Formulação de Problemas de Programação Linear em Recursos Hídricos

- Exemplos -

Benedito C. Silva

Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI

Instituto de Recursos Naturais - IRN

Dimensionamento econômico de uma adutoraDimensionar uma linha adutora com dois pontos de derivação de vazões (B e C). Admite-se que o trecho AB possa ser dimensionado com diâmetro D1=250mm e D2=200mm, uma vez que ambos atendem ao requisito de velocidade máxima para a vazão nesse trecho (40 l/s). Da mesma forma, no trecho BC admite-se os diâmetros D3=200mm e D4=150mm são compatíveis com a vazão neste trecho (14 l/s).

10m

A B C0m

14 l/s40 l/s

26 l/s 14 l/s

Cada tubulação de um certo diâmetro tem um custo por metro linear ($/m) e cada vazão produz uma perda de caga unitária (m/m), conforme tabela abaixo.

Diâmetro(mm)

Perda de carga unitária J (m/m) Custo Unitário($/m)Vazão de 40 l/s Vazão de 14 l/s

250 0,0025 --- 5

200 0,0071 0,0010 4

150 --- 0,0042 3

Deseja-se fazer o dimensionamento de mínimo custo, atendendo a uma pressão mínima de 5 mca no ponto C.

Otimização do transporte entre captação e distribuição de águaSeja uma certa região que conta com três mananciais (Mi) e quatro reservatórios (Rj) distribuidores de água. Cada manancial tem uma capacidade de suprimento hídrico (hm3/mês) e em cada reservatório concentra-se uma demanda (hm3/mês). O abastecimento de cada reservatório pode ser feito a partir de qualquer manancial, exceção feita em relação à ligação entre M3 e R4. Os custos unitário ($/hm3) de transporte (bombeamento) são apresentados na tabela a seguir.

Custos unitário de transporte de água ($/hm3)

Capacidade do Manancial(hm3/mês)

R1 R2 R3 R4

M1 16 13 22 17 70

M2 14 13 19 15 90

M3 19 20 23 --- 80

Demandas nos reservatórios

(hm3/mês)60 80 40 60 ---

Otimização do transporte entre captação e distribuição de água

Deseja-se planejar a alocação de água aos reservatórios de maneira ótima, visando a minimização dos custos totais de transporte.

Produção e tratamento ótimo de resíduos de uma indústriaUma indústria de manufaturados possui uma estação de tratamento de resíduos (ETR), operada pela própria indústria. O preço de venda do produto fabricado pela indústria é de $10/unidade. No entanto o custo de produção desse mesmo produto é de $3/unidade. No processo de fabricação utilizado são geradas duas unidades de resíduos para cada unidade de produto fabricado.

Deseja-se decidir sobre: (a) a quantidade diária a ser produzida; (b) a quantidade diária de resíduos sem tratamento a ser lançada no curso d’água. Deve ser buscar o máximo benefício líquido total.

Produção e tratamento ótimo de resíduos de uma indústriaA ETR tem capacidade máxima para tratar 10 unidades de resíduos diários, com eficiência para remover 80% do resíduo. O custo do tratamento é de $0,60/unidade de resíduo tratado. Seguindo o princípio do “usuário pagador”, também existe uma taxa de $2/unidade de resíduo não tratado no curso d’água.

O comitê da bacia local estabeleceu o limite máximo de 4 unidades diárias de resíduos a serem lançados no curso d’água para esta indústria.

Operação de reservatórioConsidere um reservatório que através de suas vazões defluentes alimenta usina hidrelétrica, localizada imediatamente a jusante, um sistema de irrigação, também a jusante, e mantém a vazão ecológica do rio.

Vazões até 180.106 m3/mês podem ser usadas para alimentar as turbinas da usina, sendo o excesso descarregado pelos vertedores.

Os limites máximos de água que podem ser desviados para irrigação são apresentados na coluna 4 da tabela a seguir, sendo que a irrigação ocorre apenas em 6 meses do ano.

A vazão mínima para fins ecológicos é de 20.106 m3/mês.

A capacidade de armazenamento do reservatório é de 600.106 m3.

Operação de reservatórioA receita obtida pelo suprimento de água para a irrigação é de $900 por milhão de m3 fornecido.

Cada milhão de m3 de água usado para geração de energia resulta em lucro de $400.

O problema consiste em determinar a sequencia de defluências mensais do reservatório que maximiza a receita, dadas as vazões de entrada na tabela a seguir.

Operação de reservatórioMês Vazão

afluente (106m3)

Demanda de irrigação(106m3)

JAN 95 0

FEV 112 0

MAR 170 0

ABR 250 0

MAI 265 50

JUN 62 150

JUL 35 260

AGO 18 260

SET 55 190

OUT 88 100

NOV 85 0

DEZ 90 0

Alocação de carga de poluiçãoAgências reguladoras impuseram critérios de qualidade da água, exigindo que a concentração de um determinado poluente não exceda 120mg/l (0,12 kg/m3) em qualquer ponto de um sistema de rios. Quatro estações de tratamento descarregam resíduos tratados nesse sistema. Outras fontes de poluição no local são desprezíveis. As estações de tratamento são operadas de forma coordenada para alcançar os padrões de qualidade, com objetivo de minimizar os custos diários de operação das 4 estações.

Conforme a água escoa pelo cursos dos rios. Há uma processo natural de redução da carga de poluentes. As taxas e redução para cada trecho do sistema são: P1,3=10%, P2,3= 20%, P3,4=15%

A tabela a seguir apresenta os dados técnicos de cada estação de tratamento. Deve determinar a quantidade de poluente a ser removido por cada estação a fim de minimizar o custo total.

Alocação de carga de poluição

Estação

Carga de poluente

gerada pela cidade

(1000kg/dia)

Custo de tratamento ($/1000 kg removido)

Eficiência Máxima

Vazão total na cidade

(m3/s)

Vazão total na cidade

(1000m3/dia)

1 510 2,50 0,92 39,1 3378

2 430 1,80 0,90 45,5 3931

3 960 4,00 0,91 98,2 8484

4 920 3,50 0,92 115 9936

Alocação de águaConsidere o sistema rio/reservatório apresentado na figura a seguir. O reservatório A e B, localizados no nós 1 e 2 , possuem capacidades de 750.106 e 900.106 m3, respectivamente. Os armazenamentos iniciais nos reservatórios A e B no início do intervalo de tempo são 460.106 e 215.106 m3, respectivamente. Descargas de água são feitas para manter um vazão mínima no curso d’água e para atender às necessidades de desvio de água. Vazões mínimas para os trechos são:

Trecho 1-4 2-3 3-4 4-5 Abaixo de 5

Vazão (106m3) 0 5 10 10 30

A disponibilidade e a demanda de água para nó são apresentadas na tabela a seguir. A disponibilidade de água para cada nó consiste do armazenamento do reservatório no início do intervalo de tempo e a vazão local entrando no trecho de rio acima do nó, durante o período de tempo.

Alocação de águaA demanda na tabela a seguir é uma meta de abastecimento para cada nó. Se a disponibilidade é insuficiente para atender a demanda, a alocação é feita de acordo com as prioridades relativas tabeladas, sendo 5 a maior prioridade.

NóArmzenamento inicial (106m3)

Vazão local

(106m3)

Disponibilidade total

(106m3)

Demanda máxima(106m3)

Prioridade relativa

1 460 375 835 90 4

2 215 290 505 125 3

3 - 25 25 475 2

4 - 75 75 - -

5 - 120 120 360 5

290

125

25

75

120360

10

10

5

90

3751

2

3

4

5

30

Res A

Res B

475

0

Alocação de águaResolver o problema anterior utilizando Programação Linear por Redes de Fluxo

Construção de sistema de abastecimento

Um sistema de abastecimento de água deverá atender a 4 novos consumidores de água.

O sistema possui 3 fontes possíveis (A, B e C) que podem atender a estes usuários.

Os custo dos sistemas de captação para as fontes A, B e C são, respectivamente: $14.200.000, $ 8.500.000 e $17.100.000.

Podem ser selecionadas uma, duas, três ou as quatro fontes para serem construídas.

Um sistema de tubulação deve ser construído para cada um dos quatro consumidores, ao menos para uma das fontes de suprimento.

A Tabela a seguir apresenta os custos de construção das linhas de tubulação, as demandas de cada consumidor e a capacidade de suprimento de cada fonte.

FonteCusto da tubulação ($)

Capacidade(m3/dia)Cons. 1 Cons. 2 Cons. 3 Cons. 4

A 2.200.000 8300000 8.200.000 5.200.000 340.000

B 4.600.000 6100000 2.400.000 9.800.000 235.000

C 1.700.000 5800000 1.300.000 3.600.000 480.000

Demanda(m3/dia) 135.000 98.000 64.000 192.000 -

Utilizar programação linear binária para determinar quais fontes de suprimento e linhas de tubulação devem ser construídas

Seleção de projetos hídricos10 projetos de estrutura estão sendo considerados dentro do planejamento de uma bacia hidrográfica (reservatórios, sistemas de bombeamento, hidrelétricas, controle de cheias, ...).

Os custos de investimento e as receitas líquidas anuais de cada empreendimento estão tabeladas a seguir.

O valor máximo que pode ser investido nos projeto é $750milhões.

Os projetos 2 e 3 só podem ser implementados se 6 for construído.

O projeto 10 só pode ser construído se 8 e 9 também forem.

O projeto 4 não pode ser selecionado se 3 for selecionado.

Ao menos 1 e não mais do que 3 dos seguintes projetos podem ser selecionados: 5, 6, 7 e/ou 8.

Utilizar programação linear binária para selecionar os projetos que deverão ser implementados, considerando a maximização da receita líquida.

Empreendimento Custo de investimento ($ milhões)

Receita Líquida Anual ($ milhões)

1 120 4

2 150 3

3 90 5

4 210 9

5 160 7

6 180 6

7 90 4

8 100 5

9 80 2

10 140 7