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Resistências dos Materiais Prof. José Wallace B. do Nascimento

Universidade Federal de Campina Grande/ Departamento de Engenharia Agrícola /1

Ca

pítu

lo 2

Tensão & deformação: Carregamento Axial

• Adequação de uma estrutura ou máquina pode depender das

deformações na estrutura bem como das tensões induzidas sob

carregamento. Muitas vezes só as Análises estáticas não são suficiente.

• Considerando as estruturas como deformáveis possibilitará a determinação

das forças nos membros e reações as quais são estaticamente

indeterminada.

• Determinação da distribuição de tensão no interior dos membros

sempre exige consideração de deformação.

• Neste capítulo tem o objetivo avaliar a deformação de um membro de

uma estrutura sob carregamento axial. Posteriormente, será estudado

torção e flexão pura.


Universidade Federal de Campina Grande/ Departamento de Engenharia Agrícola 2

Ca

pítu

lo 2

strain normal

stress

L

A

P

L

A

P

A

P

2

2

LL

A

P

2

2



Ca

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lo 2

Ensaio de tração: TensãoxDeformação



Ca

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lo 2

Diagrama de TensãoxDeformação: Materiais dúctil



Ca

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lo 2

Diagrama de TensãoxDeformação: Materiais frágil



Ca

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lo 2

Lei de Hooke: Módulo de Elasticidades

• Definição de tensão:

E= Módulo de Young/Módulo de

elasticidade

E

• A resistência é afetada pelo fusão dos

metais, tratamento térmico e processo

de fabricação, mas a dureza (módulo

de elasticidade) não é.



Ca

pítu

lo 2

Comportamento Elástico versus Plástico

• Se a deformação desaparecer

quando retirar a tensão, o material

é considerado de comportamento

elástico.

• As maiores tensões para a qual

esta ocorre é chamada de limite

elástico.

• Quando a deformação na retorna

ao zero após a retirada da tensão,

o material é considerado de

comportamento plástico.



Ca

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lo 2

Fadiga

• Propriedades de fadiga são

mostrada no diagrama

• Um membro pode falhar devido aos

níveis de tensões de fadiga bem

abaixo da resistência última se

submetido a muitos ciclos de

carregamento.

• Quando a tensão é reduzida

abaixo do limite de endurecimento,

falhas por fadiga não ocorre para

algum número de ciclo.



Ca

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lo 2

AE

P

EE

• Lei de Hooke:

• Definição de deformação:

L

• Definição de alongamento,

AE

PL

• Situação em que existe várias cargas, seções

transversais e comprimentos:

i ii

ii

EA

LP

Deformação sob carregamento axial



Ca

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lo 2

Exemplo 2.01

in. 618.0 in. 07.1

psi1029 6

dD

E

Determinar a deformação do

peça mostrada sob a carga

dada.

SOLUÇÃO:

• Divide a peça nos pontas de aplicação

da carga

• Aplica do DCL para analisar cada

componente e determinar a força

interna.

• Avaliação total do deformação



Ca

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lo 2

SOLUÇÃO:

• Divide a´peça em três

partes:

221

21

in 9.0

in. 12

AA

LL

23

3

in 3.0

in. 16

A

L

• Aplica o DCL para cada parte e determina a

força interna.

lb1030

lb1015

lb1060

33

32

31

P

P

P

• Avaliação do alongamento total,

in.109.75

3.0

161030

9.0

121015

9.0

121060

1029

1

1

3

333

6

3

33

2

22

1

11

A

LP

A

LP

A

LP

EEA

LP

i ii

ii

in. 109.75 3



Ca

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lo 2

Problema 2.1

A barra rígida BDE é suportada por

dois ligações AB e CD.

A ligação AB é feita be alumínio

(E=70GPa) e com área de 500mm2. A

ligação CD é de aço (E=200GPa) e

sua área de 600 mm2.

Para a força de 30kN aplicada no

ponto E, determine o deflexão em: a)

de B; b) de D e c) de E.

SOLUÇÃO:

• Aplica-se o DCL para a barra BDE

para encontrar as forças externas

pelas ligações AB e DC

• Avaliar a deformação da ligação AB

e DC ou o deslocamento de B e D.

• Pela geometria encontra-se a

deflexão em E dada a deflexões de

B e D.



Ca

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lo 2

Problema 2.1

DCL: Barra BDE

ncompressioF

F

tensionF

F

M

AB

AB

CD

CD

B

kN60

m2.0m4.0kN300

0M

kN90

m2.0m6.0kN300

0

D

SOLUÇÃO: Deslocamento de B:

m10514

Pa1070m10500

m3.0N1060

6

926-

3

AE

PLB

mm 514.0B

Deslocamento de D:

m10300

Pa10200m10600

m4.0N1090

6

926-

3

AE

PLD

mm 300.0D



Ca

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lo 2

Deslocamento de D:

mm 7.73

mm 200

mm 0.300

mm 514.0

x

x

x

HD

BH

DD

BB

mm 928.1E

mm 928.1

mm 7.73

mm7.73400

mm 300.0

E

E

HD

HE

DD

EE

Problema 2.1



Ca

pítu

lo 2

Estaticamente Indeterminado

• Estruturas para as quais as forças internas e

reações não pedem ser determinas só pela estática

são classificada com estaticamente indeterminada.

• Uma estrutura será estaticamente indeterminada

sempre que existir mais suporte que o necessário

para mantê-la em equilíbrio.

• Reações redundantes são consideradas cargas

desconhecidas as aquais juntamente com

outras cargas podem produzir compatibilidade de

deformações.

• Deformações devido as cargas e reações

redundantes são determinadas separadamente e

em seguida adicionada ou superpostas.

0 RL



Ca

pítu

lo 2

Exemplo 2.04Determinar as reações em A e B para a barra de

aço e cargas mostrada na figura.

SOLUÇÃO:

• Considerar a reação de B redundante, libera-

se a barra no suporte, e resolve o

deslocamento em B devido as cargas

aplicadas.

• Resolve o deslocamento em B devido a reação

redundante em B.

• Necessita que a deslocamento devido a as

cargas e devido a reação redundante sejam

compatíveis, i.e., requer que a soma seja zero.

• Encontrar a reação em A devido as cargas

aplicadas e a reação determinada em B.



Ca

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lo 2

SOLUTION:

• Determinar o deslocamento em B devido as cargas

aplicada com a liberaão da restrção,

EEA

LP

LLLL

AAAA

PPPP

i ii

ii9

L

4321

2643

2621

34

3321

10125.1

m 150.0

m10250m10400

N10900N106000

• Determinar o deslocamento de B devido a redundante

restrição,

i

B

ii

iiR

B

E

R

EA

LPδ

LL

AA

RPP

3

21

262

261

21

1095.1

m 300.0

m10250m10400

Exemplo 2.04



Ca

pítu

lo 2

• Requer que os deslocamentos devido as cargas e devido a

reação redundante sejam compatíveis.

kN 577N10577

01095.110125.1

0

3

39

B

B

RL

R

E

R

E

• Encontra-se a reação em A devido as carags e a reação em

B.

kN323

kN577kN600kN 3000

A

Ay

R

RF

kN577

kN323

B

A

R

R

Exemplo 2.04



Ca

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lo 2

Tensões Térmicas

térmicaexpansão de coef.

AE

PLLT PT

0

0

AE

PLLT

PT

TEA

P

TAEPPT

0

• As mudanças de temperatura resultam em variação

no comprimento ou tensão térmica. Não existe

tensões associada com a tensão térmica, a menos

que o alongamento seja restringido por suportes.

• Considerar o suporte adicional como redundante e

aplicar o princípio de superposição.

• A deformação térmica e a deformação do suporte

redundante deve ser compatível.



Ca

pítu

lo 2

Coeficiente de Poisson

• Para uma barra esbelta submetida ao

carregamento axial: :

0 zyx

xE

• Coeficiente de Poisson é definido como,

x

z

x

y

strain axial

strain lateral

0 zy

• O alongamento na direção x é acompanhada pela

contração nas outras direções. Assumindo que o

material é isotrópico (não há dependência

direcional).



Ca

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lo 2

Generalização da Lei de Hooke

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

• Com estas restrições:

• Para um elemento submetido a um

carregamento multi-axial, a componente de

tensão normal resultante das componentes de

tensões pode ser determinada pelo princípio da

superposição. Isto requer:

1) deformação seja linear em relação a tensão

2) pequenas deformações



Ca

pítu

lo 2

Dilatação: Módulo de Volume• Relativo ao estado pouco articulado, a mudança no

volume é:

devolume) unidadepor volumeno (mudança dilatação

21

111111

zyx

zyx

zyxzyx

E

e

• Para elemento submetido a pressão hidrostática

uniforme,

volumede Módulo

213

213

Ek

k

p

Epe

• Submetida a pressão uniforme, a dilçatação pode ser

negativa, então

210



Ca

pítu

lo 2

Tensão de cisalhamento

xyxy f

zxzxyzyzxyxy GGG

Onde G é o módulo de rigidez ou módulo de

cisalhamento.

• Um elemento cúbico submetido a tensão de

cisalhamento deformará internamente de forma

romboidal. A correspondente tensão de cisalhamento

é quantificada em termos de mudança no ângulo

entre os lados,

• O diagrama de tensão de cisalhamento versus

deformação de cisalhamento é semelhante ao

diagrama de tensão normal X deformação normal,

exceto que o valores da resistência que são

aproximadamente a metade,



Ca

pítu

lo 2

Exemplo 2.10

O bloco retangular de material

com módulo de rigidez G=90ksi é

colado horizontalmente a duas

placas rígidas. A placa inferior é

fixa, enquanto a superior está

submetida a uma força horizontal

P. Conhecendo que a placa

superior move 0,04in sob ação da

força, determine a) a tensão de

cisalhamento média no material,

e b) a força P exercida na placa.

SOLUÇÃO:

• Determinar a deformação angular média

ou tensão de cisalhamento do bloco.

• Aplicar a lei de Hooke para tensão de

cisalhamento e deformação, determine a

correspondente tensão de cisalhamento.

• Use a definição de tensão de

cisalhamento para encontrar a força P.



Ca

pítu

lo 2

rad020.0in.2

in.04.0tan xyxyxy

psi1800rad020.0psi1090 3 xyxy G

lb1036in.5.2in.8psi1800 3 AP xy

• Determine a deformação angular média do

bloco.

• Aplica-se a lei de Hooke para encontrar a

tensão de cisalhamento.

• Usando a definição de tensão de

cisalhamento, encontra-se a força P.

kips0.36P



Ca

pítu

lo 2

Relação entre E, e G

12G

E

• Uma barra esbelta carregada axialmente

alongará na direção axial e se contraíra-

se nas direções transversais.

• Um elemento cúbico inicialmente

orientado como indicado na figura, se

deformará para um paralelepípedo. A

Carga axial produz tensão normal.

• Se o elemento cúbico estar orientado

como mostrado na figura ao lado,

deformará para um paralelogramo. A

carga axial resultara em tensão axial.

• Componentes de tensões normal e de

cisalhamento são relacionadas,



Ca

pítu

lo 2

Exemplo 2.5

O circulo com diâmetro d=9in é traçado em um

placa de alumínio de espessura t=3/4in.

Forças atuando no plano da placa provoca

tensão normal x=12ksi e z=20ksi .

Para E=10x106psi e =1/3, determine a

variação no:

a) comprimento AB;

b) Comprimento CD;

c) Espessura da placa;

d) Volume da placa.



Ca

pítu

lo 2

SOLUÇÃO:

• Aplica-se a lei generalizada de Hooke para encontar as três componentes de deformação normal..

in./in.10600.1

in./in.10067.1

in./in.10533.0

ksi203

10ksi12

psi1010

1

3

3

3

6

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

• Determinar os alongamentos:

in.9in./in.10533.0 3 dxAB

in.9in./in.10600.1 3 dzDC

in.75.0in./in.10067.1 3 tyt

in.108.4 3AB

in.104.14 3DC

in.10800.0 3t



Ca

pítu

lo 2

Materiais Compósitos

z

zz

y

yy

x

xx EEE

x

zxz

x

yxy

• Materiais compósito são formados de laminas de

fibras de grafite, vidro, vegetais ou polímeros

inseridas numa matriz.

• Tensões e deformações normais são relacionadas

pela Lei de Hooke mas com direcionamento

dependente do módulo de eleasticidade,

• Contrações transversais são relacionadas pela

direção dependente da razão de Poisson, ex.

• Materiais com propriedades mecânicas com

dependência direcional são anisotrópicos.



Ca

pítu

lo 2

Princípio de Saint-Venant

• Cargas transmitidas através de placas

rígidas produz distribuição uniforme de

tensão e deformação.

• Cargas concentradas provocam altas

tensões na vizinhança do ponto de

aplicação da carga.

• Distribuições de tensões e deformações

torna-se uniforme numa distância

relativamente pequena do ponto de

aplicação da carga.

• Princípio de Sanit-Venant:

Distribuição de tensões pode ser

considerada independente do modo de

aplicação da carga, exceto na

vizinhança dos pontos de aplicação da

carga.



Ca

pítu

lo 2

• Cargas transmitidas através de placas rígidas produz

distribuição uniforme de tensão e deformação.



Ca

pítu

lo 2

• Cargas concentradas provocam altas tensões na

vizinhança do ponto de aplicação da carga.



Ca

pítu

lo 2

• Distribuições de tensões e deformações torna-

se uniforme numa distância relativamente

pequena do ponto de aplicação da carga.



Ca

pítu

lo 2

• Princípio de Sanit-Venant:

Distribuição de tensões pode ser considerada

independente do modo de aplicação da carga,

exceto na vizinhança dos pontos de aplicação

da carga.



Ca

pítu

lo 2

"Aquele que não tem um objetivo,

raramente sente prazer em

qualquer empreendimento."

Giacomo Leopardi

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