cap.4-flexão pura

Mecânica dos MateriaisPr

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Capítulo 4

Flexão Pura

Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)Pr

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Flexão Pura - Sumário Cap. 4

Flexão PuraFlexão Pura em Membros SimétricosDeformações devidas à FlexãoPropriedades duma secção rectaFlexão em Membros com Diversos Vigas de Betão ReforçadoConcentração de TensõesCarregamento AssimétricoExercícios ResolvidosExercícios Propostos


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Flexão Pura Cap. 4

Flexão Pura: Membros prismáticos sujeitos a iguais e opostos momentos flectores actuando no mesmo plano longitudinal

400 N

0,3 m 0,3 m0,7 m

400 N 400 N

400 N

M = 120 NmM = 120 Nm


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Outros Tipos de Carregamento Cap. 4

• Princípio da Sobreposição: A tensão normal devida à flexão pura pode ser combinada com a tensão normal devida ao esforço axial e tensão de corte devida ao esforço de corte, para se achar o estado total de tensão.

• Carregamento Transverso: Cargas transversa, concentradas ou distribuídas que produzem esforços internos equivalentes a uma força de corte e a um momento

• Carregamento Excêntrico: Carregamento axial que não passa pelo centro geométrico da secção e que produz forças equivalentes a uma força axial e a um momento

P=200N

P=200N

P=200N

P=200N

M=25Nm

0,125m 0,125m


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Flexão Pura – Simetria de Esforço Cap. 4

∫ =−=∫ ==∫ ==

MdAyM

dAzMdAF

xz

xy

xx

σ

σσ

00

• Estes pressupostos podem ser aplicados ao somatório das forças e dos momentos internos em um qualquer elemento da secção.

• As forças internas em qualquer secção recta são equivalentes a um momento. Os dois momentos opostos são o momento flector.

• Da estática, o binário M resulta de duas forças iguais e opostas.

• O somatório das forças em qualquer direcção é zero.

• O momento é o mesmo em relação a qualquer eixo perpendicular ao seu plano.


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Flexão Pura - Deformações Cap. 4

• Flecte uniformemente formando um arco circular

• A secção recta mantêm-se plana e e a sua direcção passa pelo centro do arco

• O comprimento da superfície superior diminui e o da superfície inferior aumenta

• Deve existir uma superfície neutra paralela às superfícies superior e inferior e em relação às quais a distância não varia

• As tensões e deformações são negativas (compressão) acima da superfície neutra, e positivas (tracção) abaixo da superfície neutra

Flexão Pura numa barra simétrica com plano de simetria:

• A barra mantêm-se simétrica

a) Secção vertical longitudinal(plano de simetria)

b) Secção horizontal longitudinal


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Deformação Devida à Flexão Cap. 4

Considere uma barra de comprimento L.

Depois de flectir o comprimento da superfície neutra mantêm o comprimento. Noutras superfícies,

( )( )

(a deformaçao varia linearmente)

or

x

mm

x m

L y

L L y yy y

Lc cρ

yc

ρ θ

δ ρ θ ρθ θδ θε

ρθ ρ

ερ ε

ε ε

′ = −′= − = − − = −

= = − = −

= =

= −Eixo Neutro


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Tensão Devida à Flexão Cap. 4

• Para um material elástico,

(a tensao varia linearmente)

x x m

m

yE Ec

yc

σ ε ε

σ

= = −

= −

• Em equilíbrio estático,

∫

∫∫

−=

−===

dAyc

dAcydAF

m

mxx

σ

σσ

0

0

O momento estático da secção transversal em relação ao eixo neutro deve ser zero. Logo, o eixo neutro deve passar no centro geométrico da secção.

• No equilíbrio estático,

2

Substituindo

x m

m m

m

x m

x

yM y dA y dAc

IM y dAc cMc MI W

yc

MyI

σ σ

σ σ

σ

σ σ

σ

= − = − −

= =

= =

= −

= −

∫ ∫

∫

Superfície Neutra


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Propriedades da Secção Recta da Viga Cap. 4• A máxima tensão normal devida à flexão é,

momento de inercia no plano

modulo de resistencia

mMc MI W

IIWc

σ = =

=

= =

Uma secção recta com maior módulo de resistência terá uma tensão máxima mais baixa

• Considere uma secção recta rectangular,31

312 1 16 62

bhIW bh Ahc h

= = = =

Entre as duas barras com secções rectas com a mesma área, a barra com maior altura será mais resistente à flexão.

A=24cm2

h=8cmh=6cm

b=3cmb=4cm

• As vigas estruturais são projectadas para terem um elevado módulo de resistência.Perfil HPerfil I

L.N.


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Propriedades de Perfis – Norma Europeia Cap. 4


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Deformações na Secção Recta Cap. 4

• Embora as secções rectas se mantenham planas as deformações nos eixos yy e zz não são nulas.

ρννεε

ρννεε yy

xzxy =−==−=

• A expansão acima da superfície neutra e a contracção abaixo da mesma superfície causa uma curvatura chamada de anticlástica.

1 curvatura anticlasticaνρ ρ

= =′

• A deformação devida ao momento flector é quantificada pela curvatura da superfície neutra

EIM

IMc

EcEccmm

=

=== 11 σερ

SuperfícieNeutra

Eixo Neutro dasecção recta


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Problema 4.2 Cap. 4

Uma peça de ferro fundido é solicitada pelo momento flector de 3 kN-m. Sabendo que E = 165 GPa e desprezando o efeito das concordâncias, determine (a) as tensões máximas de tracção e de compressão na peça, (b) o seu raio de curvatura.

SOLUÇÃO:

• Baseado na geometria da secção recta calcula-se o centro geométrico e o momento de inércia.

( )∑ +=∑∑= ′

2dAIIAAyY x

• Aplica-se a expressão da tensão devida a momentos para achar as tensões máximas de tracção e de compressão.

IMc

m =σ

• Calcula-se o raio de curvatura

EIM=

ρ1


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Problema 4.2 Cap. 4SOLUÇÃO:

Baseado na geometria da secção recta calcula-se o centro geométrico e o momento de inércia.

mm 383000

10114 3=×=

∑∑=

AAyY

∑ ×==∑×=××=×

3

3

3

32

101143000104220120030402109050180090201

mm ,mm ,mm Area,

AyA

Ayy

( ) ( )( ) ( )

49-3

2312123

121

231212

m10868 mm10868

18120040301218002090

×=×=

×+×+×+×=

∑ +=∑ +=′

I

dAbhdAIIx


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Problema 4.2 Cap. 4

• Aplica-se a expressão da tensão devida a momentos para achar as tensões máximas de tracção e de compressão.

49

49

mm10868m038.0mkN 3

mm10868m022.0mkN 3

−

−

××⋅−=−=

××⋅==

=

IcM

IcM

IMc

BB

AA

m

σ

σ

σMPa 0.76+=Aσ

MPa 3.131−=Bσ

• Calcula-se o raio de curvatura

( )( )49- m10868GPa 165mkN 3

1

×⋅=

=EIM

ρ

m 7.47

m1095.201 1-3

=

×= −

ρρ

Centro de Curvatura


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Flexão em Membros com Diversos Materiais Cap. 4

• A deformação normal varia linearmente.

ρε y

x −=

• As tensões são dadas por

ρεσ

ρεσ yEEyEE xx

222

111 −==−==

E o eixo neutro deixa de passar pelo centro geométrico da secção.

• As forças elementares na secção são

dAyEdAdFdAyEdAdFρ

σρ

σ 222

111 −==−==

• Considere uma viga de material compósito formada por dois materiais com E1 e E2.

L.N.

( ) ( )1

2112 E

EndAnyEdAynEdF =−=−=ρρ

• Obtem-se uma relação, n,

xx

x

nI

My

σσσσ

σ

==

−=

21

L.N.


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Exemplo 4.3 Cap. 4

SOLUÇÃO:

• Transforme a barra numa secção recta equivalente inteiramente de latão.

• Determine as propriedades da nova secção recta equivalente de latão.

• Calcule a máxima tensão nesta secção transformada. Esta é a tensão correcta nas partes de latão da peça.

• Determine a máxima tensão na porção de aço multiplicando a tensão calculada para o latão pelo racio dos módulos de elasticidade.

A barra é composta por uma união de partes de aço (Es = 200GPa) e latão (Eb = 100 GPa). Determine a tensão máxima no aço e no latão sabendo que a barra está sujeita a flexão pura por um momento M=5KNm.

20mm10mm10mm

75mm

LatãoLatão

Aço


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Exemplo 4.3 Cap. 4

• Determine as propriedades da nova secção recta equivalente de latão.

( )( )331 112 12

6 4

60 75mm

2.109*10TI b h mm

mm

= =

=

SOLUÇÃO:• Transforme a barra numa secção recta

equivalente inteiramente de latão200 2.0100

(20 )*(2.0) 40,0

s

b

T

E GPanE GPa

b mm mm

= = =

= =

• Calcule as tensões máximas( )( )

6 4

5 kNm 37.5 mm88.9 MPa

2.109*10 mmmMcI

σ = = =

( )( )

max

max2.0 88.9 177.8

b m

s mn MPa

σ σ

σ σ

=

= = × =( )( )

max

max

88.9 MPa

177.8 MPab

s

σ

σ

=

=

20mm10mm10mm

75mm

LatãoLatãoAço

10mm10mm 40mm

75mm

C=37,5mm

60mm

Latão

L.N.


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Betão Pré-Esforçado Cap. 4• As vigas de betão sujeitas a momentos são

reforçadas com barras de ferro.

• Para determinar a localização do eixo neutro,( ) ( )

0

022

21 =−+

=−−

dAnxAnxb

xdAnxbx

ss

s

• As barras de ferro suportam o esforço de tracção, abaixo da superfície neutra. Na zona superior à superfície neutra, o cimento suporta os esforços de compressão.

• Na secção transformada a área da secção recta do aço, As, é substituída por uma área equivalentenAs where n = Es/Ec.L.N.

• A tensão normal no aço e no cimento é dada por:

xsxc

x

nI

My

σσσσ

σ

==

−=

L.N.


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Problema 4.4 Cap. 4

SOLUÇÃO:

• Transforme a secção numa secção inteiramente de cimento.

• Determine as novas propriedades geométricas desta nova secção.

• Calcule as tensões máximas no aço e no cimento.Uma lage de chão é reforçada com varões

de aço de 16 mm de diâmetro localizados 25 mm acima da face inferior da lage e com um espaçamento de 125 mm entre eixos. O módulo de elasticidade do betão é de 20 Gpa e o do aço de 200 Gpa. Sabendo que a lage está submetida, em cada metro de largura, a um momento de 12 KNm, determine: a) a tensão máxima no betão e b) a tensão no aço.

100mm

125mm

125mm

125mm125mm

125mm


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Problema 4.4 Cap. 4SOLUÇÃO:• Transforme a secção numa secção inteiramente

de cimento.

( )2 3 24

200 GPa 1020 GPa

10*8 0,016 1,608*10

a

b

s

EnE

nA m mπ −

= = =

= = • Determine as novas propriedades geométricas

desta nova secção.

( )

( )( ) ( )( )

3

3 23 6 413

(1 ) (16.08*10 ) 0,10 0 0.042872

1 0.04287 16.08*10 0.10 0.04287 78.75*10

xm x m x x mm

I cm

−

− −

− − = = = + − =

• Calcule as tensões máximas no aço e no cimento.

1-6 4

2-6 4

(12 kNm) (0.04287 )78.75*10 m(12 kNm) (0.05713 )10

78.75*10 m

b

a

Mc mIMc mmn

I

σ

σ

×= =

×= =

6.53b MPaσ =

87.1a MPaσ =

1m

0,1m

0,1-x

L.N.

nAa=16,08*10-3m2

σb=6,53MPa

σa=87,1MPa


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Concentração de Tensões Cap. 4

As concentrações de tensão podem ocorrer:

• Na vizinhança dos pontos de aplicação das cargas

IMcKm =σ

• Na vizinhança das descontinuidades geométricas


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Cargas Excêntricas num Plano de Simetria Cap. 4

• As tensões devidas a uma carga descentrada são determinadas pela sobreposição das tensões uniformes devidas a uma carga centrada e a uma distribuição linear de tensões devida ao momento flector.

( ) ( )centrada flexaox x x

P MyA I

σ σ σ= +

= −

• Carregamento descentrado

PdMPF

==


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Exemplo 4.07 Cap. 4

Um elo aberto de uma cadeia é obtido flectindo uma barra de aço, de baixo teor em carbono, com 12 mm de diâmetro. Sabendo que a corrente deve suportar uma carga de 800 N, determine a) a tensão máxima de tracção e de compressão na parte rectilinea do elo, b) a distância entre os eixos central e neutro de uma dada secção transversal.

SOLUÇÃO:

• Determinar as cargas equivalentes, centrada e momento flector

• Sobropor a tensão uniforme (carga centrada) com a tensão linear (momento flector).

• Determinar a máxima tensão de tracção e de compressão.

• Encontrar o eixo neutro através da determinação do ponto onde a tensão normal é nula.

800N

800N

15mm

12mm


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Exemplo 4.07 Cap. 4

• Carga centrada equivalente e momento flector

( )( )800

800 0.01512

P NM Pd N m

Nm

== ==

d=15mm

800N

( )22

6 2

0 6 2

0.006

113.1*10800

113.1*107.07

A c m

mP NA m

MPa

π π

σ

−

−

= =

=

= =

=

• Tensão normal devida à carga centrada

7,1MPa

( )

( )( )

441 14 4

9 4

9 4

0.006

1.018 1012 0.006

1.018 1070.7

m

I c m

mNm mMc

I mMPa

π π

σ

−

−

= =

= ×

= =×

=

• Tensão normal devida ao momento flector70,7MPa

-70,7MPa


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Exemplo 4.07 Cap. 4

• Tensões máximas de tracção e de compressão

0

0

7.1 70.7

7.1 70.7

t m

c m

σ σ σ

σ σ σ

= += += −= −

77.8t MPaσ =

63.6c MPaσ = −

• Localização do eixo neutro

( )

0

9 4

0

0

1.018 10 m7.0712

MyPA IP Iy MPaA M Nm

−

= −

×= =

0 0.600y m=

70,7MPa

-70,7MPa-63,6MPa

77,8MPa

7,1MPa


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Problema 4.8 Cap. 4

Determine a máxima força P que pode ser aplicada à peça de ferro fundido representada, sabendo que a tensão admissível de tracção é de 30 Mpa e a tensão admissível de compressão é de 120 Mpa.

SOLUÇÃO:

• Determinar as cargas equivalentes, centrada e momento flector

• Determinar as cargas críticas para as tensões admissiveis de tracção e de compressão.

• A carga admissível é a menor das cargas críticas.

Dados:

49

23

m10868

m038.0m103

−

−

×=

=×=

I

YA

• Sobropor a tensão uniforme (carga centrada) com a tensão linear (momento flector).Secção a-a


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Problema 4.8 Cap. 4• Determinar as cargas equivalentes, centrada e

momento flector0.038 0.010 0.028 mcarga centrada

0.028 momento flector

dPM Pd P

= − === = =

• Determinar cargas críticas p/ tensões admissiveis.

kN6.79MPa1201559

kN6.79MPa30377

=−=−=

==+=

PP

PP

B

A

σ

σ

kN 0.77=P• Máxima carga admissível

• Subrepor as tensões (carga centrada e momento)( )( )

( )( ) PPPI

McAP

PPPI

McAP

AB

AA

155910868

022.0028.0103

37710868

022.0028.0103

93

93

−=×

−×

−=−−=

+=×

+×

−=+−=

−−

−−

σ

σSecção a-a


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Flexão Assimétrica ou Desviada Cap. 4

• Vamos agora considerar situações em que o momento flector não actua num plano de simetria da peça.

• Na generalidade dos casos, o eixo neutro da secção não coincidirá com o eixo de actuação do momento.

• Não é possível admitir que a peça se deforma no plano em que actua o binário.

L.N.

L.N.

L.N.

• O eixo neutro da secção recta coincidia com o eixo do momento

• A análise da flexão pura tem sido limitada a peças com pelo menos um plano de simetria, com binários actuando nesse plano.

• As peças permaneciam simétricas relativamente a esses planos.

L.N.

L.N.L.N.


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Flexão Assimétrica Cap. 4

Determinação das condições em que o eixo neutro de uma secção de forma arbitrária coincide com o eixo de actuação do momento.

•

o vector do binário deve ter a direcção de um eixo geométrico principal

0

ou 0

y x m

yz

yM z dA z dAc

yz dA I produto de inercia

σ σ = = = − = = =

∫ ∫

∫

• A força e o momento resultantes da distribuição de tensões numa porção elementar da secção devem satisfazer as condições

0x y zF M M M momento aplicado= = = =

•

o eixo neutro passa no centro geométrico

0

ou 0

x x myF dA dAc

y dA

σ σ = = = − =

∫ ∫

∫

•

define a distribuição de tensões

ou M

z m

mz

yM M y dAc

σ I I I momento de inerciac

σ = = − −

= = =

∫


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Flexão Assimétrica Cap. 4Subreposição é aplicada para determinar tensões, na maior parte dos casos, resultantes de flexão assimétrica.

• Decompor o vector momento nas componentes Mze My.

θθ sincos MMMM yz ==

• Sobrepor as tensões de cada plano

y

y

z

zx I

yMI

yM +−=σ

• No eixo neutro,( ) ( )

θφ

θθσ

tantan

sincos0

y

z

yzy

y

z

zx

II

zy

IyM

IyM

IyM

IyM

==

+−=+−==

L.N.


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Exemplo 4.08 Cap. 4

Um binário de 200 Nm é aplicado a uma viga de madeira com secção transversal rectangular de 40*90 mm, num plano que forma um ângulo de 30º com a direcção vertical. Determine a) a tensão máxima na viga e b) o ângulo que a superfície neutra forma com o plano horizontal

SOLUÇÃO:

• Decompor o vector momento nas componentes Mz e My (eixos principais), e calcular as tensões

θθ sincos MMMM yz ==

• Sobrepor as tensões de cada plano

y

y

z

zx I

yMI

yM +−=σ

• Determinar o ângulo da eixo neutro.

θφ tantany

zII

zy ==

90mm

40mm

200Nm


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Exemplo 4.08 Cap. 4

• A máxima tensão de tracção ocorre em A

max 1 2 3.21 4.17σ σ σ= + = +max 7.38 MPaσ =

• Decompor o vector momento nas componentes Mz e My (eixos principais), e calcular as tensões

( )( )( )( )( )( )

( )( )

3 6 4112

3 6 4112

1 6 4

200 cos30 173,2

200 sin 30 100

0.040 0.090 2.43*10

0.090 0.040 0.480*10

A maxima tensao de tracçao devida a ocorre ao longo de 173,2 0.045

3.22, 43*10

z

y

z

y

z

z

z

M Nm Nm

M Nm Nm

I m m m

I m m mM AB

Nm mM yI m

σ

−

−

−

= =

= =

= =

= =

= = =

( )( )2 6 4

1

A maxima tensao de tracçao devida a ocorre ao longo de

100 0.0204.17

0.480*10

y

y

y

MPa

M AD

M z Nm mMPa

I mσ −= = =

20mm

45mm

200Nm


epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica

Exemplo 4.08 Cap. 4

• Determinação do ângulo do eixo neutro.6 4

6 4

2.43*10tan tan tan 300.480*10

2.92

z

y

I mI m

φ θ−

−= =

=

º71.1φ =

S.N.

-7,38MPa

7,38MPa

Eixo neutro


epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica

Caso Geral de Carregamento Axial Excêntrico Cap. 4

• Considere o membro linear sujeito a cargas excêntricas, iguais e opostas.

• A carga excêntrica é equivalente a um sistema com uma carga concêntrica e dois momentos.

carga centrada

y z

PM Pa M Pb

== =

• Pelo principio da sobreposição, a distribuição das tensões é

y

y

z

zx I

zMI

yMAP +−=σ

• Se o eixo neutro estiver contido na secção, pode ser encontrado por:

APz

IM

yI

My

y

z

z =−


epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica

Exercícios Resolvidos Cap. 4Dois momentos iguais e opostos de magnitude M=15 kNm são aplicados àviga AB mostrada, com secção em C. Sabendo que o binário provoca uma flexão da viga no plano horizontal, determine as tensões:

a) no ponto C b) no ponto D c) no ponto E


epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica

Exercícios Resolvidos Cap. 4


epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica

Exercícios Resolvidos Cap. 4Um binário de magnitude M é aplicado a uma barra de secção recta quadrada, de lado a. Para cada uma das orientações mostradas, determine a máxima tensão instalada na barra, e a curvatura da barra.

Para um triângulo, o momento de inércia em relação à base é dado por:

Solução


epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica

Exercícios Resolvidos Cap. 4Determine a tensão no ponto A e B,

a) para as cargas mostradas, b) para cargas de 60 kN aplicadas somente nos pontos 1 e 2.

a) Carga centrada

b) Carga descentrada


epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica

Exercícios Resolvidos Cap. 4A porção vertical do grampo da figura consiste num tubo rectangular com uma espessura de 12 mm. Sabendo que o grampo deve ser apertado até que as forças nos mordentes atinjam 6 KN, determine as tensões:

a) no ponto Ab) no ponto B

250mm100mm

100mm

75mm

Secção a-a


epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica

Exercícios Resolvidos Cap. 4Uma força vertical P de magnitude 20 KN é aplicada no ponto C, localizado num eixo de simetria da secção recta da pequena coluna da figura. Sabendo que y=125 mm, determine:

a) a tensão no ponto Ab) a tensão no ponto Bc) a localização do eixo neutro 50mm 50mm

25mm

100mm

50mm

75mm 75mm


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ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica

Exercícios Propostos Cap. 4

Um momento flector de 200 Nm é aplicado no plano A-A, cuja secção está na figura. Qual a máxima tensão instalada nesta viga?

Um veio circular oco de 4cm de diâmetro exterior, 3cm de diâmetro interior, suporta uma carga de 200 N. Sabendo que x=1m calcule a máxima tensão devida à flexão.

Uma place de 1 cm de espessura, de aço (E = 200 GPa) tem as descontinuidades geométricas mostradas. As dimensões são D = 3 cm, d = 1.5 cm, e r = 3 mm. Qual a máxima tensão instalada quando é aplicado um momento flector de 200 Nm?


epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica


O grampo em C é maciço e de secção circular de 2 cm de diâmetro. Qual a máxima tensão na secção A-A quando ele é ajustado até uma força F = 500 N?

A viga em C (C250*45) tem o carregamento indicado. Quando z = 1 m qual a máxima força que a viga pode suportar para que a tensão não ultrapasse 200 MPa?

A viga em I (IPE 300) apresentada na figura é carregada conforme a figura. Quando, x = 0.75 m, F1= 200 N, e F2 = 500 N, qual a máxima tensão instalada na viga?


epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

aD

ep. E

ngª M

ecân

ica


cap.4-flexão pura

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