FRAÇÕES: da aversão à compreensão

Autor:Josenilva Arenas Périco1

Orientador: Lucineide Keime Nakayama de Andrade²

RESUMO

Este artigo apresenta os resultados obtidos na Implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED), implementado no Colégio Estadual Santo Inácio de Loyola – EFM, na cidade de Terra Rica-PR, com alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental, intitulado Frações: da aversão à compreensão, no ano de 2011. O objetivo geral do projeto é contribuir para que os alunos sejam capazes de compreender o conceito dos números fracionários, de maneira a perceber as aplicações deste conhecimento, na vida e na escola. No processo ensino-aprendizagem, o conteúdo de frações é estigmatizado pela maioria dos alunos. Portanto, pautado na tendência metodológica da Educação Matemática, História da Matemática, os números fracionários foram abordados, vinculando-os as descobertas matemáticas, aos fatos sociais e políticos, às circunstâncias históricas que determinaram o pensamento e influenciaram o avanço científico de cada época. O conteúdo foi abordado de diversas maneiras: por meio de pesquisas que fundamentaram a história dos números fracionários, troca de experiências, manuseio de diversos materiais, jogos (dominó e tangram), brincadeiras e problematização de situações reais com aplicação de tal conteúdo. Estas abordagens permitiram ao aluno experimentar situações que lhe possibilitou observar, comparar, concluir e registrar suas descobertas, contribuindo para o seu desenvolvimento, de modo que possa utilizar tais conhecimentos de forma significativa no trato com situações diárias. Palavras-chave: Números fracionários. História da Matemática. Tangram.

1 Graduada em Ciências com Habilitação em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação,

Ciências e Letras de Paranavaí. Especialista em Ensino de Matemática e Ciências de 1ª a 4ª Séries pela Fundação Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de Guarapuava. Professora de Matemática do Colégio Estadual Santo Inácio de Loyola de Terra Rica, Paraná. ² Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá. Professor do Colegiado do Curso

de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR, Campus de Paranavaí/Fafipa.

1 INTRODUÇÃO

Diante de toda dificuldade vivenciada pelos educadores no processo

ensino/aprendizagem, percebe-se a necessidade de buscar métodos alternativos e

eficazes que privilegiem o aprendizado. Métodos estes, que levem o aluno a

investigar, descobrir, ensinar e aprender o conteúdo.

Observa-se que a maioria dos alunos, quando passa das séries iniciais da

Educação Básica para a quinta série ou sexto ano, demonstra não ter se apropriado

dos conceitos inerentes ao tema: números fracionários, e tão pouco da

operacionalidade com estes números. O que se observa é uma aversão dos alunos

em relação a tal conteúdo, pois, consideram o tema complexo.

Talvez essa aversão se deva ao fato do conteúdo ser trabalhado de forma

fragmentada, descontextualizada e sem a abordagem histórica pertinente a ele. O

que se tem visto é uma “prática educacional embasada em modelos, repetições e

utilização de regras”. (FONSECA, 1997, p.19). Regras estas que não contribuem

para uma aprendizagem que possibilite a apropriação do saber sistematizado, como

base para realizar as ações necessárias à solução dos problemas postos pela

prática social.

Pela dificuldade de compreensão é comum os alunos questionarem a

aplicabilidade de tal conteúdo na prática social. Tem-se, portanto a compreensão

que números fracionários auxiliarão a entender melhor, razões, escalas,

porcentagens, possibilidades, bem como as receitas culinárias.

Sendo assim, torna-se imprescindível que o estudante se aproprie do conhecimento de forma que compreenda os conceitos e princípios matemáticos, raciocine claramente e comunique ideias matemáticas, reconheça suas aplicações e aborde problemas matemáticos com segurança. (LORENZATO E VILA, 1993, p.41 apud PARANÁ, 2008, p.47)

Portanto, propôs-se um trabalho de pesquisa teórico/metodológica, com a

finalidade de desenvolver ideias, de forma a propiciar a compreensão deste

conteúdo, partindo de situações que envolvessem esse conteúdo na prática social

dos alunos; para isto, realizou-se um apanhado de como esse saber sistematizado

foi produzido historicamente pela humanidade, como estes números surgiram, onde

e como são utilizados.

Partindo desse pressuposto, o objetivo deste trabalho foi de fazer com que

os alunos compreendessem o significado do número fracionário e suas relações,

levando-os a operar com frações de forma contextualizada e significativa, de

maneira a sintetizar problemas e dificuldades quanto ao ensino e a aprendizagem

desse conteúdo.

Visando essa apropriação do conhecimento, realizou-se um aprofundamento

histórico desse conteúdo da matemática, por meio de estudos, de pesquisas, de

troca de experiências, de jogos e de materiais manipulativos.

Estas abordagens permitiram ao aluno experimentar situações que lhe

possibilitou observar, comparar, concluir e registrar suas descobertas, contribuindo

para o seu desenvolvimento, de modo que possa utilizar tais conhecimentos no trato

com situações diárias.

No decorrer do 2º semestre de 2011, por meio do Grupo de Trabalho em

Rede (GTR), oportunizou-se a professora PDE a apresentação do Projeto e da

Produção Didático Pedagógica a um grupo de professores de Matemática da Rede

Estadual de Ensino. O GTR constitui uma atividade do PDE, cujo objetivo é

promover a interação virtual entre os professores da Rede Pública Estadual,

possibilitando novas alternativas de formação continuada para estes.

No GTR, foram propostas atividades em fóruns e diários aos professores

participantes. Nos fóruns, os participantes interagiam entre si, mediante perguntas

propostas pela professora PDE. Nos Diários, faziam reflexões e respondiam as

questões sugeridas pela professora PDE.

Desta forma, mediante as ações oportunizadas no decorrer do PDE, espera-

se que os alunos possam compreender os conceitos envolvidos no conteúdo

referente a números fracionários e assim, utilizá-los em situações diárias de forma

significativa, amenizando a aversão que muitos sentem em relação a este conteúdo.

2 UMA REFLEXÃO TEÓRICA

A matemática é vista por muitos de nossos alunos como algo de difícil

compreensão e assimilação, muitas vezes restrita a poucos iniciados, isso pela

grande preocupação em se obter respostas, seguindo modelos de procedimentos já

estabelecidos.

Segundo D’Ambrósio (1986, p.14):

[...] o ensino de matemática ou de qualquer outra disciplina de nossos currículos escolares, só se justifica dentro de um contexto próprio, de objetivos bem delineados dentro do quadro das prioridades nacionais. [...] a prioridade nacional absoluta é a qualidade de vida de nosso povo. (D’AMBRÓSIO, 1986, p.14).

Portanto, o professor deve propiciar situações para que os alunos reflitam e

analisem a real importância dessa disciplina como um agente transformador da

prática social. Para isso, devem-se iniciar os alunos em domínios desconhecidos,

mostrar a importância do saber sistematizado possibilitando o seu desenvolvimento

por meio do conhecimento científico, abordando as referências históricas de sua

construção e em que contexto os mesmos foram criados, levando-os “a construção

de um campo reflexivo acerca de uma Educação Matemática necessária, crítica e

libertadora [...].” (BICUDO, 1987, p.13)

De acordo com a citação de Luria (1979, p.73):

[...] a grande maioria dos conhecimentos e habilidades do homem se forma por meio da assimilação da experiência de toda a humanidade, acumulada no processo da história social e transmissível no processo de aprendizagem. [...] A grande maioria de conhecimentos, habilidades e procedimentos do comportamento de que dispõe o homem não são o resultado de sua experiência própria, mas adquiridos pela assimilação da experiência histórico-social de gerações. (grifo no original). (LURIA, 1979, p.73 apud DUARTE, 2007, p.91).

Portanto, observa-se que o homem tem uma aprendizagem

quantitativamente maior, quando a aprendizagem é dirigida conscientemente por um

educador, a partir da experiência histórico-social vivenciada e adquirida por

gerações. Quando na escola é apresentado ao aluno um conteúdo novo, está sendo

exigido desse aluno mais do que pode dar nesse momento, está sendo exigido que

se supere em seu nível de aprendizado.

Assim sendo, de acordo com Zanella (1994),Vygotsky entende que o

desenvolvimento humano compreende dois níveis de desenvolvimento: o real e o

potencial. O nível de desenvolvimento real abrange as atividades que a criança é

capaz de realizar sozinha. Porém, o nível de desenvolvimento potencial abrange o

conjunto de atividades que a criança não consegue resolver sozinha, mas que, ao

interagir com alguém que lhe forneça as orientações adequadas, ela conseguirá.

A distância entre o nível de desenvolvimento real e potencial caracteriza o

que Vygotsky denominou de Zona de Desenvolvimento Proximal, que define aquelas

funções que ainda não amadureceram, mas que estão em processo de maturação.

Ainda, segundo Vygotsky, todas as funções psicológicas superiores resultam

da reconstrução interna de uma atividade social, partilhada. Portanto, a imitação

constitui o principal mecanismo do desenvolvimento. Assim sendo, quando a criança

imita alguém, ela está agindo de forma superior às suas reais condições de atuação.

Dessa forma, a criança em idade escolar utiliza-se da imitação como fator propulsor

de aprendizagens, as quais só podem ocorrer em interações sociais que incidam na

Zona de Desenvolvimento Proximal.

2.1 Abordagem histórica

Segundo Boyer (1974), a necessidade do conceito de fração e de notação

para frações surgiu com o advento de culturas mais avançadas durante a Idade de

Bronze.

O estudo das frações surgiu no antigo Egito por volta do ano 3000 a.C, o

faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns

agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano,

no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens

e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro,

quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os

agrimensores, que também eram denominados de estiradores de corda, pois

mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida

cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno.

Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o

número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios

só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a

1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em

cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de

numeração que usavam no antigo Egito os símbolos se repetiam muitas vezes.

Segundo Boyer: “As inscrições hieroglíficas egípcias têm uma notação

especial para frações unitárias – isto é, com numerador um.” (1974, p.9-10)

Tais frações eram representadas da seguinte forma, a fração 1/6 era

representada da seguinte maneira , e a fração 1/20 era representada por .

Na notação hierática, dos papiros, o oval alongado é substituído por um ponto, colocado sobre a cifra para o inteiro correspondente (...).

No Papiro Ahmes, por exemplo, a fração 1/8 aparece como e

1/20 como . (BOYER, 1974, p.10).

Os egípcios manipulavam livremente tais frações, porém a fração em geral

parece ter sido um enigma para essa civilização. Eles se sentiam à vontade com a

fração 2/3 e atribuíam a essa fração um papel especial nos processos aritméticos.

Assim, para obterem um terço de um número, primeiro achavam os dois

terços desse número e em seguida tomavam a metade.

A maior parte daquilo que se sabe sobre a matemática do Egito Antigo se

deve a existência de três documentos importantes: o Papiro de Rhind, o Papiro de

Moscou e o Papiro de Berlim.

O Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes foi escrito em hierático, da direita

para a esquerda, tem 32 cm de largura por 513 cm de comprimento. É um longo

papiro egípcio, de cerca de 1650 a.C., embora o texto diga que foi copiado de um

manuscrito, de cerca de 200 anos antes desta data. Este papiro também é

denominado de Papiro de Ahmes em honra ao escriba que o copiou. Este papiro foi

adquirido pelo egiptólogo inglês Alexander Henry Rhind, no Egito, em 1858 e hoje se

encontra exposto no Museu Britânico em Londres.

De acordo com Barasuol (2006), o papiro de Rhind contém uma série de

tabelas e 84 problemas apresentados com suas respectivas soluções. Descreve-se

a seguir alguns problemas contidos neste papiro:

• Cálculos que mostram 2 dividido por cada um dos números ímpares de 3 a 101;

• Uma tabela contendo os resultados da divisão de cada número de 1 a 9 por 10;

• Problemas de 1 a 6: Divisão de 1, 2, 6, 7, 8 e 9 pães por 10 homens;

• Problemas de 7 a 20: Multiplicação de diferentes frações por 1 + 1/2 + 1/4 ou 1 +

2/3 + 1/3 ou 1 - (2/3 + 1/15) e outras;

• Problema 47: Tabelas de frações de 1 héqat, como frações do olho de Hórus.

Héqat era uma medida de volume ou capacidade e empregava-se para medir o trigo

e a cevada e equivalia a 4.8 litros. De regresso ao olho de Hórus, as sobrancelhas

equivaliam a 1/8, a pupila a 1/4, a parte esquerda da pupila a 1/16, a parte inferior

vertical abaixo do olho a 1/32, a parte direita da pupila a 1/16, a parte inferior vertical

abaixo do olho a 1/32 e a parte inferior diagonal do olho representava 1/64, tudo

frações de héqat.;

• No problema 56 pede-se o seqt de uma pirâmide que tem 250 cúbitos de altura e

uma base quadrada com lado de 360 cúbitos. O escriba começa dividindo 360 por 2,

depois divide o resultado por 250, obtendo 1/2 + 1/5 + 1/50. Multiplicando o

resultado por 7, deu o resultado de 5 1/25 em mãos por cúbitos;

• No problema 61 e 61 B: Tabela de uma regra para encontrar 2/3 de números

ímpares e frações unitárias;

• 78: Problemas de pesus (razão entre o número de pães confeccionados ou o

número de jarros de cerveja produzidos e o número de héqat de cereal utilizado na

sua produção) de pão e cerveja.

• 80 e 81: Tabelas de frações do olho de Hórus;

Já os babilônios usavam as frações para registros de suas transações comerciais, representando com os mesmos valores monetários próprios de sua cultura. Por exemplo, metade ou um meio (1/2) denominavam de ardalha e a quarta parte ou um quarto (1/4) denominavam de pada. (FERNANDES, 2008, p.3)

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o

Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela

razão de dois números naturais.

Segundo Fernandes (2008), atualmente:

[...] existem inúmeras situações nas quais se empregam frações, como por exemplo, nas eleições vence o candidato que obtiver ½ (metade) do total de votos mais um no primeiro turno ou a maioria simples no segundo; em mapas e plantas com o uso de escalas; razões e proporções empregadas na música, na medicina, na física, na culinária, entre outras. (p.3)

2.2 Abordagem Metodológica

Visando fundamentar a prática docente, o conteúdo proposto foi abordado

por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática, como forma de

tornar mais eficaz o complexo processo de ensinar e aprender matemática.

Em consonância com as atuais tendências metodológicas, os professores da

rede estadual de ensino do Paraná, têm as Diretrizes Curriculares como

configuradora da prática. Deve-se, portanto, utilizar essas tendências para despertar

em nossos alunos o interesse pelo aprendizado do tema proposto por meio de

“metodologias que priorizem diferentes formas de ensinar, de aprender e de avaliar.”

(PARANÁ, 2008, p.19)

Sabe-se que a escola passou por um período, em que a grande

preocupação era que os alunos memorizassem procedimentos e regras

matemáticas, sem que ocorresse a devida compreensão em relação ao conteúdo

trabalhado.

Porém, é sabido que essa forma de aprendizagem não condiz com as reais

necessidades, e os alunos constantemente questionam quem inventou, onde se

utilizam, para que servem tais conteúdos.

Portanto, de acordo com Saviani (2008), baseado na Pedagogia Histórico-

Crítica, que está articulada aos interesses populares, sem deixar de valorizar a

escola, valorização essa que se dará de forma a aplicar métodos de ensino eficazes,

métodos que deverão estimular a atividade e iniciativa dos alunos, juntamente com a

iniciativa do professor, favorecendo assim um diálogo mútuo, porém, sem deixar de

valorizar o diálogo com a cultura historicamente acumulada.

Desta forma, foi levado em conta o interesse dos alunos, o ritmo de

aprendizagem e o desenvolvimento psicológico, bem como a sistematização lógica

dos conhecimentos, sua ordenação e gradação para efeitos do processo de

transmissão-assimilação dos conteúdos cognitivos.

Sendo a perspectiva histórica, uma exigência metodológica essencial à

concepção histórico-crítica, realizou-se uma abordagem histórica do conteúdo, para

que os alunos compreendessem e identificassem os principais problemas colocados

pela prática social, num determinado contexto histórico.

Sabe-se que a função da escola é propiciar a aquisição de instrumentos que

possibilitem o acesso ao saber sistematizado. Assim sendo, propiciou-se aos alunos

meios para se apropriarem dos instrumentos teóricos e práticos necessários à

solução dos problemas da prática social.

Partindo desse princípio, realizou-se uma abordagem histórica do conteúdo,

para que os alunos compreendessem a importância e em que contexto histórico tal

conteúdo foi criado.

Segundo Miguel & Miorim (2004):

[...] a história deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da Matemática, promovendo assim, uma aprendizagem significativa, pois propicia ao estudante entender que o conhecimento matemático é construído historicamente a partir de situações concretas e necessidades reais. (MIGUEL & MIORIM, 2004 apud PARANÁ, 2008, p.66)

Após a abordagem histórica, realizaram-se estudos buscando a

contextualização deste conteúdo com a prática social. Então, para que a

aprendizagem se tornasse real e eficiente, fez-se necessário trabalhar com a

significância do conteúdo.

A política educacional vigente propõe a necessidade de se promover uma

educação de qualidade fundamentada no processo sócio-histórico, voltada para a

formação de sujeitos críticos capazes de promover uma transformação na sociedade

e o desenvolvimento humano.

2.3 Ensino de Frações

A complexidade vista pelos alunos em relação ao conteúdo de frações é

muito grande, fato constatado pelos fracassos vivenciados no que diz respeito ao

ensino desse conteúdo. Deve-se, portanto, rever as metodologias e procedimentos

utilizados no ensino desse conteúdo.

Para que o aluno compreenda a necessidade desse aprendizado, é

necessário “que o conhecimento ganhe significado para o aluno, de forma que aquilo

que lhe parece sem sentido seja problematizado e apreendido.” (PARANÁ, 2008,

p.28)

Normalmente, quando se pensa ou se representa uma fração, a primeira

ideia que se tem, é a representação contínua (círculo ou retângulo dividido em

partes iguais), porém, sabe-se que ocorre certo abuso nessa forma de demonstrar

as frações em detrimento de outras formas de representações, como por exemplo, a

representação discreta (fichas, tampinhas etc.).

Visando amenizar a complexidade vista pelos alunos em relação a esse

conteúdo, o professor deve levar os alunos a identificar essas quantidades em seu

contexto cotidiano, de forma a apropriar-se da ideia de números fracionários,

usando-os de modo significativo, contribuindo para transformação estrutural da

sociedade. “Tal contribuição se consubstancia na instrumentalização, isto é, nas

ferramentas de caráter histórico, matemático, científico, literário, etc., que o

professor seja capaz de colocar de posse dos alunos.” (SAVIANI, 1986, p.83)

De acordo com Gasparin (2007), o conhecimento escolar passa a ser

teórico-prático, isso significa que o aluno deve se apropriar da teoria como um

elemento fundamental na compreensão e na transformação da sociedade.

Sendo assim, baseado na Pedagogia Histórico-Crítica, que constitui um

projeto de educação científica arraigado com a instrumentalização para cidadania,

onde a perspectiva histórica constitui uma exigência metodológica essencial a essa

concepção, foi realizado um trabalho contemplando as dimensões conceituais,

científicas, históricas, econômicas, ideológicas, políticas, culturais e educacionais,

utilizando-se de diversos materiais manipulativos com representações contínuas e

discretas, para que o aluno dispusesse de condições para fazer e compreender a

relação entre prática-teoria-prática.

No dizer de Saviani (2008), a marca distinta da pedagogia histórico-crítica é

a necessidade de retomar o discurso crítico que se empenha em tornar claras as

relações entre educação e seus condicionamentos sociais, evidenciando-se a

reciprocidade entre a prática social e a prática educativa.

É sabido que o homem para ser considerado como homem em sua

plenitude, ele tem que pensar, sentir, agir, querer e avaliar, e para que isso ocorra é

preciso aprender, o que implica o processo educativo. Entretanto para se alcançar

esse resultado, tem que tomar como referência o saber objetivo produzido

historicamente.

O homem tem que adaptar, transformar a natureza para si, e isto é feito pelo

trabalho, ou seja, de uma ação intencional. Para que isso ocorra de maneira

sistematizada e elaborada cabe à escola socializar o saber sistematizado,

propiciando a aquisição dos instrumentos que possibilitem o acesso ao saber

elaborado.

Sabe-se que:

O conceito de contextualização propicia a formação de sujeitos históricos – alunos e professores - que ao se apropriarem do conhecimento, compreendam que as estruturas sociais são históricas, contraditórias e abertas. (PARANÁ, 2008, p.30)

Desta forma, deve-se fazer com que o aluno possa compreender tais

conceitos e que possa utilizá-los de forma a propiciar mudanças sociais em sua

forma de agir e interagir com a sociedade.

3 DESENVOLVIMENTO DO PROJETO

O projeto foi desenvolvido no Colégio Estadual Santo Inácio de Loyola na

cidade de Terra Rica-PR, no ano de 2011, pela professora participante do PDE com

alunos do 6º ano do Ensino Fundamental. Os alunos foram convidados para

participarem de acordo com o interesse e a disponibilidade de tempo para atuarem

fora de seu horário normal de aula, pois o projeto foi desenvolvido em contraturno e

com duração de 32 horas-aula.

Na busca de uma perspectiva diferenciada para o ensino de frações, o

projeto foi aplicado aos alunos de forma a mostrar-lhes a importância de se

conhecer a história do referido tema, descobrindo como e porque tal conceito foi

construído e sistematizado, e de que maneira este conceito tem facilitado a vida

atualmente.

O projeto realizado na escola passou por diversas etapas. A primeira delas

foi uma atividade de sondagem, cujo objetivo era mensurar o conhecimento do aluno

sobre o tema. Em seguida, foram propostas algumas atividades por meio das quais

se chegou ao ápice do trabalho, resgatando a história dos números fracionários.

Posteriormente, foram propostas outras atividades, envolvendo jogos e situações-

problema. E para finalizar, apresentou-se a mesma atividade de sondagem do início

do trabalho, cujo objetivo era analisar se o trabalho contribuiu para o

desenvolvimento do conhecimento científico dos alunos.

Desta forma, iniciou-se o trabalho apresentando os seguintes

questionamentos:

• O que você compreende por fração?

• Fração é um número?

• Onde e como surgiram os números fracionários?

Observou-se, que a maioria dos alunos apresentava uma vaga ideia sobre

frações, como sendo uma operação e não como um número. No que se refere à

origem deste conteúdo, não apresentavam conhecimento algum, pois, jamais

ouviram qualquer referência sobre a história das frações.

Em seguida, apresentou-se uma atividade comum ao dia a dia dos alunos,

“repartir um bolo” de forma que todos pudessem se servir de pedaços iguais. Na

situação proposta foi questionado sobre a representação numérica referente a cada

pedaço obtido, os termos de uma fração, a leitura e a escrita da fração do bolo que

cada aluno recebeu.

A princípio os alunos apresentaram dificuldades em dizer qual era o número

que representava cada pedaço de bolo. Então, questionou-se em quantos pedaços o

bolo havia sido dividido e destes, quanto cada aluno comeu. Desta forma,

concluíram que o número que representava cada pedaço era uma fração. Quanto

aos termos de uma fração, não souberam nomeá-los e assim, a professora explicou

qual a denominação e o que representava cada termo. Na leitura e escrita de

frações, também foi necessário explicar o procedimento.

Visando que o aluno se apropriasse do conceito de frações de forma

significativa, e ainda, compreendesse que as frações surgiram para suprir

necessidades do ser humano, utilizou-se da história deste conteúdo, como meio

para efetivar a aprendizagem.

Desta forma, os alunos tiveram a oportunidade de pesquisar sobre onde e

como surgiram tais números. Após a conclusão da pesquisa, os alunos puderam

vivenciar a situação que deu origem aos números fracionários. Assim, munidos de

uma corda representando uma unidade de medida, foram medir o corredor do

pavilhão onde se encontravam e perceberam que em determinado momento não era

possível utilizar a unidade inteira. Diante de tal situação, ficaram em dúvida sobre

como proceder para realizar a medida, após refletirem sobre o assunto, um aluno

disse que era necessário fracionar a corda ou unidade de medida, da mesma forma

como os agrimensores faziam no antigo Egito. Em seguida, fracionaram a corda e

assim, encontraram a medida exata do corredor. Desta forma, compreenderam a

importância da História da Matemática, para o desenvolvimento do ser humano, no

trato com situações diárias.

Ao aluno deve ser oportunizada a vivência de situações desafiadoras e ricas,

as quais podem ser proporcionadas por meio da utilização de jogos, como forma de

auxiliar o ensino do conteúdo.

Assim, foi proposta uma atividade onde os alunos participaram de um jogo

de dominó envolvendo frações, cujo objetivo era desenvolver o raciocínio, a

autonomia, a habilidade de interagir com outras pessoas e ainda, identificar números

fracionários como parte do inteiro. Nesta atividade, cada partida foi realizada por 4

participantes. As 28 peças do jogo foram embaralhadas com as faces numeradas

voltadas para baixo. Em seguida, cada participante pegou 7 peças. Para dar início

ao jogo, realizou-se um sorteio, identificando quem seria o primeiro a jogar. Foi

esclarecido ainda, que o próximo jogador seria o que estivesse imediatamente à

esquerda do que iniciou, obedecendo ao sentido horário.

O aluno que não tivesse uma peça com a figura ou número fracionário

correspondente as peças que estavam sobre a mesa, teria que ficar uma rodada

sem jogar. Considerou-se vencedor da partida, o participante que primeiro encaixou

todas as suas peças.

Nesta atividade a dificuldade observada, se deu apenas quando as figuras

estavam divididas em um número maior de partes, então os participantes tinham que

ficar contando o número de partes em que o inteiro foi dividido, para assim,

identificar a fração correspondente. Em seguida, realizaram a leitura e escrita dos

números fracionários apresentados no jogo.

A equivalência de frações é outra especificidade relevante no que se refere

ao tema. Desta forma, visando uma aprendizagem dinâmica e significativa, foi

utilizado o jogo do tangram e também o quadro de equivalências como meio de levar

os alunos a compreenderem a equivalência de frações.

Sendo assim, os alunos construíram o jogo do tangram, onde foi explicado

que este é um jogo de origem chinesa, composto por 7 peças, sendo que as peças

representam figuras geométricas: triângulo, quadrado e paralelogramo. Durante a

construção do jogo, os alunos reiteraram os conceitos apreendidos sobre frações, e

ainda, identificaram a equivalência de frações. Em alguns momentos houve a

necessidade de fazer com que os alunos fizessem a sobreposição das peças, para

assim compreenderem e concluírem a equivalência.

Após obterem as sete peças do tangram, montaram o quadrado original. Em

seguida, foram instigados a construir:

• um quadrado com tamanho correspondente a um meio do original, utilizando duas

peças do tangram.

• um quadrado com tamanho correspondente a um quarto do original, utilizando

apenas duas peças.

E assim sucessivamente, construíram diversas figuras com as peças

obtidas.

Após a conclusão da atividade com o tangram, os alunos participaram da

construção do quadro de equivalências, como forma de compreender que algumas

frações embora escritas com numerais diferentes, representam a mesma parte do

inteiro, então, por meio deste material, foi demonstrado o que são frações

equivalentes.

Desta forma, foi apresentada aos alunos a seguinte situação: eu e meu

irmão ganhamos uma barra de chocolate de mesmo tamanho cada um. Meu irmão

comeu 1/2 da barra que ganhou e eu comi 2/4 da barra que ganhei. Pediu-se, então,

que representassem a situação utilizando as fichas do quadro de equivalências, ao

representarem a situação, tiveram a oportunidade de comparar e concluir que tais

frações, embora escritas com numerais diferentes, representavam a mesma parte do

inteiro, ou seja, eram equivalentes.

Após a construção do quadro de equivalências, os alunos foram

questionados sobre como proceder para obter frações equivalentes sem o auxílio do

quadro.

Muitas sugestões de operações foram apresentadas e assim, foi-se testando

uma a uma, até identificarem que a operação para obtenção de frações equivalentes

era a multiplicação. Em seguida, por meio da intervenção do professor, os alunos

concluíram que também é possível obter equivalência por meio da divisão, neste

caso, chamada de simplificação.

Algumas atividades foram propostas sobre frações equivalentes e

simplificação de frações. Como por exemplo: escreva quatro frações equivalentes a

1/2, por meio da operação de multiplicação. E ainda: simplifique a fração 2/8 por

meio da operação de divisão. Mas, observou-se que alguns alunos não assimilaram

muito bem este conceito, pois optaram por recorrer ao quadro de equivalências para

solucionar as situações propostas.

Posteriormente, abordou-se a comparação de frações. Iniciando o trabalho

questionou-se, qual das frações 1/2 ou 1/4 representava a maior porção do inteiro.

Nesta atividade os alunos apresentaram dificuldades, pois ao compararem os

números fracionários utilizaram o mesmo princípio de comparação dos números

naturais, acreditavam que quanto maior o denominador, maior seria a fração. Então,

ao observarem o quadro de equivalências, pegaram as partes correspondentes às

frações comparadas e fizeram a sobreposição das peças. Somente após

sobreporem as peças é que conseguiram compreender e concluir corretamente.

Outra atividade desenvolvida com os alunos foi a representação de frações

na reta numérica. Ao se questionar qual seria a posição do número 1/2, na reta

numérica, não souberam precisar a posição correta. Então, a professora explicou

que um meio representa a metade de um inteiro. E ainda, que um número

fracionário pode ser representado na forma decimal, por meio da divisão. Assim, os

alunos dividiram 1 por 2 obtendo 0,5. Desta forma, utilizando uma régua mostrou-se

a posição do 0,5, explicando que este número está localizado entre o número 0 e o

número 1. Após a explicação os alunos munidos de tiras de cartolina, numeradas

apenas com números naturais, dividiram o espaço compreendido entre o 0 e o 1

exatamente ao meio, e assim representaram o número 1/2. Em seguida,

representaram mais alguns números fracionários na reta numérica por meio da

transformação em número decimal. A cada número representado na reta, o

processo se tornava mais rápido e fácil, pois assimilaram e compreenderam o

procedimento.

Em outro momento, foram propostas aos alunos diversas situações-

problema, com o intuito de fazer com que compreendessem que as frações também

são utilizadas para representar grandezas de natureza discreta e assim, aplicar os

conhecimentos matemáticos adquiridos, para resolver as situações propostas.

Em uma das situações, os alunos deveriam colocar 20 canudinhos em um

copo branco, em seguida, distribuir os 20 canudinhos entre dois copinhos verdes.

Todos concluíram que em cada copinho verde havia 10 canudinhos. Porém, ao

serem questionados sobre qual número fracionário representaria a quantidade

disposta em cada copinho verde, não souberam responder. Então, perguntou-se

novamente sobre a relação da quantidade do copinho verde para o copo branco,

neste caso, foram unânimes em dizer que representava a metade e em seguida,

concluíram que era representado pela fração um meio.

Outra situação problema foi proposta, desta vez envolvendo probabilidade:

Em um grupo há 6 meninas e 4 meninos. A professora irá sortear um aluno do grupo

para representar um número fracionário de uma situação proposta. Qual é a

probabilidade de uma menina ser sorteada, sabendo que todos os alunos têm a

mesma chance de serem sorteados?

Sabe-se que a probabilidade pode ser representada por meio de uma fração

e transformada em porcentagem. Porém, os alunos ao concluírem a leitura do

problema não compreenderam como deveriam proceder para calcular a

probabilidade. Somente após a explicação do que era probabilidade e também onde

era utilizada em situações diárias, é que os alunos conseguiram compreender e

concluir a atividade.

Em seguida, discutiu-se sobre as frações que apresentam denominador 10 e

que por este motivo são chamadas de frações decimais. E ainda, que tais frações

podem ser representadas na forma de porcentagem. Ao serem questionados sobre

como encontrar uma fração equivalente a 6/10 com denominador 100, prontamente

um aluno respondeu que se deve multiplicar.

Então, foram questionados sobre qual procedimento deveria ser adotado.

Um aluno respondeu que deveria multiplicar por 10 e os demais concluíram

dizendo que deveria multiplicar o numerador e o denominador, para assim, obter

uma fração com denominador 100.

Em seguida foi proposta uma atividade, visando fazer com que os alunos

compreendessem que a razão entre duas grandezas, pode ser representada por

uma fração. Assim, apresentou-se a seguinte situação problema:

Em uma coleção de figurinhas, para cada 4 figurinhas do Pokémon

encontra-se 10 figurinhas do Naruto. Questionou-se então, qual a razão do número

de figurinhas do Pokémon para o número de figurinhas do Naruto?

A situação proposta gerou uma solução imediata, porém, ao se fixar um

número de figurinhas do Naruto e solicitar o número de figurinhas do Pokémon para

os alunos, a solução só foi possível após a manipulação das figuras. Desta forma,

percebe-se que nesta faixa etária os alunos ainda sentem necessidade de manipular

materiais concretos, para resolver determinadas situações.

É sabido que algumas porcentagens podem ser expressas por meio de

frações. Desta forma, visando fazer com que os alunos compreendessem tal

situação, apresentou-se uma figura com divisórias, representando uma coleção de

figurinhas.

Figura 1: Coleção de figuras. Fonte: A autora

Em seguida, questionou-se aos alunos:

• Qual a fração correspondente às figurinhas do Pokémon?

• Qual a fração correspondente às figurinhas do Ben 10?

• Qual a porcentagem correspondente às figurinhas do Pokémon?

• Qual a porcentagem correspondente às figurinhas do Naruto?

Nesta situação, apenas por meio da observação da figura apresentada, os

alunos não conseguiram concluir a atividade, houve a necessidade de se

representar a situação proposta, utilizando figurinhas e dispondo-as da mesma

forma que na figura apresentada na situação problema. Assim, concluíram que 1/2

das figurinhas eram do Pokémon, 1/4 eram do Naruto e 1/4 eram do Ben 10. Em

seguida, por meio da equivalência de frações, transformaram 1/2 em 50/100 e

depois em 50%.

Dando sequência à implementação do projeto, várias situações-problema

foram apresentadas, com o objetivo de fazer com que os alunos compreendessem e

efetuassem corretamente operações de adição e subtração de frações.

O quadro de equivalências foi um aliado muito importante na solução e

conclusão da maioria das situações propostas sobre adição e subtração de frações,

pois, por meio deste material os alunos puderam manusear as fichas pertencentes a

ele, e assim chegar às conclusões necessárias.

Desta forma, utilizando o quadro de equivalências, representaram-se

algumas situações-problema envolvendo adição e subtração de frações com mesmo

denominador, neste caso todas as situações foram resolvidas sem dificuldades.

Ainda nestas situações, chamou-se a atenção dos alunos para o fato de que na

adição e subtração de frações com mesmo denominador, repete-se o denominador

e somam-se ou subtraem-se os numeradores.

Porém, quando apresentada uma situação de adição de frações com

denominadores diferentes, a maioria somou os numeradores e também os

denominadores. Então, por meio do quadro de equivalências, os alunos

representaram as frações que foram somadas, e assim, observaram que deveriam

substituir tais frações por outras equivalentes com o mesmo denominador, para

então, obter a soma. Observaram ainda, que deveriam proceder da mesma forma

nas subtrações com denominadores diferentes.

Visando observar se houve avanços no aprendizado por parte dos alunos,

referente ao conteúdo de números fracionários em relação ao conhecimento

científico historicamente produzido pela humanidade, apresentou-se os mesmos

questionamentos realizados no início do trabalho. E assim, concluiu-se que a

maioria dos objetivos propostos por este trabalho foi alcançada.

Outro ponto culminante desta pesquisa foi a socialização deste trabalho a

um grupo de professores da rede estadual de ensino, por meio do Grupo de

Trabalho em Rede (GTR), onde os professores participantes tiveram a oportunidade

de analisar, discutir e opinar sobre a relevância e aplicabilidade deste trabalho.

De acordo com os professores, quando o aluno se torna um agente do seu

aprendizado, a interiorização dos conceitos ocorre de forma natural e significativa.

Assim, consideram a manipulação de materiais e o uso de jogos de suma

importância, para que o aluno se aproprie naturalmente dos conceitos

historicamente construídos. No entanto, o que gerou dúvida e apreensão quanto à

viabilidade de aplicação deste trabalho, é o fato de que nas escolas públicas as

turmas são bastante numerosas. E ainda, o número de horas-aula destinadas à

aplicação do referido projeto, pois o currículo desta disciplina é extenso e desta

forma outros conteúdos deixariam de ser trabalhados.

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O projeto de implementação pedagógica apresentado neste artigo foi

proposto com o objetivo de fazer com que os alunos compreendessem o conceito de

números fracionários, viabilizando assim uma aprendizagem significativa, de forma a

aplicar este conhecimento em seu cotidiano. Constatou-se que a maioria dos alunos,

mesmo tendo estudado os números fracionários, em séries anteriores não dominava

os conceitos inerentes ao conteúdo.

No desenvolvimento do projeto foi contemplada a metodologia História da

Matemática, apresentada nas Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado do

Paraná, como uma das tendências metodológicas que fundamenta a prática docente

no ensino-aprendizagem da Matemática. Ao se trabalhar a história referente aos

números fracionários, os alunos demonstraram bastante interesse, pois

compreenderam e identificaram o problema da prática social que deu origem a este

número.

A utilização de atividades lúdicas, como a construção do jogo tangram,

permitiu a exploração do conceito de frações, desenvolvendo o raciocínio lógico e

intuitivo dos alunos, desta forma propiciou-se uma aprendizagem prazerosa, assim

como, a socialização dos alunos e a cooperação mútua.

Nas situações-problema propostas, observou-se que os alunos

demonstravam muita dificuldade de interpretação e mesmo de resolução. Em todas

as situações os alunos recorreram aos materiais concretos, para solucionar o

problema e em alguns casos só conseguiram por meio da intervenção da

professora. Conclui-se, portanto, que os alunos nesta fase ainda necessitam do

concreto, para que seu aprendizado ganhe significado. Porém, sabe-se que só o

material não garante um efetivo aprendizado, desta forma a partir do material deve-

se direcionar o aprendizado para a discussão e a resolução de uma situação-

problema utilizando um raciocínio mais abstrato.

A socialização deste trabalho aos professores da rede estadual de ensino,

por meio do Grupo de Trabalho em Rede (GTR), foi outro ponto relevante, pois os

professores analisaram, discutiram, sugeriram e opinaram sobre as atividades

propostas, avaliando de forma positiva a relevância do trabalho realizado.

Durante a implementação do projeto, observou-se que os alunos

assimilaram bem os conceitos envolvidos e a maioria dos objetivos foi alcançada,

porém, não se pode deixar de ressaltar o número de alunos que participaram do

projeto (10 participantes). Desse modo o ambiente foi propício às discussões,

análises e intervenções quando necessárias.

Espera-se, portanto, que o trabalho desenvolvido sobre frações, tenha

favorecido aos alunos uma aprendizagem significativa e efetiva, e que estes possam

utilizar tais conceitos de forma significativa, amenizando a aversão que apresentam

em relação a este conteúdo.

REFERÊNCIAS

BARASUOL, Fabiana Fagundes. A Matemática da Pré-História ao Antigo Egito. UNIrevista – Vol. 1, nº 2: (abril 2006). Disponível em:

<http://www.unirevista.unisinos.br/_pdf/UNIrev_Barasuol.pdf>. Acesso em 28 jan. 2011.

BICUDO, Maria Aparecida Viggiani. Educação Matemática. São Paulo: Editora Moraes, 1987.

BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática: tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da Realidade à Ação: reflexões sobre Educação e Matemática. São Paulo: Universidade Estadual de Campinas, 1986. DUARTE, Newton. Educação escolar, teoria do cotidiano e a escola de Vigotski/ Newton Duarte. 4 ed. Campinas, SP: Autores Associados, 2007. (Coleção

polêmicas do nosso tempo; v. 55)

FERNANDES, Sueli Fátima Homon. “As frações do dia a dia” – operações. Ponta

Grossa - PR – 2008. Disponível em: <www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/48-2.pdf>. Acesso em 09 set. 2010.

FONSECA, Solange. Metodologia de Ensino: Matemática, Belo Horizonte: Editora Lê: Fundação Helena Antipoff, 1997.

GASPARIN, João Luiz. Uma didática para a pedagogia histórico- crítica, 4 ed.rev. e ampl., Campinas, SP: Autores Associados, 2007.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática. Curitiba - 2008. Disponível em:

<www.diaadiaeducacao.pr.gov.br>. Acesso em 25 jan. 2011.

SAVIANI, Demerval. Escola e Democracia: teorias da educação, curvatura da vara, onze teses sobre educação e política. São Paulo: Editora Cortez: Autores

Associados, 1986.

______. Pedagogia histórico- crítica: primeiras aproximações.10. ed. rev.

Campinas, SP: Autores Associados, 2008.- (Coleção Educação Contemporânea).

ZANELLA, Andréa Vieira. Zona de desenvolvimento proximal: análise teórica de um conceito em algumas situações variadas. Temas Psicol. (online). 1994, vol. 2, n. 2,

pp. 97-110. ISSN 1413-389X. Disponível em: <http://pepsic.bvsalud.org/scielo.php?pid=S1413-389X1994000200011&script=sci_arttext&tlng=en>. Acesso em 27 jan. 2011.