INTERFERNCIA E DIFRAO DAS ONDAS ELETROMAGNTICAS

METAAplicar conceitos bsicos de interferncia ondulatria, estudados na aula 05, para o caso das ondas eletromagnticas. Discutir peculiaridades da interferncia de luz e as difi culdades de observ-la. Analisar detalhadamente a experincia de Young de dupla fenda. Explicar o fenmeno de difrao das ondas e analisar detalhadamente a difrao da luz por uma nica fenda com fi nita abertura. Generalizar os resultados para entender a difrao por diversas fendas e introduzir o conceito de redes de difrao.

OBJETIVOSAo fi nal desta aula, o aluno dever:Entender por que h difi culdade de se observar interferncia de ondas luminosas.Entender detalhes da experincia histrica de Young de dupla fenda e reconhecer sua importncia. Saber o que difrao de ondas, como se manifesta no nosso cotidiano e qual a diferena entre interferncia e difrao.Entender detalhes da experincia de difrao por uma nica fenda.Entender melhor os limites de aplicao da ptica geomtrica e ptica ondulatria.Entender o conceito de redes de difrao.

PR-REQUISITOTrigonometria bsica; aulas 05-09

Aula

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Introduo

Nessa ltima aula estudaremos os fenmenos de interferncia e difrao das ondas eletromagnticas. Estes so fenmenos tipicamente ondulatrios, e no podem ser analisados em termos da ptica geomtrica. Em vez dela, temos que empregar ptica ondulatria baseada no princpio de Huygens, que foi enunciado na aula 09. Primeiro estudaremos o fenmeno da interferncia, que ocorre quando duas ondas se combinam. Depois disso, estudaremos o fenmeno de difrao, que ocorre quando muitas ondas se combinam. Embora o assunto que ser abordado nessa aula se refira todas as ondas eletromagnticas, ateno especial ser dada s ondas de luz visvel devido sua indiscutvel importncia. 10.1 Interferncia de ondas eletromagnticas J falamos sobre interferncia (ou combinao) de ondas em vrias aulas deste curso. Na aula 05 analisamos a interferncia das ondas mecnicas, na aula 07 discutimos a combinao de duas ondas eletromagnticas idnticas que se propagam em direes opostas e formam uma onda estacionria, e, finalmente, na aula 09 estudamos a combinao de duas ondas eletromagnticas diferentemente polarizadas. A interferncia das ondas luminosas, porm, um pouco diferente, porque no facilmente observvel. A razo disso a existncia de algumas condies especiais para se formar um padro estvel de interferncia da luz. 10.1.1 Condies de se observar a interferncia de ondas luminosas Bom, a interferncia um fenmeno tipicamente ondulatrio que ocorre quando duas ou mais ondas passam pelo mesmo ponto no espao no mesmo instante. Como se combinam essas ondas individuais? Atravs do princpio de superposio, que vale tanto para ondas mecnicas, quanto para ondas eletromagnticas: o deslocamento resultante determinado somando-se os deslocamentos provocados pelas ondas individuais como se elas estivessem presentes sozinhas. O termo deslocamento tem significado geral: (1) no caso das ondas mecnicas, trata-se do deslocamento das partculas do meio em relao posio de equilbrio, (2) no caso das ondas eletromagnticas, trata-se do valor dos vetores dos campos eltricos e magnticos. J sabemos que a soma de duas ondas harmnicas que se propagam no mesmo sentido no igual simplesmente soma aritmtica: com ondas, 1 + 1 nem sempre ser igual a 2. Dependendo da diferena entre as fases das ondas, o resultado pode variar entre 0 e 2.

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Figura 10.1: Ilustrao simplificada da interferncia construtiva e destrutiva das ondas

eletromagnticas linearmente polarizadas ao longo da mesma direo. Os grficos representam a variao do campo eltrico.

Quando as ondas esto em fase, i.e., diferem por um valor mltiplo de 2 , a amplitude do campo eltrico da onda resultante o dobro da amplitude do campo eltrico de cada onda (suponhamos aqui que as amplitudes das duas ondas a se sobrepor so iguais). Mas se a diferena de fases for 2n + , onde n um nmero inteiro, o resultado ser catastrfico as ondas aniquilam uma a outra. No primeiro caso, costumamos dizer que temos interferncia construtiva, e no segundo, interferncia destrutiva (figura 10.1). De modo geral, o efeito de sobreposio das ondas num dado ponto do espao determinado pela diferena entre as fases das duas ondas com que elas chegam a esse ponto. A diferena de fase usualmente introduzida atravs da diferena de caminhos. Se as duas ondas harmnicas idnticas e em fase fossem emitidas por duas fontes 1S e

2S , elas sofreriam interferncia. Situao em um ponto qualquer P do espao depender da diferena entre as distncias 1r e 2r que as ondas percorrem a partir das suas fontes at o ponto P (figura 10.2).

Figura 10.2: Duas fontes 1S e 2S emitem ondas eletromagnticas harmnicas idnticas e em fase.

Se a diferena dos caminhos for 2 1r r n = , onde n um nmero inteiro e o comprimento de onda, o campo eltrico oscilar com amplitude dobrada no ponto P , isto , ocorrer interferncia construtiva neste ponto. Por outro lado, se a diferena for

2 1 ( 1 2)r r n = + ( 0, 1, 2,...n = ) teremos condio para interferncia destrutiva, e

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no ponto P a onda resultante ser zero. Estas so situaes extremas. Caso a diferena dos caminhos tenha algum outro valor, ocorrer uma situao intermediria, i.e., o campo eltrico resultante no ponto P oscilar com amplitude cujo valor seria entre zero e amplitude dobrada.

Figura 10.3: Padro de interferncia entre duas ondas eletromagnticas harmnicas, emitidas em fase pelas duas fontes pontuais. Os crculos representam o conjunto geomtrico dos pontos nos quais o campo eltrico tem valor mximo (equivalente as cristas das ondas). A distncia entre os crculos igual ao comprimento de onda . Lembre-se, a intensidade de onda eletromagntica proporcional ao quadrado da amplitude do seu campo eltrico. Portanto, nos pontos do espao onde ocorre interferncia construtiva a intensidade aumenta, e nos pontos com interferncia destrutiva a intensidade diminui. Forma-se, ento, um padro de interferncia no espao em torno das duas fontes (figura 10.3), bem como no caso das ondas mecnicas (aula 05). OK, se tudo isso verdade, por que no observamos o padro de interferncia que consiste de pontos brilhantes (intensidade mxima) e pontos escuros (intensidade zero) cada vez quando ligamos duas lmpadas num quarto escuro? E por que no vemos o mesmo padro nas ruas noite, sendo elas iluminadas por muitas fontes? Por causa de duas razes principais. Primeiro, porque as lmpadas no emitem luz monocromtica (descrita pela onda harmnica), mas luz que contm uma faixa de comprimentos de onda. Segundo, porque as lmpadas emitem luz de forma no sincronizada, que no mantm constante a diferena de fase entre ondas durante o tempo. Digamos, por causa disso, que essas fontes de luz so incoerentes. Vamos esclarecer esse assunto com mais detalhes. Vamos supor que duas fontes emitam luz monocromtica, com mesmo , mas de maneira no sincronizada. Num ponto do espao rr , os campos eltricos das ondas so descritos por:

(1)1 max 1 1 1

(2)2 max 2 2 2

sin( )

sin( )

E E e k r t

E E e k r t

= += +

rr r rrr r r

onde 1e

r e 2er so vetores unitrios que definem direes ao longo dos quais oscilam os

campos eltricos, e 1kr

e 2kr

descrevem as direes de propagao de cada onda

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luminosa. Imagine que no instante 0t as condies para ocorrer interferncia construtiva so cumpridas, i.e., a diferena total de fase entre as ondas igual a:

0 2 0 1 0( ) ( ) ( )t t t n = + = a diferena de fase introduzida pela diferena dos percursos de duas ondas at

dado ponto, que no muda durante o tempo. 2 1 diferena de fase introduzida pela maneira com a qual a luz produzida (ento associada s fontes). Se as fontes estivessem incoerentes, no instante posterior 1t a diferena 2 1 1 1( ) ( )t t mudaria em relao ao instante 0t , e destruiria a condio de ocorrer interferncia construtiva no dado ponto! Portanto, neste caso a diferena total de fase que governa as condies da interferncia muda com tempo, e as posies onde ocorrem os mximos e os mnimos no so estveis, mas tambm mudam com tempo! Estas mudanas ocorrem num intervalo de tempo igual ao perodo da onda luminosa, que aproximadamente igual a

810 segundos. Nosso olho, bem como qualquer instrumento ptico, no capaz de perceber mudanas to rpidas, e acabamos no vendo o padro de interferncia da luz! Para que isso se torne possvel, as duas fontes devem produzir luz de forma sincronizada, mantendo a diferena de fase associada emisso 2 1 constante durante todo tempo. As fontes que cumprem essa condio chamam-se coerentes. Ento, para produzir padro estvel de interferncia das ondas luminosas vindas de duas ou mais fontes preciso que estas fontes:

sejam coerentes produzam luz monocromtica

O problema que todas as fontes comuns de luz so incoerentes. Por isso to difcil de registrar a interferncia das ondas luminosas, e por isso demorou tanto para que o primeiro padro de tal interferncia fosse observado. A tarefa foi realizada pela primeira vez pelo cientista ingls, Thomas Young, no ano 1801. 10.1.2 Experincia de Young de duas fendas O que o Thomas Young basicamente resolveu foi o problema de obter a luz coerente a partir de fontes distintas. Ele teve uma ideia de dividir a luz proveniente de uma nica fonte em dois ou mais feixes de ondas secundrias. Como estes feixes originam da mesma fonte, eles esto sempre em fase, isto , as fontes secundrias se comportam como fontes coerentes. A experincia de Young considerada uma das experincias mais importantes na histria de cincia. Sendo feita na poca quando a luz foi tratada como um fluxo de pequenas partculas (teoria corpuscular de Newton), ela mostrou claramente sua natureza ondulatria.

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Seu aparato experimental mostrado na figura 10.4a. A luz monocromtica com comprimento de onda , usualmente produzida pelo laser, incide sobre o primeiro anteparo com uma nica fenda estreita. Essa luz no apropriada para gerar padro de interferncia porque as emisses originadas das partes diferentes da fonte no so sincronizadas (suas fases mudam com tempo de maneira diferente). A fenda estreita, segundo o princpio de Huygens, comporta-se como uma fonte puntiforme 0S da luz secundria. Essa luz se origina de uma pequena regio do espao e, portanto, sincronizada. Ela incide sobre as fendas 1S e 2S em fase porque at as fendas elas percorrem a mesma distncia a partir de 0S . As ondas que emergem de 1S e 2S esto, portanto, sempre em fase. Assim, as fontes 1S e 2S podem ser consideradas coerentes. Cada ponto do anteparo final recebe a luz vinda de dois pontos distintos (as duas fendas do anteparo anterior). A diferena do percurso da luz at o ponto de observao faz com que ocorra uma diferena de fase entre as ondas. Nos pontos aonde as duas ondas chegam em contra-fase ocorre interferncia destrutiva e, ento, no observada luz nenhuma. J nos pontos aonde as ondas provenientes das duas fendas chegam em fase ocorre interferncia construtiva, e uma faixa brilhante aparece no anteparo. O padro de interferncia de luz proveniente de 1S e 2S estvel (no muda com tempo) e pode ser observado no anteparo como um arranjo de franjas claras e escuras que se alternam (figura 10.4b).

Figura 10.4: (a) Ilustrao esquemtica da experincia de Young. As fendas 1S e 2S comportam-se como fontes coerentes de luz que conseguem produzir um padro estvel de interferncia no anteparo. (b) Ilustrao da interferncia no anteparo: faixas

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brilhantes so produzidas atravs da interferncia construtiva, e faixas escuras atravs da interferncia destrutiva. (Halliday, Resnick Fundamentals of Physics) Para explicar a experincia de Young e localizar a posio das franjas, utilizaremos como auxlio a figura 10.5, que mostra a situao que ocorre num ponto arbitrrio P do anteparo. Naquele ponto chegam dois raios de luz percorrendo ditncias diferentes 1r e

2r . O padro de interferncia num dado ponto, como j sabemos, determinado pela diferena entre as distncias percorridas pela luz a partir de cada uma das fendas, i.e.,

2 1r r . Como tipicamente a distncia entre as fendas e o anteparo final ( L ) muito maior do que a abertura entre as fendas ( d ), L d>> , os raios emergentes podem ser considerados paralelos e a diferena de percurso imediatamente calculada por

2 1 sinr r d = = (veja figura 10.5b). Quando essa diferena igual a um mltiplo de comprimento de onda , ocorrer a interferncia construtiva:

sin

0, 1, 2,...nd n

n =

= interferncia construtiva, centro de franjas claras (10.1) Quando a diferena dos percursos igual a um mltiplo de um nmero impar de meio comprimento de onda, as duas ondas chegam em contra fase, o que caracteriza uma interferncia destrutiva:

1sin ( )2

0, 1, 2,...

nd n

n

= +=

interferncia destrutiva, centro de franjas escuras (10.2)

O padro final observado no anteparo uma sequncia de faixas luminosas (interferncia construtiva) e faixas escuras (interferncia destrutiva), como ilustrado na figura 10.4b. Sabendo valor da abertura entre fendas d e comprimento de onda da luz , a posio de cada faixa determinada pelo ngulo n , calculado a partir das frmulas 10.1 e 10.2 para qualquer nmero inteiro n , denominado a ordem da franja.

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Figura 10.5: (a) Construo geomtrica que explica a experincia de Young. (b) Quando d L

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Na experincia de Young muito mais fcil localizar as posies de mximos ou mnimos medindo suas distncias a partir do centro do anteparo do que localiz-los medindo ngulos n . Sabendo valores de L e d e medindo ny , a frmula 10.3 ou 10.4 permite que seja calculado o comprimento de onda da luz. Na verdade, foi desse modo que foi determinado este comprimento de onda pela primeira vez no sculo XIX. 10.1.3 Intensidade de mximos na experincia de Young Depois de determinar as posies dos mximos e dos mnimos de uma figura de interferncia da luz produzida por duas fendas, estamos prontos para analisar a intensidade das franjas, e com isso conseguir uma interpretao completa da experincia de Young. Com esse objetivo, escolheremos um ponto arbitrrio P do anteparo, e calcularemos a intensidade da luz neste ponto (figura 10.6).

Figura 10.6: Parte do aparato experimental da experincia de Young mostrando o ponto arbitrrio P no anteparo e os dois raios da luz que interferem neste ponto.

Os campos eltricos das ondas que se combinam no ponto P so:

1 02 0

sinsin( )

E E tE E t

= = + (10.5)

As ondas tm a mesma amplitude, 0E , e exibem certa diferena de fase causada pela diferena dos caminhos, que permanece constante durante o tempo (se o dependesse do tempo, isso indicaria que as fontes seriam incoerentes). Para determinar a intensidade no ponto P , preciso calcular a amplitude resultante do campo eltrico neste ponto, PE . Para fazer isso, utilizaremos o conceito de fasores discutido na aula 01 e representado na figura 10.7.

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Figura 10.7: Representao dos campos eltricos 1Er

e 2Er

da frmula 10.5 pelos

fasores (acima). Abaixo, o fasor resultante PEr

.

A magnitude do campo eltrico (fasor) resultante Er

a amplitude procurada PE .

Aplicando o teorema do cosseno ao tringulo definido pelos vetores 0 0,E Er r

e Er

segue:

( )2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 cos( ) 2 2 cos 2 1 cosPE E E E E E E = + = + = +

Usando a identidade trigonomtrica: 21 cos 2cos2+ = , a expresso acima se

transforma em:

2 2 204 cos 2PE E = 02 cos 2PE E

= (10.6) Lembrando que no ponto P a intensidade da onda eletromagntica descrita pela

frmula: 2012 P

I c E= e substituindo PE pela frmula 10.6, chegamos a concluso de que a intensidade da luz no ponto P descrita por:

2 20 02 cos 2I cE = (10.7)

A intensidade mxima ocorre quando o cosseno igual a 1, i.e., nos pontos para os quais a diferena de fase igual a zero: 20 0 02I cE= (10.8)

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Ela quatro vezes maior do que a intensidade de cada onda individual dada pela equao 10.5. Combinando as equaes 10.7 e 10.8, podemos expressar a intensidade I em qualquer ponto no anteparo em termos da intensidade mxima 0I :

20 cos 2I I = (10.9)

Variando a posio no anteparo, varia-se a diferena de fase entre duas ondas, e a intensidade varia entre zero (interferncia destrutiva, pontos escuros) e um valor mximo 0I (interferncia construtiva, pontos brilhantes), como indicado na figura 10.8.

Figura 10.8: Distribuio das intensidades na figura de interferncia de duas fendas. As posies de mximos e mnimos so determinadas pelas equaes 10.1 10.4 ( m a ordem da franja). A terceira escala refere-se diferena entre percursos das ondas a

partir de duas fendas. A fotografia acima expressa os fatos experimentais. Nota-se da figura 10.8 que as posies de franjas claras e escuras, calculadas pelas frmulas 10.1 e 10.2, esto em excelente concordncia com as posies determinadas experimentalmente. A pequena discordncia observada nas intensidades das franjas brilhantes: enquanto na experincia a intensidade de franja diminui quando sua ordem aumenta, a teoria prev intensidade igual para todas as franjas. Essa discrepncia ocorre porque fizemos uma aproximao no nosso modelo terico da experincia de Young: assumimos que as fendas no possuem largura finita e as considervamos como se fossem pontos. Para corrigir o erro, temos que levar em conta a interferncia das ondas emitidas por diferentes partes da abertura da fenda, tarefa que ser abordada quando estudarmos difrao. Tomando a mdia da equao 10.9 sobre todas as diferenas de fase possveis, podemos acessar a informao sobre a intensidade mdia distribuda no anteparo. Como:

2 1cos2 2 =

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segue: 0 0I cE= (10.10)

que exatamente duas vezes a intensidade de luz que se origina de cada fenda. O resultado mostra que a energia total emitida pelas duas fendas (fontes) no alterada pelo efeito da interferncia, ela somente redistribuda sobre a tela (anteparo). Algumas regies contm menos energia (mnimos), outras regies contm mais energia (mximos), mas em mdia a energia conservada: nem criada nem aniquilada! Finalmente, qual a relao entre a diferena de fase entre duas ondas em dado ponto no anteparo, e a diferena dos caminhos 2 1r r ? Esse assunto foi abordado na aula 05, quando estudamos interferncia das ondas mecnicas. Quando 2 = , a diferena dos caminhos 2 1r r = . Portanto, podemos formar a regra de trs:

2 1

2r r

= , isto : 2 12 ( )r r = (10.11)

Como 2 1 sinr r d = (figura 10.5b), podemos conectar a diferena de fase com ngulo da experincia de Young:

2 sind = (10.12)

A realizao da experincia da dupla fenda deu grande peso hiptese ondulatria da luz. Muitas outras verses desse experimento foram feitas posteriormente. Para se ter uma ideia da importncia desse experimento, o fsico e prmio Nobel norte americano Richard Feynman declarou certa vez que esse simples experimento resumia toda a essncia e todos os mistrios da mecnica quntica.

10.2 Difrao das ondas eletromagnticas

Embora a palavra difrao seja diferente da palavra interferncia, ela no descreve um fenmeno que tem origem fsica diferente. Em vez disso, ambas as palavras referem-se ao mesmo fenmeno bsico: a combinao das ondas que passam pelo mesmo ponto no espao no mesmo instante. Enquanto a interferncia trata combinao de poucas ondas (usualmente duas) e explica fundamentalmente esse efeito, a difrao se refere combinao de um nmero muito grande de ondas e explica efeitos que surgem desta combinao.

10.2.1 Condies de se observar a difrao

Denomina-se como difrao o desvio sofrido pelas ondas ao passar por um obstculo, tal como as bordas de uma fenda em um anteparo. Difrao um efeito exclusivamente

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ondulatrio, e aplica-se tanto para ondas mecnicas quanto para ondas eletromagnticas. Porm, muito mais fcil observ-lo no caso das ondas mecnicas. Vamos comear com um exemplo. Imagine que voc est no corredor, perto da entrada de uma sala onde duas pessoas se encontram conversando. Voc no consegue v-las, mas possvel escutar a conversa delas. Portanto, parece que a onda sonora sofreu desvio (difratou-se) enquanto que a onda luminosa no. Como e por que isso acontece? A entrada da sala pode ser considerada como uma fenda por onde as ondas iro passar. Segundo o princpio de Huygens, cada ponto da fenda comporta-se como fonte de ondas secundrias, que so esfricas. Contudo, ao atravessar a porta, as ondas no iro ficar restritas rea que est diante dela: elas vo atingir as regies que lhe so adjacentes. por isso que uma pessoa encostada na parede, no lado de fora, pode escutar a conversa. Mas, por que no pode ver os falantes, i.e., por que a mesma coisa no ocorre com ondas luminosas (figura 10.9)?

Figura 10.9: Ilustrao do exemplo comentado no texto. (a) Onda sonora passando

atravs do obstculo do tamanho de uma porta exibe difrao notvel. (b) Onda luminosa passando pela mesma porta sofre difrao somente na regio minscula ao

redor da sombra geomtrica, e, portanto nem percebida.

A resposta dessa pergunta tem que levar em conta a relao entre o comprimento da onda e a dimenso (tamanho) do obstculo. Esse assunto ser discutido nos prximos pargrafos com mais detalhes. O comprimento de uma onda sonora varia em mdia de 1,7 cm (som agudo) at 17 m (som grave). Este comprimento de onda comparvel com tamanho de uma porta, e a condio de se aplicar ptica ondulatria cumprida. J o comprimento de uma onda luminosa extremamente pequeno quando comparado ao tamanho da porta, e por isso, sua difrao minscula e praticamente no notvel. Nesse caso, haver regies de sombra, ou seja, reas pelas quais a onda luminosa no ir se propagar. Preste ateno, no foi dito que a luz no sofre difrao, somente que a ltima dificilmente notvel. Dois fatos atrapalham sua percepo: (1) ela ocorre somente em

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uma regio muito estreita em volta da posio da sombra geomtrica, e (2) a luz comum contm uma mistura de comprimentos de onda, cada um exibindo sua prpria difrao, e a combinao deles dificulta criao de um padro estvel. Portanto, para se produzir a difrao observvel da luz necessrio que os obstculos sejam de tamanho comparvel ao do comprimento de uma onda luminosa e que a luz seja monocromtica. A figura 10.10 mostra um padro de difrao que se forma quando a luz monocromtica incide sobre um objeto opaco. Segundo a ptica geomtrica, o que devamos observar uma regio escura atrs do objeto (sombra geomtrica) embaixo da sua extremidade, e uma regio clara acima da sua extremidade, iluminada continuamente. Mas, se olhssemos com uma lupa a regio pequena em torno da borda da sombra geomtrica, perceberemos uma sucesso de franjas claras e escuras, tanto em cima quanto embaixo da borda.

Figura 10.10: Figura de difrao formada pela luz monocromtica em torno da extremidade do objeto opaco.

A figura 10.11 mostra o padro de difrao formado por iluminao monocromtica de uma bola de ao com dimetro aproximadamente igual a 3 mm. Anis claros e escuros formam-se dentro e fora da rea da sombra geomtrica. Inclusive existe um pequeno crculo brilhante formado no centro da sombra, chamado disco de Poisson. Ele foi previsto teoricamente pelo matemtico Frances Simon-Denis Poisson, antes de ser observado experimentalmente.

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Figura 10.11: Figura de difrao formada por uma bola de ao com dimetro de 3 mm. Geralmente, existem dois tipos de difrao. Quando as distncias entre a fonte da luz e o obstculo e entre o obstculo e tela no so grandes, trata-se de difrao do campo prximo, ou difrao de Fresnel. Quando as distncias entre a fonte, o obstculo e a tela so suficiente grandes para que possamos usar a aproximao de raios paralelos, trata-se de uma difrao de Fraunhofer. O formalismo matemtico neste caso mais simples, e por causa disso as discusses seguintes sero restritas difrao de Fraunhofer. Finalmente, bom enfatizar mais uma vez que no existe nenhuma diferena fundamental entre fenmenos de interferncia e difrao. Ambos os fenmenos so baseados em superposio das ondas e explicados pelo princpio de Huygens. A interferncia trata efeitos de superposio que envolve um nmero pequeno de fontes, geralmente duas. Na difrao consideramos um nmero muito grande de fontes, ou uma distribuio contnua de ondas secundrias de Huygens oriundas de uma ou vrias reas de aberturas. 10.2.2 Difrao por uma nica fenda Quando discutimos o efeito da interferncia, consideramos que os obstculos se comportam como se fossem fontes puntiformes de ondas secundrias, desprezando o fato que elas possuem um tamanho finito. Ns abandonaremos esta suposio agora, e veremos como a interferncia que surge de uma fenda com largura finita serve como base para entender a difrao de Fraunhofer. O aparato experimental ilustrado na figura 10.12. A luz monocromtica, com comprimento de onda , incide sobre um anteparo com uma fenda cuja largura a . Cada ponto da abertura da fenda comporta-se, segundo o princpio de Huygens, como uma fonte puntiforme de ondas secundrias. As ltimas interferem entre si e formam uma sucesso de franjas claras e escuras (figura de difrao) na tela cuja distncia a partir da fenda L . Se o L fosse muito maior do que a distncia das franjas a partir do

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centro da tela ( y na figura 10.12), todos os raios que chegam a determinado ponto na tela podem ser considerados como paralelos, e o que ocorre a chamada difrao de Fraunhofer.

Figura 10.12: Ilustrao da difrao por uma fenda com largura a . Se L y>> aproximao dos raios paralelos valida (difrao de Fraunhofer).

Vamos escolher agora um ponto arbitrrio na tela e analisar detalhadamente a interferncia de todos os raios paralelos que chegam neste ponto. Vamos ainda supor que a posio deste ponto determinada pelo ngulo (figura 10.13).

Figura 10.13: Superposio de raios paralelos originados da abertura da fenda, inclinados por ngulo .

Para comear, dividimos a abertura da fenda em duas metades, como se mostra na figura 10.13. A diferena entre os percursos de um raio surgindo do topo do alto da

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metade (raio 5) e um raio surgindo da borda metade abaixo (raio 3) igual 2 sina (pela geometria simples do tringulo destacado na figura). Fazendo uma varredura dos pontos da abertura de cima para baixo, acharemos para cada ponto do alto da metade da fenda um ponto na metade da fenda com tal propriedade de que a diferena dos percursos de raios surgindo desses dois pontos seja igual a 2 sina . Vamos supor que a diferena entre os percursos desses raios seja 2 , i.e., os raios chegam tela em contra fase, produzindo interferncia destrutiva (cancelando-se). Ento, os raios 5 e 3 se cancelam, o par dos raios surgindo de pontos imediatamente abaixo desses dois pontos tambm se cancelam, o par dos raios surgindo de pontos imediatamente abaixo do ltimo par tambm se cancelam etc..., os raios surgindo de pontos 4 e 2 tambm se cancelam,..., at que chegamos a considerar o cancelamento de raios que surgem do ltimo par de pontos: raios 3 e 1! Em concluso, o nmero infinito de raios que surgem da abertura da fenda dividido em pares que se cancelam um ao outro. Portanto, para aqueles ngulos que satisfazem a condio:

sin2 2a = i.e., sin 1

a =

teremos interferncia destrutiva e o primeiro mnimo (franja escura) na tela! Se dividirmos agora a abertura em quatro partes e repetirmos o mesmo raciocnio, concluiremos que os raios seriam divididos em pares que apresentam a diferena de percursos igual a 4 sina (vale para os raios 5 e 4, 4 e 3, 3 e 2, 2 e 1 na figura 10.13). Se esta diferena for igual a 2 , teremos a equao:

sin4 2a = i.e., sin 2

a =

que define o ngulo que corresponde ao segundo mnimo na tela. Dividindo a abertura em 6, 8, 10,... partes e repetindo mesmo raciocnio, chegaremos a concluso que os ngulos que determinam as posies de mnimos (franjas escuras) so definidos pela frmula:

sin m m a = ( 1, 2, 3...m = ) (mnimos) (10.13)

onde o nmero m representa a ordem da franja. Preste ateno, 0m = no define o mnimo, pois neste caso o ngulo 0 0 = define o ponto no centro da tela onde todos os raios chegam em fase. Portanto, 0 = corresponde ao ponto onde ocorre interferncia construtiva, que o primeiro mximo (faixa brilhante) que aparece na tela. A frmula 10.13 pode ser simplificada se utilizarmos o fato de que a distncia entre a fenda e a tela, L , esteja muito maior do que as distncias entre o ponto central da tela e as franjas escuras ( my ) ( mL y>> ). Nesse caso, os ngulos so muito pequenos e sin . Portanto, a equao 10.13 se transforma em:

m m a (10.14)

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Pela geometria do tringulo apresentado na figura 10.12 segue: mmytgL

= . Como m muito pequeno, podemos escrever: sin mm m m

ytgL

= . Combinando esse resultado com a frmula 10.14, chegamos a frmula que descreve aproximadamente as posies de faixas escuras em termos da distncia a partir do centro da tela:

my m L a ( 1, 2, 3,...m = ) (mnimos) (10.15)

Como entre quaisquer dois mnimos sucessivos aparece um mximo exatamente na metade da distncia entre eles, as equaes 10.13 e 10.15 descrevem todas as posies de faixas escuras e brilhantes em uma figura de difrao de uma nica fenda. Porm, essas frmulas no nos dizem nada sobre a intensidade das faixas. A figura 10.14 demonstra um padro tpico de difrao de uma fenda observado experimentalmente.

Figura 10.14: Padro de difrao Fraunhofer por uma fenda. As posies de mnimos so determinadas pelas equaes 10.13 ou 10.15. Os picos apresentados na tela so as intensidades de faixas. Observe que a faixa que corresponde ao mximo central est

duas vezes mais larga do que outras faixas brilhantes e, ao mesmo tempo, muito mais intensa.

Para calcular as intensidades das franjas, utilizaremos de novo o conceito de fasores. O que precisamos calcular a amplitude do campo eltrico resultante no arbitrrio ponto R da tela, RE . Dividindo a abertura da fenda em muitas faixas pequenas, as ondas provenientes destas faixas chegam ao ponto R com fases diferentes, pois percorrem percursos diferentes a partir da sua faixa at o ponto R . Somando os fasores dos campos eltricos destas ondas, determina-se o fasor do campo eltrico resultante no

247

ponto R , cuja magnitude RE . A figura 10.15 mostra duas situaes: (1) quando o ponto R se encontra no centro da tela, e, portanto, todas as ondas chegam com mesma fase, e (2) quando o ponto R deslocado do centro e, portanto, as ondas chegam com uma diferena de fase uma em relao a outra. No primeiro caso, a amplitude tem valor mximo 0RE E= , e refere-se ao ponto central da tela 0 = , onde a intensidade mxima.

Figura 10.15: Diagrama de fasores para determinar a amplitude do campo resultante RE . Cada fasor representa o campo eltrico de uma nica faixa da abertura da fenda.

(a) Diagrama quando todos os fasores esto em fase (ponto R no centro da tela). (b) Diagrama quando cada fasor possui uma pequena diferena de fase em relao ao fasor adjacente (ponto R afastado do centro da tela, 0 ). Bom, analisaremos o segundo caso, pois ele representa um caso geral. Se a abertura da fenda fosse dividida em faixas infinitesimais, a linha poligonal de fasores na figura 10.15b se transformaria em um arco de circunferncia (figura 10.16), cujo comprimento igual ao valor 0E . A diferena de fase total entre a onda que sai da faixa no topo da fenda e a que sai da faixa no inferior da fenda igual a .

248

Figura 10.16: Limite atingido pelo diagrama de fasores quando a fenda subdividida em um nmero infinito de faixas.

De acordo com a geometria mostrada na figura 10.16 (o tringulo destacado), vale:

2sin2

RER

=

onde o R o raio da curvatura, que pode ser calculado a partir da frmula: 0R E = (o comprimento de arco circular igual ao produto de raio e o ngulo entre os raios que definem o arco). Assim, segue:

00

sin 22 sin 2 sin2 2 2R

EE R E = = =

Como a intensidade em cada ponto da tela proporcional ao quadrado da amplitude do campo eltrico da onda, a intensidade em um ponto arbitrrio R na tela :

2

0sin 2

2I I

= (10.16)

onde 0I intensidade da figura de difrao no ponto central da tela ( 0 = ), i.e., a intensidade do mximo central. A diferena de fase pode ser expressa em termos de parmetros geomtricos da experincia se notarmos que a diferena de caminho entre o raio proveniente do topo da fenda e o raio que sai do meio da fenda igual a 2 sina (figura 10.13, raios 5 e 3). Esta diferena de percurso causa uma diferena de fase igual a 2 (figura 10.16). Estabelecendo uma regra de trs, segue:

2 22 sina

=

2 sina = (10.17) Com esse resultado, a equao 10.16 pode ser escrita na forma:

2

0

sinsin

sin

a

I I a

= (10.18)

A equao 10.18 descreve a intensidade da figura de difrao em qualquer ponto na tela como funo do ngulo , enquanto a equao 10.16 expressa a intensidade como funo de diferena de fase . A relao entre o e o dada pela equao 10.17.

249

As franjas escuras da difrao se formam nos pontos para os quais 0I = . Pela equao 10.18 isso ocorre quando o numerador se torna igual a zero e, ao mesmo tempo, denominador for diferente de zero. Estas condies so cumpridas quando:

sina m = ( 1, 2, 3,...m = )

isto : sin m m a = ( 1, 2, 3,...m = )

que exatamente a relao 10.13 obtida anteriormente. Observem de novo que 0m = no define o ponto com intensidade zero. A condio se refere ao ponto central da tela, para o qual diferena total de fase das ondas incidentes igual a zero. Aplicando regra de LHpital para equao 10.16, podemos verificar que quando 0 = (ponto central),

0I I= , i.e., a intensidade mxima (mximo central). As posies dos mximos da intensidade (picos) tambm so determinadas a partir da equao 10.16. Os mximos devem ocorrer quando a funo seno atinge valores iguais a 1 , isto , quando: 12 ( )

2m = + ( 0,1, 2,...m = ) (10.19)

Colocando esses valores na equao 10.16, acham-se as intensidades dos picos (em funo da ordem m ):

0 221

2

mII

m = +

(10.20)

mI a intensidade do mximo lateral de ordem m , enquanto 0I a intensidade do

mximo central. A equao 10.20 fornece as seguintes intensidades dos picos:

1 0 2 0 3 00,0450 ; 0,0162 ; 0,0083 ...I I I I I I= = =

Os valores so, porm, somente aproximadamente corretos, porque a frmula 10.19 no completamente certa (os verdadeiros valores de que maximizam I so pouco diferentes). Levando em conta isso, as intensidades dos mximos laterais so: 1 0 2 0 3 00,0472 ; 0,0165 ; 0,0083 ...I I I I I I= = = (10.21)

Nota-se que as intensidades dos mximos laterais diminuem muito rapidamente. At o primeiro mximo contm menos de 5% da intensidade do mximo central (figura 10.17).

250

Figura 10.17: (a) Curva terica da intensidade em funo de ngulo 2

(equao 10.16). (b) Foto de padro de difrao por nica fenda.

10.2.3 Largura da figura de difrao por fenda nica

Com auxlio da equao 10.13 e da figura 10.14 fcil concluir que a largura do mximo central da difrao de fenda nica determinada pelo ngulo 1 que define os pontos de primeiros mnimos laterais.

1sin a = (10.22)

Para ondas luminosas o comprimento de onda geralmente muito menor do que a largura da fenda a , e os valores de so to pequenos que a aproximao sin bastante boa. Com isso,

1 a (10.23)

O valor de 1 (em radianos) expressa a largura (ou espalhamento angular) do mximo central, ou seja, a largura da imagem. A partir da equao 10.23 podemos analisar trs situaes diferentes. (1) a >> Quando a abertura do obstculo muito maior do que o comprimento de onda de luz, o ngulo 1 muito pequeno, praticamente igual a zero. Isto significa que os raios da luz (ou de outra onda qualquer) praticamente no se desviam do seu caminho inicial e a imagem que a abertura produz simplesmente a projeo geomtrica da abertura (sombra geomtrica). Neste caso, podemos usar a ptica geomtrica para descrever a

251

propagao da luz. Essa situao mais comum em nosso dia-dia, pois os obstculos tm tamanho bem maior do que o da luz (portas, janelas...). Por isso, no se nota o efeito de difrao. (2) a Quando a abertura do obstculo comparvel com o comprimento de onda de luz, efeitos de difrao so observveis e importantes. exatamente o caso que analisamos na seo 10.2.2. Para descrever esses efeitos, a ptica geomtrica tem que ser substituda pela ptica ondulatria. A equao 10.23 demonstra que a diminuio da abertura do obstculo causa alargamento do mximo central (imagem). Isso acontece, porm, at o certo limite, descrito pela prxima situao. (3) a Quando a abertura do obstculo igual ou menor do que comprimento de onda de luz, o mximo central se alarga tanto que no podemos observar mais nenhum outro mnimo ou mximo. A figura de difrao perdida, e o obstculo se comporta como uma fonte puntiforme de ondas secundrias. Esta situao foi suposta de ocorrer quando analisamos a interferncia por fenda dupla de Young.

Figura 10.18: As figuras de difrao por nica fenda em funo da razo a .

A difrao ocorre para qualquer tipo de onda e no apenas para a luz. As ondas sonoras tambm sofrem difrao ao passar por uma abertura. As ondas sonoras da voz humana possuem comprimentos de onda um pouco maiores do que um metro, enquanto uma porta comum possui largura inferior a um metro. Neste caso a < e o mximo central se espalha at 0180 . Isso explica por que o som que passa por uma porta aberta pode ser ouvido por uma pessoa que est fora do ngulo da viso atrs da porta. Ao contrrio, no existe nenhuma difrao da luz atravs da porta, porque a sua largura muito maior do que o da luz. Voc pode ouvir em torno de arestas, mas no pode ver em torno delas!

10.2.4 Difrao por diversas fendas; redes de difrao Vamos examinar novamente o problema da fenda dupla, considerada na experincia de Young, mas agora levando em conta que as fendas no so fontes puntiformes, mas possuem abertura finita (caso mais realista).

252

Figura 10.19: Arranjo experimental para estudo da difrao por fenda dupla. A largura das fendas a , e a distncia entre os centros das fendas igual a d .

Quando a as fendas se comportam como fontes puntiformes, e na tela se forma uma figura de interferncia de Young, igual aquela mostrada na figura 10.8. Quando a , porm, os efeitos de difrao se tornam importantes, e a figura resultante consiste da combinao dos efeitos de interferncia e difrao. A intensidade resultante da figura pode ser encontrada multiplicando a intensidade que surge da interferncia (equao 10.9) pela intensidade que surge da difrao (equao 10.16):

2

20

sin 2cos2 2

I I =

(10.24)

onde: 2 sind = e 2 sina = (10.25)

O fator 2cos2 se chama fator de interferncia, enquanto o fator

2sin 2

2

denominado fator de difrao. 0I a intensidade mxima que ocorre no centro da tela. A equao 10.24 produz todos os picos (mximos) da interferncia atravs do fator de interferncia, mas a intensidade dos picos modulada devido ao fator de difrao. O resultado consiste em um padro de vrias faixas brilhantes cuja intensidade diminui ao se afastar dos mximos centrais (figura 10.20).

253

254

Figura 10.20: Intensidade resultante na figura de difrao por duas fendas de largura finita (Young and Freedman, Fsica IV tica e Fsica Moderna, Pearson).

O nmero de picos e seus arranjos dependem geralmente da razo d a . A condio de ocorrer o mximo da interferncia de ordem m descrita pela equao 10.1:

sind m = Por outro lado, equao 10.13 especifica que o primeiro mnimo da difrao ocorre quando:

sina = Dividindo essas duas equaes, podemos determinar qual mximo da interferncia coincide com o primeiro mnimo de difrao:

sinsin

d ma

= d ma= (10.26)

Ento, o m-simo mximo de interferncia zerado pelo primeiro mnimo de difrao, e o pico central da difrao consiste de 2 ( 1)m picos da interferncia mais o pico central. Cada pico lateral da difrao consiste de 1m picos de interferncia. Na situao mostrada na figura 10.20 a razo d a igual a quatro. Como consequncia, cada quarto mximo da interferncia anulado por que no mesmo lugar ocorre o mnimo de difrao. Vamos agora considerar figuras produzidas por mais de duas fendas estreitas. Essa situao interessante porque existe uma extraordinria aplicao prtica desse sistema em espectroscopia: a determinao precisa dos comprimentos de onda da luz incidente! Suponhamos que as fendas estejam localizadas na mesma distncia d uma em relao outra, e que as larguras das fendas sejam iguais ( a ). Suponhamos tambm que a largura a seja menor do que o comprimento de onda, de modo que possamos considerar cada fenda como uma fonte puntiforme de luz. Assim, os efeitos de difrao que ocorrem por uma nica fenda com largura finita so desprezveis. A figura 10.21 ilustra tal situao.

255

Figura 10.21: Ilustrao de difrao por fendas mltiplas. A interferncia construtiva ocorre quando a diferena dos percursos entre os raios se iguala um mltiplo inteiro de comprimento de onda, i.e., para os raios que formam um ngulo que satisfaz seguinte equao: sind m = ; ( 0, 1, 2,...m = ) (10.27) Isso significa que os mximos ocorrem nas mesmas posies como no caso da experincia de duas fendas, com mesmo espaamento entre as fendas (veja frmula 10.1). Nesse sentido, a figura resultante semelhante que resulta da interferncia da fenda dupla. A diferena se manifesta nos seguintes detalhes: (1) com aumento do nmero de fendas os mximos determinados pela equao 10.27, chamados mximos principais, tornam-se mais estreitos e mais intensos; (2) entre quaisquer dois mximos principais existe mais de um mnimo, e este nmero de mnimos cresce com aumento de nmero de fendas. A figura 10.22 ilustra a situao quando o anteparo contm duas fendas (experincia de Young), 8 fendas e 16 fendas. Atravs de clculos detalhados, mostra-se que a intensidade e a largura dos mximos principais dependem de nmero de fendas N , como 2 0N I e 1 N , respectivamente. Portanto, quanto maior for o nmero de fendas, mais intensos e melhor resolvidos sero os picos. As posies destes picos, i.e., os ngulos que as determinam, podem ser medidos com maior preciso. Isso significa que, atravs da equao 10.27, o comprimento de onda da luz que incide nas fendas pode ser determinado com excelente preciso. Essa a idia bsica que est por trs da construo das redes de difrao, que so conjuntos que contm um nmero grande de fendas paralelas, todas com a mesma largura a e com a mesma distncia d entre elas. Para uma rede de difrao o termo fenda pode ser substitudo por ranhura ou linha, que so usualmente feitas com uma ponta de diamante. Quando uma rede com centenas ou milhares de fendas iluminada por um feixe de raios paralelos de luz monocromtica, a figura obtida constituda por uma srie de linhas estreitas em ngulos determinados pela equao 10.27. As redes destinadas ao uso de luz visvel costumam ter cerca de 1000 fendas por milmetro. O valor correspondente a d dado pelo inverso do nmero de fendas, ento 1 1000 mm = 1000 nm.

256

Figura 10.22: Intensidade de padres de interferncia por duas, oito e dezesseis fendas

estreitas (Young and Freedman, Fsica IV tica e Fsica Moderna, Pearson).

257

Bibliografia consultada

Alonso, M. S. e Finn, E. J., Fsica, Ed. Edgard Blucher Editora, So Paulo, 1999. Young, H. D. e Freedman, R. A. Fsica IV tica e Fsica Moderna, Pearson Education do Brasil (qualquer edio). Serway, R. A. e Jewett, J. W. Princpios de Fsica, vol. 4, editora Thomson (qualquer edio).

Questes

1. Uma experincia de interferncia com fenda dupla realizada e formam-se franjas de interferncia sobre um anteparo. A seguir, o conjunto inteiro do aparato experimental imerso em uma piscina. Qual a alterao produzida na distribuio das franjas?

Dica: O comprimento de onda da luz na gua menor do que no ar (aula 08,

equao 8.9). Analise o que acontece com as posies de mximos neste caso

(equao 10.3).

2. Os faris dianteiros de um carro muito distante formam uma figura de interferncia semelhante ao de duas fontes? Caso forme, como poderamos observ-la? Caso contrrio, por que no?

3. A experincia de Young de fenda dupla poderia ser realizada com raios gama? Caso no possa, por que no? Caso possa, discuta as diferenas na montagem da experincia em comparao com a experincia feita com a luz visvel?

Resposta Em princpio, pode, pois os raios gama so do tipo de ondas eletromagnticas e sofrem interferncia. Na prtica, no pode, pois o comprimento de onda dos raios gama extremamente pequeno ( 12 1410 10 m ) e no conseguimos achar obstculos cujo tamanho seja comparvel com isso. A largura das fendas usadas para observao da interferncia da luz visvel muito grande em comparao com de raios gama, e os efeitos de difrao no so percebidos.

4. Ao usar o princpio de superposio para calcular as intensidades na figura de interferncia, voc poderia somar as intensidades em vez de somar as amplitudes da onda?

258

Resposta No. A intensidade num determinado ponto depende do quadrado da amplitude do campo eltrico resultante. Portanto, temos que fazer uma soma vetorial dos campos eltricos das ondas individuais para achar a amplitude resultante, tomar o quadrado dessa amplitude e determinar a intensidade. Por outro lado, a soma das intensidades envolveria a soma dos quadrados das amplitudes das ondas individuais, que daria resultado errado.

5. Por que podemos observar facilmente os efeitos de difrao em ondas sonoras, mas no em ondas luminosas? 6. Qual a diferena entre a difrao de Fresnel e a de Fraunhofer? Os processos fsicos desses dois fenmenos so diferentes? Explique. 7. As ondas sonoras usadas predominantemente na fala humana possuem comprimentos de onda no intervalo de 1 at 3 metros. Usando os conceitos de difrao, explique como voc pode ouvir a voz de uma pessoa mesmo quando ela est de costas para voc. 8. Uma luz de comprimento de onda e frequncia f passa por uma nica fenda de largura a . A figura de difrao observada sobre uma tela a uma distncia x da fenda. Qual dos seguintes processos diminuir a largura do mximo central? (a) Diminuir a largura da fenda; (b) diminuir a frequncia da luz; (c) diminuir o comprimento de onda da luz; (d) diminuir a distncia entre a tela e a fenda. Em cada caso, justifique a sua resposta.

Dica: Analise a equao 10.23.

Exerccios

1. Uma experincia de dupla fenda de Young realizada com luz monocromtica. A separao entre as fendas de 0,500 mm e o padro de interferncia em um anteparo a 3,30 m de distncia mostra o primeiro mximo lateral a 3,40 mm do centro do padro. Qual o comprimento de onda?

Resposta

A distncia entre o centro da tela e o mximo de ordem m nLy nd

. Para 1n = 3 3

61 3, 40 10 0,50 10 0,51 10 5103,30

y d m m nmL

= = = = 2. Em um lugar onde a velocidade do som 354 m/s, uma onda sonora de 2000 Hz incide sobre duas fendas separadas por 30,0 cm. (a) Em qual ngulo se localiza o primeiro mximo? (b) Se a onda sonora for substituda por microondas de 3,00 cm, qual separao entre as fendas fornecer o mesmo ngulo para o primeiro mximo? (c) Se a

259

separao entre as fendas for de 1,00 m , qual frequncia da luz daria o mesmo ngulo do primeiro mximo?

Resposta

(a) Para onda sonora: 354 0,17720001

m sv f ms

= = = . A condio para ocorrer o mximo da interferncia : sind n = . O primeiro mximo determinado por:

10,177sin 0,590,3

md m = = = 01 36,15 = .

(b) 1sin 1d = 1

3,00 5,08sin 0,59

cmd cm= = = .

(c) 1sin 1vdf

= = 661

354 600 10 0,6sin 10 0,59v m sf Hz GHz

d m = = = = .

3. Duas antenas de rdio separadas por 300 m, como na Figura abaixo, transmitem simultaneamente sinais idnticos de mesmo comprimento de onda. Um rdio em um carro viajando rumo norte recebe os sinais. (a) Se o carro est na posio do segundo mximo, qual o comprimento de onda dos sinais? (b) Qual distncia adicional o carro deve percorrer para encontrar o prximo mnimo na recepo? (Nota: no use a aproximao de ngulo pequeno neste problema.)

Resposta (a) Precisamos achar as distncias entre o carro e as fontes, e calcular diferena de percursos de ondas sonoras at o carro. Com ajuda da geometria ilustrada na figura abaixo, seque:

2 2 2 2 22 2 (1000 ) (250 )r R s m m= + = + 2 1030,78r m= 2 2 2 2 2

1 1 (1000 ) (550 )r R s m m= + = + 1 1141,27r m= Como o carro se encontra no segundo mximo: 1 2 2r r = .

260

1 2 55,252

r r m = = .

(b) Agora, o carro se deslocou para o norte percorrendo a distncia x (veja figura abaixo), encontrando o prximo ponto do mnimo.

As condies para os mnimos so: 1 2 ( 1 2)r r m = + e, conclumos que o carro atingiu o mnimo 2m = . Portanto, 1 2 5 2 138,1r r m = = . Com ajuda da geometria ilustrada na figura acima, podemos achar o valor de x :

2 21 1( )r R s x = + +

2 22 2( )r R s x = + +

2 2 2 21 2 1 2138,1 ( ) ( )r r m R s x R s x = = + + + +

Resolvendo esta equao para x , chega-se resposta.

261

4. realizada uma experincia de dupla fenda de Young com luz de 589 nm e uma distncia de 2,00 m entre as fendas e o anteparo. O dcimo mnimo da interferncia observado a 7,26 mm do mximo central. Determine o espaamento entre as fendas.

Resposta Distncia entre centro da tela e m-simo mnimo determinada pela frmula:

1( )2m

Ly md

= + , onde 9m = (dcimo mnimo), Daqui:

9 63

9

(9 1 2) 9,5589 10 2,0 1541, 46 10 1,547, 26 10

d L m m m mmy m

+= = = 5. Duas fendas esto separadas por 0,320 mm. Um feixe luminoso de 500 nm atinge as fendas produzindo um padro de interferncia. Determine o nmero de mximos observado na faixa angular -30,0 < < 30,0.

Resposta

A condio de ocorrncia dos mximos: sind m = sin md = .

96 3

3

500 10 1562 10 1,562 100,32 10

md m

= = = . Portanto:

0 3sin 30 1,562 10m = e 320m . Como os mximos ocorrem tanto para m negativo quanto para m

positivo (simetricamente em torno do centro da tela), o nmero dos mximos o dobro deste valor, i.e., ocorrem cerca de 640 mximos.

6. A experincia da dupla fenda de Young est por trs do sistema de pouso por instrumentos usados para guiar aeronaves para aterrissagens seguras quando h pouca visibilidade. Ainda que os sistemas reais sejam mais complicados que o exemplo descrito aqui, eles operam sob os mesmos princpios. Um piloto est tentando alinhar seu avio com uma pista de aterrissagem, como sugerido na Figura (a) abaixo. Duas antenas de rdio 1A e 2A separadas por 40,0 m, esto posicionadas adjacentes pista. As antenas transmitem ondas de rdio no moduladas e coerentes com 30,0 MHz. (a) Encontre o comprimento de onda das ondas. O piloto "trava" no forte sinal irradiado ao longo de um mximo de interferncia e direciona o avio para manter forte o sinal recebido. Se ele detectar o mximo central, o avio ter o direcionamento correto para aterrissar quando ele alcanar a pista. b) Suponha, em vez disso, que o avio est voando ao longo do primeiro mximo lateral (Figura (b) abaixo). A que distncia lateral da linha central da pista o avio est quando ele se encontra a 2,00 km das antenas?

262

(c) possvel dizer ao piloto que ele est no mximo errado enviando dois sinais de cada antena e equipando a aeronave com um receptor de dois canais. A razo entre as duas frequncias no deve ser uma razo de nmeros inteiros pequenos (como, por exemplo, 3/4). Explique como esse sistema de duas frequncias iria funcionar e por que ele no necessariamente funciona se as frequncias forem relacionadas por uma razo de nmeros inteiros. 7. A intensidade no anteparo em um determinado ponto em um padro de interferncia de dupla fenda 64,0% do valor mximo. (a) Qual a diferena mnima de fase (em radianos) entre as fontes produz esse resultado? (b) Expresse essa diferena de fase como uma diferena de percurso para luz de 486,1 nm.

Resposta

(a) 2max cos 2I I = 2max max0,64 cos 2I I

= 074 = .

(b) 2

r

= 0

0

74486,1 1002 360

r nm nm = = = . 8. Duas fendas esto separadas por 0,180 mm. Um padro de interferncia formado em um anteparo a 80,0 cm de distncia causado por luz de 656,3 nm. Calcule a frao da intensidade mxima a 0,600 cm acima do mximo central.

Dica preciso achar a intensidade em um ponto determinado na tela (digamos, ponto P ), cuja distncia a partir do centro da tela 0,600y cm= . O problema pode ser resolvido em 3 passos.

263

1. Utilizando a geometria da experincia de Young, similarmente mostrada na resoluo do exerccio 03, ache as distncias 1r e 2r entre as fendas e o ponto P . Calcule diferena entre os percursos 1 2r r que causa a diferena de fase no ponto P . 2. A partir da diferena dos caminhos, calcule a diferena de fase dos raios que chegam ao ponto P .

3. Finalmente, calcule intensidade no ponto P : 2max cos 2I I = . O resultado :

max0,0086I I= . 9. Luz de laser de hlio-nenio ( = 632,8 nm) enviada atravs de uma fenda nica de 0,300 mm de largura. Qual a largura do mximo central em um anteparo a 1,00 m da fenda?

Resposta A largura do mximo central determinada pelo ngulo 1 que corresponde ao primeiro mnimo da difrao (veja figura 10.14). Como: 1sin a =

90

1 3

632,8 10arcsin( ) 0,120,300 10

mm

= = . Portanto, o espalhamento angular do mximo central igual a 012 0,24 . Como a tela est afastada da fenda por 1,00L m= , a largura do primeiro mximo igual a 1 12 2 0,004 4y L tg m mm = = = ( 1y a posio do primeiro mnimo de difrao determinado pelo ngulo 1 ).

10. Um feixe de luz verde difratado por uma fenda de 0,550 mm de largura. O padro de difrao se forma em uma parede a 2,06 m alm da fenda. A distncia entre as posi-es de intensidade nula nos dois lados da franja brilhante central de 4,10 mm. Calcule o comprimento de onda da luz de laser. 11. Um anteparo est localizado a 50,0 cm de uma fenda nica, que iluminada com luz de 690 nm. Se a distncia entre o primeiro e o terceiro mnimo no padro de difrao de 3,00 mm, qual a largura da fenda?

Resposta As posies dos mnimos num padro de difrao so determinadas pela equao 10.15:

my m L a ( 1, 2, 3,...m = ).

3 1 3 1 2y y L L La a a = =

264

9

63

3 1

2 2 0,5 690 10 230 10 0,23( ) 3,00 10

L m ma m mmy y m

= = = = . 12. Som, com uma frequncia de 650 Hz e vindo de uma fonte distante, atravessa uma entrada de porta com 1,10 m de largura localizada em uma parede absorvedora de som. Encontre o nmero e as direes aproximadas dos feixes de difrao mxima irradiados no espao alm da entrada. Resumo da aula Interferncia de ondas luminosas o resultado da superposio linear de duas ou mais ondas que se encontram num determinado ponto no mesmo instante. Um padro estvel de interferncia dessas ondas pode ser observado se: (1) a luz for monocromtica, e (2) as fontes forem coerentes. A primeira observao da interferncia da luz foi realizada na experincia de dupla fenda de Young (1801), que dividiu a luz monocromtica (com comprimento de onda ) proveniente de uma nica fonte em duas partes, usando duas fendas estreitas separadas por uma distncia d . Dessa maneira, essas fendas se comportam como fontes coerentes que produzem um padro de interferncia, que consiste de franjas brilhantes e escuras, que foi visto na tela de observao a uma distncia L d>> . As posies dos centros das franjas brilhantes e escuras (onde ocorre interferncia construtiva e destrutiva) so determinadas ou em termos de um ngulo m , definido como ngulo entre a normal que conecta o anteparo de fendas com a tela de observao, ou em termos da distncia my a partir do centro da tela de observao:

sin m

m

d mLy md

= ( 0, 1, 2,...m = ) centros de franjas brilhantes

1sin ( )2

1( )2

m

m

d m

Ly md

= +

+ ( 0, 1, 2,...m = ) centros de franjas escuras

onde o nmero | |m se chama ordem da franja. A intensidade de franjas descrita pela equao:

20 cos 2I I =

onde 2 sind = , e 0I a intensidade mxima que ocorre nos centros das faixas brilhantes. Difrao um fenmeno que no fundamentalmente diferente da interferncia. Ambos os fenmenos so baseados na superposio das ondas e explicados pelo princpio de Huygens. Enquanto interferncia trata efeitos de superposio que envolve

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um nmero pequeno de fontes, geralmente duas, na difrao consideramos um nmero muito grande de fontes, ou uma distribuio contnua de ondas secundrias de Huygens oriundas de uma ou vrias reas de aberturas. Devido ao efeito de difrao, as ondas conseguem contornar os obstculos e aparecer em lugares no permitidos pela ptica geomtrica. O padro de difrao produzido por uma fenda nica de largura a sobre um anteparo distante ( L a>> ) consiste de um mximo central brilhante e regies brilhantes e escuras alternadas de intensidades muito menores. As posies de faixas escuras so dadas pelas equaes:

sin m

m

ma

y m La

=

( 1, 2, 3...m = ) (mnimos)

onde m e my tm mesmo sentido como na experincia de Young. A largura do mximo central definida pelo ngulo:

1 a

que claramente depende da razo entre comprimento de onda de luz e a largura do obstculo (fenda). Quando a >> , efeitos de difrao no so notveis e podemos usar a descrio da ptica geomtrica. Do contrrio, necessrio usar ptica ondulatria baseada no princpio de Huygens. Quando a , a luz sofre difrao nos ngulos at

0180 , e o obstculo se comporta como uma fonte puntiforme de luz. Aumentando o nmero de fendas, constri-se uma rede de difrao que consiste em um grande nmero de fendas idnticas igualmente espaadas. A condio para mximos de intensidade no padro de interferncia para uma rede de difrao para incidncia normal :

sin md m = (mximos) Os mximos ocorrem nas mesmas posies como no caso da experincia de duas fendas de Young. Nesse sentido, o padro de difrao resultante semelhante ao que resulta da interferncia da fenda dupla. A diferena se manifesta nos seguintes detalhes: (1) com aumento de nmero de fendas, os mximos determinados pela equao acima (mximos principais) tornam-se mais estreitos e mais intensos; (2) entre quaisquer dois mximos principais existe mais de um mnimo, e este nmero de mnimos cresce com aumento do nmero de fendas. As redes de difrao so utilizadas para determinao precisa do comprimento de onda luminosa, devido ao fato que os mximos so bem brilhantes e estreitos.

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Concluso Esta ltima aula do curso foi dedicada ao estudo dos fenmenos ondulatrios de interferncia e difrao. O que discutimos nesta aula est longe de cobrir todos os assuntos desse gnero. Porm, o objetivo era esclarecer os princpios e aplicaes bsicas de interferncia e difrao, para que voc possa entender, sozinho, os assuntos no tratados aqui, lendo outros livros de fsica.