4 flexão pura

1

RESISTÊNCIA DOS

MATERIAIS CAPITULO

Notas de Aula:

Prof. Gilfran Milfont

As anotações, ábacos, tabelas, fotos e

gráficos contidas neste texto, foram

retiradas dos seguintes livros:

-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-

Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw

Hill-4ª edição-2006

- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.

C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-

2004

-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James

M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003

-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel

C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009

-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,

Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003

4 Flexão Pura

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Flexão Pura

1 - 2

Flexão Pura: quando em uma barra prismática só atuam momentos fletores,

dizemos que esta barra está submetida a flexão pura.

2


Outros Tipos de Carregamento

1 - 3

• Principío da Superposição: a tensão

normal devido à flexão pura pode ser

combinada com a tensão normal devido

à carga axial e com a tensão de

cisalhamento devida à força cortante,

para encontrar o estado real de tensão

em um ponto.

• Carregamento Excêntrico: Carga axial

que não passa através do centróide da

seção, produz forças internas,

equivalentes a uma força axial e um

momento

• Carregamento Transversal: cargas

concentradas ou distribuídas atuando

transversalmente à barra, produzem

forças internas, equivalentes a uma força

cortante e um momento fletor.


Barra Prismática em Flexão Pura

1 - 4

MdAyM

dAzM

dAF

xz

xy

xx

0

0

• Estas exigências podem ser aplicadas para o

elento interno da barra.

• Se as forças internas em qualquer seção é

equivalente a um momento, o momento interno

resistente é igual ao momento externo, que é

chamado de momento fletor.

• A soma das componetes das forças em qualquer

direção deve ser zero

• O momento em relação a qualquer eixo

perpendicular a seu plano, é sempre o mesmo;

o momento em relação a qualquer eixo contido

no seu plano, é nulo.

3


Deformação Devida à Flexão

1 - 5

Vigas com um plano de simetria sob flexão pura:

• A viga permanece simetrica.

• Flete uniformemente formando um arco circular.

• Os planos que contêm as seções transversais

passam pelo centro do arco e permanecem planos

• Para a viga da figura, o comprimento das fibras do

topo diminuem e o comprimento das fibras da base

aumentam.

• Existe um conjunto de fibras, formando uma

superfície, onde não há variação no comprimento

das fibras, chamada superfície neutra.

• As tensões e deformações são negativas

(compressão) acima da superficie neutra e positivas

(tração) acima desta, para o caso em estudo.


Deformação Devida à Flexão

1 - 6

Considere uma viga de comprimento L.

Após a deformação, o comprimento da

superfície neutra permanece igual L.

Para uma outra superfíce, distante de y da

superfície neutra,

y máx x

c e e

máx máx

c ρ

c

e r e ou

( )

( )

x y y

L

y y L L

y L

r rq

q d e

q rq q r d

q r

A deformação máxima ocorre na

superfície da viga:

4


Tensão Devida à Flexão

1 - 7

• Para o material elástico,

y

(a tensão varia linearmente) máx

máx x x

c

y

E c

E

e e

• Para o equilíbrio estático,

dAyc

dAc

ydAF

máx

máxxx

0

0

O momento estático da seção em

relação a linha neutra é nulo. Isto

significa que a linha neutra passa

pelo centróide da seção.

• Para o equilíbrio estático,

c

I dA y

c M

dA c

y y dA y M

máx máx

máx x

2

I

My x

c

y máx x Substituindo: =>

W

M

I

Mc máx

A tensão normal máxima ocorre na

superfície da viga e é dada por:


Propriedades da Seção da Viga

1 - 8

M Mc

Módulo de resistência

Momento de inércia da seção

c

I W

I

W I máx

• Tensão normal máxima devido à flexão:

Quanto maior o módulo de resistência, menor será a

tensão na viga, para um determinado momento fletor

Ah bh h

bh

c

I W

6 1 2

6 1

3

12 1

2

• Considere uma viga de seção retangular,

Entre duas vigas com a mesma área da seção

transversal, a viga com maior momento de

inércia será a mais efetiva em resistir a flexão.

• Perfis altos, com uma relação h/b muito

elevada, estão sujeitos a instabilidade lateral

(flambagem).

5


Exemplo 4.1

mKNmNM

c

IM

I

Mc

mmmbh

I

máxmáx

.3.3000102501030

10360

103601036012

6020

12

6

3

9

494333

1 - 9

20mm

60mm

A barra de aço da figura, está submetida a

dois conjugados iguais e de sentido

contrários, que agem em um plano vertical

de simetria. Determinar o valor do

momento M que provoca escoamento no

material da barra. Adotar σY=250MPa

SOLUÇÃO:


Exemplo 4.2

mmyrcmmr

y 91,609,53

124

3

4 __

)(3,1422,19391,6

09,5

:

)(2,1931076,21070

:

1076,22500

91,6

_

39

3

traçãoMPac

y

serátraçãodetensãoae

compressãoMPaE

HookedeleiaAplicando

c

máx

máxmáx

máx

e

re

1 - 10

Uma barra de alumínio tem seção transversal em forma

de semi-círculo, com raio r=12mm. A barra é flexionada

até se deformar em um arco de circunferência de raio

médio ρ=2,5m. Sabendo-se que a face da curva da barra

fica voltada para o centro de curvatura do arco,

determinar a máxima tensão de tração e de compressão

na barra. Adotar E=200GPa.

SOLUÇÃO: Encontramos inicialmente a ordenada do centróide C:

Como:

6


Deformações em Uma Seção Transversal

1 - 11

• A deformação devido ao momento fletor é

quantificada pela curvatura da superfície neutra,

EI

M

I

Mc

EcEcc

máxmáx

11 e

r

• Embora os planos da seção transversal

permaneçam planos quando submetidos a um

momento fletor, no plano, as deformações não são

nulas,

r

ee

r

ee

yyxzxy

• Expansão acima da Superfície Neutra e contração

abaixo, causam uma curvatura no plano.

curvatura anticlástica 1

r

r


Problema Resolvido 4.2

1 - 12

Uma peça de máquina de ferro

fundido é submetida a um

momento fletor M=3KN.m.

Sabendo que E=165GPa e

desprezando a concentração de

tensões, determine:

(a) a tensão normal máxima de

tração e de compressão,

(b) O raio de curvatura da peça

fletida.

7



1 - 13

SOLUÇÃO:

Baseado na geometria da seção, calcule a

localização do centróide da seção e o seu

momento de inércia.

mm 383000

10114 3

A

AyY

3

3

3

32

101143000

104220120030402

109050180090201

mm ,mm ,mm Area,

AyA

Ayy

( ) ( )( ) ( )

49-3

23

12123

121

23

1212

m10868 mm10868

18120040301218002090

I

dAbhdAIIx

( )

2dAIIA

AyY x



1 - 14

• Aplique a equação para tensão normal devido

à flexão e calcule as tensões:

49

49

mm10868

m038.0mkN 3

mm10868

m022.0mkN 3

I

cM

I

cM

I

Mc

BB

AA

m

MPa 0.76A

MPa 3.131B

• Calcule a curvatura:

( )( )49- m10868GPa 165

mkN 3

1

EI

M

r

m 7,47

m1095,201 1-3

r

r

8


Flexão de Barras Constituídas Por Vários Materiais

1 - 15

• Considere uma viga composta de dois

materiais com E1 e E2.

• A tensão normal varia linearmente.

re

yx

• Logo, a tensão normal em cada material:

re

re

yEE

yEE xx

222

111

• A linha neutra não passa através do

centróide da seção composta.

• As forças elementares na seção são:

dAyE

dAdFdAyE

dAdFr

r

222

111

( )( )

1

2112

E

EndAn

yEdA

ynEdF

rr

• A seção transformada é definida por:

xx

x

n

I

My

21


Exemplo 4.3

1 - 16

Uma barra constituída de aço (Ea = 200GPa) e latão (El =

100GPa) tem a seção indicada na figura. Determine a tensão

normal máxima no aço e no latão, quando a barra fica sujeita

à flexão pura com um momento de 2KN.m.

10mm

5mm

Aço

Latão

5mm

40mm

Latão

40mm

30mm

5mm 5mm

20mm

20mm

SOLUÇÃO:

• Transforme a barra em uma seção equivalente, feita

inteiramente de bronze. 2

100

200

l

a

E

En

A barra transformada terá uma largura, bT=2x10+5+5=30mm

• Calcule o I da seção tranformada:

( )( ) 49123

1213

121 1016010]4030[ mhbI T

• Calcule as tensões máximas:

( )( )MPa

I

Mcm 250

10160

10201029

33

( )

( ) MPan

MPa

ma

ml

5002502

250

max

max

( )

( ) MPa

MPa

máxs

máxl

005

250

9


Vigas de Cocreto Armado

1 - 17

• O concreto suporta bem o esforço de compressão,

mas não o de tração. Por isto, se constroem vigas de

concreto, reforçadas com barras de aço, que serão

responsáveis por suportar os esforços de tração.

• Na seção transformada, a área do aço, Aa , é

substituída pela área equivalente nAa onde:

n = Ea/Ec.

• Para determinação da linha neutra, temos que Q=0

( ) ( )

0

022

21

dAnxAnxb

xdAnx

bx

aa

a

• A tensão normal no aço e no concreto é dada por:

xaxc

x

n

I

My


Concentração de Tensões

1 - 18

Concentrações de tensão ocorrem:

• Nas proximidades dos pontos de

variação brusca de seção. I

McKmáx

• Nas barras com entalhes. K=fator de concentração de tensões

10


Deformações Plásticas

1 - 19

• Para qualquer peça submetida a flexão pura, temos:

máxxc

yee a deformação varia linearmente através da seção.

• Se a peça é feita de um material linearmente elástico,

a linha neutra passa através do centróide da seção

I

Myx e

• Para materiais com a curva tensão-deformação não

linear, a localização do eixo neutro é encontrado,

satisfazendo as equações:

dAyMdAF xxx 0

• Para um elemento com simetria vertical e horizontal

e mesma relação de tensão de tração e de

compressão, o eixo neutro passa pelo centróide da

seção e a relação tensão-deformação pode ser usada

para a distribuição das deformações a partir da

distribuição das tensões.


Deformações Plásticas

1 - 20

• Quando a tensão atinge o valor da Tensão Última

do material, ocorre a falha, e o correspondente

momento fletor MU é chamado de momento fletor

último.

• Na prática, a tensão última, σU, é determinado

experimentalmente, encontrando-se MU e

adotando-se uma distribuição de tensão linear

fictícia.

I

cMUU

• σU é chamado de módulo de ruptura na flexão

e pode ser usado para na determinação do MU

de uma barra do mesmo material do corpo de

provas. A figura ao lado mostra a distribuição

fictícia e a distribuição real de tensões em uma

barra retangular.

11


Barras de Material Elastoplástico

1 - 21

c

• Barra retangular de material elastoplástico

máximo momento elástico

Y Y Y m

m Y x

I M

I

Mc

• Se o momento é aumentado acima do máximo

momento elástico, surgem zonas plásticas.

altura elástica, acima da L.N. 1 2

2

3 1

2 3

Y

Y Y y

c

y M M

• Se o momento continua a aumentar, a altura elástica se

torna zero e toda a seção entra na zona plástica.

fator de forma

Momento plástico 2 3

Y

p

Y p

M

M k

M M


Deformações Plásticas de Membros Com Um Plano de Simetria

1 - 22

• Deformação plástica total de vigas com um único

plano de simetria vertical.

• As resultantes R1 e R2 das forças de compressão e

de tração formam um momento.

YY AA

RR

21

21

A linha neutra divide a seção em áreas iguais.

• O momento plástico total para o membro é:

( )dAM Yp 21

• O eixo neutro não pode ser assumido passar pelo

centróide da seção.

12


Tensões Residuais

1 - 23

• Zonas plásticas são desenvolvidas em um

membro de um material elastoplástico se o

momento for grande o suficiente para tal.

• No descarregamento, existe uma relação linear

entre a tensão e a deformação, assumindo que

nesta fase o membro é totalmente elástico.

• As tensões residuais são obtidas pela

superposição do efeito da tensão durante o

carregamento (deformação elastoplástica) e a

tensão durante o descarregamento (deformação

elástica).

• A tensão final em um ponto, após o

desgarregamento, em geral não é nula.


Exemplo 4.05, 4.06

1 - 24

• Um membro de seção retangular uniforme é

submetido a um momento M = 36.8 kN-m. O

material de sua construção é considerado

elastoplástico, com tensão de escoamento de 240

MPa e módulo de elasticidade de 200

GPa.Determine:

(a) a altura da zona elástica,

(b) o raio de curvatura da superfície neutra.

Após o carregamento ser reduzido a zero,

determine:

(c) A distribuição das tensões residuais,

(d) o raio de curvatura.

13


Exemplo 4.5, 4.6

1 - 25

( )( )

( )( )

mkN 8.28

MPa240m10120

m10120

10601050

36

36

233

322

32

YYc

IM

mmbcc

I

• Máximo momento elástico :

• a) Altura da zona elástica:

( )

666.0mm60

1mkN28.8mkN8.36

1

2

2

31

23

2

2

31

23

YY

Y

YY

y

c

y

c

y

c

yMM

mm802 Yy

• b) Raio de curvatura:

3

3

3

9

6

102.1

m1040

102.1

Pa10200

Pa10240

Y

Y

YY

YY

y

y

E

er

re

e

m3.33r


Exemplo 4.5, 4.6

1 - 26

• M = 36.8 kN-m

MPa240

mm40

Y

Yy

• M = -36.8 kN-m

Y

36

2MPa7.306

m10120

mkN8.36

I

Mcm

• d) M = 0

m225r

6

3

6

9

6

10 5 . 177

m 10 40

10 5 . 177

Pa 10 200

Pa 10 5 . 35

x

Y

x x

y

E

e r

e

c)

14


Carregamento Excêntrico

1 - 27

• A tensão devido ao carregamento excêntrico é

encontrada pela superposição da tensão causada

pela carga P com a tensão causada pelo momento

fletor M:

( ) ( )

I

My

A

P

x x x

flexão centrada

• Carregamento excêntrico

PdM

PF

• A equação acima é válida para tensões abaixo

do limite de proporcionalidade.


Exemplo 4.7

1 - 28

Um elo aberto de corrente é obtido pelo dobramento de uma

barra de aço de baixo teor de carbono, conforme mostrado

na figura ao lado. Para uma carga de 800N, determine:

(a) A tensão normal máxima de tração e de compressão,

(b) A distância entre o centróide da seção e o eixo neutro.

• Carregamento equivalente: P=800N e M=P.d=12N.m SOLUÇÃO:

• Tensão normal devido à carga centrada:

( ) 0,006 2

2 m 113,1x10-6 2 c A

7,07 MPa 113,1x10-6

800 0

A

P

• Tensão normal devido ao momento fletor

70,7 MPa I

Mc m

m 10 1,018 4 9

( ) 0,006 4

4 1 4

4 1 c I

15


Exemplo 4.7

1 - 29

• Tensão normal máxima de tração e

de compressão:

70,7 7,1

70,7 7,1

0

0

m c

m t

t 77,8 MPa

63,6 MPa c

mmy 60,012

10018,107,7

9

0

• Localização do eixo neutro:

0 M

I

A

P y

My 0 0

I A

P x


Exemplo 4.8

1 - 30

A tensão máxima admissível para a

peça de ferro fundido da figura é de 30

MPa para tração e 120 MPa para

compressão. Determine a maior carga

P que pode ser aplicada na peça.

Propriedades da seção:

49

23

m10868

m038,0

m103

I

Y

A

16


Exemplo 4.8

1 - 31

• Determine a carga e o momento equivalentes.

momento fletor 028 . 0,

carga centrada

m 028 . 0, 010 , 0 038 . 0,

P Pd M

P

d

• Iguale as tensões encontradas em função de

P com as tensões admissíveis:

B kN 0 , 77 MPa 120 1226

kN 6 , 79 MPa 30 377

P P

P P A

kN 0,77P• A carga máxima é o menor dos

valores encontrados:

• Calcule as tensões por superposição de efeitos:

( )( )

( )( )P

PP

I

Mc

A

P

PPP

I

Mc

A

P

AB

AA

122610868

038,0028,0

103

37710868

022,0028,0

103

93

93


Flexão Fora do Plano de Simetria

1 - 32

• Até agora, nos limitamos a análise de

membros submetidos a momentos atuando

em um plano de simetria.

• Iremos agora, considerar situações em que

o momento não atua em um plano de

simetria.

• Não podemos assumir que o membro irá

fletir no plano de atuação dos momentos.

• Estes membros permanecem simétricos em

relação ao plano de atuação dos momentos,

e se flexionam nesse plano, conforme

mostrado na figura ao lado.

17



1 - 33

Desejamos determinar sob que

condições a L.N. da seção transversal,

de uma área qualquer, coincide com o

eixo dos momentos, conforme figura ao

lado.

•

o vetor de momento precisa estar

direcionado ao longo de um eixo

principal centroidal.

produto de inércia I dA yz

dA c

y z dA z M

yz

m x y

0 ou

0 • A resultante das forças e

momentos na seção precisam

satisfazer:

momento aplicado M M M F z y x 0

•

a linha neutra passa através do

centróide.

dAy

dAc

ydAF mxx

0or

0

•

define a distribuição de tensões

momento de inércia I I c

I σ

dA c

y y M M

z m

m z

M ou



1 - 34

A superposição é aplicada para determinar as

tensões, em casos de momentos assimétricos.

• Decompondo o vetor de momento sobre os eixos

principais centroidais.

qq sincos MMMM yz

• Superpondo as componentes de tensões:

y

y

z

zx

I

yM

I

yM

• Ao longo da L.N., temos:

( ) ( )

q

qq

tantan

sincos0

y

z

yzy

y

z

zx

I

I

z

y

I

yM

I

yM

I

yM

I

yM

18


Exemplo 4.08

1 - 35

463

463

1048,012

)040,0(090,0

1043,212

)090,0(040,0

mI

mI

y

z

mNsenM

mNM

y

z

.10030200

.2,17330cos200

0

0

Um momento de 200 N.m é aplicado em uma viga de

madeira, em um plano que forma 30º com a vertical.

Determine:

(a) a tensão normal máxima de tração na viga,

(b) o ângulo que a linha neutra forma com a horizontal.

• Decomponha o momento em suas componentes e calcule os

momentos de inércia:

SOLUÇÃO:


Exemplo 4.8

1 - 36

• A tensão normal máx.de tração, devido a superposição

de efeitos, ocorre em A.

MPa38,717,421,321max MPa38,7max

A tensão de tração máxima devido a Mz ocorre ao longo

da aresta AD e vale:

• Determine o ângulo da linha neutra com a horizontal:.

92,230tan1048,0

1043,3tantan 0

6

6

qy

z

I

Io1,71

MPaI

yM

z

z 21,31043,2

045,02,17361

A tensão de tração máxima devido a My ocorre ao longo

da aresta AD e vale:

MPaI

zM

y

y17,4

1048,0

020,010062

19


Caso Geral de Carregamento Axial Excêntrico

1 - 37

• Considere uma barra submetida a duas forças

iguais e opostas, porém excêntricas.

• Este carregamento é equivalente ao mostrado

na figura inferior.

Pb M Pa M

P

z y

carga centrada

• Pelo princípio da superposição, a tensão

combinada é:

y

y

z

zx

I

zM

I

yM

A

P

• A L. N. pode ser encontrada aplicando a

equação abaixo:

0 zI

My

I

M

A

P

y

y

z

z


Exemplo 4.9

1 - 38

Um bloco de seção retangular, recebe uma carga de

4,80KN, aplicada excentricamente. Pede-se:

a)Determinar as tensões nos pontos A, B, C e D.

b)Determinar a posição da L.N. na seção transversal.

SOLUÇÃO: O carregamento dado é equivalente ao da fig. abaixo:

4 6 3

4 6 3

2 3

3 3

3 3

10 52 , 11 ) 120 , 0 )( 80 , 0 ( 12

1

10 12 , 5 ) 80 , 0 )( 120 , 0 ( 12

1

10 60 , 9 120 , 0 80 , 0

: Pr

. 120 10 25 10 80 , 4

. 192 10 40 10 80 , 4

m I

m I

m A

seção da opriedades

m N M

m N M

z

x

z

x

20


Exemplo 4.9

MPaI

xM

MPaI

zM

MPaA

P

z

máxz

x

máxx

625,01052,11

)1060(120

5,11012,5

)1040(192

5,01060,9

80,4

6

3

2

6

3

1

30

1 - 39

Tensão devido à carga P:

Tensão devido ao momento Mx:

Tensão devido ao momento Mz:

MPa

MPa

MPa

MPa

D

C

B

A

375,0625,05,15,0

625,1625,05,15,0

375,1625,05,15,0

625,2625,05,15,0

a) Tensão em cada ponto:

b) Posição da L.N.:

mmHAHA

mmBGBG

70375,0625,2

625,2

80

7,36375,1625,1

375,1

80

Distribuição das tensões:


Flexão de Barras Curvas

qd

qqq

qqd

qqd

qq

y

Fazendo

yRyR

Logo

yRreyRr

figdaTemos

rr

RR

'

''

''

''

''

:

)()(

:

.

r

rRE

yR

yEE

Logo

yR

y

r

y

r

xx

x

q

q

q

qe

q

q

q

q

q

de

..

:

1 - 40

Considere a barra curva de seção transversal uniforme indicada na figura. Sua

seção transversal é simétrica em relação ao eixo “y”.

Tomando o arco JK, distante

de y acima da Sup. Neutra:

A tensão não varia linearmente com a

distância y da fibra estudada à S.N.

21



1 - 41

rdAA

r

r

dA

AR

1_

00

00

dAr

dARdA

r

rR

dAr

rREdAx

q

q

A relação abaixo deve ser satisfeita:

Distância do centro de

curvatura C até a S.N.

O eixo neutro não passa pelo

centróide da seção da barra curva

Outra relação que devemos satisfazer é:

Ae

M

RrA

ME

MArRARAE

MrdARAr

dAR

E

MdAr

rRE

MydAr

rREMdAy z

)(

)2(

2

)(

(

_

_

2

2

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

Encontramos, então:

reA

RrM

yReA

yMx

..

).(

)(.

.



ReAE

M

RR

eAE

M

RRR

Como

RR

...

11

..1

11

11

:

11

'

'

'

'

'

q

q

qqq

q

q

1 - 42

Distância R do centro de curvatura C até a S.N. para seções usuais:

Mudança na curvatura da S.N. causada pelo momento fletor M:

22


Exemplo 4.10

mmRre

mmR

mmh

rr

mmh

rr

r

r

h

r

dr

h

r

drb

hb

r

dA

AR

r

r

r

r

r

r

523,0477,99100

477,99

5,87

5,112ln

25

5,1125,121002

5,875,121002

ln.

.

_

_

2

_

1

1

22

1

2

1

2

1

1 - 43

Uma barra retangular de eixo curvo tem raio mmr 100_

e uma seção tranversal de largura b=50mm e altura

h=25mm. Determinar a distância “e” entre o centróide

e o eixo neutro da seção.

SOLUÇÃO: Inicialmente determinamos

o raio R da S.N.:

99,477mm 100mm

0,523mm


Exemplo 4.11

MPareA

RrM

MPareA

RrM

mmhbA

mNM

máx

5,104)105,87)(10523,0)(101250(

10)48,995,87(500

..

)(

5,88)105,112)(10523,0)(101250(

10)48,995,112(500

..

)(

12502550.

.500

336

3

1

1min

336

3

2

2

2

MPaI

cMmáx 0,96

10])25()50[(12

1

105,12500.

123

3

min,

1 - 44

Determinar para a barra do Ex. 4.10, os valores máximos das tensões de tração e

compressão, sabendo-se que o momento fletor na barra é M=500 N.m

SOLUÇÃO:

Se usássemos a expressão da tensão para uma barra reta, teríamos:

O que diverge dos valores reais obtidos.

4 flexão pura

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