flexão

5-28

5 FLEXO SIMPLES ARMADURA LONGITUDINAL DE VIGA

5.1 EXERCCIOS

EX. 5.1

Definir a curva MRd x As para a seo abaixo indicada. Mostrar no grfico os domnios 2, 3 e 4, bem como o limite

entre pea sub e superarmada. Use o eixo vertical para a rea de armadura e o horizontal para o momento fletor.

Dados:

concreto: C20; e

ao: CA-50.

Considerar:

somente solicitaes normais (momento fletor); e

estado limite ltimo, combinaes normais, grandes pontes

(g = 1,3, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15).

Escala:

1 cm2 = 1,0 cm

10 kNm = 1,0 cm

EX. 5.2

Mantidas as condies de dutilidade, determinar a armadura longitudinal para a seo transversal da viga

abaixo representada, a qual deve suportar, simultaneamente, os momentos fletores Mgk = 80 kNm e

Mqk = 25 kNm.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:

somente solicitaes normais (momento fletor);

estado limite ltimo, combinaes normais, edificao tipo 2

(g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15).

EX. 5.3

Mantidas as condies de dutilidade, determinar o mximo momento fletor solicitante de clculo que a viga de

seo transversal abaixo indicada pode suportar. A viga ter:

armadura longitudinal constituda por 7 barras de 16 mm;

armadura transversal (estribos) constituda por barras de

8 mm;

dimenso mxima do agregado igual a 25 mm;

cobrimento nominal das armaduras igual a 4 cm.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



(g = 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15).

90 cm

30 cm

As

45 cm

20 cm

As

90 cm

30 cm

As

5-29

EX. 5.4

Mantidas as condies de ductilidade, determinar a armadura longitudinal necessria para que a viga abaixo

representada.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:


estado limite ltimo, combinaes normais, edificao tipo 2 (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15).

EX. 5.5

A seo de viga abaixo indicada est submetida a um momento fletor solicitante de clculo igual a 150 kNm.

Mantendo-se as condies de ductilidade e sabendo-se que a viga ter:

armadura longitudinal inferior constituda por 3 barras de

16 mm;


5 mm;

dimenso mxima do agregado igual a 25 mm; e

cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm;

pede-se determinar a altura mnima da viga.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



(g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15).

Observao: no considerar a resistncia do porta-estribo (armadura

longitudinal superior).

EX. 5.6

Uma viga de seo retangular de 20 cm x 60 cm, altura til correspondente a 55 cm, foi ensaiada flexo simples

em laboratrio at atingir o Estado Limite ltimo. Avaliou-se, ao final do ensaio, que o brao de alavanca z, entre

a resultante de compresso no concreto Rcd e a resultante de trao na armadura Rsd, deveria ser de 46,2 cm.

Tendo em vista que a viga s possua armadura longitudinal de trao As, pede-se:

o valor das deformaes no bordo mais comprimido e na armadura tracionada;

o domnio em que viga se encontrava no instante da ruptura;

a intensidade do momento fletor de clculo que levou a viga ruptura;

5 m

gk = 15 kN/m

qk = 5 kN/m

54 cm

18 cm

As 6 cm

h

18 cm

5-30

a armadura longitudinal de trao da viga correspondente situao de runa;

o tipo de ruptura (dtil ou frgil) que a pea apresentou (justificar).

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



EX. 5.7

Admitindo-se que a distribuio de tenses na regio de concreto comprimido seja triangular e que:

cd2

w

Sdc

x

SdRd

fdb

M

d

x

MM

determinar, para vigas de seo retangular, c como funo nica de x.

EX. 5.8

Aps realizar o dimensionamento a flexo simples de uma viga de concreto armado, de base 20 cm e altura til

70 cm, o engenheiro descobriu que no fora considerado no clculo um dos trs coeficientes de segurana exigidos

0,5 y

Rcd

s

MSd

x

c

c

Rsd

MRd

d

bw

As

z h

y = 0,8 x

Rcd

As

s

MSd

x

c

c = 0,85 fcd

Rsd

MRd d

bw

z h

5-31

pela ABNT NBR-6118 (g, c, ou s). Tendo em vista que, sem a considerao adequada de um destes coeficientes

de segurana, obteve-se para armadura de trao As o valor correspondente a 11,566 cm2, pede-se:

qual dos trs coeficientes foi desconsiderado no clculo da armadura As (tomado igual a 1,0); e

qual o valor correto da rea da armadura tracionada.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:


estado limite ltimo, combinaes normais, edificao tipo 2 (g = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15).

EX. 5.9

Mantidas as condies de dutilidade, determinar as armaduras longitudinais necessrias para a viga abaixo

representada. A viga ter:

armadura longitudinal constituda por barras de 16 mm;

armadura transversal (estribos) constituda por barras de 5 mm;



Ao final dos clculos, apresentar um corte longitudinal esquemtico indicando as posies das armaduras

positivas e negativas.

Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:



8 m

gk = 30 kN/m

As

70 cm

20 cm

5-32

EX. 5.10

Mantidas as condies de dutilidade, determinar o mximo valor da carga gk que a viga abaixo representada

pode suportar. A viga ter:

armadura longitudinal inferior, no meio do vo, constituda por 3 barras de 16 mm; e

armadura longitudinal superior, nos apoios, constituda por 5 barras de 10 mm.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50;

d = h 6 cm.

Considerar:



Observao: no considerar a resistncia do porta-estribo (armadura de compresso).

EX. 5.11

Mantidas as condies de dutilidade, determinar a mxima carga acidental qk que a viga abaixo representada


armadura longitudinal inferior constituda por 3 barras de 20 mm;

armadura transversal (estribos) constituda por barras de 6,3 mm;



Dados:

70 cm

20 cm

1,5 m 6 m

gk = 20 kN/m

qk = 10 kN/m

20 cm

meio do

vo

20 cm

60

cm

apoios

2 m 6 m 2 m

gk

5-33

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:



Observao: no considerar a resistncia do porta-estribo (armadura longitudinal superior).

EX. 5.12

Determinar a menor altura possvel para que a viga abaixo representada mantenha as condies de ductilidade,

sem a utilizao de armadura de compresso. Para esta condio, defina sua armadura longitudinal.

Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:



peso prprio includo na carga gk.

EX. 5.13

Mantidas as condies de ductilidade, determinar a mxima carga permanente Gk que a viga abaixo

representada pode suportar. A viga ter:





6 m

gk = 10 kN/m

qk

60 cm

20 cm

5 m

gk = 10 kN/m

qk = 20 kN/m

d

15 cm

As 6 cm

5-34

Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:



Observao: no considerar a resistncia do porta estribo (armadura longitudinal superior).

EX. 5.14

Determinar, para a viga abaixo representada:

a menor altura possvel, respeitando as condies de dutilidade e sem a utilizao de armadura de

compresso; e

as armaduras positivas e negativas da viga, para a altura definida no item a.

A viga ter:





Ao final dos clculos, apresentar um corte longitudinal esquemtico indicando as posies das armaduras

positivas e negativas.

Dados:

concreto: C30;

ao: CA-50.

Considerar:


estado limite ltimo, combinaes normais, pontes em geral (g = 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15).

peso prprio desprezvel.

70 cm

20 cm 3 m

Gk

2 m

gk = 10 kN/m

qk = 5 kN/m

5-35

EX. 5.15

Determinar o menor valor possvel para a largura (bw) da viga de seo retangular abaixo representada de tal

forma que sejam mantidas as condies de dutilidade. No meio do vo e no apoio do balano somente devero

existir armaduras de trao para resistir aos momentos fletores. Para a largura mnima determinada, definir as

armaduras no meio do vo e no apoio do balano. Apresentar um corte longitudinal da viga com o posicionamento

das armaduras calculadas. A viga ter:





Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:



peso prprio includo na carga gk.

Observao: a carga concentrada Qk acidental, o que vale dizer que ela pode atuar ou no.

EX. 5.16

Mantidas as condies de dutilidade, determinar o afastamento mximo que as cargas Gk podem ter dos apoios.

A viga ter:

armadura longitudinal inferior constituda por 5 barras de 12,5 mm;



h

30 cm

Qk = 100 kN

3 m 8 m

70 cm

bw

2 m 8 m

gk = 30 kN/m

Qk = 50 kN

5-36


Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



EX. 5.17

Mantidas as condies de dutilidade, determinar o mximo valor da carga mvel Qk que a viga abaixo

representada pode suportar. A viga ter:

armadura longitudinal inferior, no meio do vo, constituda por 3 barras de 16 mm;

armadura longitudinal superior, nos apoios, constituda por 5 barras de 12,5 mm;




Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



Observao: no considerar a resistncia do porta-estribo.

55 cm

18 cm

As a

5 m

Gk = 40 kN

a

gk = 40 kN/m

Gk = 40 kN

5-37

EX. 5.18

Para a viga abaixo representada, determinar:

a menor seo transversal possvel para esta viga de tal forma que sejam mantidas as condies de

dutilidade sem o uso de armadura de compresso;

a armadura necessria para o mximo momento positivo;

a armadura necessria para o mximo momento negativo; e

a distncia, em relao ao apoio A, onde a armadura necessria para o momento positivo correspondesse

a 2 barras de 16 mm.

A viga ter:




cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm; e

altura til (d) igual a 4 vezes a largura da base (bw).

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50;

Considerar:



EX. 5.19

O carrinho de cargas indicado na figura abaixo suporta um carregamento centrado de 200 kN. Tendo em vista

que a definio da estrutura suporte (viga AB) dever ser feita para o carrinho na posio CD, pede-se:

1,5 m 4,0 m 1,5 m

gk = 10 kN/m

Qk

20 cm 20 cm 6

0 c

m

meio do

vo apoios

h

bw

B A

2 m 6 m

gk = 40 kN/m

5-38

a menor altura possvel para a viga AB de tal forma que na seo C no exista armadura longitudinal de

compresso e sejam mantidas as condies de dutilidade; e

as armaduras necessrias nas sees C e D da viga suporte, definidas a partir da altura estabelecida no

item a.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:


estado limite ltimo, combinaes normais, edificao tipo 2 (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15);

d = h 5 cm.

Observaes:

ajustar o valor de h para mltiplo de 5 cm;

considerar nulos os pesos prprios da viga e do carrinho.

EX. 5.20

Para o estado de deformao abaixo indicado, determinar:

o valor limite para a carga Qk (valor caracterstico);

a armadura necessria (cm2) para a condio estabelecida no item a.

Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:



Observao: peso prprio da viga includo na carga gk.

h

20 cm

seo transversal

200 kN carrinho

2,4 m

B A

C D

1,6 m

4,0 m

viga

5-39

EX. 5.21

Duas vigas de concreto armado de sees retangulares iguais, mesmo vo, apoios idnticos, materiais de mesma

resistncia, porm com taxas longitudinais de armadura desiguais, foram submetidas, num ensaio de

laboratrio, ao mesmo tipo de carregamento, como ilustrado na figura abaixo. Esse carregamento consistiu em

duas cargas concentradas, simtricas, aplicadas simultaneamente, cuja intensidade variou de zero at a carga de

ruptura.

Antes da ruptura, observou-se que a Viga 01 deu sinais evidentes de esgotamento da sua capacidade resistente,

apresentando um quadro de fissurao intenso, enquanto que a Viga 02 no apresentou a mesma sinalizao e

rompeu bruscamente, sem aviso prvio. Observou-se, tambm, que a carga de ruptura da Viga 02 foi 47,7%

maior que a da Viga 01.

Sabendo-se que a Viga 01 foi armada com 5 barras de 16 mm, determinar:

a carga de ruptura (de clculo) da Viga 01;

a carga de ruptura (de clculo) da Viga 02;

a armadura longitudinal de trao (As) usada na Viga 02.

Dados:

concreto: c,rup = fcd = 17,86 MPa;

ao: s,rup = fyd = 43,5 MPa;

bw = 20 cm;

d = 45 cm;

h = 50 cm.

Observao: desconsiderar o prprio da viga.

10

2,5

20 cm

5 cm

45 cm

MSd

As

estado de deformao na seo M

(posio da carga Qk)

M 1 m 2 m 1 m

Qk

gk = 20 kN/m

2 m

5-40

EX. 5.22

Mantidas as condies de dutilidade, determinar, para a viga abaixo representada:

a menor altura (h) possvel;

as armaduras necessrias nas sees A, B e C.

Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:


viga de seo retangular, sem armadura de compresso;


bw = 15 cm;

h = d + 5 cm

Observaes:

peso prprio da viga includo na carga gk;

adotar para h valor mltiplo de 5 cm;

considerar carregamentos permanentes (valores caractersticos).

EX. 5.23

P Prupt

esmagamento

do concreto

P Prupt

2 m 4 m 2 m

VIGA 02

As

P Prupt

VIGA 01

P Prupt

2 m 4 m 2 m

fissurao

intensa

5 16

h

bw A B

3 m 3 m 3 m 3 m

Gk= 120 kN

C

gk = 40 kN/m

5-41

Mantidas as condies de dutilidade, determinar, para a viga de altura varivel abaixo representada, os menores

valores possveis para h1 e h2. Para estes valores determinados, definir as armaduras longitudinais (positiva e

negativa) para a seo D. Apresentar uma vista da viga mostrando as posies das armaduras calculadas.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-25.

Considerar:


viga de seo retangular, sem armadura de compresso;


bw = 20 cm;

hi = di + 5 cm

Observaes:


adotar para h valor mltiplo de 5 cm;

considerar a viga como simplesmente apoiada nos pilares.

Seo A B C D E F G

x (m) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

Mgk (kNm) 0,0 -5,0 -20,0 0,0 10,0 10,0 0,0

Mqk (kNm) (-) 0,0 -100,0 -200,0 -150,0 -100,0 -50,0 0,0

Mqk (kNm) (+) 0,0 0,0 -0,0 75,0 100,0 75,0 0,0

h1

3 m 1 m 1 m

Qk = 100 kN

1 m

gk = 10 kN/m

A G

h1

B C D

h2

x

5-42

MSd (kNm) (-) 0,0 -147,0 -308,0 -210,0 -130,0 -60,0 0,0

MSd (kNm) (+) 0,0 -5,0 -20,0 105,0 154,0 119,0 0,0

EX. 5.24

Mantidas as condies de dutilidade, determinar, para a viga de seo transversal abaixo indicada, o mximo

momento fletor solicitante de clculo que ela pode suportar. A viga ter:

armadura longitudinal de compresso (superior) constituda

por 2 barras de 12,5 mm;

armadura longitudinal de trao (inferior) constituda por 3

barras de 20 mm;


6,3 mm;



Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:


estado limite ltimo, combinaes normais, edificao tipo 2 (g

= 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15).

EX. 5.25

Para a seo de viga abaixo indicada, verificar:

o momento fletor solicitante de clculo que corresponderia a

condio s = 7; as condies de dutilidade para as condies estabelecidas no

item a.

A viga ter:

armadura longitudinal de compresso (superior) constituda

por 2 barras de 10 mm;

armadura longitudinal de trao (inferior) constituda por 5

barras de 16 mm;


5 mm;



Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:


estado limite ltimo, combinaes normais, edificao tipo 1 (g

= 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15).

EX. 5.26

Mantidas as condies de dutilidade, determinar, para a viga abaixo representada:

65 cm

25 cm

70 cm

20 cm

5-43

as armaduras longitudinais de trao e compresso (As e As);

a armadura longitudinal de trao (As), considerando nula a armadura de compresso;

os valores das tenses de trao e compresso nas armaduras definidas no item a;

o valor da tenso de trao na armadura definida no item b.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



Observao: considerar, para o item b, viga superarmada.

EX. 5.27

A seo transversal da viga abaixo representada est sujeita a um momento fletor solicitante de clculo igual a

250 kNm e tem uma relao entre as armaduras de trao e de compresso tal que:

%30)AA(

A'ss

's

Com base na condio acima, determine:

a) a posio da linha neutra;

b) a deformao da fibra de concreto mais comprimida;

c) o alongamento da armadura tracionada;

d) o encurtamento da armadura comprimida;

e) a tenso atuante na armadura tracionada;

f) a tenso atuante na armadura comprimida;

g) a rea da seo transversal da armadura tracionada;

h) a rea da seo transversal da armadura comprimida;

i) as condies de dutilidade.

Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:


6 m

gk = 30 kN/m As

40 cm

20 cm

As 6 cm

4 cm

As

40 cm

25 cm

As 6 cm

4 cm

5-44


EX. 5.28



armadura longitudinal de compresso (superior) constituda por 2 barras de 12,5 mm;

armadura longitudinal de trao (inferior) constituda por 5 barras de 16 mm;




Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:



EX. 5.29

Para a viga abaixo esquematizada determinar o mximo vo que esta pode possuir, mantidas as condies de

dutilidade. A viga ter:

no meio do vo:

o armadura longitudinal de compresso (superior) constituda por 2 barras de 12,5 mm;

o armadura longitudinal de trao (inferior) constituda por 3 barras de 16 mm;

nos apoios:

o armadura longitudinal de trao (superior) constituda por 7 barras de 12,5 mm;

o armadura longitudinal de compresso (inferior) constituda por 2 barras de 16 mm;

o armadura transversal (estribos) constituda por barras de 5 mm;

o dimenso mxima do agregado igual a 19 mm;

o cobrimento nominal das armaduras igual a 3 cm.

Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:


6 m

gk = 10 kN/m

qk

60 cm

20 cm

5-45


EX. 5.30

Um reservatrio suportado pelas vigas V1 e V2 de seo transversal 20 cm x 60 cm, tal como indicado na figura

abaixo. O reservatrio exerce sobre as vigas igual carregamento, uniformemente distribudo, no trecho central

das vigas (4 m). Cada metro cbico de material armazenado no reservatrio pesa 10 kN. Mantidas as condies

de dutilidade, determinar qual a mxima altura h permitida para o armazenamento do material. As vigas tero:

armadura longitudinal de compresso (superior) constituda por 2 barras de 12,5 mm;

armadura longitudinal de trao (inferior) constituda por 3 barras de 25 mm;




Dados:

concreto:

classe: C20;

peso especfico: 25 kN/m3.

ao: CA-50.

Considerar:


nulo o peso prprio do reservatrio;


/3 /3

gk = 10 kN/m

Qk = 25 kN

18 cm 18 cm

70

cm

apoios meio do

vo

5-46

EX. 5.31

A viga abaixo indicada teve sua armadura positiva dimensionada e detalhada com cinco barras de 12,5 mm

(2 longas + 3 curtas). Dessas cinco barras, duas foram prolongadas at a extremidade do balano constituindo-se,

portanto, na armadura de compresso para a seo do apoio A (apoio do balano). Nessas condies, e

mantendo-se as condies de ductilidade, pede-se determinar:

a) a armadura de trao para a seo do apoio do balano (apoio A), considerando a armadura de

compresso j existente (2 barras de 12,5 mm);

b) o valor da carga Q2k (valor caracterstico) que determinou as 5 barras de 12,5 mm existente na seo C.

Dados:

concreto:C20;

ao: CA-50.

Considerar:



bw = 20 cm;

d = 55 cm;

d/d = 0,075.

Observao: considerar as cargas acidentais Q1k e Q2k como independentes (podem atuar simultaneamente, ou

no).

4 m

h

V1 V2

4 m

4 m

4 m

20 cm

60 cm

2 12,5

3 25

seo transversal no

meio do vo

(vigas V1 e V2)

5-47

EX. 5.32

A viga abaixo representada, construda com concreto classe C20 e ao CA-50, tem seo retangular com 20 cm de

base e 55 cm de altura. Considerando, no estado limite ltimo, que:

a distncia entre a fora resistente de clculo atuante na regio de concreto comprimido e a fora

resistente de clculo atuante na armadura tracionada, corresponde a 40 cm; e

a armadura comprimida constituda por 2 barras de 10 mm,

pede-se:

a) o domnio de deformao, o encurtamento da fibra de concreto mais comprimido e o alongamento da

armadura mais tracionada, correspondente a este ELU;

b) a intensidade do momento fletor resistente de clculo, correspondente a este ELU;

c) a rea seo transversal da armadura longitudinal tracionada, correspondente a este ELU;

d) o tipo de runa possvel (frgil ou dctil), correspondente a este ELU (justificar a resposta).

Considerar:


combinaes normais, edificao tipo 2 (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15).

EX. 5.33

Determinar, para a viga abaixo representada, o mximo valor que a carga acidental Qk (mvel) pode assumir,

mantidas as condies de ductilidade. A viga ter 25 cm de largura e 70 cm de altura.

gk = 35 kN/m

Q1k = 100 kN

Q2k

A

B

C

1,2 m 3,0 m 3,0 m

2 12,5 3 12,5 60 cm

s

c

20 cm

5 cm

45 cm

5 cm

MSd

5-48

Dados:

concreto:C20;

ao: CA-50.

Considerar:



d = 63 cm;

d = 5 cm.

EX. 5.34

Mantendo as condies de dutilidade, determinar as armaduras longitudinais necessrias nas sees B (meio do

vo) e C (apoio da direita) da viga de seo retangular abaixo representada. O carregamento Qk corresponde a

uma carga concentrada mvel equivalente a 135 kN (valor caracterstico). Apresentar, ao final dos clculos, uma

vista longitudinal da viga mostrando a posio das armaduras calculadas.

Dados:

concreto:C20;

ao: CA-50.

Considerar:



bw = 15 cm;

h = 50 cm;

d = 45 cm;

d/d = 0,10.

armadura no meio

do vo AB

5 20 mm

2 20 mm

armadura nos apoios

A e B

2 20 mm

5 20 mm

2 m 6 m 2 m

gk = 50 kN/m

Qk

A B

5-49

Observao: considerar desprezvel o peso prprio da viga.

EX. 5.35

Determinar, para a viga abaixo representada:

a) a menor altura h (nmero mltiplo de 5 cm), necessria para que a viga esteja na condio limite de

ductilidade nas sees B e C, sem armadura de compresso; e

b) as armaduras longitudinais necessrias na seo do meio do vo AD, mantida a altura da viga

determinada no item anterior.

Dados:

concreto: C30;

ao: CA-50.

Considerar:



bw = 20 cm;

d = h - 5 cm;

d/d = 0,10.


EX. 5.36

Para a viga abaixo esquematizada determinar o mximo vo que esta pode possuir, mantida as condies de

ductilidade. A viga ter:

Qk

A B

3,0 m 3,0 m 1,5 m

C D

Qk = 40 kN Qk = 40 kN

4 m 2 m

gk = 20 kN/m

A

2 m

B C D

5-50

no meio do vo:

o armadura longitudinal de compresso (superior) constituda por 2 barras de 10 mm;

o armadura longitudinal de trao (inferior) constituda por 3 barras de 16 mm;

nos apoios:

o armadura longitudinal de trao (superior) constituda por 3 barras de 16 mm;

o armadura longitudinal de compresso (inferior) constituda por 2 barras de 10 mm.

Dados:

concreto:C20;

ao: CA-50.

Considerar:



d = 40 cm;

d = 4 cm.


EX. 5.37

Mantidas as condies de dutilidade, determinar, para a viga abaixo representada, o mximo momento fletor

solicitante de clculo que a seo pode resistir. A viga ter:

armadura longitudinal inferior constituda por 7 barras de

20 mm;


6,3 mm;



Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:



(g = 1,35, q = 1,5, c = 1,4 e s = 1,15).

EX. 5.38

Determinar a largura da mesa colaborante (seo T) para a viga V4 indicada na figura. As lajes tm 10 cm de

espessura e as vigas tm dimenses 15 cm x 40 cm.

2,828

gk = 50 kN/m

2,828 = 8

18 cm 18 cm

44

cm

meio do

vo apoios

92 cm

100 cm

25 cm

8 cm

5-51

EX. 5.39







Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50.

Considerar:



150

cm

280 cm 350 cm

L1 L2

L3 L4

400

cm

V1 (15x40)

V2 (15x40)

V3

(1

5x4

0)

V4

(1

5x4

0)

V5

(1

5x4

0)

PLANTA DE FORMAS

P1 P2 P3

P5 P6 P4

75 cm

120 cm

20 cm

10 cm

6 m

gk = 10 kN/m

qk

5-52

EX. 5.40

Determinar os maiores comprimentos possveis dos vos 1 (AB = CD) e 2 (BC) da viga da figura abaixo

considerando que o dimensionamento das sees transversais ser feito no domnio 2 e sem armadura de

compresso. Para estes valores definidos de 1 e 2, calcular as armaduras longitudinais nas sees crticas do

balano AB (mximo momento fletor negativo) e do vo BC (mximo momento fletor positivo). Mostrar,

esquematicamente, o posicionamento das armaduras (positiva e negativa) em uma vista longitudinal da viga.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



Observaes:

determinar o vo 2 somente aps a definio do vo 1, ou seja, definir 2,max como funo de 1,max;

ajustar os valores de 1 e 2 para mltiplos de 5 cm (arredondar para baixo);

considerar o peso prprio da viga includo na carga gk ;

considerar, para a altura til da viga, a expresso d = h - 5 cm vlida para momentos positivos e

negativos;

considerar bf = 60 cm, admitindo como verificados os valores b1, b2, b3 e b4.

EX. 5.41

Determinar as armaduras positiva e negativa da viga abaixo indicada. Apresentar, ao final dos clculos, uma

vista longitudinal da viga mostrando as posies das armaduras determinadas com os respectivos valores de As

(cm2).

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



d = h 5 cm.

60

25

105

20 seo transversal

cm

1 2 1

gk = 30 kN/m

B C A D

5-53

Observaes:


viga isolada a ser considerada como seo T, onde possvel;

obrigatria a verificao do valor de bf.

EX. 5.42

A viga da figura abaixo representada ter sua armadura de flexo positiva (inferior) detalhada com barras de

16 mm. Trs destas barras (3 16) sero prolongadas at a extremidade do balano, constituindo-se, ento, em

armadura de compresso para os momentos fletores negativos atuantes neste balano. Nestas condies, e

mantidas as condies de dutilidade, determinar:

a) a armadura de flexo necessria para o apoio B, considerando, obrigatoriamente, os 3 16 (inferiores)

existentes neste apoio;

b) o valor mnimo de bf necessrio para que a seo transversal correspondente ao meio do vo AB no

necessite de armadura de compresso, considerando, ainda, que a armadura de trao nesta seo

resulte igual a armadura de trao calculada para o momento negativo do apoio B (item a).

Dados:

concreto:C20;

ao: CA-50.

Considerar:


altura til equivalente a 90% da altura total;

posies relativas das armaduras superiores iguais as das armaduras inferiores;

nulo o peso prprio do reservatrio;


2 m 5,657 m 2 m

gk = 70 kN/m

5,657 = 4 x 2 20 cm

70 cm

10 cm

60 cm

14

bf

20

60

seo transversal

cm

A B

2 m 7 m

Gk = 50 kN

gk = 50 kN/m

5-54

EX. 5.43

Mantidas as condies de dutilidade, determinar as armaduras necessrias para o momento fletor positivo e para

o momento fletor negativo da viga V2 abaixo representada. Apresentar, ao final dos clculos, um corte

longitudinal da viga mostrando as posies das armaduras calculadas. A viga ter:





Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



peso prprio da viga includo na carga gk.

EX. 5.44

Determinar as armaduras positiva e negativa da viga isolada abaixo indicada, de tal forma que sejam mantidas

as condies de dutilidade. A viga ter:

armadura longitudinal constituda por barras de 12,5 mm;




Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50;

seo transversal:

o bf = 40 cm;

08

42

20 20 20 350 350

V1 V2 V3

laje

dimenses em cm

1,5 m 6,0 m 1,5 m

gk = 30 kN/m

carregamento da V2

5-55

o bw = 15 cm;

o h = 65 cm;

o hf = 8 cm.

Considerar:



carregamento constitudo por cargas permanentes (valores caractersticos);

peso prprio da viga desprezvel.

Observaes:

verificar o valor de bf (viga isolada);

apresentar, ao final dos clculos, uma vista longitudinal da viga mostrando, esquematicamente, o

posicionamento das armaduras positivas e negativas (indicar os valores, em cm2, das armaduras

calculadas).

EX. 5.45

Determinar a menor altura possvel para a viga V2 abaixo indicada. No dever ser usada armadura de

compresso e devero ser mantidas as condies de dutilidade. A viga ter:

armadura longitudinal inferior constituda por barras de 16 mm;




Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



peso prprio da viga V2 includo na carga gk.

hf

bw

bf

h

3 m 3 m 2 m 3 m

50 kN 50 kN

100 kN 100 kN

3 m

5-56

EX. 5.46

Mantidas as condies de ductilidade, determinar as armaduras positiva e negativa da viga V1 abaixo indicada.

A viga ter:





Dados:

concreto: C30;

ao: CA-50.

Considerar:




P3 P4 2 m 7,8 m

gk = 22 kN/m

qk = 8 kNm

10

V5

B

V4

A

L1

L3

L2 V4

B

V5

B

P1 P2

P3 P4

V2B V2A

V1B V1A

40

40

400

40 740 40 180

200

0

L4

V3B V3A

P5 P6

40

5-57

EX. 5.47

O projeto de uma pea pr-moldada deve considerar, alm das condies de trabalho, aquelas decorrentes do

processo de montagem. Num desses casos, adotou-se uma viga de seo T como mostrado abaixo. Mantidas as

condies de dutilidade e sabendo-se que a viga dever suportar uma carga acidental uniformemente distribuda

(em todo vo) de 10 kN/m (valor caracterstico), pede-se determinar:

a) a armadura longitudinal necessria para a condio de montagem;

b) a armadura longitudinal necessria para a condio de trabalho.

Apresentar, ao final dos clculos, uma vista longitudinal mostrando as posies das armaduras estabelecidas nos

itens a e b.

Dados:

concreto:C20;

ao: CA-50.

Considerar:



peso especfico do concreto igual a 25 kN/m3;

d = h 5 cm (momentos positivos e negativos).

Observaes:

verificar o valor de bf (viga isolada);

no considerar armadura longitudinal de compresso;

na montagem, considerar somente ao prprio da viga.

2 m 8 m

gk = 25 kN/m

qk = 15 kNm

8

60 V1 V2

bf

25 450 150 25

5-58

EX. 5.48

Mantidas as condies de ductilidade, determinar, para a viga isolada de seo transversal constante, abaixo

representada, o mximo valor que a carga acidental Qk (mvel) pode assumir.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50;

seo transversal:

o bf = 120 cm;

o bw = 20 cm;

o h = 70 cm;

o hf = 8 cm.

Considerar:



d = h 5 cm (momentos positivo e negativo).

Observaes:

verificar o valor de bf (viga isolada); e


20 cm

7 cm

83 cm

20 cm

8 cm

5 m

B

operao de

montagem

condio de

trabalho

C

5 m 4 m

A D

14 m

viga de iamento

5-59

EX. 5.49

Considere que a pea, cuja seo transversal mostrada abaixo, est solicitada apenas por um momento fletor de

clculo MSd. Na condio limite de segurana - estado limite ltimo (MRd = MSd), a linha neutra ficou situada

31,2 cm abaixo da fibra mais comprimida. Nestas condies, e mantidas as condies de dutilidade, pede-se:

a) o valor do momento fletor solicitante de clculo MSd (kNm);

b) o valor da armadura de trao As (cm2) necessria para resistir ao momento fletor MSd.

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



Observao: considerar o valor de bf verificado.

2 20 mm

armadura no meio do vo AB

3 20 mm

armadura nos apoios A e B

Qk

2 m 6 m 2 m

gk = 20 kN/m

A B

s

c

20 cm

5 cm

50 cm

MSd

As

15 cm

60 cm

5-60

EX. 5.50

Mantidas as condies de dutilidade, determinar para a viga V1, de seo transversal constante (seo T), abaixo

representada, o mximo valor que a carga acidental Qk (mvel) pode assumir.

Dados:

concreto: C25;

ao: CA-50;

armadura longitudinal inferior: 7 25 mm (34,36 cm2).

Considerar:



d = h 5 cm (momentos positivo e negativo).


EX. 5.51

Mantidas as condies de ductilidade, determinar, para a viga V2 abaixo representada:

a) o mximo valor possvel para bf;

b) o mximo valor possvel para o carregamento qk, admitindo-se que a altura da linha neutra, na seo

transversal (seo T) de mxima solicitao, seja igual 1,25 hf; e

c) a armadura longitudinal necessria para as condies estabelecidas no item b.

Dados:

Qk

6 m

gk = 20 kN/m

A B carregamento da V1

8

85 V1 V2

bf

30 450 150 30

34,36 cm2

seo transversal do

conjunto lajes/vigas

5-61

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



d = h 5 cm.


EX. 5.52

Mantidas as condies de dutilidade, determinar, para a viga isolada abaixo indicada, o maior valor possvel para

a carga acidental mvel Qk (valor caracterstico).

Dados:

concreto: C20;

ao: CA-50.

Considerar:



d = 80 cm;

d = 5 cm;

P4 P3

8 m

gk = 20 kN/m

qk

55

8

V5

B

V4

A

L1 V4

B

V5

B

P1 P2

P3 P4

V2 (20 x 55)

V1

20

20

400

20 780 20

200

0

L2

V3

P5 P6

20

dim

ens

es e

m c

m

5-62

peso prprio da viga igual a 5,357 kN/m (no mostrado na figura).

Observao: admitir, na determinao de bf, b3 = b4.

EX. 5.53

A figura abaixo representa a planta de formas de uma escola. Cada laje corresponde a uma sala de aula. Todas

as vigas tm seo transversal de 25 cm x 70 cm, todos os pilares tm seo de 25 cm x 50 cm e todas as lajes tm

espessura igual a 12 cm. Mantidas as condies de dutilidade, determinar as armaduras longitudinais

necessrias para as vigas V04 e V05, levando-se em considerao, se possvel, a colaborao do painel de lajes.

Dados:

concreto:C20;

ao: CA-50.

Considerar:



d = h 5 cm;

vo de clculo das vigas igual distncia entre os eixos dos pilares;

carregamento uniformemente distribudo nas vigas V04 e V05, constitudo de:

peso prprio de cada viga: 5 kN/m;

reao de uma laje em cada viga: 15 kN/m;

peso de parede sobre cada viga: 15 kN/m.

Qk

2 m 8 m 2 m

A B C D

seo transversal

meio do vo

25 cm

75 cm

10 cm

60 cm

3 20 mm

seo transversal

apoios

25 cm

75 cm

10 cm

60 cm

2 10 mm

4 16 mm

5-63

25

800

70

CORTE A-B

(dimenses em cm)

12

25 25

400

25

400

25

400

P08 P05 P06

A B

V01 P01

P02

P03

L01

P04

L02 L03

V03 V04 V05

V06

25 P07

V02

flexão

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