t.c.f = soma dos polos da f.t.c.a ( )

10

Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero =Polo:

Zero:

Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero =Polo:

Zero:

0K 0K

mnk

A

f 21

mnA

f.t.c.a zerosf.t.c.a polos

mnk

A

f 2

2 mn

n

jiii

m

iij k

,11

12

n

ii

m

jiiij k

1,1

12

n

jiii

m

iij k

,11

2

n

ii

m

jiiij k

1,1

2




Exemplo 9 221

2

sssKsHsKG

sRe

sIm

1j

j

00

KK



Zeros da malha fechada K sG

sR sY

sH

sDsNsG

G

G sDsNsH

H

H

sHsKG

sKGsRsY

1

sNsKNsDsD

sDsKNsRsY

HGHG

HG

Os zeros da função de transferência em cadeia fechada são os zeros da função de transferência da cadeia de acção e os polos da função de transferência da cadeia de retroacção.



Mapa polos/zeros da malha fechada Exemplo

K 31ss

sR sY

15

ss

I

K 35

sss

sR sY

11s

II

K 315

ssss

sR sY

III

mesma função de transferência em cadeia aberta

315

sss

sKsHsKG

Mesmo Root-Locus



sIm

sRe35 1

4.3

7.1j

7.1j

polos do anel fechado para :

7.13.0;4.3 j

2K

Mapa polos/zeros da malha fechada

Exemplo (cont.)

sIm

sRe1

4.3

7.1j

7.1j

I

sIm

sRe5

4.3

17.1j

7.1j

II

sIm

sRe5

4.3

7.1j

7.1j

III

1,1 sDN GG

1,5 GG DsN

1,5 sDsN GG



pode cancelar-se?

11

sssKsHsKG

Cancelamento polo/zero no root-locus Exemplo

K1

1s

sR sYs1

K 11ss

sR sY

1s

Kss

KsRsY

1

11

11

11

s

ssK

ssK

sRsY

sK 1

root-locus com apenas 1 ramo

root-locus com 2 ramos 1 dos polos não depende de K

NÃO



Polo de G(s)

Zero de H(s)

Cancelamento polo/zero no root-locus

pode cancelar-se?

11

sssKsHsKG NÃO

1 sRe

sIm

ramo de dimensão nula, i.e, polo da malha fechada independente de K

1 sRe

sIm

s

KsHsKG 1Root-locus de

Polo fixo

Exemplo (cont.)



Root-locus em função de qualquer parâmetro

31ss

sR sY

1s

Exemplo

Root-locus em função de :1. Dada a equação característica do

sistema em cadeia fechada

procurar escrevê-la na forma 01 sHsG

01 sWEquação característica:

0311

sss

0

3313

ss

sss

ss

0

131

313

ss

sss

ss

013

1

ss

s 13

ssssW



Root-locus em função de qualquer parâmetroExemplo

Root-locus em função de :2. Traçar o root-locus para o sistema

cuja função de transferência em anel aberto é

sW

13

ssssW

ganho do sistema

sRe

sIm

1 1

j

jPolos do sistema em anel aberto:

25

23

Pontos singulares:

sss 132

012

2

s

sdsd 1s

1 5Pontos de cruzamento com o eixo imaginário:

0132 ss js 3

3

3

00



Projecto apoiado no root-locus

Objectivo 1: estabilidade absoluta sK 2

1s

sR sY

2

1s

sG - sistema instável

1ª tentativa: controlador proporcional

0KsK

sRe

sIm

2 ramos; 2 assímptotas

0f.t.c.a zerosf.t.c.a polos

mnA

2

21 f

mnk

A

Não resulta: polos sobre o eixo imaginário





1s

sR sY

2

1s


2ª tentativa: controlador proporcional derivativo

1 sKsK

2 ramos; 1 assímptota

1f.t.c.a zerosf.t.c.a polos

mnA

f

mnk

A21

sRe

sIm

1

Porção do diagrama no eixo real





1s

sR sY

2

1s

sG - sistema instável 1 sKsK

sRe

sIm

1

2ª tentativa: controlador proporcional derivativo (cont.)

pontos de entrada/saída do eixo real:

20

012

1 2

2

sssss

dsdK

ssK

2 ângulo entre 2 ramos adjacentes que se cruzam no eixo real:

2

Sistema em malha fechada estável, mas…



sK 2

1s

sR sY

2

1s



Sistema em malha fechada estável, mas … não é possível realizar diferenciadores puros.

Objectivo 1: estabilidade absoluta

1 sKsK

2ª tentativa: controlador proporcional derivativo (cont.)

Solução:

1;1

pps

psKsK sRe

sIm

10p



sK 2

1s

sR sY

2

1s



Objectivo 2: estabilidade relativa

Sobre-elevação: Tempo de estabelecimento (5%):

%21Sseg 75.0st

º2745.0arcsin

45.021.021

eS

475.03%5 nn

st

4

Zona desejada para os polos dominantes em malha fechada

sRe

sIm

º27 Assumindo comportamento dominante de 2ª ordem sem zeros:



sK 2

1s

sR sY

2

1s



Objectivo 3: resposta dinâmica especificada

Sobre-elevação: Tempo de estabelecimento (5%):

%21Sseg 75.0st

45.021.021

eS

475.03%5 nn

st

1. Traduzir as especificações em polos de 2ª ordem considerados dominantes

841 22,1 jjs nn

sRe

sIm

4

8j

8j

Polos dominantes pretendidos para sistema em anel fechado



sK 2

1s

sR sY

2

1s




Controlador: zppszsKsK

;

2. Dimensionamento preliminar apoiado no root-locus – posicionamento de polos

pss

zsKsGsK

2f.t.c.a:

sRe

sIm

4

8j

8j

zp4

32 1

condição de argumento:

º180124321 k

º11748arctanº18032

º54º234º18041



sK 2

1s

sR sY

2

1s





;

2. Dimensionamento preliminar apoiado no root-locus – posicionamento de polos (cont.)

º5441 tentativa:

º904 1 z

sRe

sIm

4

8j

8j

p4

º1171

15º36tan

84 p

º36º54º904

154

ssKsK

condição de módulo:

184

js

sGsK

136K

154136

sssK



sK 2

1s

sR sY

2

1s





;

2. Dimensionamento preliminar do controlador por via puramente algébrica (alternativa):

154136

sssK

KKspsssKpsss 44 232 Polinómio característico do sistema em anel fechado : 4z

xsxsxsxsjsjss 8088088484 23des

Polinómio característico desejado para o sistema em anel fechado:

713615

480880

8

xKp

KxKx

pxComparando:



sK 2

1s

sR sY

2

1s




Controlador:

3. Simulação

154136

sssK

54413615

4136 23

sss

ssRsY

0 5.115.0t

ty5.0

0

1

5.1

%45S

Sobre-elevação muito superior à desejada!



sK 2

1s

sR sY

2

1s


sIm

sRe15 4

8j

8j7



Polos projectados não são dominantes

Polos em anel fechado: 7;84 32,1 sjs

154136 2

ssssGsK



sIm

sRe15 4



Controlador: pszsKsK

Para diminuir a sobre-elevação S:

“fechar” mais os ramos principais do root-locus

deslocar o polo do controlador para a esquerda e/ou o zero do controlador para a direita

variar consistentemente o ganho tendo em conta o correspondente deslocamento dos polos da malha fechada



sIm

sRe25 3

tentativas:

253 pz



Controlador: pszsKsK

75025025

3250 23

sss

ssRsY

7j

7j5

250K

10

Polos em anel fechado: 5;710 32,1 sjs

t4.0 18.06.0 2.10 2.0

5.1

5.0

0

1 ty

s 75.0%5%25

stS



Projecto apoiado no root-locus - sínteseDados: Função de transferência do sistema G(s) (e dos sensores H(s) ) Especificações de regime permanente tipo Especificações dinâmicas polos desejados da malha fechada (polos de 2ª ordem supostos

dominantes)

Projecto:Estruturado controlador C(s) (sugerida pelo root-locus)

Dimensionamento do Controlador C(s)

Apoiado no root-locus: condições de argumento e de módulo Via algébrica

Simulação e comparação com o desempenho desejado

Ajuste dos parâmetros de C(s) (ajuste guiado pelo root-locus)

simulação

root-locus fundamentos de controlo deec/istisabel lourtie root-locus introdução equação...

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