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Matemática 1

Semanas 3, 4 e 5

Professor Luiz Claudio Pereira

Faculdade de Planaltina

Universidade de Brasília

Material Previsto para três semanas

113018 (UNB) Luiz Claudio Pereira 2017 1 / 92

Matrizes e Sistemas Lineares

1 De�nições BásicasSistema de equações linearesExemplosEscalonamentoAplicações

2 Funções e conceitos importantes


Matrizes e Sistemas LinearesFundamentos

De�nição

Sejam θ1,θ2, . . . ,θn números reais quaisquer. Rn, chamado espaçoeuclidiano de dimensão n, é o conjunto formado por elementos da forma(θ1,θ2, . . . ,θn).Cada elemento θ = (θ1,θ2, . . . ,θn) ∈ Rn é denominadoponto e cada θi , i ∈ {1,2, . . . ,n}, é dito coordenada.

Exemplo

R2 é o espaço euclidiano de dimensão 2 e o ponto(π, 3√2)∈ R2.

Exemplo

R3 é o espaço euclidiano de dimensão 3 e o ponto(0,π, 3√2)∈ R3.

Exemplo

O ponto(π,√7,−1,0,3,−π

)∈ R6 e sua quarta coordenada é 0.



Conceitos e termos

Uma equação linear de n incógnitas x1,x2, . . . ,xn é uma expressãomatemática da forma

α1x1 + α2x2 + α3x3 + . . .+ αn−1xn−1 + αnxn = β1⇔n

∑k=1

αkxk = β1

onde β1,αk ∈ R para todo k = 1,2, . . . ,n.

Exemplo

É equação linear de 4 incógnitas a expressão matemática

−2x1 +3x2− x3 +2x4 = 1



Conceitos e termos

Uma equação linear de n incógnitas x1,x2, . . . ,xn é uma expressãomatemática da forma

α1x1 + α2x2 + α3x3 + . . .+ αn−1xn−1 + αnxn = β1⇔n

∑k=1

αkxk = β1 (1)

onde β1,αk ∈ R para todo k = 1,2, . . . ,n.

De�nição

Uma solução da equação linear de n incógnitas (1) é um elemento(θ1,θ2, . . . ,θn) ∈ Rn que satisfaz identicamente a equação, isto é,

n

∑k=1

αkθk = . . . = β1



Exemplo

O ponto (4,3,−1,−1/2) ∈ R4 é solução da equação linear de 4 incógnitas−2x1 +3x2− x3 +2x4 = 1 uma vez que para x1 = 4, x2 = 3, x3 =−1 ex4 =−1/2, obtém-se

−2x1 +3x2− x3 +2x4 =

−2 ·4+3 ·3−1 · (−1) +2 · (−1/2) =

−8+9+1−1 = 1

De�nição

O conjunto-solução de uma equação linear de n incógnitas é o conjuntoformado por todas as soluções da equação.



Observação

Note que

n

∑k=1

αkxk = β1⇔ α1x1 + α2x2 + α3x3 + . . .+ αn−1xn−1 + αnxn = β1

⇔[

α1 α2 α3 · · · αn

]·

x1x2x3...xn

= [β1]

⇔ L · X = B

onde L =[

α1 α2 α3 · · · αn

], B = [β1] e X ∈Mn×1 (R) é a matriz

das incógnitas.



De�nição

Um conjunto formado por m equações lineares, cada uma de n incógnitasx1,x2, . . . ,xn, é chamado sistema de equações lineares de m equações e nincógnitas. Explicitamente,

a11x1 +a12x2 +a13x3 + . . .+a1nxn = β1

a21x1 +a22x2 +a23x3 + . . .+a2nxn = β2

a31x1 +a32x2 +a33x3 + . . .+a3nxn = β3

......

...

am1x1 +am2x2 +am3x3 + . . .+amnxn = βm



Como

a11x1 +a12x2 +a13x3 + . . .+a1nxn = β1

a21x1 +a22x2 +a23x3 + . . .+a2nxn = β2

a31x1 +a32x2 +a33x3 + . . .+a3nxn = β3

......

...


⇔

∑nj=1 a1jxj = β1

∑nj=1 a2jxj = β2

∑nj=1 a3jxj = β3

...

∑nj=1 amjxj = βm

⇔n

∑j=1

aijxj = βi , i = 1,2, . . . ,m

um sistema linear de m equações e n incógnitas pode, sinteticamente, serindicado por

n

∑j=1

aijxj = βi , i ∈ {1,2, . . . ,m}



De�nição

Um conjunto formado por m equações lineares, cada uma de n incógnitasx1,x2, . . . ,xn, é chamado sistema de equações lineares de m equações e nincógnitas. Explicitamente,

a11x1 +a12x2 +a13x3 + . . .+a1nxn = β1

a21x1 +a22x2 +a23x3 + . . .+a2nxn = β2

a31x1 +a32x2 +a33x3 + . . .+a3nxn = β3

......

...


e, sinteticamente,n

∑j=1

aijxj = βi , i ∈ {1,2, . . . ,m}



Note que, em razão do produto de matrizes, tem-sea11x1 + . . .+a1nxn = β1

a21x1 + . . .+a2nxn = β2

......

am1x1 + . . .+amnxn = βm

⇔

a11 · · · a1na21 · · · a2n...

...am1 · · · amn

x1x2...xn

=

β1

β2

...βm

⇔ A · X = B

Deste modo, um sistema linear de m equações e n incógnitas admite arepresentação matricial

AX = B

onde A ∈Mm×n (R) é chamada matriz dos coe�cientes, B ∈Mm×1 (R) é amatriz dos termos independentes e X ∈Mn×1 (R) é a matriz das incógnitas.



De�nição

Um conjunto formado por m equações lineares, cada uma de n incógnitasx1,x2, . . . ,xn, é chamado sistema de equações lineares de m equações e nincógnitas.

Explicitamente,

a11x1 +a12x2 +a13x3 + . . .+a1nxn = β1

a21x1 +a22x2 +a23x3 + . . .+a2nxn = β2

a31x1 +a32x2 +a33x3 + . . .+a3nxn = β3

......

...


Sinteticamente,n

∑j=1

aijxj = βi , i ∈ {1,2, . . . ,m}

Na forma matricial, AX = B , onde A ∈Mm×n (R), B ∈Mm×1 (R) eX ∈Mn×1 (R).



Exemplo

O sistema de equações lineares de 2 equações e 3 incógnitas dado por{−x1−3x2 +3x3 = 4

2x1 +5x2−2x3 = 1⇔

[−1 −3 32 5 −2

] x1x2x3

=

[41

]

tem matriz dos coe�cientes A =

[−1 −3 32 5 −2

]e matriz dos termos

independentes B =

[41

].

De�nição

Sejam A ∈Mm×n (R), B ∈Mm×1 (R) e X ∈Mn×1 (R). Chama-se matrizampliada do sistema linear AX = B à matriz [A : B] ∈Mm×(n+1) (R).



Exemplo

O sistema de equações lineares de 2 equações e 3 incógnitas dado por{−x1−3x2 +3x3 = 4

2x1 +5x2−2x3 = 1⇔

[−1 −3 32 5 −2

] x1x2x3

=

[41

]

tem matriz dos coe�cientes A =

[−1 −3 32 5 −2

]e matriz dos termos

independentes B =

[41

]. Portanto, a matriz ampliada do sistema linear

AX = B é a matriz

[A : B] =

−1 −3 3... 4

2 5 −2... 1



De�nição

Sejam A ∈Mm×n (R), B ∈Mm×1 (R) e X ∈Mn×1 (R). Chama-se soluçãodo sistema linear AX = B a um ponto (θ1,θ2, . . . ,θn) ∈ Rn que satisfaz,identicamente, a cada equação do sistema linear. O conjunto-solução deAX = B é o conjunto formado por todas as soluções do sistema.

Exemplo

O elemento (2,1,3) ∈ R3 é solução do sistema linear{−x1−3x2 +3x3 = 4

2x1 +5x2−2x3 = 3

pois, tomando x1 = 2, x2 = 1 e x3 = 3, tem-se−x1−3x2 +3x3 =−2−3 ·1+3 ·3 =−5+9 = 4 e2x1 +5x2−2x3 = 2 ·2+5 ·1−2 ·3 = 9−6 = 3.



De�nição

Sejam A ∈Mm×n (R), B ∈Mm×1 (R) e X ∈Mn×1 (R). Dado um sistemalinear AX = B , uma e apenas uma das situações ocorre:(i) O sistema não admite solução e, nesse caso, é dito impossível(incompatível).(ii) O sistema admite solução e a solução é única. Nesse caso, o sistema édito possível (compatível) e determinado.(iii) O sistema admite solução e a solução não é única. Nesse caso, ele édito possível (compatível) e indeterminado.

Exemplo

O sistema linear

{7x1 +3x2 = 1

7x1 +3x2 =−1é impossível pois 1 6=−1 .



Observação

Ao descrever o sistema linear

{−x1−3x2 +3x3 = 4

2x1 +5x2−2x3 = 3na forma matricial

[−1 −3 32 5 −2

] x1x2x3

=

[43

]obtém-se que o ponto (2,1,3) ∈ R3,

que é solução do sistema, passa a ser descrito pela matriz

213

.Por esta razão, ao descrever a solução de um sistema linear de nincógnitas, alguns autores o fazem na forma de um elemento de Mn×1 (R)ao invés de um ponto de Rn como assinalado acima.



Exercício

Seja t ∈ R qualquer.(a) Um estudante a�rma que −4t−1

2t +1/3t

∈M3×1 (R)

é solução do sistema linear{x1 +6x2−8x3 = 1

2x1 +6x2−4x3 = 0

Você concorda ou discorda?Justi�que.

(b) Outro estudante a�ma que{x1 +6x2−8x3 = 1

2x1 +6x2−4x3 = 0é um

sistema compatível e determinado.Você concorda ou discorda?Justi�que.

De�nição

Diz-se que um sistema linearAX = B é homogêneo quandoB = 0.



Observação

Qualquer que seja a matriz A, tem-se que A ·0 = 0. Por conseguinte, todosistema linear homogêneo AX = 0 admite pelo menos a solução X = 0, aqual é chamada solução trivial.

Teorema

Seja A uma matriz quadrada invertível. A única solução do sistema linearhomogêneo AX = 0 é a solução trivial.

Prova

Como A é invertível, existe A−1. Daí,

AX = 0⇔ A−1 · (AX ) = A−1 ·0⇔(A−1A

)·X = 0⇔ I ·X = 0⇔ X = 0



Seja A uma matriz quadrada invertível. De um sistema linear AX = Bsegue queAX = B ⇔ A−1 · (AX ) = A−1 ·B ⇔

(A−1A

)·X = A−1B ⇔ X = A−1B , que

fornece a solução do sistema! Provou-se assim o seguinte

Teorema

Se A é uma matriz quadrada invertível, então a solução do sistema linearAX = B é X = A−1B .

Exemplo

Use o método descrito acima para encontrar a solução do sistema{5x1−2x2 = 1

4x1−3x2 = 0



Exemplo

Use o método descrito acima para encontrar a solução do sistema{5x1−2x2 = 1

4x1−3x2 = 0

Solução

Note que

{5x1−2x2 = 1

4x1−3x2 = 0⇔[5 −24 −3

][x1x2

]=

[10

]⇔ AX = B .

Daí, A−1 =1

5 · (−3)− (−2) ·4

[−3 2−4 5

]=

[3/7 −2/74/7 −5/7

]e[

x1x2

]≡ X =

[3/7 −2/74/7 −5/7

][10

]=

[3/74/7

]. Logo, S = {(3/7,4/7)}.



Exemplo

(i) Ache a inversa da matriz A =

0 1 −1−2 4 −1−2 5 4

.Solução

[A : I ]L3 7→ L3−L2−−−−−−−−→

0 1 −1

... 1 0 0

−2 4 −1... 0 1 0

0 1 5... 0 −1 1

L3 7→ L3−L1−−−−−−−−→

0 1 −1

... 1 0 0

−2 4 −1... 0 1 0

0 0 6... −1 −1 1

L1↔ L2−−−−−→



Exemplo


0 1 −1−2 4 −1−2 5 4

.Solução−2 4 −1

... 0 1 0

0 1 −1... 1 0 0

0 0 6... −1 −1 1

L1 7→ L1−4L2−−−−−−−−−→

−2 0 3

... −4 1 0

0 1 −1... 1 0 0

0 0 6... −1 −1 1

L2 7→ L2 +1/6 ·L3−−−−−−−−−−−−→



Exemplo


0 1 −1−2 4 −1−2 5 4

.Solução−2 0 3

... −4 1 0

0 1 0... 5/6 −1/6 1/6

0 0 6... −1 −1 1

L1 7→ L1−1/2 ·L3−−−−−−−−−−−−→

−2 0 0

... −7/2 3/2 −1/2

0 1 0... 5/6 −1/6 1/6

0 0 6... −1 −1 1

L1 7→ −1/2 ·L1−−−−−−−−−−→L3 7→ 1/6 ·L3



Exemplo


0 1 −1−2 4 −1−2 5 4

.Solução

1 0 0... 21/12 −9/12 3/12

0 1 0... 10/12 −2/12 2/12

0 0 1... −2/12 −2/12 2/12

∼ [A : I ]. Portanto,

A−1 =

7/4 −3/4 1/45/6 −1/6 1/6−1/6 −1/6 1/6

.113018 (UNB) Luiz Claudio Pereira 2017 25 / 92


Exemplo

(ii) Resolva o sistema linear

x2− x3 = 3

−2x1 +4x2− x3 = 1−2x1 +5x2 +4x3 =−1

Soluçãox2− x3 = 3

−2x1 +4x2− x3 = 1−2x1 +5x2 +4x3 =−1

⇔

0 1 −1−2 4 −1−2 5 4

· x1

x2x3

=

31−1

⇔A ·X = B ⇔ A−1 (A ·X ) = A−1B ⇔

(A−1A

)·X = A−1B ⇔ I ·X = A−1B ⇔

X = A−1B . Deste modo, em virtude de (i), segue que



Exemplo

(ii) Resolva o sistema linear

x2− x3 = 3

−2x1 +4x2− x3 = 1−2x1 +5x2 +4x3 =−1

Solução

X =

21/12 −9/12 3/1210/12 −2/12 2/12−2/12 −2/12 2/12

31−1

=

51/1226/12−10/12

. Portanto, oconjunto-solução do sistema linear dado é S = {(17/4,13/6,−5/6)}.

De�nição

Um sistema de Cramer é um sistema linear de n equações com n incógnitascuja matriz dos coe�cientes é invertível.



Exercício


1 1 1 11 1 3 31 1 2 31 3 3 3

.

(ii) Resolva o sistema linear de Cramer

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x1 + x2 +3x3 +3x4 = 3x1 + x2 +2x3 +3x4 = 3x1 +3x2 +3x3 +3x4 = 4

Perguntas

A �m de resolver o sistema linear AX = B , o que pode ser feito quando amatriz dos coe�cientes (i) é quadrada, mas não é invertível? (ii) Não équadrada?



Uma resposta possível

Sejam [A : B] a matriz ampliada do sistema linear AX = B , A ∈Mm×n (R),B ∈Mm×1 (R), X ∈Mn×1 (R).

A operação elementar-linha Li ↔ Lj permite obter [A′ : B ′]∼ [A : B] e ocorrespondente (outro) sistema linear A′X = B ′. Ocorre que a operaçãoinversa Lj ↔ Li também é elementar-linha e permite recuperar [A : B] apartir da matriz ampliada [A′ : B ′] do sistema A′X = B ′.

Isso, por sua vez, signi�ca que um ponto (α1,α2, . . . ,αn) ∈ Rn que satisfazAX = B também satisfaz A′X = B ′ e vice-versa.





A operação elementar-linha Li 7→ L′i ≡ kLi , k 6= 0, permite obter[A′ : B ′]∼ [A : B] e o correspondente (outro) sistema linear A′X = B ′.Ocorre que a operação inversa L′i 7→ k−1 ·L′i também é elementar-linha epermite recuperar [A : B] a partir da matriz ampliada [A′ : B ′] do sistemaA′X = B ′.






A operação elementar-linha Li 7→ L′i ≡ Li +k ·Lj , k 6= 0, permite obter[A′ : B ′]∼ [A : B] e o correspondente (outro) sistema linear A′X = B ′.Ocorre que a operação inversa L′i 7→ L′i −k ·Lj também é elementar-linha epermite recuperar [A : B] a partir da matriz ampliada [A′ : B ′] do sistemaA′X = B ′.




Em resumo

O conjunto-solução, S , de um sistema linear AX = B é invariante, isto é,não é alterado quando se realiza sobre a matriz ampliada [A : B] qualqueruma das operações elementares-linha.

Noutras palavras, se [A : B] e [A′ : B ′] são matrizes ampliadas e[A : B]∼ [A′ : B ′] então os sistemas lineares AX = B e A′X = B ′ têm omesmo conjunto-solução.

Ideia básica

Dado o sistema linear AX = B , obtenha [A′ : B ′]∼ [A : B] tal que aexistência ou não da solução de A′X = B ′ seja de constatação (quase)imediata.



Exemplo - matriz identidade

É de constatação (quase) imediata a existência ou não da solução dosistema linear A′X = B ′ cuja matriz ampliada é

[A′ : B ′

]=

1 0 0 0

... −1/2

0 1 0 0... 1/2

0 0 1 0... 0

0 0 0 1... 1

porquanto, explicitamente,

1 · x1 +0 · x2 +0 · x3 +0 · x4 = −1/20 · x1 +1 · x2 +0 · x3 +0 · x4 = 1/20 · x1 +0 · x2 +1 · x3 +0 · x4 = 00 · x1 +0 · x2 +0 · x3 +1 · x4 = 1



Exemplo - matriz na forma escada


[A′ : B ′

]=

1 0 7

... 1

0 2 5... −2

0 0 0... 3


1 · x1 +0 · x2 +7 · x3 = 10 · x1 +2 · x2 +5 · x3 = −20 · x1 +0 · x2 +0 · x3 = 3

e 0 6= 3.



Exemplo - matriz triangular superior


[A′ : B ′

]=

2 1 1

... 1

0 1 2... 4

0 0 1... 1


2 · x1 +1 · x2 +1 · x3 = 10 · x1 +1 · x2 +2 · x3 = 40 · x1 +0 · x2 +1 · x3 = 1

e x3 = 1,

x2 = 4−2x3 = 2, 2x1 = 1− x2− x3 =−2⇔ x1 =−1.



Exemplo - matriz triangular inferior

É de constatação (quase) imediata a solução do sistema linear A′X = B ′

cuja matriz ampliada é [A′ : B ′] =

3 0 0 0

... −6

1 2 0 0... 1

−3 −2 4 0... 0

0 1 0 1... −1

porquanto,

explicitamente,

3 · x1 +0 · x2 +0 · x3 +0 · x4 = −61 · x1 +2 · x2 +0 · x3 +0 · x4 = 1−3 · x1−2 · x2 +4 · x3 +0 · x4 = 00 · x1 +1 · x2 +0 · x3 +1 · x4 = −1

e x1 =−2,

2x2 = 1− x1⇔ x2 = 3/2, 4x3 = 2x2 +3x1⇔ x3 =−3/4,x4 =−1− x2 =−5/2.



Ideia básica


Método da eliminação gaussiana

Consiste em resolver o sistema linear AX = B , obtendo [A′ : B ′]∼ [A : B] demodo que [A′ : B ′] seja uma matriz na forma escada, com pivôs iguais a 1.

Metódo de Gauss-Jordan

Consiste em resolver o sistema linear AX = B , obtendo a matriz linhareduzida à forma escada [A′ : B ′]∼ [A : B].



Ideia básica


Escalonamento

Consiste em qualquer técnica (ou método) que procura resolver o sistemalinear AX = B por meio de alguma matriz na forma escada[A′ : B ′]∼ [A : B].

São exemplos de escalonamento o método de eliminação gaussiana, ométodo de Gauss-Jordan.



Exemplo

A matriz ampliada do sistemalinear

x1−2x2− x3 = 12x1 + x2−3x3 = 0x1−7x2 = 3

é

[A : B] =

1 −2 −1

... 1

2 1 −3... 0

1 −7 0... 3

Realizada sobre [A : B], a sequência deoperações elementares-linha

e1 :L2 7→ L2−2L1e2 :L3 7→ L3−L1

e3 :L3 7→ L3 +L2

e4 :L2 7→ 1/5 ·L2e5 :L1 7→ L1 +2L2

acarreta



[A : B]∼

1 0 −7/5

... 1/5

0 1 −1/5... −2/5

0 0 0... 0

(a matriz linha reduzida à forma

escada). Daí, x1 = 1/5+7/5x3 e x2 =−2/5+1/5x3 e

S ={

(1/5+7/5t,−2/5+1/5t, t) ∈ R3 : t ∈ R}

é o conjunto-solução do sistema linear

x1−2x2− x3 = 12x1 + x2−3x3 = 0x1−7x2 = 3

Observação

A variável livre t ∈ R do conjunto S acima é chamada parâmetro.



Exemplo

A matriz ampliada do sistema linear

x1 + x2−2x3 +4x4 = 52x1 +2x2−3x3 + x4 = 33x1 +3x2−4x3−2x4 = 1

é

[A : B] =

1 1 −2 4

... 5

2 2 −3 1... 3

3 3 −4 −2... 1

. A sequência de operações

elementares-linha e1 : L3 7→ L3−3L1; e2 : L2 7→ L2−2L1; e3 : L3 7→ L3−2L2

acarreta [A : B]∼

1 1 0 −10

... −9

0 0 1 −7... −7

0 0 0 0... 0

(a matriz linha reduzida à

forma escada). Daí, x1 =−9− x2 +10x4 e x3 =−7+7x4 eS =

{(−9− s +10t,s,−7+7t, t) ∈ R4 : s, t ∈ R

}é o conjunto-solução.



Exercício

Determine k para que admita solução o sistema linear

−4x +3y = 2

5x−4y = 0

2x− y = k

Solução

[A : B] =

−4 3

... 2

5 −4... 0

2 −1... k

é a matriz ampliada do sistema. Daí, após

uma sequência de operações elementares-linha, e. g., e1 : L3 7→ L3 +1/2L1;e2 : L1 7→ −1/4L1; e3 : L2 7→ L2−5L1; e4 : L1 7→ L1−3L2;e5 : L3 7→ L3 +2L2; e6 : L2 7→ −4L2; obtém-se



Exercício

Determine k para que admita solução o sistema linear

−4x +3y = 2

5x−4y = 0

2x− y = k

Solução

[A : B]∼

1 0

... −8

0 1... −10

0 0... k +6

. Logo, para que o sistema tenha solução

deve ocorrer k =−6.



Exercício

1. Prove que (AB)−1 = B−1A−1.

2. Ache uma matriz triangular superior tal que A3 =

[8 −570 27

].

De�nição

Diz-se que A é matriz normal quando ATA = ATA.

Exercício

3. Determine se é normal a matriz X =

[3 −44 5

], N =

[1 −22 3

],

C =

1 1 10 1 10 0 1



Exemplo

Uma caixa contém 83 reais em cédulas de um real, cinco reais e dez reaisnum total de 13 cédulas. Ache a quantidade de cada cédula.

Solução

Sejam u, c e d a quantidade de cédulas de 1, 5 e 10 reais,

respectivamente. Segue que

{u+ c +d = 13

1u+5c +10d = 83e, usando, e. g., as

operações elementares-linha e1 : L2 7→ L2−L1; e2 : L1 7→ 4L1;e3 : L1 7→ L1−L2; e4 : L1 7→ 1/4L1; e5 : L2 7→ 1/4L2; segue

[A : B] =

1 1 1... 13

1 5 10... 83

∼ 1 0 −5/4

... −18/4

0 1 9/4... 70/4



Exemplo

Uma caixa contém um montante de 83 reais em cédulas de um real, cincoreais e dez reais num total de 13 cédulas. Ache quantidade de cada cédula.

Solução

Assim, u = (−18+5d)/4 e c = (70−9d)/4. Como u > 0⇔ d > 335e

c > 0⇔ d < 779, decorre que d ∈ {4,5,6,7}. Lembrando que

u ∈ N = {1,2,3, . . .}, conclui-se que d = 6, u = 3 e c = 4.

Exercício

Prove que se A é invertível, então AT também é invertível e(AT)−1

=(A−1

)T113018 (UNB) Luiz Claudio Pereira 2017 46 / 92


Exemplo

Uma editora produz livros,conforme segue:

tempo, em min, paracapa costura colaDura 2 4Mole 1 2Luxo 3 5

Por dia, o local de costura doslivros está disponível 6 h e o decola 11 h. Quantos livros decada tipo devem ser feitos pordia de modo que o uso doslocais seja maximizado?

Solução

Sejam d , m e l o número de livros de capadura, mole e de luxo produzidos por dia,respectivamente. O tempo otimizado paracostura é 2d +1m+3l = 6 ·60 e para colaé 4d +2m+5l = 11 ·60. A matrizampliada do sistema é tal que

[A : B]∼

2 1 3... 360

0 0 1... 60

. Logo,S =

{(d ,180−2d ,60) ∈ R3 :

d ∈ {1,2, . . . ,89}}={(1,178,60) , . . . ,(89,2,60)}.



De�nição

A matriz A é dita ortogonal se ATA = I e AAT = I .

Exercício

4. Prove que se X e Y são matrizes ortogonais então XY é ortogonal.

5. Um estudante a�rma que P =

1/√3 1/

√3 1/

√3

0 −1/√2 1/

√2

2/√6 −1/

√6 −1/

√6

é

ortogonal. Você concorda ou discorda? Justi�que.

Exercício

6. Seja M uma matriz diagonal tal que diagM =[A B C

], onde

A =

[1 23 4

], B = [5] e C =

[1 35 7

]. Ache M2.



Tráfego em cruzamentos

↓ 450 ↑ 300610←− A x1←− D 640←−

↓ x2 ↑ x4520−→ B x3−→ C 600−→

↓ 480 ↑ 390

Ache o número de veículos quetransita entre os cruzamentos,sabendo que inexiste estacionamentona região.

Solução

A situação implica que nocruzamento:

(A) 610+ x2 = 450+ x1⇔ x1− x2 = 160.(B) 520+ x2 = x3 +480⇔−x2 + x3 = 40.(C) x3 +390 = x4 +600⇔ x3− x4 = 210.(D)x4 +640 = 310+ x1⇔ x1− x4 = 330.




↓ 450 ↑ 300610←− A x1←− D 640←−

↓ x2 ↑ x4520−→ B x3−→ C 600−→

↓ 480 ↑ 390


Solução

A matriz ampliada do sistema é

[A : B] =

1 −1 0 0

... 160

0 −1 1 0... 40

0 0 1 −1... 210

1 0 0 −1... 330

.




↓ 450 ↑ 300610←− A x1←− D 640←−

↓ x2 ↑ x4520−→ B x3−→ C 600−→

↓ 480 ↑ 390


Solução

A sequência de operaçõeselementares-linha

e1 : L1 7→ L1−L2;e2 : L1 7→ L1 +L3;e3 : L2 7→ L2−L3;e4 : L4 7→ L4−L1;e5 : L2 7→ −1 ·L2




↓ 450 ↑ 300610←− A x1←− D 640←−

↓ x2 ↑ x4520−→ B x3−→ C 600−→

↓ 480 ↑ 390


Solução

acarreta

[A : B]∼

1 0 0 −1

... 330

0 1 0 −1... 170

0 0 1 −1... 210

0 0 0 0... 0




↓ 450 ↑ 300610←− A x1←− D 640←−

↓ x2 ↑ x4520−→ B x3−→ C 600−→

↓ 480 ↑ 390


Solução

O conjunto-solução do sistema é

S ={

(330+ t,170+ t,210+ t, t) ∈ R4 : t ∈ {0,1,2,3, . . .}}

Problema de um sábio chinês do Séc. VI a. C.

Se um galo vale 5 moedas, uma galinha vale 3 moedas e 3 frangos valem 1moeda, quantos de cada um se pode comprar com 100 moedas, de modoque sejam 100 aves ao todo e pelo menos 4 galos?



Exemplo - Alimentação equilibrada

Vitaminas (em gramas)Alimento A B D D E

I 1 10 1 2 2II 9 1 0 1 1III 2 2 5 1 2IV 1 1 1 2 13V 1 1 1 9 2

Balanceado 170 180 140 180 350

Quantos gramas de cadaalimento deve ser ingeridodiariamente para umaalimentação balanceadacomo indicado?

Solução

Sejam αi a quantidade, emgramas, de cada alimento.

Referente à vitamina A, tem-se 1 ·α1 +9 ·α2 +2 ·α3 +1 ·α4 +1 ·α5 = 170.Referente à vitamina B, tem-se 10 ·α1 +1 ·α2 +2 ·α3 +1 ·α4 +1 ·α5 = 180.Referente à vitamina C, tem-se 1 ·α1 +0 ·α2 +5 ·α3 +1 ·α4 +1 ·α5 = 140.



Exemplo - Alimentação equilibrada

Vitaminas (em gramas)Alimento A B D D E

I 1 10 1 2 2II 9 1 0 1 1III 2 2 5 1 2IV 1 1 1 2 13V 1 1 1 9 2

Balanceado 170 180 140 180 350

Quantos gramas de cadaalimento deve ser ingeridodiariamente para umaalimentação balanceadacomo indicado?

Solução

Sejam αi a quantidade, emgramas, de cada alimento.

Referente à vitamina D, tem-se 2 ·α1 +1 ·α2 +1 ·α3 +2 ·α4 +9 ·α5 = 180.Referente à vitamina E, tem-se 2 ·α1 +1 ·α2 +2 ·α3 +13 ·α4 +2 ·α5 = 350.Em resumo, obtém-se o sistema linear



1 ·α1 +9 ·α2 +2 ·α3 +1 ·α4 +1 ·α5 = 170

10 ·α1 +1 ·α2 +2 ·α3 +1 ·α4 +1 ·α5 = 180

1 ·α1 +0 ·α2 +5 ·α3 +1 ·α4 +1 ·α5 = 140

2 ·α1 +1 ·α2 +1 ·α3 +2 ·α4 +9 ·α5 = 180

2 ·α1 +1 ·α2 +2 ·α3 +13 ·α4 +2 ·α5 = 350

cuja matriz ampliada é

[A : B] =

1 9 2 1 1... 170

10 1 2 1 1... 180

1 0 5 1 1... 140

2 1 1 2 9... 180

2 1 2 13 2... 350



A sequência de operações elementares-linha

e1 : L1↔ L2 e12 : L5 7→ L5 +L2 e23 : L5 7→ 1/2L5e2 : L3 7→ L3−L2 e13 : L2 7→ 1/6 ·L2 e24 : L4 7→ (−3) ·L4e3 : L2↔ L3 e14 : L4 7→ 3L4 e25 : L5 7→ L5 +L4e4 : L5 7→ L5−L4 e15 : L4 7→ L4 +L2 e26 : L4 7→ 1/3L4e5 : L3↔ L5 e16 : L4 7→ 3L4 e27 : L4 7→ L4−3L5e6 : L1 7→ L1−L4 e17 : L5 7→ L5−L4 e28 : L4 7→ 5L4e7 : L4 7→ 4L4 e18 : L5 7→ 1/4L5 e29 : L5 7→ 3L5e8 : L4 7→ L4−L1 e19 : L4 7→ 1/3L4 e30 : L5 7→ L5−L4e9 : L5 7→ 8L5 e20 : L4↔ L5 e31 : L4 7→ 1/5L4e10 : L5 7→ L5−L1 e21 : L5 7→ L5−13 ·L3 e32 : L2 7→ (−1/4) ·L2e11 : L2 7→ 8L2 e22 : L5 7→ L5−L4 e33 : L5 7→ (1/7517) ·L5

mostram que



[A : B]∼

8 0 1 −1 −8... 0

0 3 −1 0 0... 10

0 0 1 11 −7... 170

0 0 0 3 −1237... −12310

0 0 0 0 1... 10

. Logo,

S = {(10,10,20,20,10)} ⊂ R5.

Exercício

O quilo de amendoim custa 5 reais; o da castanha de caju, 20 reais e o dacastanha-do-pará, 16 reais. Uma mistura de meio quilo desses trêsingredientes deve ser produzida ao custo total de R$ 5,75. Além disso, aquantidade de castanha de caju na mistura deve ser igual a um terço dasoma das outras duas. Ache a quantidade de amendoim nesta mistura.



Exemplo

O físico alemão Gustav Robert Kirccho� estabeleceu a:

(i) Lei da corrente: a soma algébrica das correntes por qualquer nó docircuito elétrico é zero.(ii) Lei da tensão: a soma algébrica das mudanças de tensão elétrica aolongo de um laço fechado é zero.

As leis da corrente e da tensão são também chamadas de primeira lei esegunda lei de Kirchho�, respectivamente.

Lei de Ohm

A tensão elétrica U através um resistor é proporcional à corrente elétrica I .A constante de proporcionalidade R é chamada resistência. Noutrostermos, U = RI .



Ache as (três) correntes elétricasno circuito dado.

Solução

(i) Para �xar as ideias, escolhadireções quaisquer para cadacorrente elétrica Ik . Acaso ocorraIk < 0, isso signi�ca que a corrente,

de fato, �ui em sentido oposto ao escolhido. (ii) Ao percorrer um laço docircuito, como um resistor dissipa energia a tensão é negativa no sentido dacorrente. Caso contrário, a tensão é positiva. A tensão da fonte é positivaao passar do polo negativo para o positvo; caso contrário, negativa.



Assim, (a) pela lei das correntes,

I1 + I2− I3 = 0

(b) Pela lei das tensões e de Ohm,

−R1I1−R3I3 +V1 = 0

−R2I2−R3I3 +V2 = 0

A matriz ampliada do sistema é [A : B] =

1 1 −1

... 0

R1 0 R3

... V1

0 R2 R3

... V2



Como R1 = 10, R2 = 20, R3 = 40ohms; V1 = 10 e V2 = 20 volts, asequência de operaçõeselementares-linha

e1 : L2 7→ L2−10L1e2 : L3 7→ L3 +2L2

permite concluir que

[A : B] =

1 1 −1

... 0

10 0 40... 10

0 20 40... 20

∼

1 1 −1... 0

0 −10 50... 10

0 0 140... 40

. Daí,113018 (UNB) Luiz Claudio Pereira 2017 62 / 92


I3 =40140

=27ampères,

I2 =10−50I3−10

=37ampères

e

I1 = I3− I2 =−1/7ampères

[A : B] =

1 1 −1

... 0

10 0 40... 10

0 20 40... 20

∼

1 1 −1... 0

0 −10 50... 10

0 0 140... 40

. Daí,113018 (UNB) Luiz Claudio Pereira 2017 63 / 92


Exercício

(a) Determine o posto da matriz

Σ =

−11 3 0 −303 −6 1 −50 1 −3 25

(b) Em relação ao circuito elétrico ao lado,considere ε1 = 30, ε2 = 20, ε3 = 5 volts; R1 = 4,R2 = 4, R3 = 1, R4 = 1, R5 = 1, R6 = 1, R7 = 1,R8 = 3 ohms. Usando as indicações de �uxo decorrentes dadas, ache as correntes I1, I2 e I3 quepassam, respectivamente, pelos resistores R1,R4 e R6.



Exercício

Considere o sistema linearx + 2y − 3z = 43x − y + 5z = 24x + y +

(a2−14

)z = a+2

Determine todos os valores de a ∈ R para os quais o sistema é:(i) Impossível.(ii) Possível e determinado.(iii) Possível e indeterminado.



Exercício

Sejam α,β ,γ ∈ [0,2π]. Considere o sistema não-linear e homogêneosenα + 2cosβ + 3tg γ = 02senα + 5cosβ + 3tg γ = 0−senα − 5cosβ + 5tg γ = 0

Certo autor a�rma que o conjunto-solução desse sistema possui 18elementos. Você concorda ou discorda? Justi�que.

Exercício

Prove que A =

1 2 31 4 12 1 9

é linha-equivalente a B =

1 0 50 2 −21 1 4


Funções elementaresFundamentos

De�nição

Seja f : X → Y uma função real de variável real. Diz-se que:

(i) f é crescente em I ⊂ X quando, para todo a,b ∈ I , tem-se que a > bimplica f (a) > f (b). Quando I = X , f é dita crescente (em X ).

(ii) f é decrescente em I ⊂ X quando, para todo a,b ∈ I , tem-se que a > bimplica f (a) < f (b). Quando I = X , f é dita decrescente (em X ).

Uma função que satisfaz (i) ou (ii) é dita monótona em I .



De�nição

f : X → Y é crescente em I ⊂ X se ∀a,b ∈ I , a > b⇒ f (a) > f (b).

Exemplo

Seja f : R→ R de�nida por f (x) = 10−|x−1|.

A�rmação

f é crescente em I = (−∞,1).

Prova

Para todos a,b ∈ I , tem-se que a > b implica a−1> b−1. Além disso,a−1< 0 e b−1< 0. Deste modo, |a−1|< |b−1| e, por conseguinte,−|a−1|>−|b−1| ⇔ 10−|a−1|> 10−|b−1| ⇔ f (a) > f (b), que é oque se desejava obter.



De�nição

f : X → Y é decrescente em I ⊂ X se ∀a,b ∈ I , a > b⇒ f (a) < f (b).

Exemplo

Seja f : R→ R de�nida por f (x) = 10−|x−1|.

A�rmação

f é decrescente em I = [1,+∞).

Prova

Para todos a,b ∈ I , tem-se que a > b implica a−1> b−1. Além disso,a−1> 0 e b−1> 0. Deste modo, |a−1|> |b−1| e, por conseguinte,−|a−1|<−|b−1| ⇔ 10−|a−1|< 10−|b−1| ⇔ f (a) < f (b), que é oque se desejava obter.



Exemplo

Ache, se existentes, os intervalos decrescimento e de decrescimento def (x) = x |x |−5x , x ∈ R.

Como

f (x) =

{x2−5x , se x ≥ 0

−x2−5x , se x < 0, o

grá�co de f , formado pelajustaposição de partes de duasparábolas, uma com concavidadepara cima e outra, para baixo,revela que f é (i) decrescente em(−5/2,5/2) e (ii) crescente em(−∞,−5/2]∪ [5/2,+∞).

Pergunta

O que se entende por concavidadede uma função ψ?



De�nição

Sejam f : X → Y uma função real de variável real. Uma vizinhança(aberta) de a ∈ X é qualquer intervalo aberto I ⊂ X tal que a ∈ I .

De�nição

Seja f : X → Y uma função real de variável real. Um elemento a ∈ X échamado ponto de in�exão de f se existe uma vizinhança (aberta) de a naqual a concavidade de f muda (de sinal).

Exemplo

Seja f : R→ R de�nida por f (x) = x |x |−5x . O elemento 0 ∈ R é pontode in�exão de f , pois, e. g., no intervalo (−1,0) a concavidade de f é parabaixo, no intervalo (0,2) a concavidade de f é para cima e I = (−1,2) éuma vizinhança de 0.



Exemplo

Seja f : R→ R de�nida por f (x) = x3 +3x2 +3x +5. O intervaloI = (−2,1) é uma vizinhança de um ponto de in�exão de f .



Exemplo

Seja f : R→ R de�nida porf (x) = x3 +3x2 +3x +5.

Um esboço do grá�co de f revela quea função possui um ponto de in�exãoe que, e. g., o intervalo I = (−2,1) éuma vizinhança sua.

A �m de obter o ponto de in�exão,note que (x +1)3 = x3 +3x2 +3x +1e, por conseguinte, y = (x +1)3 +4⇔y −4 = (x +1)3⇔ Y = X 3, onde{Y = y −4

X = x +1. Esse sistema

representa uma translação de eixoscoordenados para o ponto (−1,4) dosistema xy . Assim,



Exemplo


o sistema de coordenadas XY é aqueleapresentado ao lado.



Exemplo


o sistema de coordenadas XY é aqueleapresentado ao lado. Ignorando,momentaneamente, o sistema decoordenadas xy , o que se tem é que ográ�co de Y = X 3 no sistema decoordenadas XY é o esboçado na�gura ao lado. Nesse sistema decoordenadas, (o grá�co de) f temconcavidade para cima em (0,1) econcavidade para baixo em (−1,0).



Exemplo


o sistema de coordenadas XY é aqueleapresentado ao lado. Ignorando,momentaneamente, o sistema decoordenadas xy , o que se tem é que ográ�co de Y = X 3 no sistema decoordenadas XY é o esboçado na�gura ao lado. Nesse sistema decoordenadas, (o grá�co de) f temconcavidade para cima em (0,1) econcavidade para baixo em (−1,0).Deste modo, X = 0⇔ x =−1 é pontode in�exão de f e o intervaloI = (−2,0) é uma vizinhança (aberta)desse ponto.



Exercício


(i) Um estudante a�rma que f é umafunção crescente. Você concorda oudiscorda? Justi�que.

(ii) f possui ponto de máximoabsoluto ou de mínimo absoluto?Justi�que.

(iii) Certo autor a�rma que a =−1não é ponto de máximo relativo nemde mínimo relativo de f . Vocêconcorda ou discorda? Justi�que.



De�nição

Seja f : X → Y uma função real de variável real.(i) f é dita sobrejetiva quando f (X ) = Y .(ii) Se f (a) = f (b) implica a = b, ∀a,b ∈ X , diz-se que f é injetiva.(iii) Se f é injetiva e sobrejetiva, então ela é chamada bijetiva.

Exemplo

1. f : R→ (−∞,10] dada por f (x) = 10−|x−1|.(a) f é sobrejetiva, pois f (R) = (−∞,10].(b) f não é injetiva porque, e. g., f (2) = f (0) e 2 6= 0.

2. f : R→ R dada por f (x) = 10−|x−1|.(a) f não é sobrejetiva, pois f (R) 6= R.(b) f não é injetiva porque, e.g., f (−7) = f (9) e −7 6= 9.



De�nição

Seja f : X → Y uma função real de variável real.(i) f é dita sobrejetiva quando f (X ) = Y .(ii) Se f (a) = f (b) implica a = b, diz-se que f é injetiva.(iii) Se f é injetiva e sobrejetiva, então ela é chamada bijetiva.

Exemplo

3. Seja f : [−1/6,1/2)→ [0,3] dada por f (x) = ||x |−1| · |3x−2|.(a) f não é sobrejetiva, pois f ([−1/6,1/2)) 6= [0,3].Com efeito, 0 ∈ [0,3], mas 0 /∈ f ([−1/6,1/2)) uma vez que −1,1,2/3 nãosão elementos de [−1/6,1/2), i. e., do domínio de f .



De�nição


Exemplo

3. Seja f : [−1/6,1/2)→ [0,3] dada por f (x) = ||x |−1| · |3x−2|.(b) f é injetiva. Para provar essa a�rmação, inicialmente, note que,

∀x ∈ [−1/6,1/2),−16≤ x <

12⇔ −1

2≤ 3x <

32⇔−5

2≤ 3x−2<

−12.

Assim, |3x−2|=−(3x−2), ∀x ∈ [−1/6,1/2).Caso 1: Suponha a,b ∈ [0,1/2).Como a,b < 1, ||a|−1|= |a−1|=−(a−1) e ||b|−1|=−(b−1). Daí, sef (a) = f (b) então ||a|−1| · |3a−2|= ||b|−1| · |3b−2| e, por conseguinte,



(a−1)(3a−2) = (b−1)(3b−2) ⇔3a2−5a+2 = 3b2−5b+2 ⇔

3(a2−b2

)= 5(a−b) ⇔

3(a+b)(a−b) = 5(a−b) (∗)

Ora, se fosse a 6= b, ocorreria a+b =53o que é um absurdo, porquanto

0≤ a <12

e

0< b <12

acarretam 0< a+b < 1. Logo, de (∗), conclui-se que a = b.



De�nição


Exemplo

3. Seja f : [−1/6,1/2)→ [0,3] dada por f (x) = ||x |−1| · |3x−2|.(b) f é injetiva. Para provar essa a�rmação, inicialmente, note que,

∀x ∈ [−1/6,1/2),−16≤ x <

12⇔ −1

2≤ 3x <

32⇔−5

2≤ 3x−2<

−12.

Assim, |3x−2|=−(3x−2), ∀x ∈ [−1/6,1/2).Caso 2: Suponha a,b ∈ [−1/6,0).Como a,b ≥−1/6, ||a|−1|= |−a−1|= a+1 e ||b|−1|= b+1. Daí, sef (a) = f (b) então ||a|−1| · |3a−2|= ||b|−1| · |3b−2| e, por conseguinte,



−(a+1)(3a−2) =−(b+1)(3b−2) ⇔3a2 +a−2 = 3b2 +b−2 ⇔

3(a2−b2

)= b−a ⇔

3(a+b)(a−b) =−(a−b) (∗∗)

Ora, se fosse a 6= b, ocorreria a+b =−13o que é um absurdo, porquanto

−16≤ a < 0

e

−16< b < 0

acarretam −13< a+b < 0. Logo, de (∗∗), conclui-se também que a = b.



Exemplo

3. Seja f : [−1/6,1/2)→ [0,3] dada por f (x) = ||x |−1| · |3x−2|.Portanto, de fato, f é injetiva, uma vez que a igualdade f (a) = f (b)implicou a = b para todos a,b ∈ [−1/6,1/2).

Exercício

Faça o que se pede.(a) Mostre que a função f acima é dada por

f (x) =

{(x−1)(3x−2) , se 0≤ x < 1/2

(x +1)(2−3x) , se −1/6≤ x < 0.

(b) Esboce o grá�co de f .



Exemplo

4. f : (−3,1]→ (−4,12] dada porf (x) = x3 +3x2 +3x +5 é umafunção bijetiva, porquanto:

(i) f é injetiva pois, para todosa,b ∈ (−3,1], se f (a) = f (b) então

(a+1)3 +4 = (b+1)3 +4

(a+1)3 = (b+1)3

a+1 = b+1

a = b



Exemplo


(ii) f é sobrejetiva pois dado qualquerb ∈ (−4,12], existe a ∈ (−3,1] tal quef (a) = b. Com efeito, para que setenha f (a) = b, deve ocorrer

(a+1)3 +4 = b ⇔(a+1)3 = b−4 ⇔

a =3√b−4−1



Exemplo


Além disso, como b ∈ (−4,12], segueque

−8< b−4≤ 8 ⇔

−2< 3√b−4≤ 2 ⇔

−3< 3√b−1−1≤ 1 ⇔

−3< a ≤ 1



Exercício

1. Seja D ⊂ R o domínio natural da função real ϕ : D→ Y . Esboce ográ�co e determine se é bijetiva:(a) ϕ (x) = senx . (b) ϕ (x) = cosx . (c) ϕ (x) = tgx .(d) ϕ (x) = cotgx . (e) ϕ (x) = secx . (f) ϕ (x) = cossecx .

Exercício

2. Considere f : [−π/2,π/2]→ [−1,1] a função de�nida por y = senx .(a) Se ϕ (x) = senx é a função do exercício 1, então y = ϕ (x)? Justi�que.(b) Esboce o grá�co de f e diga se f é sobrejetiva.(c) f é decrescente? Justi�que.(d) f é bijetiva? Justi�que.



Exercício

3. Considere f : [0,π]→ R a função de�nida por y = cotgx .(a) Se ϕ (x) = cotgx é a função do exercício 1, então y = ϕ (x)? Justi�que.(b) Esboce o grá�co de f e diga se f é sobrejetiva.(c) f é crescente? Justi�que.(d) f é bijetiva? Justi�que.

Exercício

4. Considere f : [0,π/2)∪ (π/2,π]→ R− (−1,1) a função de�nida pory = secx .(a) Se ϕ (x) = secx é a função do exercício 1, então y = ϕ (x)? Justi�que.(b) Esboce o grá�co de f e diga se f é sobrejetiva.(c) f é decrescente em (π/2,π]? Justi�que.(d) f é decrescente em [0,π/2)? Justi�que.(e) f é bijetiva? Justi�que.



Exercício

5. Seja f : [−1,3]→ [−2,14] a função dada por f (x) = x3−3x2 +3x +5.Mostre que:(a) f é injetiva.(b) f é sobrejetiva.(c) f é crescente.(d) Esboce o grá�co de f .

Exercício

6. Seja ψ : R→ R a função dada por ψ (x) =−x3 +3x2−3x +2.(a) Mostre que ψ é bijetiva.(b) Prove que ψ é decrescente.(c) Determine o ponto de in�exão de ψ .



Exercício

7. Seja f : [−π,π]→ R a função dada por f (x) = senx + sen3x . Umestudante a�rma que f possui exatamente 5 raízes. Você concorda oudiscorda? Justi�que.

Exercício

8. Seja ψ : R→ R a função dada por ψ (x) = cos7x− cos5x . Determinetodas as raízes de ψ .

Exercício

9. Seja g : D ⊂ R→ R a função dada por g (x) = cossec3x− cossec2x .Determine:(a) O domínio natural de g .(b) Todas as raízes de g .


Leitura Recomendada I

Lipschutz, S. e Lipson, M. L.Álgebra Linear.Porto Alegre: Bookman, 2011.

Ho�man, L. e Bradley, G.Cálculo: um curso moderno e suas aplicações.Rio de Janeiro: LTC, 2002.

Anton, H. e Rorres, C.Elementary linear algebra.New York: John Wiley & Sons, 2005.

Thomas, G. B., Weir, M. D., Hass, J.Cálculo. 11. ed. v. 1.São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2009.


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