cap.5 - flexão simples

8/18/2019 Cap.5 - Flexão Simples

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Mecânica dos Materiais

Preparadopor:FilipeSamuel Silva

D e p . E

n g ª M e c â n i c a

Capítulo 5

Flexão Simples


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Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)


D e p . E


Flexão Simples - Sumário Cap. 5

IntroduçãoDiagramas de Esforsos Transversos e de

Momentos FlectoresRelações entre cargas, esforços transversos e

momentos flectoresProjecto de vigas prismáticas sujeitas a flexão


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D e p . E

n g ª M e c

â n i c a

Flexão Simples - Introdução Cap. 5

• Vigas – Elementos estruturais que suportamcargas em vários locais ao londo de si mesma

• Objectivo – Analise e Projecto de Vigas

• As cargas transversais são classificadas comocargas concentradas ou cargas distribuídas .

• As cargas aplicadas resultam em forças internasque consistem em um esforço cortante (datensão de corte) e um momento flector (datensão normal)

• A tensão normal é o critério de dimensionamento

x m

M c M My I I W

σ σ = − = =

Requer a determinação da magnitude e dalocalização do momento flector máximo.


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D e p . E

n g ª M e c

â n i c a

Flexão Simples - Introdução Cap. 5

Classificação das vigas

f) Viga biencastrada

VigasEstaticamentedeterminadas

VigasEstaticamenteindeterminadas

e) Viga encastrada/apoiadad) Viga contínua

c) Viga em consola b) Viga em balançoa) Viga simplesmente apoiada


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D e p . E

n g ª M e c

â n i c a

Diagramas de Esforços Transversos e deMomentos Flectores

Cap. 5

• A determinação das tensões máximas decorte e normal requer a identificação dosesforços transversos e momentos flectores.

• Os esforços transversos e momentosflectores são determinados, em qualquersecção, seccionando-a e estabelecendo oseu equilíbrio estático.

• As convenções de sinais para os esforçostransversos,V e V’, e momentos flectores, M e M’, são:

a) Forças internas (esforço transverso emomento flector positivos)


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D e p . E

n g ª M e c

â n i c a

Exemplo 5.1 Cap. 5

Para a viga de madeira e para ocarregamento indicado, desenhe osdiagramas de esforço transverso e demomento flector e determine a tensãonormal máxima devida à flexão.

SOLUÇÃO:• Fazer diagrama de corpo livre e

determinação das reacções nos apoios

• Identificar os esforços cortantesmáximos e os momentos flectoresmáximos, a partir da sua distribuiçãoao longo da viga.

• Aplicar as fórmulas de flexão para

determinar as correspondentestensões normais máximas devidas àflexão.

• Seccionar a viga em determinados pontos e fazer equilíbrio estático para determinar os esforçoscortantes e os momentos flectoresnesses pontos


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D e p . E

n g ª M e c

â n i c a

Exemplo 5.1 Cap. 5

SOLUÇÃO:• Fazer diagrama de corpo livre e determinação das

reacções nos apoiosde 0 : 40 kN 14 kN y B B DF M R R= = = =

∑ ∑• Seccionar a viga em determinados pontos e fazerequilíbrio estático para determinar os esforçoscortantes e os momentos flectores nesses pontos

( )( ) 00m0kN200

kN200kN200

111

11

==+∑ =−==−−∑ =

M M M

V V F y

( )( ) mkN500m5.2kN200kN200kN200

222

22⋅−==+∑ =

−==−−∑ = M M M V V F y

0kN14

mkN28kN14mkN28kN26

mkN50kN26

66

5544

33

=−=⋅+=−=⋅+=+=

⋅−=+=

M V

M V M V

M V


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n g ª M e c

â n i c a

Exemplo 5.1 Cap. 5

• Identificar os esforços cortantes máximos eos momentos flectores máximos, a partir dasua distribuição ao longo da viga.

mkN50kN26 ⋅=== Bmm M M V

• Aplicar as fórmulas de flexão paradeterminar as correspondentestensões normais máximas devidas àflexão.

( )( )221 16 66 3

3

6 3

0.080 m 0.250 m

833.33 10 m

50 10 N m833.33 10 m

Bm

W b h

M

W σ

−

−

= == ×

× ⋅= = ×

Pa100.606

×=mσ


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D e p . E

n g ª M e c

â n i c a

Exemplo 5.2 Cap. 5

A estrutura representada consiste numaviga AB construída com um perfil deaço laminado HEB 400 e duas barrascurtas soldadas uma à outra e à viga. a)desenhe os diagramas de esforçostransversos e de momentos flectores para a viga e carregamento indicados, b)determine a tensão normal máxima nassecções imediatamente à esquerda e àdireira do ponto D.

SOLUÇÃO:

• Substitua a força de 40KN por umaforça equivalente e um momentoflector, no ponto D. Determine asreacções em B.

• Seccione a viga nos pontosnecessários e aplique as condiçõesde equilíbrio para determinar osesforços cortantes e momentosflectores.

• Determine a tensão normal máxima àesquerda e direita do ponto D .

a) Viga simplesmente apoiada

40 KN0,75m

2m

48 KN/m

0,5m0,75m

â d


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n g ª M e c

â n i c a

Exemplo 5.2 Cap. 5SOLUÇÃO:

• Substitua a força de 40KN por uma forçaequivalente e um momento flector, no pontoD. Determine as reacções em B.• Seccione a viga nos pontos necessários e

aplique as condições de equilíbrio paradeterminar os esforços cortantes emomentos flectores.

( )( ) 211 2

:0 48 0 48 kN0 48 0 24 kNm

y

De A a C

F x V V x

M x x M M x

= − − = = −= + = = −

∑∑

( ) ( )2

:0 96 0 96 kN0 96 1 0 96 96 kNm

y

De C a D

F V V

M x M M x

= − − = = −= − + = = −

∑∑

( ):

136 kN 226 136 kNm De D a BV M x= − = −

136KN

20KNm48 KN/m

318KNm

40KN

96 KN

96 KN

20KNm

40KN

M â i d M i i


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n g ª M e c

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Exemplo 5.2 Cap. 5

• Determine a tensão normal máxima àesquerda e direita do ponto D .

Dados: Perfil HEB 400

W = 2884*10-6 m3 (eixo xx).

3

-6 3

3

-6 3

:

168*102884*10:

148*102884*10

m

m

Esquerda de D

M NmW m

Direita de D

M NmW m

σ

σ

= =

= =

58.3m

MPaσ =

51.3m MPaσ =

136KN

20KNm48 KN/m

318KNm

40KN

4 m2 m 2,75 m

-136KN

-96KN

-318KNm

-168KNm

-96KNm

-148KNm

M â i d M i i


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n g ª M e c

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Relações entre Carga, Esforços Transversos eMomentos Flectores

Cap. 5

( )

xwV

xwV V V F y

∆−=∆=∆−∆+−=∑ 0:0

∫ −=−

−= D

C

x

xC D dxwV V

wdxdV

• Relação entre carga e esforço transverso:

( )

( )221

02

:0

xw xV M

x xw xV M M M M C

∆−∆=∆

=∆∆+∆−−∆+=∑ ′

∫ =−

=

D

C

x

xC D dxV M M

dxdM 0

• Relação entre esforço transverso emomento flector:

M â i d M t i i


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n g ª M e c

â n i c a

Exemplo 5.3 Cap. 5

Desenhe os diagramas deesforço transverso e demomento flector para a viga

e o carregamento indicados.

SOLUÇÃO:• Diagrama de corpo livre da viga inteira e

cálculo das reacções nos apoios, A e D .

• Aplicação das relações entre carga e esforçotransverso para desenhar diagrama deesforço transverso.

• Aplicação das relações entre esforçotransverso e momento flector para desenhardiagrama de momento flector.

20KN 12KN 1,5KN/m

6m 8m 10m 8m

M â i d M t i i


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n g ª M e c

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Exemplo 5.3 Cap. 5

SOLUÇÃO:• Diagrama de corpo livre da viga inteira e cálculo da

reacções nos apoios, A e D.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

y

00 24 20 kN 6 12 kN 14 12 kN 28

26 kNF 0

0 20 kN 12 kN 26 kN 12 kN18 kN

A

y

y

M

D m m m m

D

A A

== − − −==

= − − + −=

∑

∑

• Aplicação das relações entre carga e esforço

transverso para desenhar diagrama de esforçotransverso.dxwdV w

dxdV −=−=

- Declive nulo entre as cargas concentradas

- Variação linear ao longo da carga distribuída

20KN 12KN

12KN4m

6m 8m 10m 8m

20KN 12KN 1,5KNm

18KN26KN20KN

18KN

V(KN)


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n g ª M e c

â n i c a

Exemplo 5.5 Cap. 5

Esboce os diagramas de esforçostransversos e de momentos flectores para a viga indicada.

SOLUÇÃO:• Diagrama de corpo livre da viga inteira

e cálculo das reacções no apoioC .

• Aplicação das relações entre carga eesforço transverso para desenhardiagrama de esforço transverso.

• Aplicação das relações entre esforçotransverso e momento flector paradesenhar diagrama de momento flector.



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Exemplo 5.5 Cap. 5SOLUÇÃO:

• Diagrama de corpo livre da viga inteira ecálculo das reacções no apoioC .

−−=+ −==∑

=+−==∑

330

0

021

021

02

10

2

1

a Law M M

a Law M

aw R RawF

C C C

C C y

Os resultados da integração da carga e dos

esforços transversos deve ser equivalente.• Aplicação das relações entre carga e esforço

transverso para desenhar diagrama de esforçotransverso.

( )

2

0 00 0

102

12

arg

aa

B A

B

x xV V w dx w x

a a

V w a area debaixo curva de c a

− = − − = − − = − = −

∫

- Não há variação esf. Transverso entre B e C.- Compatibilidade com a análise do diagramade corpo livre

Mecânica dos Materiais B J h D W lf ( d d )


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Exemplo 5.5 Cap. 5

• Aplicação das relações entre esforço transverso emomento flector para desenhar diagrama demomento flector.

203

10

32

00

2

0 622

aw M

a x x

wdxa x

xw M M

B

aa

A B

−=

−−=∫

−−=−

( ) ( )( )

−=−−=

−−=∫ −=−

323 006

1

021

021

a L

waa Law M

a Lawdxaw M M

C

L

aC B

Os resultos emC são compatíveis com aanálise do diagrama de corpo livre


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n g ª M e c

â n i c a

Exemplo 5.8 Cap. 5

A viga simplesmente apoiada AD é deaço, tem 5 m de comprimento esuporta as cargas indicadas. Sabendoque a tensão normal admissível para oaço adoptado é de 160 Mpa,seleccione o perfil europeu, de banzoslargos, a utilizar.

SOLUÇÃO:• Diagrama de corpo livre da viga inteira

e cálculo das reacções nos apoios A e

D .• Desenho dos diagramas de esforço

transverso e momento flector e

determinação do momento máximo.

• Determinação do módulo deresistência mínimo aceitável (escolhade uma secção ‘standard’.

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Mecânica dos Materiais Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)


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Exemplo 5.8 Cap. 5

• Diagrama de corpo livre da viga inteira ecálculo das reacções nos apoios A e D .( ) ( )( ) ( )( )

kN0.52kN50kN60kN0.580

kN0.58m4kN50m5.1kN60m50

=−−+==∑

=−−==∑

y

y y

A

A AF

D

D M

• Desenho dos diagramas de esforço transverso

e momento flector e determinação domomento máximo.

( )

52.0 kN

arg 60 kN

8 kN

A y

B A

B

V A

V V area debaixo curva c a

V

= =− = − = −= −

• O máximo momento flector ocorre emV = 0 ou x = 2.6 m.

( )max ,67.6 kN

M area debaixo curva esforço transverso A a E ==



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Mecânica dos Materiais Beer Johnston DeWolf (adaptado)


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Exemplo 5.8 Cap. 5

• Determinação do módulo de resistênciamínimo aceitável.

maxmin

6 3 3 3

67.6 kN m

160 MPa422.5 10 m 422.5 10 mm

all

M W

σ

−

⋅= =

= × = ×

• Escolha de uma secção ‘standard’.

3 3,10 ,mm

HEA 220 515HEA 220 570HEA 220 426HEA 220 566

Perfil W

××××

9.32360×W



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Mecânica dos Materiais Beer Johnston DeWolf (adaptado)


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n g ª M e c

â n i c a

Exercícios Resolvidos Cap. 5Para a barra mostrada na figura determine os diagramas de esforços transversos e de momentos flectores.

10.000 N

10 m 10 m

5.000 N 5.000 N

Se seccionarmos a barra numa secção a uma distância (x), e aplicarmos as condições de equilíbrio, temos,

em que: V (força de corte) e M (momento flector) .

Condições de Equilíbrio:

Σ Fy: + 5000 (N) - V = 0 , dando V = 5000 N.ΣMz(em relação ao ponto da esquerda):-V * x + M = 0 ,Substituíndo o valor de V na equação dos momentos:- 5000 * x + M = 0 ,dá M = 5000*x (Nm)Estas são as equações dos esforços cortantes e dos momentos flectores para

a região considerada.

5.000 N

5.000 N

5.000 N

x (m)

x (m)

x (m)



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Mecânica dos Materiais W ( p )


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Exercícios Resolvidos Cap. 5

Fazendo o equilíbrio,

Condições de Equilibrio:

Σ Fy: + 5000 -10,000 - V = 0 , dando V2 = -5000 N.ΣMz(em relação ao ponto da esquerda):-10,000 * x -V * x + M = 0 ,Substituíndo o valor de V na equação dos momentos: : -10,000 * 10 - (-5000)* x + M = 0 , dáM2 = 5000*x - 100,000 Nm .

Estas são as equações dos esforços cortantes e dos momentos flectores para a

nova região considerada.Se colocarmos graficamente estas expressões, ao longo da barra, temos oseguinte gráfico. Esta é uma forma muito útil para visualizar como variam osesforços transversos e os momentos flectores ao longo da barra.

Se seccionarmos agora a próxima região da barra temos

5.000 N

10.000 N

10m

x (m)

5.000 N

-5.000 N

50.000 Nm

x (m)

x (m)



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Mecânica dos Materiais ( p )


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Exercícios Resolvidos Cap. 5Uma barra simplesmente apoiada é mostrada na figura. Pretende-se determinar os diagramas de esforçostransversos e de momentos flectores.

Solução:Parte A. Determinação das reacções nor apoios aplicando as equações de equilibrio estáticas.

Passo 1: Desenho do diagrama de corpo livre.

Passo 2:Aplicar as equações de equilibrio

ΣFy: = -4,000 - (1,000)*(8) - 6,000 + B y + D y = 0

ΣMB = (D y)*(8) - (6,000)*(4) + (1,000)*(8)*(4) + (4,000)(8) = 0Resolvendo dá : By =23,000 N; D y = -5,000 N.

1.000 N/m 6.000N

4 m4 m8 m

4.000 N

1.000 N/m 6.000N

4 m4 m8 m

4.000 N



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D e p . E


Exercícios Resolvidos Cap. 5Parte B : Determinar-se-ão agora as expressões dos esforços cortantes e dos momentos flectores para cada troço da barra. Neste processo seciona-se a barra nos diversos troços e aplicam-se as equações de equilibrio paradeterminar os esforços cortantes em cada troço. A determinação dos momentos, em cada troço, pode ser feita deduas formas:

1) Aplicando o equilibrio dos momentos em cada troço e resolvendo em ordem ao momento flector na zonado seccionamento;2) Por integração. O valor do momento flector é encontrado a partir da expressão

Secção 1 :

. Ou seja, a expressão dos momentos é obtida pela integração da expressão dos esforços cortantes, para cadatroço.

Aplicação das condições de equilibrio.

ΣFy= 0; Fy = -4,000 - 1,000 *(x) - V1 = 0 ; resolvendo:V1 = [-4,000 -1,000x].Esta expressão dá os valores dos esforços transverses internos, na barra, para o troço entre 0 e 8 metros.

Se se colocar em tremos gráficos a expressão, teremos.

1.000 N/m

x4.000 N

-12.000N

V (N)

-4.000 N

Diagrama de esforços transversos



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D e p . E


Exercícios Resolvidos Cap. 5Para se achar o diagrama de momentos flectores, pode usar-se o equilibrio de momentos. Teremos:

ΣMA = -1000 * (x) * (x/2) - V1 (x) + M1 = 0

Substituíndo a equação da força V1 (V1 = [-4,000 - 1,000*x]) naequação dos momentos, temos:Σ MA = -1000 * (x) * (x/2) -[-4,000 - 1,000*x] (x) + M1 = 0 ;e resolvendo tem-se M1 = [-500*x 2 - 4,000*x] .

Esta é a expressão dos momentos para o troço considerado, que,graficamente de traduz da seguinte forma.

1.000 N/m

4.000N

Diagrama de momentos flectores

M (Nm)

-64.000 Nm

x (m)



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D e p . E


Exercícios Resolvidos Cap. 5Esta expressão também se pode obter integrando a espressão do esforço transverso, para o respectivo troço.

Sabendo então que parax = 0, M1 = 0 , e substituindo na expressão anterior (M1 = -500x2 - 4,000x + C1), eresolvendo em ordem a C1, acha-se o valor da constante:0 = -500(0)2 - 4,000(0) + C1, logo: C1 = 0

Então:M1 = [-500x 2 - 4,000x]. para 0 < x < 8 m., é a expressão final para a equação dos momentos flectores nestetroço. (Note que a expressão é a mesma encontrada pelo equilibrio dos momentos.)

= 1000(1/2 x2) - 4000 (x) + C1; então M1 = -500x 2 - 4,000x + C1

Para se determinar o valor da constante C1 tem-se que verificar uma condição de fronteira, ou seja, tem-se qusaber o valor do momento flector em qualquer ponto do troço considerado. Neste caso, sabe-se o valor na fronteir(fim da barra), em que o momento flector é nulo.



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D e p . E


Exercícios Resolvidos Cap. 5Continuando para o troço seguinte teremos.

Secção 2 : Secciona-se a barra para 8 < x


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D e p . E


Exercícios Resolvidos Cap. 5Temos outra condição de fronteira sabendo que o valor do momento flector tem que ser continuo, ou seja, o val

momento flector no fim do primeiro troço tem que ser igual ao valor do momento flector no início do segundo Então sabe-se que para x = 8m (e pela expressão anterior, M1). (M1 = [-500 (8)2 - 4,000(8)] = -64,000.)

Temos então a condição de fronteira para encontrar C2.

-64,000 = 11,000 (8) + C2, resolvendo dá:C2 = -152,000 Nm .

Então:M2 = [11,000x - 152,000] para 8 < x < 12 m

De forma semelhante se faz para os restantes troços da barra.



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D e p . E


Exercícios Resolvidos Cap. 5Secção 3 : Seccionando a barra para 12 < x < 16 m analize-se o troço esquerdo da barra.

Faz-se o equilibrioΣ Fy = 0 = -4,000 - 1,000 *8 + 23,000 -6,000 - V3 = 0, resolvendo dá:V3 = 5,000 N.

O momento flector determina-se fazendo o equilibrio dos momentos ou integrando os esforços transversos

Integrando

Obtem-se a condição de fronteira para a secção 3 sabendo-se que no fim da barra (extremo) o momento énulo, logo C3:para x = 16 m., M = 0 Nm .Logo: 0 = 5,000(16) + C3, e resolvendo: C3 = -80,000 Nm.Então: M3 = [5,000x - 80,000] Nm. para 12 < x < 16

Temos agora todas as expressões para desenharmos os diagramas de esforços transversos e de momentosflectores.

V1 = -1,000x+4,000 N.; V2 = 11,000 N.; V3 = 5,000 NM1 =-500x 2+4,000x Nm .; M2 = 11,000x -152,000 Nm .; M3 = 5,000x-80,000 Nm

, ou M3 = 5,000x + C3

8m 4m

1000 N/m 6000 N

4000 N

23000 N



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D e p . E


Exercícios Resolvidos Cap. 5Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores.

V1 = -1,000x+4,000 N.; V2 = 11,000 N.; V3 = 5,000 N

M1 =-500x 2+4,000x Nm .; M2 = 11,000x -152,000 Nm .; M3 = 5,000x-80,000 Nm

6000 N1000 N/m

4000 N

4 m4 m8 m

-64000

-20000

11000

5000

-4000

-12000Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores

V (N) M (Nm)

x (m) x (m)

Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)í l d


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Exercícios Resolvidos Cap. 5Para a barra da figura seguinte determine os diagramas de esforços transversos e de momentos flectores.

Determinação das reacções nos apoios

Diagrama de corpo livre.

Equilibrio

ΣFy = (-800)*(8) - (1,200)*(8) + A y + C y = 0

ΣMA = (C y)*(12) - (800)*(8)*(4) - (1,200)*(8)*(12) = 0

Resolvendo vem: Cy = 11,700 N; A y = 4,270 N

800 N/m1200 N/m

4m4m8m

4m4m8m

800 N/m1200 N/m

Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)E í i R l id C 5


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Exercícios Resolvidos Cap. 5Expressões de esforços Transversos e de Momentos Flectores

Secção 1 : Secciona-se para x, em que 0 < x < 8 m.

ΣFy = 4,300 - 800 *x - V1 = 0

Resolvendo: V1 = [4,300 - 800x] N

Integrando

A condição de fronteira é parax = 0, M = 0Aplicando a cond. fronteira:0 = -400(0) 2 + 4,300(0) + C1 , e resolvendo:C1 = 0 .

Logo, a expressão para a equação dos momentos para a secção 1 dá:

M1 = [-400x 2 + 4,300x] Nm para 0 < x < 8 m.

, resolvendoM1 = -400x 2 + 4,300x + C1

800 N/m

4300 N

Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)E í i R l id C 5


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D e p . E



Secção 2 : Seccionando para x, tal que 8 < x


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Exercícios Resolvidos Cap. 5Secção 3 : Finalmente secciona-se para x, tal que 12 < x < 16 m.

ΣFy = 4,300 - 800 *(8) + 11,700 - 1,200*(x - 8) - V3 = 0

Resolvendo: V3 = [-1,200x + 19,200] N

Integrando

ou, M3 = -600x 2 + 19,200x + C3

A cond. Fronteira obtem-se sabendo que na extremidade da barra o momento flector é zero: patax = 16m, M = 0 Nm.

Aplicando a cond. Fronteira à equação 2 e resolvendo depois em ordem à constante C3, temos: 0 = -600(16)2 + 19,200(16) + C3; eC3 = -153,000 Nm

Assim, a expressão final dos momentos fica :M3 = [-600x 2 + 19,200x - 153,000] Nm para 12 < x < 16

,

800 N/m

1200 N/m

4300 N 11700 N

8m 8m

Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)Exercícios Resolvidos Cap 5


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Exercícios Resolvidos Cap. 5Diagramas de Esforços Transversos e de Momentos Flectores

V1 = -800x + 4,300 N .; V2 = -1,200x + 7,500 N.; V3 = -1,200x + 19,200 NM1 = -400x 2 + 4,300x Nm .; M2 = -600x 2 + 7,500 - 12,800 Nm.;M3 = -600x 2 +19,200x - 153,000 Nm

800 N/m

1200 N/m

8m 4m 4m

V(N) M(Nm)

43004800

-2130

-6930

11400

8560

-9600

Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores

x (m)x (m)



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Para a barra encastrada da figura pretende-se determinaros diagramas de esforços transversos e de momentosflectores.

Solução:

Determinação das reacções nos apoios

Desenhar o diagrama de corpo livre.

Aplicar as condições de equilibrio

ΣFy = -4,000 - 3,000 - (2,000)*(6) - 2,000 + A y = 0

ΣMA = (-4,000)*(4) - (3,000)*(8) -(2,000)*(6)*(11) - (2,000)*(14) +M ext = 0

Resolvendo: Ay = 21,000 N; M ext = 200,000 Nm

4m 4m 6m

2.000N/m

4.000 N 3.000 N 2.000 N

4m 4m 6m

2.000N/m

4.000 N 3.000 N 2.000 N


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Exercícios Resolvidos Cap. 5Determinar as expressões para os esforços transversos e para os momentos flectores para cada troço da barra. Nest

processo secciona-se e estabelece-se o equilibrio para cada troço. Os diagramas de momentos flectores podem serobtidos integrando os diagramas de esforços transversos.

Secção 1 :

Equações de equilibrio

ΣFy = 21,000 N - V1 = 0 ; Resolvendo : V1 = 21,000 N

Σ MA = -V1 * x + 200,000 + M1 = 0 ; substituindo V1 = 21,000 N . obtem-se = -21,000 * x + 200,000 + M1 = 0 .Resolvendo vem M1 = 21,000 x -200,000 Nm .

Ou integrando a expressão dos esforços transversos

A condição de fronteira conhecida é a da extremidade da barra. Neste caso existe um momento exterior aplicaextremidade pelo que é esse o valor do momento nesse ponto. Assim, C1 é: parax = 0, M = -200,000 Nm

Aplicando a cond. Fronteira e resolvendo em ordem à constante:

-200,000 = 21000*(0) + C1; dando C1 = -200,000Assim, a expressão dos momentos flectores dá:M1=[21,000x - 200,000] para 0 < x < 4 m.

, dandoM1 = 21,000x + C1

200.000Nm

21.000 N



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Exercícios Resolvidos Cap. 5Secção 3 : 8 < x < 14 m.

Equilibrio

ΣFy = 21,000 - 4,000 - 3,000 - (2,000)*(x-8) - V3 = 0

Logo:V3 = [-2,000x + 30,000] N

Integrando

Sendo a extremidade direita da barra, livre, o momento flector aí, é zero, logo: parax = 14 m, M = 0 Nm

Aplicando a condição de fronteira:0 = -1,000*(14) 2 + 30,000*(14) + C3 , e resolvendo em ordem aC3 = -224,000 Nm

EntãoM3 = [-1,000x 2 +30,000x - 224,000] Nm para 8 < x < 14 m.

, dandoM3 =-1,000x 2 + 30,000x + C3

4m

200.000Nm

21.000 N 4.000 N 3.000 N

4m

2.000N/m


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Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)Exercícios Propostos Cap. 5


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Exercícios Propostos Cap. 5Para a figura seguinte determine o diagrama de esforços cortantes correcto.

Para a figura seguinte determine o diagrama de momentos flectores correcto.



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Exercícios Propostos Cap. 5Para a figura seguinte determine o diagrama de esforços cortantes correcto.

Para a figura seguinte determine o diagrama de momentos flectores correcto.



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p p

Qual o esforço cortante no centro da viga?Qual o momento flector no centro da viga ? E qual omomento no ponto de aplicação da carga de 10 kN daesquerda.

Qual o esforço cortante no encastramento? Qual o momento flector no encastramento?

cap.5 - flexão simples

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