FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA

1- Definição

É toda função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a *, b e c .

dependenteiávely

teindepemdemiávelx

teconstermoouteindependentermoc

xexdeescoeficientbea

reaisnúmeroscba

var

var

tan

,,

2

Exemplos

a) f(x) = x2 – 4x + 3 (a = 1, b = -4, c = 3) b) f(x) = -4x2 - 16 (a = -4, b = 0, c = -16) c) y = x2 – 3x (a = 1, b = -3, c = 0) d) f(x) = -3x2 (a = -3, b = c = 0)

2- Raízes ou zeros de uma função do 2º grau

Para calcular as raízes ou os valores de x que anulam uma função do 2º

grau, devemos igualar a zero a mesma transformando-a numa equação do 2º grau e, em seguida, resolvendo-a através da fórmula de Bháskara. Exemplo: 1) Encontre as raízes de cada função abaixo: a) y = 3x2 – 5x + 2 b) y = -x2 + 6x - 9 c) y = 2x2 – 4x + 5 d) f(x) = x2 – 5x e) y = 20x2 – 320 f) f(x) = x2 + 4 Solução: a) y = 3x2 – 5x + 2 3x2 – 5x + 2 = 0 (a = 3, b = -5, c = 2) - Cálculo do discriminante (delta).

1

2.3.4)5(

..4

2

2cab

- Cálculo das raízes.

3

2

6

4

6

15"

16

15'

6

15

3.2

1)5(

2

x

x

x

Bháskaradefórmulaa

bx

1 e 2/3 são os únicos números que anulam a função. Logo, V = {1, 2/3} b) y = -x2 + 6x - 9 -x2 + 6x - 9 = 0 .(-1) x2 - 6x + 9 = 0 (a = 1, b = -6, c = 9)

32

6

2

06"

32

6

2

06'

2

06

1.2

0)6(

2

036369.1.4)6(2

x

x

a

bx

3 é o único número que anula a função. Logo, V = {3} c) y = 2x2 – 4x + 5 2x2 – 4x + 5 = 0 (a = 2, b = -4, c = 5)

2440165.2.4)4(2

1.2

24)4(

2 a

bx x’ e x”

- Observa-se que não é possível calcular, no campo real, 24 , por ser um número que faz parte

do Conjunto dos Números Complexos, logo, a equação não apresenta raízes reais, isto é, o

conjunto verdade é representado pelo conjunto vazio V = ou { }. * O resultado significa dizer que não existe nenhum número real que anula essa função. d) f(x) = x2 – 5x x2 – 5x = 0 (a = 1, b - -5, c = 0)(equação incompleta: coloca-se x em evidência) x(x – 5) = 0 x’ = 0 ou x – 5 = 0 x” = 5 V = {0, 5}

e) y = 20x2 – 320 20x2 – 320 = 0 (:20) (equação incompleta) x2 – 16 = 0 (a = 1, b = 0, c = -16) x2 = 16

x = 16

x = 4

4"

4'

x

x

V = {4, -4} f) f(x) = x2 + 4 x2 + 4 = 0 (equação incompleta) x2 = -4

x = 4 x’ e x”

V = ou { } Obs.: todas as equações incompletas do 2º grau podem ser resolvidas pela fórmula de Bháskara. Observe a resolução do exemplo anterior d. d) f(x) = x2 – 5x

)0,5,1(052

cbaxx

250.1.4)5(..422

cab

02

55"

52

55'

2

55

1.2

25)5(

2

x

x

x

Bháskaradefórmulaa

bx

V= {0, 5}

3- Gráfico de uma Função Quadrática. - O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada de Parábola. Ela apresenta vértice, concavidade e eixo de simetria.

4- Cálculo do Vértice. - Observamos acima que o vértice de uma parábola é um ponto que pode ser de mínimo, se o coeficiente de x2 for maior que zero (a > 0) ou de máximo, se for menor que zero (a < 0). Para calcular esse ponto devemos utilizar as seguintes fórmulas:

1- Abscissa do vértice: a

bx

v

2

(ponto de mínimo ou de máximo da função)

2- Ordenada do vértice:a

yv

4

(valor de mínimo ou de máximo da função)

Logo, o vértice é representado pelo ponto

aa

bV

4;

2.

Procedimentos para encontrar o vértice.

1º Procedimento y = ax

2 + bx + c fórmula geral da Função Quadrática

Isola-se ax

2 + bx

y – c = ax2 + bx

Adiciona-se aos dois membros o termo

2

2

a

ba

y – c +

2

2

a

ba = ax

2 + bx +

2

2

a

ba

Resolve-se a potência do 1º membro e coloca-se a em evidência no 2º

y – c + 2

2

4 a

ab = a

2

2

2 a

b

a

bxx

Simplifica-se 2

2

4 a

ab e fatora-se o 2º membro (quadrado da soma de dois termos):

y – c + a

b

4

2

= a

2

2

a

bx

Isola-se y e determina-se o mínimo nos dois últimos termos do 2º membro

y = a

2

2

a

bx + c -

a

b

4

2

y = a

2

2

a

bx -

a

acb

4

42

cab ..42

y = a

2

2

a

bx -

a4

a) Quando a > 0, a função (y) apresenta um mínimo para

2

2

a

bx = 0.

2

2

a

bx = 0

02

a

bx x =

a

b

2 (abscissa do vértice)

Como

2

2

a

bx = 0, temos.

y = a.0 - a4

y = -

a4

(ordenada do vértice)

V =

aa

b

4,

2

b) Quando a < 0, a função (y) apresenta um máximo para

2

2

a

bx = 0.

2

2

a

bx = 0

02

a

bx x =

a

b

2 (abscissa do vértice)

Como

2

2

a

bx = 0, temos.

y = a.0 - a4

y = -

a4

(ordenada do vértice)

V =

aa

b

4,

2

3) Quando a > 0, y = -a4

continua negativo (y < 0), logo, a função apresenta um mínimo.

4) Quando a < 0, y = -a4

torna-se positivo (y > 0), logo, a função apresenta um máximo.

2º Procedimento O vértice da parábola y = ax

2 + bx + c pertence ao eixo de simetria (s). Então, para encontrar sua

abscissa deve-se calcular o ponto médio do segmento de extremos (x’, 0) e (x”, 0) da seguinte maneira:

Para encontrar a ordenada do vértice deve-se substituir o valor da abscissa do vértice

a

bx

v

2na função y = ax

2 + bx + c do seguinte modo:

Então:

aa

bV

4,

2

Exemplo 1- As funções abaixo são do 2º grau, logo, seus gráficos são representados por parábolas. Determine o vértice de cada parábola especificando se representa ponto de máximo ou de mínimo. a) f(x) = x2 – 9x + 20 b) y = -2x2 + 5x + 1 c) y = 3x – x2 Solução: a) f(x) = x2 – 9x + 20 (a = 1, b = -9, c = 20)

a

ba

b

a

bb

a

b

a

b

xxx

v

22

2

2

2

2

2

22

2

"'

aa

acb

a

acb

a

acbbc

a

b

a

bc

a

b

a

bac

a

bb

a

bay

44

)4(

4

4

4

42

2424.

2.

2.

22

22222

2

22

1) Cálculo da abscissa do vértice:

5,42

9

1.2

)9(

2

a

bx

v

2) Cálculo da ordenada do vértice:

1808120.1.4)9(..422

cab

25,04

1

1.4

1

4

ay

v

Logo,

4

1,

2

9V

* Como a é positivo (a = 1), dizemos que o vértice representa um ponto de mínimo. b) y = -2x2 + 5x + 1 (a = -2, b = 5, c = 1)

1) 25,14

5

4

5

)2.(2

5

2

a

bx

v

2) 318251).2.(45..422

cab

875,38

31

8

31

)2.(4

31

4

ay

v

Logo,

8

31,

4

5V

* Como a é negativo (a = -2), dizemos que o vértice representa um ponto de máximo. c) y = 3x – x2 (a = -1, b = 3, c = 0)

1) 5,12

3

2

3

)1.(2

3

2

a

bx

v

2) 9090).1.(43..422

cab

25,24

9

4

9

)1.(4

9

4

ay

v

Logo,

4

9,

2

3V

* Como a é negativo (a = -1), dizemos que o vértice representa um ponto de máximo. . 5- Construção de uma Parábola. Verificou-se que para construir o gráfico de qualquer função deve-se conferir a x (variável independente) valores arbitrários, em seguida, substituem-se os mesmos na função achando valores para y (variável dependente),

conseqüentemente, formando pares ordenados (x, y). Porém, para facilitar nossa tarefa, vamos colocar ordem nos valores de x, da seguinte maneira:

1- Calculam-se as raízes da função (x’ e x”);

2- Determina-se o vértice da parábola

aa

bV

4;

2;

3- Construa-se uma tabela acrescentando um valor inteiro a x menor que a menor raiz e outro maior que a maior raiz, em seguida, esboçar o gráfico.

Nota: se a equação apresentar raízes reais e iguais (x’ = x”) ou não apresentar raízes reais (x’ e x” ) , deve-se atribuir a x dois valores inteiros menores e dois maiores que o valor da abscissa do vértice (xv). Exemplo: 1- Construir o gráfico de cada função abaixo: a) f(x) = x2 – 3x + 2 b) y = -x2 + 4x - 4 c) y = 2x2 + 4 Solução: a) f(x) = x2 – 3x + 2 1) Cálculo das raízes. f(x) = x2 – 3x + 2 x2 – 3x + 2 = 0 (a = 1, b = -3, c = 2)

1892.1.43..422

cab

12

13"

22

13'

2

13

1.2

1)3(

2x

x

a

bx

2) Cálculo do vértice.

5,12

3

2

3

1.2

)3(

2

a

bx

v

25,24

1

1.4

1

4

ay

v

4

1,

2

3V

c) Construção da Tabela e do gráfico.

x y (x, y)

0 2 (0, 2)

1 0 (1, 0)

2

3

4

1

4

1,

2

3

2 0 (2, 0)

3 2 (3, 2)

f(x) = x2 – 3x + 2 f(0) = 02 – 3.0 + 2 = 2 f(1) = 12 – 3.1 + 2 = 0 f(2) = 22 – 3.2 + 2 = 0 f(3) = 32 – 3.3 + 2 = 2 b) y = -x2 + 4x - 4 1) Cálculo das raízes. -x2 + 4x – 4 = 0 (-1) x2 – 4x + 4 = 0 (a = 1, b = -4, c = 4)

04.1.44..422

cab

22

04"

22

04'

2

04

1.2

0)4(

2x

x

a

bx

2) Cálculo do vértice.

y

2

3/2

-2 -1 0

1

2 3 x

-1/4

-1

22

4

1.2

)4(

2

a

bx

v

04

0

1.4

0

4

ay

v

0,2V

3) Construção da Tabela e do gráfico.

x y (x, y)

0 -4 (0, -4)

1 -1 (1, -1)

2 0 (2, 0)

3 -1 (3, -1)

4 -4 (4, -4)

y = -x2 + 4x - 4 y(0) = 02 + 4.0 -4 = -4 f(1) = -12 + 4.1 - 4 = -1 f(2) = -22 + 4.2 - 4 = 0 f(3) = -32 + 4.3 - 4 = -1 f(4) = -42 + 4.4 – 4 = -4 c) y = 2x2 + 4 1) Cálculo das raízes. y = 2x2 + 4 2x2 + 4 = 0 (equação incompleta do 2º grau) 2x2 = -4 x2 = -2

ouVoexxx ,log,"'2

2) Cálculo do vértice. y = 2x2 + 4 (a = 2, b = 0, c = 4) 32

y

0 1 2 3 4 x

-1

-4

04

0

2.2

0

2

a

bx

v

48

32

2.4

)32(

4

ay

v

4,0V

3) Construção da tabela e do gráfico.

x y (x, y)

-2 12 (-2, 12)

-1 6 (-1, 6)

0 4 (0, 4)

1 6 (1, 6)

2 12 (2, 12)

y = 2x2 + 4 f(-2) = 2.(-2)2 + 4 = 12 f(-1) = 2.(-1)2 + 4 = 6 f(1) = 2.12 + 4 = 6 f(2) = 2.22 + 4 = 12 Notas:

1ª) É relevante observar que quando as raízes reais x’ e x “ são diferentes (∆ > 0), a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos; quando as raízes reais são iguais (∆ = 0), a parábola intercepta o eixo das abscissas em um ponto e, quando não existirem raízes reais, a parábola não intercepta a curva.

2ª) Pontos Notáveis da Parábola. 2.1) Intersecção da parábola com o eixo das abscissas (OX): São as raízes e para calcular

deve-se atribuir à variável y o valor nulo (y = 0), em seguida, resolve-se a equação encontrada.

y = ax2 + bx + c ax

2 –bx + c = 0

2.2) Intersecção da parábola com o eixo das ordenadas (OY): Deve-se atribuir à variável x o

valor nulo (x = 0) encontrando, em seguida, o valor de y. y = ax

2 + bx + c

y = a.02 + b.0 + c y = c

2.3) Vértice da parábola: Utiliza-se as fórmulas citadas acima, isto é,

ay

a

bx

4

2 .

3ª) O domínio da função do 2º grau é o conjunto dos Reais e o conjunto imagem é

a

yRy4

/ se a > 0 ou

a

yRy4

/ se a < 0.

y

12

6

4

-2 -1 0 1 2

x

06- Estudo do sinal da Função do 2º Grau (ou Quadrática).

- Para estudar o sinal da função (valores de x que à torna positiva, negativa ou

nula) do 2º grau f(x) = ax2 + ba + c, utiliza-se o seguinte procedimento:

1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo.

2) Calculam-se as raízes.

3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X).

3.1) Se as raízes são diferentes, y assume valores com sinais de a à direita

de x” e à esquerda de x’. Entre as duas raízes, y assume valores com sinais

contrários de a.

3.2) Se as raízes são iguais, tanto à direita como à esquerda das raízes, o y

assume valores com sinais de a. Neste caso, não tem sinal contrário de a, apenas

y admite valor nulo quando x = x’ = x”.

3.3) Se não apresentar raízes, y assume o mesmo sinal de a.

Exemplo:

1- Estudar o sinal de cada função: a) y = x2 - 2x – 8 b) y = -x2 + 6x – 5 c) y = 4x2 – 4x + 1 d) y = -2x2 – 8

Solução:

a) y = x2 - 2x – 8

1) a = 1 a > 0 (positivo) 2) Iguala-se a zero a função y = x2 - 2x – 8. x2 - 2x – 8 = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

2"

4'

x

x

3)

42,0

4,242,0

,42,42,0

xouxsey

xsey

xouxsey

Obs.: Os sinais + e – que aparecem no gráfico acima são sinais da função y e não de x, isto é, se

substituir qualquer valor de x menor que -2 ou maior que 4 na função y = x2 - 2x – 8, o

resultado (valor numérico) será sempre positivo; se substituir qualquer valor de x compreendido entre -2 e 4, o resultado da função será sempre negativo e se x assumir valor -2 ou 4 o resultado será nulo.

b) y = -x2 + 6x – 5

1) a = -1 a < 0 2) -x2 + 6x – 5 = 0 x(-1) x2 6x + 5 = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

1"

5'

x

x

3)

51,0

,51,51,0

5,151,0

xouxsey

xouxsey

xsey

c) y = 4x2 – 4x + 1

1) a = 4 a > 0 2) Iguala-se a zero a função y = 4x2 – 4x + 1. 4x2 – 4x + 1 = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

2

1"

2

1'

x

x

3)

2/1,0

2/1,0

xsey

Rxsey

Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna negativa a função. d) y = -2x2 – 8

1) a = -2 a < 0 2) Iguala-se a zero a função y = -2x2 – 8. -2x2 – 8 = 0 x(-1)

2x2 + 8 = 0 Resolvendo verificamos que não temos raízes, logo, x’ e x” R.

3)

,,0 Rxy

Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna positiva ou nula a função.

Em regra geral, a discussão da variação de sinal de uma função quadrática recairá em um dos casos:

07- Inequações do 2º grau

Chama-se inequação do 2º grau toda desigualdade que pode ser escrita nas seguintes formas:

0

0

0

0

2

2

2

2

cbxax

cbxax

cbxax

cbxax

(a 0).

A resolução de uma inequação do 2º grau pode ser feita da seguinte maneira:

1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo. 2) Transforma-se a inequação do 2º grau numa equação (= 0) calculando em

seguida, as raízes. 3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X) escolhendo o intervalo

que satisfaz a inequação.

Exemplo: 1- Resolva as inequações:

a) x2 – 8x + 12 > 0 b) -3x2 + 6 0 c) x2 – 6x + 9 < 0

d) -2x2 – 8 0 e) (x2 – 9).(x2 – 4x) 0 f) 03

54

2

2

xx

xx

Solução: a) x2 – 8x + 12 > 0

a.1) a = 1 a > 0 a.2) x2 – 8x + 12 = 0

2"

6'

x

x

Como a inequação tem que ser positiva (>0), temos:

V =

62/ xouxRx ou (-, 2[ ]6, +)

b) -3x2 + 6 0

b.1) a = -3 a < 0 b.2) -3x2 + 6 = 0

2"

2'

x

x

Como a inequação tem que ser positiva ou nula (0), temos:

V = 22/ xRx ou 2,2

c) x2 – 6x + 9 < 0

c.1) a = 1 a > 0 c.2) x2 – 6x + 9 = 0

3"

3'

x

x m/a m/a

+ 3 + x

c.3) - o +

Como a inequação tem que ser negativa (< 0), temos:

V = { } ou

d) -2x2 – 8 0

d.1) a = -2 a < 0 d.2) -2x2 – 8 = 0

VRxex "'

m/a

d.3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + x

Como a inequação tem que ser negativa ou nula ( 0), temos:

V = R 0]ou (-, +)

e) (x2 – 9).(x2 – 4x) 0 (Inequação produto) f(x) = x2 – 9 g(x) = 2x2 – 8x

1) a = 1 a > 0 1) a = 2 a > 0 2) x2 – 9 = 0 2) 2x2 – 8x = 0

3"

3'

x

x

4"

0'

x

x

3)

Como a inequação tem que ser positiva ou nula ( 0), temos:

V = {x R / x -3 ou 0 x 3 ou x 4} ou (-, -3] U [0, 3] U [4, +)

f) 03

54

2

2

xx

xx

f(x) = x2 – 4x – 5 g(x) = -x2 + 3x

1) a = 1 a > 0 1) a = -1 a < 0

2) x2 – 4x – 5 = 0 2) -x2 + 3x 0

1"

5'

x

x

3"

0'

x

x (raízes do denominador)

3)

Como a inequação tem que ser positiva ou nula ( 0), temos:

V = {x R / -1 x < 0 ou 3 < x 5} ou [-1, 0[ U ]3, 5]

Aplicações de Equações do 2o Grau 01) Um número positivo adicionado ao seu quadrado é igual a 30. Encontre o triplo desse número. R) 15 02) A terça parte de um número positivo adicionado ao seu quadrado é igual a 2. Qual é esse Número? R) 1/3 03) O produto de dois números é igual a 45. Determine a soma desses números. R) 4 04) Qual é o número que multiplicado pelo seu quádruplo é igual a 256? R) 13 e -13. 05) Sejam dois números ímpares e consecutivos. Determine esses números sabendo que seu produto excede sua soma em 167. R) 13 e 15 ou -13 e -11. 06) Um número natural menor que três somado com seu inverso é igual a 4. Determine esse número. R) 1 07) Determinar dois números cuja soma vale 3 e o produto 54. R) 9 e -6 08) O triplo do quadrado de gols conseguido por determinado jogador é igual a 17 vezes esse número de gols adicionado a 6. Quantos gols foram marcados pelo jogador? R) 6 09) Um painel cuja área é igual a 28m2, apresenta um lado excedendo de 3 metros do outro. Determine as dimensões do painel. R) 4m e 7m 10) O produto da idade de Saulo pela idade de Olga é igual a 374, Saulo é 5 anos mais velho que Olga. Qual a idade de cada um? R) 27anos e 22 anos

11) O gráfico abaixo representa uma piscina que, internamente necessita de 54 m2 de revestimentos. Determine: a) O valor de x; b) A área da base

12) Uma indústria fabrica certo produto na área de designe. Os responsáveis pela parte financeira estimam que o lucro que a indústria pode alcançar na fabricação/venda de uma determinada quantidade desse bem é dado pela regra L(x) = -0,01x2 + 80x – 50.000 (L lucro em R$ e x quantidade fabricada), determine o lucro mensal quando o nível de produção/venda alcançar: a) 850 e 1.200 unidades; b) Interprete os resultados. 13) Sabendo que f(x) = x2 + 2x - 8 representa uma função do segundo grau, determine:

a) As raízes; b) O vértice c) O gráfico para x > -1.

Bibliografia

DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática. IEZZI, G. et AL. (2004) Matemática: C´^encia e Aplicações. 2a Ed. São Paulo:Atual SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Função de 2º Grau"; Brasil Escola.