FUNÇÕES

Jairo Weber

De Relações e funções Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto

B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos:

R = {(x,y)AxB / y = 2x}

◦ R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)}

◦ N(R)=5

0

1

2

3

4

0

2

4

6

8

11

Diagrama

• O que há de especial? Quando uma relação é uma

função?Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem” (domínio) estão

relacionados uma e somente uma vez com elementos do “destino”

(contradomínio)

0

1

2

3

4

0

2

4

6

8

11

Conjunto Domínio = A Conjunto Contradomínio = B

Conjunto

Imagem

Im={0,2,4,6,8}

Relações que são funções

A B

Por que essa característica é

especial?

A garantia de encontrar um

correspondente a partir de

um número dado pode

ajudar a

conhecer/entender/explicar

um determinado

contexto/fenômeno.

Funções: definição

Uma relação F de A em B é uma função se, e somente se,

todo elemento de A tem um único correspondente em

B. Em outras palavras, cada elemento do conjunto

domínio possui uma, e somente uma, imagem.

Em qual das situações ao lado podemos afirmar que é

função?

Funções: Notação

Exemplo:

◦ Dada a função f:N N, definida para todo

natural n N, tal que f(n)=2n+1

2n+1 é uma forma de se representar um número

ímpar!

Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1)

Para n=1 temos, f(1)=2.1+1=3 logo f(1)=3 ou (1, 3)

Para n=2 temos, f(2)=2.2+1=5 logo f(2)=5 ou (2, 5)

Para n=3 temos, f(3)=2.3+1=7 logo f(3)=7 ou (3, 7)

Representação no plano

cartesiano - Funções

A={0, 1 ,2, 3}

B={0, 2, 4, 6}

A

B

R= {(x,y)AxB / y=2x}

A função é uma relação especial,

logo, ser função não determina se

podemos ou não traçar uma reta

pelos pontos.

Funções - ClassificaçãoInjetora, Sobrejetora e Bijetora

Função Injetora

É a função na qual:

x1 x2 então f(x1) f(x2)

Pares = {(0,0),(1,2),(2,4),(3,6), (4,8)}

0

1

2

3

4

0

2

4

6

8

11

Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

Conjunto

Imagem

Função Sobrejetora

É a função na qual a todo elemento do

contra-domínio está associado um

elemento do domínio. Ou seja: Cd=Im

0

1

2

3

4

0

2

4

6

8

Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

Conjunto

Imagem

Função Bijetora

É a função que é injetora e sobrejetora.

0

1

2

3

4

0

2

4

6

8

Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

Conjunto

Imagem

Estudo do domínio e imagem de

uma função.O conjunto domínio é formado por todos

os valores possíveis da variável

independente x.

Exemplos de estudo do domínio.

4²

5)()

8

52)()

)()

92)()

xxtd

x

xxhc

xxgb

xxfa

Exercícios.

Livro páginas 29 e 30 (1 ao 5).

Representação gráfica de uma

função.Exemplo.(PUC) Qual dos gráficos abaixo não representa uma função?

(PUC-RS)

Do gráfico representado abaixo, podemos

afirmar que sua imagem é:

Função afim

Uma função definida por f: R→R chama-se

afim quando existem constantes a, b que

pertencem ao conjunto dos reais tais que

f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que

define função afim é:

f(x)=ax+b

Gráficos de função afim

Exemplo. Faça o esboço do gráfico da função f(x) = 2x – 16, destacando os

pontos de interseção com os eixos.

a

bx

O ponto de interseção entre

a reta e o eixo x é chamado

de RAIZ OU ZERO DA

FUNÇÃO. Para f(x) = ax+b,

temos:

Gráficos de função afim

Exemplo. A partir do gráfico abaixo,

determine a lei de formação da sua

função.

Exercícios1)Determine a lei de formação da função que representa a reta que passa pelos pontos

A(1,4) e B(2,6).

2)Determine a lei de formação da função afim, que representa a reta que passa pelos pontos A (-1,-2) e B (5,2).

3)Escreva a lei de formação da função afim que representa a reta que passa por:

a) A(2,3) e B(0,1).

b) M(-3,-1) e N(2,-5).

4)Dada a reta r definida em R por f(x)=ax+l, determine a e l.

VESTIBULAR (Uerj) Sabedoria egípcia Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no

chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta)variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que asombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a umcomprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longascoincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. (Adaptado de Revista"Galileu", janeiro de 2001.)

Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta OAde 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombraOB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema decoordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x)continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e asombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinteequação da reta que contém o segmento AB:

a) y = 8 - 4x b) x = 6 - 3y c) x = 8 - 4y d) y = 6 - 3x

VESTIBULAR(Ufrn) Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma reta

que representa a quantidade, medida em mL, de ummedicamento que uma pessoa deve tomar em funçãode seu peso, dado em kgf, para tratamento dedeterminada infecção. O medicamento deverá seraplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa85kgf receberá em cada dose:

a) 7 mL b) 9 mL c) 8 mL d) 10 mL

máximafrequência

mínimafrequência

75,0.

65,0.

máximafrequência

mínimafrequência

85,0.

70,0.

1.O melhor indicador de até onde o organismo pode chegar durante exercícios

aeróbicos é o ritmo dos batimentos cardíacos. Para funcionar e não causar

problemas, a atividade física deve ser praticada co o coração trabalhando entre a

freqüência cardíaca mínima e máxima. Podem-se obter objetivos diferentes com o

mesmo exercício, conforme a faixa da freqüência cardíaca em que se trabalha. Se o

seu objetivo é emagrecer, a atividade física deve ser praticada com o coração

trabalhando entre 65% e 75% de sua freqüência cardíaca. Para obter valores, faça a

conta:

220-idade

Se o seu objetivo é melhorar o sistema cardiovascular, a atividade física deve ser

praticada com o coração trabalhando entre 70% e 85% de sua frequência cardíaca. Para

obter esses valores, faça a conta:

220-idade

Se uma pessoa de 30 anos pretende emagrecer e melhorar o sistema cardiovascular, determine a

frequência mínima e máxima.

Ponto de intersecção entre retas.

As retas r: e s: são concorrentes sobre um mesmo plano. Isto significa que existe entre elas um ponto em comum, chamado ponto de interseção. O ponto de interseção entre as retas r e s é:

a) (-2,-3)

b) (2,3)

c) (-3,-2)

d) (-2,-5)

e) (-2,5)

092 yx 07 yx