Otimização

Prof. Benedito C. Silva

IRN UNIFEIAdaptado de: Walter Collischonn / IPH UFRGS

Simulação e OtimizaçãoSimulação é o processo de representar matematicamente um

sistema, e realizar experimentações para prever seu comportamento quando sujeito a determinadas condições.

Ex: Modelos chuva-vazão, modelo de reservatórios, modelos de redes hidráulicas, modelos de redes de fluxo...

Otimização é a determinação das condições que resultam no melhor desempenho do sistema. Normalmente envolve a execução de diversas simulações.

Exemplos de algoritmos: programação linear, não-linear, dinâmica, técnicas de inteligência artificial...

Em ambos os caso podem ser necessários mais de um modelo para representar o sistema.

Muitas vezes o modelo de otimização está inserido no modelo de simulação.

3

Construção de Modelos MatemáticosConstrução de Modelos Matemáticos

Sistema Real

Definição e Descrição do Problema

Modelo Matemático

Solução do Modelo

Implementação da Solução

Simplificação

Decisão Teórica x Política

Revisão

4

Elementos de um modelo matemático de otimização

DECISÕES

Identificar quais decisões efetivamente resolvem o problema.

O que não conhecemos no problema?

RESTRIÇÕES

Identificar quais as restrições que limitam as decisões a tomar

OBJETIVOS

Definir objetivos capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras

Ex.: Ajuste de modelo hidrologico

Encontrar o valor dos parâmetros de um modelo matemático que resultem em uma boa concordância entre dados observados e calculados.

Gupta et al.

Otimização Encontrar o mínimo ou o máximo de uma função

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Cálculo analítico

Encontrar pontos da função em que a derivada é zero. Vantagens: pode ser rápido, é mais elegante) Desvantagens: problemas de recursos hídricos apresentam

funções de picos múltiplos, funções descontínuas, ausência da forma analítica da função, por exemplo

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2x.cx.ba)x(F

0dx

dF

Otimização de Sistemas de Recursos Hídricos

Superfícies de resposta complexas Pontos extremos mal definidos Regiões planas Muitos ótimos locais Ótimo global apenas pouco melhor do que os

ótimos locais

Técnicas de otimização

Cálculo analítico Técnicas numéricas

Busca aleatória Busca direta Mistos

Técnicas numéricas - Busca Aleatória

Vantagens: funções descontínuas; picos múltiplos

Desvantagens: demorado; não existe garantia de atingir o ponto ótimo global

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“Ótimo”

Técnicas numéricas - Busca direta

Estratégia de caminhar “morro acima”

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Máximo globalMáximo local

Função objetivo: F(x1,x2)

x1

x2

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Início: ponto coordenadas (parâmetros) aleatórias

X1=valor aleatório entre a e b

X2=valor aleatório entre c e d

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Determina direção de busca: exemplo x2=x2+0,3; x1=x1

Função objetivo melhorou? Não, então tenta no outro sentido.

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F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

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F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

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F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

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F.O melhorou? Não, então volta para o ponto anterior...

F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

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...e muda a direção de busca.

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E assim segue até encontrar um ponto em que não existedireção de busca que melhore o valor da FO

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Rosenbrock: Método um pouco mais eficiente

Direção de busca é a que potencialmente dará maior incremento da FO

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Limitação da busca direta: Ótimos locais

Região que atrai soluçãopara o ótimolocal

Tentativa de contornar problema: Busca direta com inicialização múltipla

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Várias tentativas; espera se que o ótimo global seja a melhorsolução testada.

Problema: Ineficiente e ineficaz quando a FO tem muitos ótimos locais

Modelos de Otimização

Programação linear (Simplex) Programação não-linear Programação dinâmica Algoritmos genéticos Caminhos de formiga …

Algoritmos Genéticos

Definição da faixa de validade dos parâmetros geração aleatória de pontos (conjuntos de

parâmetros) avaliação das funções objetivo para cada

ponto reprodução, evolução

conjuntos com melhores F.O. têm maior chance de contribuir na reprodução

Inspiração na natureza

•Conceitos de população, reprodução e gerações

•Filhos são semelhantes aos pais

•Os pais mais “adaptados” tem maior probabilidade de gerar filhos

•Os filhos não são completamente iguais aos pais

Algumas regras gerais dos algoritmos genéticos

Pais mais adaptados têm maior probabilidade de gerar filhos

(sobrevivência do mais apto = seleção natural)

Na natureza: indivíduos mais adaptados têm maior probabilidade de sobreviver até chegar à fase reprodutiva e de participar do processo de reprodução.

No algoritmo: pontos com maior FO têm maior probabilidade de serem escolhidos para participar dos complexos.

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Passo 1

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Passo 2

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Passo 3

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Passo 20

Otimização multi-objetivo

Considerar mais de uma FO. Calibração de modelos hidrológicos

distribuídos Otimização de sistemas de reservatórios de

usos múltiplos (controle de cheias x regularização de vazão)

Vazão e evapotranspiração

Novos métodos evolutivos

Colônia de formigas Enxame de abelhas ...