root locus 1

Diagrama de Lugar das Razes (Root-Locus)Carlos Eduardo de Brito Novaes

[email protected]://professorcarlosnovaes.wordpress.com

8 de outubro de 2012

1 IntroduoO diagrama do lugar das razes uma ferramenta que nos permite determinar graficamente a posio dos polos de malhafechada e o correspondente ganho K que garante esta posio. A bibliografia recomendada inclui o livro texto, [1] etambm um timo livro de exerccios resolvidos [2].

O projeto de controladores pelo mtodo do lugar das razes pode ser resumido de modo grosseiro em obter o di-agrama adequado, de modo a alocar os polos dominantes de malha fechada em uma posio conveniente (garantindouma resposta temporal satisfatria) e conseguir ainda um ganho de malha aberta suficientemente elevado de modo aassegurar que o erro estacionrio seja tambm satisfatrio.

Outros fatores tambm devem ser levados em conta, como o esforo de controle e a exatido do modelo (um projetoadequado deve acomodar as variaes e incertezas da planta e tambm no deve excitar as dinmicas no modeladas),mas por hora vamos nos preocupar apenas com o traado do diagrama de lugar das razes.

2 Definio

Figura 2.1: Sistema de Controle

A figura 2.1 apresenta a estrutura de realimentao considerada para o traado do diagrama de lugar das razes. Afuno de transferncia de malha fechada :

FTMF (s) =K G (s)

1 +K G (s)onde

G (s) =N (s)

D (s)

Aps algumas operaes algbricas:

1

2.1 Exemplos visuais 2 DEFINIO

FTMF (s) =

K N (s)D (s)

1 +K N (s)D (s)

=

K N (s)D (s)

D (s)

D (s)+K N (s)D (s)

=

K N (s)D (s)

D (s) +K N (s)D (s)

=K N (s)

D (s) +K N (s)fica ento claro que pelo ajuste do ganho K, possvel alterar os polos de malha fechada. Mais ainda, podemos

verificar que se o ganho K tende a zero, o denominador de malha fechada tende ao denominador de malha abertae consequentemente, os polos de malha fechada tendem aos polos de malha aberta. Por outro lado, se forarmosvalores muito elevados deK, o denominador de malha fechada tende a um mltiploK do numerador de malha aberta1,observamos ento que paraK elevado, a posio dos polos de malha fechada tende para os zeros de malha aberta.

De fato, ao variar o ganhoK desde zero at infinito, os polos de malha fechada vo se deslocando por caminhos quecomeam em um polo de malha aberta e terminam ou em um zero de malha aberta ou em pontos infinitamente distantesda origem (chamados de zeros infinitos ou zeros no infinito). Esses zeros localizados no infinito surgem quando aplanta tem um nmero de zeros inferior ao nmero de polos. Desta forma, faltam zeros de malha aberta para fecharos caminhos do lugar das razes (que sempre comeam em um polo de malha aberta e terminam em um zero de malhaaberta ou um zero no infinito).

Para ilustrar essas ideias, vamos demonstrar alguns traados obtidos pelo software Matlab.

2.1 Exemplos visuais2.1.1 Para traar o diagrama de lugar das razes de uma planta com funo de transferncia

G (s) =1

s+ 2

digitamos na janela de comando do Matlab:

rlocus([1], [1 2])

onde rlocus o comando para o traado do diagrama de lugar das razes. Este comando recebe dois parmetros que soo numerador e o denominador da funo de transferncia, para indicar o numerador e o denominador o Matlab utilizauma nomenclatura onde um vetor representa os coeficientes de um polinmio, assim, o numerador representado como[1], e o denominador representado como [1 2] (equivalente a 1s+ 2). A figura 2.2 ilustra o resultado.

Podemos verificar que a medida que o ganhoK aumenta, o polo vai se deslocando de s = 2 para s = 3, s = 4e vai assumindo valores mais negativos at teoricamente s = 1 ( um zero no infinito). Este resultado pode serfacilmente obtido ao se avaliar a funo de transferncia de malha fechada, que ser:

FTMF (s) =K

s+ 2 +K

verifica-se neste caso que o polo de malha fechada esta localizado em s = 2K, informao que comprovadapelo grfico da figura 2.2.

1apesar de que esta noo no a mais exata no sentido matemtico

2


Figura 2.2: Diagrama do lugar das razes de G (s) =1

s+ 2, traado pelo Matlab.

2.1.2 Para traar o diagrama de lugar das razes de uma planta com funo de transferncia

G (s) =s+ 5

s+ 2


rlocus([1 5], [1 2])

Para indicar o numerador e o denominador o Matlab utiliza uma nomenclatura onde um vetor representa os coeficientesde um polinmio, assim, o numerador representado como [1 5] (equivalente a 1s+5), e o denominador representadocomo [1 2] (equivalente a 1s+ 2). A figura 2.3 ilustra o resultado.

Podemos verificar que a medida que o ganho K aumenta, o polo vai se deslocando de s = 2 para s = 5. Defato, neste caso o diagrama de lugar das razes termina em um zero de malha aberta (s = 5) Este resultado pode serfacilmente obtido ao se avaliar a funo de transferncia de malha fechada, que ser:

FTMF (s) =K

s2 + 6s+ 8 +K

verifica-se neste caso que o polo de malha fechada esta localizado em s = 2 + 5KK + 1

, informao que comprovadapelo grfico da figura 2.3.


G (s) =1

(s+ 2) (s+ 4)=

1

s2 + 6s+ 8


rlocus([1], [1 6 8])

Para indicar o numerador e o denominador o Matlab utiliza uma nomenclatura onde um vetor representa os coefici-entes de um polinmio, assim, o numerador representado como [1], e o denominador representado como [1 6 8](equivalente a 1s2 + 6s+ 8). A figura 2.4 ilustra o resultado.

3


Figura 2.3: Diagrama do lugar das razes de G (s) =s+ 5

s+ 2, traado pelo Matlab.

Podemos verificar que a medida que o ganho K aumenta, os polo se deslocam de s = 2 para s = 1j e des = 4 para s = 1j. Este resultado ainda pode ser obtido ao se avaliar a funo de transferncia de malha fechada,que ser:

FTMF (s) =Ks+ 5K

(K + 1) s+ 2 + 5K

resolvendo a equao de segundo grau, verifica-se neste caso que os polos de malha fechada esto localizados ems = 3p1K, informao que comprovada pelo grfico da figura 2.4.


G (s) =s+ 5

(s+ 2) (s+ 4)=

s+ 5

s2 + 6s+ 8


rlocus([1 5], [1 6 8])

Para indicar o numerador e o denominador o Matlab utiliza uma nomenclatura onde um vetor representa os coeficientesde um polinmio, assim, o numerador representado como [1 5], e o denominador representado como [1 6 8] . Afigura 2.5 ilustra o resultado.

Podemos verificar que a medida que o ganho K aumenta, os polo se deslocam de s = 2 para s = 3 1j ede s = 4 para s = 3 +1j. Este resultado ainda pode ser obtido ao se avaliar a funo de transferncia de malhafechada, que ser:

FTMF (s) =Ks+ 5K

s2 + (6 +K) s+ 8 + 5K

resolvendo a equao de segundo grau, verifica-se neste caso que os polos de malha fechada esto localizados em

s = 6 +K pK2 8K + 42

, informao que comprovada pelo grfico da figura 2.5.

4

3 FERRAMENTAS PARA O TRAADO DO DIAGRAMA DE LUGAR DAS RAZES

Figura 2.4: Diagrama do lugar das razes de G (s) =1

s2 + 6s+ 8, traado pelo Matlab.


G (s) =(s+ 5) (s+ 7)

(s+ 2) (s+ 4)=s2 + 12s+ 35

s2 + 6s+ 8


rlocus([1 12 35], [1 6 8])

Para indicar o numerador e o denominador o Matlab utiliza uma nomenclatura onde um vetor representa os coeficientesde um polinmio, assim, o numerador representado como [1 12 35], e o denominador representado como [1 6 8] .A figura 2.6 ilustra o resultado.

Ainda possvel obter este resultado analiticamente, porm, medida em que o denominador vai ficando maiscomplexo necessria a resoluo de uma equao de grau mais elevado.

3 Ferramentas para o traado do diagrama de lugar das razesHoje em dia podemos utilizar inmeras ferramentas computacionais para o traado do diagrama de lugar das razes,como o software Matlab ou equivalentes gratuitos como o SciLab http://www.scilab.org/ ou o GNU-Octave

http://www.gnu.org/software/octave/. Existem ainda programas especficos para esta finalidade, como o aplicativoRootLocs http://coppice.myzen.co.uk/RootLocs_Site/RootLocs.html disponvel para Windows e Mac OS X.

Entretanto, no passado essas ferramentas no eram disponveis e o traado do diagrama do lugar das razes era feitoseguindo algumas regras. Conhecer estas regras hoje em dia ainda importante para compreender em que aspectos umcompensador mudar o caminho do lugar das razes original. Sendo assim, ao saber traar na mo um esboo dodiagrama do lugar das razes, o projetista compreende a influncia dos polos e zeros de um compensador e sabe comoalocar estes de modo a obter um comportamento adequado. Utiliza-se ento as ferramentas computacionais para testaro sistema de controle projetado e realizar pequenos ajustes.

5

4 FUNDAMENTOS MATEMTICOS

Figura 2.5: Diagrama do lugar das razes de G (s) =s+ 5


4 Fundamentos MatemticosExistem algumas regras que permitem o traado manual do caminho do lugar das razes, todas possuem um fundamentomatemtico. Vamos verificar alguns desses fundamentos.

4.1 Condies de Mdulo e FaseAo avaliarmos as razes do denominador de malha fechada 1 +K G (s), teremos:

1 +K G (s) = 0K G (s) = 1

Cabe lembrar que K um nmero real positivo2 e que G (s) a funo de transferncia de malha aberta podendoser descrita pela razo entre o produto de monmios do numerador (representando os zeros) e o produto de monmiosdo denominador (representando os polos). Alm disso, se existirem razes complexas em G (s), elas sempre ocorreroem pares complexos conjugados.

Se substituirmos os polos e zeros deG (s) por suas representaes vetoriais em coordenadas polares, observaremos:

K G (s) = 1\180

K kG (s)k = 1como sabemos queK possui fase nula, a igualdade s satisfeita nos pontos do plano complexo onde\G (s) = 180

(ou seja, a fase deG (s) igual a 180 graus). Se encontrarmos os pontos onde\G (s) = 180 teremos traado o diagramade lugar das razes. Assim, um ponto s = + j lugar das razes se:

\G (s)js=+j = 180 (4.1)2poderamos avaliar para K

4.1 Condies de Mdulo e Fase 4 FUNDAMENTOS MATEMTICOS

Figura 2.6: Diagrama do lugar das razes de G (s) =s2 + 12s+ 35


Esta condio da equao 4.1 conhecida como condio de fase.Por outro lado, se conhecemos um ponto do plano complexo, s = +j, que lugar das razes, podemos determinar

qual o ganhoK que aloca os polos de malha fechada neste ponto aplicando:

K kG (s)ks=+j = 1 (4.2)Esta condio da equao 4.2 conhecida como condio de mdulo.Podemos sempre determinar a fase e o mdulo de G (s) em um dado ponto do plano complexo + j fazendo

s = + j.

4.1.1 Determinao grfica da fase

Conforme nossa convenincia, podemos tambm determinar a fase utilizando ummtodo grfico. Para encontrar a fasegraficamente devemos observar que G (s) pode ser descrita por:

G (s) =

QNzi=1 (s+ zi)QNpi=j (s+ pj)

G ( + j) =

QNzi=1 ( + j + zi)QNpi=j ( + j + pj)

Mas para determinar a fase, estamos interessados apenas na contribuio angular, assim:

\G (s) =NzXi=1

\ ( + j + zi)NpXi=j

\ ( + j + pi)

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4.2 ngulos de partida e chegada 4 FUNDAMENTOS MATEMTICOS

ou seja, a fase de G (s) ser igual soma das contribuies angulares (z^i) de cada um dos zeros da funo detransferncia de malha aberta (FTMA) menos a soma das contribuies angulares (p^i) dos polos da FTMA (malhaaberta). Para determinar graficamente a contribuio angular de um polo ou de um zero, devemos traar uma retaunindo o polo em questo com a origem. A contribuio angular ser a inclinao desta reta. Por exemplo

G (s) =s2 + 10s+ 29

s3 + 10s2 + 48s+ 64=

(s+ 5 + 2j) (s+ 5 2j)(s+ 2) (s+ 4 4j) (s+ 4 + 4j)

medimos as contribuies angulares para um ponto localizado em s = 10 + 3j conforme a figura 4.1

Figura 4.1: Exemplo de como so medidas as contribuies angulares de polos e zeros

Assim, a contribuio angular no ponto s = 10 + 3j ser:

\G (s) = z^1 + z^2 p^1 p^2 p^3

4.2 ngulos de partida e chegadaEm uma vizinhana de qualquer um dos polos ou zeros de malha aberta, existir um conjunto de pontos que lugar dasrazes. Podemos determinar o ngulo com que o caminho do lugar das razes (CLR) parte de um polo de malha abertae tambm podemos determinar o ngulo com que o CLR chega a um zero de malha aberta.

J vimos que se um ponto faz parte do CLR, a fase de G (s) neste ponto 180 graus. Entretanto, se imaginarmosque o ponto em questo esta muito prximo a um polo ou a um zero fica ento evidente que a contribuio angular dosdemais polos/zeros neste ponto praticamente a mesma, para comprovar, verifique a figura 4.1. Escolha por exemplodois pontos prximos ao polo de malha aberta p1, p1;d direita e outro, p1e esquerda, ento verifique que os ngulosz^1, z^2, p^2 e p^3 so praticamente os mesmos para qualquer um dos dois casos. J o ngulo p^1ser 180 graus em p1e e 0graus em p1d.

Sendo assim, pode-se determinar o ngulo de partida (neste caso p1d) como o ngulo que composto com as con-tribuies angulares dos demais elementos (os ngulos z^1, z^2, p^2 e p^3) resultem 180 graus. Ou seja, calculamos acontribuio angular de todos os demais elementos em s = p1 e subtramos (ou somamos, indiferentemente3) 180graus. Portanto, o ngulo de partida do polo em p1 (na figura 4.1) ser z^1 + z^2 p^2 p^3

3observe que uma reta a um ngulo de 180 graus recai na mesma posio que uma reta a -180 graus.

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5 REGRAS PARA O TRAADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAZES

4.2.1 ngulos de partida e chegada no eixo real

No eixo real, as contribuies angulares dos polos e zeros complexos conjugados se anula (verifique na figura 4.1, paraqualquer ponto no eixo real), s restando as contribuies angulares dos polos e zeros localizados no prprio eixo real(e que assumir apenas dois valores, ou 180 ou 0 graus). Desta forma, o traado do lugar das razes no eixo real muitosimplificado e se limita a preencher os locais do eixo real entre dois elementos (polos ou zeros) a partir do elementocom maior parte real (maior considerando o sinal, portanto 1 > 2).

5 Regras para o traado manual do diagrama do lugar das razesAs regras que sero apresentadas so justificadas pelos fundamentos matemticos estudados anteriormente.

1. Escrever a equao caracterstica:

(a) Devemos escrever a equao caracterstica, 1 +K G (s) = 0, na seguinte forma

1 +K (s+ z1) (s+ z2) (s+ zr)(s+ p1) (s+ p2) (s+ pq) = 0

2. Localizar os polos e zeros de malha aberta:

(a) Desenhe no grfico todos os polos e zeros de malha aberta (usualmente representamos polos por um x ezeros por um o).

3. Localizar os zeros no infinito, quando houverem:

(a) Os zeros no infinito sero em nmero de Np Nz , nmero de polos de malha aberta menos o nmero dezeros de malha aberta.

(b) Estaro localizados no final de retas (chamadas assintotas) que se iniciam no ponto a

a =

Ppolos finitosP zeros finitos

Np Nz(c) As assintotas partiro de a com ngulos de a (N um nmero inteiro) e o resultado ser em graus.

a =(2N + 1) 180

Np Nz4. Traar a parte do caminho do lugar das razes (CLR) que esta sobre o eixo real:

(a) Sobre o eixo real, as contribuies de polos e zeros complexos conjugados se anula, restando apenas acontribuio dos polos e zeros que tambm esto sobre o eixo real. Uma forma simples de realizar estetraado localizar no eixo real os polo e zeros.i. Comeando pelo elemento maior (o mais positivo), trace uma reta no sentido negativo (diminuindo)

at encontrar outro elemento (seja polo ou zero).ii. Continue em sentido negativo, mas sem traar reta alguma, at encontrar o prximo elemento.iii. Continue em sentido negativo, traando novamente uma reta.iv. Repita alternando o traado a cada vez que um novo elemento for encontrado, at que todos os elemen-

tos sobre o eixo real tenham sido alcanados. Observe que pode haver um zero em s = 1, nestecaso conveniente traar um pouco mais adiante (mas no precisa chegar no infinito).

5. Determine o ngulo de partida dos polos e zeros complexos conjugados:

(a) Localize o polo ou zero complexo em questo(b) Calcule a contribuio angular neste ponto, ignorando o elemento que ai se localiza e somando 180 graus.

Por exemplo, se houver um polo em s = 4 + 4j, haver obviamente o seu conjugado em s = 4 4j evamos supor que exista mais um em s = 6. A contribuio angular no ponto s = 4 4j ser calculadaconsiderando apenas os elementos em s = 4+4j e em s = 6. O ngulo de partida ser esta contribuioangular somada a 180 graus (ou subtrada, se for mais conveniente).

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5.1 Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAZES

(c) desenhe um vetor indicando este ngulo de partida sobre o elemento calculado.

6. Trace um primeiro esboo do CLR.

(a) Lembre-se que cada ramo do CLR comea em um polo e termina em um zero.(b) O CLR simtrico em relao ao eixo real.(c) Podero existir pontos de separao, podendo ser de chegada ou sada, sobre o eixo real (normalmente

ocorrem entre dois polos ou entre dois zeros). Para localizar aproximadamente estes pontos, cabe a seguinteobservao.i. Polos tem o efeito de afastar o lugar das razes em suas imediaes.ii. Zeros tem o efeito de atrair o lugar das razes em suas imediaes.iii. Polos e zeros, quando esto distantes, exercem pouca influncia em uma regio do CLR.

7. Determine a posio dos pontos de separao:

(a) Um ponto de separao b pode ser determinado fazendo

NpXi=1

1

b pi =NzXi=1

1

b zi

(b) A resoluo da equao anterior pode levar a um polinmio de grau elevado e de difcil soluo. Entretanto,um procedimento de tentativa e erro permite obter a posio de modo preciso partindo de uma estimativainicial. Para isto, basta observar que o ponto de separao possui dois elementos mais prximos e que somais influentes que os demais.i. Ento, para todos os elementos mais afastados do ponto de separao b, substitumos b por uma

estimativa. Isso leva a uma equao de segundo grau que se resolvida nos da uma nova estimativa parab.

ii. Repete-se o processo com a nova estimativa no lugar da anterior.iii. Em geral, partindo-de de uma boa estimativa inicial nos leva a um resultado bastante preciso em apenas

uma computao.

5.1 Exemplos5.1.1 Determine o esboo do lugar das razes de:

G (s) =(s+ 1)

(s+ 2) (s+ 3) (s+ 4)

1. A equao caracterstica, 1 +K G (s) = 0, ser 1 + K (s+ 1)(s+ 2) (s+ 3) (s+ 4)

= 0

2. Os polos de malha aberta esto localizados em s = 2, s = 3 e s = 4. O nico zero de malha aberta estalocalizado em s = 1. Vide figura 5.1.

10


Figura 5.1: Exemplo 5.1.1, indicao dos polos e zeros de malha aberta.

3. Existem zeros no infinito (a planta tem 3 polos e apenas 1 zero, restam 2 zeros no infinito), calculamos a =(2) + (3) + (4) (1)

3 1 = 4 e a =(2N + 1) 180

3 1 = 180N + 90 . Vide figura 5.2.

Figura 5.2: Exemplo 5.1.1, indicao de a e assintotas com ngulos a.

4. Traamos o lugar das razes no eixo real, iniciando em 1 (o elemento mais positivo) e em sentido negativoencontramos 2, entre 2 e 3 deixamos de traar, entre 3 e 4 voltamos a traar. Vide figura 5.3.

11


Figura 5.3: Exemplo 5.1.1, traado do CLR no eixo real.

5. No existem polos ou zeros complexos conjugados, ento no necessrio indicar o ngulo de partida destes.

6. Traamos o restante do lugar das razes, verificamos que um caminho comea no polo em s = 2 e terminano zero em s = 1, j os caminhos que iniciam nos polos localizados em s = 3 e s = 4 terminaro noszeros infinitos (seguindo as assintotas indicadas em linha tracejada). Neste traado, que melhora com a prtica,deve-se lembrar da regra prtica de que os polos tem efeito de repelir o CLR, enquanto que os zeros tem o efeitode atrair. Alm disso, o CLR simtrico em relao ao eixo real. Vide figura 5.4.

Figura 5.4: Exemplo 5.1.1, traado do esboo do CLR.

7. Resta agora determinar o ponto de separao no eixo real. Podemos arriscar um palpite inicial de que este pontoesta localizado prximo a s = 3; 5 e, os elementos mais prximos so justamente os polos localizados ems = 4 e s = 3, os demais elementos (o polo em s = 2 e o zero em s = 1) esto mais afastados e podemosconsiderar que a influncia deles alm de menor menos sensvel variaes no ponto de separao. Assim,calcula-se

(a)PNp

i=1

1

b pi =PNp

i=1

1

b zi, que resulta1

b (4) +1

b (3) +1

b (2) =1

b (1).

12


(b) substitumos b pelo palpite inicial nos elementos mais afastados, ento:

i.1

b (4) +1

b (3) +1

3; 5 (2) =1

3; 5 (1)ii.

(b + 3) + (b + 4)

(b + 4) (b + 3)=

1

2; 51

1; 5iii.

2b + 7

2b + 7b + 12= 0; 2667

iv. 2b + 7 = 0; 26672b + 1; 8667b + 3; 2v. 0; 04042b 0; 1333b 3; 8 = 0 resultando em b = 3; 5332 ou b = 4; 0333. Obviamente o

resultado que procuramos 3; 5332(c) repetindo o processo para o novo palpite b = 3; 5332 encontraremos calculamos o novo b = 3; 5321.

Os novos valores no se alteram significativamente, indicando que encontramos o valor procurado.

8. O resultado encontrado pelo software Matlab, utilizando o comando rlocus ilustrado na figura 5.5. Observe queo traado manual bem semelhante ao encontrado pelo Matlab.

Figura 5.5: Exemplo 5.1.1, resultado pelo Matlab.

(a) O comando especfico para este caso foi: rlocus([1 1], [1 9 26 24]), onde o vetor [1 1] representa os coefi-cientes do polinmio do numerador s+ 1 e o vetor [1 9 26 24] representa os coeficientes do polinmio dodenominador s3 + 9s2 + 26s+ 24 (expanso dos monmios dados, (s+ 2) (s+ 3) (s+ 4))

5.1.2 Determine o esboo do lugar das razes de:

G (s) =(s+ 5) (s+ 6)

(s+ 2) (s+ 3) (s+ 4)

1. A equao caracterstica, 1 +K G (s) = 0, ser 1 + K (s+ 5) (s+ 6)(s+ 2) (s+ 3) (s+ 4)

= 0

13


2. Os polos de malha aberta esto localizados em s = 2, s = 3 e s = 4. Existem dois zeros de malha abertaque esto localizados em s = 5 e em s = 6. Vide figura 5.6.


3. Existe um zero no infinito (a planta tem 3 polos e 2 zeros, resta um zero no infinito), calculamos

a =(2) + (3) + (4) (5) (6)

3 2 = 2 e a =(2N + 1) 180

3 2 = 360N + 180 . Vide figura 5.7.


Quando ocorre a existncia de um nmero impar de zeros infinitos, um deles estar localizado em sobre o eixoreal (garantindo a simetria). Neste caso, o nico zero infinito esta sobre o eixo real e no precisaramos calculara sua assintota.

4. Traamos o lugar das razes no eixo real, iniciando em 2 (o elemento mais positivo) e em sentido negativoencontramos 3, entre 3 e 4 deixamos de traar, entre 4 e 5 voltamos a traar, a partir de 6 traamosat 1 (correspondendo a assintota calculada no passo anterior). Vide figura 5.8.

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5. No existem polos ou zeros complexos conjugados, ento no necessrio indicar o ngulo de partida destes.

6. Traamos o restante do lugar das razes, verificamos que um caminho comea no polo em s = 4 e termina nozero em s = 5, j os caminhos que iniciam nos polos localizados em s = 3 e s = 2 terminaro, um delesno zero em s = 6 e o outro no zeros infinito. Existiro ento dois pontos de separao do eixo real, um entre2 e 3 (entre os dois polos, correspondendo a dois caminhos que saem) e outro entre 6 e 1 (entre osdois zeros, correspondendo a dois caminhos que chegam) . Vide figura 5.9.


7. Resta agora determinar mais precisamente os pontos de separao no eixo real. Podemos arriscar um palpiteinicial de que estes pontos esto localizados prximos a s = 2; 5 para a sada do eixo real e em s = 8 paraa chegada ou retorno ao eixo real.

(a) Vamos determinar o ponto de chegada, teremosPNp

i=1

1

b pi =PNz

i=1

1

b zi, que resulta1

b (4) +1

b (3) +1

b (2) =1

b (5) +1

b (6).

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(b) substitumos b pelo palpite inicial nos elementos mais afastados, ento:

i.1

8 (4) +1

8 (3) +1

8 (2) =1

b (5) +1

b (6)ii.

1

4 +1

5 +1

6 =(b + 5) + (b + 6)

(b + 5) (b + 6)

iii. 0; 6167 = 2b + 112b + 11b + 30

iv. 0; 61672b 6; 7833b 18; 5 = 2b + 11v. 0; 61672b 8; 7833b 29; 5 = 0 resultando em b = 8; 8186 ou b = 5; 4247. Obviamente o

resultado que procuramos 8; 8186(c) repetindo o processo para o novo palpite b = 8; 8186 encontraremos que o novo b = 9; 3666. Repe-

tindo o processo algumas vezes encontramos b = 9; 7; b = 9; 3666; b = 9; 9781; b = 10; 1418; b = 10; 2512; b = 10; 3243 e b = 10; 3731.... A escolha inicial no foi muito adequada e a con-vergncia esta lenta, mas verificamos que o ponto de entrada esta prximo a 10; 5

8. O resultado encontrado pelo software Matlab ilustrado na figura 5.10. Observe que o traado manual semelhante ao encontrado pelo Matlab.


(a) O comando especfico para este caso foi: rlocus([1 11 30], [1 9 26 24]), onde o vetor [1 11 30] representa oscoeficientes do polinmio do numerador s2+11s+30 (expanso dos monmios dados, (s+ 5) (s+ 6)) eo vetor [1 9 26 24] representa os coeficientes do polinmio do denominador s3+9s2+26s+24 (expansodos monmios dados, (s+ 2) (s+ 3) (s+ 4))


G (s) =1

(s+ 2) (s+ 3 3j) (s+ 3 + 3j)

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1. A equao caracterstica, 1 +K G (s) = 0, ser 1 + K(s+ 2) (s+ 3 3j) (s+ 3 + 3j) = 0

2. Os polos de malha aberta esto localizados em s = 2, s = 3 3j e s = 3 + 3j e no existem zeros demalha aberta. Vide figura 5.11.


3. Existem trs zeros no infinito (a planta tem 3 polos e no possui zeros, restam trs zeros no infinito), calculamos

a =(2) + (3 3j) + (3 + 3j)

3 0 = 8

3e a =

(2N + 1) 1803 0 = 120N + 60 . Vide figura 5.12.


Quando ocorre a existncia de um nmero impar de zeros infinitos, um deles estar localizado em sobre o eixoreal (garantindo a simetria). Neste caso, tambm verificamos esta afirmao.

4. Traamos o lugar das razes no eixo real, iniciando em 2 (o elemento mais positivo) e em sentido negativotraamos at 1 (correspondendo a uma das assintotas calculadas no passo anterior). Observe que os poloscomplexos conjugados no interferem no traado sobre o eixo real. Vide figura 5.13.

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5. Existem dois polos complexos conjugados localizados em s = 33j. Devido simetria do CLR em relao aoeixo real, basta calcular o ngulo de partida de apenas um elemento do par complexo conjugado, o outro nguloser tal que a simetria seja garantida.

(a) Aqui podemos utilizar o procedimento grfico, ligando os outros polos ao ponto s = 3+3j e determinandoa contribuio angular neste ponto, ou, equivalentemente, pode-se calcular esta contribuio angular como

sendo1

(s+ 2) (s+ 3 + 3j)

s=3+3j

(que a funo de transferncia de malha aberta, excluindo-se o polo

em s = 3+3j e calculada em s = 3+3j ) resultando0:0500+0:0167j e cuja fase 161; 5651. Istosignifica que, numa vizinhana de s = 3 + 3j, o polo localizado em s = 3 + 3j dever contribuir com18; 4349 (afinal 161; 5651+18; 4349 = 180) e como se trata de um polo, sua contribuio ser subtrada4.Conclumos que o CLR parte do polo em s = 3+3j com ngulo igual a18; 4349. A figura 5.14 ilustraos ngulos de partida dos polos complexos conjugados.

Figura 5.14: Exemplo 5.1.3, ngulos de partida dos elementos complexos conjugados.4o polo esta no denominador e a fase final ser a fase do numerador menos a fase do denominador.

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6. Traamos o restante do lugar das razes, verificamos que um caminho comea no polo em s = 3+3j com ngulode partida de 18; 4349 e tende assintota ilustrada. O outro CLR tem comportamento simtrico, conforme afigura 5.15.


(a) Neste exemplo cabe aindamais um refinamento. Observamos que alguns CLR vo cruzar o eixo imaginrio,ponto a partir do qual o sistema se torna instvel e para o qual podemos determinar o ganhoK crtico pelocritrio de estabilidade de Routh. Aplicando o critrio neste caso teremos, para o denominador da FTMF:

i.

s3 1 30 0s2 8 36 +K 0

s1204K

80 0

s0 36 +K 0 0

resultando em K < 204 e K > 36. Como K adotado positivo, a

instabilidade ocorre a partir deK = 204.ii. substituindo este valor na FTMF, teremos o denominador s3 + 8s2 + 30s+ 240 para o qual sabemos

que existem razes com parte real nula. Neste caso, podemos substituir s por jW e aproveitar o fatoque que j2 = 1. Neste caso:A. s3 + 8s2 + 30s+ 240

s=jW

= (jW )3+ 8 (jW )

2+ 30 (jW ) + 240 =

j3W 3

+ 8

j2W 2

+

30jW + 240 que resulta em jW 3 + 30jW 8W 2 + 240 = 0. Podemos resolver a igualdadegarantindo que a parte real e a parte imaginria sejam nulas, assim:

B. jW 3 + 30jW = 0 pode ser escrita como W 30W 2 j = 0, resultando em W = 0 ouW = p30 = 5; 4772

C. 8W 2 + 240 = 0 pode ser escrita como 30W 2 = 0 que resulta emW = p30 = 5; 4772D. Da avaliao anterior conclumos que o CRL cruza o eixo imaginrio em s = 5; 4772, esta

informao foi utilizada para aprimorar o desenho da figura 5.15

7. Este CLR no possui pontos de separao no eixo real.


(a) O comando especfico para este caso foi: rlocus([1], [1 8 30 36]), onde o vetor [1] representa os coeficientesdo polinmio5 do numerador 1 (expanso dos monmios dados, (s+ 5) (s+ 6)) e o vetor [1 8 30 36]representa os coeficientes do polinmio do denominador s3 + 8s2 + 30s + 36 (expanso dos monmiosdados, (s+ 2) (s+ 3 3j) (s+ 3 + 3j))

5neste caso o numerador no propriamente um polinmio pois um valor constante e igual a 1, mas o Matlab interpreta o vetor [1] como arepresentao de um polinmio do tipo 1s0.

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G (s) =(s+ 4) (s+ 5 j) (s+ 5 + j)(s+ 1) (s+ 2 j) (s+ 2 + j)

1. A equao caracterstica, 1 +K G (s) = 0, ser 1 + K (s+ 4) (s+ 5 j) (s+ 5 + j)(s+ 1) (s+ 2 j) (s+ 2 + j) = 0

2. Os polos de malha aberta esto localizados em s = 1, s = 2 j e s = 2 + j e os zeros de malha abertaesto localizados em s = 4, s = 5 j e s = 5 + j. Veja figura 5.17.


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3. No existem zeros no infinito.

4. Traamos o lugar das razes no eixo real, iniciando em 1 (o elemento mais positivo) e em sentido negativotraamos at 4. Como no existem outros elementos no eixo real, esta etapa esta finalizada, veja a figura 5.18.


5. Existem dois polos complexos conjugados localizados em s = 2 j. Devido simetria do CLR em relao aoeixo real, basta calcular o ngulo de partida de apenas um elemento do par complexo conjugado, o outro nguloser tal que a simetria seja garantida.

(a) Aqui podemos utilizar o procedimento grfico, ligando os outros polos ao ponto s = 2+j e determinandoa contribuio angular neste ponto, ou, equivalentemente, pode-se calcular esta contribuio angular como

sendo(s+ 4) (s+ 5 j) (s+ 5 + j)

(s+ 1) (s+ 2 + j)

s=2+j

(que a funo de transferncia demalha aberta, excluindo-

se o polo em s = 2 + j e calculada em s = 2 + j ) resultando 8:2500 2:2500j e cuja fase 164:7449. Isto significa que, numa vizinhana de s = 2 + j, o polo localizado em s = 2 + jdever contribuir com15; 2551 (afinal164:7449 15; 2551 = 180) e como se trata de um polo, suacontribuio ser subtrada6. Conclumos que o CLR parte do polo em s = 2 + j com ngulo igual a15; 2551.

(b) Para o zero em s = 5+j, pode-se calcular esta contribuio angular como sendo (s+ 4) (s+ 5 + j)(s+ 1) (s+ 2 j) (s+ 2 + j)

s=5+j

(que a funo de transferncia de malha aberta, excluindo-se o zero em s = 5 + j e calculada ems = 5 + j ) resultando 0:0030 + 0:0633j e cuja fase 92:7263. Isto significa que, numa vizi-nhana de s = 5 + j, o zero localizado em s = 5 + j dever contribuir com 87; 2737 (afinal92; 7263 + 87; 2737 = 180) e como se trata de um zero, sua contribuio ser somada7. Conclumosque o CLR termina no polo em s = 5 + j com ngulo igual a 87; 2737. A figura 5.19 ilustra os ngulosde partida dos polos complexos conjugados.

6o polo esta no denominador e a fase final ser a fase do numerador menos a fase do denominador.7o zero esta no numerador e a fase final ser a fase do numerador menos a fase do denominador.

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Figura 5.19: Exemplo 5.1.4, ngulos de partida/chegada dos elementos complexos conjugados.

6. Traamos o restante do lugar das razes, verificamos que um caminho comea no polo em s = 2+j com ngulode partida de 15; 2551 e chega no zero em s = 5 + j com ngulo de chegada de 87; 2737. O outro CLR temcomportamento simtrico, conforme a figura 5.20.


7. Este CLR no possui pontos de separao no eixo real.


(a) O comando especfico para este caso foi: rlocus([1 14 66 104], [1 5 9 5]), onde o vetor [1 14 66 104]representa os coeficientes do polinmio do numerador s3+14s2+66s+104 (expanso dosmonmios dados,(s+ 4) (s+ 5 j) (s+ 5 + j)) e o vetor [1 5 9 5] representa os coeficientes do polinmio do denominadors3 + 5s2 + 9s+ 5 (expanso dos monmios dados, (s+ 1) (s+ 2 j) (s+ 2 + j))

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REFERNCIAS REFERNCIAS


Referncias[1] K. Ogata, Engenharia de controle moderno, 5th ed. Prentice Hall / SP, 2010. 1

[2] J. J. Distefano, A. R. Stubberd, and I. J.Willians, Sistemas de Retroao eControle, ser. Coleo Schaum. McGrall-Hill, 1979. 1

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1 Introduo2 Definio2.1 Exemplos visuais2.1.1 Para traar o diagrama de lugar das razes de uma planta com funo de transferncia2.1.2 Para traar o diagrama de lugar das razes de uma planta com funo de transferncia2.1.3 Para traar o diagrama de lugar das razes de uma planta com funo de transferncia2.1.4 Para traar o diagrama de lugar das razes de uma planta com funo de transferncia2.1.5 Para traar o diagrama de lugar das razes de uma planta com funo de transferncia

3 Ferramentas para o traado do diagrama de lugar das razes4 Fundamentos Matemticos4.1 Condies de Mdulo e Fase4.1.1 Determinao grfica da fase

4.2 ngulos de partida e chegada4.2.1 ngulos de partida e chegada no eixo real

5 Regras para o traado manual do diagrama do lugar das razes5.1 Exemplos5.1.1 Determine o esboo do lugar das razes de:5.1.2 Determine o esboo do lugar das razes de:5.1.3 Determine o esboo do lugar das razes de:5.1.4 Determine o esboo do lugar das razes de:

Referncias

root locus 1

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